ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: 5 Μαίου 6 Οι ασκήσεις της εργασίας αυτής αφορούν στα εόµενα Κεφάλαια του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου : Κεφάλαιο 9 ( Το ολοκλήρµα) Κεφάλαιο (Γενικευµένη ολοκλήρση) Κεφάλαιο (Εφαρµογές τν ολοκληρµάτν) Κεφάλαιο (ΣειρέςForir ) Βοηθητικό υλικό: Mορείτε να συµβουλευθείτε το υλικό ου υάρχει στη διεύθυνση hp://d.ap.gr/pli/pli/sds.hm Αό το ΣΕY (Συνοδευτικό Εκαιδευτικό Υλικό) : o Ολοκληρώµατα o Ολοκληρώµατα o Σειρές Forir o ιαφορικές Εξισώσεις Άσκηση (5 µονάδες) Α) (9 µον.) Να υολογίσετε τα αρακάτ ολοκληρώµατα σύµφνα µε τις υοδείξεις ή µε όοιον άλλο τεκµηριµένο τρόο θέλετε: 3 (α) si cos d, (β) d (γ) si(l ) d ( Υόδειξη: α) µε αντικατάσταση si, β) µε αντικατάσταση και στη συνέχεια µε τη µέθοδο τν µερικών κλασµάτν, γ) µε αντικατάσταση l και στη συνέχεια ολοκλήρση κατά αράγοντες).

2 Β) (6 µον.) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις τν συναρτήσεν y, yl, y,να βρείτε τα σηµεία τοµής τους και να υολογίσετε το εµβαδόν του χρίου ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις τν αραάν συναρτήσεν, τον άξονα και την ευθεία. Λύση:: Α) α) I si cos cos d si (- si ) cos d,.θέτουµε ηµ d συνd ( ) d ( ) d si si + c + c β) d I Θέτουµε ( ) d d I d ( + )( + ) d Χρησιµοοιούµε τώρα µερικά κλάσµατα ( + )( + ) A + + B A( + ) + B( + ) + -: - B -: A + + I d d l + l + + c l + c l + c γ) I si(l ) d Θέτουµε l d d d d. Oµς l d d. To I ς ρος την καινούρια µεταβλητή γράφεται: I si d si( )' d cos si d (si cos) si cos d si cos ( )' d si [ cos (cos )' d ] si I I (si cos) ) [ si(l ) cos(l ] + c

3 Y X Β) Crad wih a rial vrsio of Advacd Graphr - hp:/ / agra Τα σηµεία τοµής:, A (,) και l, B (,) Ε Ε + όου Ε d και Ε / Ε εµβαδό ορθογνίου (ΑΒΓ ) - Όου Γ(,), (,) l d ( ) l d Ε d + ( ) l d / ] / + ( ) l ] + d / + ( ) ( )+ + τετραγνικές µονάδες Άσκηση (5 µονάδες) A) ( µον.) Έστ f συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [ a,a](a> ) και [ a,a]. (4 µον.) Χρησιµοοιώντας τη µέθοδο ολοκλήρσης µε αντικατάσταση να αοδείξετε ότι : αν η f είναι άρτια f ()d f()d και αν η f είναι εριττή f ()d. (6 µον.) Εφαρµόστε τα ς άν αοτελέσµατα για να υολογίσετε τα ολοκληρώµατα: / + si + cos ( a) d, ( b) d, ( c) + a + d / B) (5 µον.) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης: Υόδειξη: Ισχύει ο τύος του Libiz: 3 ϕ ( ) ( )d, ( > ) d d b( ) a( ) db( ) da( ) d d f()d f[b()] f[a()] ) 3

4 Λύση: A) ) Αν η συνάρτηση είναι άρτια ισχύει f ( ) f(), [ a,a], εοµένς f ()d f()d+ f()d. Θέτουµε d d και έχουµε f ()d f( )( d) f()d f()d f()d. Άρα Αν η συνάρτηση είναι εριττή ισχύει f ( ) f(), [ a,a] τότε f ()d f( )( d) f()d f()d f()d, εοµένς f ()d f()d. f ()d ) + si + si ( a) d d + d a ( ) +, ( b) d, αϕου d d!! Πρέει να σηµειώσουµε βέβαια ότι η συνάρτηση αλλά στο [-, ] {}. Το ολοκλήρµα συνάρτηση είναι εριττή. f ( ) / θερείται άρτια όχι σε όλο το [-, ] si d ιο άν, εειδή η υό ολοκλήρση + / / / / 3 + cos cos cos () c d d+ d + a + a + a + d si + cos / / / / / / / 3 / 3 si 4 cos d cos ( si ) d si / Το ολοκλήρµα εριττή. / d ιο άν, εειδή η υό ολοκλήρση συνάρτηση είναι a + / Β) (5 µον.) Τα υοψήφια για ακρότατο σηµεία βρίσκονται αό τον µηδενισµό της ρώτης αραγώγου, ϕ '( ). Η αευθείας ολοκλήρση δίνει: οότε 3 3 ( ) ( )d ( ) ϕ + ϕ '( ) 5. Αό τον τύο του Libiz είσης αίρνουµε το ίδιο αοτέλεσµα: 4

5 dϕ( ) d(3 ) d( ) ϕ '( ) ( 3 ) [ ( ) ] d d d 3 (6 ) (4 ) 5 Αυτή η αράγγος µηδενίζεται για είναι θετική, άρα έχουµε ελάχιστο., η δεύτερη αράγγος είναι ϕ ''( ), η οοία 3 4 Άσκηση 3 ( 8 µονάδες) Έστ φυσικός αριθµός >. Η συνάρτηση γάµα στη θέση, ορίζεται αό τον τύο: Γ ( ) d. Χρησιµοοιώντας αραγοντική ολοκλήρση, δείξατε ότι Γ ( + ) Γ ( ) για > και µε την βοήθεια αυτής της σχέσης την Γ ( + )!,(,,,3,...). Στηριζόµενοι στα ροηγούµενα αοτελέσµατα, υολογίστε το ολοκλήρµα: 6 d Λύση: ) Αό τον ορισµό της γάµα συνάρτησης έχουµε: d K Γ ( + ) d lim K Ολοκληρώνοντας αραγοντικά, έχουµε διαδοχικά: K K K ( )' [ ( )] K ( ) d d d Υολογίζουµε τώρα το όριο και έχουµε K K K K + d K K lim d lim ( K ) + lim d K K K Το δεύτερο όριο είναι ίσο µε Γ( ), ενώ το ρώτο υολογίζεται µε κανόνα L Hospial: K K K ( )K lim( K ) lim K K lim K lim K K K K ( )( ) lim K K Αντικαθιστώντας όλα τα ροηγούµενα, έχουµε τελικά Γ ( + ) Γ ( ). Για το δεύτερο ερώτηµα, δείχνουµε ρώτα ότι Γ (). Πράγµατι: 5

6 K K Γ () d lim d lim ( ) K K Χρησιµοοιώντας τώρα τον τύο Γ ( + ) Γ( ), έχουµε: Γ () Γ ()! Γ (3) Γ ()! Γ (4) 3 Γ (3) 3 6 3! Γ ( + ) Γ ( ) ( ) ( ) ) Για να υολογίσουµε τώρα το τελευταίο ολοκλήρµα θα χρησιµοοιήσουµε τον µετασχηµατισµό: y και θα άρουµε: 6 6 y y d dy 6 y Γ(7) 6! 45 y dy ! Άσκηση 4 (6 µονάδες) Α) (8 µον.). Nα βρεθεί η συνάρτηση y( ) τέτοια ώστε. Να βρεθεί η συνάρτηση y( ) τέτοια ώστε (βλ. Σ.Ε.Υ., ιαφορικές Εξισώσεις, 3.,3.4) / y() και y( ) y( ) / y() 5y() και y( ) Β) (9 µον.) Θα λύσουµε τώρα το ρόβληµα Α ) µε ένα διαφορετικό τρόο, χρησιµοοιώντας τον µετασχηµατισµό Laplac.. Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Laplac της συνάρτησης a f (),(a ). Θερούµε και άλι την διαφορική εξίσση y'( ) 5 y( ) και την αρχική συνθήκη y (). Χρησιµοοιώντας τον τύο.5 του βιβλίου σας υολογίστε τις µετασχηµατισµένες Laplac τν δύο µελών της εξίσσης και θέτοντας Ly { ( )} Ys ( ) βρείτε µία έκφραση για την Y(). s Λαµβάνοντας υόψη το ροηγούµενο ερώτηµα υολογίστε την y( ) αό την Y(). s Λύση: Α) 6

7 d ) Αό την αρχική σχέση αίρνουµε y () y() y, αό όου ροκύτει ότι d d y και εοµένς y c y ( + c), όου c αυθαίρετη σταθερά και d ειλέγουµε τον θετικό κλάδο, δηλ. y(). Εειδή y( ), αό την τελευταία σχέση ροκύτει c. Εοµένς y( ) και το εδίο ορισµού είναι. Σηµείση: ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΜΩΣ: Στο υάρχει ιδιοµορφία της λύσης αφού εκεί δεν ορίζεται η αράγγος y()! ) Χρησιµοοιώντας την υόδειξη βρίσκουµε β β αβ 5a β 5µε 5. Εειδή δε 5 y( ), αό την σχέση αυτή έχουµε α. Άρα η λύση είναι η y( ). Β) (8 µον.) ) Για a s a ( s a ) ( s a ) (s a) αν s > a. L{ }( s ) d d lim d lim, s a s a s aτο ολοκλήρµα δεν συγκλίνει. ) Ο τύος.5 µας λέει ότι: Ly { '()} sly { ()} y() Υολογίζουµε τον µετασχηµατισµό Laplac τν δύο µερών της ιαφορικής Εξίσσης και έχουµε: L{ y'( ) 5 y( )} L{} ή L{ y'()} 5 L{ y ()} sl{ y ()} y() 5 Ly { ()} Χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι y () και Ly { ( )} Ys ( ) αίρνουµε: Εειδή η a sy () s 5 Y () s Y () s s 5 L{ }(s),(s> a), η συνάρτηση ου έχει µετασχηµατισµό Laplac s a 5, άρα η συνάρτηση ου µας δίνει µετασχηµατισµό Laplac είναι και λύση της διαφορικής εξίσσης. s 5 s 5 είναι 5 είναι η, η οοία Άσκηση 5 (8 µονάδες) Α) ( µον.)να βρείτε τη σειρά Forir της εριοδικής συνάρτησης f : µε f( ) f( + ) για κάθε, αν 7

8 , < α) f() +, <, β) f(),, < Β) ( 6 µον.) Χρησιµοοιώντας το αοτέλεσµα της α) και β) να υολογίσετε τα αθροίσµατα Λύση: και k (k ) k ( ) k k Α) Γνρίζουµε ότι, αφού η ερίοδος της συνάρτησης είναι, η σειρά Forir είναι της µορφής: α) Η συνάρτηση γράφεται f ( ) a + [ a cos( ) + b si( )], < f(), < Υολογίζουµε τους συντελεστές της σειράς: ( ) a f d d+ d ηλαδή si() / a f ( )cos( )d cos( )d [ ] d si( ) si( ) d si() cos() + [ cos( ) ] ( ) a 4, εριττος, αρτιος cos() / b f ( )si( )d si( )d [ ] d cos( ) cos( ) d cos( ) si( ) cos( ) ( ) ηλαδή 8

9 b, εριττος, αρτιος Εοµένς η σειρά Forir είναι η + 4 ( ) cos[( k ) ] si( ) k (k ) + 4 cos cos( 3 ) cos( 5 )... si si( ) si( 3 ) si( 4 ) β) Η συνάρτηση f είναι εριττή, άρα a και cos() b f ( )si( )d si( )d 4, εριττος [ cos( )] ( ), αρτιος Συνεώς η σειρά είναι η 4 si( 3 ) si( 5 ) si(7 ) si Β) Αό το α), εειδή το είναι σηµείο συνέχειας της συνάρτησης, ισχύει ότι f () a + [a cos b si] +, Εοµένς Οµοίς αό το β) για ροκύτει cos cos cos f ( ) + cos

10 Άσκηση 6 ( 8 µονάδες) Μια κυµατοµορφή ου µορεί να ροέρχεται.χ. αό µια ηγή ακτινοβολίας στο διάστηµα, γίνεται αντιλητή άν σε ένα αλµογράφο ς µια συνάρτηση του χρόνου, f (), η οοία γενικά δεν είναι εριοδική. Ο ολοκληρτικός µετασχηµατισµός Forir, ου θα µελετήσουµε στην αρούσα Άσκηση, µας ειτρέει να ροσδιορίσουµε τις συχνότητες και τα «λάτη» Α(), Β() όλν τν εριοδικών κυµατοµορφών στις οοίες αναλύεται η f (). Αυτά τα Α(), Β() συνθέτουν το λεγόµενο «φάσµα» της f () ( ς συνάρτηση της συχνότητας) και είναι ακριβώς αυτό ου αρατηρείται ειραµατικά σε ένα φασµατοσκόιο. εχόµαστε το αρακάτ θεώρηµα ου λέγεται ολοκληρτικό θεώρηµα του Forir:. Οι συναρτήσεις f ()και (, ). Το ολοκλήρµα f ()d συγκλίνει Τότε, θέτοντας / f ()είναι τµηµατικά συνεχείς σε κάθε εερασµένο διάστηµα του A( ) f ( )cos( )d και B( ) f()si( )d, ισχύει f [ A( )cos( ) + B( )si( )] d ( ) + f(+ ) Όου f ( ) και f (+ ) είναι τα όρια της f ()στο, αό αριστερά και αό δεξιά, αντίστοιχα. Ορισµός: Το ολοκλήρµα I() [ A( )cos+ B( )si] d λέγεται ολοκλήρµα Forir της συνάρτησης f ()και εοµένς I() f() αν η f είναι συνεχής στο. ίνεται η συνάρτηση, < f (),, >. (6 µον.) Να υολογίσετε τα ολοκληρώµατα A( ) και B( ) Μια συνάρτηση f ()λέγεται τµηµατικά συνεχής σε ένα διάστηµα αν (α) το διάστηµα αυτό µορεί να διαιρεθεί σε εερασµένο λήθος υοδιαστηµάτν στο εστερικό τν οοίν η f () είναι συνεχής και (β) υάρχουν τα λευρικά όρια της f () στα άκρα κάθε διαστήµατος και είναι εερασµένα.

11 . (6 µον.) Να δείξετε ότι το ολοκλήρµα Forir της συνάρτησης είναι sicos[ ( )] I() d 3. ( µον.) Χρησιµοοιώντας το ροηγούµενο ολοκλήρµα Forir, να υολογίσετε si το d 4. (4 µον.) Βρείτε τη συνάρτηση «φάσµατος» F( ) A ( ) + B ( ) και σχεδιάστε την γραφική της αράσταση για <. Ποιες συχνότητες δεν συµβάλλουν καθόλου στο «φάσµα» της κυµατοµορφής f (); Λύση: ) si( ) si( ) A( ) f ( )cos( )d cos( )d, αν cos( ) cos( ) B( ) f ( )si( )d si( )d, ) αν si cos I() cos( ) si( ) d + και A( ) d και B() και εειδή si sicos, cos si, ροκύτει ότι si cos si [coscos( ) + sisi( )] cos( ) + si( ) sicos[ ( )] και 3) sicos[ ( )] I() d Η f είναι συνεχής στο, εοµένς f (), άρα si si I() d d 4) Σύµφνα µε όσα βρήκαµε ιο άν: γράφεται si cos A( ), B( ) οότε το φάσµα

12 4 4 F( ) A ( ) + B ( ) si ( ) 4si ( ) 4si ( )cos ( ) 4si ( ) + + Άρα στο φάσµα αυτό δεν συνεισφέρουν οι συχνότητες κ, κ,,, si( ) Άσκηση 7 ( µονάδες) Η συνάρτηση σφάλµατος, η οοία ορίζεται µέσ του ολοκληρώµατος: - rf () d, ααντάται συχνά στη στατιστική και τις ιθανότητες, αλλά και σε ολλά ροβλήµατα τν εφαρµοσµένν ειστηµών. Το ολοκλήρµα αυτό, αν και αλό εκ ρώτης όψες, δεν υολογίζεται µε αναλυτικές µεθόδους µέσ βασικών συναρτήσεν και ρέει να χρησιµοοιήσουµε κάοια αλγοριθµική διαδικασία για τον ροσεγγιστικό υολογισµό του (.χ. χρησιµοοιώντας το Ocav σε έναν Η/Υ). Μία τέτοια διαδικασία είναι και η λεγόµενη Αριθµητική µέθοδος υολογισµού ολοκληρµάτν Simpso, τα βασικά βήµατα της οοίας είναι τα εξής: οσµένου ενός ορισµένου ολοκληρώµατος I f ( ) d : b a b a. Χρίζετε το διάστηµα [α,b] σε διαστήµατα ίσου λάτους και αίρνετε τις τετµηµένες α, α +, α +,, - α + (-), b.. Υολογίζετε τις αντίστοιχες τεταγµένες αυτών, δηλαδή τα y f(α), y f( ), y f( ),,y - f( - ), y f(b). 3. Έτσι, µια ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Ι δίνεται αό τη σχέση: Ι (y + 4y + y + 4y 3 +y y - + 4y - + y ) 3 (α) (5 µον.) Γράψτε ένα ρόγραµµα στον υολογιστή σας ου να υλοοιεί την ς άν διαδικασία και ελέγξτε την ακρίβεια της µεθόδου (και την ορθότητα του ρογράµµατός σας) υολογίζοντας γνστά εµβαδά ός αυτά ου δίνονται αό τα ολοκληρώµατα: I 3 d 7, K l d l l (β) (5 µον.) Χρησιµοοιήστε τη µέθοδο Simpso για να υολογίσετε ροσεγγιστικά τη συνάρτηση σφάλµατος rf () µε, 6,. Με οια ακρίβεια ιστεύετε ότι την έχετε υολογίσει όταν το 6; Ενδεικτικές λύσεις της Άσκησης 7 σε MATLAB 7. (α) Εειδή το Ι είναι ολοκλήρµα µιας αλής αραβολής ου δίνεται σαν µια κυβική συνάρτηση του, και η µέθοδος Simpso ου χρησιµοοιούµε βασίζεται σε κυβικές ροσεγγίσεις θα δώσει άντα το σστό αοτέλεσµα Ι 7 όοιο και να χρησιµοοιήσουµε! (Ελέγξτε το αυτό).

13 Αν άρουµε όµς το ολοκλήρµα Κ τότε δεν συµβαίνει αυτό και οι ροσεγγίσεις µας γίνονται µέσ του ρογράµµατος MATLAB 7. : forma log a;b;; (και µορούµε να το αλλάξουµε σε 6,, κλ.) ;d(b-a)/; a:d:b ylog; yy(::); yy(3::-); Κd/3*(y()+y(+)+4*sm(y)+*sm(y)) Ως γνστόν *l -, Aλλάζοντας το, 6 ή, αίρνουµε αό τον ς άν υολογισµό: Για, Κ Για 6, Κ Για, Κ Αό το αοτέλεσµα για, είναι φανερό ότι για 6, έχουµε το σστό αοτέλεσµα µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίν. (β) forma log a;b;; (και µορούµε να το αλλάξουµε σε 6,, κλ.) d(b-a)/; a:d:b y/sqr(pi)*p(-.^); yy(::); yy(3::-); Id/3*(y()+y(+)+4*sm(y)+*sm(y)) Aλλάζοντας το, 6 ή, αίρνουµε αό τον ς άν υολογισµό: Για, rf() Για 6, rf() Για, rf() Ός και µε το ροηγούµενο αράδειγµα, αναµένουµε ότι για 6, έχουµε το σστό αοτέλεσµα µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίν. Ός διαιστώνουµε και αό το αοτέλεσµα για, αυτό ου αναµένουµε αό τις 6 εαναλήψεις είναι σστό