ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

Transcript

1 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την ρχιότητ. Έν χρκτηριστικό πράδειγμ ποτελούν οι πίνκες χορδών της Αλμγέστης, του Έλλην μθημτικού κι στρονόμου της λεξνδρινής περιόδου Κλύδιου Πτολεμίου. Στη μι στήλη υτών των πινάκων υπάρχουν τ μήκη των τόξων ενός κύκλου κι στην άλλη τ μήκη των ντίστοιχων χορδών. Χρησιμοποιώντς την έννοι του ημιτόνου A στον μονδιίο κύκλο μπορούμε ν εκφράσουμε νλυτικά τη συνάρτηση των πινάκων του Πτολεμίου ως Ο M εξής: χορδή τόξου ( ) = AB = AM = ημ. B Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοι της συνάρτησης εμφνίζετι στους λογριθμικούς πίνκες που κτσκευάστηκν στις ρχές του 170υ ιών. Τ γεγονότ που έδωσν ποφσιστική ώθηση στην νάπτυξη της έννοις της συνάρτησης ήτν η δημιουργί της Άλγεβρς (χρήση γρμμάτων κι ειδικών συμβόλων γι την νπράστση μθημτικών πράξεων, σχέσεων, γνώστων κ.λπ.) κι της νλυτικής γεωμετρίς (χρήση του λγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήμτ). Ο Descartes, στο έργο του La Geometrie (1637), προυσιάζοντς τη μέθοδο προσδιορισμού μις κμπύλης πό μι εξίσωση ως προς κι y (τ οποί εκφράζουν τ ευθύγρμμ τμήμτ-συντετγμένες των σημείων της κμπύλης), περιέγρψε γι πρώτη φορά τη δυντότητ νλυτικής νπράστσης μις σχέσης εξάρτησης νάμεσ σε μετβλητές ποσότητες: Αν λοιπόν πάρουμε διδοχικά έν άπειρο πλήθος διφορετικών τιμών γι το τμήμ y τότε θ προκύψει έν άπειρο πλήθος τιμών γι το τμήμ κι επομένως μι πειρί διφορετικών σημείων, με τη βοήθει των οποίων μπορεί ν σχεδιστεί η ζητούμενη y κμπύλη. Ο όρος συνάρτηση (πό το λτινικό ρήμ fungor, που σημίνει εκτελώ, λειτουργώ) εμφνίστηκε γι πρώτη φορά το 1673 σ έν χειρόγρφο του Leibniz με τίτλο Η ντίστροφη μέθοδος των εφπτομένων ή περί συνρτήσεων (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus), στο οποίο εξετάζετι ο υπολογισμός των τετγμένων y των σημείων μις κμπύλης ότν είνι γνωστή κάποι ιδιότητ των ντίστοιχων εφπτομένων. Ο όρος υτός άρχισε ν ποκτά πό εκείνη την εποχή μι ιδιίτερη σημσί γι την ν-

2 19 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ πράστση ποσοτήτων που εξρτώντι πό άλλες μετβλητές ποσότητες, ιδιίτερ ότν η εξάρτηση υτή μπορεί ν πάρει τη μορφή μις νλυτικής έκφρσης. Ο J. Bernoulli έδωσε το 1718 τον επόμενο γενικό ορισμό: Ονομάζω συνάρτηση ενός μετβλητού μεγέθους μι ποσότητ που σχημτίζετι με οποιοδήποτε τρόπο πό υτό το μετβλητό μέγεθος κι πό στθερές. Η ντίληψη της συνάρτησης ως νλυτικής έκφρσης κυριάρχησε γι έν μεγάλο χρονικό διάστημ, στη διάρκει του οποίου η μθημτική - νάλυση ορίζοντν ως η γενική επιστήμη των μετβλητών κι των συνρτήσεών τους. Ο επόμενος ορισμός, που τυτίζει την έννοι της συνάρτησης με υτήν της νλυτικής έκφρσης, δόθηκε πό τον L. Euler το 1748, στο έργο του Εισγωγή στην πειροστική νάλυση. Συνάρτηση μις μετβλητής ποσότητς ονομάζετι μι νλυτική έκφρση που σχημτίζετι με οποιοδήποτε τρόπο πό υτή τη μετβλητή ποσότητ κι ριθμούς ή στθερές ποσότητες. Η πρπέρ εξέλιξη της έννοις της συνάρτησης προήλθε κυρίως πό την προσπάθει μθημτικής ερμηνείς φυσικών προβλημάτων, όπως π.χ. το πρόβλημ μις πλλόμενης χορδής, στερεωμένης στ δυο άκρ της. Σ υτό το πρόβλημ, που πσχόλησε ιδιίτερ τους επιστήμονες στη διάρκει του 18ου ιών, ζητείτι ν προσδιοριστεί μι συνάρτηση της μορφής y = f (, t) που περιγράφει το σχήμ της χορδής σε μι δεδομένη χρονική στιγμή t. Το είδος όμως των συνρτήσεων που υπεισέρχοντι σ υτό το ζήτημ είνι τόσο γενικό, που νάγκσε τους μθημτικούς ν - νθεωρήσουν την κθιερωμένη ντίληψη ότι κάθε συνάρτηση τυτίζετι με μι νλυτική έκφρση κι ν νζητήσουν γενικότερους ορισμούς. Ο L. Euler, ήδη πό το 1755 διτύπωσε έν τέτοιο ορισμό, πλλγμένο πό την άμεση νφορά στην έννοι της νλυτικής έκφρσης. Αν κάποιες ποσότητες εξρτώντι πό άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόπο ώστε, ότν οι τελευτίες λλάζουν συμβίνει το ίδιο κι με τις πρώτες, τότε οι πρώτες ονομάζοντι συνρτήσεις των τελευτίων. Αυτός ο ορισμός είνι πολύ ευρύς κι περιλμβάνει κάθε μέθοδο με την οποί μι ποσότητ θ μπορούσε ν προσδιοριστεί πό άλλες. Αν λοιπόν το υποδηλώνει μι μετβλητή ποσότητ, τότε όλες οι ποσότητες που εξρτώντι πό το με ο- ποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζοντι πό υτό, ονομάζοντι συνρτήσεις του. Οι νέες υτές ντιλήψεις οδήγησν βθμιί στην έννοι της συνάρτησης ως υθίρετης ντιστοιχίς νάμεσ στ στοιχεί δυο συνόλων, που δεν κολουθεί υποχρεωτικά κάποιο νόμο. Ο J. Fourier, το 18, επισήμνε ρητά υτό το σημείο με την εξής πρτήρηση: Γενικά, η συνάρτηση f () πριστάνει μι διδοχή τιμών ή τετγμένων, κθεμιά πό τις οποίες είνι υθίρετη. Αν δοθεί μι πειρί τιμών στην τετμημένη, θ υπάρχουν ίσου πλήθους τετγμένες f (). Όλες έχουν πργμτικές ριθμητικές τιμές, θετικές ή ρνητικές ή μηδέν. Δεν προϋποθέτουμε ότι υτές οι τετγμένες υπόκειντι σ έν κοινό νόμο. διδέχοντι η μι την άλλη με οποιο-

3 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 193 δήποτε τρόπο κι κθεμιά πό υτές δίνετι σν ν ήτν μι μονδική ποσότητ. Η έννοι της συνέχεις Την περίοδο που η έννοι της συνάρτησης τυτίζοντν με υτήν της νλυτικής έκφρσης, υπήρχν δυο διφορετικές ντιλήψεις γι την έννοι της συνέχεις. Η μί πό υτές, με κθρά γεωμετρική προέλευση, εξέφρζε την ιδιότητ μις κμπύλης ν μη προυσιάζει δικοπές. η άλλη, με προέλευση κυρίως πό τη φυσική, εξέφρζε την ιδιότητ ενός φινομένου ν κολουθεί τον ίδιο νόμο, την ιδιότητ μις συνάρτησης ν διτηρεί την ίδι νλυτική έκφρση σ ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Σ υτήν την τελευτί ντίληψη περί συνέχεις ά- σκησε έντονη κριτική ο A. L. Cauchy το 1844, σημειώνοντς τ εξής: Στ έργ των Euler κι Lagrange, μι συνάρτηση ονομάζετι συνεχής ή συνεχής νάλογ με το ν οι διφορετικές τιμές υτής της συνάρτησης υπόκειντι ή όχι στον ίδιο νόμο, προκύπτουν ή όχι πό μι μονδική εξίσωση. Όμως υτός ο ορισμός πολύ πέχει πό το ν θεωρηθεί μθημτικά κριβής. γιτί ν οι διφορετικές τιμές μις συνάρτησης εξρτώντι πό δυο ή περισσότερες διφορετικές εξισώσεις, τίποτ δεν μς εμποδίζει ν μειώσουμε τον ριθμό υτών των εξισώσεων ή κόμη κι ν τις ντικτστήσουμε πό μι πλή εξίσωση, της οποίς η νάλυση θ μς έδινε όλες τις υπόλοιπες. Επομένως, ν κνείς θεωρήσει τον ορισμό των Euler κι Langrange εφρμόσιμο σε όλ τ είδη των συνρτήσεων, τότε μι πλή λλγή του συμβολισμού είνι συχνά ρκετή γι ν μετσχημτίσει μι συνεχή συνάρτηση σε συνεχή κι ντίστροφ. Έτσι π.χ., ν το συμβολίζει μι πργμτική μετβλητή, τότε η συνάρτηση που ισούτι με + ή, νάλογ με το ν η μετβλητή είνι θετική ή ρνητική, πρέπει γι το λόγο υτό ν τοποθετηθεί στην κλάση των συνεχών συνρτήσεων. όμως η ίδι συνάρτηση θ μπορούσε ν θεωρηθεί ως συνεχής ότν γρφεί στη μορφή Έτσι, ο χρκτήρς της συνέχεις των συνρτήσεων, θεωρούμενος πό το σημείο όπου οι γεωμέτρες στμάτησν γι πρώτη φορά, είνι σφής κι βέβιος. Η βεβιότητ όμως θ εξφνιστεί, ν στη θέση του ορισμού (1). y O 0 Ασυνέχει στο 0 λόγω δικοπής της κμπύλης σ υτό το σημείο y O 0 Ασυνέχει στο 0 λόγω μετβολής της νλυτικής έκφρσης σ υτό το σημείο. (1) Είνι φνερό ότι ο Cauchy χρησιμοποιεί εδώ, χωρίς ν την ονομάζει, τη συνάρτηση πόλυτη τιμή.

4 194 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ του Euler ντικτστήσουμε υτόν που έχω δώσει στο κεφάλιο ΙΙ του έργου μου Αλγεβρική νάλυση. Ο ορισμός, στον οποίο νφέρετι εδώ ο Cauchy, ποτελεί ουσιστικά την πρώτη πόπειρ μελέτης της έννοις της συνέχεις με λογική υστηρότητ. Αποσυνδέοντς υτήν την έννοι πό κάθε γεωμετρική εποπτεί κι εξάρτηση πό την έννοι της νλυτικής έκφρσης, τη μετσχημάτισε σε μι κθρά ριθμητική ιδιότητ των συνρτήσεων, που μπορεί ν γίνει ντικείμενο λογισμού. Ο ορισμός υτός του Cauchy, που δόθηκε το 181, έχει ως εξής: (ένν πρόμοιο ορισμό είχε δώσει κι ο B. Bolzano το 1817). Έστω f () μι συνάρτηση της μετβλητής κι ς υποθέσουμε ότι γι κάθε τιμή του σ έν δοσμένο διάστημ η συνάρτηση υτή έχει πάντοτε μι μονδική κι πεπερσμένη τιμή. Αν δώσουμε στην μετβλητή μι - πειροελάχιστη ύξηση, η συνάρτηση θ υξηθεί κτά τη διφορά f ( + ) f ( ), η οποί εξρτάτι πό τη νέ μετβλητή κι την τιμή που είχε το. Σ υτήν την περίπτωση, η συνάρτηση f () θ ονομάζετι συνεχής στο διάστημ της μετβλητής, ν γι κάθε τιμή του σ υτό το διάστημ, η πόλυτη τιμή της διφοράς f ( + ) f ( ) μικρίνει επ άπειρον μζί μ υτήν του. Με άλλ λόγι, η f () θ πρμένει συνεχής ως προς, ν μι πειροελάχιστη ύξηση της μετβλητής πράγει πάντοτε μι πειροελάχιστη ύξηση της ίδις της συνάρτησης. Η έννοι του ορίου Η έννοι της συνέχεις κθώς κι ορισμένες άλλες βσικές έννοιες της νάλυσης που θ γνωρίσουμε στ επόμεν κεφάλι (όπως π.χ. η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ) περιείχν, στ πρώτ στάδι της εξέλιξής τους, ορισμένες σάφειες, που οφείλοντν κυρίως στην δυνμί των μθημτικών ν διπργμτευθούν με λογική υστηρότητ την έννοι του πείρως μικρού κι του πείρως μεγάλου. Αυτή η δυνμί οδηγούσε πολλούς ν μφισβητούν τ θεμέλι πάνω στ οποί στηρίζοντν το οικοδόμημ της μθημτικής νάλυσης κι ν συνδέουν τ εντυπωσικά ποτελέσμτά της με ορισμένες μετφυσικές ερμηνείες. Οι μθημτικοί προσπάθησν ν ξεπεράσουν υτές τις δυσκολίες εισάγοντς την ιδέ του ορίου, με την οποί, ρχικά, εκφράζοντν η δυντότητ μις μετβλλόμενης ποσότητς ν προσεγγίζει επ άπειρον μι στθερή ποσότητ χωρίς στην πργμτικότητ ν τη φτάνει ποτέ. Ο d Alembert όρισε το 1765 υτήν την έννοι στην Εγκυκλοπίδει του Diderot ως εξής: Εν μέγεθος ονομάζετι όριο ενός άλλου ότν το δεύτερο μπορεί ν προσεγγίζει το πρώτο σε μι πόστση οσοδήποτε μικρή, ν κι έν μέγεθος δεν μπορεί ν ξεπερνά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει. έτσι ώστε η διφορά μις τέτοις ποσότητς πό το όριό της ν είνι εντελώς μελητέ. Σύμφων λοιπόν μ υτόν τον ορισμό, που περικλείει την έννοι της κίνησης ως μι διδικσί προσέγγισης, ο ριθμός είνι το όριο της κο-

5 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 195 λουθίς 1,9 1,99 1,999 1,9999, λλά όχι όριο κολουθίς 1,9 1,99 (γιτί υτή φτάνει το ), ούτε όριο της κολουθίς 1,9,01 1,9999,0001 (γιτί υτή ξεπερνά το ). Ο τρόπος με τον οποίο οι μθημτικοί χρησιμοποιούσν την έννοι υτή του ορίου φίνετι χρκτηριστικά στο επόμενο πράδειγμ, στο οποίο ο S.F. Lacroi ποδεικνύει το 1810 ότι lim = : + + Έστω ότι δίνετι η συνάρτηση, στην οποί υποθέτουμε ότι το υξάνετι θετικά χωρίς τέλος. Διιρώντς ριθμητή κι προνομστή με το, + βρίσκουμε, έν ποτέλεσμ που δείχνει κθρά ότι η συνάρτηση θ 1+ πρμένει πάντοτε μικρότερη πό το λλά θ προσεγγίζει συνέχει υτήν την τιμή, φού το μέρος του προνομστή μειώνετι όλο κι περισσότερο κι μπορεί ν μειωθεί όσο θέλουμε. Η διφορά νάμεσ στο δοσμένο κλάσμ κι την τιμή εκφράζετι ως = + + κι επομένως γίνετι ολοέν κι πιο μικρή, όσο το γίνετι μεγλύτερο, κι μπορεί ν γίνει μικρότερη πό οποιδήποτε ποσότητ, οσοδήποτε μικρή. Συνεπώς, το δοσμένο κλάσμ μπορεί ν προσεγγίζει το όσο κοντά θέλουμε: άρ το είνι το όριο της συνάρτησης ως προς την όριστη ύξηση του +. Γι ν τυποποιήσουμε υτήν την μκροσκελή διδικσί, οι μθημτικοί προσπάθησν ν ποσυνδέσουν την έννοι του ορίου πό την έννοι της κίνησης κι ν την ορίσουν με κθρά ριθμητικούς όρους, έτσι ώστε ν γίνει έν ντικείμενο μθημτικού λογισμού. Το ποτέλεσμ υτής της προσπάθεις υπήρξε ο σημερινός σττικός ορισμός με τη βοήθει των νισοτήτων κι της πόλυσης τιμής, που διτυπώθηκε πό τον Weierstrass στ μέσ του 19ου ιών. Με υτόν τον ορισμό, η έννοι του ορίου πογυμνώθηκε πό κάθε στοιχείο εποπτείς λλά έγινε έτσι δυντό ν ποδειχθούν με λογική υστηρότητ οι ιδιότητες των ορίων κι ν τυποποιηθεί η διδικσί υπολογισμού τους.