ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Transcript

1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Δημήτριος Βασιλείου Καθηγητής Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Νικόλαος Ηρειώτης Καθηγητής Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών

2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Διαχρονική Αξία του Χρήματος. 6

3 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης ασχολείται με διάφορες δραστηριότητες, αλλά είναι κυρίως υπεύθυνος για την άντληση κεφαλαίων και τη χρησιμοποίησή τους με τέτοιο τρόπο ώστε να αυξάνεται η αξία της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Η τρέχουσα χρηματιστηριακή αξία μιας εταιρείας αυξάνεται όταν αυξάνεται η τιμή της μετοχής της στην αγορά. Η χρηματιστηριακή τιμή μιας μετοχής εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως είναι τα προβλεπόμενα κέρδη ανά μετοχή της εταιρείας, το χρονικό διάστημα πραγματοποίησης των κερδών αυτών, ο κίνδυνος που περιέχουν τα προβλεπόμενα αυτά κέρδη, η χρήση δανειακών κεφαλαίων και η μερισματική πολιτική που ακολουθεί η εταιρεία. Κατά συνέπεια, ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης θα πρέπει να λαμβάνει αποφάσεις, εξετάζοντας όμως την επίδραση των αποφάσεών του στους ανωτέρω παράγοντες και επομένως στην τιμή της μετοχής της εταιρείας του. Το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει δύο ενότητες. Η πρώτη ενότητα παρουσιάζει τον αντικειμενικό σκοπό μιας επιχείρησης. Η δεύτερη ενότητα περιγράφει τις τρεις βασικές κατηγορίες αποφάσεων που παίρνει ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης. 1.1 Αντικειμενικός σκοπός μιας επιχείρησης Ο αντικειμενικός σκοπός (objective) μιας επιχείρησης είναι η μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων της (maximization of shareholder wealth). Εάν υποθέσουμε ότι η εταιρεία αυτή έχει μετοχές εισηγμένες στο χρηματιστήριο, τότε η μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων της πραγματοποιείται μέσω της μεγιστοποίησης της χρηματιστηριακής αξίας της τιμής της μετοχής της. Στο σημείο αυτό, θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι στα εγχειρίδια μικροοικονομικής αναφέρεται ως σκοπός μιας επιχείρησης η μεγιστοποίηση των κερδών της. Ο σκοπός αυτός μπορεί να είναι επαρκής στα πλαίσια της μικροοικονομικής, αλλά δε θεωρείται ικανοποιητικός για τη χρηματοοικονομική διοίκηση. Η αναποτελεσματικότητα της μεγιστοποίησης των κερδών ως αντικειμενικού σκοπού μιας επιχείρησης οφείλεται σε δύο λόγους, οι οποίοι είναι οι εξής:

4 2 Δε λαμβάνει υπόψη τον κίνδυνο τον οποίο ενέχουν οι αποδόσεις των επενδυτικών προγραμμάτων. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι μια εταιρεία εξετάζει δύο επενδυτικά προγράμματα, τα Α και Β, τα οποία αναμένεται να έχουν την ίδια απόδοση. Η απόδοση όμως του Α έργου έχει πολλές πιθανότητες να μην πραγματοποιηθεί, ενώ οι πιθανότητες να μην πραγματοποιηθεί η απόδοση του Β έργου είναι εξαιρετικά λίγες. Στην περίπτωση αυτή, ο σκοπός της μεγιστοποίησης των κερδών θα έκανε την επιχείρηση να αδιαφορεί για το εάν θα πραγματοποιηθεί το έργο Α ή το έργο Β. Αντιθέτως, ο σκοπός της μεγιστοποίησης του πλούτου των μετόχων θα υποχρέωνε την επιχείρηση να λάβει υπόψη της τον κίνδυνο των έργων στην αξιολόγησή τους, καθώς ο κίνδυνος επηρεάζει τη χρηματιστηριακή τιμή της μετοχής της εταιρείας. Δε λαμβάνει υπόψη τη χρονική στιγμή κατά την οποία πραγματοποιούνται οι αποδόσεις των επενδυτικών προγραμμάτων. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι μια εταιρεία εξετάζει δύο επενδυτικά προγράμματα, τα Α και Β, τα οποία αναμένεται να έχουν την ίδια απόδοση. Η απόδοση όμως του έργου Α θα πραγματοποιηθεί πολύ συντομότερα από την απόδοση του έργου Β. Στην περίπτωση αυτή, ο σκοπός της μεγιστοποίησης των κερδών θα έκανε την επιχείρηση να αδιαφορεί για το εάν θα πραγματοποιηθεί το έργο Α ή το έργο Β. Αντιθέτως, ο σκοπός της μεγιστοποίησης του πλούτου των μετόχων θα υποχρέωνε την επιχείρηση να λάβει υπόψη της το χρόνο πραγματοποίησης της απόδοσης των έργων στην αξιολόγησή τους, καθώς ο χρόνος αυτός επηρεάζει τη χρηματιστηριακή τιμή της μετοχής της εταιρείας. 1.2 Βασικές χρηματοοικονομικές αποφάσεις Η χρηματοοικονομική διοίκηση ασχολείται με τρεις βασικές κατηγορίες αποφάσεων τις οποίες θα πρέπει να πάρει μια επιχείρηση: την απόφαση επένδυσης, την απόφαση χρηματοδότησης και την απόφαση που σχετίζεται με το μέρισμα που θα διανείμει. Η απόφαση επένδυσης (investment decision) συνδέεται με την εύρεση, αξιολόγηση και επιλογή των διαφόρων επενδυτικών προγραμμάτων μιας επιχείρησης από τον οικονομικό της διευθυντή. Οι αποδόσεις των επενδυτικών αυτών προγραμμάτων θα πραγματοποιηθούν στο μέλλον και επομένως υπάρχει πιθανότητα να είναι διαφορετικές από τις αναμενόμενες. Άρα, οι επενδυτικές αποφάσεις του

5 3 οικονομικού διευθυντή λαμβάνονται σε συνθήκες κινδύνου. Κατά την επιλογή των επενδυτικών προγραμμάτων, η εταιρεία θα πρέπει να καθορίσει μια ελάχιστη απόδοση την οποία θα απαιτεί να έχει από τα επενδυτικά της προγράμματα για να τα αποδεχθεί. Εκτός όμως από τα επενδυτικά προγράμματα που πρόκειται να αναληφθούν, ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης λαμβάνει αποφάσεις και για το συνδυασμό και το είδος των στοιχείων του ενεργητικού που έχει ήδη αποκτηθεί, καθώς επίσης και για την πιθανή τροποποίηση ή αντικατάστασή τους. Η απόφαση χρηματοδότησης (financing decision) συνδέεται με τον καθορισμό της άριστης κεφαλαιακής διάρθρωσης μιας επιχείρησης. Με τον όρο «άριστη κεφαλαιακή διάρθρωση» εννοούμε την πιθανή ύπαρξη ενός συνδυασμού μακροπρόθεσμων πηγών χρηματοδότησης μιας εταιρείας (για παράδειγμα, μακροπρόθεσμα δάνεια, κοινές μετοχές, προνομιούχες μετοχές) ο οποίος μεγιστοποιεί την τιμή της κοινής μετοχής της εταιρείας ή εναλλακτικά ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος κεφαλαίου της. Αξίζει, πάντως, να σημειωθεί ότι η ύπαρξη μιας άριστης κεφαλαιακής διάρθρωσης είναι αμφιλεγόμενη. Η διάρθρωση αυτή αποτελεί συνήθως ένα μακροπρόθεσμο στόχο για την κάθε επιχείρηση, καθώς είναι εξαιρετικά δύσκολο να μην μεταβάλλεται η κεφαλαιακή σύνθεση μιας επιχείρησης βραχυπρόθεσμα. Επιπλέον, η άριστη κεφαλαιακή διάρθρωση επηρεάζει τις τρέχουσες αλλά και τις μελλοντικές δραστηριότητες μιας επιχείρησης, καθώς δείχνει τον τρόπο με τον οποίο θα χρηματοδοτηθούν τα διάφορα μελλοντικά επενδυτικά της προγράμματα. Η διάρθρωση αυτή επηρεάζει και τις επενδυτικές αποφάσεις μιας εταιρείας, καθώς καθορίζει την ελάχιστη απόδοση την οποία θα απαιτεί να έχει από τα επενδυτικά της προγράμματα για να τα αποδεχτεί. Η πολιτική μερίσματος (dividend policy decision) αναφέρεται στην απόφαση της επιχείρησης να διανείμει τα κέρδη της ως μέρισμα ή να τα παρακρατήσει και να τα επενδύσει σε διάφορα επενδυτικά προγράμματα. Με άλλα λόγια, η πολιτική μερίσματος καθορίζει τον βαθμό της εσωτερικής χρηματοδότησης μιας επιχείρησης. Η μερισματική πολιτική είναι ιδιαίτερα σημαντική διότι είναι πιθανό να επιδρά στη χρηματιστηριακή τιμή της μετοχής της εταιρείας και επομένως στην τρέχουσα χρηματιστηριακή αξία της εταιρείας. Επιπλέον, η μερισματική πολιτική συνδέεται με την άριστη κεφαλαιακή διάρθρωση, καθώς η τελευταία καθορίζει την ποσότητα ιδίων κεφαλαίων (δηλαδή το ποσοστό των παρακρατημένων κερδών) τα οποία θα χρειαστεί η επιχείρηση για να χρηματοδοτήσει τα επενδυτικά της προγράμματα.

6 4 Ο οικονομικός διευθυντής μιας επιχείρησης προσπαθεί να επιλύσει και τις τρεις βασικές κατηγορίες αποφάσεων που αναφέρθηκαν ανωτέρω. Όπως έχει ήδη γίνει φανερό, οι τρεις αυτές αποφάσεις αλληλοεπηρεάζονται και καθορίζουν από κοινού την τρέχουσα αξία μιας εταιρείας. Κατά συνέπεια, οι διοικήσεις των επιχειρήσεων θα πρέπει να προσπαθούν να βρουν έναν άριστο συνδυασμό των αποφάσεων αυτών, έτσι ώστε να πετύχουν τον αντικειμενικό τους σκοπό, που είναι η μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων τους (δηλαδή η μεγιστοποίηση της τρέχουσας χρηματιστηριακής αξίας της εταιρείας). ΣΥΝΟΨΗ Ο αντικειμενικός σκοπός μιας επιχείρησης είναι η μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων της. Εάν υποθέσουμε ότι η εταιρεία αυτή έχει μετοχές εισηγμένες στο χρηματιστήριο, τότε η μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων της πραγματοποιείται μέσω της μεγιστοποίησης της χρηματιστηριακής αξίας της τιμής της μετοχής της. Η χρηματοοικονομική διοίκηση ασχολείται με τρεις βασικές κατηγορίες αποφάσεων τις οποίες θα πρέπει να πάρει μια επιχείρηση: την απόφαση επένδυσης, την απόφαση χρηματοδότησης και την απόφαση που σχετίζεται με το μέρισμα που θα διανείμει. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΛΛΗΝΟΓΛΩΣΣΗ Βασιλείου Δ., (1999), Χρηματοοικονομική Διοίκηση, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, Πάτρα. ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΗ Bodie Z., R. Merton and D. Cleeton, (2007), Financial Economics, 2 nd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Brealey R. A., S. C. Myers and F. Allen, (2006), Corporate Finance, 8 th edition, McGraw-Hill, New York.

7 5 Brigham E. F. and M. C. Ehrhardt, (2005), Financial Management: Theory and Practice, 11 th edition, Thomson South Western, Ohio. Emery D. R., J. D. Finnerty and J. D. Stowe, (2007), Corporate Financial Management, 3 rd edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Gitman L. J., (2005), Principles of Managerial Finance, 11 th edition, Addison Wesley, New York. Keown A. J., J. D. Martin, J. W. Petty and D. F. Scott Jr., (2004), Financial Management: Principles and Applications, 10 th edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Ross S. A., R. W. Westerfield, J. F. Jaffe and B. D. Jordan, (2006), Corporate Finance, 8 th edition, McGraw-Hill/Irwin, Boston. Van Horne J., (2002), Financial Management and Policy, Prentice - Hall, 12 th edition, Upper Saddle River, New Jersey. Vasiliou D., (2005a), Corporate Finance, Hellenic Open University, Patras.

8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε κατανοήσει ότι το χρήμα έχει διαχρονική αξία. Αυτό γίνεται αντιληπτό εάν σκεφθείτε ότι ένα ευρώ που δίνετε σήμερα αξίζει περισσότερο από ένα ευρώ το οποίο θα λάβετε σ έναν χρόνο από σήμερα. Η ιδέα αυτή είναι συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος 1. Γενικά, πάντως, για να συγκρίνετε δύο ή περισσότερα επενδυτικά σχέδια, θα πρέπει να συγκρίνετε τις εισπράξεις και τις πληρωμές των σχεδίων αυτών, οι οποίες όμως μπορεί να πραγματοποιούνται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να «μεταφέρετε» τις εισπράξεις και τις πληρωμές τους σε μια ενιαία χρονική στιγμή, έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμες. Η ενέργεια αυτή μπορεί να γίνει μόνο με την χρησιμοποίηση των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών. Το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τρεις ενότητες. Στη πρώτη ενότητα αναλύεται ο απλός τόκος. Στη δεύτερη ενότητα εξετάζεται ο σύνθετος τόκος και ειδικότερα η τελική αξία και η παρούσα αξία. Στην τρίτη ενότητα παρουσιάζονται οι σειρές πληρωμών (ράντες), καθώς επίσης και ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε την σταθερή πληρωμή και το επιτόκιο ανατοκισμού μιας σειράς πληρωμών (ράντας). 2.1 Απλός τόκος Το ποσό χρημάτων που δανείζεται κάποιος κατά την σύναψη ενός δανείου ονομάζεται αρχικό κεφάλαιο (principal). Το ποσό που λαμβάνει ο δανειζόμενος ονομάζεται παρούσα αξία (present value) του δανείου. Στον απλό τόκο το αρχικό κεφάλαιο είναι ίσο με τη παρούσα αξία του δανείου. Ο χρόνος (time or term) του δανείου είναι η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ο δανειζόμενος έχει τη χρήση όλου ή μέρους του δανειζόμενου ποσού. Στα δάνεια απλού τόκου, ο τόκος (interest) υπολογίζεται καθ ολοκληρίαν επί του αρχικού κεφαλαίου. Στα δάνεια 1 Το κόστος ευκαιρίας του χρήματος (opportunity cost of money) είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής επένδυσης η οποία είναι διαθέσιμη. Με άλλα λόγια, είναι η υψηλότερη απόδοση την οποία μπορεί να επιτύχει ένας επενδυτής εάν δεν επενδύσει τα χρήματά του σ ένα συγκεκριμένο πρόγραμμα.

9 7 ανατοκιζόμενου τόκου, ο τόκος βασίζεται στο αρχικό κεφάλαιο, το οποίο όμως αυξάνεται κάθε φορά που παράγεται ο τόκος. Η τιμή ενός δανείου απλού τόκου εκφράζεται ως ένα επιτόκιο (rate of interest) και είναι ένα σταθερό κλάσμα του κεφαλαίου το οποίο πρέπει να πληρωθεί για τη χρήση του δανείου. Το απλό επιτόκιο παρουσιάζεται συνήθως ως ένα ποσοστό ανά μονάδα χρόνου (για παράδειγμα, 10% το χρόνο). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε ονομάζεται κεφαλαιοποίηση. Απλός τόκος (simple interest) ή απλή κεφαλαιοποίηση ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος που παράγεται ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο μια φορά, στο τέλος του χρονικού διαστήματος κατά το οποίο το κεφάλαιο αυτό είναι παραγωγικό. Ο απλός τόκος δίνεται από τη σχέση: I = P r t (2.1) όπου I = ο απλός τόκος, P = το αρχικό κεφάλαιο, r = το επιτόκιο και t = ο χρόνος. Παράδειγμα 2.1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 έτη. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 2=) ευρώ. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί ο προηγούμενος τύπος. Στη περίπτωση αυτή η παραπάνω σχέση γίνεται: I = P r (m/12) (2.2) όπου το m συμβολίζει τον αριθμό των μηνών κατά τους οποίους είναι εκτοκισμένο το κεφάλαιο. Παράδειγμα 2.2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 8/12=) ευρώ.

10 8 Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε ημέρες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί ο προηγούμενος τύπος. Στη περίπτωση αυτή η παραπάνω σχέση γίνεται: I = P r (d/360) ή I = P r (d/365) (2.3) όπου το d συμβολίζει τον αριθμό των ημερών κατά τις οποίες είναι εκτοκισμένο το κεφάλαιο. Όταν ο τόκος έχει υπολογιστεί με διαιρέτη το 360, τότε ονομάζεται συνηθισμένος τόκος (ordinary interest). Στη περίπτωση αυτή, λέμε ότι χρησιμοποιούμε το εμπορικό έτος, το οποίο αποτελείται από 12 μήνες που έχουν 30 ημέρες ο καθένας. Όταν ο τόκος έχει υπολογιστεί με διαιρέτη το 365 (ή το 366 για δίσεκτο χρόνο), τότε ονομάζεται ακριβής τόκος (exact interest). Στη περίπτωση αυτή, λέμε ότι χρησιμοποιούμε το πολιτικό έτος. Η χρησιμοποίηση του 360 ως διαιρέτη οδηγεί στον υπολογισμό μεγαλύτερου τόκου και γι αυτό το εμπορικό έτος είναι ιδιαίτερα δημοφιλές μεταξύ των δανειστών. Παράδειγμα 2.3 Να βρεθεί ο συνηθισμένος και ο ακριβής τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 60 ημέρες. Απάντηση: Ο συνηθισμένος τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/360=) ευρώ. Ο ακριβής τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/365=) 1.972,6 ευρώ. Για να εφαρμόσουμε τους τύπους που αναφέρονται στο εμπορικό ή στο πολιτικό έτος, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις τοκοφόρες ημέρες ενός δανείου, δηλαδή τον αριθμό των ημερών για τις οποίες υπολογίζεται τόκος. Υπάρχουν δύο τρόποι για να υπολογίσει κανείς τον αριθμό των ημερών που μεσολαβούν μεταξύ δύο ημερομηνιών ενός δανείου. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι η ακριβής μέθοδος (exact), η οποία περιλαμβάνει όλες τις ημέρες εκτός από την πρώτη. Η δεύτερη μέθοδος είναι η προσεγγιστική μέθοδος (approximate), η οποία βασίζεται στην υπόθεση ότι όλοι οι μήνες περιλαμβάνουν 30 ημέρες. Στον αριθμό αυτό προστίθεται ο ακριβής αριθμός των ημερών που εναπομένουν μέσα στον μήνα, μέχρι να λήξει το δάνειο.

11 9 Παράδειγμα 2.4 Να βρεθεί ο ακριβής και ο κατά προσέγγιση χρόνο ο οποίος μεσολαβεί μεταξύ της 5ης Ιανουαρίου και της 25ης Φεβρουαρίου. Απάντηση: Ο ακριβής χρόνος είναι 51 ημέρες. Ο αριθμός αυτός βρίσκεται εάν προσθέσουμε στις 26 ημέρες που εναπομένουν μέχρι το τέλος του Ιανουαρίου, τις 25 ημέρες του Φεβρουαρίου. Ο προσεγγιστικός χρόνος είναι 50 ημέρες. Ο αριθμός αυτός βρίσκεται ως εξής. Υπολογίζουμε πρώτα τους μήνες που μεσολαβούν μεταξύ 5 Ιανουαρίου και 5 Φεβρουαρίου. Στη περίπτωση αυτή, μεσολαβεί ένας μήνας που αντιστοιχεί σε 30 ημέρες. Στη συνέχεια προσθέτουμε στις 30 ημέρες που βρήκαμε τις 20 ημέρες που μεσολαβούν μεταξύ 5 Φεβρουαρίου και 25 Φεβρουαρίου. Το σύνολο μας κάνει 50 ημέρες. Από τη προηγούμενη ανάλυση γίνεται φανερό ότι έχουμε ακριβή και συνηθισμένο τόκο, καθώς επίσης και ακριβή και κατά προσέγγιση χρόνο. Κατά συνέπεια, υπάρχουν τέσσερις τρόποι για να υπολογίσει κανείς τον απλό τόκο ενός δανείου. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος όμως είναι η χρησιμοποίηση συνηθισμένου τόκου και ακριβούς χρόνου. Η συνηθισμένη αυτή εμπορική πρακτική ονομάζεται κανόνας των τραπεζιτών ή μεικτός κανόνας (bankers rule). Οι υπολογισμοί των τόκων βραχυχρόνιων οικονομικών πράξεων όπου ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες και το επιτόκιο παραμένει σταθερό μπορούν να γίνουν ευκολότερα με τη χρήση τοκαρίθμων. Η προηγούμενη σχέση η οποία μας δίνει τον απλό τόκο μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: d P d N I = P r I = = D r ( 2.4) όπου N είναι το γινόμενο του αρχικού κεφαλαίου (P) επί του αριθμού των ημερών (d) που διαρκεί το δάνειο και ονομάζεται τοκάριθμος, δηλαδή N=P d. Το D, το οποίο ισούται με 360/r (ή 365/r), ονομάζεται σταθερός διαιρέτης.

12 10 Παράδειγμα 2.5 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 45 ημέρες. Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του τοκαρίθμου. Απάντηση: Ο τοκάριθμος ισούται με N = ( =) και ο σταθερός διαιρέτης ισούται με D = (360/0,12=) Κατά συνέπεια, ο τόκος ισούται με I = ( /3.000 =) ευρώ. Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία (amount) του κεφαλαίου, συμβολίζεται με S και δίνεται από τη σχέση: S = P + I S = P + (P r t) (2.5) S = P [1 + (r t)] Παράδειγμα 2.6 Δανείζεται κάποιος ευρώ για 6 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 15%. Ποια είναι η τελική αξία την οποία θα πρέπει να καταβάλει σε 6 μήνες; Απάντηση: Το συνολικό ποσό που θα πρέπει να πληρώσει σε 6 μήνες είναι S = { [1+(0,15 6/12)]=} ευρώ. Εάν είναι γνωστή η τελική αξία ενός δανείου και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό κεφάλαιο (παρούσα αξία), μπορούμε να λύσουμε την προηγούμενη σχέση ως προς P. P = S 1 + ( r t) ( 2.6) Παράδειγμα 2.7 Ποια είναι η παρούσα αξία ενός κεφαλαίου ύψους ευρώ το οποίο θα σας δοθεί σε 1 έτος από σήμερα, εάν είναι γνωστό ότι το κόστος του χρήματος είναι 8%;

13 11 Απάντηση: Η παρούσα αξία είναι P = { /[1+(0,08 1)]=} ευρώ. Κατά συνέπεια, ευρώ επενδυμένες σήμερα με ετήσιο επιτόκιο 8% θα παράγουν τελική αξία ευρώ σε 1 έτος. 2.2 Ανατοκισμός Ανατοκισμός ή σύνθετος τόκος ή σύνθετη κεφαλαιοποίηση (compound interest) ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος ο οποίος παράγεται κάθε περίοδο (δηλαδή ο δεδουλευμένος τόκος) προστίθεται στο κεφάλαιο (κεφαλαιοποιείται) και το άθροισμά τους αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες περιόδους. Άρα, στη σύνθετη κεφαλαιοποίηση δημιουργείται τόκος από την επένδυση του τόκου. Στην απλή κεφαλαιοποίηση ο τόκος και το αρχικό κεφάλαιο παραμένουν αμετάβλητα, ενώ στη σύνθετη κεφαλαιοποίηση ο τόκος και το εκτοκιζόμενο κεφάλαιο αυξάνουν κάθε περίοδο. Ένα κεφάλαιο μπορεί να ανατοκίζεται μια ή και περισσότερες φορές το χρόνο. Άρα, η περίοδος του ανατοκισμού ενός κεφαλαίου μπορεί να είναι το έτος, το εξάμηνο, ο μήνας κλπ. Στη περίπτωση αυτή, ονομάζεται ότι έχουμε ανατοκισμό κάθε έτος, κάθε εξάμηνο, κάθε μήνα κλπ Τελική αξία Τελική αξία ή μελλοντική αξία (terminal value or future value) είναι η αξία που θα έχει στο μέλλον ένα χρηματικό ποσό το οποίο επενδύεται σήμερα. Ανάλογα με το πόσες φορές ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται μέσα σ ένα χρόνο, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις. Ετήσιος ανατοκισμός (annual compounding). Στο τέλος n ετών η τελική αξία (TV) μιας αρχικής κατάθεσης (X 0 ) η οποία ανατοκίζεται μια φορά το χρόνο με επιτόκιο r ισούται με: n ( ) ( ) TV = X 0 1+ r 2.7 n όπου TV n = η τελική αξία που θα έχει η επένδυση στο τέλος του n έτους, X 0 = το αρχικό κεφάλαιο το οποίο επενδύθηκε στην αρχή του πρώτου έτους, n = ο αριθμός των ετών κατά την διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός, και r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού (compound interest rate).

14 12 Το διώνυμο [(1+r) n ] λέγεταο συντελεστής ανατοκισμού (compound factor) ή συντελεστής τελικής αξίας και δίνει τη τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας η οποία ανατοκίζεται με επιτόκιο r για n περιόδους. Ο συντελεστής ανατοκισμού μπορεί να βρεθεί και από ειδικούς πίνακες 2, οι οποίοι δίνουν τη τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας που ανατοκίζεται με διάφορα επιτόκια και για διάφορες περιόδους. Οι πίνακες αναγράφουν συνήθως στην πρώτη γραμμή τα διάφορα επιτόκια ανατοκισμού (π.χ. 1%, 2%, 3% κλπ.) και στην πρώτη στήλη τις διάφορες χρονικές περιόδους. Στη διασταύρωση της κάθε στήλης με την κάθε γραμμή υπάρχει ο συντελεστής που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο επιτόκιο της στήλης και στη συγκεκριμένη χρονική περίοδο της γραμμής. Για παράδειγμα, ο συντελεστής ανατοκισμού που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 10% και 5 έτη και αναγράφεται στον πίνακα είναι το 1,6105. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσουμε την τελική αξία μιας αρχικής επένδυσης, χρειάζεται μόνο να καθορίσουμε τον συντελεστή ανατοκισμού από τον σχετικό πίνακα και να πολλαπλασιάσουμε τον συντελεστή αυτό με την αρχική επένδυση. Από το διώνυμο [(1+r) n ], αλλά και από τον σχετικό πίνακα, γίνεται φανερό ότι, όταν αυξάνει το r ή το n, ο συντελεστής ανατοκισμού δεν αυξάνει αναλογικά, αλλά αυξάνει κατά γεωμετρική πρόοδο. Άσκηση 2.1 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του 3ου έτους; Ανατοκισμός με μεγαλύτερη από την ετήσια συχνότητα. Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης βρίσκεται από τον τύπο: TV n nm 1 r = X m ( ) 2 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 1) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

15 13 όπου TV n = η τελική αξία που θα έχει η επένδυση στο τέλος του n έτους, X 0 = το αρχικό κεφάλαιο το οποίο επενδύθηκε στην αρχή του πρώτου έτους, n = ο αριθμός των ετών κατά την διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός, r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού, και m = οι περίοδοι κατά τις οποίες το κεφάλαιο ανατοκίζεται εντός ενός έτους. Στην περίπτωση που έχουμε ανατοκισμό σε περισότερες περιόδους από μια τον χρόνο, ο συντελεστής ανατοκισμού μπορεί να βρεθεί από τους πίνακες ως εξής. Βρίσκουμε το επιτόκιο που αντιστοιχεί στην κάθε περίοδο διαιρώντας το ετήσιο επιτόκιο (r) με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά την διάρκεια ενός έτους. Βρίσκουμε τον αριθμό των περιόδων, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ετών (n) κατά τη διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους. Στη συνέχεια, βρίσκουμε από τον πίνακα τον συντελεστή που αντιστοιχεί στο επιτόκιο της περιόδου και στον αριθμό των περιόδων που υπολογίσαμε προηγουμένως. Παράδειγμα 2.8 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται δύο φορές το έτος (δηλαδή κάθε 6 μήνες) με ετήσιο επιτόκιο 10%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους; Απάντηση: Ο συντελεστής ανατοκισμού ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 1,6289. Άρα, η ζητούμενη τελική αξία είναι TV 3 = ( ,6289=) ευρώ. Άσκηση 2.2 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται τέσσερις φορές το έτος (δηλαδή κάθε 3 μήνες) με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του τρίτου έτους; Συνεχής ανατοκισμός (continuous compounding). Στην περίπτωση του συνεχούς ανατοκισμού, η αξία του m τείνει στο άπειρο. Καθώς συμβαίνει αυτό, η αξία του [1+(r/m)] nm προσεγγίζει το e rn, όπου το e είναι η βάση των νεπέρειων ή φυσικών λο-

16 14 γαρίθμων (napierian or natural logarithms) και επομένως προσεγγίζει το 2,71828, δηλαδή m 1 e = lim m m ( ) Επομένως, η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης (X 0 ), η οποία ανατοκίζεται συνεχώς με επιτόκιο (r) για (n) χρόνια καθορίζεται από τη σχέση: TVn ( ) rn = X 0e 2.10 όπου e 2, Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι, αν και ο συνεχής ανατοκισμός φαίνεται αρκετά περίπλοκος, χρησιμοποιείται συχνά στα χρηματοοικονομικά, διότι επιτρέπει να παράγεται τόκος από τόκο πιο συχνά από οποιαδήποτε άλλη περίοδο ανατοκισμού. Άσκηση 2.3 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται συνεχώς με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του τρίτου έτους; Παρούσα αξία Παρούσα αξία ή προεξοφλημένη αξία ή ανηγμένη αξία (present value or discount value) είναι η αξία που έχει σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό που θα δοθεί σε μια ορισμένη ημερομηνία στο μέλλον 3. Ο προσδιορισμός της παρούσας αξίας ενός κεφαλαίου είναι το αντίστροφο του ανατοκισμού. Στον ανατοκισμό μετακινούμε ένα ποσό από το παρόν στο μέλλον. Γνωρίζουμε την αξία ενός ποσού σε κάποιο χρονικό σημείο και προσπαθούμε να καθορίσουμε το πόσο αυτό θα αυξηθεί μετά την πάροδο 3 Η παρούσα αξία μπορεί να καθοριστεί και ως το αρχικό κεφάλαιο το οποίο θα έχει τελική αξία ένα συγκεκριμένο ποσό σε μια ορισμένη μελλοντική ημερομηνία.

17 15 ορισμένου χρόνου εάν ανατοκίζεται με ένα συγκεκριμένο επιτόκιο. Στη παρούσα αξία, μεταφέρουμε ένα μελλοντικό ποσό στο παρόν, δηλαδή προσπαθούμε να καθορίσουμε την σημερινή αξία ενός ποσού του οποίου γνωρίζουμε την μελλοντική αξία. Ενώ στον ανατοκισμό λέγαμε για το επιτόκιο ανατοκισμού και το αρχικό κεφάλαιο, στον καθορισμό της παρούσας αξίας μιλάμε για το προεξοφλητικό επιτόκιο (ή το κόστος ευκαιρίας του χρήματος) και την παρούσα αξία ενός μελλοντικού κεφαλαίου. Κατά τα άλλα, η τεχνική και η ορολογία παραμένουν ίδιες. Μόνο η μαθηματική σχέση αντιστρέφεται, καθώς λύνουμε ως προς X 0. Όπως στον ανατοκισμό, έτσι και στη παρούσα αξία, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ανάλογα με το πόσες φορές ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται μέσα σ ένα έτος. Ετήσιος ανατοκισμός. Η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου X n το οποίο θα πάρουμε μετά από n χρόνια προεξοφλημένο με επιτόκιο k ισούται με 1 PV = X n ή PV X n = n + k ( 1+ k ) n ( 1 ) ( 2.11) όπου PV = η παρούσα αξία που θα έχει μια μελλοντική πληρωμή, X n = η αξία που θα έχει μια πληρωμή μετά από n χρόνια, n = ο αριθμός των ετών που θα μεσολαβήσουν μέχρι να γίνει η πληρωμή, και k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης ή αναγωγής ή κεφαλαιοποίησης (discount rate or capitalization rate). Το [1/(1+k) n ] ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής σε παρούσα αξία (discount factor) και δίνει την παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας που λαμβάνεται μετά από n έτη και προεξοφλείται με επιτόκιο k. Ο συντελεστής προεξόφλησης μπορεί να βρεθεί και από ειδικούς πίνακες 4 οι οποίοι δίνουν τη παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας η οποία προεξοφλείται με διάφορα επιτόκια και για διάφορες περιόδους. Οι πίνακες αναγράφουν συνήθως στη πρώτη γραμμή τα προεξοφλητικά επιτόκια (για παράδειγμα, 1%, 2%, 3% κλπ.) και στη πρώτη στήλη τις χρονικές περιόδους. Γιά παράδειγμα, ο συντελεστής προεξόφλησης που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 10% και 5 έτη και αναγράφεται στον πίνακα είναι το 0,6209. Ο συντελεστής αυτός είναι αντίστροφος του συντελεστή ανατοκισμού 4 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 2) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

18 16 [0,6209=(1/1,6105)]. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσουμε την παρούσα αξία μιας επένδυσης, χρειάζεται μόνο να καθορίσουμε τον συντελεστή προεξόφλησης από τον σχετικό πίνακα και να πολλαπλασιάσουμε τον συντελεστή αυτό με τη μελλοντική αξία της επένδυσης. Από το [1/(1+k) n ], αλλά και από τον σχετικό πίνακα, γίνεται φανερό ότι, όταν αυξάνει το k ή το n, ο συντελεστής προεξόφλησης μειώνεται και επομένως μειώνεται και η παρούσα αξία. Άσκηση 2.4 Ποια είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε 5 έτη από σήμερα, εάν το κόστος του χρήματος είναι 8% και ο ανατοκισμός γίνεται μια φορά τον χρόνο; Ανατοκισμός με περισσότερες περιόδους τον χρόνο. Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου X n το οποίο θα πάρουμε μετά από n έτη προεξοφλούμενο με επιτόκιο k ισούται με 1 PV = X n nm k 1+ m ( 2.12) όπου PV = η παρούσα αξία που θα έχει μια μελλοντική πληρωμή, X n = η αξία που θα έχει μια πληρωμή μετά από n έτη, n = ο αριθμός των ετών που θα μεσολαβήσουν μέχρι να γίνει η πληρωμή, k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης, και m = οι περίοδοι ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους. Και στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής προεξόφλησης μπορεί να βρεθεί από τους πίνακες ως εξής. Διαιρούμε το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο (k) με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά την διάρκεια ενός έτους και πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των ετών (n) κατά τη διάρκεια των οποίων γίνεται η προεξόφληση, με τις περιόδους (m) ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους.

19 17 Παράδειγμα 2.9 Ποιο είναι το ποσό που θα πρέπει να επενδύσει κανείς σήμερα σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 10% ανατοκιζόμενο 2 φορές τον χρόνο, έτσι ώστε να συγκεντρωθεί σε 5 χρόνια ευρώ; Απάντηση: Ο συντελεστής προεξόφλησης ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 0,6139. Άρα, η ζητούμενη παρούσα αξία είναι PV = ( ,6139=) ευρώ. Άσκηση 2.5 Ποιο είναι το ποσό που θα πρέπει να επενδύσει κανείς σήμερα σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% ανατοκιζόμενο τέσσερις φορές τον χρόνο, έτσι ώστε να συγκεντρωθεί σε πέντε έτη ευρώ; Συνεχής ανατοκισμός. Στην περίπτωση του συνεχούς ανατοκισμού, η αξία του m προσεγγίζει το άπειρο. Καθώς συμβαίνει αυτό, η αξία του {1/[1+(k/m)] nm } προσεγγίζει το (1/e kn ), όπου το e είναι η βάση των νεπέρειων ή φυσικών λογαρίθμων και επομένως προσεγγίζει το 2, Επομένως, η παρούσα αξία κεφαλαίου X n το οποίο θα πάρουμε μετά από n έτη προεξοφλούμενο με επιτόκιο k καθορίζεται από τη σχέση: 1 PV = X n e kn ( 2.13) όπου e 2,71828 Άσκηση 2.6 Ποια είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε πέντε έτη από σήμερα, εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 8% και υπάρχει συνεχής ανατοκισμός;

20 Εύρεση του επιτοκίου ανατοκισμού Για να βρούμε το επιτόκιο ανατοκισμού όταν γνωρίζουμε την παρούσα (ή την τελική) αξία ενός κεφαλαίου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους πίνακες ή τους αντίστοιχους τύπους. Παράδειγμα 2.10 Ένας επενδυτής δανείζεται σήμερα από μια τράπεζα ευρώ και συμφωνεί να αποπληρώσει ολόκληρο το δάνειο πληρώνοντας ευρώ στο τέλος του όγδοου έτους. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο δανείζει η τράπεζα τον επενδυτή; Απάντηση: Το επιτόκιο αυτό βρίσκεται με πολύ απλό τρόπο εάν χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα παρούσας αξίας ή τον πίνακα τελικής αξίας, καθώς τα στοιχεία του ενός πίνακα είναι αντίστροφα των στοιχείων του άλλου. (α) περίπτωση: πίνακας παρούσας αξίας. Δίνεται ότι η παρούσα αξία είναι PV= και ότι στο όγδοο έτος θα πληρωθεί X 8 = Από το τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία μιας μελλοντικής πληρωμής έχουμε ότι: PV = X 8 (Συντελεστής Παρούσας Αξίας) = (ΣΠΑ) ΣΠΑ = ( / ) ΣΠΑ = 0,6274. Στον πίνακα παρούσας αξίας μιας μελλοντικής πληρωμής, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στην όγδοη περίοδο (εδώ όγδοο έτος), βρίσκουμε την τιμή 0,6274. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 6%. (β) περίπτωση: πίνακας τελικής αξίας. Δίνεται ότι η τελική αξία είναι TV 8 = και ότι το αρχικό κεφάλαιο είναι X 0 = Από τον τύπο που μας δίνει την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου έχουμε ότι: TV 8 = X 0 (Συντελεστής Τελικής Αξίας) = (ΣΤΑ) ΣΤΑ = ( / ) ΣΤΑ = 1,5940. Στον πίνακα τελικής αξίας ενός αρχικού κεφαλαίου, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στην όγδοη περίοδο (εδώ όγδοο έτος), βρίσκουμε την τιμή 1,5940. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 6%. Στο ίδιο αποτέλεσμα

21 19 μπορούμε να καταλήξουμε και εάν επιλύσουμε ως προς το επιτόκιο, τους τύπους που μας δίνουν την παρούσα αξία μιας μελλοντικής πληρωμής ή την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου. 2.3 Σειρές πληρωμών (ράντες) Γενικά περί σειρών πληρωμών (ραντών) Σειρά πληρωμών ή ράντα 5 ή χρηματική ροή (annuity) είναι ένας αριθμός περιοδικών πληρωμών (ή εισπράξεων) που καταβάλλονται μέσα σ ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το ποσό που καταβάλλεται με κάθε πληρωμή ονομάζεται όρος της σειράς πληρωμών (periodic rent). Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών πληρωμών ονομάζεται περίοδος της σειράς πληρωμών (payment interval or rent period). Εάν όλοι οι όροι μιας σειράς πληρωμών είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται σταθερή ή ομοιόμορφη. Εάν όλοι οι όροι μιας σειράς πληρωμών δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται μεταβλητή 6. Τέλος, εάν όλοι οι όροι της σειράς πληρωμών είναι ίσοι με τη μονάδα, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται μοναδιαία. Η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου ονομάζεται ληξιπρόθεσμη σειρά πληρωμών (ordinary annuity), ενώ η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου ονομάζεται προκαταβλητέα σειρά πληρωμών (annuity due). Οι περισσότερες σειρές πληρωμών που θα συναντήσουμε στα χρηματοοικονομικά είναι σταθερές και ληξιπρόθεσμες. Γι αυτό τον λόγο, στη συνέχεια του βιβλίου, όταν αναφερόμαστε σε σειρές πληρωμών θα εννοούμε σταθερές και ληξιπρόθεσμες σειρές πληρωμών. Τελική αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα των αξιών όλων των περιοδικών πληρωμών και ο ανατοκιζόμενος τόκος των πληρωμών αυτών που έχει συγκεντρωθεί στο τέλος της σειράς και δίνεται από τη σχέση: ( r) n 1 1 n t + 1 TVn = A ( 1+ r) = A 2.14 t= 0 r ( ) 5 Ο όρος ράντα προέρχεται από την αγγλική λέξη «rent» που σημαίνει «ενοίκιο». 6 Οι όροι στις μεταβλητές σειρές πληρωμών μπορεί να μεταβάλονται κατά αριθμητική πρόοδο, γεωμετρική πρόοδο, ανά ορισμένες περιόδους κλπ.

22 20 όπου TV = η τελική ή μελλοντική αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών (ράντας) στο τέλος του n χρόνου, A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της σειράς πληρωμών, r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού, και n = ο αριθμός των περιόδων της σειράς πληρωμών (ράντας). Ο όρος στη παρένθεση ονομάζεται συντελεστής τελικής αξίας της σειράς πληρωμών (compound value interest factor for annuity) και δίνει την τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας που καταβάλλεται κάθε περίοδο για n περιόδους ανατοκιζόμενη με ετήσιο επιτόκιο r ανά περίοδο. Η αξία του όρου της παρένθεσης μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση ενός υπολογιστή τσέπης (scientific calculator) ή να βρεθεί από τους αντίστοιχους πίνακες 7. Άσκηση 2.7 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. Εάν η πληρωμή και ο ανατοκισμός γίνεται περισότερες από μια φορές το χρόνο (για παράδειγμα, κάθε εξάμηνο), τότε αντί για το ετήσιο επιτόκιο θα υπολογίσουμε το επιτόκιο που αντιστοιχεί σε κάθε περίοδο (για παράδειγμα, εξαμηνιαίο επιτόκιο) και αντί για έτη θα λάβουμε υπόψη μας τις αντίστοιχες περιόδους (για παράδειγμα, εξάμηνα). Κατά τα άλλα, θα χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους τύπους ή πίνακες. Άσκηση 2.8 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στο τέλος κάθε εξαμήνου σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. 7 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 3) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

23 21 Παρούσα αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα των παρουσών αξιών όλων των πληρωμών της σειράς και δίνεται από τη σχέση: 1 1 n 1 + PV = A A t = t= 1 ( 1+ k ) k ( 1 k ) n ( 2.15) όπου PV = η παρούσα αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών (ράντας), A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της σειράς πληρωμών, k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης, και n = ο αριθμός των περιόδων που διαρκεί η σειρά πληρωμών. Ο όρος στη παρένθεση ονομάζεται συντελεστής παρούσας αξίας της σειράς πληρωμών (present value interest factor for annuity) και δίνει την παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας που καταβάλλεται κάθε περίοδο για n περιόδους προεξοφλημένη με ετήσιο επιτόκιο r ανά περίοδο. Η αξία του όρου της παρένθεσης μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση ενός υπολογιστή τσέπης (calculator) ή να βρεθεί από τους αντίστοιχους πίνακες 8. Άσκηση 2.9 Να βρεθεί το ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέσει σήμερα ένας επενδυτής σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως, για να έχει το δικαίωμα να αποσύρει ευρώ στο τέλος κάθε έτους και επί πέντε έτη. Διηνεκής σειρά πληρωμών (perpetuity) είναι μια σειρά πληρωμών της οποίας οι πληρωμές θα καταβάλλονται επ άπειρον. Ενώ είναι αδύνατο να βρεθεί η τελική αξία μιας διηνεκούς σειράς πληρωμών, η παρούσα αξίας της δίνεται από τη σχέση: A PV = k ( 2.16)

24 22 όπου PV = η παρούσα αξία της διηνεκούς σειράς πληρωμών, A = η περιοδική πληρωμή της διηνεκούς σειράς πληρωμών, και k = το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο. Παράδειγμα 2.11 Ένα φιλανθρωπικό ίδρυμα θέλει να χορηγεί επ άπειρον μια υποτροφία ευρώ στο τέλος κάθε έτους. Εάν τα χρήματα μπορούν να επενδυθούν με ετήσιο επιτόκιο 5%, ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα το ίδρυμα για να χορηγείται στο διηνεκές η υποτροφία; Απάντηση: Η παρούσα αξία της διηνεκούς σειράς πληρωμών είναι ευρώ. PV = /0,05 = Ο τύπος που μας δίνει την παρούσα αξία μιας διηνεκούς σειράς πληρωμών μπορεί να μας βοηθήσει στον υπολογισμό της παρούσας αξίας μιας σειράς πληρωμών. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: μια σειρά πληρωμών (t) ετών μπορεί να υπολογιστεί και από τη διαφορά δύο διηνεκών σειρών πληρωμών, από τις οποίες η πρώτη να αρχίζει το χρόνο (1), ενώ η δεύτερη το χρόνο (t+1). Στην περίπτωση αυτή, η παρούσα αξία της πρώτης σειράς πληρωμών θα είναι PV = A/k στο έτος (0), ενώ η παρούσα αξία της δεύτερης σειράς πληρωμών θα είναι PV = A/k στο έτος (t). Οπότε η παρούσα αξία της δεύτερης σειράς πληρωμών στο έτος (0) θα είναι PV = A/[k (1+k) t ]. Άρα, η διαφορά των δύο σειρών πληρωμών θα είναι: 1 1 PV = A k k k ( 1+ ) t ( 2.17) Άσκηση 2.10 Ένα φιλανθρωπικό ίδρυμα θέλει να χορηγεί μια υποτροφία ύψους ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου και για είκοσι έτη. Εάν τα χρήματα μπορούν να επενδυθούν 8 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 4) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

25 23 με ετήσιο επιτόκιο 5%, ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα το ίδρυμα για να χορηγείται η υποτροφία για είκοσι έτη; Για να υπολογίσουμε την τελική αξία μιας σειράς πληρωμών, μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα την παρούσα αξία της και στη συνέχεια να τη μετακινήσουμε από το παρόν στο μέλλον πολλαπλασιάζοντας την παρούσα αυτή αξία με τον συντελεστή [(1+r) t ]. Άσκηση 2.11 Από το αποτέλεσμα της Άσκησης 2.9 να υπολογίσετε το ζητούμενο της Άσκησης Εύρεση του όρου μιας σειράς πληρωμών Για να βρούμε τον όρο μιας σειράς πληρωμών, το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς Α τους αντίστοιχους τύπους. Άσκηση 2.12 Να βρεθεί το ίσο ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέτει ένας επενδυτής στο τέλος καθενός από τα επόμενα έξι έτη σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως, για να εξοφλήσει στο τέλος του έκτου έτους ένα χρέος ευρώ. Άσκηση 2.13 Ένας επενδυτής έχει καταθέσει ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως. Ο επενδυτής αυτός θέλει να κάνει ισόποσες αναλήψεις στο τέλος κάθε έτους, έτσι ώστε μετά την έκτη ανάληψη το υπόλοιπο του λογαριασμού του να είναι μηδέν. Να βρεθεί το ποσό της κάθε ανάληψης. Άσκηση 2.14 Ένας επενδυτής έχει καταθέσει ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό, ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως. Ο επενδυτής αυτός θέλει να κάνει ισόποσες αναλήψεις στο τέλος κάθε έτους, έτσι ώστε μετά την

26 24 έκτη ανάληψη το υπόλοιπο του λογαριασμού του να είναι ευρώ. Να βρεθεί το ποσό της κάθε ανάληψης. Άσκηση 2.15 Μία τράπεζα χορηγεί σήμερα ένα δάνειο ύψους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 12% και εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Το δάνειο αυτό θα πρέπει να εξοφληθεί σε δέκα έτη με ισόποσες εξαμηνιαίες δόσεις. Να βρεθεί η εξαμηνιαία πληρωμή Εύρεση του επιτοκίου υπολογισμού μιας σειράς πληρωμών Για να βρούμε το επιτόκιο ανατοκισμού μιας σειράς πληρωμών όταν γνωρίζουμε την παρούσα (ή την τελική) αξία της σειράς πληρωμών, καθώς επίσης και τις περιοδικές της πληρωμές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους πίνακες. Το μόνο πρόβλημα είναι ότι οι πίνακες αυτοί δίνουν συντελεστές για ακέραιες τιμές επιτοκίων. Στην περίπτωση που τα επιτόκια δεν είναι ακέραια, μπορούμε να επιτύχουμε μια καλή προσέγγιση του ζητούμενου συντελεστή με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής (linear interpolation) 9. Παράδειγμα 2.12 Ένας επενδυτής δανείζεται σήμερα από μια τράπεζα ευρώ και συμφωνεί να αποπληρώσει το δάνειο σε τέσσερις ετήσιες ισόποσες δόσεις ύψους ευρώ η καθεμία, τις οποίες θα καταβάλει στο τέλος κάθε έτους. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο δανείζει η τράπεζα τον επενδυτή; Απάντηση: Το επιτόκιο αυτό βρίσκεται με πολύ απλό τρόπο όταν χρησιμοποιούμε τους πίνακες. Το παράδειγμα μας είναι μια σειρά πληρωμών με παρούσα αξία PV= , σταθερό όρο A= , και τέσσερις περιοδικές πληρωμές. Από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της σειράς πληρωμών έχουμε ότι: PV = A (Συντελεστής Παρούσας Αξίας Σειράς Πληρωμών) = (ΣΠΑΣΠ) ΣΠΑΣΠ = ( / ) ΣΠΑΣΠ = 3, Για περισσότερες πληροφορίες για τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής βλέπε την όγδοη ενότητα (υπολογισμός του εσωτερικού βαθμού απόδοσης) του κεφαλαίου «Προϋπολογισμός Επενδύσεων Κεφαλαίου» του παρόντος βιβλίου.

27 25 Στον πίνακα παρούσας αξίας σειράς πληρωμών, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στη τέταρτη πληρωμή (εδώ τέταρτο έτος), βρίσκουμε την τιμή 3,3120. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 8%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 8% Προκαταβλητέα σειρά πληρωμών Έχουμε ήδη αναφέρει ότι προκαταβλητέα σειρά πληρωμών (annuity due) ονομάζεται η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου. Επομένως, η μόνη διαφορά μεταξύ μιας προκαταβλητέας και μιας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών είναι ο αριθμός των τοκοφόρων περιόδων. Υπάρχει ένας ιδιαίτερα εύκολος τρόπος για να υπολογίσουμε την τελική αξία, καθώς επίσης και την παρούσα αξία μιας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής τελικής (ή παρούσας) αξίας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών ισούται με τον αντίστοιχο συντελεστή της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ανατοκισμένο για μια ακόμη χρονική περίοδο. Κατά τα άλλα, η διαδικασία είναι η ίδια με αυτήν που περιγράψαμε στην περίπτωση της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών. Εναλλακτικά, ο υπολογισμός της τελικής και της παρούσας αξίας μιας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών μπορεί να γίνει ως εξής: Τελική αξία: Η εύρεση της τελικής αξίας της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών βασίζεται στο γεγονός ότι έχει μια τοκοφόρο περίοδο περισσότερη από την αντίστοιχη ληξιπρόθεσμη σειρά πληρωμών. Κατά συνέπεια, προσθέτουμε μια μονάδα (1) στον αριθμό των πληρωμών της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών και βρίσκουμε τον αντίστοιχο συντελεστή τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών από τον σχετικό πίνακα ή τον σχετικό τύπο. Στη συνέχεια, αφαιρούμε μια (1) μονάδα από τον συντελεστή και τον πολλαπλασιάζουμε με τον σταθερό όρο. Δηλαδή ισχύει: ( r) n 1 1 n + t + 1 TVn = A ( 1+ r) 1 = A t= 0 r ( )

28 26 Παρούσα αξία: Η εύρεση της παρούσας αξίας της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών βασίζεται στο γεγονός ότι η πρώτη πληρωμή δεν μπορεί να προεξοφληθεί γιατί δεν υπάρχει χρονική περίοδος πριν από αυτή. Άρα, στην προκαταβλητέα σειρά πληρωμών υπάρχει μια λιγότερη προεξοφλητική περίοδος από τον αριθμό των περιοδικών πληρωμών. Κατά συνέπεια, αφαιρούμε μια μονάδα (1) από τον αριθμό των πληρωμών της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών και βρίσκουμε τον αντίστοιχο συντελεστή παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών από τον σχετικό πίνακα ή τον σχετικό τύπο. Στη συνέχεια, προσθέτουμε μια (1) μονάδα στον συντελεστή και τον πολλαπλασιάζουμε με τον σταθερό όρο. Δηλαδή ισχύει: 1 1 n 1 n 1 1 ( 1+ k ) PV = A 1 + A t = + t= 1 ( 1+ k ) k ( ) Παράδειγμα 2.13 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στην αρχή κάθε έτους σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ανατοκίζεται ετησίως. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. Απάντηση: Η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο πέντε ετών είναι 5,6371. Οπότε η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι: TV 5 = (5,6371) (1+0,06) = ,6. (β) τρόπος. Ο συντελεστής τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο έξι ετών είναι 6,9753. Οπότε η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών θα είναι: TV 5 = (6,9753-1,00) =

29 27 Παράδειγμα 2.14 Να βρεθεί το ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέσει σήμερα ένας επενδυτής σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% που ανατοκίζεται ετησίως, για να έχει το δικαίωμα να αποσύρει ευρώ στην αρχή κάθε έτους και επί πέντε έτη. Απάντηση: Η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο πέντε ετών είναι 4,2124. Οπότε η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι: PV = (4,2124) (1+0,06) = ,4. (β) τρόπος. Ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο τεσσάρων ετών είναι 3,4651. Οπότε η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών θα είναι: TV 5 = (3,4651+1,00) = Μέλλουσα σειρά πληρωμών Μέλλουσα ή αναβλητική σειρά πληρωμών (deferred annuity) ονομάζεται η σειρά πληρωμών της οποίας η πρώτη πληρωμή δεν γίνεται στην αρχή ή στο τέλος της πρώτης περιόδου, αλλά αργότερα, μετά από έναν ορισμένο αριθμό περιόδων. Η τελική αξία της ληξιπρόθεσμης μέλλουσας σειράς πληρωμών βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο που βρίσκεται η τελική αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών. Η παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους. Έστω ότι έχουμε μια μέλλουσα ληξιπρόθεσμη σειρά (ν) πληρωμών, η καταβολή των οποίων αναβάλλεται για (μ) περιόδους. Στο σημείο αυτό, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το διάστημα της αναβολής της πληρωμής τελειώνει μια (1) περίοδο πριν από την πρώτη πληρωμή. Άρα, η πρώτη από τις (ν) πληρωμές θα γίνει την περίοδο (μ+1) 10. Η παρούσα αξία της σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί ως εξής: 10 Αυτό σημαίνει ότι έχουμε μια ληξιπρόθεσμη σειρά (μ+ν) πληρωμών, από τις οποίες οι μ πληρωμές δεν καταβάλλονται.

30 28 (α) τρόπος. Η παρούσα αξία της μέλλουσας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ισούται με την αφαίρεση της παρούσας αξίας της ληξιπρόθεσμης σειράς (μ) πληρωμών από την παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς (μ+ν) πληρωμών. (β) τρόπος. Η παρούσα αξία της μέλλουσας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ισούται με την παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς (ν) πληρωμών, την οποία προεξοφλούμε (μ) περιόδους. Τέλος, για να βρούμε τον όρο μιας μέλλουσας σειράς πληρωμών, το μόνο που χρειάζετε να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς Α τους αντίστοιχους τύπους. Παράδειγμα 2.15 Μία τράπεζα χορηγεί σήμερα ένα δάνειο ύψους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 12%, και εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Το δάνειο αυτό θα πρέπει να εξοφληθεί σε δέκα έτη με ισόποσες εξαμηνιαίες δόσεις. Η τράπεζα παρέχει περίοδο χάριτος ίση με πέντε εξαμηνιαίες δόσεις. Να βρεθεί η εξαμηνιαία πληρωμή. Απάντηση: Η εξαμηνιαία πληρωμή είναι κατά προσέγγιση ίση με ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (12/2=) 6% και 20 πληρωμές είναι 11,4699. Ο ανάλογος συντελεστής που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και 5 πληρωμές είναι 4,2124. Οπότε ο όρος της μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της μέλλουσας σειράς πληρωμών ως εξής: PV = Α (ΣΠΑΣΠ 20 ) Α (ΣΠΑΣΠ 5 ) = Α (11,4699-4,2124) Α = /7,2575 Α ,49 (β) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (12/2=) 6% και 15 πληρωμές είναι 9,7122. Ο συντελεστής παρούσας αξίας μιας πληρωμής που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και 5 περιόδους είναι 0,7473. Οπότε ο όρος της μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της μέλλουσας σειράς πληρωμών ως εξής: PV = Α (ΣΠΑΣΠ 15 ) (ΣΠΑ 5 ) = Α (9,7122) (0,7473) Α = /7,2579 Α ,39

31 29 Άσκηση 2.16 Ο κύριος Δρακόπουλος δανείζεται ευρώ από μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 14%. Το δάνειο θα πρέπει να αποπληρωθεί σε τέσσερις ισόποσες ετήσιες (τοκοχρεωλυτικές) δόσεις, πληρωτέες στο τέλος κάθε χρόνου. Ζητείται: (α) Ποιο είναι το ύψος της κάθε τοκοχρεωλυτικής (Τ/Χ) δόσης; (β) Από κάθε δόση ποιο ποσό αντιστοιχεί σε τόκο και ποιο στην αποπληρωμή του αρχικού κεφαλαίου; ΣΥΝΟΨΗ Η αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προγραμμάτων απαιτεί τη σύγκριση των εισπράξεων και πληρωμών τους οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να γίνονται την ίδια χρονική περίοδο. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να «μεταφέρετε» τις εισπράξεις και πληρωμές τους σε μια ενιαία χρονική στιγμή, έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμες. Η ενέργεια αυτή μπορεί να γίνει μόνο με την χρησιμοποίηση των χρηματοοικονομικών μαθηματικών. Απλός τόκος ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος που παράγεται ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο μια φορά, στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο αυτό είναι παραγωγικό. Ο απλός τόκος δίνεται από τη σχέση: I = P r t Ανατοκισμός ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος ο οποίος παράγεται κάθε περίοδο προστίθεται στο κεφάλαιο (κεφαλαιοποιείται) και το άθροισμα τους αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες περιόδους. Τελική αξία είναι η αξία στο μέλλον ενός χρηματικού ποσού που επενδύεται σήμερα. Στο τέλος n ετών η τελική αξία (TV) μιας αρχικής κατάθεσης X 0, η οποία ανατοκίζεται μια φορά τον χρόνο με επιτόκιο r ισούται με: n ( ) TV = X + r 0 1 n