Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o

Transcript

1 Ασκήσεις7 80 Ασκήσεις7 Διαγωοποίηση Ερμιτιαώ Πιάκω Βασικά σημεία Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες καοικώ πιάκω Θεώρημα διαγωοποίησης καοικώ πιάκω: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είαι ισοδύαμες o Α καοικός o o Υπάρχει μοαδιαίος με Υπάρχει ορθοκαοική βάση του διαγώιο αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του Πρόσθετες ιδιότητες καοικώ πιάκω: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είαι ισοδύαμες o Α καοικός o X o V V X για κάθε X ( ) ( ) για κάθε Συιστώμεες ασκήσεις: -0,-8 () Εξετάστε α υπάρχει πραγματικός μοαδιαίος πίακας P τέτοιος ώστε ο P P α είαι άω 0 τριγωικός, όπου Α υπάρχει, α βρεθεί έας τέτοιος P () Έστω Να βρεθεί μοαδιαίος P με P P διαγώιο 4 0 () Έστω 0 με ιδιοτιμές τις,, 0 0 a Να βρεθεί μοαδιαίος με διαγώιο b Έστω f : μια γραμμική απεικόιση με ( f :, ), όπου είαι μια διατεταγμέη βάση του Δείξτε ότι f 40 5 f 9 f 6 0 ( H ) και S ( ) 4 () Έστω, a Δείξτε ότι ο πίακας H είαι Ερμιτιαός και S S b Δείξτε ότι α κάθε ιδιοδιάυσμα του H είαι ιδιοδιάυσμα του S, τότε ο πίακας είαι καοικός 5 () Αποδείξτε ότι υπάρχει ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του i a α και μόο α a 6 () Δείξτε ότι α ο είαι καοικός, τότε η i γραμμή του έχει το ίδιο μήκος με τη i στήλη του για κάθε i m 7 () Να βρεθού όλοι οι καοικοί πίακες τέτοιοι ώστε 0 για κάποιο m 8 () Έστω καοικός πίακας Δείτε τα εξής a Ερμιτιαός κάθε ιδιοτιμή του είαι πραγματικός αριθμός b μοαδιαίος κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο 9 () a Α είαι συμμετρικός τέτοιος ώστε b Να βρεθού όλοι οι συμμετρικοί με k 8 I, τότε I I

2 Ασκήσεις7 8 c Α είαι Ερμιτιαός και μοαδιαίος τέτοιος ώστε Tr 0, τότε ο v είαι άρτιος d Α είαι Ερμιτιαός και μοαδιαίος και έχει τουλάχιστο δύο διακεκριμέες ιδιοτιμές, α βρεθεί το ελάχιστο πολυώυμο του 0 () a Για κάθε, ο ii είαι ατιστρέψιμος b Α, είαι συμμετρικοί και ισχύει, τότε ο ii είαι ατιστρέψιμος c Έστω i Κάθε ιδιοτιμή του είαι πραγματικός αριθμός και μη αρητικός ii de( ) είαι πραγματικός αριθμός και θετικός I () Α είαι καοικός, τότε f ( ) για κάποιο f ( x) [ x] () Έστω και Δείξτε ότι α, τότε ο είαι καοικός () Να βρεθεί συμμετρικός με ιδιοτιμές τις,, τέτοιος ώστε ο ιδιόχωρος V () α παράγεται από τα, Είαι ο μοαδικός; 4 () 44 a Έστω τέτοιος ώστε dim V () dim V () και u, v 0 για κάθε u V (), v V () Δείξτε ότι ο είαι συμμετρικός v b Έστω τέτοιος ώστε και το χ ( x ) είαι γιόμεο πρωτοβάθμιω όρω στο [ x] Δείξτε ότι ο είαι συμμετρικός 5 () Έστω έας συμμετρικός πίακας που δε είαι της μορφής ci, c Nα βρεθεί το m ( ) x α 6 () Α 4 ( I ) ( I ) 0 καοικός και, οι διακεκριμέες ιδιοτιμές του, τότε V( ) V( ) 44 7 () Έστω, καοικικοί πίακες με ( x ) ( x ) ( x ) και ( x ) ( x ) ( x 4) Α V () V (), δείξτε ότι 8 () Έστω Δείξτε ότι ο είαι Ερμιτιαός α και μόο α X, X για κάθε X 9 () Δώστε παράδειγμα έτσι ώστε υπάρχει βάση του από ιδιοδιαύσματα του αλλά δε υπάρχει ορθοκαοική βάση του από ιδιοδιαύσματα του 4 0 () Έστω με ( I ) ( ii ) 0 a Δείξτε ότι α ο είαι Ερμιτιαός, τότε I b Δείξτε ότι α ο είαι μοαδιαίος, τότε ii () Έστω u με u Θέτουμε S I uu a Δείξτε ότι υπάρχει ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του S b Δείξτε ότι Su 0 και Sv v για κάθε v τέτοιο ώστε v, u 0 Στη συέχεια βρείτε τη διάσταση κάθε ιδιόχωρου του S c Δώστε μια γεωμετρική ερμηεία του S ότα, 0 a () Έστω a και a Αληθεύει ότι για κάθε a υπάρχει μοαδιαίος με άω τριγωικό; b Αληθεύει ότι για a υπάρχει μοαδιαίος Q με Q Q άω τριγωικό; c Να βρεθού όλες οι τιμές του a τέτοιες ώστε υπάρχει ορθοκαοική βάση του από ιδιοδιαύσματα του

3 Ασκήσεις7 8 d Έστω a 0 Να βρεθεί μοαδιαίος με diag(,,) () Έστω a Βρείτε μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και εξετάστε α ο είαι διαγωίσιμος 7 5 b Βρείτε δύο γραμμικά αεξάρτητα ιδιοδιαύσματα του 8 5 4I c Να εξεταστεί α υπάρχει διατεταγμέη βάση aˆ ( a, a, a ) του τέτοια ώστε όπου f : είαι η γραμμική απεικόιση που ορίζεται από τις σχέσεις f ( a ) a 6 a, f ( a ) a 8a 6 a, f ( a ) 5 a ( f : aˆ, aˆ ), d Να βρεθεί (εφόσο υπάρχει) ατιστρέψιμος P με P P άω τριγωικό e Να βρεθεί (εφόσο υπάρχει) μοαδιαίος με άω τριγωικό () Έστω 0 4 a Να βρεθεί, α υπάρχει, μοαδιαίος P με P P άω τριγωικό 8 b Έστω I Να βρεθεί ατιστρέψιμος Q με Q Q άω τριγωικό c Α f : γραμμική απεικόιση με ( f : eˆ, eˆ ), α εξετασθεί α η f f 8 είαι ισομορφισμός 5 () Έστω έας συμμετρικός πίακας Θεωρούμε τη γραμμική απεικόιση L :, L ( X ) X ker L Im L Δείξτε ότι 6 () Έστω τέτοιος ώστε 4 a Δείξτε ότι ο είαι Ερμιτιαός b Εξετάστε α υπάρχει ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του c Δείξτε ότι α rank, τότε υπάρχει μοαδιαίος τέτοιος ώστε d Εξετάστε α ισχύει X, Y X, Y για κάθε X, Y 7 () Α T είαι άω τριγωικός τέτοιος ώστε κάθε ιδιοδιάυσμά του είαι ιδιοδιάυσμα του T, τότε ο T είαι διαγώιος 8 Επααληπτική άσκηση καταόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι σωστές Δώστε μια απόδειξη ή έα ατιπαράδειγμα Έστω Ερμιτιαός a Α ο είαι μοαδιαίος και κάθε ιδιοτιμή του είαι θετική, τότε I b Ο ( ) είαι διαγωίσιμος για κάθε ( x) [ x] m c Α 0 για κάποιο m, τότε 0 d Α κάθε ιδιοτιμή του είαι μη αρητική, τότε υπάρχει Ερμιτιαός με

4 Ασκήσεις7 8 Υποδείξεις/Απατήσεις Ασκήσεις7 Λύση: Υπάρχει, σύμφωα με το Λήμμα του Schur (Λήμμα 44) Έα ιδιοδιάυμσα μήκους του είαι το Επεκτείοτας αυτό σε ορθοκαοική βάση του βρίσκουμε, για παράδειγμα, τη βάση, Έας ζητούμεος P είαι ο πίακας με στήλες τα προηγούμεα διαύσματα Λύση: Οι ιδιοτιμές του είαι οι 4, Βρίσκουμε βάσεις τω ιδιόχωρω V (4), V () όπως ξέρουμε από τη Εότητα του μαθήματος 0 Βάση του V (4) :, Βάση του V () :, 0 Επειδή ο είαι συμμετρικός, ξέρουμε ότι κάθε στοιχείο του V (4) είαι κάθετο με κάθε στοιχείο του V () (πράγμα που βέβαια επαληθεύεται από τις βάσεις που βρήκαμε) Στη συέχεια βρίσκουμε μια ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του Α εφαρμόζοτας τη διαδικασία Gram-Schmid σε κάθε ιδιόχωρο ξεχωριστά: ρίσκουμε τη ορθοκαοική βάση 6,, Έας ζητούμεος P είαι ο πίακας με στήλες τα διαύσματα της προηγούμεης βάσης Υπόδειξη: aεδώ ο είαι συμμετρικός πραγματικός και κάθε ιδιόχωρος είαι μοοδιάστατος (αφού υπάρχου διακεκριμέες ιδιοτιμές) ρίσκουμε έα ιδιοδιάυσμα για κάθε ιδιοτιμή του και διαιρούμε καθέα με το μέτρο του Ο πίακας με στήλες αυτά είαι μοαδιαίος (αφού σε διακεκριμέες ιδιοτιμές συμμετρικού πίακα ατιστοιχού κάθετα ιδιοδιαύσματα) και γωρίζουμε από τη θεωρία ότι ο είαι διαγώιος b Μια ιδιοτιμή της f 5 f f είαι η 5 που είαι μη μηδεική Άρα f 5 f f 0 4 b ος τρόπος Από το προηγούμεο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του H Από τη υπόθεση έχουμε ότι αυτά είαι ιδιοδιαύσματα του S Επειδή H S προκύπτει εύκολα (ελέγξτε το) ότι αυτά είαι ιδιοδιαύσματα του Δηλαδή ο έχει ιδιοδιαύσματα που αποτελού ορθοκαοική βάση του Άρα ο είαι καοικός ος τρόπος (μικρή παραλλαγή του ου τρόπου) Από το προηγούμεο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκαοική βάση του αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του H Από τη

5 Ασκήσεις7 84 υπόθεση έχουμε ότι αυτά είαι ιδιοδιαύσματα του S Άρα HS SH (γιατί;) Συεπώς δηλαδή ο είαι καοικός, 5 Υπόδειξη: Δείξτε με πράξεις ότι α και μόο α a, όπου ο δοσμέος πίακας Το ζητούμεο έπεται από το Πόρισμα 49 6 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ισχύει X X για κάθε X Θέστε X E i 7 Υπόδειξη: Ο είαι διαγωίσιμος (Θεώρημα 47) και κάθε ιδιοτιμή του ισούται με 0 Άρα 0 8 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι και στα δυο υποερωτήματα ισχύει το ευθύ (η υπόθεση καοικός πλεοάζει) Για τις ατίστροφες συεπαγωγές χρησιμοποιήστε το γεγοός ότι κάθε καοικός πίακας διαγωοποιείται από μοαδιαίο πίακα (Θεώρημα 47) 9 a Υπόδειξη: Από τις υποθέσεις έπεται ότι ο είαι όμοιος με διαγώιο πίακα της μορφής D diag(,,,,, ) Άρα ο είαι όμοιος με το D Συεπώς c Απάτηση: m x x ( ) 0 a Λύση: O είαι Ερμιτιαός αφού ( ) I Άρα κάθε ιδιοτιμή του I είαι πραγματικός αριθμός Επομέως de( ii ) 0, δηλαδή ο ii είαι ατιστρέψιμος b Υπόδειξη: Ο είαι συμμετρικός c Υπόδειξη για το i) Α X X, X, δείξτε ότι X, X X, X και συμπεράετε από αυτό ότι 0 Λύση: Έστω,, οι ιδιοτιμές του Υπάρχει πολυώυμο f ( x ) τέτοιο ώστε f ( i ) i, i,, (από παρεμβολή Lagrange, βλ άσκηση ) Επειδή ο είαι καοικός, υπάρχει μοαδιαίος τέτοιος ώστε diag(,, ) Τότε ( ), και f ( ) f ( ) f ( ) Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε n,, ισχύει n n n ( ) ( ) n και άρα Tr( ) 0 για κάθε n,, Συεπώς 0 σύμφωα με τη άσκηση 49 Επειδή ο είαι Ερμιτιαός, είαι διαγωίσιμος και άρα 0 Υπόδειξη: Ο V ( ) είαι κάθετος στο V () (Πρόταση 49) και άρα παράγεται από το 0 Επιλέξτε τρία ιδιοδιαύσματα που α αποτελού ορθοκαοική βάση του και εφαρμόστε το συλλογισμό της άσκησης 6b 4 a Υπόδειξη: Από τη ορθοκαοικοποίηση Gram-Schmid σε κάθε ιδιόχωρο, έπεται ότι υπάρχει πραγματικός μοαδιαίος με diag(,,,,) Άρα b Υπόδειξη: Από τη άσκηση 77a ο είαι Eρμιτιαός 5 Απάτηση: m ( x) ( x )( x )

6 Ασκήσεις Λύση: Επειδή ο είαι καοικός και, διακεκριμέες ιδιοτιμές του, ξέρουμε ότι V( ) V( ) Επίσης ξέρουμε ότι dim V( ) dim V( ), αφού ο είαι διαγωίσιμος, και επομέως dim V( ) dim V( ) dim V( ) Επειδή οι διαστάσεις είαι πεπερασμέες παίρουμε V( ) V( ) 7 Λύση: Από τη προηγούμεη άσκηση έπεται ότι V () V (8) Επειδή V () V (), υπάρχει βάση του κάθε στοιχείο της οποίας είαι ιδιοδιάυσμα και του και του Αρα σύμφωα με το θεώρημα ταυτόχροης διαγωοποίησης 8 Λύση: Α, τότε για κάθε X, Ατίστροφα, έστω X, X για κάθε ( ) X, X 0 για κάθε X X, X X, X X, X X, X X Τότε X, X X, X X, X και από τη άσκηση 68 έχουμε 9 Λύση: Ισοδύαμα, θέλουμε διαγωίσιμο πίακα που δε είαι καοικός Έα παράδειγμα είαι Έχει διακεκριμέες ιδιοτιμές, οπότε είαι διαγωίσιμος Η πρώτη γραμμή και η 0 0 πρώτη στήλη έχου διαφορετικά μήκη, οπότε δε είαι καοικός σύμφωα με τη άσκηση 76 0 a Λύση: Α ο είαι Ερμιτιαός, τότε κάθε ιδιοτιμή του είαι πραγματική και επομέως ο 4 ( ii ) είαι ατιστρέψιμος Τότε από τη δοθείσα ισότητα παίρουμε ( I ) 0 και από αυτή έπεται ότι I 0, αφού ο I είαι διαγωίσμος (πχ ως Ερμιτιαός) a Παρητηρήστε ότι ο S είαι συμμετρικός οπότε το ζητούμεο έπεται από τη πραγματική εκδοχή του Φασματικού Θεωρήματος b dim V (0), dim V () S S c Για =, ο πίακας S ααπαριστά τη προβολή επί της ευθείας που είαι κάθετη στο u και διέρχεται από το (0,0) Για =, ο πίακας S ααπαριστά τη προβολή, X Y, επί του επιπέδου που είαι κάθετο στο u και διέρχεται από το (0,0,0), βλ σχήμα 0 u X Y a Ναι, από τη μιγαδική εκδοχή του Λήμματος του Schur b Ναι, από τη πραγματική εκδοχή του Λήμματος του Schur, που εφαρμόζει εδώ καθώς ( x ) ( x ) ( x ) c Με πράξεις προκύπτει ότι a 0 d Όπως η λύση της άσκησης 7 Απατήσεις για τα a-d και συοπτική λύση για το e:

7 Ασκήσεις7 86 a V() :{ 0 }, V() :{ } 0 b Τα προηγούμεα δύο ιδιαδιαύσματα c Δε υπάρχει αφού το 5 είαι ιδιοτιμή της f αλλά όχι του () () d Ως P μπορούμε α πάρουμε οποιοδήποτε ατιστρέψιμο με P 0, P, για παράδειγμα 0 0 P 0 0 Ξέρουμε ότι P P 0 για κάθε τέτοιο P e Λύση: Ακολουθώτας τη απόδειξη του Λήμματος του Schur έχουμε 0 4 Για το 0 4 έχουμε ( x ) ( x )( x ) και έα ιδιοδιάυσμα (που ατιστοιχεί στη ιδιοτιμή ) είαι το Μια ορθοκαοική βάση του με πρώτο διάυσμα παράλληλο με το είαι:, Άρα ο είαι μοαδιαίος και ξέρουμε ότι Θέτοτας 0 0, ξέρουμε ότι ο είαι 0 μοαδιαίος και Σημείωση Φυσικά η λύση του e αποτελεί λύση και του d (αλλά όχι ατίστροφα) 4 a Ακολουθώτας τη απόδειξη του Λήμματος του Schur, έχουμε: Επειδή η δεύτερη στήλη του είαι πολλαπλάσιο του E, το E είαι ιδιοδιάυσμα του Έας μοαδαίος πίακας με πρώτη 0 0 στήλη το E είαι ο 0 0 Έχουμε (πράξεις) Θέτοτας 4 βρίσκουμε ( x ) ( x )( x ) και έα ιδιοδιάυσμα που ατιστοιχεί στη ιδιοτιμή είαι το Έας μοαδιαίος πίακας με πρώτη στήλη πολλαπλάσιο της είαι ο

8 Ασκήσεις7 87 και ξέρουμε ότι 0 Θέτοτας 0 0 (πράξεις) 0 0, 0 ξέρουμε ότι ο είαι μοαδιαίος και b Φυσικά μια επιλογή είαι Q c Δε είαι ισομορφισμός καθώς μια ιδιοτιμή της f f 8 είαι η Λύση: Για κάθε X ker L και Y έχουμε X, L ( Y) X, Y X, Y X, Y 0, Y 0 και επομέως ker L Im L Επειδή L έπεται ότι ker L Im L dim Im dim Im L dim dim Im L dim ker L και 6 Λύση: a ( ) ( ) (4 ) b Υπάρχει ορθοκαοική βάση του Ερμιτιαός c Έχουμε 4 και αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του γιατί ο είαι Άρα ( 4 I4) 0 Συεπώς α είαι ιδιοτιμή του, τότε 0 ή 4 Από το b έπεται ότι υπάρχει μοαδιαίος τέτοιος ώστε diag(4,,4,0,,0) Επειδή όμοιοι πίακες έχου το ίδιο rank, συμπεραίουμε ότι a rank rank( diag(4,,4,0,,0)) a Άρα diag(4, 0, 0) a d Δε αληθεύει, γιατί διαφορετικά ο θα ήτα μοαδιαίος, οπότε 4 I 4 I, 4 που δε είαι μοαδιαίος, άτοπο (Το ότι ο Α δε είαι μοαδιάιος έπεται και από το γεγοός ότι έχει ιδιοτιμή με ) 7 8 a Σ Επειδή ο μόος μιγαδικός αριθμός που έχει μέτρο και είαι θετικός πραγματικός αριθμός είαι το, συμπεραίουμε ότι οι ιδιοτιμές του είαι,, Ξέρουμε από το Φασματικό Θεώρημα ότι ο είαι διαγωίσιμος, οπότε είαι όμοιος με το I Άρα είαι ίσος με το I b Σ Επειδή είαι διαγωίσιμος, ξέρουμε ότι ο ( ) είαι διαγωίσιμος για κάθε ( x) [ x] c Σ Επειδή είαι διαγωίσιμος και κάθε ιδιοτιμή του ισούται με 0, ο Α είαι όμοιος με το μηδεικό πίακα, και άρα ίσος με αυτό d Σ Από το Φασματικό Θεώρημα, diag(,, ), 0, μοαδιαίος Θέτοτας diag(,, ), έχουμε και Ερμιτιαός (γιατί;) i

9 Ασκήσεις7 88 Σε αυτό οφείλεται η πρώτη απόδειξη του φασματικού θεωρήματος hps://enwikipediaorg/wiki/ugusin-louis_cauchy