ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β"

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μϵ(α,β) ηέηνην ώζηε f (μ)=0 ή δηαθνξεηηθά (μ,f(μ)) α μ β ε δηαθνξεηηθά εμίζωζε f (ρ)=0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (α,β) Η γεωκεηξηθή εξκελεία ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ ROLLE είλαη όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν (μ,f(μ)) ζην νπνίν ε εθαπηνκέλε ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα ρ ρ. Απόδειξη ηος Θ. ROLLE Αν η f εύναι ςυνεόσ ςτο κλειςτό [α,β] τοτε υπϊρουν 1, 2 ϵ[α, β] ςτα οπούα η τιμό τησ f να γύνεται αντύςτοια μϋγιςτη και ελϊιςτη. (Θεώρημα μεγύςτησ και ελαύςτησ τιμόσ). Άρα θα ιςύει: f( 1 ) f() f( 2 ) και αν ϋνα τουλϊιςτον από τα 1, 2 ϵ(α, β)τότε από Θ. Fermat ϋουμε το ζητούμενο με το ξ να ιςούται η με το 1 η με το 2 Αν κανϋνα από τα 1, 2 δεν ανόκουν ςτο (α,β) τότε 1 = α, 2 = β και επομϋνωσ f(α) f() f(β) για κϊθε ϵ[α, β] και επειδη f(α) = f(β) θα ιςύει f(α) = f(β) = f() με ϵ[α, β] Άρα η f εύναι ςταθερό και επομϋνωσ f () = 0 για κϊθε ϵ(α, β) Michael Rolle ( ) Γάιινο Μαζεκαηηθόο κέινο ηεο Academie des Sciences. Αζρνιήζεθε θαηά θύξην ιόγν κε ηελ εύξεζε θαη ηνλ εληνπηζκό ηωλ πξαγκαηηθώλ ξηδώλ πνιπωλύκωλ, ππήξμε όκωο θαη πνιύ θαιόο γλώζηεο ηεο ζεωξίαο ηωλ αξηζκώλ. Πνιέκηνο ηωλ κεζόδωλ ηνπ απεηξνζηηθνύ ινγηζκνύ θαη ηδηαίηεξα ηωλ κεζόδωλ ηνπ De l Hospital θαη είρε ακθηζβεηήζεη κε ηδηαίηεξε νμύηεηα ηνλ επξηζθόκελν αθόκε ζηα ζπάξγαλα θιάδν ηεο καζεκαηηθήο αλάιπζεο. Σν ζεώξεκά ηνπ δηαηππώζεθε αξρηθά από ην Rolle, ζαλ ζεώξεκα πνπ αθνξνύζε πξαγκαηηθέο ξίδεο πνιπωλύκωλ, θαηέιεμε όκωο λα είλαη έλα από ηα πην βαζηθά ζεωξήκαηα ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 1. Σν ζεώξεκα βεβαηώλεη όηη ππάξρεη κία ξίδα ηεο εμίζωζεο f (ρ)=0 ζην (α,β). Δελ ελδηαθέξεηαη γηα ηνλ ηξόπν πνπ ζα βξνύκε έλα ηέηνην ζεκείν 2. Οη πξνππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Rolle απνηεινύλ ηθαλή ζπλζήθε όρη όκωο αλαγθαία γηα λα ππάξρεη μϵ(α,β) ώζηε f (μ)=0 3. αλ πόξηζκα κπνξνύκε λα αλαθέξνπκε όηη κεηαμύ δύν ξηδώλ ηεο f(ρ)=0 ππάξρεη κία ξίδα ηεο f (ρ)=0 4. ε πεξίπηωζε πνπ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην [α,β] ηόηε ζα είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη επνκέλωο γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ Θ. Rolle αξθεί λα γλωξίδνπκε όηη f(α)=f(β) 1

2 ΒΑΙΚΗ ΑΚΗΗ Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δεν εύναι «1-1» ςτο Δ τότε η εξύςωςη f ()=0 ϋει τουλϊιςτον μύα λύςη ςτο Δ. αν ςυνϋπεια του παραπϊνω ϋουμε ότι αν f () 0 για κϊθε Δ, τότε η f εύναι «1-1» Αφού η f δεν εύναι 1 1 ςτο Δ ςημαύνει ότι υπϊρουν 1, 2 Δ τϋτοια ώςτε με 1 2 f( 1 ) = f( 2 ) και ακόμη αφού εύναι παραγωγύςιμη ςτο Δ θα εύναι και παραγωγύςιμη και ςτο [ 1, 2 ] Δκαι επομϋνωσ και ςυνεόσ ςτο [ 1, 2 ]. Άρα ικανοποιούνται οι προώποθϋςεισ του Θ. Rolle και επομϋνωσ η εξύςωςη f ()=0 ϋει τουλϊιςτον μύα λύςη ςτο ( 1, 2 ) Δ Επομϋνωσ και αν f () 0 τότε η f εύναι 1-1 διότι αν δεν όταν από το προηγούμενο θα υπόρε τιμό του τϋτoια ώςτε f()=0 ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η συνϊρτηση f με τύπο f() = 2 + 1, 0 3 Να εξετϊσετε αν + 1, > 0 εφαρμόζεται το Θ. Rolle ςτο [-1,1] και αν ναι να βρεύτε τα ςημεύα για τα οπούα f ()=0 Με > 0 η f εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό. Μϋ < 0 εύναι ςυνεόσ πολυωνυμικό Για = 0 πρϋπει να πϊρουμε πλευρικϊ όρια. lim f() = lim (3 + 1) = 1 και lim f() = lim 0 0 (2 + 1) = 1 και f(0) = 1. Άρα η f εύναι ςυνεόσ ςτο [ 1,1] και η παρϊγωγόσ ςυνϊρτηςη εύναι: 2 αν < 0 f() f(0) f () = 3 2 για = 0 ϋω: lim = lim = lim αν > = 0 και 0 + f() f(0) lim = lim = lim = 0. Επομϋνωσ f (0) = 0. Εύναι και παραγωγύςιμη ςτο(-1,1). Ακόμη f( 1) = ( 1) = 2 και f(1) = = 2 Επομϋνωσ εφαρμόζεται το Θ.R και το μοναδικό ςημεύο όπου ιςύει f ()=0 =0 ΑΚΗΗ 2 Δύνεται η συνϊρτηση f με τύπο f() = 4 + α, αν < 0 β 3 + γ, αν 0, με α, β, γ R. Να βρεύτε τις τιμϋς των α,β,γ ώςτε να ιςύει το Θ. Rolle ςτο [-2,2]. Πρϋπει να εύναι ςυνεόσ. Επομϋνωσ lim f() = lim 0 0 +f() = f(0). Άρα lim 0 (4 + α) = lim 0 + (β3 + γ) α = 0 f() f(0) f() f(0) Ακόμη lim = lim Ακόμη f( 2) = f(2) 16 = 8β β = 2 ΑΚΗΗ β 3 + γ 0 lim = lim 0 = γ

3 Έςτω ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη και ςυνεόσ ςε ϋνα διϊςτημα [α,β], παραγωγύςιμη ςτο (α,β) και f(α)=f(β)=0. Να αποδεύξετε ότι: α) για τη συνϊρτηση g() = f() c, c [α, β], υπϊρει 0 (α, β)τϋτοιο ώστε: g ( 0 ) = 0 β) υπϊρει 0 (α, β)τϋτοιο ώστε η εφαπτομϋνη της C f στο σημεύο Μ 0, f( 0 ) να διϋρεται από το σημεύο Α(c, 0) α) 1. Η g εύναι προφανϋσ ότι ορύζεται ςτο [α, β]αφού c [α, β]. 2. Ακόμη εύναι ςυνεόσ ςτο [α, β]ωσ πηλύκο ςυνεών 3. παραγωγύςιμη ωσ πηλύκο παραγωγύςιμων ςτο (α,β) Άρα ιςύουν οι προώποθϋςεισ του Θ.R και ϋουμε: g () = f ()( c) f() ( c) 2 και από Θ. R υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα 0 (α, β): g ( 0 ) = 0 f ( 0 )( 0 c) f( 0 ) ( 0 c) 2 = 0 f ( 0 )( 0 c) f( 0 ) = 0 β)η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ C f ςτο ςημεύο Μ 0, f( 0 ) εύναι: ψ f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) Για να διϋρεται από το ςημεύο Α(c, 0)θα πρϋπει f( 0 ) = f ( 0 )(c 0 ) f ( 0 )( 0 c) f( 0 ) = 0. Που ιςύει από το πρώτο ερώτημα για εκεύνο το 0 που προκύπτει από το Θ.R για την g. Παρατόρηςη. ε οριςμϋνεσ αςκόςεισ μασ ζητούν να δούμε αν εφαρμόζετε το Θ.R μόνο. Όπωσ ςτην προηγούμενη. Εμεύσ καλό θα εύναι να βρύςκουμε και τα 0 για τα οπούα εφαρμόζεται το Θ. Rolle ε αςκόςεισ όπου μασ ζητεύται να αποδειθεύ ότι υπϊρει ξ (α,β) τϋτοιο ώςτε f (ξ)=0 ό f (ξ)=0 και ςε κϊθε περύπτωςη μασ δύνει παρϊγωγο ανώτερησ τϊξησ τότε πιθανόν να εύναι πολλαπλό εφαρμογό του θεωρόματοσ Rolle ςε κατϊλληλα διαςτόματα. ΑΚΗΗ 4 Αν μια ςυνϊρτηςη εύναι τρεύσ φορϋσ παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα [α,β] και ιςύουν f(α)=f(β) και f (α)=f (β)=0 να αποδειθεύ ότι υπϊρει ξ (α,β) τϋτοιο ώςτε f (ξ)=0. Αφού η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο [α,β] θα εύναι και ςυνεόσ ςτο [α,β]. Και επειδό f(α)=f(β) εφαρμόζεται το Θ.R ςτο [α,β]. Άρα υπϊρει 0 (α,β) τϋτοιο ώςτε f ( 0 ) = 0. Και τώρα ϋουμε f (α) = f ( 0 ) = f (β) = 0. Εφαρμόζουμε το Θ. R για την f ςτα διαςτόματα [α, 0 ]και [ 0, β]και ϋουμε Για το [α, 0 ] υπϊρει 1 (α, 0 )τϋτοιο ώςτε f ( 1 ) = 0 Για το [ 0, β] ϋουμε ότι υπϊρει 2 ( 0, β)τϋτοιο ώςτε f ( 2 ) = 0 Εφαρμόζουμε τώρα Θ.R για την f ςτο [ 1, 2 ] [α, β] και ϋω ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα ξ ( 1, 2 ) (α, β) τϋτοιο ώςτε f (ξ)=0 3

4 Περιπτώςεισ όπου μασ ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει ξ που ανόκει ςτο διϊςτημα (α,β) ώςτε να ικανοποιεύται μύα ςϋςη τα πιο κϊτω παραδεύγματα δύνεται η ςϋςη και βρύςκουμε κατευθεύαν τη ςυνϊρτηςη G όπου θα εφαρμόςουμε το θεώρημα Rolle για να προκύψει η ςϋςη που μασ ζητεύται Ξεκινϊμε πϊντα από τη ςϋςη που μασ δύνει και προςπαθούμε να δημιουργόςουμε, ρηςιμοποιώντασ τουσ κανόνεσ παραγώγιςησ, την παρϊγωγο μιασ παρϊςταςησ ύςη με το μηδϋν. Σην παρϊςταςη αυτό θϋτουμε ωσ ςυνϊρτηςη G και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle. τα παρακϊτω παραδεύγματα δύνεται μόνο η ςϋςη, ωρύσ τα ϊλλα δεδομϋνα, και βρύςκουμε την ςυνϊρτηςη όπου θα εφαρμόςουμε το Θ. Rolle. Παπάδειγμα 1. Αθού δίδονηαι διάθοπα δεδομένα μαρ ζηηάει η άζκηζη να αποδείξοςμε όηι ςπάπσει ξ ηέηοιο ώζηε: f (ξ) = κ Ενεργούμε ωσ εξόσ: f () κ = 0 f () (κ) = 0. θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη G() = f() κ Παπάδειγμα 2 f (ξ) = κf(ξ) Η ζσέζη πος ζηηείηαι είναι f () κf() = 0 f () e κ κ e κ f() = 0 f () e κ + (e κ ) f() = 0 (f() e κ ) = 0 Σότε θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη G() = f() e κ Παπάδειγμα 3 f (ξ) (κ ξ) = f(ξ) Η ζσέζη πος ζηηείηαι είναι f ()(κ ) = f() f ()(κ ) + (κ ) f() = 0 [f()(κ )] = 0 Θεωρούμε την G() = (κ )f() Παπάδειγμα 4 Η ζσέζη πος ζηηείηαι είναι f(ξ)(ξ κ) = f(ξ) f ()( κ) f() = 0 f ()( κ) ( κ) f() = 0 f() κ Παπάδειγμα 5 = 0. Θεωρούμε G() = f() κ f(ξ) = νξ ν 1 Η ζσέζη πος ζηηείηαι είναι f () ν ν 1 = 0 f () ( ν ) = 0 (f() ν ) = 0 Θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη G() = f() ν Παπάδειγμα 6 Η ζσέζη πος ζηηείηαι είναι ξf (ξ) = νf(ξ) f () = νf() ν 1 f () ν ν 1 f() = 0 ν 1 f () ν ν 1 f() 2ν f ()( κ) ( κ) f() ( κ) 2 = 0 = 0 f() ν = 0 4

5 Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη G() = f() ν Παπάδειγμα 7 Μύα γενικό περύπτωςη εύναι η παρακϊτω Η σϋση που ζητεύται εύναι f (ν) (ξ) = g(ξ)f (ν 1) (ξ) f (ν) () = g()f (ν 1) () f (ν) () g()f (ν 1) () = 0 f (ν) () e h() e h() h ()f (ν 1) () = 0 f (ν 1) () e h() + e h() f (ν 1) () = 0 e h() f (ν 1) () = 0 Θεωρώ την G() = e h() f (ν 1) () όπου h() μια ςυνϊρτηςη για την οπούα ιςύει h () = g() π. Ι ϋςτω ότι ζητεύται να δεύξουμε ότι υπϊρει 0 τϋτοιο,ώςτε [f ( 0 )] 2 f ( 0 ) = 0 ϋουμε f ( 0 ) = f ( 0 ) f ( 0 ) Θεωρώ την G() = e f() f () και εφαρμόζω το θεώρημα Rolle π. ΙΙ ϋςτω ότι ζητεύται να δεύξουμε ότι υπϊρει x 0 τϋτοιο ώςτε f ( 0 ) f( 0) 0 ln1996 = 0 τότε f () f() ln1996 = 0 f () = (ln ln1996) f() Θϋτω G() = e ln ln1996 f() Παρϊδειγμα 8 Η σϋση που ζητεύται εύναι f (ξ) + f(ξ) = 0 f () + f() = 0 και πολλαπλαςιϊζω με 2f () και ϋω 2f ()f () + 2f ()f() = 0 (f 2 ()) + ((f ()) 2 ) = 0 [f 2 () + (f ()) 2 ] = 0 Θϋτω G() = f 2 () + (f ()) 2 Παρϊδειγμα 9 Η σϋση που ζητεύται εύναι f (ξ) f (ξ) = 0. f () f () = 0 2f () f () = 0 [f () 2 ] = 0 Θϋτω G() = (f ()) 2. 5

6 Οριςμϋνεσ φορϋσ ςτα δεδομϋνα μιασ ϊςκηςησ δύνεται μύα ςϋςη που ιςύει για τα ϊκρα του κλειςτού διαςτόματοσ [α,β]. π. f(α) β=f(β) α. Αν αυτό τη ςϋςη την τροποποιόςουμε και ιςύουν βϋβαια οι προώποθϋςεισ, και πϊμε τα α ςτο ϋνα μϋλοσ και τα β ςτο ϊλλο, και αντικαταςτόςουμε το α ό το β με το ϋουμε την ςυνϊρτηςη όπου θα εφαρμόςουμε το Θ. Rolle. την περύπτωςό μασ θα γρϊφαμε f(α) α ςυνϊρςτηςη που θα εφαρμόζαμε το Θ. Rolle θα όταν η g() = f() = f(β) β β) Από την f(α)f (β) = f(β)f (α) f (α) f(α) = f (β). Θεωρώ την g() f(β) = f () για την f() ιςύει g(α)=g(β). Ακόμη εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών αφού η f εύναι δυο φορϋσ παραγωγύςιμη. Άρα ιςύει το Θ. Rolle. Η παρϊγωγοσ τησ f εύναι: f ()f() f ()f () g () = f 2 και Θ. Rolle ϋω g ( () 0 ) = 0 f( 0 )f ( 0 ) = (f ( 0 )) 2 και η Εφαρμογό Έςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα [α,β] με f () 0 για κϊθε [α, β] και f(α)f (β) = f(β)f (α). Να αποδεύξετε ότι: α) η f εύναι αντιςτρϋψιμη, β) υπϊρει 0 (α, β) τϋτοιο, ώστε f( 0 )f ( 0 ) = (f ( 0 )) 2 α) Έςτω ότι δεν εύναι αντιςτρϋψιμη τότε υπϊρουν 1, 2 [α, β] τϋτοια ώςτε με 1 2 f( 1 ) = f( 2 ) αφού εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο[α,β] θα ιςύουν και οι ϊλλεσ προώποθϋςεισ του Θ. Rolle, οπότε υπϊρει ξ (α,β) ώςτε f (ξ)=0. Σο οπούο εύναι ϊτοπο αφού f () 0 για κϊθε (α,β). Άρα εύναι

7 ΑΛΛΕ ΠΕΡΙΠΣΩΕΙ ΥΕΔΙΑΜΟΤ Περύπτωςη 1 Ζητεύται η σϋση f (ξ) + σφξ = 0 f(ξ) Παύρνουμε f (x) f(x) + ςυν ημ = 0 ημ f (x) + ςυν f(x) = 0 ημf (x) + (ημ) f(x) = 0 (f(x)ημ) = 0 Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη g() = f()ημ Περύπτωςη 2 Ζητεύται η σϋση f 1 + 3ξ 2ξ2 (ξ) = ξ Θεωρώ την f 1 + 3x 2x2 (x) = f (x) = 1 x x + 3 2x f (x) (lnx) (3x) + (x 2 ) = 0 (f(x) lnx 3x + x 2 ) = 0 Θεωρώ την g(x) = f(x) lnx 3x + x 2 Περύπτωςη 3 Ζητεύται η σϋση lnα ξ f (ξ) = 1 xlnα f (x) = 1 f (x) = 1 xlnα f (x) = (log a x) (f(x) log a x) = 0 Θεωρώ την g(x) = f(x)log α x Περύπτωςη 4 Ζητεύται η σϋση f (ξ)εφξ + f(ξ) = 0 Παύρνουμε την f (x)εφx + f(x) = 0 f (x) ημ ςυν + f(x) = 0 f (x)ημ + ςυνf(x) = 0 f (x)ημ + (ημ) f() = 0 (f(x)ημ) = 0 Θεωρώ την g(x) = f(x)ημ Περύπτωςη 4 Ζητεύται η σϋση f (f(ξ)) f (ξ) = 1 Θεωρούμε την f f(x) f (x) = 1 (f(f(x)) = x (f(f(x) x) = 0 Θεωρώ την g(x) = f f(x) x 7

8 Περύπτωςη 5 Ζητεύται η σϋση 2f (ξ) f(ξ) = f (1 ξ) f(1 ξ) 2f (x) f(x) = f (1 x) f(1 x) 2f (x)f(1 x) = f (1 x)f(x) f 2 (x) f(1 x) f (1 x) f 2 (x) = 0 f 2 (x) f(1 x) + (1 ) f (1 x) f 2 (x) = 0 f 2 (x) f(1 x) + (f 2 (x)[f(1 x))] = 0 f 2 ()(1 ) = 0 Θεωρώ g(x) = f 2 (x) f(1 x) Περύπτωςη 5 Ζητεύται η σϋση f (ξ) f(ξ) = 1 α ξ + 1 ϐ ξ f (x) f(x) = 1 a x + 1 ϐ x f (x)(a x)(ϐ x) f(x)(ϐ x) f(x)(a x) = 0 f (x)(a x)(ϐ x) + f(x)(a x) (ϐ x) + f(x)(x a)(ϐ x) = 0 (f(x)(a x)(ϐ x) = 0 Θεωρώ την g(x) = (a x) ϐ x f(x) 8

9 ΑΚΗΕΙ 1. Έςτω ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο [0, π] με f(x) 0 για κϊθε ςτο [0, π]. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει ξ ϵ[0, π] τϋτοιο ώςτε f (ξ) f(ξ) + ςφξ = 0 2. Έςτω ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςτο [1, е] και παραγωγύςιμη ςτο (1,е) ώςτε να ιςύει f(1) f(е) = е 2 3е + 1. Να δειθεύ ότι υπϊρει θϵ(1,е) τϋτοιο ώςτε f 1 + 3θ 2θ2 (θ) = θ 3. Δύνεται ςυνϊρτηςη fοριςμϋνη και ςυνεόσ ςτο διϊςτημα [α, ϐ]και παραγωγύςιμη ςτο (α,ϐ) ώςτε 1<α<β και ιςύει f(β)-f(α)=log α β 1. Να δειθεύ ότι υπϊρει ξϵ(α,β) ώςτε lnα ξ f (ξ) = 1 4. Δύνεται ςυνϊρτηςη ƒ οριςμϋνη και ςυνεόσ [α, β] παραγωγύςιμη ςτο (α,β) με f(α)β ν = f(β)α ν με 0 < α < β. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει ξϵ(α,β) τϋτοιο ώςτε ξf (ξ) = νf(ξ) 5. Έςτω f: [α, ϐ] R + παραγωγύςιμη με ln f(α) ln f(ϐ) = ϐ a. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει θ ϵ(α,β) τϋτοιο ώςτε (ln (f(θ)) + 1 = 0 6. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g οριςμϋνεσ ςτο [α,β] με f()>0 και παραγωγύςιμεσ ώςτε ln f(α) ln f(ϐ) = g(ϐ) g(a). Nα αποδεύξετε ότι υπϊρει θϵ(α,β) τϋτοιο ώςτε f (θ) + f(θ)g (θ) = 0 π 7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ƒ:[α,β] [α,β] παραγωγύςιμη ςτο [α,β] με 0<α<β< και f(α)=β και 2 f(β)=α και α β = ημα ημβ. Να αποδεύξετε ότι Ι Τπϊρει 0 ϵ(α, β) τϋτοιοσ ώςτε f ( 0 )εφ 0 + f( 0 ) = 0 ΙΙ Τπϊρει ξϵ(α,β) τϋτοιο ώςτε f f(ξ) f (ξ) = 1 8. Δύνεται ςυνϊρτηςη ƒ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο [α,β] για την οπούα ιςύει 9

10 f (α) = е f(β) f(α) f (β). Δεύξτε ότι ι. Τπϊρει 0 ϵ(α, β) τϋτοιο ώςτε [f ( 0 )] 2 f ( 0 ) = 0 ιι. Αν το 0 εύναι θϋςη ακροτϊτου τησ f τότε το 0 εύναι θϋςη πιθανού ςημεύου καμπόσ τησ f 9. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ςυνεόσ ςτο [α, β]με 0 < α < β και δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (α, β) Ι. Αν f(α)=α και f(β)=β και υπϊρει γϵ(α,β) ώςτε f(γ)=γ να δειθεύ ότι υπϊρουν 1, 2 ϵ(α, β) τϋτοια ώςτε f ( 1 ) = f( 1) και f ( 2 ) = f( 2) 1 2 ΙΙ. Αν η ευθεύα που ορύζουν τα ςημεύα Α( 1, f( 1 )) και Β( 2, f( 2 ) διϋρεται από την αρό των αξόνων να δειθεύ ότι υπϊρει 0 ϵ(α, β): f ( 0 ) = Δύνεται ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη και ςυνεόσ ςτο [α, β] και παραγωγύςιμη ςτο (α, β)με f(α) = 2α 2 και f(β) = 2β 2. Να δεύξετε ότι υπϊρει ξϵ(α, β) τϋτοιο ώςτε f (ξ) = 2ξ + α + β 11. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεόσ ςτο [1,2] και παραγωγύςιμη ςτο (1,2) και 2f(1)-f(2)=2. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει ξ(1,2) ϋτςι ώςτε η εφαπτομϋνη τησ C f ςτο ςημεύο Α α, f(α) να διϋρεται από το ςημεύο Μ(0, α 2 ) 10

11 ROLLE KAI ΕΞΙΩΕΙ ΠΕΡΙΠΣΩΕΙ Όταν μύα ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και η εξύςωςη f()=0 ϋει δύο ρύζεσ, τισ 1, 2 [α,β] τότε η εξύςωςη f () = 0 ϋει οπωςδόποτε μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [ 1, 2 ]. Αυτό εύναι ϊμεςη εφαρμογό του Θ. Rolle ςτο [ 1, 2 ]. Διότι εύναι ςυνεόσ ςτο [ 1, 2 ] και παραγωγύςιμη ςτο ( 1, 2 ) και f( 1 ) = f( 2 ) = 0. Αρα από Θ. R η εξύςωςη f () = 0 ϋει οπωςδόποτε μύα ρύζα ςτο ( 1, 2 ). Γενικότερα όταν η f()=0 ϋει ν-πλόθοσ διαφορετικών ριζών ςε ϋνα διϊςτημα [α,β], τότε η f ()=0 ϋει οπωςδόποτε ν-1 πλόθοσ ριζών ςτο ύδιο διϊςτημα και η f ()=0 ϋει ν-2 και γενικϊ όςο αυξϊνεται κατϊ ϋνα η τϊξη τησ παραγώγου, μειώνεται κατϊ ϋνα το πλόθοσ των ριζών. Σο Θ. R μασ βοηθϊει να αποδεύξουμε το ακριβώσ ό το πολύ μύα, ακριβώσ ό το πολύ 2,, ακριβώσ ό το πολύ ν ρύζεσ. Πώσ? π. ϋςτω ότι θϋλουμε να αποδεύξουμε ότι μύα εξύςωςη ϋει ακριβώσ μύα ρύζα. Αφού αποδεύξουμε ότι ϋει μύα, δεόμαςτε ότι υπϊρει και δεύτερη. Σότε η παρϊγωγοσ πρϋπει να ϋει μύα, που το πιο πιθανό εύναι να μην ϋει και καταλόγουμε ςε ϊτοπο. Αςκηςη 2 π. ϋςτω ότι θϋλουμε να αποδεύξουμε ότι ϋει το πολύ μύα ρύζα. Σότε δεν απαιτεύται να αποδεύξουμε ότι ϋει τουλϊιςτον μύα. Αλλϊ αποδεικνύουμε ότι δεν μπορεύ να ϋει δύο. Πώσ? Δεόμενοι ότι ϋει δύο και επομϋνωσ η παρϊγωγοσ ϋει μύα και καταλόγουμε ςε ϊτοπο Πολλϋσ φορϋσ μασ ζητεύται να αποδεύξουμε ότι ϋει τουλϊιςτον μια ρύζα η εξύςωςη f()=0. Και δεν γύνεται να αποδειθεύ με το Θ. Bolzano. Σότε το αποδεικνύουμε εφαρμόζοντασ το Θ. Rolle ςε μύα αρικό. Αρικό ςυνϊρτηςη μιασ ςυνϊρτηςησ f ονομϊζουμε μύα ϊλλη ςυνϊρτηςη F για την οπούα ιςύει F =f. π. αν f() = 2 τότε η αρικό τησ εύναι F() = 3 3 Παρϊδειγμα 1 Να δειθεύ ότι η εξύσωση e = 1 ϋει ακριβώς μύα ρύζα στο (0, 1) Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη f() = e 1. Εύναι ςυνεόσ ςτο [0,1] και f(0) = 1 < 0, f(1) = e 1 > 0 επομϋνωσ f(0)f(1) < 0. Από θ. Bolzano ϋω ότι ϋει τουλϊιςτον μύα ρύζα ςτο (0,1). Έςτω ότι ϋει δύο ρύζεσ τισ ρ 1, ρ 2 τότε f(ρ 1 ) = f(ρ 2 ) = 0 και ςτο [ ρ 1, ρ 2 ] ιςύει το θ. Rolle. Επομϋνωσ η f ()=0 ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο (0,1). Αλλϊ f () = e + e = 0 e ( + 1) = 0 = 1. Δεν ϋει επομϋνωσ ρύζα ςτο (0,1). Αρα δεν μπορεύ η f()=0 να ϋει δύο ρύζεσ ςτο (0,1) 11

12 Παρϊδειγμα 2 Αν α < 0, να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη 4 α 2 + β + γ = 0 ϋει το πολύ δύο πραγματικϋς ρύζεσ. Έςτω ςυνϊρτηςη f() = 4 α 2 + β + γ Έςτω ότι ϋει τρεύσ, τότε η f ()=0 πρϋπει να ϋει δύο και η f ()=0 πρϋπει να ϋει μύα Αλλϊ f () = 4 3 2α + β και f () = α και f () = α = 0 2 = α. Αδύνατη διότι α < 0. Άρα η f δεν μπορεύ να ϋει τρεύσ. 6 Παρϊδειγμα 3 Να αποδεύξετε ότι η εξύσωση = 0 ϋει μύα τουλϊιστον ρύζα στο (0, 1) Έςτω f() = Παρατηρώ ότι f(0) = 1 και f(1) = 1. Αρα δεν μπορούμε να εφαρμόςουμε το Θ. Β. Γι αυτό εφαρμόζω το Θ. R ςε μιϊ αρικό δηλ ςτην g() = Η g εύναι ςυνεόσ ςτο [0,1]και παραγωγύςιμη ςτο (0,1) ωσ πολυωνυμικό και g(0)=0=g(1). Επομϋνωσ ιςύει το Θ.R για την g και επομϋνωσ υπϊρει 0 (0,1) τϋτοιο, ώςτε g ( 0 ) = = 0. Παρϊδειγμα 4 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f:[0,1] (0,1), ςυνεόσ ςτο [0,1] και παραγωγύςιμη ςτο (0,1) και f () <1 για κϊθε (0,1). Να αποδεύξετε ότι υπϊρει μοναδικό ξ (0,1) τϋτοιο, ώςτε f(ξ)=ξ. Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη g()=f()-. Η g εύναι ςυνεόσ ςτο [0,1] ωσ διαφορϊ ςυνεών και g(0)=f(0)-0>0, g(1)=f(1)-1<0 διότι από τα δεδομϋνα ϋουμε για κϊθε [0,1] ιςύει 0<f()<1. Επομϋνωσ ιςύει το Θ.Bolzano. Άρα υπϊρει ϋνα τουλϊιςτον ξ (0,1) ώςτε g(ξ)=0 f(ξ)-ξ=0 f(ξ)=ξ. Έςτω ότι υπϊρει δεύτερη ρύζα η ρ ξ και ϋςτω ξ<ρ. Σότε g(ξ)=g(ρ)=0 και η g εύναι παραγωγύςιμη ςτο (0,1) ωσ διαφορϊ παραγωγύςιμων ςυναρτόςεων. Άρα ιςύει το Θ.Rolle και επομϋνωσ υπϊρει 0 (0,1)τϋτοιο ώςτε g ( 0 ) = 0 f ( 0 ) 1 = 0 f ( 0 ) = 1 το οπούο εύναι ϊτοπον αφού το f () <1 για κϊθε (0,1). Επομϋνωσ δεν ιςύει και η υπόθεςη. Δηλαδό δεν μπορεύ η g()=0 να ϋει δύο ρύζεσ. Παρϊδειγμα 5 Δύνεται ςυνϊρτηςη f:r R που εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και f () 0 για κϊθε R α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f()=0 ϋει το πολύ δύο ρύζεσ β) η f εύναι «1-1» γ) Αν 2f(1)=f(2) να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f()=f () ϋει ακριβώσ μύα ρύζα ςτο (1,2) α) Έςτω ότι ϋει τρεισ ρύζεσ η εξύςωςη f()=0. Σότε η f ()=0 ϋει δύο και η f ()=0 μύα. Άτοπον διότι f () 0 για κϊθε R β) Αν η f δεν όταν 1-1 τότε θα υπόραν 1, 2 R με 1 2 και f( 1 ) = f( 2 )και εφαρμόζοντασ το Θ. Rolle ςτο [ 1, 2 ] για την f ϋω ότι υπϊρει 0 ( 1, 2 ) τϋτοιο ώςτε f ( 0 ) = 0. Σο οπούο εύναι ϊτοπο επομϋνωσ, η f εύναι

13 γ) f() f () Δύνεται f() = f () f() f () = 0 2 = 0 f() = 0. Θεωρώ την ςυνϊρτηςη g() = f() για κϊθε (1,2). Εύναι ςυνεόσ ςτο [1,2]ωσ πηλύκο ςυνεώ και παραγωγύςιμη ςτο (1,2) ωσ πηλύκο παραγωγύςιμων ςυναρτόςεων. Ακόμα g(1) = f(1)και g(2) = f(2). Επειδό f(2) = 2f(1) g(2) = g(1). Επομϋνωσ ιςύει το Θ. Rolle 2 και επομϋνωσ η εξύςωςη g () = 0 ϋει λύςη ςτο (1,2). Δηλαδό f() f () = 0 f() = f () ϋει λύςη ςτο (1,2) Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη h() = f() f () και ϋςτω ότι ϋει δύο ρύζεσ ςτο (1,2) τισ ρ 1, ρ 2 με ρ 1 ρ 2 και h(ρ 1 ) = h(ρ 2 ). Σότε εφαρμόζοντασ το Θ. Rolle ςτο [ρ 1, ρ 2 ] ϋω ότι η εξύςωςη h () = 0 ϋει λύςη ςτο (1,2). Δηλαδό h () = 0 f () f () f () = 0 f () = 0 f ()=0 ϋει λύςη ςτο (1,2) που εύναι ϊτοπο αφού f () 0 για κϊθε R ΑΚΗΗ 1. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη ( + 2) 2 = 2xlnx ϋει το πολύ μύα πραγματικό λύςη. ΑΚΗΗ 2. Αν α πραγματικόσ αριθμόσ διαφορετικόσ του μηδενόσ και ν ϊρτιοσ φυςικόσ να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ( + α) ν = ν + α ν ϋει ακριβώσ μια πραγματικό ρύζα ΑΚΗΗ 3. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη = 0 ϋει ακριβώσ δύο πραγματικϋσ ρύζεσ. ΑΚΗΗ 4. Να δεύξετε ότι αν για τουσ πραγματικούσ αριθμούσ α,β,γ ιςύει η ςϋςη α 2 + β 2 < 4αγ, τότε η εξύςωςη α 2 + β + γ = γe 2 ϋει μοναδικό πραγματικό ρύζα. ΑΚΗΗ 5. Αν α,β,γ ανόκουν ςτο R τότε να δεύξετε ότι η εξύςωςη αημ + βςυν2 + γςυν3 = 2 π ϋει τουλϊιςτον μύα ρύζα ςτο κλειςτό διϊςτημα [0,π] ΑΚΗΗ 6. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη e = ϋει μύα πραγματικό ρύζα ςτο διϊςτημα (1,2) 13

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ

BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ Α. ΘΔΩΡΗΜΑ BOLZANO (Θ.Β) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].αλ: Ζ f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη, επηπιένλ, ηζρύεη f a f 0 Σόηε ππάξρεη ένα, τοσλάτιστον,

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του

Διαβάστε περισσότερα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦ Τ ΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗ Η ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 425 = 4 εκατοντϊδεσ 2 δεκϊδεσ 5 μονϊδεσ 4 * 2* 5* 4 * 2* 5* 4 *2 2* 5* 94257 = 9* 4* 2* 5* 7* * 9*5 4*4 5*2 7* * 2*3 Για τον προηγούμενο αριθμό Θϋτοντασ β= (η βϊςη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε

Διαβάστε περισσότερα

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο 1 Οριςμοί Ζννοια τησ Λογιςτικήσ Εύναι μϋςο παροχόσ οικονομικών πληροφοριών προσ διϊφορεσ ομϊδεσ ενδιαφερομϋνων για την πορεύα μιασ επιχεύρηςησ που

Διαβάστε περισσότερα

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2 Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2) - 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ.

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ. Αθόνα, 15 Μαύου 2014 Η παρακάτω επιςτολή, εςτάλη μέςω φαξ και μέςω email ςτον Προΰςτάμενο τησ Διεύθυνςησ Ειδικήσ Αγωγήσ κο Λολίτςα, την Τρίτη 14 Μααου 2014. Παρακαλούμε να ςτηρίξετε με την υπογραφή ςασ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Τουσ τελευταύουσ μόνεσ κυοφορούνται εξελύξεισ προσ την κατεύθυνςη επύλυςησ διαφόρων ζητημϊτων που ταλανύζουν την ανατολικό Μεςόγειο και τη Μϋςη Ανατολό. Η παρατεταμϋνη

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση Μία διδακτική προσέγγιση ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (4-2ωρα) Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1 ο 2ωρο Μπέρναρντ Μπολζάνο (1781-1848) (Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/bernard_bolzano ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών Διαχείριςη και Αςφάλεια Δικτύων Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Αρχιτεκτονικέσ δικτύωςησ: OSI & TCP/IP Επύπεδο Εφαρμόγόσ Επύπεδο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη:

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη: ΟΡΙΜΟ Έςτω ότι ϋχουμε δύο μεγϋθη χ,ψ τα οπούα ςυνδϋονται με τη ςχϋςη ψ=f(χ) και η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο χ 0. Ονομϊζουμε ρυθμό μεταβολόσ του ψ ωσ προσ χ ςτο ςημεύο χ 0 την παρϊγωγο f (χ 0 )

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Σχολή Εφαρμοςμζνων Μαθηματικών και Φυςικών Επιςτημών Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Μαθηματικών Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Εκπόνηςη πτυχιακήσ εργαςίασ Κάρδαρησ Δημήτρησ Α.Μ 09104188

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ Μεγάιε επηηπρία ζεκείωζε ε θνηλή εθδήιωζε γηα ηελ θνπή πίηαο γηα ην 2009, ηνπ Παλειιήληνπ πλδέζκνπ Δπηρεηξήζεωλ Πξνζηαζίαο Πεξηβάιινληνο (ΠΑΔΠΠΔ) θαη ηεο Διιεληθήο Δηαηξίαο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ.

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. Σϐςο κατϊ τη διϊρκεια τησ εγκυμοςϑνησ ϐςο και κατϊ τη διϊρκεια του θηλαςμοϑ οι γυναύκεσ δϋχονται πολλϋσ ςυμβουλϋσ για τη

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ «ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ 1 2 3.1 Συμβολοςειρζσ Ένασ πολύ χρόςιμοσ τύποσ εύναι η κλάςη String, του πακϋτου java.lang, η οπούα χρηςιμεύει ςτην αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ È Ö Ñ Ø ÓÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ò Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö ½¼ ÔÖ ÐÓÙ¾¼½¾

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Ατλαντο-αξονικό αςτϊθεια ςτα ϊτομα με ςύνδρομο Ντϊουν: Πληροφορύεσ για γονεύσ και παιδαγωγούσ

Ατλαντο-αξονικό αςτϊθεια ςτα ϊτομα με ςύνδρομο Ντϊουν: Πληροφορύεσ για γονεύσ και παιδαγωγούσ Ατλαντο-αξονικό αςτϊθεια ςτα ϊτομα με ςύνδρομο Ντϊουν: Πληροφορύεσ για γονεύσ και παιδαγωγούσ Τι εύναι η ατλαντοαξονικό αςτϊθεια; Dr. jennifer, Ιατρικό Σύμβουλοσ του Συλλόγου Συνδρόμου Ντϊουν (Οκτώβριοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο - 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1

Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1 Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1 Κοφινϊσ Νύκοσ Α.Μ.: 2007030111 Σε αυτό την εργαςύα υλοποιόςαμε ϋναν πρϊκτορα ο οπούοσ παύζει το παιχνύδι othello. Η γλώςςα την όποια προτιμόςαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies):

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies): ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κατηγορικϋσ Κατηγορικές ό ή ποιοτικϋσ ποιοτικές μεταβλητές μεταβλητϋσ (nominal): Η απλούςτερη απλούστερη μορφή μορφό κωδικοποίησης κωδικοπούηςησ τιμών τιμών χωρίς χωρύσ τις τισ έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα. Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 8 3 8 9 ) Να αποδειχθει οτι : Η συναρτηση f με f() ειναι γνησιως αυξουσα. Για ισχυουν : d αι d. Η f εχει πεδιο ορισμου το Α[, ) αι ειναι συνεχης σε αυτο. Αομη

Διαβάστε περισσότερα