Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός"

Transcript

1 Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός

2 Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς

3 Mare-Esrt-Léon Walras (834-90

4 Francs Ysdro Edgeworth (845-96

5 . ντγνιστική Ισορροπί.. Εισγγή Φντστείτε έν γεγονός που επηρεάζει ρνητικά τη ζήτηση του κρέτος τν πουλερικών, π.χ. τη γρίπη τν πουλερικών. Γνρίζουμε πό την μικροοικονομική θερί ότι έν τέτοιο γεγονός θ μεττοπίσει την κμπύλη ζήτησης προς τ ριστερά με ποτέλεσμ ν μειθεί η γορί τιμή του κρέτος τν πουλερικών κθώς επίσης κι η ποσότητ ισορροπίς. Εξετάζοντς δηλδή τη συγκεκριμένη γορά (νάλυση μερικής ισορροπίς, κτλήγουμε στο συμπέρσμ ότι στη νέ ισορροπί οι κτνλτές θ γοράζουν κι οι πργγοί θ προσφέρουν μικρότερη ποσότητ σε χμηλότερη τιμή. Στμτούν εδώ τ ποτελέσμτ μις ρνητικής εξτερικής επίδρσης, όπς η νόσος τν πουλερικών; Φυσικά όχι. νμένουμε οι κτνλτές ν στρφούν προς άλλες μορφές κρέτος στην γορά τν οποίν θ πρτηρήσουμε μι μεττόπιση της κμπύλης ζήτησης προς τ δεξιά. υτή θ οδηγήσει σε ύξηση της τιμής τν άλλν μορφών κρέτος κθώς επίσης κι της εμπορευόμενης ποσότητς (ποσότητς ισορροπίς. Στη νέ ισορροπί, σε κάθε μι πό υτές τις γορές, οι κτνλτές θ γοράζουν κι οι πργγοί θ προσφέρουν μεγλύτερη ποσότητ σε ψηλότερη τιμή. Στμτούν εδώ τ ποτελέσμτ του ρχικού γεγονότος; Φυσικά όχι. Θ επηρεστεί ενδεχομένς κι η γορά ψριών κθώς επίσης κι όλν τν άλλν προϊόντν που είνι είτε υποκτάσττ είτε συμπληρμτικά με το κρές τν πουλερικών, πρδείγμτος χάριν, η γορά κρσιού ή μπύρς. Οι μετβολές στους τομείς τν πουλερικών κι τν άλλν μορφών κρέτος θ επηρεάσουν επίσης κι τις γορές τν πργγικών συντελεστών που πσχολούντι σε υτές. Πιο συγκεκριμέν, εξιτίς της ρχικής ρνητικής επίδρσης κι της μείσης της εμπορευόμενης ποσότητς τν πουλερικών, κάποιοι εργάτες στον τομέ τν πουλερικών θ χάσουν την εργσί τους. Επίσης κάποιος μηχνολογικός εξοπλισμός, γι πράδειγμ, μηχνήμτ τυποποίησης, συσκευσίς, υτοκίνητ κ.λπ. θ στμτήσουν ν χρησιμοποιούντι στο συγκεκριμένο τομέ. Όπς είνι φυσικό, οι κάτοχοι υτών τν πργγικών συντελεστών θ νζητήσουν εργσί σε άλλους τομείς. Οι τομείς υτοί μπορεί ν μην είνι πρίτητ συγγενείς με τον τομέ τν πουλερικών, φού η μετβολή στη ζήτηση δεν θ διοχετευθεί όλη σε έν τομέ. Επιπλέον ο ένς τομές χρησιμοποιεί πργγικούς συντελεστές σε νλογί διφορετική πό τον άλλο. Γι πράδειγμ, ο τομές τν πουλερικών θ πελευθερώσει ποσότητες εργσίς κι κεφλίου σε νλογί διφορετική πό υτή που θ προσλάβει ο τομές της κτηνοτροφίς ή της λιείς. Κτά συνέπει οι πργγικοί συντελεστές που εργάζοντν πριν στο τομέ τν πουλερικών δεν μπορούν ν πσχοληθούν όλοι στον τομέ της κτηνοτροφίς ή της λιείς λλά θ διοχετευθούν (ενδεχομένς μετά πό έν μεγάλο χρονικό διάστημ σε όλη την (τοπική ή εθνική οικονομί. Επίσης με την λλγή πσχόλησης, οι πργγικοί συντελεστές θ έχουν μι λλγή στο εισόδημ τους, η οποί θ επηρεάσει τις γορές όλν τν γθών στις οποίες οι κάτοχοι υτών τν πργγικών συντελεστών εισέρχοντι ς γορστές. Το συγκεκριμένο πράδειγμ θ μπορούσε ν συνεχιστεί νφέροντς τις επιπτώσεις σε πολλές άλλες (εθνικές ή πγκόσμιες γορές. Το γενικό συμπέρσμ είνι ότι μι λλγή που συμβίνει σε μι γορά έχει επιδράσεις, άλλοτε μικρότερες κι άλλοτε μεγλύτερες, σε πολλές άλλες γορές της

6 6 οικονομίς. Η εξέτση τν επιδράσεν ενός γεγονότος στο σύνολο της οικονομίς πιτεί νάλυση γενικής ισορροπίς, δηλδή την τυτόχρονη εξέτση όλν τν γορών μις οικονομίς. Υπάρχει ένς κόμη βθύτερος λόγος γι την μελέτη της Θερίς της Γενικής Ισορροπίς. Σκεφθείτε προς στιγμήν πς λειτουργούν οι σύγχρονες οικονομίες. Κάθε μέρ εκτομμύρι άτομ ή επιχειρήσεις εισέρχοντι είτε ς γορστές είτε ς πλητές σε χιλιάδες γορές γθών κι πργγικών συντελεστών. Το κάθε έν πό υτά τ άτομ ή τις επιχειρήσεις πργμτοποιεί ένν ριθμό συνλλγών. Τι συντονίζει τις ενέργειες τους; Τι εγγυάτι ότι υτό που προσφέρει μι οικονομική μονάδ θ ζητηθεί πό μι άλλη; Με άλλ λόγι, πς λειτουργούν οι γορές; Μπορούν ν λειτουργήσουν «κλά»; Γι ν πντήσουμε υτά τ ερτήμτ χρειζόμστε μι συνολική εικόν της οικονομίς ή έν υπόδειγμ γενικής ισορροπίς. Το υπόδειγμ υτό θ πίξει το ρόλο ενός στθερού σημείου νφοράς, με το οποίο θ μπορούμε ν συγκρίνουμε πργμτικές κτστάσεις κι ν βγάλουμε συμπεράσμτ πολιτικής. ντιλμβάνεστε βέβι ότι το πρόβλημ είνι ιδιίτερ σύνθετο κι γι το σκοπό υτό είνι πρίτητες μι σειρά πό πλουστευτικές υποθέσεις. Επίσης, στην ενότητ υτή θ περιοριστούμε στην εξέτση μόνο ντλλκτικών οικονομιών πό όπου θ εξάγουμε συνθήκες γι την «κλή» (ποτελεσμτική λειτουργί τν γορών μις σττικής οικονομίς. Επιπλέον, τις συνθήκες υτές θ τις συγκρίνουμε σε επόμεν κεφάλι του βιβλίου με τις ντίστοιχες συνθήκες γι την κλή λειτουργί μις δυνμικής οικονομίς... Περιγρφή μις ντλλκτικής Οικονομίς 3 * Έστ μι οικονομί στην οποί υπάρχουν Ι άτομ κι γθά, όπου, είνι φυσικοί ριθμοί (, Ν {,, }. Όλ τ άτομ τη στιγμή της γέννησής τους προικοδοτούντι με έν μη-ρνητικό συνδυσμό πό όλ τ γθά. Ο συνδυσμός υτός ποτελεί το ρχικό πόθεμ (ntal endowment του τόμου. Σε ολόκληρο το βιβλίο θ χρησιμοποιήσουμε το γράμμ γι ν δηλώσουμε ρχικά ποθέμτ. Επίσης, θ χρησιμοποιήσουμε το δείκτη, που πίρνει τιμές,,, γι ν συμβολίσουμε τ άτομ κι το δείκτη, που πίρνει τιμές,,, γι ν συμβολίσουμε τ γθά. Έτσι συμβολίζει το ρχικό πόθεμ του τόμου πό το γθό. Επίσης θ συμβολίζει γενικά την ποσότητ που κτέχει το άτομο πό το γθό. Όπς είνι φυσικό, σε μι δεδομένη στιγμή το μπορεί ν διφέρει πό Προσέξτε ότι ρτάμε «ν μπορούν οι γορές ν λειτουργήσουν κλά» κι όχι «ν λειτουργούν κλά». Η πρώτη ερώτηση είνι θερητική κι είνι υτή που μς ενδιφέρει εδώ. Η δεύτερη ερώτηση, που χρειάζετι ενδεχομένς ν γίνει πιο συγκεκριμένη εξειδικεύοντς σε ποι οικονομί κι σε ποι χρονική στιγμή, είνι εμπειρική. Οικονομίες με πργγή εξετάζοντι σε επόμενες ενότητες, όπου νλύετι η Δυνμική Γενική Ισορροπί τους. Γι μι πιο ολοκληρμένη προυσίση της Θερίς της Γενικής (Σττικής Ισορροπίς βλέπε (κτά σειρά δυσκολίς Varan (006, Varan (99 κι Mas-Collel, Whnston κι Green ( Στ κεφάλι -4, τμήμτ που φέρουν στερίσκο, *, νλύουν τη γενική περίπτση μις οικονομίς με Ι άτομ κι γθά. Ο νγνώστης που δεν είνι εξοικειμένος με τεχνικές προυσιάσεις μπορεί ρχικά ν διβάσει υτά τ τμήμτ πρλείποντς τις μθημτικές εξισώσεις κι ν επικεντρθεί στ τμήμτ που νλύουν την ειδική περίπτση μις ντλλκτικής οικονομίς με άτομ κι γθά.

7 7 το, ν γι πράδειγμ το άτομο έχει συνάψει ντλλγές, λλά μπορεί κι ν τυτίζετι με υτό. Tο συνολικό ρχικό πόθεμ ενός τόμου, δηλδή το σύνολο τν ρχικών ποσοτήτν που κτέχει το άτομο πό όλ τ γθά, συμβολίζετι με το διάνυσμ,,, ενώ ένς οποιοσδήποτε άλλος κτνλτικός ( συνδυσμός με το διάνυσμ (,,. 4 Επίσης νφερόμστε σε ένν κτάλογο κτνλτικών συνδυσμών τν γθών που δηλώνει τι κτνλώνει το κάθε άτομο πό κάθε γθό με τον όρο κτνομή (allocaton. Μι κτνομή δηλδή συμβολίζετι ς έν διάνυσμ δινυσμάτν (μήτρ. Το ρχικό πόθεμ της Ι οικονομίς (,,, όπου (,,,,, ποτελεί έν πράδειγμ κτνομής. Πιο νλυτικά,, όπου οι στήλες της μήτρς δηλώνουν τις ρχικές ποσότητες με τις οποίες προικοδοτείτι έν άτομο πό κάθε γθό, γι πράδειγμ, η πρώτη στήλη δηλώνει τις ποσότητες που λμβάνει ρχικά το άτομο πό κάθε γθό. Το άθροισμ τν στοιχείν κάθε γρμμής μς δίνει τη συνολική ποσότητ που είνι ρχικά διθέσιμη στην οικονομί, π.χ. το άθροισμ τν στοιχείν της πρώτης γρμμής 3 Ι μς δίνει τη συνολική ποσότητ του γθού που είνι ρχικά διθέσιμη στην οικονομί. Μι οικονομί η οποί δεν συνάπτει εμπορικές συνλλγές με τον υπόλοιπο κόσμο ονομάζετι κλειστή. Εάν η οικονομί είνι κλειστή, όπς υποθέτουμε τουλάχιστον σε ολόκληρη την Ενότητ, τότε η ρχικά διθέσιμη συνολική ποσότητ πό κάθε γθό (το άθροισμ τν ρχικών ποθεμάτν όλν τν τόμν είνι ίση με την με την τελικά διθέσιμη ποσότητ. Ορισμός.. Σε μι ντλλκτική οικονομί μι κτνομή είνι εφικτή (feasble ν η ποσότητ κάθε γθού που κτνλώνετι είνι μικρότερη ή ίση πό την ποσότητ που είνι διθέσιμη. Δηλδή, ν συμβολίζει την ποσότητ του γθού που κτνλώνει το άτομο, γι ν είνι μι κτνομή εφικτή θ πρέπει ν ικνοποιούντι οι κόλουθες νισότητες (μί γι κάθε γθό: ,,, ή συντομογρφικά 4 Ότν δεν είνι πρίτητο, δεν εξειδικεύουμε ν νφερόμστε σε διάνυσμ-γρμμή ή σε διάνυσμ-στήλη.

8 8 0,,. Το ριστερό μέλος τν πρπάν νισοτήτν μς δίνει την ποσότητ που κτνλώνουν όλ τ άτομ πό το γθό, δηλδή, τη συνολική ποσότητ πό το γθό που κτνλώνετι, ενώ το δεξιό μέλος τη συνολική ποσότητ που είνι διθέσιμη. Κτνομές στις οποίες η ποσότητ κάθε γθού που κτνλώνετι είνι κριβώς ίση με την ποσότητ που είνι διθέσιμη θ λέγοντι κριβώς εφικτές. Με άλλ λόγι, μι κτνομή είνι κριβώς εφικτή ν οι πρπάν νισότητες ισχύουν ς ισότητες. Στην πλή οικονομί που θ εξετάσουμε εδώ δεν υπάρχει πργγή. Επίσης δεν υπάρχουν επιχειρήσεις. Τ γθά εμπορεύοντι σε κεντρικές γορές στις οποίες επικρτεί μι τιμή. Όλοι οι γορστές κι οι πλητές γνρίζουν υτή την τιμή. Η πργμτοποίηση συνλλγών δεν έχει κόστος. Όλες οι μονάδες ενός γθού έχουν την ίδι ποιότητ (δηλδή όλ τ γθά είνι ομογενή την οποί γνρίζουν όλοι οι γορστές κι οι πλητές. Επομένς δεν μπορεί ν υπάρξει εξπάτηση ή λάθος σε μι συνλλγή. Επίσης, όλ τ γθά είνι περιόριστ διιρέσιμ. Τέλος, δεν υπάρχουν εξτερικές επιδράσεις (eternaltes, δηλδή η κτνάλση ενός γθού πό έν άτομο δεν επηρεάζει θετικά ή ρνητικά κάποιο άλλο. Πρδείγμτ γθών με ρνητική κι θετική, ντίστοιχ, εξτερική επίδρση είνι το κάπνισμ κι η πιδεί. Ο κάθε κτνλτής προσπθεί ν μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του η οποί εξρτάτι ποκλειστικά πό τις ποσότητες τν γθών που κτνλώνει, λμβάνοντς ς δεδομένες τις τιμές τν γθών κι το ρχικό του πόθεμ. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητς κάθε τόμου έχει πεδίο ορισμού το R +, είνι τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διφορίσιμη, 5 υστηρά ύξουσ κι οιονεί κοίλη. 6 Στην περίπτση τν δύο γθών υτό σημίνει ότι η συνάρτηση υτή μπορεί ν πρστθεί στο επίπεδο πό κμπύλες διφορίς με τις συνήθεις ιδιότητες: έχουν ρνητική κλίση, β είνι κυρτές προς την ρχή τν ξόνν γ κλύπτουν το επίπεδο δ το επίπεδο χρησιμότητς που επιτυγχάνει ο κτνλτής υξάνετι διρκώς ν ξεκινώντς πό έν ορισμένο συνδυσμό (, κινούμστε προς τ πάν κι δεξιά, δηλδή βορειοντολικά, στο χάρτη τν κμπυλών διφορίς κι ε δεν τέμνοντι, (βλ. Σχήμ.. Η πρώτη ιδιότητ σημίνει ότι φού κι τ δύο γθά πρέχουν θετική χρησιμότητ, η μείση της ποσότητς του ενός γθού πιτεί την ύξηση του άλλου προκειμένου το άτομο ν πρμείνει στην ίδι κμπύλη διφορίς. Η δεύτερη ιδιότητ συνεπάγετι ότι η πώλει κάθε επιπλέον μονάδς ενός γθού μειώνει τη χρησιμότητ του τόμου με υξνόμενο ρυθμό. Σημίνει επίσης ότι το άτομο προτιμά ενδιάμεσες πό κρίες κτστάσεις. 5 Μί συνάρτηση f ονομάζετι συνεχώς διφορίσιμη (contnuously dfferentable σε έν σύνολο S εάν έχει συνεχείς πρώτες (μερικές πργώγους στο S. Συνοπτικά γράφουμε f C. Με νάλογο τρόπο ορίζουμε f C κ.τ.λ. 6 Οι υποθέσεις υτές είνι πιο περιοριστικές πό ότι είνι πρίτητο λλά γίνοντι γι την πλοποίηση της προυσίσης κι σε βάρος της γενικότητς. Γι πιο γενικές προυσιάσεις βλέπε Varan (99 κι Mas-Collel (995. Σε ορισμένες πό τις σκήσεις πρκάτ οι συνρτήσεις χρησιμότητς που χρησιμοποιούντι δεν είνι διφορίσιμες.

9 9 (, Γ u u u 3 Σχήμ.. Χάρτης κμπυλών διφορίς: u 3 > u > u, όπου u δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητς της ντίστοιχης κμπύλης. Γι πράδειγμ, στο Σχήμ. θερήστε δύο σημεί κι. Το κάθε έν πό υτά τ σημεί δίνει έμφση σε έν πό τ δύο γθά. Τ σημεί που βρίσκοντι σε ευθύγρμμο τμήμ που ενώνει τ δύο σημεί κι, π.χ. το Γ, ντιπροσπεύουν ενδιάμεσες κτστάσεις. Προσέξτε ότι όλ υτά τ σημεί βρίσκοντι σε ψηλότερες κμπύλες διφορίς πό την. 3 u Υπενθυμίζετι ότι η πόλυτη τιμή της κλίσης μις κμπύλης διφορίς είνι γνστή ς ορικός λόγος υποκτάστσης (ΟΛΥ κι ότι ο λόγος υτός μειώνετι κτά μήκος μις κμπύλης διφορίς. Η τρίτη ιδιότητ συνεπάγετι ότι πό κάθε σημείο του χώρου τν γθών διέρχετι μι κμπύλη διφορίς κι επομένς σε κάθε συνδυσμό γθών ντιστοιχεί έν επίπεδο χρησιμότητς. Το γεγονός υτό με τη σειρά του σημίνει ότι δύο οποιοιδήποτε συνδυσμοί μπορούν ν συγκριθούν κι ν ιερρχηθούν πό τον κτνλτή. Η τέτρτη ιδιότητ συνεπάγετι ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού (sataton ont ή, με άλλες λέξεις, ο κτνλτής προτιμά πάντ το περισσότερο πό το λιγότερο. Τέλος, η πρβίση της πέμπτης ιδιότητς οδηγεί σε άτοπο, φού ν δύο κμπύλες διφορίς τέμνοντι τότε δεν είνι δυντό ν μην υπάρχει σημείο κορεσμού (ποδείξτε το!. Όλες οι συνλλγές πργμτοποιούντι οικιοθελώς κι κνείς δεν εξνγκάζετι ν λάβει μέρος σε μι ντλλγή. Η υπόθεση υτή μζί με την πρπάν που φορά την πλήρη γνώσης της ποιότητς κι της τιμής κάθε γθού εξσφλίζουν ότι ένς κτνλτής δεν μπορεί ν βρεθεί σε χειρότερη θέση πό υτή που ήτν πριν την ντλλγή. Με άλλ λόγι, κάθε συνλλγή είνι μοιβί επφελής (mutually benefcal κι γι τ δύο μέρη που συμμετέχουν σε υτή. Επιπλέον, η οικονομί είνι κθρά ντλλκτική κι δεν υπάρχει χρήμ στη σύγχρονη μορφή του, δηλδή έν ντικείμενο το οποίο πό μόνο του ν μην έχει κμιά χρησιμότητ λλά ν χρησιμοποιείτι ποκλειστικά ς μέσο ντλλγής. Επομένς, πρίτητη προϋπόθεση γι μι ντλλγή είνι η διπλή σύμπτση

10 0 επιθυμιών (double concdence of wants: η κτάστση εκείνη μετξύ δύο τόμν στην οποί κάθε άτομο ζητάει εκείνο κριβώς το γθό που προσφέρει το άλλο..3. Διγρμμτική Προυσίση της ντλλκτικής Οικονομίς ντλλγή σε μι σττική οικονομί ενός τόμου ή ενός γθού δεν μπορεί ν συμβεί. 7 H πλούστερη σττική οικονομί στην οποί μπορεί ν υπάρξει ντλλγή είνι υτή τν δύο τόμν, που θ ονομάσουμε κι, κι τν δύο γθών, κι. Στην περίπτση υτή το υπόδειγμ μπορεί ν προυσισθεί κι διγρμμτικά χρησιμοποιώντς το Κουτί τν Edgeworth-Bowley (Edgeworth-Bowley Bo ή πλώς Κουτί του Edgeworth (Edgeworth Bo. 8,9 Πρόκειτι γι έν ορθογώνιο του οποίου οι διστάσεις είνι ίσες με τις συνολικές διθέσιμες ποσότητες τν δύο γθών (βλ. Σχήμ.. Πιο συγκεκριμέν, φντστείτε έν ορθογώνιο του οποίου το μήκος είνι ίσο με τη συνολική διθέσιμη ποσότητ του γθού ( + κι το ύψος ίσο με τη συνολική διθέσιμη ποσότητ του γθού ( +. Κάθε σημείο μέσ στο κουτί ντιπροσπεύει μι εφικτή κτνομή, δηλδή μι κτνομή που ικνοποιεί τον Ορισμό.. ν υποθέσουμε επίσης ότι δεν υπάρχει σπτάλη στην οικονομί., δηλδή ότι η συνολική ποσότητ κάθε γθού που είνι διθέσιμη είνι ίση με την συνολική ποσότητ που κτνλώνετι ή, με μθημτικό συμβολισμό, ότι η σχέση που περιγράφει τον ορισμό μις εφικτής κτνομής ισχύει ς ισότητ (η κτνομή είνι κριβώς εφικτή, τότε κάθε εφικτή κτνομή μπορεί ν ντιπροσπευθεί πό έν σημείο στο κουτί του Edgeworth.. Ο συνδυσμός τν ποσοτήτν τν δύο γθών του τόμου που ντιστοιχούν σε έν σημείο (κτνομή δίνετι πό τις συντετγμένες του σημείου έχοντς ς ρχή τν ξόνν την κορυφή που βρίσκετι κάτ-ριστερά στο κουτί (σημείο Ο στο Σχήμ.. ντίθετ ο συνδυσμός του τόμου δίνετι πό τις συντετγμένες του ίδιου σημείου έχοντς ς ρχή τν ξόνν την κορυφή που βρίσκετι πάνδεξιά (σημείο Ο στο Σχήμ.. Γι πράδειγμ, στο σημείο ˆ του Σχήμτος. το άτομο θ λάβει ποσότητες θ λάβει ποσότητες ˆ το γθό. ˆ + ˆ πό το γθό κι ˆ πό το γθό. Το άτομο πό το γθό κι ˆ + πό ˆ 7 Σττική ονομάζετι μι οικονομί στην οποί οι μετβλητές που την ορίζουν, π.χ. ο πληθυσμός, η διθέσιμη ποσότητ τν γθών κ.λπ. δεν εξρτώντι πό το χρόνο. Σε ολόκληρη την Ενότητ εξετάζουμε μόνο σττικές οικονομίες. ς σημειθεί ότι σε μι δυνμική οικονομί μπορεί ν υπάρξει ντλλγή κόμη κι ν υπάρχει μόνο έν γθό, π.χ. σου δίν μι ποσότητ του γθού σήμερ (σε δνείζ μετά πό συμφνί ότι θ μου δώσεις εσύ μι συγκεκριμένη ποσότητ του γθού στο μέλλον (θ ποπληρώσεις το δάνειο. 8 Francs Y. Edgeworth (845-96: ρετνός οικονομολόγος με μεγάλη συμβολή στη Θερί της Γενικής Ισορροπίς. Το σημντικότερο έργο του Mathematcal Psychcs: An Essay on the Alcaton of Mathematcs to the Moral Scences εκδόθηκε το έτος 88 κι είνι ελεύθερ διθέσιμο στο διδίκτυο πό το ρχείο Ιστορίς της Οικονομικής Σκέψης (Archve for the Hstory of Economc Thought του Πνεπιστημίου McMaster: htt://socserv.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/. 9 Arthur L. Bowley ( : ρετνός οικονομολόγος του οποίου το έργο Mathematcal Groundwork: An ntroductory Treatse (94 έπιξε κθοριστικό ρόλο γι την νβίση του έργου του Edgeworth.

11 ˆ ( + ˆ O ˆ ˆ ( + ˆ ˆ O A ˆ Σχήμ.. Το κουτί του Edgeworth. Μέσ στο κουτί του Edgeworth μπορούμε ν σχεδιάσουμε κμπύλες διφορίς που ντιπροσπεύουν τις προτιμήσεις τν δύο τόμν. Οι κμπύλες διφορίες του τόμου έχουν συνηθισμένο σχήμ γτί σχεδιάζοντι σε έν κνονικό σύστημ ξόνν (βλ. Σχήμ.3. Συνδυσμοί που βρίσκοντι σε ψηλότερες κμπύλες διφορίς (ς προς το σημείο O ντιπροσπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητς γι τον κτνλτή. Γι πράδειγμ, στο Σχήμ.3 η φορά του βέλους δηλώνει την κτεύθυνση προς την οποί υξάνετι το επίπεδο χρησιμότητς A A A3 h τν κμπυλών διφορίς ( u < u < u, όπου u, h A, A, A3, δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητς της ντίστοιχης κμπύλης.

12 O A u A u A3 u O A Σχήμ.3. Κμπύλες διφορίς του τόμου στο κουτί του Edgeworth. ντίθετ οι κμπύλες διφορίς του τόμου έχουν περιστρφεί 80 0 (βλ. Σχήμ.4. Έχουν κι υτές το συνηθισμένο σχήμ σε σχέση με την ρχή τν ξόνν O. Συνδυσμοί που βρίσκοντι πιο μκριά πό το σημείο O (χμηλότερ ς προς το σημείο O ντιπροσπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητς γι τον B B B3 κτνλτή. Έτσι κι σε υτό το σχήμ u < u < u. Στο Σχήμ.5 προυσιάζοντι κμπύλες διφορίς κι τν δύο τόμν κθώς επίσης κι η ρχική κτνομή (,,,. Ξεκινώντς πό μι συγκεκριμένη κτνομή, ς πούμε την ρχική, κθώς κινούμστε προς τ πάν κι δεξιά (βορειοντολικά το επίπεδο χρησιμότητς του υξάνετι κι του μειώνετι. ντίθετ, κθώς κινούμστε προς τ κάτ κι ριστερά (νοτιοδυτικά το επίπεδο χρησιμότητς του υξάνετι κι του μειώνετι. Έτσι στο Σχήμ.5 η κμπύλη διφορίς του u ντιπροσπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητς πό την u. Προμοίς, η κμπύλη διφορίς του u ντιπροσπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητς πό την u. Τέλος θυμηθείτε πό τη θερί της χρησιμότητς ότι οποιοιδήποτε δύο συνδυσμοί μπορούν ν συγκριθούν πό τον κτνλτή (ξίμ της πληρότητς. υτό σημίνει ότι σε κάθε συνδυσμό ντιστοιχεί έν επίπεδο χρησιμότητς ή ότι πό κάθε συνδυσμό γθών (, στο χάρτη κμπυλών διφορίς ενός τόμου διέρχετι μι κμπύλη διφορίς. Επομένς πό κάθε σημείο (κτνομή (,,, στο κουτί του Edgeworth διέρχοντι δύο κμπύλες διφορίες, μί κάθε τόμου. Φυσικά τ επίπεδ χρησιμότητς που δηλώνουν δύο κμπύλες διφορίς διφορετικών τόμν, π.χ. u κι u, δεν είνι συγκρίσιμ.

13 3 O B u B u O A B3 u Σχήμ.4. Κμπύλες διφορίς του τόμου B στο κουτί του Edgeworth. O u u 3 u. u 3 u O A u Σχήμ.5. Κμπύλες διφορίς κι τν δύο τόμν στο κουτί του Edgeworth.

14 4.4. ντγνιστική Ισορροπί* Θερήστε μι οικονομί στην οποί τ άτομ επιδιώκουν τη μεγιστοποίηση του τομικού τους συμφέροντος ( χρησιμότητς. Συγκεκριμέν, η επιλογή που κλείτι ν κάνει κάθε άτομο περιγράφετι πό το πρόβλημ: 0 Ν μεγιστοποιηθεί ς προς τις ποσότητες η συνάρτηση χρησιμότητς: u u(,, υπό τον εισοδημτικό περιορισμό: ,, (. όπου δηλώνει την τιμή του γθού. Συντομογρφικά ο εισοδημτικός περιορισμός γράφετι κι ς. (. Γι τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης (. υπό τον περιορισμό (. σχημτίζουμε τη συνάρτηση Lagrange + L u (,, λ, όπου λ δηλώνει τον πολλπλσιστή Lagrange στο πρόβλημ του κτνλτή. Οι νγκίες συνθήκες πρώτης τάξης είνι ο περιορισμός (. κι οι κόλουθες εξισώσεις 3,, L u (, 0 λ,,,, οι οποίες σχημτίζουν έν σύστημ + εξισώσεν ς προς + γνώστους:, λ.,, 0 Ως συνήθς, σε κάθε τέτοιο πρόβλημ μεγιστοποίησης θερούμε πρόντες κι δύο κόμη περιορισμούς: 0 κι 0, τους οποίους όμς δεν νφέρουμε ρητά γι ν διτηρηθεί η πλότητ της προυσίσης. Κνονικά ο εισοδημτικός περιορισμός έπρεπε ν γρφεί ς σθενής νισότητ,. Όμς η υπόθεση ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού μς επιτρέπει ν γνοήσουμε την νισότητ, φού ο κτνλτής δεν θ μεγιστοποιήσει ποτέ την χρησιμότητ του σε έν σημείο που βρίσκετι στο εστερικό του συνόλου κτνλτικών δυντοτήτν του. oseh-lous, comte de Lagrange (736-83: Ιτλός κι Γάλλος μθημτικός πό τους σημντικότερους του 8 ιών με σπουδίες νκλύψεις στ Μθημτικά, τη Μηχνική κι την στρονομί. 3 Οι υποθέσεις που κάνμε γι τη συνάρτηση χρησιμότητς εξσφλίζουν ότι η λύση που προκύπτει πό τις νγκίες συνθήκες πρώτης τάξες ντιστοιχεί σε μέγιστο. Με άλλ λόγι, οι ικνές συνθήκες γι μέγιστο στο πρπάν πρόβλημ μεγιστοποίησης ικνοποιούντι.

15 5 πλείφοντς τον πολλπλσιστή Lagrange λ λμβάνουμε το σύστημ τν εξισώσεν ς προς γνώστους που ποτελείτι πό τον περιορισμό (. κι τις - εξισώσεις ΟΛΥ,, 3,, (.3 όπου ΟΛΥ u u είνι ο ορικός λόγος υποκτάστσης (margnal rate of substtuton μετξύ του γθού κι του γθού, 3,. Σύμφν με την εξίσση (.3 ο ορικός λόγος υποκτάστσης μετξύ δύο γθών, δηλδή ο επιθυμητός λόγος υποκτάστσης ενός γθού πό το άλλο, πρέπει ν ισούτι με το λόγο τν τιμών, δηλδή με το λόγο υποκτάστσης ενός γθού πό το άλλο που επιβάλλει η γορά. πό το σύστημ τν εξισώσεν (. κι (.3 προκύπτουν οι συνρτήσεις ζήτησης του τόμου,, γι τ γθά: (.4,,,,,,. Προσέξτε ότι οι συνρτήσεις ζήτησης του τόμου εξρτώντι πό τις τιμές όλν τν γθών, οι οποίες είνι ίδιες γι κάθε άτομο κι γι υτό νεξάρτητες του, κι πό την ξί του ρχικού ποθέμτος του κτνλτή, φού υτή κθορίζει το εισόδημά του. Σημειώνετι ότι εξίσση (.4 μς δίνει την κθάριστη ζήτηση (gross demand του τόμου γι το γθό. Η κθρή (net ή υπερβάλλουσ ζήτηση (ecess demand είνι η διφορά μετξύ της κθάριστης ζήτησης κι του ρχικού ποθέμτος: e,,,,,,,,,. (.5 όπου e δηλώνει κθρή ή υπερβάλλουσ ζήτηση. Ορισμός.. Μι ντγνιστική ισορροπί (comettve equlbrum είνι έν σύνολο τιμών { ˆ, ˆ,, ˆ } κι έν σύνολο ποσοτήτν ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ } τέτοι ώστε: {. Με δεδομένες τις τιμές τν γθών ˆ κι το ρχικό πόθεμ κάθε κτνλτή, οι σχετικές με υτόν ποσότητες μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητάς του.. Γι κάθε γθό το άθροισμ της κθάριστης ζήτησης όλν τν τόμν είνι ίσο με το άθροισμ τν ρχικών τους ποθεμάτν. Ενλλκτικά, το άθροισμ της υπερβάλλουσς ζήτησης όλν τν τόμν γι κάθε γθό είνι μηδέν. Η πρώτη συνθήκη πιτεί τ άτομ ν λμβάνουν τις τιμές ς δεδομένες. Με άλλ λόγι, το μέγεθος τους είνι μελητέο σε σχέση με το μέγεθος της γοράς κι επομένς δεν έχουν κμί επίδρση στις τιμές. Επίσης, δεν υπάρχει κμί ομάδ

16 6 (ένση κτνλτών η οποί ν μπορεί ν επηρεάσει τις τιμές. Η συνθήκη ή υπόθεση υτή δεν ικνοποιείτι φυσικά στην περίπτση που ο ριθμός τν τόμν στην οικονομί είνι μικρός. Γίνετι όμς κτχρηστικά φού ο τελικός μς σκοπός είνι η κτνόηση κι εξγγή συμπερσμάτν γι οικονομίες που ποτελούντι πό πολλά άτομ. Με δεδομένη υτή τη συμπεριφορά κι το ρχικό πόθεμ (,,, οι ποσότητες ( ˆ, ˆ,, ˆ θ πρέπει ν μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητς του τόμου κι υτό πρέπει ν ισχύει γι κάθε,,. Η δεύτερη συνθήκη του ορισμού (. πιτεί ν ικνοποιούντι οι κόλουθες εξισώσεις, μί γι κάθε γθό: ˆ,,. (.6 Το ριστερό μέλος της (.6 δηλώνει τη συνολική κθάριστη ζήτηση γι το γθό κι το δεξιό το συνολικό πόθεμ πό το ίδιο γθό (συνολική προσφορά. Προσέξτε ότι φού κάθε ˆ εξρτάτι πό όλες τις τιμές, έπετι ότι κι η συνολική ζήτηση του γθού (το ριστερό μέλος της.6 εξρτάτι πό όλες τις τιμές. Με άλλ λόγι, οι σχέσεις που δίνοντι πό την (.6 ποτελούν έν σύστημ εξισώσεν. Γι υτό το λόγο πιτείτι νάλυση γενικής ισορροπίς. ν ισχύει η εξίσση (.6 γι μί γορά τότε λέμε ότι η γορά υτή βρίσκετι σε ισορροπί. Ο ορισμός της γενικής ισορροπίς πιτεί η σχέση (.6 ν ισχύει γι όλες τις γορές, δηλδή. Η εξίσση (.6 μπορεί ν γρφεί ς ή ή ή ˆ + ˆ ˆ 0,,, + + ˆ 0,,, e ˆ + eˆ + + eˆ 0,,, e ˆ 0,,, κι τελικά E ˆ 0,,, (.7 όπου γθό. Επίσης με ê δηλώνει την υπερβάλλουσ ζήτηση σε τιμές ισορροπίς του τόμου γι το E συμβολίζουμε τη συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση γι το γθό, δηλδή το άθροισμ τν τομικών υπερβλλουσών ζητήσεν κι με Ê την ίδι μετβλητή σε τιμές ισορροπίς. Σύμφν με την εξίσση (.7, προϋπόθεση γι ν βρίσκετι η οικονομί σε ισορροπί είνι η συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση σε κάθε γορά ν ισούτι με το μηδέν. Έπετι επίσης πό την εξίσση (.7 ότι δεν μπορεί ν υπάρξει ισορροπί σε μι γορά στην οποί όλ τ άτομ πλούν ή

17 7 γοράζουν το ίδιο γθό, φού ν συμβίνει υτό είτε e ˆ > 0 είτε ˆ < 0, οπότε E ˆ ˆ e 0. Σε κάθε γορά θ πρέπει ν υπάρχουν πλητές κι γορστές. Επίσης, οι συνλλγές (γορπλησίες πρέπει ν γίνουν σε τιμές στις οποίες οι γορές «κθρίζουν», δηλδή η ποσότητ που θέλουν ν πλήσουν ορισμέν άτομ πό έν γθό πρέπει ν είνι ίση με υτή που θέλουν ν γοράσουν τ υπόλοιπ άτομ. Η ισορροπί φυσικά μπορεί ν επιτευχθεί κι στην κτνομή του ρχικού ποθέμτος, στην οποί όλ τ άτομ κτνλώνουν το ρχικό τους πόθεμ κι δεν υπάρχει εμπόριο μετξύ τους. Σε υτή την περίπτση η τελική κτνομή συμπίπτει με την ρχική. Κάτι τέτοιο θ συμβεί ν γι πράδειγμ όλ τ άτομ έχουν τις ίδιες προτιμήσεις (δηλδή την ίδι συνάρτηση χρησιμότητς κι τ ίδι ποθέμτ. Όπς νφέρμε οι συνλλγές (γορπλησίες πρέπει ν γίνουν στις τιμές στις οποίες οι γορές «κθρίζουν». Στο σημείο υτό ξίζει ν νφέρουμε δύο λόγι γι τη διδικσί επίτευξης υτής της ισορροπίς. Η διδικσί που ο Walras 4 είχε τουλάχιστον κτά νου βσίζετι στην ύπρξη ενός πλειστηριστή ή δημοπράτη (auctoneer, ο οποίος νκοινώνει μι τιμή γι κάθε γθό, συγκεντρώνει στοιχεί γι την προσφορά κι τη ζήτηση κάθε τόμου σε υτή την τιμή κι ν η συνολική προσφορά σε κάθε γορά διφέρει πό τη συνολική ζήτηση τότε προσρμόζει την τιμή νλόγς. Πιο συγκεκριμέν, ν η συνολική προσφορά είνι μεγλύτερη πό τη συνολική ζήτηση τότε μειώνει την τιμή, ενώ ν η συνολική ζήτηση υπερβίνει τη συνολική προσφορά τότε την υξάνει. Επειδή όμς το τι συμβίνει σε μι γορά επηρεάζει όλες τις άλλες, φού η συνολική ζήτηση του γθού εξρτάτι κι πό τις τιμές όλν τν άλλν γθών, οι τιμές υπολογίζοντι κι νκοινώνοντι τυτόχρον. Στο νέο σύστημ τιμών, ο πλειστηριστής υπολογίζει κι πάλι τη συνολική ζήτηση κι τη συνολική προσφορά γι κάθε γθό κι ν κι πάλι υτές διφέρουν τότε νπροσρμόζει την τιμή του κάθε γθού νλόγς. Η διδικσί υτή συνεχίζετι ές ότου η συνολική προσφορά ν ισούτι με τη συνολική ζήτηση σε κάθε γορά. Οι τιμές στις οποίες συμβίνει υτό είνι οι τιμές ισορροπίες. Ο πλειστηριστής τις νκοινώνει κι ξεκινάει η ντλλγή. Στη πράξη βέβι δεν υπάρχει κνείς πλειστηριστής, λλά η διδικσί προσπθεί ν προσεγγίσει με ένν πλό τρόπο τον πολύπλοκο μηχνισμό της γοράς. 5 e 4 Leon Walras (834-90: Γάλλος οικονομολόγος, θεμελιτής της Θερίς της Γενικής Ισορροπίς. Το σημντικότερο έργο του Eléments d économe oltque ure εκδόθηκε το 874. Πολλοί συγγρφείς χρησιμοποιούν τον όρο λρσινή Ισορροπί (Warlasan equlbrum ντί του όρου ντγνιστική ισορροπί που χρησιμοποιούμε εδώ. 5 Η διδικσί υτή είνι γνστή με το Γλλικό όρο tâtonnement που στ ελληνικά μπορεί ν μετφρστεί ς η διδικσί ή μέθοδος της δοκιμής κι πλάνης (tral and error.

18 8.5. Ο Νόμος του Walras* Σύμφν με τον Ορισμό. στην ισορροπί η συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση γι κάθε γθό πρέπει ν είνι ίση με το μηδέν (εξίσση.7. Η συνθήκη υτή είνι ισχυρότερη πό ότι πργμτικά πιτείτι. Όπς θ ποδείξουμε πρκάτ οι συνθήκες ισορροπίς όλν τν γορών δεν είνι νεξάρτητες μετξύ τους. Πρότση.. (Νόμος του Walras. Η ξί της συνολικής υπερβάλλουσς ζήτησης είνι εκ τυτότητος μηδέν. Προσέξτε ότι σύμφν με την Πρότση. η ξί της συνολικής υπερβάλλουσς ζήτησης είνι εκ τυτότητος ίση με το μηδέν, δηλδή είνι ίση με το μηδέν σε οποιεσδήποτε τιμές κι όχι μόνο στις τιμές ισορροπίς. Με μθημτικό συμβολισμό, η Πρότση.. σημίνει ότι E 0. (.8 πόδειξη: Θερήστε πρώτ τον εισοδημτικό περιορισμό (. κάθε τόμου ς ισότητ (βλ. σχετική υποσημείση στο προηγούμενο τμήμ, η οποί πρέπει ν ικνοποιείτι σε οποιεσδήποτε τιμές ,,,, ή e + e + + e 0,,,. (.9 Η εξίσση (.9 σημίνει ότι η ξί της υπερβάλλουσς ζήτησης γι όλ τ γθά του τόμου είνι μηδέν. Φυσικά γι ν ισχύει η (.9 δεν είνι δυντόν ν έχουμε θετική υπερβάλλουσ ζήτηση ενός τόμου γι όλ τ γθά, δηλδή δεν είνι δυντόν e > 0. Επομένς η ξί τν ποσοτήτν τν γθών που θέλει ν γοράσει το άτομο πρέπει ν είνι ίση με την ξί τν ποσοτήτν τν γθών που θέλει ν πλήσει. θροίζοντς τις εξισώσεις (.9 γι όλ τ άτομ έχουμε e + e + + e + e + + e + + e 0, ή ή ( e + e + + e + ( e + e + + e + + ( e + e + + e 0, E + E + + E 0, η οποί ποτελεί την νλυτική μορφή της (.8. ς εξετάσουμε στη συνέχει μερικές πό τις συνέπειες υτού του Νόμου του Walras. Φντστείτε την περίπτση όπου - γορές είνι σε ισορροπί, δηλδή η υπερβάλλουσ ζήτηση σε κάθε μί πό υτές τις γορές είνι ίση με το μηδέν. Χρίς

19 9 πώλει της γενικότητς, ς υποθέσουμε ότι βρίσκοντι σε ισορροπί οι πρώτες - γορές, δηλδή Ê 0,,,. Aν ποκλείσουμε την περίπτση που το γθό είνι ελεύθερο (free good, 6 δηλδή ν > 0, τότε η εξίσση (.8 συνεπάγετι ότι E 0. Με άλλ λόγι, ν σε μι οικονομί με γορές, οι - πό υτές είνι σε ισορροπί, τότε υποχρετικά θ βρίσκετι σε ισορροπί κι η γορά. Στη συνέχει ς δούμε την περίπτση που οι - γορές είνι σε ισορροπί, γι πράδειγμ Ê 0,,,. ν ποκλείσουμε κι πάλι την περίπτση τν ελεύθερν γθών, τότε θ πρέπει E + E 0. Δηλδή το άθροισμ τν ξιών τν υπερβλλουσών ζητήσεν στις υπόλοιπες δύο γορές θ πρέπει ν είνι ίσο με μηδέν. υτό σημίνει ότι ν στη μί πό τις δύο γορές υπάρχει υπερβάλλουσ ζήτηση, τότε στην άλλη θ πρέπει ν υπάρχει υπερβάλλουσ προσφορά (ecess suly ( ρνητική υπερβάλλουσ ζήτηση. λέπουμε επίσης ότι ο Ορισμός. πιτεί περισσότερ πό ότι χρειζόμστε γι ν προσδιορίσουμε μι ντγνιστική ισορροπί. ν βρούμε έν σύνολο τιμών στο οποίο ν κθρίζουν οι - γορές τότε υποχρετικά θ κθρίζει κι η τελευτί, φού ότν ικνοποιούντι οι - εξισώσεις πό τις (.6 ή (.7, τότε υποχρετικά θ ικνοποιείτι κι η. Η κάθε μί όμς πό υτές τις εξισώσεις εξρτάτι κι πό τις τιμές. Επομένς έχουμε έν σύστημ εξισώσεν ς προς γνώστους το οποίο όμς δεν μπορεί ν λυθεί φού οι υτές εξισώσεις ή ˆ 0,,, E ˆ 0,,, δεν είνι νεξάρτητες μετξύ τους. Γι ν γίνει υτό κτνοητό φντστείτε ότι θέτουμε υθίρετ την τιμή ενός γθού ίση με ένν τυχίο ριθμό, γι πράδειγμ ς θέσουμε z, όπου z ένς τυχίος ριθμός. Στη συνέχει λύνοντς οποιοσδήποτε - πό τις εξισώσεις E 0,,, ς προς τους - γνώστους,,, 3,, βρίσκουμε τις - τιμές ισορροπίς. πό το νόμο του Walras έχουμε ότι ν οι - γορές είνι σε ισορροπί τότε θ είνι σε ισορροπί κι η γορά (η γορά του γθού -, γεγονός που σημίνει ότι η τιμή του γθού υτού z την οποί θέσμε υθίρετ είνι επίσης τιμή ισορροπίς, όποι κι ν είνι υτή. Κτλήγουμε λοιπόν στο συμπέρσμ ότι σε μι οικονομί γθών δεν είνι δυντή η εύρεση νεξάρτητν τιμών ισορροπίς φού μόνο - πό τις εξισώσεις είνι νεξάρτητες. Η πρόσθεση μις κόμη εξίσσης η οποί εξρτάτι πό τις άλλες - (φού οι εξισώσεις μζί πρέπει ν ικνοποιούν το νόμο του Walras δεν προσθέτει κμιά νέ πληροφορί. 6 Σε μι ντλλκτική οικονομί σν κι υτή που εξετάζουμε έν γθό είνι ελεύθερο ν η τιμή του είνι μηδέν. Φυσικά ρνητικές τιμές δεν έχουν νόημ, φού υποθέτουμε ότι όλ τ γθά είνι «γθά», δηλδή έχουν θετική ορική χρησιμότητ.

20 0 Στο σημείο υτό θ δώσουμε έν πλό πράδειγμ πό την θερί γρμμικών συστημάτν γι την κλύτερη κτνόηση της έννοις της νεξρτησίς τν εξισώσεν. Πράδειγμ.. Έστ το κόλουθο σύστημ γρμμικών εξισώσεν Ν βρεθούν οι άγνστοι, y, κι z. + y + z y + z 0 3 y + z 0 Υπάρχει μονδική λύση στο πρπάν σύστημ εξισώσεν; Η πρώτη πάντηση τείνει ν είνι θετική επειδή έχουμε έν σύστημ 3 εξισώσεν με 3 γνώστους. Η πάντηση όμς υτή είνι λνθσμένη. Πράγμτι ν επιχειρήσουμε ν εφρμόσουμε τον κνόν του Cramer θ δούμε ότι η ορίζουσ της μήτρς τν συντελεστών είνι ίση με το μηδέν. Επομένς δεν υπάρχει μονδική λύση. υτό συμβίνει διότι οι τρεις εξισώσεις δεν είνι γρμμικά νεξάρτητες μετξύ τους. Πράγμτι, ν πολλπλσιάσουμε τ μέλη της πρώτης εξίσσης με τον ριθμό -3 κι της δεύτερης εξίσσης με τον ριθμό - κι μετά τις προσθέσουμε θ προκύψει η τρίτη εξίσση. Επομένς οι τρεις εξισώσεις δεν είνι νεξάρτητες μετξύ τους φού πρέπει ν ικνοποιούν το γρμμικό συνδυσμό τους 3( + y + z 0 + (3 + y + z 0 3 y + z 0. Μόνο οι δύο πό τις τρεις εξισώσεις είνι νεξάρτητες. Μπορούμε ν λύσουμε πό τις τρεις εξισώσεις ς προς δύο πό τις τρεις μετβλητές συνρτήσει της τρίτης. Γι πράδειγμ, λύνοντς τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε 5 z 0 y z. 4 4 Το σύστημ δέχετι άπειρες λύσεις, μί γι κάθε τιμή που μπορούμε ν δώσουμε στη μετβλητή z. 7 Όσον φορά το σύστημ τν εξισώσεν (.6 ή (.7, όπς κι στο πρπάν πράδειγμ, υτό που μπορούμε ν κάνουμε είνι ν προσδιορίσουμε - τιμές ς συνρτήσεις της τιμής, ή ν προσδιορίσουμε - λόγους τιμών, δηλδή τις σχετικές τιμές. υτό σημίνει ότι μί πό τις τιμές (δεν έχει σημσί ποι θ 7 Λεπτομέρειες σχετικά με τη γρμμική νεξρτησί εξισώσεν υπάρχουν στ περισσότερ βιβλί Μθημτικών που κλύπτουν θέμτ Γρμμικής Άλγεβρς. Μι σχετικά πλή κι κτνοητή προυσίση γίνετι στο Κεφάλιο 4 του βιβλίου τν Sydsaeter and Hammond (995.

21 ποτελεί τη βάση μέτρησης (numérare. Όλες οι άλλες τιμές θ μετρούντι σε σχέση με υτή. Έτσι ν επιλέξουμε υθίρετ ς βάση μέτρησης την τιμή του δδέκτου γθού τότε μπορούμε ν προσδιορίσουμε - συνρτήσεις (,,,,3, ή λόγους τιμών,,,, 3, Το γεγονός ότι σε μι οικονομί με γθά μπορούμε ν προσδιορίσουμε μόνο - σχετικές τιμές σημίνει ότι ν όλες οι τιμές πολλπλσιστούν με τον ίδιο θετικό ριθμό τότε η ισορροπί (πλην της τιμής που χρησιμοποιείτι ς βάση μέτρησης δεν θ μετβληθεί. 8 Φντστείτε γι πράδειγμ ότι έχουμε προσδιορίσει τις κόλουθες τιμές κι ποσότητες ισορροπίς,,,.,,,,,,,,, 3, κι. Πολλπλσιάστε όλες τις τιμές με έν θετικό ριθμό λ. λλάζει η ισορροπί; ρκεί ν εξετάσουμε ν οι τιμές κι ποσότητες που ικνοποιούν τον Ορισμό. μετβάλλοντι. Οι νέες τιμές ισορροπίς θ είνι,,, λ, 3,, δηλδή η μόνη τιμή που θ μετβληθεί είνι η βάση μέτρησης. Στη συνέχει θυμηθείτε ότι οι συνρτήσεις ζήτησης είνι ομογενείς μηδενικού βθμού ς προς τις τιμές. 9 Επομένς οι ποσότητες που μεγιστοποιούσν τη χρησιμότητ του κάθε κτνλτή πριν την λλγή της βάσης μέτρησης εξκολουθούν ν την μεγιστοποιούν κι μετά την λλγή. Άρ οι ποσότητες που ικνοποιούν τη συνθήκη του Ορισμού. δεν μετβάλλοντι. Επίσης φού δεν μετβάλλοντι οι τομικές συνρτήσεις ζήτησης δεν μετβάλλετι κι το άθροισμ τους (ριστερό μέλος της εξίσσης.6. Με άλλ λόγι κι η συνολική ζήτηση γι έν προϊόν είνι ομογενής μηδενικού βθμού. Κτά συνέπει κι η συνθήκη εξκολουθεί ν ικνοποιείτι. Άρ, η ισορροπί πρμένει μετάβλητη στον πολλπλσισμό τν τιμών με έν θετικό ριθμό. Γι άλλη μι φορά, οι πόλυτες τιμές δεν έχουν σημσί, μόνο οι σχετικές τιμές επηρεάζουν την ισορροπί. Άσκηση.. Έστ μι οικονομί τριών γθών,, κι 3, που βρίσκετι σε ντγνιστική ισορροπί. Οι τιμές τν τριών γθών είνι, κι 3 3. Το άτομο έχει υπερβάλλουσ ζήτηση μονάδν πό το πρώτο γθό κι 5 μονάδν πό το δεύτερο γθό. Ν βρεθεί η υπερβάλλουσ ζήτησή του γι το τρίτο γθό. Υπόδειξη: Ν χρησιμοποιηθεί η σχέση (.9. Άσκηση.. Έστ μι οικονομί τριών τόμν,, κι Γ, που βρίσκετι σε ντγνιστική ισορροπί. Η υπερβάλλουσ ζήτηση του τόμου γι έν πό τ 8 Ενλλκτικά, μπορούμε ν πούμε ότι η λλγή νομίσμτος (π.χ. πό τη δρχμή στο ευρώ θ φήσει τις ποσότητες ισορροπίς μετάβλητες. 9 Θυμίζουμε ότι μι συνάρτηση f (,,, n είνι ομογενής μηδενικού βθμού ς προς,, n ν f ( λ, λ, λ n f (,, n, λ > 0.. υτό ουσιστικά σημίνει ότι η f είνι συνάρτηση του λόγου τν μετβλητών φού 3,, f (,,,, n n f (θέστε πλά λ / στον πρπάν ορισμό. Περισσότερες λεπτομέρειες πάν στις ομογενείς συνρτήσεις δίνοντι στο Κεφάλιο 0.

22 γθά είνι 4 μονάδν ενώ η υπερβάλλουσ ζήτηση του τόμου γι το ίδιο γθό είνι μονάδν. Ν βρεθεί η υπερβάλλουσ ζήτηση του τόμου Γ. Υπόδειξη: φού όλες οι γορές είνι σε ισορροπί, έχουμε ότι κι η γορά του εν λόγ γθού, έστ είνι σε ισορροπί. Κτά συνέπει E 0. Άσκηση.3. Έστ μι οικονομί τριών τόμν,,, Γ, κι τριών γθών,,, κι 3. Ότν οι τιμές τν τριών γθών είνι, κι 3 4, υπάρχει συνολική υπερβάλλουσ προσφορά γι το πρώτο γθό 3 μονάδν κι συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση γι το δεύτερο γθό 4 μονάδν. Ν βρεθεί η συνολική υπερβάλλουσ προσφορά γι το τρίτο γθό. Υπόδειξη: Ν χρησιμοποιηθεί ο Νόμος του Walras κι συγκεκριμέν η σχέση ( Διγρμμτική Προυσίση της ντγνιστικής Ισορροπίς Η ντγνιστική ισορροπί σε μι οικονομί τν τόμν κι γθών μπορεί ν προυσιστεί διγρμμτικά στο κουτί του Edgeworth. Κτρχήν η λύση του προβλήμτος μεγιστοποίησης της χρησιμότητς 0 ma u u,,, ( κάθε τόμου υπό τον εισοδημτικό περιορισμό του,, (. + +, (. δίνετι πό την τυτόχρονη λύση του εισοδημτικού περιορισμού (. κι της εξίσσης ΟΛΥ,, (.3 όπου ΟΛΥ είνι ο ορικός λόγος υποκτάστσης μετξύ τν δύο γθών του τόμου κι δίνετι πό ΟΛΥ u u πόλυτη τιμή της κλίσης μις κμπύλης διφορίς. 0 Εξισώσεις με ριθμό κι τόνο ποτελούν πλοποίηση τν ντίστοιχν εξισώσεν χρίς τόνο που είδμε στην οικονομί με άτομ κι γθά.

23 3 Το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητς του προυσιάζετι στο Σχήμ.6. Η ρχική θέση (πόθεμ του τόμου A είνι. Η ευθεί γρμμή που διέρχετι πό το σημείο κι έχει κλίση πεικονίζει τον εισοδημτικό περιορισμό του τόμου A. εισοδημτικός περιορισμός ˆ Ο Σχήμ.6. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητς του τόμου. Η λύση στο πρόβλημ του κτνλτή είνι το σημείο ˆ. Το σημείο υτό βρίσκετι πάν στον εισοδημτικό περιορισμό κι επομένς ικνοποιεί την εξίσση (.. Επίσης βρίσκετι πάν στην ψηλότερη κμπύλη διφορίς που εφάπτετι στον εισοδημτικό περιορισμό κι επομένς ικνοποιεί την εξίσση (.3.

24 4 Στο Σχήμ.7 προυσιάζετι το σημείο μεγιστοποίησης του τόμου. Το σχήμ υτό είνι πρόμοιο με το Σχήμ.6 με τη διφορά ότι έχει περιστρφεί Η λύση στο πρόβλημ του κτνλτή είνι το σημείο ˆ, ενώ δηλώνει το ρχικό του πόθεμ. Ο εισοδημτικός περιορισμός ˆ Σχήμ.7. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητς του τόμου. Το επόμενο βήμ είνι ν συνδυάσουμε τ δύο προηγούμεν διγράμμτ (Σχήμτ.6 κι.7. υτό γίνετι στο Σχήμ.8 στο οποίο προυσιάζουμε κμπύλες διφορίες (μί γι κάθε άτομο οι οποίες διέρχοντι πό το ρχικό πόθεμ (,. Στο ίδιο σχήμ προυσιάζετι κι ο εισοδημτικός περιορισμός τν δύο τόμν, ο οποίος είνι η ευθεί γρμμή που διέρχετι πό το ρχικό πόθεμ. Πράγμτι φού τ δύο άτομ ντιμετπίζουν τις ίδιες τιμές, ο εισοδημτικός περιορισμός τους είνι κοινός, λλά θ πρέπει όμς ν «διβστεί» σε σχέση με διφορετικό σύστημ ξόνν. Γι το άτομο η ρχή τν ξόνν είνι η κορυφή O κι ο εισοδημτικός περιορισμός, ότν οι τιμές τν δύο γθών είνι κι, η ευθεί γρμμή που διέρχετι πό το ρχικό πόθεμ κι έχει κλίση. Προμοίς, γι το άτομο η ρχή τν ξόνν είνι το σημείο O κι εισοδημτικός περιορισμός η ευθεί γρμμή που διέρχετι πό το ρχικό πόθεμ του κι έχει κλίση (ς προς το σημείο O. Το ρχικό πόθεμ βρίσκετι πάντ πάν στον εισοδημτικό περιορισμό φού όποιες κι ν είνι οι τιμές ο κτνλτής μπορεί ν τον «γοράσει», δηλδή ν τον κτνλώσει. Θυμηθείτε επίσης ότι έν σημείο κι η κλίση ορίζουν μι ευθεί. Συνδυάζοντς υτές τις δύο προτάσεις έχουμε ότι ο εισοδημτικός περιορισμός τν δύο τόμν είνι κοινός με την προϋπόθεση βέβι ότι διβάζετι ς προς διφορετικό σύστημ ξόνν.

25 5 O ˆ κλίση ˆ ˆ A A Σχήμ.8. ντγνιστική ισορροπί στο κουτί του Edgeworth. Η ντγνιστική ισορροπί δηλώνετι στο Σχήμ.8 με το σημείο ˆ. Στο σημείο υτό ο εισοδημτικός περιορισμός κάθε κτνλτή εφάπτετι στην ψηλότερη δυντή κμπύλη διφορίς (επομένς ικνοποιείτι η συνθήκη στον Ορισμό. κι επιπλέον το άθροισμ της κθάριστης ζήτησης όλν τν τόμν είνι ίσο με το άθροισμ τν ρχικών τους ποθεμάτν. Πράγμτι στο σημείο ˆ γι κάθε έν πό τ δύο γθά ˆ + ˆ +,, (.6 Επομένς ικνοποιείτι κι η δεύτερη συνθήκη του Ορισμού.. υτό φίνετι κι στο Σχήμ.9 πό το οποίο έχουν πρλειφθεί οι κμπύλες διφορίες προκειμένου ν γίνει πιο πλό.

26 6 ˆ O ˆ ˆ ˆ A O A ˆ Σχήμ.9. ντλλγή στο κουτί του Edgeworth. Στη σχετική τιμή που ορίζετι πό την κλίση του εισοδημτικού περιορισμού το άτομο θ δώσει/πουλήσει ποσότητ ˆ πό το γθό στο άτομο κι θ λάβει/γοράσει ς ντάλλγμ ποσότητ ˆ πό το γθό. Την ίδι στιγμή το άτομο θ δώσει/πουλήσει ποσότητ ˆ πό το γθό κι θ λάβει/γοράσει ποσότητ ˆ πό το γθό. Η ποσότητ πό το κάθε γθό που θ δώσει το έν άτομο είνι ίση με την ποσότητ που θ λάβει το άλλο. Δηλδή, ˆ ˆ κι ˆ ˆ (βλ. κι εξίσση.6. Με άλλ λόγι, το άθροισμ της συνολικής υπερβάλλουσς ζήτησης γι κάθε γθό είνι ίση με το μηδέν, όπς ενλλκτικά πιτείτι στην συνθήκη του Ορισμού της ντγνιστικής ισορροπίς.: e ˆ + eˆ 0,, κι τελικά E 0,. (.7 Σύμφν με την εξίσση (.7, η συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση σε κάθε γορά θ πρέπει ν είνι ίση με το μηδέν. Στην περίπτση τν δύο τόμν υτό σημίνει ότι ν το έν άτομο πλεί μονάδες του γθό το άλλο άτομο θ πρέπει ν γοράζει. Δεν μπορεί ν υπάρξει ισορροπί στην οποί κι τ δύο άτομ πλούν ή γοράζουν το ίδιο γθό. υτό φυσικά δεν σημίνει ότι μόνο έν άτομο κτνλώνει

27 7 έν γθό. Σημίνει πλώς ότι ν, γι πράδειγμ, ο επιλέξει ν γοράσει μονάδες του γθού κι ν κτνλώσει ποσότητ μεγλύτερη πό το ρχικό του πόθεμ σε υτό το γθό, τότε θ πρέπει ν πλήσει μονάδες του γθού (φού οι συνλλγές είνι qud ro quo κι ν κτνλώσει ποσότητ του γθού μικρότερη πό το ρχικό του πόθεμ. Τυτόχρον το άτομο θ πρέπει ν είνι διτεθειμένο ν πλήσει μονάδες του γθού κι ν γοράσει μονάδες του γθού. Το Σχήμ.0 προυσιάζει μι περίπτση όπου η οικονομί δεν βρίσκετι σε ισορροπί. Η συνάρτηση χρησιμότητς κάθε τόμου μεγιστοποιείτι (συνθήκη του ορισμού της ντγνιστικής ισορροπίς. Προσέξτε όμς ότι στο συγκεκριμένο σχήμ ~ στις τιμές που δίνοντι πό την κλίση του εισοδημτικού περιορισμού + ~ < + κι ~ + ~ > +. Επομένς υπάρχει υπερβάλλουσ προσφορά γι το γθό κι υπερβάλλουσ ζήτηση γι το γθό. Σε υτή την περίπτση ο λόγος θ μειθεί κι ο εισοδημτικός περιορισμός θ γίνει πιο επίπεδος. υτή η διδικσί θ συνεχιστεί ές ότου τόσο η υπερβάλλουσ προσφορά όσο κι η υπερβάλλουσ ζήτηση εξφνισθούν κι τ δύο σημεί στ οποί οι κτνλτές μεγιστοποιούν την χρησιμότητά τους συμπέσουν. ~ O ~ ~ ~ ~ O ~ χ Σχήμ.0. νισορροπί στο κουτί του Edgeworth. Στην οικονομί τν δύο τόμν κι γθών ο Νόμος του Walras πίρνει την εξής μορφή (βλ. εξίσση.9: Ε + Ε 0. Επομένς ν η μί πό τις δύο γορές είνι σε ισορροπί, τότε θ είνι σε ισορροπί κι η δεύτερη. ν γι πράδειγμ E 0, τότε E 0. Έτσι ν

28 8 E 0 ή + +, τότε E 0 ή + +. Όπς κι στην γενική περίπτση, σε μι οικονομί δύο γθών δεν είνι δυντόν ή εύρεση δύο νεξάρτητν τιμών ισορροπίς φού οι δύο σχέσεις που εξισώνουν την συνολική ζήτηση κάθε προϊόντος με τη συνολική του προσφορά δεν είνι νεξάρτητες μετξύ τους (θ πρέπει ν ικνοποιούν το Νόμο του Walras. Επομένς, υτό που μπορούμε ν κάνουμε είνι ν προσδιορίσουμε μί τιμή ς συνάρτηση της άλλης ή ν προσδιορίσουμε το λόγο τν δύο τιμών, δηλδή τη σχετική τιμή. υτό σημίνει ότι μί πό τις δύο τιμές (δεν έχει σημσί ποι θ ποτελεί τη βάση μέτρησης (numérare. Η άλλη τιμή θ μετρείτι σε σχέση με τη πρώτη. Έτσι ν θέσουμε (υθίρετ ˆ 3 κι βρούμε ότι η τιμή ισορροπίς του γθού είνι ˆ, υτό θ σημίνει ότι στην ισορροπί το γθό είνι τέσσερις φορές πιο κριβό πό το γθό. Οι πόλυτες τιμές 3 κι δεν έχουν κνέν νόημ φού θ μπορούσμε ν είχμε θέσει ˆ στην οποί περίπτση θ βρίσκμε ˆ 4. Θ μπορούσμε επίσης ν τυποποιήσουμε την τιμή του γθού, δηλδή ν θέσουμε ς βάση μέτρησης το γθό, θέτοντς, γι πράδειγμ, ˆ, στην οποί περίπτση θ βρούμε ˆ / 4. Σε όρους τν Σχημάτν.8 ή.9, υτό που μπορούμε ν υπολογίσουμε είνι η κλίση του εισοδημτικού περιορισμού στην ισορροπί κι όχι τις πόλυτες τιμές τν δύο γθών..7. Έν λγεβρικό Πράδειγμ ντλλκτικής Οικονομίς Έστ μι οικονομί στην οποί υπάρχουν δύο άτομ, κι, κι δύο γθά, κι. Οι προτιμήσεις τν τόμν κι περιγράφοντι πό τις εξής συνρτήσεις χρησιμότητς: 3 Το ρχικό πόθεμ τν δύο τόμν είνι ντγνιστική ισορροπί. u ( (, (Ι β β u ( (. (ΙΙ (, κι (,. Ν υπολογιστεί η Κτρχήν θ υπολογίσουμε τις συνρτήσεις ζήτησης τν δύο τόμν μεγιστοποιώντς τη συνάρτηση χρησιμότητς κάθε τόμου υπό τον εισοδημτικό του περιορισμό. Γι τον κτνλτή A έχουμε ma ( u (, Τ δεδομέν του πρδείγμτος υτού χρησιμοποιούντι κι σε πρδείγμτ τν Κεφλίν κι 3. 3 Γι την ρίθμηση εξισώσεν στ πλίσι πρδειγμάτν χρησιμοποιούντι λτινικοί ριθμοί.

29 9 υπό τον περιορισμό + +. ( Σχημτίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ( ( ( + + L λ, όπου λ είνι ο πολλπλσιστής Lagrange. Οι νγκίες συνθήκες πρώτης τάξης γι μέγιστο είνι ο εισοδημτικός περιορισμός (ΙΙΙ κι οι εξισώσεις ( ( 0 L λ ( ( 0 L λ Διιρώντς κτά μέλη τις δύο τελευτίες σχέσεις, έχουμε (V Λύνοντς το σύστημ τν εξισώσεν ( κι (V βρίσκουμε τις συνρτήσεις ζήτησης του τόμου,, (V (,, (VΙ όπου + ποτελεί το εισόδημ του τόμου. Με πρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι β β. (V Χρησιμοποιώντς την (V κι τον εισοδημτικό περιορισμό του τόμου, προκύπτουν οι συνρτήσεις ζήτησης του τόμου,, β (VΙΙΙ (,, β (X όπου. + Η υπερβάλλουσ ζήτηση του τόμου γι τ γθά κι είνι

30 30 ( e (X ( ( e (X Όπς νμένετι, οι εξισώσεις (Χ κι (ΧΙ ικνοποιούν τη σχέση (.9. (Ελέγξτε το! ντίστοιχ γι το άτομο έχουμε ( e β β β (XΙΙ ( ( e β β β (XΙΙ οι οποίες επίσης ικνοποιούν την (.9. (Ελέγξτε το!. Η συνολική υπερβάλλουσ ζήτηση γι το γθό είνι + + β e e E (XV κι γι το γθό + + ( ( β e e E (XV Οι εξισώσεις (XV κι (XV επληθεύουν τον νόμο του Walras (εξισώσεις.8. Πράγμτι μετά πό ντικτάστση έχουμε 0 + E E. Επομένς οι δύο υτές εξισώσεις δεν είνι νεξάρτητες μετξύ τους. Σε οικονομικούς όρους υτό σημίνει ότι μπορούμε ν προσδιορίσουμε μόνο το λόγο τν δύο τιμών. Με άλλ λόγι, μπορούμε ν προσδιορίσουμε μί πό τις δύο τιμές σε όρους της άλλης. Πράγμτι λύνοντς είτε την εξίσση (XV είτε την εξίσση (XV έχουμε ότι. ( ( ˆ ˆ + + β β (XV Η εξίσση (XV εκφράζει το λόγο τν τιμών ισορροπίς συνρτήσει τν πρμέτρν κι τν ρχικών ποθεμάτν. ν κτστήσουμε το γθό βάση μέτρησης κι συγκεκριμέν ν τυποποιήσουμε την τιμή του στη μονάδ, ˆ, τότε πό την εξίσση (XV έχουμε. ( ( ˆ + + β β (XV

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης.

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυμ Κρήτης Σχολή Διοίκησης κι Οικονομίς Τμήμ Χρημτοοικονομικής κι Ασφλιστικής ΘΕΜΑ: Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπϊκής Ένωσης. Πτυχική Εργσί: Μυρομμάτη

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I 6. Το Υπόδειγμα τν Επικαλυπτόμενν Γενεών: Ανταλλαγή I 6.. Ερτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα τν παρακάτ προτάσεν. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σστή κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Newsletter. Δεκέμβριος 2011. Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Παρασκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00

Newsletter. Δεκέμβριος 2011. Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Παρασκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00 Newsletter Δεκέμβριος 2011 Christmas Party! στο Yogastudio Maroussi Πρσκευή 23 Δεκεµβρίου, 20.00 Ελάτε ν γιορτάσουµε σε µί κεφάτη Χριστουγεννιάτικη τµόσφιρ µε πολύ µουσική, χορό, χορτοφγικό µπουφέ κι εκπλήξεις!

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 ΠΝΤΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΙΟΛΟΓΙΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΣ 2015 ΘΕΜ 1. 2. γ 3. 4. δ 5. γ ΘΕΜ 1. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. νφορά στις σελίδες γίνετι µε τη σελιδοποίηση του πλιού ιλίου. 2. Σχολικό ιλίο σελ.36 «Κτά την ένρξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας Η Υγεί σς - κι - η Κτάστσή σς Kidney Disease and Quality of Life (KDQOL-SF ) Αυτή η έρευν σς ρωτά γι τις πόψεις σς γι την υγεί σς. Αυτές οι πληροφορίες θ µς βοηθήσουν ν δούµε πώς ισθάνεσθε κι πόσο κλά

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 00113 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΝΕΤΡΙΝΩΝ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΙΧΝΕΥΤΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ MINOS

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΨΥΧΑΝΘΩΝ ΣΕ ΠΟΟΛΙΒΑΔΑ ΞΗΡΟΘΕΡΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ. Διδακτορική Διατριβή. Θεοδώρας Μέρου.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΨΥΧΑΝΘΩΝ ΣΕ ΠΟΟΛΙΒΑΔΑ ΞΗΡΟΘΕΡΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ. Διδακτορική Διατριβή. Θεοδώρας Μέρου. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΛΙΒΑΔΙΚΗΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΑΠΑΝΑΣΤΑΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος 224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα