-h sα + h sψ + h sψ - p sα 0

Transcript

1 Technická mechanika II 0 3 BEK, 0 0 BDS re bakalárov, imný sem docingfrantišek Palčák, PhD, ÚAMM 000 Cvičenie: Vektorová metóda kinematickej analýy olohy členov rovinných mechaniov Numerická Newton-Rahson-Simsonova (N-R-S) metóda Kinematická analýa Slučkové rovnice Vektorové slučkové Rovnice Príklad Vektorové slučkové rovnice Cieľom kinematickej analýy olohy členov daného rovinného mechanimu so námymi ačiatočnými hodnotami všetkých súradníc olohy členov a redísaným ohybom vstuného hnacieho člena/členov je určiť časový riebeh očtu d k s ávislých súradníc olohy výstuných členov, kde k je očet ákladných slučiek a s je očet geometrických väieb (sojení) tyu t = Na určenie časového riebehu očtu d ávislých súradníc olohy výstuných členov je otrebné ostaviť očet d lineárne neávislých algebrických slučkových rovníc (väobných rovníc) odľa tyu mechanimu V rovinnom mechanime je re každú ákladnú slučku odmienka uavretia mnohouhoníka ískaného kinematickej schémy si h 0, i,,,k, j,,,si j ij kde si je očet orienovaných strán mnohouhlolníka Pri kinematickej analýe olohy členov kľukového mechanimu odávača obr je úlohou určiť časový riebeh očtu d ávislých globálnych súradníc, i,,,d olohy členov, 4 v ávislosti od redísaného riebehu očtu n neávislých globálnych súradníc, i,,,n olohy hnacích členov n ( n je ároveň ohyblivosť mechanismu)ričom celkový očet m globálnych súradníc i, i,,,m je m n + d V jednoslučkovom kľukovom mechanime odávača na obr je odmienka uavretia mnohouholníka O ABC si h 0, i,,,k, j,,,si () j ij kde si je očet orienovaných strán Pre k index i vynecháme a odovedajúca vektorová slučková rovnica odľa voleného myslu ščítania je -h h h3-4 0 () Skalárne slučkové Skalárne slučkové ako riemety vektorov mnohouholníka do smerovnice rov osí x, y ískame vynásobením jednotkovými vektormi i, j -hcα + hc + h3c - 4cα 4 0 (3) -h sα + h s + h s - sα 0 (4) α (x,y ) a α 4 (x,x 4) kde i n i

2 Obr Východisková konfigurácia členov kľukového mechanimu odávača v čase t t Záis aritmetickými Skalárne slučkové väobné rovnice (3), (4) aíšeme omocou vektormi aritmetických vektorov f i( ) f i(,, d) 0, i,,,d (5) Presné riešenie Na určenie resných hodnôt riešenia skalárnych väobných rovníc (3), (4), (ávislých globálnych súradníc i, i,,,d olohy členov =, 4 ) nelineárnych algebrických transcendentných rovníc (5) dotera nie je námy algoritmiovateľný ostu Približné riešenie Približné hodnoty riešenia nelineárnych algebrických transcendentných rovníc (5) s vyžadovanou resnosťou je vždy možné ískať numericky algoritmiovateľnou Newton-Rahson- Simsonovou (N-R-S) iteračnou metódou Taylorov rad Anglický matematik Brook Taylor (685,73) navrhol využiť na vyjadrenie funkcie f súčet nekonečného očtu členov (6) (Taylorov rad) ískaných derivácií tejto funkcie v bode a Pre redísanú resnosť nahradenia (aroximácie) funkcie stačí uvažovať konečný očet n členov radu (Taylorov olynóm) ( n) f ( a) f ( a) f ( a) n f ( x) f ( a) ( x a) ( x a) ( x a) (6)!! n! ( n kde n! je faktoriál čísla n a f ) ( a ) je n tá derivácia funkcie f vyčíslená v bode a Nultá derivácia funkcie f je samotná funkcia f a hodnota výrau ( x ) n0 0 a a 0! sa rovná

3 Obr Nahradenie (aroximácia) funkcie y f ( x) v bode x a a v bode x0 x h Odhad x 0 Po dosadení rvého odhadu x0 riešenia (koreňa) do rovnice y f ( x) dostaneme vyšok f() f ( x0) Rodiel-diferencia x Pre konečný rírastok (rodiel) x x x0, teda x h remennej x sa hodnota funkcie y f ( x) mení o rírastok (rodiel-diferencia) y f ( x0) f ( x), teda y f ( a) y Derivácia f ( x) Deriváciu f ( x) tg funkcie y f ( x) v bode x x y f ( x) 0 môžeme aísať ako f( x) otom re x x x x x x a re f( xr) 0 o dosadení dostaneme f ( x) f ( xr) f( x), čoho f ( xr) f ( x) f ( x) x x x Diferenciál df ( a ) Differenciál df ( a ) funkcie y f ( x) re rírastok (rodiel) x h v bode x a je df ( a) f ( a) h Odchýlka f( h) Odchýlka (deviácia) f( h) je výsledok nahradenia rodielu y f ( a) diferenciálom df ( a ) Riešenie funkcie Riešením (koreňom) funkcie y f ( x) je resná hodnota súradnice x riesečníka funkcie y f ( x) s osou x, teda o dosadení R riešenia je f( xr) 0 Newtonova aroximácia Isaac Newton (64, 77) navrhol v roku 67 nahradiť nelineárnu funkciu y f ( x) v bode x a tangentou, ale alikoval to len na olynómy Rahsonova aroximácia Joseh Rahson (648, 75) vyvinul v roku 690 jednoduchšiu algebrickú metódu s ostunými nahradeniami (aroximáciami) Simsonova aroximácia Thomas Simson (70, 76) ovšeobecnil v roku 740 Newtonovu a Rahsonovu metódu do dnešnej odoby s využitím diferenciálov

4 Poskladanie mechanimu Kinematická analýa olohy členov mechanimu ačína oskladaním mechanimu (obr ) odľa daných romerov (dĺžky, uhly) do východiskovej konfigurácie v čase t = t v ktorom sú neávislé globálne súradnice n i, i,,,n olohy hnacích členov konštantné (v ríklade je to n (t ) ) a nenáme ávislé globálne súradnice 4 odhadneme (ačiatočný-rvý odhad () 4() ) Zvyšky (reiduá) Mnohouholník O ABC (obr ), ktorý je uatvorený ri resných hodnotách (riešení) ávislých globálnych súradníc olohy členov =, 4 sa ro dosadení odhadnutých hodnôt (ačiatočný odhad () 4() ) rotvorí, čím vniknú vyšky f (), f () (reiduá) Nenáme ávislé globálne súradnice 4 sa odarí ískať s vyžadovanou resnosťou, ak sresníme ačiatočný odhad korekciami () 4() a menšíme vyšky, teda = + Δ () () () 4() = 4() Δ4() N-R-S metóda Jednou možností ako určiť korene rovníc (5), teda nenáme ávislé globálne súradnice 4 s vyžadovanou resnosťou je využiť hodnoty ačiatočného odhadu () a náme hodnoty f ( () ) f ( () ) všetkých arciálnych derivácií, Taylorovho radu tak, aby sme o dosadení hodnôt sresneného aritmetického vektora () čo najviac riblížili k odmienke f ( () ) 0 uatvorenosti mnohouholníka O ABC (obr ) Podstata numerickej N-R-S metódy sočíva v tom, že namiesto výočtu všetkých derivácií aroximujeme Taylorov rad rvým lineárnym členom a východiskový odhad, r, iteráciami sresňujeme korekciami, kým sa nedosiahne vyžadovaná resnosť ávislých súradníc olohy Lineariácia Vo východiskovej konfigurácii mechanimu rebehne lineariácia nelineárnych algebrických väobných rovníc (5) f f,,fd súčtom vyškov f so súčinom rvého lineárneho člena Tylorovho radu s nenámymi korekciami f f V (6) kde r je číslo iteračného kroku

5 Zvyšky Zvyšky (reiduá) f dostaneme o dosadení východiskového odhadu, r ávislých súradníc do väobných rovníc (5), Jakobián Prvky matice V (Jakobián) rádu (d x d) dostaneme deriváciami V f i j, i,,,m, a j,,,d (7) Korekcie Aritmetický vektor korekcií sa otom dá určiť o sústavy lineárych rovníc (6) Numerické riešenie Po dosadení resného riešenia do sústavy nelineárnych algebrických rovníc (5) dostaneme f 0, ale o dosadení aritmetického vektora odhadov budú nenulové vyšky f 0 teda aj rovnice f 0 Iteračný roces konvergujúcej (N-R-S) metódy, r,,, (8) (r+) skončí, ak norma korekcií slní odmienku (9) Vtedy bude aritmetický vektor (r+) redstavovať rijateľné riešenie, lebo norma f ( r) vyškov slní odmienku f, teda najväčší vyšok bude menší ako daná tolerancia Aritmetický vektor vtedy sĺňa všetky väobné rovnice (5) (r+) V našom ríklade (obr) väobné rovnice (3), (4) lineariujeme odľa rovnice (6) f f f f (0) () () 4() () 4 () f f f f () () () 4() () 4 () Korekcie (), 4() ískané riešením lineárnych rovníc (0), () slúžia na ískanie ávislých súradníc olohy hnaných členov () 4() v druhom iteračnom kroku, ktorý ri konvergencii metódy sresňuje ačiatočný odhad () 4(), () = () + Δ () () 4() = 4() Δ4() ()

6 Kinematická analýa Cieľom kinematickej analýy olohy členov je určiť riebeh (t) ávislých súradníc olohy hnaných členov i, i,,,d v ávislosti od daného riebehu (t) n, neávislých súradníc olohy vstuných hnacích členov, i,,,n Pre rírastok n n n ni in (t ) (t ) (t ) neávislých súradníc olohy vstuných hnacích členov (obr)re volený časový krok h t- t bude aritmetický vektor ávislých súradníc olohy hnaných členov (t ) ískaný rocesu oskladania v čase t t re N-R-S metódu novým odhadom Obr Konfigurácie členov kľukového mechanimu odávača v časových krokoch t, t