ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ
|
|
- Κλυμένη Βάμβας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ
2 Γραμμική θεωρία υδροτομών Θεωρούμε υδροτομή στο είεδο x,, και ομοιόμορφη ροή με ταχύτητα U. Η ροή είναι αράλληλη ρος τον θετικό άξονα των x, και το κέντρο των αξόνων συμίτει με το μέσο της χορδής της υδροτομής όταν αυτή έχει μηδενική γωνία ρόστωσης. Η άνω λευρά της υδροτομής εριγράφεται αό την εξίσωση ( x), ενώ η κάτω λευρά της υδροτομής εριγράφεται αό την εξίσωση ( x). Υοθέτουμε αστρόβιλη διδιάστατη ροή. Εστω φ το δυναμικό της ροής λόγω της αρουσίας της υδροτομής, δηλαδή το ολικό δυναμικό της ροής είναι ϕ Ux + φ. Οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας του ρευστού είναι ( U + φ/ x, φ/ ). Το δυναμικό φ ικανοοιεί το ακόλουθο ρόβλημα οριακών τιμών: l φ () Σε κάθε σημείο του εριγράμματος της υδροτομής η ταχύτητα είναι αράλληλη με την εφατομένη της υδροτομής: φ / d ( x), l( x) () U + φ / Μακριά αό την υδροτομή η υδροδυναμική της είδραση τείνει στο μηδέν: φ για x, (3) Τέλος στο άκρο εκφυγής έχουμε την συνθήκη Ktta φ <. Η άνωση άνω στην υδροτομή δίνεται αό την ολοκλήρωση των δυνάμεων λόγω ιέσεων γύρω αό την υδροτομή: F ( p p ) n dl (4) Οου p είναι η ίεση του ρευστού ολύ μακριά αό την υδροτομή, και n ( nx, n) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο ρος την ειφάνεια της υδροτομής με φορά ρος το ρευστό. Η ροή γύρω αό την αρχή των αξόνων ροκύτει αό την ολοκλήρωση των ροών των δυνάμεων λόγω ιέσεων γύρω αό την υδροτομή: M ( x( p p ) n + ( p p ) n ) dl O x ( p p )( n xn ) dl (5) x
3 Εφαρμόζοντας την αρχή Bernolli ανάμεσα σε τυχόν σημείο άνω στην υδροτομή και σε σημείο στο άειρο έχουμε: φ φ ( ( ) φ ( ) ) (6) p p ρ U + + x x Θεωρούμε τώρα ότι η υδροτομή είναι λετή, και ότι έχει μικρή κυρτότητα. Υοθέτουμε είσης ότι η γωνία ρόστωσης είναι μικρή. Τότε η θέση της υδροτομής διαφέρει κατά λίγο αό την ροβολή της στον άξονα x, και δικαιολογείται να κάνουμε τις εξής αραδοχές:. Οι ταχύτητες ου ροκαλεί η αρουσία της υδροτομής είναι ολύ μικρότερες αό την ταχύτητα U : φ << U.. Η οριακή συνθήκη () μορεί να εφαρμοστεί στην ροβολή της υδροτομής στον άξονα x, δηλαδή στο, / < x< /, αντί γιά την ραγματική θέση της υδροτομής. Η άνω λευρά της υδροτομής αντικαθίσταται αό την άνω λευρά του άξονα x, ου θα συμβολίζουμε με +, και η κάτω λευρά της υδροτομής αντικαθίσταται αό την κάτω λευρά του άξονα x,ου θα συμβολίζουμε με. 3. Εειδή d /, d / <<, μορούμε να θεωρήσουμε ότι n x,: n στην άνω λευρά της υδροτομής και n x, n στην κάτω λευρά. Με βάση τις αραδοχές και η οριακή συνθήκη () αντικαθίσταται αό τις ακόλουθες: φ d U +, x < (7 a) φ dl U, x < (7 b) Η εξίσωση του Laplae και η εξίσωση (3) αραμένουν φυσικά ως έχουν (με μόνη διαφορά ότι η εξίσωση του Laplae ισχύει τώρα σε όλο το είεδο έξω αό το ευθύγραμμο τμήμα, x < / ). Η συνθήκη Ktta αό την άλλη λευρά γράφεται ως εξής: < (8) φ, x / 3
4 Σχήμα: Το γραμμικοοιημένο ρόβλημα γιά το δυναμικό της υδροτομής. Λόγω της αραδοχής () η εξίσωση Bernolli (6) αλοοείται ως εξής: φ p p ρu x (9) Λόγω της αραδοχής (3) και της εξίσωσης (9) γιά ±, όου φ/ x φ/ l, συμεραίνουμε ότι n φ/ x φ/ l, όου φ / l είναι η αράγωγος αράλληλα ρος την γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής (θυμίζουμε ότι για ± αντίστοιχα φ/ l φ/ x).. Η έκφραση γιά την δυναμική άνωση γράφεται εομένως ως εξής: φ F ( p p ) ndl ρu dl () l Το ολοκλήρωμα στη εξίσωση () υολογίζεται στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής και είναι συνεώς ίσο με την κυκλοφορία γύρω αό το ευθύγραμμο τμήμα, x < /. Η εξίσωση () ειβεβαιώνει το γενικό αοτέλεσμα F ρuγ ου έχουμε αοδείξει με την βοήθεια του ου θεωρήματος του Blasis. Ομοίως η εξίσωση γιά την ροή αλοοιείται ως εξής: φ M O ρu x dl l () Οου άλι το ολοκλήρωμα υολογίζεται στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής. 4
5 Η γραμμικοοίηση του ροβλήματος μας αρέχει την διευκόλυνση ότι μορούμε να γράψουμε την λύση του ροβλήματος σαν το άθροισμα των λύσεων δυο εί μέρους ροβλημάτων, ενός συμμετρικού ως ρος τον άξονα των x, και ενός αντισυμμετρικού ως ρος τον άξονα των x. Συγκεκριμένα, γράφουμε το γραμμικοοιημένο δυναμικό ως εξής: φ φ + φ e o () Οου φe, φ o είναι λύσεις της εξίσωσης του Laplae ου ικανοοιούν τις συνθήκη (3). την συνθήκη Ktta στην ακμή εκφυγής, και τις ακόλουθες οριακές συνθήκες άνω σην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής: φe d ( dl ) U +, x < (3 a ) φe d ( dl ) U, x < (3 b ) φo d ( dl + ) U +, x < (4 a ) φo d ( dl + ) U, x < (4 b ) Αό τις συνθήκες (3a) και (3b) έεται ότι η αράγωγος του φ e ως ρος είναι εριττή συνάρτηση του. Εομένως το φ e είναι άρτια συνάρτηση του (συμμετρικό ως ρος τον άξονα των x ). Ομοίως ροκύτει ότι το φ o είναι εριττή συνάρτηση του (αντισυμμετρικό ως ρος τον άξονα των x ), Βλέουμε δηλαδή ότι η γραμμικοοίηση εέτρεψε το «σάσιμο» του αρχικού ροβλήματος σε δύο εί μέρους ροβλήματα: Το ο ρόβλημα (δυναμικό φ e ) εριγράφει την ροή γύρω αό μιά συμμετρική διατομή με άχος ίσο με το άχος της δεδομένης υδροτομής hx ( ) ( x) l( x), και με μηδενική γωνία ρόστωσης, Το ο ρόβλημα (δυναμικό φ o ) εριγράφει την ροή γύρω αό μιά διατομή μηδενικού άχους με σχήμα ου ταυτίζεται με την μέση γραμμή κυρτότητας της δεδομένης υδροτομής ( ( x) + ( x))/. l Λογω γραμμικοτητας της εξίσωσης () ως ρος φ / x, η δύναμη άνω στην υδροτομή είναι το άθροισμα των δυνάμεων ου ροκύτουν αό την λύση των δύο διαφορετικών ροβλημάτων. Στο ο ρόβλημα η υδροτομή είναι συμμετρική ως ρος τον άξονα x και έχει μηδενική γωνία ρόστωσης, οότε ανατύσσεται μηδενική άνωση και ροή,. Η άνωση και η ροή ροκύτουν εομένως αό την λύση του ου ροβλήματος. Η έκφραση γιά την άνωση δηλαδή γράφεται: 5
6 φ φe φo φo F ρu dl ρu ( + ) dl ρu dl (4) l l l l Και ομοίως η έκφραση για την ροή αίρνει την ακόλουθη μορφή: φ x o M O ρu x dl Σε ρώτη ροσέγγιση, ου είναι η γραμμική θεωρία υδροτομών, το άχος της υδροτομής δεν αίζει ρόλο στον ροσδιορισμό άνωσης και ροής. Εικεντρωνόμαστε κατά συνέεια στην λύση του αντισυμμετρικού ροβλήματος. Εστω η ( x) και ηl ( x) οι εξισώσεις της άνω και κάτω λευράς της υδροτομής υό γωνία μηδενικής ρόστωσης. Στην τωρινή της θέση η υδροτομή έχει εριστραφεί κατά γωνία ίση με την γωνία α.κατά συνέεια και οι εφατόμενες στην υδροτομή έχουν εριστραφεί κατά τη ίδια γωνία, δηλαδή μιά τυχούσα εφατομένη με γωνία κλίσης θ έχει τώρα γωνία κλίοης α + θ. Αυτό συνεάγεται την ακόλουθη σχέση ανάμεσα στα dη i / και στα di / (οου i l, ): di tanθ tan α dηi / tanα tan( α θ ) tan( θ α) + tanθ tanα + ( dη / ) tanα + i Μεταχειριζόμαστε το γεγονός ότι dη i / << και το ότι η γωνία α είναι μικρή και καταλήγουμε ότι: d dl dη dη l α α (5 a) (5 b) Εομένως στην γραμμική θεωρία μορούμε να γράψουμε το δυναμικό φ o σαν το άθροισμα δύο δυναμικών, φ, φ α τα οοία ικανοοιούν τις ακόλουθες συνθήκες στη γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής: : φ dη ( dηl + ) U ±, x < (6 a ) φ α αu ±, x < (6 b) Το δυναμικό φ αριστάνει τη γραμμικοοιημένη λύση γιά ροή γύρω αό την υδροτομή υό μηδενική γωνία ρόστωσης, ενώ το δυναμικό φ αριστάνει τη α γραμμικοοιημένη λύση γιά ροή γύρω αό είεδη λάκα υό γωνία ρόστωσης a. 6
7 Το ρώτο δυναμικό είναι ιδιότητα της συγκεκριμένης υδροτομής. Το δεύτερο δυναμικό το έχουμε υολογίσει με την θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων και η λύση είναι γνωστή: Δημιουργείται άνωση ίση με ρusinα, το οοίο γιά μικρές γωνίες ρόστωσης αλοοιείται σε ρuα. Κατά συνέεια αν ονομάσουμε F την δυναμική άνωση στην υδροτομή υό μηδενική γωνία ρόστωσης, αό την εξίσωση () και την λύση για κεκλιμένη είεδη λάκα έχουμε ότι: F F U + ρ α (7) Διαρώντας με άνωσης: ρ U/ καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση γιά τον συντελεστή CL CL + α (8) Οου CL F /( ρu ) είναι ο συντελεστής άνωσης γιά μηδενική γωνία ρόστωσης. Η εξίσωση (8) είναι η βασική σχέση της θεωρίας λετών υδροτομών. Ο συντελεστής άνωσης μηδενίζεται γιά όταν η γωνία ρόστωσης άρει την τιμή α /( ) C L. Ο συντελεστής άνωσης γράφεται λοιόν και ως εξής: C α ( α) (9) L Οου α είναι η γωνία μηδενικής άνωσης. Ομοίως καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση γιά την ροή στην λετή υδροτομή: M M + αρu O h 8 () Οου M h είναι η συνισταμένη ροή των υδροδυναμικών δυνάμεων άνω στην υδροτομή ως ρος την αρχή των αξόνων υό μηδενική γωνία ρόστωσης. Αντίστοιχα με την εξίσωση (9) γιά τον συντελεστή άνωσης μορούμε να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση γιά τον συντελεστή ροής: CM CMh + α () Οου CMh Mh /( ρu ) είναι ο συντελεστής ροής υό μηδενική γωνία ρόστωσης. Ενα σημείο ου αξίζει να αναφέρουμε είναι το ότι, όως βρήκαμε αό την λύση γιά είεδη λάκα υό γωνία κλίσης, η ταχύτητα φα είναι άειρη στο άκρο ρόστωσης. Και η ταχύτητα φ αειρίζεται εκεί εειδή ροκύτει αό λύση 7
8 ροβλήματος υδροτομής με μηδενικό άχος. Η ταχύτητα στο άκρο ρόστωσης δεν θα γίνει φυσικά στην ραγματικότητα άειρη, ενδεχομένως να είναι όμως αρκετά μεγάλη γιά να ροκαλέσει χαμηλές ιέσεις με δυσάρεστα εακόλουθα (σηλαίωση). Είναι κατά συνέεια ειθυμητό η φόρτιση της υδροτομής, δηλαδή η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην άνω και στην κάτω λευρά της υδροτομής, να είναι κατά το δυνατόν ομοιόμορφη κατά το μήκος της χορδής. Αυτό είναι μιά ααίτηση κατά τον σχεδιασμό των υδροτομών, δηλαδή ειλογή των χαρακτηριστικών της υδροτομής ώστε να αογεύγονται μεγάλες ανομοιομορφίες στην φόρτιση. Υάρχει μιά συγκεκριμένη τιμή της γωνίας ρόστωσης στην οοία η ταχύτητα στο άκρο ρόστωσης δεν ροκύτει άειρη έστω και αν υοτεθεί ότι το άχος της υδροτομής είναι μηδενικό. Αυτό γίνεται οταν το μροστινό σημείο ανακοής συμίτει με το άκρο ρόστωσης. Η γωνία αυτή λέγεται ιδανική γωνία ρόστωσης. Η οναμασία ιδανική αναφέρεται στο ότι είναι ααλλαγμένη αό το ρόβλημα της δημιουργίας χαμηλών ιέσεων στην ακμή ρόστωσης,. Γιά οοιαδήοτε υδροτομή συμμετρική ως ρος το μέσο της χορδής, η ιδανική γωνία ρόστωσης είναι ίση με μηδέν. Αυτό συμβαίνει ειεδή, λόγω συμμετρίας της υδροτομής υό μηδενική γωνία ρόστωσης, η συνθήκη Ktta ισχύει και στο άκρο ρόστωσης. Λύση του γραμμικοοιημένου ροβλήματος με χρήση διανεμημένης στροβιλότητας. Η αρουσία υδροτομής αμελητέου άχους ροκαλεί αύξηση της ταχύτητας του ρευστού στην άνω λευρά της υδροτομής και μείωση της ταχύτητας του ρευστού στην κάτω λευρά. Αυτό μορεί να μοντελοοιηθεί με μιά κατανομή στροβιλότητας άνω στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής. Θεωρούμε μιά δίνη αειροστής έντασης dγ στην θέση ( ξ,). Ως γνωστόν το εδίο ταχυτήτων ου δημιουργεί η δίνη δίνεται αό την σχέση: dγ d idv i ( x ξ + i) () Θεωρούμε τώρα ότι όλο το τμήμα ( /, /) καλύτεται αό τέτοιες δίνες διαφορετικής έντασης. Το συνολικό εδίο ταχυτήτων ροκύτει αό την ολοκλήρωση της () ως ρος ξ: / dγ( ξ ) iv i x ξ + i / (3) Θέτουμε dγ ( ξ) γξ ( ), όου γ(ξ) είναι στροβιλότητα/μήκος, και λέγεται υκνότητα στροβιλότητας. Διαχωρίζοντας ραγματικό και φανταστικό μέρος έχουμε ότι: / γξ ( ) ( x ξ) + / (4) 8
9 / γξ ( )( x ξ) v ( x ξ) + / (5) Γιά να εφαρμόσουμε την οριακή συνθήκη στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής ρέει ρώτα να βρούμε το όριο των (4) και (5) γιά ±. Χρησιμοοιούμε ένα δείκτη + γιά τιμές μεγεθών στην λευρά +, και ένα δείκτη γιά τιμές μεγεθών στην λευρά. Συγκεκριμένα έχουμε ότι: + γ γ (6 a) (6 b) v / γξ ( ) v x ξ + / (7) Οι εξισώσεις (6a), (6b) μορούν να αοδειχθούν ως εξής: Για μικρό, αλλά όχι μηδέν, κάνουμε την αντικατάστασηξ x + s στην (4), οότε ds, και θέτοντας s (( / ) + x) /, s (( / ) x) / έχουμε ότι: s s γ( x + s) γ( x) ds γ( x) s ds Ar tan s s ( + s ) + s s s γ ( x ) / / ( tan( x ) tan( + Ar + Ar x )) Παίρνουμε τώρα τα όριο γιά + ροκύτει η (6a)., ενώ αίρνοντας το όριο γιά, ροκύτει η (6b). Η αόδειξη της (7) είναι μάλλον ροφανής. Υενθυμίζουμε όμως ότι το λόγω της ύαρξης ανώμαλου σημείου στην θέση ξ x, το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (7) ρέει να ερμηνευτεί σαν η «κυρία τιμή» του ολοκληρώματος: / x ε / γξ ( ) ( ) ( ) lim [ γξ γξ + x ξ x ξ x ξ ] / ε / x+ ε Αό την αρχή του Bernolli η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην κάτω και στην άνω λευρά της υδροτομής δίνεται αό την σχέση: p p ρu ( ) + + Αντικαθιστώντας τις (6a) και (6b) βρίσκουμε ότι: 9
10 p p ρuγ + (8) Η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην κάτω και στην άνω λευρά της υδροτομής είναι κατά συνέεια κατ ευθείαν ανάλογη με την υκνότητα στροβιλότητας γ, και γι αυτό η τελευταία λέγεται και «φόρτιση» της υδροτομής. Ολοκληρώνοντας την διαφορά ίεσης και την ροή της έχουμε ότι: / / / / F ( p p ) ρu γ( x), M x( p p ) ρu xγ( x) + O + / / / / Αό την ρώτη εξίσωση και την γενική σχέση F ρuγ ροκύτει ότι η κυκλοφορία γύρω αό την υδροτομή είναι το ολοκλήρωμα της γ : / Γ γ ( x) (9) / Εφαρμογή της οριακής συνθήκης (6a) οδηγεί στην εξής σχέση: / γξ ( ) dm v( ξ,) U (3) x ξ / Οου dm (/ )( d / + dl / ) είναι η εξίσωση της κλίσης της μέσης γραμμής κυρτότητας. Η εξίσωση (3) λέγεται γραμμική ολοκληρωτική εξίσωση. Ολοκληρωτική εειδή ο άγνωστος (η υκνότητα στροβιλότητας γ) βρίσκεται δεξια αό το σύμβολο ολοκλήρωσης και γραμμική εειδή είναι υψωμένος στην ρώτη δύναμη. Γενικά μιά ολοκληρωτική εξίσωση ειλύεται ροσεγγίζοντας την με ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων ου ροκύτουν αό τον αριθμητικό υολογισμό του ολοκληρώματος. Η ολοκληρωτική εξίσωση (3) ανήκει στην (μικρή) υοκατηγορία ολοκληρωτικών εξισώσεων των οοίων η λύση μορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή. Αοδεικνύεται στην θεωρία ολοκληρωτικών εξισώσεων ότι η λύση της (3) δίνεται αό την εξής σχέση: / / v( ξ,)(( / ) ξ ) γ( x) { + Γ} (3) ξ / (( / ) x ) x / Οου Γ είναι η κυκλοφορία γύρω αό την υδροτομή (εξ. (9)), η οοία είναι άγνωστη. Οως είχαμε κάνει και στο ρόβλημα υολογισμού της άνωσης σε είεδη λάκα υό κλίση, γιά τον υολογισμό της Γ θα εικαλεστούμε την συνθήκη του Ktta, (Η αόδειξη της (3) αραλείεται). Η τιμή της υκνότητας στροβιλότητας ου ροκύτει είναι άειρη και στα δύο άκρα x ± /. Αυτό συνεάγεται ότι και η ταχύτητα αειρίζεται στα δύο άκρα. Η αειρία
11 στο άκρο εκφυγής μορεί να ααλειφθεί αν, εικαλούμενοι την συνθήκη του Ktta, ειλέξουμε την κυκλοφορία Γ έτσι ώστε η αράσταση μέσα στις αγγύλες στην εξίσωση (3) να μηδενίζεται στο άκρο εκφυγής. Θέτουμε x / στην αράσταση μέσα στις αγγύλες της (3) και βρίσκουμε ότι αυτό γίνεται γιά την ακόλουθη τιμή της Γ : / / v(,)(( / ) ) / dm / ξ / / d / / ξ ξ + ξ Γ d U (3) ξ ξ ξ Η συνθήκη Ktta ειτρέει, όως και στην ερίτωση της είεδης λάκας υό κλίση, τον ροσδιορισμό της τιμής της κυκλοφορίας Γ. Είναι διδακτικό να εαληθεύσουμε μέσω της (3) το αοτέλεσμα γιά την κυκλοφορία γύρα αό είεδη λάκα υό κλίση, ου είναμε λύσει με σύμμορφη αεικόνιση. Η είεδη λάκα υό κλίση α αντιστοιχεί σε dm / α. Αντικαθιστούμε στην (3) και βρίσκουμε ότι: Γ αu / / /+ ξ / ξ Το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος υολογίζεται σχετικά εύκολα με την αντικατάσταση ξ s /, s. Προκύτει ότι Γ α, ου συμφωνεί γιά μικρές γωνίες με το αοτέλεσμα ου βρήκαμε με την μέθοδο της σύμμορφης αεικόνισης. Αντικαθιστούμε την τιμή της Γ και την τιμή του v( ξ,) αό την (3) στην εξίσωση (3) και βρίσκουμε την ακόλουθη σχέση γιά την υκνότητα γ: / U / x dm /+ ξ γ( x) (33) / + x ξ x / ξ / Η υκνότητα στροβιλότητας τώρα μηδενίζεται στο άκρο εκφυγής, λόγω της συνθήκης Ktta. Γιά την άνωση βρίσκουμε ότι: / / dm /+ ξ F ρu γ ρu (34) / ξ / / Οότε ο συντελεστής άνωσης δίνεται αό την σχέση: C L / 4 dm /+ ξ d ξ / ξ / (35) Η ροή γύρω αό την αρχή των αξόνων ροκύτει ίση με:
12 / / dm M O ρu γ( x) x ρu ( / ) ξ (36) / / Γιά υδροτομές συμμετρικές ως ρος τον άξονα των η κλίση dm / είναι εριττή συνάρτηση του x γιά μηεδενική γωνία ρόστωσης, οότε η ροή μηδενίζεται. Ο συντελεστής ροής δίνεται αό την σχέση: / 4 dm CM ξ / ( / ) (38) Το κέντρο ίεσης της υδροτομής βρίσκεται σε αόσταση M / F C / C αό το κέντρο της χορδής. O L M Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μιά υδροτομή με αραβολικό σχήμα. Τότε γιά μηδενική γωνία ρόστωσης η κλίση της μέσης γραμμής κυρτότητας δίνεται αό την σχέση: dm dηm bx Οου b σταθερά. Η μέγιστη κυρτότητα της υδροτομής είναι ίση με b /8. Στην ερίτωση αυτή αό τις εξισώσεις (33), (35), και (36) ροκύτουν τα ακόλουθα αοτελέσματα: γ ( x) Ub(( ) x ) CL C Mh. b / Παρατηρούμε ότι γιά μηδενική γωνία ρόστωσης η συνθήκη Ktta ικανοοιείται λόγω συμμετρίας και στο άκρο ρόστωσης. Είλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης με την χρήση σειράς Forier Η ακριβής λύση της εξίσωσης (3) ααιτεί τον υολογισμό μερικών όχι και τόσο αλών ολοκληρωμάτων. Εναλλακτικά η εξίσωση (3) μορεί να ειλυθεί με την βοήθεια της θεωρίας σειράς Forier ου οδηγεί σε ολύ αλές εκφράσεις γιά τον συντελεστή άνωσης και τον συντελεστή ροής.
13 Πρώτα μετασχηματίζουμε της εξίσωση (3) ορίζοντας ξ / osθ, x / osϕ, όου θϕ, στο διάστημα (, ), οότε ( / )sinθdθ : U d m γ sin θdθ (39) osθ osϕ Ως γνωστόν στο άκρο εκφυγής έχουμε την συνθήκη Ktta ου ειβάλλει μηδενισμό της στροβιλότητας, ενώ στο άκρο ρόστωσης η στροβιλότητα έχει ανώμαλο σημείο. Η συμεριφορά της στροβιλότητας στο ανώμαλο σημείο είναι γνωστή, είναι η ίδια με αυτήν ου είδαμε στη άκρο ρόστωσης είεδης λάκας υό κλίση. Μορούμε εομένως να αραστήσουμε την στροβιλότητα σαν μιά ημιτονική σειρά Forier αρκεί να την ομαλοοιήσουμε ρώτα στο άκρο ρόστωσης αφαιρώντας ένα όρο ανάλογο με την στροβιλότητα είεδης λάκας υό κλίση, δηλαδή ανάλογο με tan( θ / ). Γράφουμε εομένως γιά την στροβιλότητα γ θ UA tan U A sin( nθ) (4) + n n Ολοι οι όροι στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (4) ικανοοιούν την συνθήκη Ktta. Ο ρώτος όρος είναι ανάλογος με την στροβιλότητα είεδης λάκας υό κλίση και αειρίζεται στο άκρο ρόστωσης. Η σταθερά αναλογίας A είναι τέτοια ώστε η αράσταση γ + UA tan( θ / ) να μηδενίζεται στο άκρο ρόστωσης. Στην ειδική ερίτωση ου έχουμε είεδη λάκα υό κλίση, όως έχουμε δεί, A α, όου α είναι η γωνία ρόστωσης. Γιά τους συντελεστές An στην εξίσωση (4) ισχύει εομένως ότι: θ UAn ( γ UA tan )sin( nθ) dθ (4) + Θα χρηθσιμοοιήσουμε τώρα τη εξίσωση (39) γιά να λύσουμε γιά τους άγνωστους A, A, A,... Αντικαθιστούμε την εξίσωση (4) στην (39) και εναλλάσσοντας ολοκλήρωση και άθροιση βρίσκουμε ότι: dm tan( θ / )sinθ sin( nθ)sinθ ( A dθ A dθ) (4) osθ osϕ osθ osϕ n n Μεταχειριζόμαστε τις τριγωνομετρικές σχέσεις tan( θ / )sinθ osθ και sin( nθ)sinθ os(( n ) θ) os(( n+ ) θ) οότε η εξίσωση (4) γίνεται: 3
14 dm osθ os(( n ) θ ( A dθ A dθ osθ osϕ + osθ osϕ n os(( n + ) θ ) + A dθ ) (43) osθ osϕ n Ολα τα ολοκληρώματα ου εμφανίζονται στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (43) είναι της μορφής os( nθ) dθ /(osθ os ϕ). Τα ολοκληρώμτα αυτά μορούν να υολογιστούν σε κλειστή μορφή και ορίζουν τις λεγόμενες συναρτήσεις του Glaert G : n os( nθ) sin( nϕ) Gn ( ϕ) dθ (44) osθ osϕ sinϕ. H αόδειξη της εξίσωσης (44) γίνεται χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες αρκεί να αρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις Gn ικανοοιούν την ακόλουθη αναδρομική σχέση: Gn+ + Gn osϕgn (45) Μεταχειριζόμαστε τώρα την εξίσωση (44) γιά να υολογίσουμε τα ολοκληρώματα στην (43) και βρίσκουμε ότι: dm ( A ( G G ) A ( G G )) (46) n n n+ n Παρατηρούμε τώρα (α) ότι G, G, και (β) χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα sin(( n ) θ) sin(( n+ ) θ) sinθos( nθ) ισχύει ότι: sin( n ) θ sin( n+ ) θ) Gn Gn+ ( ) os( nθ) sinθ sinθ Κατά συνέεια η εξίσωση (46) αλοοιείται ως εξής: d m + n A A os nθ (46 a) n Βλέουμε δηλαδή ότι άγνωστοι A, A, A,... είναι ίσοι με τους συντελεστές της συνημιτονικής σειράς της συνάρτησης dm /, θεωρούμενης σαν συνάρτησης της μεταβλητής θ στο διάστημα (, ). 4
15 Σύμφωνα με την θεωρία σειρών Forier, οι άγνωστοι A, A,... μορούν να υολογισθούν αό τις ακόλουθες σχέσεις: d A m dθ (47) dm An os( nθ) dθ, n,,... (48) Οι συντελεστές άνωσης και ροής μορούν να εκφραστούν ολύ αλά συναρτήσει των (γνωστών λέον) συντελεστών A, A, A,... : / θ CL γ ( UA tan U An sin( nθ ))sin θdθ U + U / n ( A A) (49) / θ CM x os ( AU tan U Ansin( n ))sin d U γ θ + θ θ θ U / n ( A A) (5) Γιά τις εξισώσεις (49) και (5) χρησιμοοιήθηκαν οι ακόλουθες σχέσεις: θ θ tan sin θdθ, tan sinθosθdθ sin( kθ )sin( nθ ) dθ, αν n k,, αν n k Εύκολες εαληθεύσεις των εξισώσεων (49) και (5) μορούν να γίνουν με τις εξής εριτώσεις (όου το αοτέλεσμα μας είναι γνωστό): () Είεδη λάκα υό κλίση, οότε A α, A A () Παραβολικό τόξο με μέγιστη κυρτότητα b /8 υό μηδενική γωνία ρόστωσης, οότε A b, A A A3. (3) Παραβολικό τόξο με μέγιστη κυρτότητα b /8 υό γωνία ρόστωσης α, οότε A α, A b, A A3 5
nφ dφ ΘΕΩΡΙΑ ΦΕΡΟΥΣΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ από την ελευθερη στροβιλότητα: = < = και v ( x, z) = v (0, z) ζ ξ ζ ζ -Γ(z) θ=π
ΘΕΩΡΙΑ ΦΕΡΟΥΣΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ αό την ελευθερη στροβιλότητα: s/ f γ x( ξ, ζ ( z ζ vi ( x, z = dξdζ 3/ 4 (( x ξ + ( z ζ s/ x ( ζ L dγ γ x ( x, z, x γ x ( x, z =, x dz f f
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές
Διαβάστε περισσότερα[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "
Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας
Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x
Διαβάστε περισσότεραxsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 9. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοοιείται ολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Ειστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.
Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2
ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις
6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x
ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:
Διαβάστε περισσότεραείναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι
ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ Συγγραφή Ειμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.
Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση
Διαβάστε περισσότεραΣτραγγίσεις (Θεωρία)
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017
Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου
Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση
Διαβάστε περισσότερα(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΔίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)
http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος
Διαβάστε περισσότεραF = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &
Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου
Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =
Διαβάστε περισσότερα1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)
ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.
Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη
Διαβάστε περισσότεραf p = lim (1 a n ) < n=0
Πανειστήμιο Κρήτης Τμήμα Μαθηματικών Συντελεστές Taylor συναρτήσεων σε χώρους Hardy Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη Ειβλέων Καθηγητής: Μιχαήλ Πααδημητράκης Ειτροή: Μιχαήλ Κολουντζάκης, Θεμιστοκλής Μήτσης και
Διαβάστε περισσότεραΜία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις
Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)
Διαβάστε περισσότερασώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και
Διαβάστε περισσότερα7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων
8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08
Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px
Διαβάστε περισσότεραΣειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε
Διαβάστε περισσότεραz έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2
ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...
Διαβάστε περισσότεραTριγωνομετρικές εξισώσεις
Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20
Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές Εξετάσεις 2017
Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων
1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ
Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότερα[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.
99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. (α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός; (,5 µονάδες) r (β) Αν Μ(x, y) σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια
Διαβάστε περισσότερα3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)
ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού
Διαβάστε περισσότερα, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία
f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -
Διαβάστε περισσότεραfysikoblog.blogspot.com
fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge
Διαβάστε περισσότεραf(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για
Διαβάστε περισσότεραAΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2018
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 8 ΘΕΜΑ Α: Α. Αόδειξη σελ.44 (σχολικό) Α. Ορισμός σελ. 5 (σχολικό) Α3. Η αράγωγος της f μορεί να είναι η Τ και η αράγωγος της g η H. Α4.
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.
7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας
Διαβάστε περισσότεραSeirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις
Διαβάστε περισσότεραΑχ, πονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα
Αχ, ονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα F() f (t)dt! ) Μια σύντομη αναδρομή Ειμέλεια: Μάκης Χατζόουλος Όλα ξεκίνησαν στις 7 Ιουνίου 5 όταν ανακοινώθηκε η διδακτέα εξεταστέα ύλη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)
ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: 6
Διαβάστε περισσότεραΓια τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της
Διαβάστε περισσότεραΜια φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η μείωση του πλάτους δεν είναι εκθετική.
Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική. Το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς =100N/, το οοίο έχει το φυσικό του μήκος, είναι ακλόνητα στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
1 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Αν ισχύει η ισότητα AB + BK- ΒΛ = AM- AK, να αοδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν είναι ΒΔ = κ ΑΒ+ ΑΓ και ΓΕ ( 1+ κ ) = AB+ ΑΓ, να
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ
ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης
ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (
Διαβάστε περισσότεραΠανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 18 Μαΐου 216 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα
. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών
Διαβάστε περισσότερα