Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
|
|
- Ἀρτεμᾶς Μακρής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC algoritmus 0 V Čebyševove polynómy druhu VI Riešenie rovníc f(x)=0 VII Implementácia výpočtu druhej odmocniny 6 VIII n-rozmerný Newtonov algoritmus a riešenie sústav nelineárnych rovníc 7 IX Lubbockova metóda na aproximáciu súčtu nekonečných radov 8 X Interpolácia 0 XI Interpolácia pomocou splajnov 6 XII Metóda najmenších štvorcov 8 XIII Numerická derivácia 33 XIV Riešenie sústav lineárnych rovníc 36 XV Numerická kvadratúra 38 References Babušíková-Slodička-Weiss, Numerické metódy, UK, 000 Stanislav Mika, Numerické metódy algebry, SNTL, Praha, 98 3 Petr Přykril, Numerické metódy matemtickej analýzy, SNTL, Praha, Nekvinda-Šrubaš-Wildt, Úvod do numerickej matematiky 5 Emil Vitásek, Numerické metódy 6 Anthony Ralston, Základy numerickej matematiky, Akademia, Praha, Lars Eldén, Linda Wittmayer-Koch, Numerical Analysis an Introduction, Linköping 8 Filová-Valková, Numerická matematika (Aproximačné a kvadratúrne metódy) 9 Dávid, Numerické metódy na osobných počítačoch Typeset by AMS-TEX
2 ROČNÍK I Úvod do problematiky numerickej matematiky reálny problém experimenty merania riešenie problému mat model exaktné matmetódy exaktné riešenie jednoduchší model približné metódy num úloha numerické metódy num riešenie Príklad Objem Zeme: O V = 4 3 πr3 V 4 (r=6378km) V = 3 πr3 Príklad { Elektrický obvod: (a, b, c, d znéme konštanty) I = a(e bu ) c = da(e bu ) + U c = d I + U Ak c =, d = 4, e = 3 a b =, tak U 0, 99 Budeme predpokladať, že riešenie existuje; otázka stability úlohy; Príklad 3 x + 6x =8 x + 6x =8 x x = x x = ( ) ( ) 7 riešenie: x = riešenie: x = Nestabilná sústava, lebo malá zmena v koeficientoch spôsobí veľkú zmenu Príklad 4 Ax = b: x x x 3 x 4 x 5 = Riešenie tejto sústavy je x = (; 0; ; 0; ) T Ak namiesto 0 máme 00, tak riešenie bude x = (0; 0; ; 0; 0) T nestabilná sústava Príklad 5 x 4x + 4 = 0 x =, x = x 4x = 0 x = 0, x = Príklad 6 {z n } n=0 z n+ = a z n a 0, z 0 0 a>0, z 0 = 0 z = 0,, z i = 0 a>, z 0 0 z = a z 0, z = a z 0,, z n = a n z 0 lim n z n = Nech z 0 = 0 0 nestabilná
3 NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 Príklad 7 f (x) = 0, f (x) = ε sin(nx) pre x R, ε>0, n>0 g(x) = f (x) f (x) max f (x) f (x) = max ε sin(nx) ε x R x R g (x) = f (x) f (x) max g (x) = ε cos(nx) n εn x R Nech ε = 0 9 a n = 0 9 Výpočet derivácie je nestabilná úloha g(x) je spojitá funkcia Nech f (x) f (x) ε x 0, 0 f (x) f (x) dx ε 0 dx = ε Integrovanie je stabilná úloha Číselné sústavy ±a n a n a a 0, b b = ± a k 0 k + b k 0 k k=0 Definícia Ak q je základ číselnej sústavy, tak číslo tvaru ±a 0, a a a t q c (kde a 0 0 a a i {0,,, 9} ) sa nazýva mantisa Normalizovaná mantisa je číslo tvaru ±0a a a t q b, kde a 0 Príklad 8 85 (0) = () 545 (0) = 000 () k=0 II Počítačová realizácia reálnych čísel a ) x = ±0d d d t d t+ 0 e (e exponent); q m < b ) x = ±d 0 d d d t q e m < q M(q, t, L, U) q aditívny t miestny počítač L najmenší exponent, U najväčší exponent Príklad M(, 3,, ) prípad a ) : 0, 00, 0, 0,, 0, tieto sú presne zobraziteľné ( ) čísla Najmenšie presne zobraziteľné číslo je ( ) 7 0, 00 = ; najväčšie presne zobraziteľné číslo je 0, = 4 (0) 4 (0) Počet presne zobraziteľných čísel na počítači M(q, t, L, U) je (q ) q t (U L + ) + Definícia Absolútna chyba je rozdiel medzi presným číslom x a výsledkom x: x x m m q t ak x je správne zaokrúhlené číslo na t-tom mieste m resp m mantisa čísla x resp x Definícia Ak x = m q e a x = m q e, tak relatívna chyba je výraz x x x Platí: x x x = mq e mq e mq e = m m m q t Teda x x x q t :=η η je zaokrúhlovacia jednotka Zaokrúhlovacia jednotka sa rovná κ q t, kde κ = pri rezaní; a κ = pri zaokrúhlovaní ω presná operácia; ˆω počítačová operácia x sa dá presne zobraziť, tak fl t (x) = x, kde fl t (x) je počítačová realizácia čísla x
4 4 ROČNÍK Ak x, y M, tak x ˆω y = fl t (x ω y) Ak x, y / M, tak x ˆω y = fl t (fl t (x) ω fl t (y)) Súčet čísel s rovnakými znamienkami: R x, y > 0, x x resp ȳ y tj x = x + ε resp y = ȳ + ε (x + y) ( x + ȳ) = (x + y) ( x ε + ȳ ε ) = ε + ε (x + y) ( x + ȳ) x + y = ε + ε x + y ε x + y + ε x + y ε + ε x y Súčet s rôznymi znamienkami: relatívna chyba: Re(x + y) = ε + ε x + y Príklad Zaokrúhlite na desatinné miesta: x = 0996 x = 00 y = 0994 ȳ = 099 Re(x + y) = ε + ε x + y = = 4 ε = x x = 0004 = 0004 = 04% Re(x) = x x x = 46 < 0005 ε = y ȳ = 0004 = 0004 = 04% Re(y) = y ȳ y = < 0005 Dôsledky počítačovej aritmetiky: Ak chceme vyrátať x sin x v okolí bodu 0, tak musíme použiť Taylora Chceme nájsť korene kvadratického trojčlena ax + bx + c = 0, kde a 0, b<0 a b 4ac Potom dostaneme x = b + b 4ac b + ( b) = b a a a, ale b ( b) x = 0 čo je zlý výsledok Treba použiť Vietove vzťahy na určenie a koreňa x : x x = c a x = c ax { ( ) ( ) εx + x = ε ε ε 0 x + x = 0 ε ε ( ) ( ) ( ) ε x 0 = ε x x = ε ε a x = x 0 zle ε ε ( ) ( ) Správny postup: ε 0 ε ε x = ε ε + ε x = x = = x = ε ε Platné dekadické číslice a platné desatinné miesta Definícia 3 Nech x = a 0 b, a mantisa, x = ā 0 b Hovoríme, že j-tá dekadická číslica je za desatinnou čiarkou je platná, ak platí () x x 0b j a () a ā 0 j Ak platia pre nejaké j = s (tým skôr pre j < s), ale pre j = s + už nerovnosť neplatí, potom hovoríme, že x má s platných číslic za desatinnou čiarkou Príklad 3 a = a ā = 034, tak a ā 0 4, teda ā má 4 platné číslice Pre čísla s normalizovanou mantisou sa používa výraz platné desatinné miesta Platné desatinné miesta sú tie miesta za desatinnou čiarkou, ktoré sú obsadené platnými číslicami v zmysle tých nerovností (), (), a nulami pred prvou platnou číslicou
5 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 III Diferenčný počet Majme diskrétnu množinu bodov x i a v nich funkčné hodnoty f(x i ) x i = x 0 +ih, kde h veľkosť kroku a i Z f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) Označme f i :=f(x i ) Definícia 3 Diferencia rádu funkcie f(x) v bode x i s krokom h sa nazýva číslo: f(x i )=f(x i +h) f(x i ) = f(x i+ ) f(x i ) = f i+ f i Diferencia rádu: f(x i ) = f(x i+ ) f(x i ),, n tehorádu: n f(x i ) = n f(x i+ ) n f(x i ) k ( ) k Všeobecne platí: k f(x i ) = ( ) j f(x i + (k j)h) j inverzný operátor Potom f(x) = g(x) c(x) + f(x) = g(x) g(x) = f(x)+c(x) g(x) = f(x)+0, teda c(x) = 0 tj c(x+h) c(x) = 0 Príklad 3 a x = a x+ a x = a x (a ) x = x a x = ax a a x = a x a b b f(x) = g(x), g(x) = [f(x + h) f(x)] = [f(x)] b+ x=a x=a x [k] = x(x ) (x k + ) x [k] = (x + ) [k] x [k] = (x + )x(x ) (x k + ) x(x ) (x k + ) = = x(x ) (x k + )[x + (x k + )] = k x [k+] x [k+] = (k + )x [k] x [k] = x[k+] k + x [k] = x[k+] k + Diferenčná rovnica: sústava rovníc G(n, y n, y n,, p y n ) = 0 Neznáma v tomto G je {y n } k ( ) k k y n = ( ) j y n k+j G(n, y n, y n, y n+,, y n+p ) = 0 j y n+p = F (n, y n,, y n+p ) () Rovnicu () nazývame diferenčnou rovnicou p-teho rádu Partikulárnym riešením tejto rovnice rozumieme akúkoľvek postupnosť {y n } n N, ktorej členy vyhovujú rovnici () pre všetky n Každé riešenie diferenciálnej rovnice p-teho rádu je jednoznačne určené p začiatočnými podmienkami Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice p-teho rádu rozumieme {y n } n N, ktorej členy závisia od p konštánt: c,, c p y n = y(n, c,, c p ) Každé partikulárne riešenie sa dá získať zo všeobecného riešenia a zo začiatočných podmienok Lineárna homogénna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientami a 0 y n+p + a y n+p + + a p y n = 0, kde a i sú konštanty, pričom a 0 0 a p Riešenie budeme hľadať v tvare c z n = y n, y n+ = c z n+,, y n+p = c z n+p dosadením: a 0 c z n+p + a c z n+p + + a p c z n = 0 c z n (a 0 z p + a z p a p z 0 ) = 0 a 0 z p + a z p + + a p z 0 je charakteristická rovnica príslušná k diferenciálnej rovnici, je to algebraická rovnica p-teho rádu v premennej z a s tými istými koeficientami Charakteristická rovnica: a 0 z p + a z p + + a p z 0 = 0 () Predpokladajme, že charakteristická rovnica má všetky korene reálne, rôzne: a
6 6 ROČNÍK z,, z p Potom fundamentálny systém riešení rovnice () je tvaru z n, z n,, z n p (množina lineárne nezávislých riešení) Všeobecné riešenie: y n = c z n + +c p z n p Ak je niektorý reálny koreň charakteristickej rovnice k-násobný, potom z titulu tohto koreňa sa dostanú do fundamentálneho systému takéto funkcie: z n i ; nzn i ; ; n k z n i Lineárna kombinácia týchto riešení je všeobecné riešenie zn i (c i0 + c i n+ + + c ik n k ) 3 Ak je niektorý koreň charakteristickej rovnice komplexný k-násobný z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) Vo fundamentálnom systéme riešení z titulu tohto k-násobného koreňa bude vystupovať celkom k riešení tvaru: ρ n cos(nϕ); nρ n cos(nϕ); ; n k ρ n cos(nϕ); ρ n sin(nϕ); nρ n sin(nϕ); ; n k ρ n sin(nϕ) 4 Ak je koreň jednoduchý, komplexný: z =ρ(cos ϕ±i sin ϕ) z n =ρ n (cos(nϕ)± ±i sin(nϕ)) Do fundamentálneho systému prídu takéto rovnice: c ρ n (cos(nϕ)+ +i sin(nϕ))+c ρ n (cos(nϕ) i sin(nϕ)) tj ρ n (c +c ) cos(nϕ)+ρ n (c c ) sin(nϕ) = = K ρ n cos(nϕ) + K ρ n sin(nϕ) Príklad 3 Vyriešte rovnicu 4-ho rádu: y n+4 + y n+3 + 3y n+ + y n+ + y n = 0 Jej charakteristická rovnica je z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 z = ± i 3 sú komplexne združené dvojnásobné korene z = + i 3 = cos( 3 π) + i sin( 3 π) z = i 3 = cos( 3 π) i sin( 3 π) Príklad 33 V banke máme y 0 korún Ročný úrok je r%, pričom úroky sa budú pripisovať mesačne, a budeme platiť mesačne poplatok d Koľko peňazí budeme mať po n mesiacoch? Riešenie: y n+ = y n + r y n d y n+ = y n (+ r ) d = Ay n+b, kde A = + r a B = d y n = A y n = A y n +AB+B = = A n y 0 +B(A n +A n + +A+ +) = A n y 0 + B An Všimnime si stabilitu Predpokladajme, že A, B M A (presne zobrazovateľné čísla) y n Y n Y n+ = AY n +B+R n+ Y n+ y n+ = =AY n +B+R n+ Ay n B=A(Y n y n )+R n+ =A (A(Y n y n )+R n )+R n = = A n+ (Y 0 y 0 ) + A n R + + A R n + AR n + R n+ A < : R n R pre n =,, Y n+ y n+ C A > : y n+ Y n+ 3 A = : R n R > 0 n : Y n+ y n+ numericky nestabilné Príklad 34 V skklenenej nádobe je tekutina, ktorá má v čase t 0 teplotu y 0 Nech okolité prostredie má ȳ a nech c je tepelná vodivosť skla Označenie y n teplotu tekutiny v čase t n h časový krok t n = t 0 + nh Podľa Newtona: y n+ y n = = c h(ȳ y n ) y n+ = y n c hy n + c hȳ y n+ = ( c h)y n + c hȳ Označme a:= c h a b:=c hȳ y n+ = ay n + b = = a n+ y 0 + b an+ a a < y n+ b a lim y chȳ n+ = = ȳ ch < n ( ch) 0<ch< h< c Ak by sme poznali y 0, ȳ a určíme si h experimentálne y y 0 = ch(ȳ y 0 ) hc = y y 0 ȳ y 0
7 NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 Lineárne rekurentné relácie rádu s konštantnými koeficientami y n+ + b y n+ + b 0 y n = 0 y n = z n z 0 y n+ = z n+ y n+ = z n+ z n+ + b z n+ + b 0 z n = 0 p(z) = z + b z + b 0 = 0 a ) Nech korene sú rôzne: z z Potom {z n }, {z n } sú dve lineárne nezávislé riešenia b ) má dvojnásobný koreň: {z n } ({nz n } {nz n }) Nech z je dvojnásobný koreň pôvodnej rovnice Nech y n = nz n y n+ = (n + )z n+ (n + )z n+ + b (n + )z n+ + b 0 n z n = 0 n z n+ + b n z n+ + b 0 n z n + z n+ + b z n+ = 0 n z n (z + b z + b }{{} 0 ) + z n+ (z + b ) = 0 }{{} p(z) p (z) Domáca úloha Dokážte, že {n z n } je tiež riešením Veta 3 Nech b 0, b R Potom existujú dve lineárne nezávislé riešenia postupnosti () y n+ + b y n+ + b 0 y n Dôkaz Stačí dokázať lineárnu nezávislosť a ) : Ak polynóm p(z) má dva rôzne reálne korene, tak z n, z n sú dve lineárne nezávislé riešenia rovnice () b ) : Nech p(z) má dvojnásobný koreň z {z n }, {n z n } sú lineárne nezávislé Sporom predpokladajme, že sú lineárne závislé z n = αn z n n n = : z = α z 0 α = z n = 0: z 0 = α 0 z = 0 spor Dôsledok Množina všetkých postupností spĺňajúci () je lineárny vektorový priestor dimenzie Veta 3 Dimenzia lineárneho vektorového priestoru všetkých postupností spĺňajúci rekurentnú reláciu () je Veta 33 Nech b 0, b, A, B R n 0 n Z potom existuje jediná postupnosť spĺňajúca rovnicu () taká, že spĺňa dve začiatočné podmienky: y n0 = A, y n = B Príklad 35 y 0 =, y = 3, y n+ = 0 3 y n y n z 0 3 z + = 0 (z 3)(z 3 ) = 0 z = 3 z = ( ) n 3 y n = c 3 n + c y 0 = c + c y = 3c c y = 3(y 0 c ) + 3 c y 3y 0 = 3c + 3 c = 8 3 c c = 3 8 y y 0 c = 8 y y y n = 3y y 0 3 n + 9y 0 3y n Po dosadení: y n = 3 n
8 8 ROČNÍK Nehomogénna rekurentná rovnica rádu () y n+ + b y n+ b 0 y n = a n+ Veta 34 (princíp superpozície) a ) Nech v n je nejaká pevne zvolená postupnosť spĺňajúca () Potom každá {y n }, ktorá spĺňa () sa dá napísať v tvare: y n = u n + v n, kde v n je nejaké partikulárne riešenie nehomogénneho systému a u n je riešenie príslušneho homogénneho systému b ) Nech v n spĺňa () a u n spĺňa (), potom y n = u n + v n Príklad 36 Riešte y n+ y n+ y n =n + y 0 =0, y = Riešenie: Hľadáme u n a v n (hľadáme v tvare pravej strany) Charakteristická rovnica: r r =0 r =, r = Nehomogénna časť: v n =an +bn+c v n+ =a(n+) +b(n+)+c v n+ =a(n+) +b(n+)+c(n+) v n+ v n+ v n =n + a=, b=, c= 3 v n = n n 3 Teda y n =c n +c ( ) n n n 3 Začiatočné podmienky: y 0 =0=c +c 3 a y ==c c 5 Po vyriešení: c =3, c =0 Výsledok: y n = n 3 n n 3 Príklad 37 Riešte: y n+ =y n +b n y 0 = Riešenie: b : y n+ =y n +b n y n =u n +v n v n =k b n k b n+ k b n =b n k b k= k(b )= k= b v n= bn b u n+ u n =0 u= u n =c n y n =u n +v n y n =c n + bn Začiatočná podmienka: =c+ b b c=b 3 b Výsledok y n = n (b 3)+b n b b=: v n =k n n v n+ =v n + n k(n+) n+ =kn n + n k(n+)=kn+ kn+k=kn+ k= v n=n n y n =n n +c n Začiatočná podmienka: =c 0 c= Výsledok: y n = n (n+) Príklad 38 Riešte: y n+ 6y n+ +9y n =0 y 0 =, y =3 Riešenie: z 6z+9=0 (z 3) =0 c 3 n +c n 3 n =3 n (c n+c ) Začiatočné podmienky: y 0 == (c 0+c )=c a y =3=9 (c +) 8c = 6 c = 3 Výsledok: y n =3 n ( n ) 3 Príklad 39 Riešte: y n+ y n +y n =0 y 0 =, y = Riešenie: z z+=0 z = +± 4 8 =±i= (cos π 4 ±i sin π 4 ) y n =c ( ) n (cos nπ 4 +i sin nπ 4 )+c ( ) n (cos nπ 4 i sin nπ 4 ) Začiatočné podmienky: y 0 ==c (cos 0+i sin 0)+c (cos 0 i sin 0) =c +c y == ( +i )+ c ( i ) =c (+i)+c ( i)=c +c +i(c c )
9 i(c c )= i(c )= c = i NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 c = +i Po dosadení dostaneme výsledok: y n =( ) n+ sin (n+)π 4 Domáce úlohy Riešte: y n+ 4y n+ +4y n =3 n y 0 =, y = y n+ 5y n+ +4y n =3 n y 0 =, y = 3 y n+ 5y n+ +4y n = 4 n y 0 =, y = 4 y n+ +y n =0, začiatočné podmienky si zvoľte Odhad chyby funkčnej hodnoty s približným argumentom x presná hodnota; x aproximácia x=x x, x = x x ε(x) y(x)=y(x) y( x)=y (ξ)(x x) y(x) max z O(x) y (z) x M ε(x) }{{} M y(x) y(x) Mε(x) y( x) Výpočet štandardných funkcií a ukážky implementácie štandardných funkcií na počítači Požiadavka: η= t Aby algoritmus pre výpočet štandardných funkcií bol dostatočne rýchly Príklad 30 sin x=x x3 3! +x5 5! x7 7! +x9 9! 0 x π Chyba je menšia ako x k+ x k (k+)! ak sme skončili pri člene (k )! Polynomiálna aproximácia: sin πx q(x)=x(b 0+b x +b x 4 +b 3 x 6 )=x(((b 3 x +b )x +b )x +b 0 ) Racionálna aproximácia: f(x) P (x) Q(x) Príklad 3 Chceme aproximovať f(x)= x 0, pomocou polynómu tak, aby relatívna chyba bola menšia ako 0 0 Potrebujeme polynóm 6-teho stupňa Potrebujeme 6-krát násobenie a 6-krát sčítanie Racinálne: x q(x )+xs(x ) q(x ) xs(x =r(x) Potrebujeme 3 násobenia, 4 sčítania a delenie ) Výpočet hodnôt štandardných funkcií a transformácia argumentu do vhodného intervalu a jej numerické aspekty Majme vhodnú aproximačnú funkciu, ktorá aproximuje funkciu sin x na 0, π sin x= sin(x+kπ) u:=x kπ=x nπ Predpokladajme, že n, x sa dá presne zobraziť na počítači a π je zobrazené na maximálny počet desatinných miest π π π =ε, π=π(+ε ), ε η, ū=x n π, ū=(x nπ(+ε )(+ε ))(+ε 3 ), kde ε i η, u = ū u (x nπ)ε 3 nπ(ε +ε ) x nπ η+nπη u η+nπη
10 0 ROČNÍK Príklad 3 Predpokladajme, že x 0 =000 a chceme spočítať sin x 0 v jednoduchej presnosti na počítači M(, 3, 6, 7) Riešenie: n= 000 π =38, u=x 0 nπ=000 38π =ū, η= 3, u u η+nπη<000η 0 4 u 0 4 u , u=x 0 nπ, sin u= sin x 0 cos nπ cos x 0 sin nπ sin u = sin x 0, sin x 0 = sin u cos ū u cos , sin x 0 sin x < η= 53 = 5 u <000η= 0 3, sin x 0 sin x IV CORDIC algoritmus (CORDIC= COordinate ROtation DIgital Computer) CORDIC algoritmus sa používa na aproximáciu trigonometrických funkcií Výpočet sa bude realizovať v registre t bitoch v pevnej rádovej čiarke Zoberme si: t=3, d d d 3 4 =0000d d d 3 0 sin β=β β3 3! +β5 5! sin β sin β <η, sin β β sin β β 3 3!β =β 6 β =m e, m<, β e =m < 4 e = e < t =η, e< log 075 t e> t + (04 ) e> (t+) Pre všetky e> (t+) budeme aproximovať β= sin β t=3: d d d 3 00d d d 3 sa ešte zmestí v registre t bit s pevnou desatinnou čiarkou ( ) β=m e, e= v 0 = β 0 =β 0 γ 0 β =β γ δ v i+ =P i v i ( ) ( ) cos γi δ P i = i sin γ i cos γ0 sin γ sgnβ δ i sin γ i cos γ i =δ i P 0 = 0 i sin γ 0 cos γ 0 P i je ortogonálna matica tj P i =P T i ( cos γ0 sin γ P 0 v 0 = 0 sin γ 0 cos γ 0 ) ( ) = 0 ( ) cos γ0 sin γ 0 Nech γ 0, γ,, γ t je postupnosť rotácií vektorov v 0, v, a nech v 0 =(, 0) T, β 0 =β, v i+ =P i v i, β i+ =β i δ i γ i ( ) cos γi δ P i v i = i sin γ i cos γ i =c i ( ) ( ) v δ i sin γ i cos γ i = i sin γ i =s i tan γ i =t i =c δi t i xi i =c δ i t i y i Q i v i i Budeme voliť γ i tak, aby tan γ i =t i = i v i+ =P i v i =c i Q i v i, c i = cos γ i =, + i v t = c t c t c c 0 Q t Q t Q Q 0 v 0 }{{} τ
11 Algoritmus: Vstupy(Input):β, γ 0, γ,, γ t for i:=0 to t- do δ:=sgn(β) ( ) δ i v:= δ i v β:=β δγ i NUMERICKÁ MATEMATIKA Poznámka Operácie sú jednoduché; posunutie desatinnej čiarky a jedna logická operácia (testovanie) Uhly γ i = arctan( i ), pre malé γ i : γ i = i V ČEBYŠEVOVE POLYNÓMY DRUHU Predpis: T n+ (x)=xt n (x) T n (x), T 0 (x)=, T (x)=x, x, Charakteristická rovnica: z xz+=0 x <: z = x± 4x 4 =x± x c z+c 0 z==c 0 +c, c x+c x +c x c x =x c =, c = Zaveďme substitúciu x= cos t, t 0, π x =: T n (x)= (x+ x ) n + (x x ) n T n (x)= (x+i x ) n + (x i x ) n T n (x)= (cos t+i sin t)n + (cos t i sin t)n T n (cos t)= (cos(nt)+i sin(nt))+ (cos(nt) i sin(nt))= cos(nt) T n (x)= cos(arccos x) x= : λ λ+=0 (λ ) =0 λ = x= : λ = T n (x)=x n (c n+c ) T 0 (x)==c 0+c c = T (x)=x=x(c +c )=x(c +) c =0 T n (x)=x n VI Riešenie rovníc f(x) = 0 Majme M R a f : M R; f(x)=0 f(x)=0 x+f(x)=x x=x f(x)=:ϕ(x) Brouwerova veta Nech a, b R, a<b, ϕ je spojitá na a, b, ϕ( a, b ) a, b x a, b : x=ϕ( x) Dôkaz ψ(x):=x ϕ(x), ψ(a)=a ϕ(a) 0, ψ(b)=b ϕ(b) 0 x a, b : ψ( x)=0 x=ϕ( x)
12 ROČNÍK Banachova veta Nech a, b R, a<b, ϕ( a, b ) a, b Ak existuje L R : >L 0, že pre x, y a, b : ϕ(x) ϕ(y) L x y < x y Potom! x a, b : x=ϕ( x) {x n } konštruovaná pomocou x n+ =ϕ(x n ) konverguje pre x 0 a, b x n x Ln L x x 0 Dôkaz x x n L x L n x n, x x n = x x n +x n x n x x n + x n x n ϕ( x) ϕ(x n ) + x n x n L x x n + x n x n x n x n L x n x n x x n ϕ( x) ϕ(x n ) L x x n L L x n x n Veta 63 (postačujúca podmienka konvergencie iteračnej postupnosti) Nech ϕ C a, b tj ϕ, ϕ sú spojité ϕ( a, b ) a, b Nech L= max x a,b ϕ (x) < Potom platia všetky tvrdenia Banachovej vety a lim x x n+ x x x n =ϕ ( x) Dôkaz x x n+ = ϕ( x) ϕ(x n ) = ϕ(ξ n ) x x n L x x n x x n+ x x n = ϕ (ξ n ) lim x x n+ n x x n =ϕ ( x) Veta 64 Nech x=ϕ( x) a nech ϕ je spojitá diferenciálna funkcia v O( x), nech ϕ ( x) < Potom, ak x 0 je dostatočne blízke k x, tak platia všetky tvrdenia vety 63 Dôkaz ϕ C (O( x)) I= x δ, x+δ taký, že L= max x I ϕ (x) < Ukážeme, že ak x I ϕ(x) I tj či x x δ? ϕ(x) I x ϕ(x) = ϕ( x) ϕ(x) L x x x x <δ Poznámka Dôsledkom týchto viet je metóda prostej iterácie x n+ =ϕ(x n ) Vždy konvergentné metódy Metóda bisekcie: Ak f : a, b R je spojitá funkcia a f(a)f(b)<0, tak existuje koreň na intervale a, b a nájdeme ho takto: u:=a, v:=b repeat m:= u+v if f(m)*f(u)<0 then u:=m else v:=m until v-u<ε Metóda regula falsi: 3 Metóda tetív: y f(b)=(f(b) f(a)) x a b a x i x i x i+ =x i f(x i ) f(x i ) f(x i )
13 4 Newtonova metóda: NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 x i =x i f(x i ) f (x i ) Veta 65 Nech x R, f( x)=0, x n+ =x n f(x n) f (x n ), f C (O( x)), f ( x) 0 Potom O ( x) také, že postupnosť x n+ =x n f(x n) f konverguje k x Naviac platí: (x n ) x n+ x lim n x n x = ϕ ( x) Dôkaz ϕ (x)= f (x) f(x)f (x) = f( x)f ( x) f (x) f ( x) Funkciu ϕ rozvinieme do Taylorovho radu: ϕ(x)=ϕ( x)+ ϕ ( x)! ϕ(x n )=ϕ( x)+ ϕ ( x)! ϕ ( x)= f( x)f ( x) f ( x) (x x)+ ϕ (ξ) (x x)! (x n x)+ ϕ (ξ n ) (x n x)! x n+ = x+ ϕ (ξ n ) (x n x)! x n+ x x n x = ϕ (ξ n ) x n+ x! lim n (x n x) = x n+ =ϕ(x n )= x+ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x=ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x lim n x n x = ϕ ( x) ϕ ( x)= f ( x) f ( x) ϕ ( x) ϕ( x) pre dvojnásobný koreň? f(x)f (x) f (x)f (x)+f(x)f (x) lim x x ϕ (x)= lim x x [f(x)] = lim x x f (x)f = (x) = + lim f(x)f (x) x x f (x)f (x) = + lim f (x)f (x)+f(x)f iv (x) x x f (x)f (x)+f (x)f iv (x) = Veta 66 Nech p N a x je p-násobný koreň rovnice f(x)=0 a f C p+ O( x) Potom postupnosť x n+ =x n p f(x n) x n+ f konverguje k bode x a platí lim (x n ) n x n x =c Dôkaz Označme: ϕ(x)=x p f(x) f (x), ϕ( x) =? x f(x)=(x x) p h(x) f (x)=p(x x) p h(x)+(x x) p h (x) (x x) p h(x) ϕ(x)=x p p(x x) p h(x)+(x x) p h (x) =x p (x x)h(x) ph(x)+(x x)h (x) = x pc(x) D(x) ϕ( x)= x ϕ (x)= p C (x)d(x) C(x)D (x) D = ϕ ( x)= p h( x)ph( x) (x) p h ( x) =0
14 4 ROČNÍK ϕ(x)=ϕ( x)+ ϕ ( x) (x x)+ ϕ (ξ) (x x)!! x n+ =ϕ(x n )= x+ ϕ (ξ n ) (x n x) Rád konvergencie iteračnej postupnosti Nech x 0, x, x a nech ε n =x n x Rádom konvergencie iteračnej postupnosti nazveme najväčšie kladné číslo p také, že platí lim ε n+ n ε n p =c< c asymptotická konštanta p=, tak lineárna konvergencia, p= kvadratická konvergencia, Hovoríme, že iteračná metóda má rád konvergencie p Urýchlovacia metóda konvergencie; Aitkenov δ proces Nech {x n }: x n+ =ϕ(x n ) Nech ϕ (x) L< Predpokladajme, že lineárna konvergencia x n+ x=ϕ(x n ) ϕ( x)=ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x x n x =ϕ (ξ n ) lim n Označme λ n = x n x n x n x n x n x x n x =ϕ (ξ n ) x n x x n x =ϕ (x)= lim n x n x x n x =ϕ (ξ n ) x n x x n x λ n = x x n ( x x n ) x x n ( x x n ) = x x n ϕ (ξ n ) ( x x n ) x x n ϕ (ξ n ) ( x x = ϕ (ξ n ) n ) ϕ (ξ n ) ϕ (ξ n ) ( x) lim n ϕ (ξ n ) = ϕ ϕ ( x) ϕ ( x) Pre dostatočne veľké n môžeme ϕ ( x) λ n x x n =ϕ( x) ϕ(x n )=ϕ (ξ n )( x x n ) λ n ϕ ( x) x x n x x n λ n ( x x n ) x x n x x n = x x n +x n x n ( x x n )+(x n x n ) λ n x x n ( x x n ) x n x n λ n ( x x n )( ) x n x n λ n ( x x n ) λ n x n x n λ n λ n x x n (x n x n ) chybová Aitkenova formula λ n Extrapolačná Aitkenova formula: x x n + (x n x n ) λ n λ n nová aproximácia: ˆx=x n + (x n x n ) λ n x n x n x ˆx n =x n + n x n x n x n x (x n x n x n n )=x n + (x n x n )= x n x n x n +x n x n x n λ n
15 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 =x n + (x n x n ) (x n x n ) =x n x n x n +x n+ x n x n (x n x n ) = =x n ( x n ) =x n ( x n ) x n x n x n ˆx n =x n ( x n ) Aitkenova formula x n Algoritmus: Vstupy: x 0, ϕ, ε x =ϕ(x 0 ), x =ϕ(x ), x x <ε x x (x x ) ˆx =x (x x ) (x x 0 ) 3 x 0 :=ˆx choď na Odhady chýb v iteračných metódach ozn x -pevný bod a x aproximácia f(x )=0, x x f( x)=f( x) f(x )=f(ξ)( x x ) Predpokladajme, že f (x ) 0 x x = f( x) f (ξ) Nech f (x) m v okolí O(x ) x x f( x) f( x) f( x) δ m f( x) f( x) f( x) f( x) δ f( x) δ+ f( x) x x f( x) δ+ f( x) m m f( x) je aproximácia f( x) Ak f( x)=0 x x δ m dosažiteľná presnosť Príklad 6 f(x)=x e x =0, x = x, f( x)= ,δ= 0 0, x x δ+ f( x) m, f ( x) 567 m=5, x x Dosažiteľná presnosť pre dvojnásobný koreň f(x)=f(x )+f (x )(x x )+ f (ξ) (x x ) f( x)= f (ξ) ( x x )! x x f( x) = f (ξ) f( x) δ f (x) f ( x) f( x) f( x) δ f( x) δ Príklad 6 Nevrhnite iteračnú metódu na f(x)=x ln x =0 koreň hľadajte na intervale, a koreň na intervale, 0 x= e x }{{} x n+ =e x n ϕ(x) ϕ (x)=(e x ) =xe x ϕ (x)=(4x +)e x ϕ ()= e < x 0 =0, x = x 4 = , x 5 = Teda prvý koreň je
16 6 ROČNÍK Druhý koreň: x= ln x+ ϕ }{{} (x)= x + ln x ϕ (x)<0 na, ϕ(x) x 0 =5, x = x 8 =56446 Teda druhý koreň je Príklad 63 Navrhnite iteračnú metódu: x a=0, (a>0) f(x)=x a x i+ =x i f(x i) f (x i ) = (x i+ a x i ) Domáca úloha Navrhnite netódu pre p>: x = p + p + p + x = p + x = ϕ(x) VII Implementácia výpočtu druhej odmocniny A=m k, m=b b b t, M(, t, L, U), exp=k, A= b b b }{{} t k, m A=b b b t k A=b b b 3 b t k a=c c 0 d d d t a<4 a xn a n N zvolíme: x 0 x n x n+ a= (x n a) x n (x n a) h 3 x 0 a = a+h a ξ h = h ξ h 4 x a (x 0 a) 9 x a 3 (x 0 a) 4 9 x 3 a 7 (x 0 a) 8 39 Ak t=3, tak chyba je menšia ako 3 = 4 Veta 7 Pre každé x 0 >0 iteračná metóda x n+ = (x n+ a ) generuje nerastúcu x n zdola ohraničenú postupnosť A platí: lim x n= a n Dôkaz Najprv ukážeme, že aj x n+ a Potom ukážeme, že x n x n 0 pre všetky n x n+ a= (x n+ a ) a= x n+a x n a = (x n a) 0 x n x n x n x n x n+ =x n (x n+ a )= x n x n a = x n a = (x n a)(xn + a) 0 x n x n x n x n
17 NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 Teda postupnosť je nerastúca, zdola ohraničená lim x n=x x n+ = n (x n+ a ) x = x n (x + a x ) (x ) =(x ) +a x =a x = a Banachova veta o pevnom bode v R n Nech (X, d) je úplný metrický priestor a nech λ 0, >λ také, že pre zobrazenie ϕ : X X platí, že d(ϕ(x), ϕ(y))<λd(x, y) Potom!x X : ϕ(x )=x Pre ľubovoľné x 0 X : x n+ =ϕ(x n ) konverguje k x VIII n-rozmerný Newtonov algoritmus a riešenie systémov nelineárnych rovníc { f (x, x )=0 Majme sústavu f (x, x )=0 x x 0 x =x 0 +h 0=f(x )=f(x 0 +h )=f(x 0 )+ f (x 0 )! h 0 =h = f(x 0) f x =x 0 +h 0 x =x 0 f(x 0) (x 0 ) f (x 0 ) x =x (0) +h x =x (0) +h 0=f (x, x )=f (x (0) +h, x (0) +h )= =f (x (0), x(0) )+ f (x (0), x(0) ) h x + f (x (0) 0=f (x, x )=f (x (0) +h, x (0) +h )= =f (x (0), x(0) )+ f (x (0), x(0) ) h x + f (x (0) f (x (0), x(0) ) f (x (0) x x f (x (0) x f (x (0), x(0) ), x(0) ), x(0) ) x ( (0) ) h h (0) =, x(0) ) h + f (x 0 ) h +! x h +, x(0) ) x h + ( f (x (0), x(0) ) f (x (0), x(0) ) J( x (0) ) h= f( x (0) h= J ( x (0) ) f( x (0) 0 ) J( x) je Jacobiho matica x () =x(0) +h(0) x () =x(0) +h(0) x () = x (0) + h (0) x (k+) = x (k) (J( x (k) ) f( x (k) ) ) Príklad 8 Nájdite priesečík elipsy s hyperbolou, ktorý leží v kvadrante! Riešenie: f (x, x )=4x +9x 36=0 f (x, x )=6x 9x 36=0 Presné riešenie je (897367, 54993)
18 8 ROČNÍK Newtonovou ( metódou: x (0) = ) ( ) ( (0) ) h h (0) = ( ) 3 h 9 (0) = k x (k) x (k) ( ) 3 07 LU-rozklad Ax=B A=LU LUx=b Ly=b y Ux=y x IX Lubbockova metóda na aproximáciu súčtu nekonečných radov Euler M aclaurin: xn x 0 ( y(x)dx=h y 0+y + +y n + ) y n h (y n y 0)+ h4 70 (y n y 0 ) h k (k)! B k(y n (k ) B Bernoulliho čísla, E m zvyšok, h= x n x 0 n S= i=j y (k ) 0 )+E m f i m(f j +f j+m +f j+m + +f n ) m (f j +f n )+ + m m ( f j f n m ) m 4m ( f j + f n m )+ + (m )(9m ) 70m 3 ( 3 f j 3 f n 3m ) (m )(9m ) 480m 3 ( 4 f j + 4 f n 4m )+ s= i= + (m )(863m 4 45m +) 60480m 5 ( 5 f j 5 f n 5m ) (m )(75m 4 6m +) 49m 5 ( 6 f j + 6 f n 6m ) s ( ) s s f k = ( ) r f k+(s r)m r 5 0 ln i i(i+) i= r=0 00 ln i i(i+) = i= ln i i(i+) } {{ } m= ln i i(i+) } {{ } m= ln i i(i+) }{{} m=00 +
19 NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 i= ln i i(i+) }{{} m=0 3 0 i= f 00 f 000 f 0000 ln i = (±0 9 ) i(i+) a i Kummer: A= a i B= b i lim =q 0 i b i= i= i A= a i = (a qb i )+q = a i ( q b i )+qb a i Príklad 9 A= i= i + i= N i= i= a i ( q b i a i )+ i= B= N i + i= i= i=n+ i= a i ( q b i a i ) } {{ } R N 0 i= i =π 6 i + +R N q= + A= i + ( i i )+B= ( i ) i + + π 6 i= A = Domáca úloha 3 Overte, že pre maticu A= platí 3 i= A i i =π Riešenie: A 3 =I 3 = π 4 S=S +S =A k= + π 4 (k ) +I 3 (k) =π 8 k= = π A+I 3 π 4 = 0 0 0
20 0 ROČNÍK X Interpolácia Množina funkcií x n je úplná na a, b tj ku každému po častiach spojitej funkcie b f(x) a danému ε>0 existujú n, a,, a n tak, že (f(x) a i x i ) dx<ε aproximácia v strede Weierstrassova veta Ak f(x) C a, b : ε>0 n(ε) a polynóm P n (x) tak, že f(x) P n (x) <ε x a, b Ak f(t) je spojitá, periodická s periódou π: ε>0 n(ε) s n (t)=a 0 + (a k cos(kt)+b k sin(kt)) : f(t) s n (t) <ε x a, b b b f (x)dx f(x) L a, b u, v L ρ(u, v)= u v = uvdx a Bernsteinove polynómy: B n (x)= k=0 ( ) n ( n ) x k ( x) n k f k k a a B n (x) 0, používajú sa v dôkaze Weierstrassovej vety Interpolácia: (x i, y i )=f(x i ) R, i = 0,,, n=:0()n Nech x i x j pre i j f(x) p(x) a chceme aby f(x i )=p(x i ) pre,,, n f(x) Veta 0 Nech x i, y i R pre,,, n a x i x j pre i j Potom existuje jediný polynóm p(x) P n (x) taký, že p(x i )=f(x i ) pre všetky,,, n Dôkaz Nech p(x)=a 0 +a x+ +a n x n Existencia: y 0 =p(x 0 )=a 0 +a x 0 +a x 0+ +a n x 0 y =p(x )=a 0 +a x +a x + +a n x y n =p(x n )=a 0 +a x n +a x n+ +a n x n Máme systém n + rovníc s n + neznámymi a 0, a,, a n x 0 x 0 x n 0 x x x n 0 = (x i x j ) x n x n x n i j n Jednoznačnosť: Nech p(x), q(x) P(x), p(x) q(x), r(x)=p(x) q(x) P(x) r(x) je stupňa n, ale má n + rôznych koreňov, preto r(x) 0 p(x) q(x) Lagrangeov interpolačný polynóm: f(x) =p(x)= l j (x)f(x j ), kde l j (x) sú elementárne Lagrangeove polynómy { 0, ak i j l j (x i )=δ ij =, ak i=j Kroneckerova δ ij l j (x)=k j (x x 0 )(x x ) (x x j )(x x j+ ) (x x n )
21 NUMERICKÁ MATEMATIKA =l j (x j )=k j (x j x 0 )(x j x ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) k j = (x j x i ) i j f(x i )=p(x i )= l j (x i )f(x j ) l j (x)= (x x 0)(x x ) (x x j )(x x j+ ) (x x n ) (x j x 0 )(x j x ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) p(x)= l j (x)f(x j ) Domáca úloha Nájdite Lagrangeov interpolačný polynóm pre hodnoty: f(0)=, f()=0, f(3)=4 Riešenie: p(x)=4 (x 0)(x ) (x 0)(x 3) (x )(x 3) +0 + (3 )(3 0) ( 0)( 3) (0 )(0 3) =x x+ Newtonov interpolačný polynóm: {x i } n, {f(x i)} n, p(x) P(x) f(x) p(x)=c 0 +c (x x 0 )+c (x x 0 )(x x )+ +c n (x x 0 ) (x x n ) f(x 0 )=p(x 0 )=c 0 =f[x 0 ] f(x )=p(x )=f 0 +c (x x 0 ) c = f f 0 x x 0 =f[x 0, x ] Výraz f f 0 x x 0 je pomerná diferencia f f 0 x x 0 (f f 0 ) x c = x 0 =f[x 0, x, x ] (x x 0 )(x x ) c n =f[x 0, x,, x n ] Označme p (0,n ) n Newtonov interpolačný polynóm pre uzly x 0,, x n a p (,n) n pre uzly x,, x n Potom pre i=,,, n : p n (x)= x n x 0 [ (x n x)p (0,n ) n p n (x 0 )=p (0,n ) n (x 0 )=f(x 0 ) p n (x n )=p (,n) n (x n)=f(x n ) (x)+(x x 0 )p (,n) n (x) ] p n (x i )= (x n x i ) p (0,n ) n (x i ) +(x i x 0 ) p (,n) n x n x 0 }{{} (x i) =f(x i ) }{{} f(x i ) f(x i )
22 ROČNÍK Označme si koeficienty pri najvyššej mocnine c n v p n (x); c (0) n v p(0,n ) (x); c () n v p (,n) n (x) p n (x)=p n (x)+c n (x x 0 )(x x ) (x x n ) c n = c() n c(0) n f[x 0, x,, x n ]= f[x,, x n ] f[x 0,, x n ] =c n x n x 0 x n x 0 n p(x)=f[x 0 ]+f[x 0, x ](x x 0 )+ +f[x 0, x,, x n ] (x x i ) } {{ } Newtonov interpolačný polynóm f(x i ) f[x 0, x,, x n ]= (x j x 0 ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) d i0 :=f(x i ) d = d 0 d 00 x x 0 Potom c i =d ii pre všetky,,, n Chyba interpolačného polynómu d ij = d ij d i j x i x i j x i d i0 d i d i d i3 x 0 d 00 x d 0 d x d 0 d d x n d n0 d n d n d nn Veta 0 Nech x i, f(x i ) R x, x i a, b, ()n, x i x j pre i j Nech I x je majmenší otvorený interval vytvorený bodmi x 0, x,, x n, x nech f C (n+) a, b Potom η x I x : f(x) p(x)= f (n+) (η x ) (x x 0 ) (x x n ) (n+)! Dôkaz Pomocou Rolleho vety interpolačných uzlov Teda n+ nulových bodov máme Nech z je ľubovoľný, pevný, rôzny od všetkých G(z)=f(z) p(z) f(x) p(x) n (x x i) n (z x i ) G(x i )=0 i {0,, n} G(x)=0 G (n+) (z)=f (n+) (z) 0 f(x) p(x) n (x x i) (n+)! G (n+) (η x )=0=f (n+) (η x ) f(x) p(x) n i= (x x i) (n+)! f(x) p(x)= f (n+) (η x ) (n+)! n (x x i )
23 NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 Dôsledok f(x) p n (x) max x I x f (n+) (n+)! (x x 0)(x x ) (x x n ) Chybový vzťah pomocou pomerných diferencií p n+ (x) Newtonov interpolačný polynóm; x 0, x,, x n+ f 0, f,, f n+ p n+ (x)=p n (x)+f[x 0, x,, x n+ ](x x 0 )(x x ) (x x n ) f n+ =p n+ (x n+ )=p n (x n+ )+f[x 0, x,, x n+ ](x n+ x 0 ) (x n+ x n ) n f(x n+ ) p n (x n+ )=f[x 0,, x n+ ] (x n+ x i )= f (n+) (η xn+ ) n (x n+ x i ) (n+)! Vzťah medzi pomernou diferenciou a deriváciou: f[x 0, x,, x n, x]= f (n+) (η x ) (n+)! Neplatí: max f(x) p n (x) n 0 x I x Násobné uzly f(x) p(x) f (j) (x 0 )=p (j) (x 0 ) j {0,,, n} p(x)=a 0 + a x+ a x + + a n x n p (x)= a + a x+ + na n x n p (x)= a + + n(n )a n x n p (n) (x)= n!a n Matica sústavy: x 0 x 0 x 3 0 x n 0 0 x 0 3x 0 nx n x 0 n(n )x0 n n! f(x)= f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+) (ξ) (x x 0 ) n+ }! {{ n! } (n+)! Q(x) Q(x) je hĺadaný polynóm Zovšeobecnený Newtonov interpolačný polynóm pre násobné uzly: p(x)=c 0 +c (x x 0 )+c (x x 0 ) + +c n (x x 0 ) n c i = f (i) (x 0 ) =f[x 0, x 0,, x 0 ] i!
24 4 ROČNÍK Príklad 0 Podmienka (*): x 0 f 0, x f, x f, f, f, x 3 f 3 Treba nájsť Newtonov interpolačný polynóm tak, aby platila podmienka (*) pre uzly x 0,, x 3 Preznačenie: u 0 =x 0, u =x, u =x, u 3 =x, u 4 =x, u 5 =x 3 (podľa násobnosti) u 0 F 00 u F 0 F u F 0 F F u 3 F 30 F3 F 3 F 33 u 4 F 40 F4 F4 F 43 F 44 u 5 F 50 F 5 F 5 F 53 F 54 F 55 F ii sú koeficienty Newtonovho interpolačného polynómu F sk = F sk F s k F u s u sk= F (k) (u s ) s k k! F i0 =f(u i ) f(x)=f 00 +F (x x 0 )+F (x x 0 )(x x )+F 33 (x x 0 )(x x )(x x )+ +F 44 (x x 0 )(x x )(x x ) +F 55 (x x 0 )(x x )(x x ) 3 Hermiteova interpolácia: Dané sú x i, f(x i ) a f (x i ) i {0,, n} Nech x i x j pre i j Hľadáme polynóm z triedy p P n+ taký, že p(x i )=f(x i ) a p (x i )=f (x i ) Veta 03 Nech x i, y i, y i R i {0,,, n} x i x j pre i j Potom!h(x) P n+ (x) : h(x i )=f(x i ) a h (x i )=f (x i ) Polynóm h(x) vyzerá takto: h(x)= [ l i(x i )(x x i )][l i (x)] f i +(x x i )[l i (x)] f i kde l i (x)= i j x x j x i x j Príklad 0 Nájdite Newtonov interpolačný polynóm pre uzly f( )=6, f(0)=, f()=3, f(5)=66 Riešenie: x 0 = f 0 =6 x =0 f = f = 6 0 = 5 x = f =3 f = 3 0 = f = 6 3 = x 3 =5 f 3 =66 f 3 = f 3 = 0 5 =4 f 33= 6 = 3 p(x)=6 5(x+)+x(x+)+ 3 x(x+)(x )= 3 x x 3 x+
25 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 Newtonov interpolačný polynóm pre ekvidistantné uzly {x i } n {f(x i)} n, h=x i+ x i pre,,, n f(x)=f(x 0 )+f[x 0, x ](x x 0 )+f[x 0, x, x ](x x 0 )(x x )+ + n + +f[x 0, x,, x n ] (x x i )+ f[x 0,, x n, x](x x 0 ) (x x n ) }{{} chyba f(x i )=f(x i+ ) f(x i ), f[x 0,, x k ]= k f 0 k!h k x 0 f 0 x f f 0 h x f f h x 3 f 3 f h f 0 h f 3 f 0 h 6h 3 x=x 0 +th, f(x 0 +th)=f(x 0 )+ f(x 0) th+ f(x 0 ) h h th(t )h+ + + n f(x 0 ) n!h n h n t(t ) (t n+)+ n+ f(ξ x ) (n+)!h n+ hn+ t(t ) (t n) ( ) ( ) ( ) t t t f(x 0 +th)= f(x 0 )+ f(x 0 )+ + n f(x 0 ) + n+ f(x 0 ) n n+ }{{} Newtonov interpolačný polynóm napred pre ekvidistantné uzly )= tk kde ( t k Optimálny výber interpolačných uzlov: Chyba Newtonovho interpolačného polynómu, keď máme n+ interpolačných uzlov: k! e(x)= f (n+) (η x ) (x x 0 ) (x x n ) (n+)! f(x) p(x)=e(x) {x i } n {f(x i)} x i a, b max e(x) (n+)! (x x M n+ 0) (x x n ) x a,b max x a,b f (n+) (x) =:M n+
26 6 ROČNÍK Veta o minimálnej odchylke pre Čebyševove polynómy Spomedzi všetkých normalizovaných polynómov n-teho stupňa v premennej t sa práve T n (t) na intervale, najmenej odchyluje od nuly Dôkaz x= b a t+b+a T n = n cos(n arccos x) max p n(t) max T n (t) = n t, t, arccos t i = i+ n π ( ) ( x (a+b) x (a+b) T n = n T n b a b a cos(n arccos t i )=0 n arccos t i = i+ π ( ) i+ t i= cos n π ) ( ) n ( x (a+b) b a = + / b a ) =x n + ( x (a+b) ˆT n a,b (x)= n (b a) n T n b a Maximálna odchylka: n (b a) n Veta 05 Spomedzi všetkých normalizovaných polynómov sa práve Čebyševov normalizovaný polynóm odchyluje majmenej od nuly x i = b a ( ) (i+)π cos + b+a interpolačné uzly (optimálny výber) (n+) XI Interpolácia pomocou splajnov Lineárne splajny {x i } n {f(x i} n x i a, b, a=x 0 <x < <x n <x n =b, h i =x i+ x i, h= max h i, s(x)= l j (x)f(x j ) Lagrange, f(x) s(x) C a, b, s 0 (x) na x 0, x ; s (x) na x, x,, s n (x) na x n, x n s i (x) sú lineárne funkcie s i (x)=f(x i )+f[x i, x i+ ](x x )+f[x i, x i+, η i ](x x i )(x x i+ ) f(x) s i (x) max f (x) =M i max M i =M M x x i,x i+! h f(x) s i (x) s(x i )=f(x i ) f(x) =l 0 (x)f(x 0 )+l (x)f(x )+ l j (x i )=δ ij bázické funkcie lineárneho splajnu x x ak x x 0, x x n x ak x x n, x n l 0 (x)= x x 0 l n (x)= x n x 0 0 ak x x, x n 0 ak x x 0, x n 0 ak x x 0, x i x i+, x n x i x ak x x l i (x)= i, x i x i x i x x i+ ak x x i, x i x i x i+ ) n
27 Prirodzený kubický splajn Podmienky pre prirodzený kubický splajn: S(x) C a, b S(x i )=f(x i ) ()n 3 S(x) P 3 x x i, x i+ 4 S (x 0 )=S (x n )=0 Moment splajnu: M i =S i (x i), M i+ =S i (x i+) NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 S i (x) M i = M i+ M i x i+ x i (x x i ) S i (x)=[m i h i +(M i+ M i )(x x i )] h i kde h i =x i+ x i S i (x)=m i x i+ x i h i +M i+ x x i h i S i(x)=m (x i+ x) (x x i ) i +M i+ +A i h i h i (x i+ x) 3 (x x i ) 3 S i (x)=m i +M i+ +A i (x x i )+ b i +A i x i () 6h i 6h i }{{} =B i B i =f i M ih i 6 f(x i )=S i (x i )= M ih i 6 +B i f(x i+ )=S i (x i+ )= M i+h i 6 +A i h i +B i A i = f i+ f i h i h i 6 (M i+ M i ) () S i (x)=m (x i x) (x x i ) i +M i h i h i +A i S i(x i )= M i h i+a i S i (x i )=M i h i +A i M i (h i +h i )=A i A i M i (h i +h i )= f i+ f i h i 6 (M i+ M i ) f i f i + h i 6 (M i M i ) h i h i M i (h i +h i )+ h i 6 (M i+ M i ) h i 6 (M i M i )= f i+ f i h i f i f i+ h i h i 6 M i + h i +h i M i + h i 3 6 M i+= f i+ f i f i f i h i h i ( h i h i 6 fi+ f i M i +M i + M i+ = f ) i f i h i +h i h i +h i h i +h i h i h i }{{}}{{}}{{} =λ i =η i =g i λ i M i +M i +η i M i+ =g i λ i +η i =
28 8 ROČNÍK η λ η λ η n λ n η n λ n M M M 3 M n 3 M n M n = g g g 3 g n 3 g n g n Ak súčet mimodiagonálnych prvkov je menší ako prvok na hlavnej diagonále, tak hovoríme o diagonálne dominantnej matici Ak g(x) C a, b, g(x) interpoluje f(x), S(x) prirodzený kubický splajn, ktorý aproximuje f(x), potom b a [g (t)] dt b a [S (t)] dt Spojitý prípad: XII Metóda najmenších štvorcov f(x) C a, b, p (x) f(x), w(x)>0 integrovateľná, p (x)= (presne) Kritérium: ai x i je stupňa n b a w(x)[f(x) p (x)] dx b a w(x)[f(x) q(x)] dx q(x) P n (x) Diskrétny prípad: {x i } n i=, { f(x i )} n i=, {ϕ j(x)} n, ϕ j(x) sú lineárne nezávislé, tj α 0 f(x) p m (x)= ϕ 0 (x ) ϕ (x ) ϕ m (x ) ϕ 0 (x ) +α ϕ (x ) + +α ϕ m (x ) m =0 α i ϕ 0 (x n ) ϕ (x n ) ϕ m (x n ) m α j ϕ j (x) Kritérium: w i [ f(x i ) p m (x i )] =minimum i= b ρ(f, p)= f p = w(x)[f(x) p(x)] dx spojitý prípad a f p = n w i [ f(x i ) p(x i )] diskrétny prípad i=
29 NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 Príklad počet neznámych << počet meraní Spojitý prípad: f(x) C,, máme k dispozícii: {ϕ i (x)}, w(x) váhová funkcia f(x) p n (x)= a i ϕ i (x) Neznáme sú a 0,, a n a treba minimalizovať + [f(x) a i ϕ i (x)] dx H(a 0,, a n )= f (x)dx } {{ } η n a i a j ϕ i (x)ϕ j (x)dx =η } {{ } c ij a i f(x)ϕ i (x)dx + } {{ } d i a i d i + n a i a j c ij 0= H d k + c kj a j + a i c ik = d k + c ki a i =0 d k = c ki a i a k c 00 c 0 c 0n c 0 c c n c n0 c n c nn }{{} Gramova matica Keďže ϕ i (x) sú bázové v priestore det(c ik )=0 a 0 a a n = Príklad Ortogonálny systém {g i (x)}, ortonormálny systém {h i (x)} g 0 (x)=ϕ 0 (x) k g k (x)=ϕ k (x) (g i, g j )= g i (x)g j (x)dx d 0 d d n k g k (x)=ϕ k (x) c j g j (x) k (ϕ k, g j ) g j g j (g i, g k )=(g i, ϕ k ) i=j : (g j, ϕ k )=(g j, g j ) c j = (g j, ϕ k ) (g j, g j ) =(g j, ϕ k ) g j k g k (x)=ϕ k (x) ( ϕ k, g j ) gj g j g j c j (g i, g j )
30 30 ROČNÍK k g k =ϕ k (ϕ k, h j )h j Legendrove ortogonálne polynómy: P 0 =, P =x, (n + )P n+ (x)=(n+)xp n (x) np n (x) Vlastnosti: P n (x) má n koreňov na intervale, P m(x)p n (x)dx=0 pre m n 3 P n (x)= d n n n! dx n (x ) n 4 [P n(x)] dx= n+ 5 xk P n (x)dx=0 pre k=0,,, k 6 xn P n (x)dx= n+ (n!) (n+)! Príklad (pokračovanie) f(x) p (x)= a j h j (x)= (f, h j )h j (x) a j =d j = f(x)h j (x)dx=(f, h j ) H(a 0,, a n )=η a i d i + (f, h j )sú Fourierove koeficienty a i n a j c ij =η a T d+a T ca c ij =0 i j, a T ca=a T a, lebo c je jednotková matica Preto: η+(a d) T (a d) d T d=η+a T a d T a a T d+d T d d T d=η+a T a a T d totiž a T d=d T a Pre aké a bude H minimálne? Ak a=d Diskrétny prípad: {x i } n i=, { f(x i )} n i=, {ϕ i(x)} n i=, ϕ j(x) sú lineárne nezávislé tvaru x j a (m) i f(x) p m (x)= a (m) i ϕ i (x) horný index je stupeň polynómu a nie derivácia Treba minimalizovať: w i [ f(x i ) p m (x)] f p = i= ( n i= ) w i [f(x i ) p m (x i )]
31 j= NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 w i [ f(x i ) a (n) j ϕ j (x i )] H(a (m) 0,, a (m) n ) H a (m) k m i= = w i [ f(x i ) a (m) j i= } {{ } d jk a (m) j ϕ j (x i )] (ϕ k (x i ))=0 w i ϕ j (x i )ϕ k (x i ) = w i f(xi )ϕ k (x i ) m i= a (m) j d jk =ρ k d 00 d 0 d 0m d 0 d d n d n0 d n d nn } {{ } ρ k a (m) 0 a (m) a (m) m = Príklad 3 Máme interval 0,, ekvidistantne na n podintervalov dĺžky h= n x i (i )h, ih (d ij )=n m+ 0 x j+k dx n 3 m+ i= 3 4 m+3 Príklad 4 ϕ j (x)=x j, {x i } n i=, Q(n) 0 i= x j+k i i= ρ 0 ρ ρ m x j+k i = n j+k m+ m+ zle podmienená matica +m (x), Q(n) (x),, Q(n) n (x), w i Q (n) j (x i )Q (n) k (x i) Q j+ (x)=(x α j+ )Q j (x) β j (x)q j (x) Q 0 (x) Q (x) 0 j Q j (x)= x j + a i x i α j+ = w i x i Q j(x i ) i= w i Q j(x i ) i= β j = w i Q j(x i ) i= w i Q j (x i ) i=
32 3 ROČNÍK d 00 d 0 d 0m b 0 m f(x) b j Q (n) d j (x) 0 d d m b = d m0 d m d mm b m (d ij ) je diagonálna matica, lebo d ij =0 pre i j Poznámka d jk = ρ k = i= Čebyševove ortogonálne polynómy: Hermiteove ortogonálne polynómy: Laguerrove ortogonálne polynómy: f(x i )Q k (x i ) i= w i Q (n) j (x i )Q (n) k (x i) b k = ρ k d kk 0 x T j(x)t k (x)dx e x H j (x)h k (x)dx e x L j (x)l k (x)dx Príklad 5 Máme zmeranú odpor medenej tyče v rôznych teplotách: Treba minimalizovať: H a 0 = H a = t i (C ) R i (Ω) H(a 0, a )= 7 (R i a 0 a t i ) i= 7 (R i a 0 a t i )=0 i= 7 (R i a 0 a t i )t i =0 i= ε i +a 0 +a t i = R i 7 i= 7 i= t 0 i t i t i 7 i= 7 i= ( a0 a Xa=y X T Xa=X T y t i t i ) = ( a0 a R i ) = ρ 0 ρ ρ m 7 R i i= 7 R i t i Symetrická M nn matica je kladne definitná, ak existuje inverzná pozitívne definitná symetrická matica i=
33 f (x 0 ) f(x 0+h) f(x 0 ) h NUMERICKÁ MATEMATIKA 33 XIII Numerická derivácia =D + (h) f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) =D (h) h f (x 0 ) f(x 0+h) f(x 0 h) =D 0 (h) h f(x)=f(x 0 +h)=f(x 0 )+ f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 ) h h+ f (x 0 )! =f (x 0 )+ f (x 0 )! h + f (x 0 ) h 3 + 3! h+ f (x 0 ) h + 3! Symbolom f(x) je nekonečne malá rádu O(h p ) rozumieme: ak existuje k R, h 0 >0 h>0 h<h 0 f(x) kh p f(x 0 +h)=f(x 0 )+ f (x 0 )! f(x 0 h)=f(x 0 ) f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 ) f (x 0 )=a h+a h +a 3 h 3 + h D 0 (h)= f(x 0+h) f(x 0 h) h h+ f (x 0 )! h+ f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 h)=h f (x 0 )! h + f (x 0 ) 3! h f (x 0 ) 3! +h 3 f (x 0 ) 3! h 3 + f (iv) 4! h 3 + f (iv) 4! h 4 + f (v) h 5 + 5! h 4 f (v) h 5 + 5! +h 5 f (v) + 5! h [f(x 0+h) f(x 0 h)]=f (x 0 )+h f (x 0 ) +h 4 f (v) + 3! 5! h [f(x 0+h) f(x 0 h)] f (x 0 )=b h +b h 4 +b 3 h 6 +chyba ráduo(h ) D 0 (h) má chybu rádu O(h ); D + (h), D (h) majú chybu rádu O(h) Príklad 3 Aproximujte deriváciu e x v bode R t chyba odseknutia h D + (h) R t h D (h) e
34 34 ROČNÍK f(x 0 +h) f(x 0 +h) ε D 0 (h) D 0 (h) = f(x 0 +h) f(x 0 +h) h f(x 0 )+h) f(x 0 h) h f(x 0 h) f(x 0 h) ε f(x 0 h) f(x 0 h) h f(x 0+h) f(x 0 h) h ε h = ε h Richardsonova extrapolácia D + (h) T (h) D (h) Predpokladajme, že T (h) vieme počítať pre h 0 rôzne h Ak D 0 (h) existuje, chceme ju odhadnúť lim h 0 T (h) teraz rátame z D 0 (h): T (h)=f (x 0 )+b h + b h 4 +b 3 h 6 + }{{} O(h 4 ) T (h)=f (x 0 )+b h +O(h 4 ) T (h)=f (x 0 )+4b h +O(h 4 ) T (h) T (h)=3b h +O(h 4 ) b h = T (h) T (h) O(h 4 ) 3 T (h)=f (x 0 )+(T (h) T (h)) 3 +O(h4 ) T (h) T (h) T (h)+ =f (x 0 )+O(h 4 ) }{{ 3 } T (h) T (h)=f (x 0 )+O(h 4 )=f (x 0 )+c h 4 + c h 6 +c 3 h 8 + }{{} O(h 6 ) T (h)=f (x 0 )+c h 4 +O(h 6 ) spravíme to isté ako s T (h) T (h)=f (x 0 )+6c h 4 +O(h 6 ) T (h) T (h) =c h 4 +O(h 6 ) 5 T (h)=f (x 0 )+ T (h) T (h) +O(h 6 ) 5 T (h) T (h) + 5 T (h)=f (x 0 )+O(h 6 ) T (h)= f (x 0 )+b h p +O(h r ) }{{} L (h p ) r>p
35 NUMERICKÁ MATEMATIKA 35 T (h)= f (x 0 )+b (h) p +O(h r ) }{{} L [(h) p ] Pre D ± je p=, pre D 0 je p= L (h p ) Lagrangeov polynóm stupňa v premennej h p Príklad 3 Ideme interpolovať v premennej h p, potrebujeme interpolačné uzly L [(h) p ]=T (h); L [h p ]=T (h); L(x)=l 0 (x)f(x 0 )+l (x)f(x ) l 0 (x)= x x x 0 x l 0 (x p )= xp h p (h) p h p l (x p )= xp (h) p h p (h) p L (x p )= xp h p (h) p h p T (h) p (h)+xp h p (h) p T (h) L (0)= hp p hp T (h) T (h)+t (h) T (h) T (h) h p ( p T (h)+ ) h p ( p ) =p p =T (h)+ p x 0 =h ( p ) T (h) T 00 p ( ) h h x = T T 0 T ( ) p ( ) h h x = T T 0 T T ( 4 ) 4 p ( ) h h x 3 = T T 30 T 3 T 3 T 33 ( 8 ) 8 p ( ) h h x i = i T i T ik =T i,k + T i,k T i,k (q p ) k Príklad 33 Máme aproximovať Γ (x) v bode x=5 Γ(x)= e t t x dt Γ(x) 0 má derivácie vyšších rádov Γ (x)= e t t x ln tdt 0 T 00 =D 0 (0, 4)= Γ(9) Γ() = T 0 =D 0 (0, )= Γ(7) Γ(3) = h i T i0 T i T i T i Presná hodnota Γ (5)= na 6 desatinných miest Poznámka f(x, y) (x 0, y 0 ) f(x 0+h, y 0 ) f(x 0 h, y 0 ) x h
36 36 ROČNÍK XIV Riešenie sústav lineárnych rovníc y y=0 y(0)=0 y()= sinh y (x i ) y(x i )=0 y(x i+h) y(x i )+y(x i h) h y(x i )=0 h= 4 : (+h) 0 (+h) y y = (+h ) y 3 sinh i y i chyba Príklad 4 Ax=b, A je regulárna štvorcová matica a a a n x b a a a n x = b a n a n a nn x n b n a a a n m ik = a ik 0 a a n A a kk 0 0 a nn Algoritmus GEM: for k:= to n- do for i=k+ to n do m ik := a ik /a kk for i=k+ to n do for j:=k+ to n do a ij := a ij m ik a kj for i:=k+ to n do b i := b i m ik b k n n n n [ ] γ (n k) = γ = [(γ )γ+γ]= [γ +γ 3 n = 3 +γ = k= [ γ 3 = 3 ] n γ= [ γ + ] n Počet združených operácií v tomto algoritme: γ γ= = n(n )(n ) + n(n ) = n3 n + n 3 3 6
37 NUMERICKÁ MATEMATIKA 37 Príklad 4 ( a ) ε Bez pivotizácie ; ; ; ; Netreba robiť pivotizáciu: ak matica je diagonálne dominantná ak matica je symetrická kladne definitná ε=a s pivotizáciou ; ; ; ; LU-rozklad a a a 3 a a a 3 = 0 0 l 0 u u u 3 0 u u 3 a 3 a 3 a 33 l 3 l u A= 4 P= P pamätá riadky L= U= LU= 4 8 P= PA=LU Algoritmus na LU-rozklad: for k:= to n- do γ:=ind max(a, k, n) swap(a,b,k,n,γ) p γ :=p k ; p k :=γ for i=k+ to n do m ik =a ik /a kk for i=k+ to n do for j=k+ to n do a ij =a ij m ik a kj for i:= to n do
38 38 ROČNÍK s:=b pi for j:= to i- do s:=s a ij y j y i =s (Posledných 5 riadkov rieši Ly=Pb) XV Numerická kvadratúra Chceme aproximovať I= β α f(x)dx Obdĺžnikove pravidlo: I (β α)f( x) pre x a, b Lichobežníkove pravidlo: I (β α)(f(α)+f(β)) Simpsonovo pravidlo: I β α [f(α)+4f(γ)+f(β)] γ=α+β 6 Newton-Cotesova metóda: Ak počet interpolačných uzlov je n+, tak namiesto integrandu f(x) berieme Lagrangeov polynóm n-teho stupňa Nech x i :=α+ih, kde h= β α Potom Lagrangeov polynóm n-teho stupňa: n β α β α p n (x)= f(x)dx j i f(x i ) j i x x j x i x j dx=hλ ni :=h x x j x i x j β x x j f(x i ) dx α x i x j j i n 0 j i Potom (n + )-uzlová Newton-Cotesova aproximácia je: β α f(x)dx h f(x i )λ ni t j i j dt
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραMetódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότερα(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότεραPožiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program
z predmetu: Matematická analýza 1. Číselné postupnosti a ich základné vlastnosti. 2. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti funkcií. 3. Derivácia funkcie jednej reálnej premennej, jej vlastnosti
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότερα!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραFourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραMolekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότερα9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραX(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Διαβάστε περισσότεραγ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Διαβάστε περισσότεραErkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5.
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότερα