Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2"

Transcript

1 NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC algoritmus 0 V Čebyševove polynómy druhu VI Riešenie rovníc f(x)=0 VII Implementácia výpočtu druhej odmocniny 6 VIII n-rozmerný Newtonov algoritmus a riešenie sústav nelineárnych rovníc 7 IX Lubbockova metóda na aproximáciu súčtu nekonečných radov 8 X Interpolácia 0 XI Interpolácia pomocou splajnov 6 XII Metóda najmenších štvorcov 8 XIII Numerická derivácia 33 XIV Riešenie sústav lineárnych rovníc 36 XV Numerická kvadratúra 38 References Babušíková-Slodička-Weiss, Numerické metódy, UK, 000 Stanislav Mika, Numerické metódy algebry, SNTL, Praha, 98 3 Petr Přykril, Numerické metódy matemtickej analýzy, SNTL, Praha, Nekvinda-Šrubaš-Wildt, Úvod do numerickej matematiky 5 Emil Vitásek, Numerické metódy 6 Anthony Ralston, Základy numerickej matematiky, Akademia, Praha, Lars Eldén, Linda Wittmayer-Koch, Numerical Analysis an Introduction, Linköping 8 Filová-Valková, Numerická matematika (Aproximačné a kvadratúrne metódy) 9 Dávid, Numerické metódy na osobných počítačoch Typeset by AMS-TEX

2 ROČNÍK I Úvod do problematiky numerickej matematiky reálny problém experimenty merania riešenie problému mat model exaktné matmetódy exaktné riešenie jednoduchší model približné metódy num úloha numerické metódy num riešenie Príklad Objem Zeme: O V = 4 3 πr3 V 4 (r=6378km) V = 3 πr3 Príklad { Elektrický obvod: (a, b, c, d znéme konštanty) I = a(e bu ) c = da(e bu ) + U c = d I + U Ak c =, d = 4, e = 3 a b =, tak U 0, 99 Budeme predpokladať, že riešenie existuje; otázka stability úlohy; Príklad 3 x + 6x =8 x + 6x =8 x x = x x = ( ) ( ) 7 riešenie: x = riešenie: x = Nestabilná sústava, lebo malá zmena v koeficientoch spôsobí veľkú zmenu Príklad 4 Ax = b: x x x 3 x 4 x 5 = Riešenie tejto sústavy je x = (; 0; ; 0; ) T Ak namiesto 0 máme 00, tak riešenie bude x = (0; 0; ; 0; 0) T nestabilná sústava Príklad 5 x 4x + 4 = 0 x =, x = x 4x = 0 x = 0, x = Príklad 6 {z n } n=0 z n+ = a z n a 0, z 0 0 a>0, z 0 = 0 z = 0,, z i = 0 a>, z 0 0 z = a z 0, z = a z 0,, z n = a n z 0 lim n z n = Nech z 0 = 0 0 nestabilná

3 NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 Príklad 7 f (x) = 0, f (x) = ε sin(nx) pre x R, ε>0, n>0 g(x) = f (x) f (x) max f (x) f (x) = max ε sin(nx) ε x R x R g (x) = f (x) f (x) max g (x) = ε cos(nx) n εn x R Nech ε = 0 9 a n = 0 9 Výpočet derivácie je nestabilná úloha g(x) je spojitá funkcia Nech f (x) f (x) ε x 0, 0 f (x) f (x) dx ε 0 dx = ε Integrovanie je stabilná úloha Číselné sústavy ±a n a n a a 0, b b = ± a k 0 k + b k 0 k k=0 Definícia Ak q je základ číselnej sústavy, tak číslo tvaru ±a 0, a a a t q c (kde a 0 0 a a i {0,,, 9} ) sa nazýva mantisa Normalizovaná mantisa je číslo tvaru ±0a a a t q b, kde a 0 Príklad 8 85 (0) = () 545 (0) = 000 () k=0 II Počítačová realizácia reálnych čísel a ) x = ±0d d d t d t+ 0 e (e exponent); q m < b ) x = ±d 0 d d d t q e m < q M(q, t, L, U) q aditívny t miestny počítač L najmenší exponent, U najväčší exponent Príklad M(, 3,, ) prípad a ) : 0, 00, 0, 0,, 0, tieto sú presne zobraziteľné ( ) čísla Najmenšie presne zobraziteľné číslo je ( ) 7 0, 00 = ; najväčšie presne zobraziteľné číslo je 0, = 4 (0) 4 (0) Počet presne zobraziteľných čísel na počítači M(q, t, L, U) je (q ) q t (U L + ) + Definícia Absolútna chyba je rozdiel medzi presným číslom x a výsledkom x: x x m m q t ak x je správne zaokrúhlené číslo na t-tom mieste m resp m mantisa čísla x resp x Definícia Ak x = m q e a x = m q e, tak relatívna chyba je výraz x x x Platí: x x x = mq e mq e mq e = m m m q t Teda x x x q t :=η η je zaokrúhlovacia jednotka Zaokrúhlovacia jednotka sa rovná κ q t, kde κ = pri rezaní; a κ = pri zaokrúhlovaní ω presná operácia; ˆω počítačová operácia x sa dá presne zobraziť, tak fl t (x) = x, kde fl t (x) je počítačová realizácia čísla x

4 4 ROČNÍK Ak x, y M, tak x ˆω y = fl t (x ω y) Ak x, y / M, tak x ˆω y = fl t (fl t (x) ω fl t (y)) Súčet čísel s rovnakými znamienkami: R x, y > 0, x x resp ȳ y tj x = x + ε resp y = ȳ + ε (x + y) ( x + ȳ) = (x + y) ( x ε + ȳ ε ) = ε + ε (x + y) ( x + ȳ) x + y = ε + ε x + y ε x + y + ε x + y ε + ε x y Súčet s rôznymi znamienkami: relatívna chyba: Re(x + y) = ε + ε x + y Príklad Zaokrúhlite na desatinné miesta: x = 0996 x = 00 y = 0994 ȳ = 099 Re(x + y) = ε + ε x + y = = 4 ε = x x = 0004 = 0004 = 04% Re(x) = x x x = 46 < 0005 ε = y ȳ = 0004 = 0004 = 04% Re(y) = y ȳ y = < 0005 Dôsledky počítačovej aritmetiky: Ak chceme vyrátať x sin x v okolí bodu 0, tak musíme použiť Taylora Chceme nájsť korene kvadratického trojčlena ax + bx + c = 0, kde a 0, b<0 a b 4ac Potom dostaneme x = b + b 4ac b + ( b) = b a a a, ale b ( b) x = 0 čo je zlý výsledok Treba použiť Vietove vzťahy na určenie a koreňa x : x x = c a x = c ax { ( ) ( ) εx + x = ε ε ε 0 x + x = 0 ε ε ( ) ( ) ( ) ε x 0 = ε x x = ε ε a x = x 0 zle ε ε ( ) ( ) Správny postup: ε 0 ε ε x = ε ε + ε x = x = = x = ε ε Platné dekadické číslice a platné desatinné miesta Definícia 3 Nech x = a 0 b, a mantisa, x = ā 0 b Hovoríme, že j-tá dekadická číslica je za desatinnou čiarkou je platná, ak platí () x x 0b j a () a ā 0 j Ak platia pre nejaké j = s (tým skôr pre j < s), ale pre j = s + už nerovnosť neplatí, potom hovoríme, že x má s platných číslic za desatinnou čiarkou Príklad 3 a = a ā = 034, tak a ā 0 4, teda ā má 4 platné číslice Pre čísla s normalizovanou mantisou sa používa výraz platné desatinné miesta Platné desatinné miesta sú tie miesta za desatinnou čiarkou, ktoré sú obsadené platnými číslicami v zmysle tých nerovností (), (), a nulami pred prvou platnou číslicou

5 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 III Diferenčný počet Majme diskrétnu množinu bodov x i a v nich funkčné hodnoty f(x i ) x i = x 0 +ih, kde h veľkosť kroku a i Z f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) Označme f i :=f(x i ) Definícia 3 Diferencia rádu funkcie f(x) v bode x i s krokom h sa nazýva číslo: f(x i )=f(x i +h) f(x i ) = f(x i+ ) f(x i ) = f i+ f i Diferencia rádu: f(x i ) = f(x i+ ) f(x i ),, n tehorádu: n f(x i ) = n f(x i+ ) n f(x i ) k ( ) k Všeobecne platí: k f(x i ) = ( ) j f(x i + (k j)h) j inverzný operátor Potom f(x) = g(x) c(x) + f(x) = g(x) g(x) = f(x)+c(x) g(x) = f(x)+0, teda c(x) = 0 tj c(x+h) c(x) = 0 Príklad 3 a x = a x+ a x = a x (a ) x = x a x = ax a a x = a x a b b f(x) = g(x), g(x) = [f(x + h) f(x)] = [f(x)] b+ x=a x=a x [k] = x(x ) (x k + ) x [k] = (x + ) [k] x [k] = (x + )x(x ) (x k + ) x(x ) (x k + ) = = x(x ) (x k + )[x + (x k + )] = k x [k+] x [k+] = (k + )x [k] x [k] = x[k+] k + x [k] = x[k+] k + Diferenčná rovnica: sústava rovníc G(n, y n, y n,, p y n ) = 0 Neznáma v tomto G je {y n } k ( ) k k y n = ( ) j y n k+j G(n, y n, y n, y n+,, y n+p ) = 0 j y n+p = F (n, y n,, y n+p ) () Rovnicu () nazývame diferenčnou rovnicou p-teho rádu Partikulárnym riešením tejto rovnice rozumieme akúkoľvek postupnosť {y n } n N, ktorej členy vyhovujú rovnici () pre všetky n Každé riešenie diferenciálnej rovnice p-teho rádu je jednoznačne určené p začiatočnými podmienkami Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice p-teho rádu rozumieme {y n } n N, ktorej členy závisia od p konštánt: c,, c p y n = y(n, c,, c p ) Každé partikulárne riešenie sa dá získať zo všeobecného riešenia a zo začiatočných podmienok Lineárna homogénna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientami a 0 y n+p + a y n+p + + a p y n = 0, kde a i sú konštanty, pričom a 0 0 a p Riešenie budeme hľadať v tvare c z n = y n, y n+ = c z n+,, y n+p = c z n+p dosadením: a 0 c z n+p + a c z n+p + + a p c z n = 0 c z n (a 0 z p + a z p a p z 0 ) = 0 a 0 z p + a z p + + a p z 0 je charakteristická rovnica príslušná k diferenciálnej rovnici, je to algebraická rovnica p-teho rádu v premennej z a s tými istými koeficientami Charakteristická rovnica: a 0 z p + a z p + + a p z 0 = 0 () Predpokladajme, že charakteristická rovnica má všetky korene reálne, rôzne: a

6 6 ROČNÍK z,, z p Potom fundamentálny systém riešení rovnice () je tvaru z n, z n,, z n p (množina lineárne nezávislých riešení) Všeobecné riešenie: y n = c z n + +c p z n p Ak je niektorý reálny koreň charakteristickej rovnice k-násobný, potom z titulu tohto koreňa sa dostanú do fundamentálneho systému takéto funkcie: z n i ; nzn i ; ; n k z n i Lineárna kombinácia týchto riešení je všeobecné riešenie zn i (c i0 + c i n+ + + c ik n k ) 3 Ak je niektorý koreň charakteristickej rovnice komplexný k-násobný z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) Vo fundamentálnom systéme riešení z titulu tohto k-násobného koreňa bude vystupovať celkom k riešení tvaru: ρ n cos(nϕ); nρ n cos(nϕ); ; n k ρ n cos(nϕ); ρ n sin(nϕ); nρ n sin(nϕ); ; n k ρ n sin(nϕ) 4 Ak je koreň jednoduchý, komplexný: z =ρ(cos ϕ±i sin ϕ) z n =ρ n (cos(nϕ)± ±i sin(nϕ)) Do fundamentálneho systému prídu takéto rovnice: c ρ n (cos(nϕ)+ +i sin(nϕ))+c ρ n (cos(nϕ) i sin(nϕ)) tj ρ n (c +c ) cos(nϕ)+ρ n (c c ) sin(nϕ) = = K ρ n cos(nϕ) + K ρ n sin(nϕ) Príklad 3 Vyriešte rovnicu 4-ho rádu: y n+4 + y n+3 + 3y n+ + y n+ + y n = 0 Jej charakteristická rovnica je z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 z = ± i 3 sú komplexne združené dvojnásobné korene z = + i 3 = cos( 3 π) + i sin( 3 π) z = i 3 = cos( 3 π) i sin( 3 π) Príklad 33 V banke máme y 0 korún Ročný úrok je r%, pričom úroky sa budú pripisovať mesačne, a budeme platiť mesačne poplatok d Koľko peňazí budeme mať po n mesiacoch? Riešenie: y n+ = y n + r y n d y n+ = y n (+ r ) d = Ay n+b, kde A = + r a B = d y n = A y n = A y n +AB+B = = A n y 0 +B(A n +A n + +A+ +) = A n y 0 + B An Všimnime si stabilitu Predpokladajme, že A, B M A (presne zobrazovateľné čísla) y n Y n Y n+ = AY n +B+R n+ Y n+ y n+ = =AY n +B+R n+ Ay n B=A(Y n y n )+R n+ =A (A(Y n y n )+R n )+R n = = A n+ (Y 0 y 0 ) + A n R + + A R n + AR n + R n+ A < : R n R pre n =,, Y n+ y n+ C A > : y n+ Y n+ 3 A = : R n R > 0 n : Y n+ y n+ numericky nestabilné Príklad 34 V skklenenej nádobe je tekutina, ktorá má v čase t 0 teplotu y 0 Nech okolité prostredie má ȳ a nech c je tepelná vodivosť skla Označenie y n teplotu tekutiny v čase t n h časový krok t n = t 0 + nh Podľa Newtona: y n+ y n = = c h(ȳ y n ) y n+ = y n c hy n + c hȳ y n+ = ( c h)y n + c hȳ Označme a:= c h a b:=c hȳ y n+ = ay n + b = = a n+ y 0 + b an+ a a < y n+ b a lim y chȳ n+ = = ȳ ch < n ( ch) 0<ch< h< c Ak by sme poznali y 0, ȳ a určíme si h experimentálne y y 0 = ch(ȳ y 0 ) hc = y y 0 ȳ y 0

7 NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 Lineárne rekurentné relácie rádu s konštantnými koeficientami y n+ + b y n+ + b 0 y n = 0 y n = z n z 0 y n+ = z n+ y n+ = z n+ z n+ + b z n+ + b 0 z n = 0 p(z) = z + b z + b 0 = 0 a ) Nech korene sú rôzne: z z Potom {z n }, {z n } sú dve lineárne nezávislé riešenia b ) má dvojnásobný koreň: {z n } ({nz n } {nz n }) Nech z je dvojnásobný koreň pôvodnej rovnice Nech y n = nz n y n+ = (n + )z n+ (n + )z n+ + b (n + )z n+ + b 0 n z n = 0 n z n+ + b n z n+ + b 0 n z n + z n+ + b z n+ = 0 n z n (z + b z + b }{{} 0 ) + z n+ (z + b ) = 0 }{{} p(z) p (z) Domáca úloha Dokážte, že {n z n } je tiež riešením Veta 3 Nech b 0, b R Potom existujú dve lineárne nezávislé riešenia postupnosti () y n+ + b y n+ + b 0 y n Dôkaz Stačí dokázať lineárnu nezávislosť a ) : Ak polynóm p(z) má dva rôzne reálne korene, tak z n, z n sú dve lineárne nezávislé riešenia rovnice () b ) : Nech p(z) má dvojnásobný koreň z {z n }, {n z n } sú lineárne nezávislé Sporom predpokladajme, že sú lineárne závislé z n = αn z n n n = : z = α z 0 α = z n = 0: z 0 = α 0 z = 0 spor Dôsledok Množina všetkých postupností spĺňajúci () je lineárny vektorový priestor dimenzie Veta 3 Dimenzia lineárneho vektorového priestoru všetkých postupností spĺňajúci rekurentnú reláciu () je Veta 33 Nech b 0, b, A, B R n 0 n Z potom existuje jediná postupnosť spĺňajúca rovnicu () taká, že spĺňa dve začiatočné podmienky: y n0 = A, y n = B Príklad 35 y 0 =, y = 3, y n+ = 0 3 y n y n z 0 3 z + = 0 (z 3)(z 3 ) = 0 z = 3 z = ( ) n 3 y n = c 3 n + c y 0 = c + c y = 3c c y = 3(y 0 c ) + 3 c y 3y 0 = 3c + 3 c = 8 3 c c = 3 8 y y 0 c = 8 y y y n = 3y y 0 3 n + 9y 0 3y n Po dosadení: y n = 3 n

8 8 ROČNÍK Nehomogénna rekurentná rovnica rádu () y n+ + b y n+ b 0 y n = a n+ Veta 34 (princíp superpozície) a ) Nech v n je nejaká pevne zvolená postupnosť spĺňajúca () Potom každá {y n }, ktorá spĺňa () sa dá napísať v tvare: y n = u n + v n, kde v n je nejaké partikulárne riešenie nehomogénneho systému a u n je riešenie príslušneho homogénneho systému b ) Nech v n spĺňa () a u n spĺňa (), potom y n = u n + v n Príklad 36 Riešte y n+ y n+ y n =n + y 0 =0, y = Riešenie: Hľadáme u n a v n (hľadáme v tvare pravej strany) Charakteristická rovnica: r r =0 r =, r = Nehomogénna časť: v n =an +bn+c v n+ =a(n+) +b(n+)+c v n+ =a(n+) +b(n+)+c(n+) v n+ v n+ v n =n + a=, b=, c= 3 v n = n n 3 Teda y n =c n +c ( ) n n n 3 Začiatočné podmienky: y 0 =0=c +c 3 a y ==c c 5 Po vyriešení: c =3, c =0 Výsledok: y n = n 3 n n 3 Príklad 37 Riešte: y n+ =y n +b n y 0 = Riešenie: b : y n+ =y n +b n y n =u n +v n v n =k b n k b n+ k b n =b n k b k= k(b )= k= b v n= bn b u n+ u n =0 u= u n =c n y n =u n +v n y n =c n + bn Začiatočná podmienka: =c+ b b c=b 3 b Výsledok y n = n (b 3)+b n b b=: v n =k n n v n+ =v n + n k(n+) n+ =kn n + n k(n+)=kn+ kn+k=kn+ k= v n=n n y n =n n +c n Začiatočná podmienka: =c 0 c= Výsledok: y n = n (n+) Príklad 38 Riešte: y n+ 6y n+ +9y n =0 y 0 =, y =3 Riešenie: z 6z+9=0 (z 3) =0 c 3 n +c n 3 n =3 n (c n+c ) Začiatočné podmienky: y 0 == (c 0+c )=c a y =3=9 (c +) 8c = 6 c = 3 Výsledok: y n =3 n ( n ) 3 Príklad 39 Riešte: y n+ y n +y n =0 y 0 =, y = Riešenie: z z+=0 z = +± 4 8 =±i= (cos π 4 ±i sin π 4 ) y n =c ( ) n (cos nπ 4 +i sin nπ 4 )+c ( ) n (cos nπ 4 i sin nπ 4 ) Začiatočné podmienky: y 0 ==c (cos 0+i sin 0)+c (cos 0 i sin 0) =c +c y == ( +i )+ c ( i ) =c (+i)+c ( i)=c +c +i(c c )

9 i(c c )= i(c )= c = i NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 c = +i Po dosadení dostaneme výsledok: y n =( ) n+ sin (n+)π 4 Domáce úlohy Riešte: y n+ 4y n+ +4y n =3 n y 0 =, y = y n+ 5y n+ +4y n =3 n y 0 =, y = 3 y n+ 5y n+ +4y n = 4 n y 0 =, y = 4 y n+ +y n =0, začiatočné podmienky si zvoľte Odhad chyby funkčnej hodnoty s približným argumentom x presná hodnota; x aproximácia x=x x, x = x x ε(x) y(x)=y(x) y( x)=y (ξ)(x x) y(x) max z O(x) y (z) x M ε(x) }{{} M y(x) y(x) Mε(x) y( x) Výpočet štandardných funkcií a ukážky implementácie štandardných funkcií na počítači Požiadavka: η= t Aby algoritmus pre výpočet štandardných funkcií bol dostatočne rýchly Príklad 30 sin x=x x3 3! +x5 5! x7 7! +x9 9! 0 x π Chyba je menšia ako x k+ x k (k+)! ak sme skončili pri člene (k )! Polynomiálna aproximácia: sin πx q(x)=x(b 0+b x +b x 4 +b 3 x 6 )=x(((b 3 x +b )x +b )x +b 0 ) Racionálna aproximácia: f(x) P (x) Q(x) Príklad 3 Chceme aproximovať f(x)= x 0, pomocou polynómu tak, aby relatívna chyba bola menšia ako 0 0 Potrebujeme polynóm 6-teho stupňa Potrebujeme 6-krát násobenie a 6-krát sčítanie Racinálne: x q(x )+xs(x ) q(x ) xs(x =r(x) Potrebujeme 3 násobenia, 4 sčítania a delenie ) Výpočet hodnôt štandardných funkcií a transformácia argumentu do vhodného intervalu a jej numerické aspekty Majme vhodnú aproximačnú funkciu, ktorá aproximuje funkciu sin x na 0, π sin x= sin(x+kπ) u:=x kπ=x nπ Predpokladajme, že n, x sa dá presne zobraziť na počítači a π je zobrazené na maximálny počet desatinných miest π π π =ε, π=π(+ε ), ε η, ū=x n π, ū=(x nπ(+ε )(+ε ))(+ε 3 ), kde ε i η, u = ū u (x nπ)ε 3 nπ(ε +ε ) x nπ η+nπη u η+nπη

10 0 ROČNÍK Príklad 3 Predpokladajme, že x 0 =000 a chceme spočítať sin x 0 v jednoduchej presnosti na počítači M(, 3, 6, 7) Riešenie: n= 000 π =38, u=x 0 nπ=000 38π =ū, η= 3, u u η+nπη<000η 0 4 u 0 4 u , u=x 0 nπ, sin u= sin x 0 cos nπ cos x 0 sin nπ sin u = sin x 0, sin x 0 = sin u cos ū u cos , sin x 0 sin x < η= 53 = 5 u <000η= 0 3, sin x 0 sin x IV CORDIC algoritmus (CORDIC= COordinate ROtation DIgital Computer) CORDIC algoritmus sa používa na aproximáciu trigonometrických funkcií Výpočet sa bude realizovať v registre t bitoch v pevnej rádovej čiarke Zoberme si: t=3, d d d 3 4 =0000d d d 3 0 sin β=β β3 3! +β5 5! sin β sin β <η, sin β β sin β β 3 3!β =β 6 β =m e, m<, β e =m < 4 e = e < t =η, e< log 075 t e> t + (04 ) e> (t+) Pre všetky e> (t+) budeme aproximovať β= sin β t=3: d d d 3 00d d d 3 sa ešte zmestí v registre t bit s pevnou desatinnou čiarkou ( ) β=m e, e= v 0 = β 0 =β 0 γ 0 β =β γ δ v i+ =P i v i ( ) ( ) cos γi δ P i = i sin γ i cos γ0 sin γ sgnβ δ i sin γ i cos γ i =δ i P 0 = 0 i sin γ 0 cos γ 0 P i je ortogonálna matica tj P i =P T i ( cos γ0 sin γ P 0 v 0 = 0 sin γ 0 cos γ 0 ) ( ) = 0 ( ) cos γ0 sin γ 0 Nech γ 0, γ,, γ t je postupnosť rotácií vektorov v 0, v, a nech v 0 =(, 0) T, β 0 =β, v i+ =P i v i, β i+ =β i δ i γ i ( ) cos γi δ P i v i = i sin γ i cos γ i =c i ( ) ( ) v δ i sin γ i cos γ i = i sin γ i =s i tan γ i =t i =c δi t i xi i =c δ i t i y i Q i v i i Budeme voliť γ i tak, aby tan γ i =t i = i v i+ =P i v i =c i Q i v i, c i = cos γ i =, + i v t = c t c t c c 0 Q t Q t Q Q 0 v 0 }{{} τ

11 Algoritmus: Vstupy(Input):β, γ 0, γ,, γ t for i:=0 to t- do δ:=sgn(β) ( ) δ i v:= δ i v β:=β δγ i NUMERICKÁ MATEMATIKA Poznámka Operácie sú jednoduché; posunutie desatinnej čiarky a jedna logická operácia (testovanie) Uhly γ i = arctan( i ), pre malé γ i : γ i = i V ČEBYŠEVOVE POLYNÓMY DRUHU Predpis: T n+ (x)=xt n (x) T n (x), T 0 (x)=, T (x)=x, x, Charakteristická rovnica: z xz+=0 x <: z = x± 4x 4 =x± x c z+c 0 z==c 0 +c, c x+c x +c x c x =x c =, c = Zaveďme substitúciu x= cos t, t 0, π x =: T n (x)= (x+ x ) n + (x x ) n T n (x)= (x+i x ) n + (x i x ) n T n (x)= (cos t+i sin t)n + (cos t i sin t)n T n (cos t)= (cos(nt)+i sin(nt))+ (cos(nt) i sin(nt))= cos(nt) T n (x)= cos(arccos x) x= : λ λ+=0 (λ ) =0 λ = x= : λ = T n (x)=x n (c n+c ) T 0 (x)==c 0+c c = T (x)=x=x(c +c )=x(c +) c =0 T n (x)=x n VI Riešenie rovníc f(x) = 0 Majme M R a f : M R; f(x)=0 f(x)=0 x+f(x)=x x=x f(x)=:ϕ(x) Brouwerova veta Nech a, b R, a<b, ϕ je spojitá na a, b, ϕ( a, b ) a, b x a, b : x=ϕ( x) Dôkaz ψ(x):=x ϕ(x), ψ(a)=a ϕ(a) 0, ψ(b)=b ϕ(b) 0 x a, b : ψ( x)=0 x=ϕ( x)

12 ROČNÍK Banachova veta Nech a, b R, a<b, ϕ( a, b ) a, b Ak existuje L R : >L 0, že pre x, y a, b : ϕ(x) ϕ(y) L x y < x y Potom! x a, b : x=ϕ( x) {x n } konštruovaná pomocou x n+ =ϕ(x n ) konverguje pre x 0 a, b x n x Ln L x x 0 Dôkaz x x n L x L n x n, x x n = x x n +x n x n x x n + x n x n ϕ( x) ϕ(x n ) + x n x n L x x n + x n x n x n x n L x n x n x x n ϕ( x) ϕ(x n ) L x x n L L x n x n Veta 63 (postačujúca podmienka konvergencie iteračnej postupnosti) Nech ϕ C a, b tj ϕ, ϕ sú spojité ϕ( a, b ) a, b Nech L= max x a,b ϕ (x) < Potom platia všetky tvrdenia Banachovej vety a lim x x n+ x x x n =ϕ ( x) Dôkaz x x n+ = ϕ( x) ϕ(x n ) = ϕ(ξ n ) x x n L x x n x x n+ x x n = ϕ (ξ n ) lim x x n+ n x x n =ϕ ( x) Veta 64 Nech x=ϕ( x) a nech ϕ je spojitá diferenciálna funkcia v O( x), nech ϕ ( x) < Potom, ak x 0 je dostatočne blízke k x, tak platia všetky tvrdenia vety 63 Dôkaz ϕ C (O( x)) I= x δ, x+δ taký, že L= max x I ϕ (x) < Ukážeme, že ak x I ϕ(x) I tj či x x δ? ϕ(x) I x ϕ(x) = ϕ( x) ϕ(x) L x x x x <δ Poznámka Dôsledkom týchto viet je metóda prostej iterácie x n+ =ϕ(x n ) Vždy konvergentné metódy Metóda bisekcie: Ak f : a, b R je spojitá funkcia a f(a)f(b)<0, tak existuje koreň na intervale a, b a nájdeme ho takto: u:=a, v:=b repeat m:= u+v if f(m)*f(u)<0 then u:=m else v:=m until v-u<ε Metóda regula falsi: 3 Metóda tetív: y f(b)=(f(b) f(a)) x a b a x i x i x i+ =x i f(x i ) f(x i ) f(x i )

13 4 Newtonova metóda: NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 x i =x i f(x i ) f (x i ) Veta 65 Nech x R, f( x)=0, x n+ =x n f(x n) f (x n ), f C (O( x)), f ( x) 0 Potom O ( x) také, že postupnosť x n+ =x n f(x n) f konverguje k x Naviac platí: (x n ) x n+ x lim n x n x = ϕ ( x) Dôkaz ϕ (x)= f (x) f(x)f (x) = f( x)f ( x) f (x) f ( x) Funkciu ϕ rozvinieme do Taylorovho radu: ϕ(x)=ϕ( x)+ ϕ ( x)! ϕ(x n )=ϕ( x)+ ϕ ( x)! ϕ ( x)= f( x)f ( x) f ( x) (x x)+ ϕ (ξ) (x x)! (x n x)+ ϕ (ξ n ) (x n x)! x n+ = x+ ϕ (ξ n ) (x n x)! x n+ x x n x = ϕ (ξ n ) x n+ x! lim n (x n x) = x n+ =ϕ(x n )= x+ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x=ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x lim n x n x = ϕ ( x) ϕ ( x)= f ( x) f ( x) ϕ ( x) ϕ( x) pre dvojnásobný koreň? f(x)f (x) f (x)f (x)+f(x)f (x) lim x x ϕ (x)= lim x x [f(x)] = lim x x f (x)f = (x) = + lim f(x)f (x) x x f (x)f (x) = + lim f (x)f (x)+f(x)f iv (x) x x f (x)f (x)+f (x)f iv (x) = Veta 66 Nech p N a x je p-násobný koreň rovnice f(x)=0 a f C p+ O( x) Potom postupnosť x n+ =x n p f(x n) x n+ f konverguje k bode x a platí lim (x n ) n x n x =c Dôkaz Označme: ϕ(x)=x p f(x) f (x), ϕ( x) =? x f(x)=(x x) p h(x) f (x)=p(x x) p h(x)+(x x) p h (x) (x x) p h(x) ϕ(x)=x p p(x x) p h(x)+(x x) p h (x) =x p (x x)h(x) ph(x)+(x x)h (x) = x pc(x) D(x) ϕ( x)= x ϕ (x)= p C (x)d(x) C(x)D (x) D = ϕ ( x)= p h( x)ph( x) (x) p h ( x) =0

14 4 ROČNÍK ϕ(x)=ϕ( x)+ ϕ ( x) (x x)+ ϕ (ξ) (x x)!! x n+ =ϕ(x n )= x+ ϕ (ξ n ) (x n x) Rád konvergencie iteračnej postupnosti Nech x 0, x, x a nech ε n =x n x Rádom konvergencie iteračnej postupnosti nazveme najväčšie kladné číslo p také, že platí lim ε n+ n ε n p =c< c asymptotická konštanta p=, tak lineárna konvergencia, p= kvadratická konvergencia, Hovoríme, že iteračná metóda má rád konvergencie p Urýchlovacia metóda konvergencie; Aitkenov δ proces Nech {x n }: x n+ =ϕ(x n ) Nech ϕ (x) L< Predpokladajme, že lineárna konvergencia x n+ x=ϕ(x n ) ϕ( x)=ϕ (ξ n )(x n x) x n+ x x n x =ϕ (ξ n ) lim n Označme λ n = x n x n x n x n x n x x n x =ϕ (ξ n ) x n x x n x =ϕ (x)= lim n x n x x n x =ϕ (ξ n ) x n x x n x λ n = x x n ( x x n ) x x n ( x x n ) = x x n ϕ (ξ n ) ( x x n ) x x n ϕ (ξ n ) ( x x = ϕ (ξ n ) n ) ϕ (ξ n ) ϕ (ξ n ) ( x) lim n ϕ (ξ n ) = ϕ ϕ ( x) ϕ ( x) Pre dostatočne veľké n môžeme ϕ ( x) λ n x x n =ϕ( x) ϕ(x n )=ϕ (ξ n )( x x n ) λ n ϕ ( x) x x n x x n λ n ( x x n ) x x n x x n = x x n +x n x n ( x x n )+(x n x n ) λ n x x n ( x x n ) x n x n λ n ( x x n )( ) x n x n λ n ( x x n ) λ n x n x n λ n λ n x x n (x n x n ) chybová Aitkenova formula λ n Extrapolačná Aitkenova formula: x x n + (x n x n ) λ n λ n nová aproximácia: ˆx=x n + (x n x n ) λ n x n x n x ˆx n =x n + n x n x n x n x (x n x n x n n )=x n + (x n x n )= x n x n x n +x n x n x n λ n

15 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 =x n + (x n x n ) (x n x n ) =x n x n x n +x n+ x n x n (x n x n ) = =x n ( x n ) =x n ( x n ) x n x n x n ˆx n =x n ( x n ) Aitkenova formula x n Algoritmus: Vstupy: x 0, ϕ, ε x =ϕ(x 0 ), x =ϕ(x ), x x <ε x x (x x ) ˆx =x (x x ) (x x 0 ) 3 x 0 :=ˆx choď na Odhady chýb v iteračných metódach ozn x -pevný bod a x aproximácia f(x )=0, x x f( x)=f( x) f(x )=f(ξ)( x x ) Predpokladajme, že f (x ) 0 x x = f( x) f (ξ) Nech f (x) m v okolí O(x ) x x f( x) f( x) f( x) δ m f( x) f( x) f( x) f( x) δ f( x) δ+ f( x) x x f( x) δ+ f( x) m m f( x) je aproximácia f( x) Ak f( x)=0 x x δ m dosažiteľná presnosť Príklad 6 f(x)=x e x =0, x = x, f( x)= ,δ= 0 0, x x δ+ f( x) m, f ( x) 567 m=5, x x Dosažiteľná presnosť pre dvojnásobný koreň f(x)=f(x )+f (x )(x x )+ f (ξ) (x x ) f( x)= f (ξ) ( x x )! x x f( x) = f (ξ) f( x) δ f (x) f ( x) f( x) f( x) δ f( x) δ Príklad 6 Nevrhnite iteračnú metódu na f(x)=x ln x =0 koreň hľadajte na intervale, a koreň na intervale, 0 x= e x }{{} x n+ =e x n ϕ(x) ϕ (x)=(e x ) =xe x ϕ (x)=(4x +)e x ϕ ()= e < x 0 =0, x = x 4 = , x 5 = Teda prvý koreň je

16 6 ROČNÍK Druhý koreň: x= ln x+ ϕ }{{} (x)= x + ln x ϕ (x)<0 na, ϕ(x) x 0 =5, x = x 8 =56446 Teda druhý koreň je Príklad 63 Navrhnite iteračnú metódu: x a=0, (a>0) f(x)=x a x i+ =x i f(x i) f (x i ) = (x i+ a x i ) Domáca úloha Navrhnite netódu pre p>: x = p + p + p + x = p + x = ϕ(x) VII Implementácia výpočtu druhej odmocniny A=m k, m=b b b t, M(, t, L, U), exp=k, A= b b b }{{} t k, m A=b b b t k A=b b b 3 b t k a=c c 0 d d d t a<4 a xn a n N zvolíme: x 0 x n x n+ a= (x n a) x n (x n a) h 3 x 0 a = a+h a ξ h = h ξ h 4 x a (x 0 a) 9 x a 3 (x 0 a) 4 9 x 3 a 7 (x 0 a) 8 39 Ak t=3, tak chyba je menšia ako 3 = 4 Veta 7 Pre každé x 0 >0 iteračná metóda x n+ = (x n+ a ) generuje nerastúcu x n zdola ohraničenú postupnosť A platí: lim x n= a n Dôkaz Najprv ukážeme, že aj x n+ a Potom ukážeme, že x n x n 0 pre všetky n x n+ a= (x n+ a ) a= x n+a x n a = (x n a) 0 x n x n x n x n x n+ =x n (x n+ a )= x n x n a = x n a = (x n a)(xn + a) 0 x n x n x n x n

17 NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 Teda postupnosť je nerastúca, zdola ohraničená lim x n=x x n+ = n (x n+ a ) x = x n (x + a x ) (x ) =(x ) +a x =a x = a Banachova veta o pevnom bode v R n Nech (X, d) je úplný metrický priestor a nech λ 0, >λ také, že pre zobrazenie ϕ : X X platí, že d(ϕ(x), ϕ(y))<λd(x, y) Potom!x X : ϕ(x )=x Pre ľubovoľné x 0 X : x n+ =ϕ(x n ) konverguje k x VIII n-rozmerný Newtonov algoritmus a riešenie systémov nelineárnych rovníc { f (x, x )=0 Majme sústavu f (x, x )=0 x x 0 x =x 0 +h 0=f(x )=f(x 0 +h )=f(x 0 )+ f (x 0 )! h 0 =h = f(x 0) f x =x 0 +h 0 x =x 0 f(x 0) (x 0 ) f (x 0 ) x =x (0) +h x =x (0) +h 0=f (x, x )=f (x (0) +h, x (0) +h )= =f (x (0), x(0) )+ f (x (0), x(0) ) h x + f (x (0) 0=f (x, x )=f (x (0) +h, x (0) +h )= =f (x (0), x(0) )+ f (x (0), x(0) ) h x + f (x (0) f (x (0), x(0) ) f (x (0) x x f (x (0) x f (x (0), x(0) ), x(0) ), x(0) ) x ( (0) ) h h (0) =, x(0) ) h + f (x 0 ) h +! x h +, x(0) ) x h + ( f (x (0), x(0) ) f (x (0), x(0) ) J( x (0) ) h= f( x (0) h= J ( x (0) ) f( x (0) 0 ) J( x) je Jacobiho matica x () =x(0) +h(0) x () =x(0) +h(0) x () = x (0) + h (0) x (k+) = x (k) (J( x (k) ) f( x (k) ) ) Príklad 8 Nájdite priesečík elipsy s hyperbolou, ktorý leží v kvadrante! Riešenie: f (x, x )=4x +9x 36=0 f (x, x )=6x 9x 36=0 Presné riešenie je (897367, 54993)

18 8 ROČNÍK Newtonovou ( metódou: x (0) = ) ( ) ( (0) ) h h (0) = ( ) 3 h 9 (0) = k x (k) x (k) ( ) 3 07 LU-rozklad Ax=B A=LU LUx=b Ly=b y Ux=y x IX Lubbockova metóda na aproximáciu súčtu nekonečných radov Euler M aclaurin: xn x 0 ( y(x)dx=h y 0+y + +y n + ) y n h (y n y 0)+ h4 70 (y n y 0 ) h k (k)! B k(y n (k ) B Bernoulliho čísla, E m zvyšok, h= x n x 0 n S= i=j y (k ) 0 )+E m f i m(f j +f j+m +f j+m + +f n ) m (f j +f n )+ + m m ( f j f n m ) m 4m ( f j + f n m )+ + (m )(9m ) 70m 3 ( 3 f j 3 f n 3m ) (m )(9m ) 480m 3 ( 4 f j + 4 f n 4m )+ s= i= + (m )(863m 4 45m +) 60480m 5 ( 5 f j 5 f n 5m ) (m )(75m 4 6m +) 49m 5 ( 6 f j + 6 f n 6m ) s ( ) s s f k = ( ) r f k+(s r)m r 5 0 ln i i(i+) i= r=0 00 ln i i(i+) = i= ln i i(i+) } {{ } m= ln i i(i+) } {{ } m= ln i i(i+) }{{} m=00 +

19 NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 i= ln i i(i+) }{{} m=0 3 0 i= f 00 f 000 f 0000 ln i = (±0 9 ) i(i+) a i Kummer: A= a i B= b i lim =q 0 i b i= i= i A= a i = (a qb i )+q = a i ( q b i )+qb a i Príklad 9 A= i= i + i= N i= i= a i ( q b i a i )+ i= B= N i + i= i= i=n+ i= a i ( q b i a i ) } {{ } R N 0 i= i =π 6 i + +R N q= + A= i + ( i i )+B= ( i ) i + + π 6 i= A = Domáca úloha 3 Overte, že pre maticu A= platí 3 i= A i i =π Riešenie: A 3 =I 3 = π 4 S=S +S =A k= + π 4 (k ) +I 3 (k) =π 8 k= = π A+I 3 π 4 = 0 0 0

20 0 ROČNÍK X Interpolácia Množina funkcií x n je úplná na a, b tj ku každému po častiach spojitej funkcie b f(x) a danému ε>0 existujú n, a,, a n tak, že (f(x) a i x i ) dx<ε aproximácia v strede Weierstrassova veta Ak f(x) C a, b : ε>0 n(ε) a polynóm P n (x) tak, že f(x) P n (x) <ε x a, b Ak f(t) je spojitá, periodická s periódou π: ε>0 n(ε) s n (t)=a 0 + (a k cos(kt)+b k sin(kt)) : f(t) s n (t) <ε x a, b b b f (x)dx f(x) L a, b u, v L ρ(u, v)= u v = uvdx a Bernsteinove polynómy: B n (x)= k=0 ( ) n ( n ) x k ( x) n k f k k a a B n (x) 0, používajú sa v dôkaze Weierstrassovej vety Interpolácia: (x i, y i )=f(x i ) R, i = 0,,, n=:0()n Nech x i x j pre i j f(x) p(x) a chceme aby f(x i )=p(x i ) pre,,, n f(x) Veta 0 Nech x i, y i R pre,,, n a x i x j pre i j Potom existuje jediný polynóm p(x) P n (x) taký, že p(x i )=f(x i ) pre všetky,,, n Dôkaz Nech p(x)=a 0 +a x+ +a n x n Existencia: y 0 =p(x 0 )=a 0 +a x 0 +a x 0+ +a n x 0 y =p(x )=a 0 +a x +a x + +a n x y n =p(x n )=a 0 +a x n +a x n+ +a n x n Máme systém n + rovníc s n + neznámymi a 0, a,, a n x 0 x 0 x n 0 x x x n 0 = (x i x j ) x n x n x n i j n Jednoznačnosť: Nech p(x), q(x) P(x), p(x) q(x), r(x)=p(x) q(x) P(x) r(x) je stupňa n, ale má n + rôznych koreňov, preto r(x) 0 p(x) q(x) Lagrangeov interpolačný polynóm: f(x) =p(x)= l j (x)f(x j ), kde l j (x) sú elementárne Lagrangeove polynómy { 0, ak i j l j (x i )=δ ij =, ak i=j Kroneckerova δ ij l j (x)=k j (x x 0 )(x x ) (x x j )(x x j+ ) (x x n )

21 NUMERICKÁ MATEMATIKA =l j (x j )=k j (x j x 0 )(x j x ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) k j = (x j x i ) i j f(x i )=p(x i )= l j (x i )f(x j ) l j (x)= (x x 0)(x x ) (x x j )(x x j+ ) (x x n ) (x j x 0 )(x j x ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) p(x)= l j (x)f(x j ) Domáca úloha Nájdite Lagrangeov interpolačný polynóm pre hodnoty: f(0)=, f()=0, f(3)=4 Riešenie: p(x)=4 (x 0)(x ) (x 0)(x 3) (x )(x 3) +0 + (3 )(3 0) ( 0)( 3) (0 )(0 3) =x x+ Newtonov interpolačný polynóm: {x i } n, {f(x i)} n, p(x) P(x) f(x) p(x)=c 0 +c (x x 0 )+c (x x 0 )(x x )+ +c n (x x 0 ) (x x n ) f(x 0 )=p(x 0 )=c 0 =f[x 0 ] f(x )=p(x )=f 0 +c (x x 0 ) c = f f 0 x x 0 =f[x 0, x ] Výraz f f 0 x x 0 je pomerná diferencia f f 0 x x 0 (f f 0 ) x c = x 0 =f[x 0, x, x ] (x x 0 )(x x ) c n =f[x 0, x,, x n ] Označme p (0,n ) n Newtonov interpolačný polynóm pre uzly x 0,, x n a p (,n) n pre uzly x,, x n Potom pre i=,,, n : p n (x)= x n x 0 [ (x n x)p (0,n ) n p n (x 0 )=p (0,n ) n (x 0 )=f(x 0 ) p n (x n )=p (,n) n (x n)=f(x n ) (x)+(x x 0 )p (,n) n (x) ] p n (x i )= (x n x i ) p (0,n ) n (x i ) +(x i x 0 ) p (,n) n x n x 0 }{{} (x i) =f(x i ) }{{} f(x i ) f(x i )

22 ROČNÍK Označme si koeficienty pri najvyššej mocnine c n v p n (x); c (0) n v p(0,n ) (x); c () n v p (,n) n (x) p n (x)=p n (x)+c n (x x 0 )(x x ) (x x n ) c n = c() n c(0) n f[x 0, x,, x n ]= f[x,, x n ] f[x 0,, x n ] =c n x n x 0 x n x 0 n p(x)=f[x 0 ]+f[x 0, x ](x x 0 )+ +f[x 0, x,, x n ] (x x i ) } {{ } Newtonov interpolačný polynóm f(x i ) f[x 0, x,, x n ]= (x j x 0 ) (x j x j )(x j x j+ ) (x j x n ) d i0 :=f(x i ) d = d 0 d 00 x x 0 Potom c i =d ii pre všetky,,, n Chyba interpolačného polynómu d ij = d ij d i j x i x i j x i d i0 d i d i d i3 x 0 d 00 x d 0 d x d 0 d d x n d n0 d n d n d nn Veta 0 Nech x i, f(x i ) R x, x i a, b, ()n, x i x j pre i j Nech I x je majmenší otvorený interval vytvorený bodmi x 0, x,, x n, x nech f C (n+) a, b Potom η x I x : f(x) p(x)= f (n+) (η x ) (x x 0 ) (x x n ) (n+)! Dôkaz Pomocou Rolleho vety interpolačných uzlov Teda n+ nulových bodov máme Nech z je ľubovoľný, pevný, rôzny od všetkých G(z)=f(z) p(z) f(x) p(x) n (x x i) n (z x i ) G(x i )=0 i {0,, n} G(x)=0 G (n+) (z)=f (n+) (z) 0 f(x) p(x) n (x x i) (n+)! G (n+) (η x )=0=f (n+) (η x ) f(x) p(x) n i= (x x i) (n+)! f(x) p(x)= f (n+) (η x ) (n+)! n (x x i )

23 NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 Dôsledok f(x) p n (x) max x I x f (n+) (n+)! (x x 0)(x x ) (x x n ) Chybový vzťah pomocou pomerných diferencií p n+ (x) Newtonov interpolačný polynóm; x 0, x,, x n+ f 0, f,, f n+ p n+ (x)=p n (x)+f[x 0, x,, x n+ ](x x 0 )(x x ) (x x n ) f n+ =p n+ (x n+ )=p n (x n+ )+f[x 0, x,, x n+ ](x n+ x 0 ) (x n+ x n ) n f(x n+ ) p n (x n+ )=f[x 0,, x n+ ] (x n+ x i )= f (n+) (η xn+ ) n (x n+ x i ) (n+)! Vzťah medzi pomernou diferenciou a deriváciou: f[x 0, x,, x n, x]= f (n+) (η x ) (n+)! Neplatí: max f(x) p n (x) n 0 x I x Násobné uzly f(x) p(x) f (j) (x 0 )=p (j) (x 0 ) j {0,,, n} p(x)=a 0 + a x+ a x + + a n x n p (x)= a + a x+ + na n x n p (x)= a + + n(n )a n x n p (n) (x)= n!a n Matica sústavy: x 0 x 0 x 3 0 x n 0 0 x 0 3x 0 nx n x 0 n(n )x0 n n! f(x)= f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+) (ξ) (x x 0 ) n+ }! {{ n! } (n+)! Q(x) Q(x) je hĺadaný polynóm Zovšeobecnený Newtonov interpolačný polynóm pre násobné uzly: p(x)=c 0 +c (x x 0 )+c (x x 0 ) + +c n (x x 0 ) n c i = f (i) (x 0 ) =f[x 0, x 0,, x 0 ] i!

24 4 ROČNÍK Príklad 0 Podmienka (*): x 0 f 0, x f, x f, f, f, x 3 f 3 Treba nájsť Newtonov interpolačný polynóm tak, aby platila podmienka (*) pre uzly x 0,, x 3 Preznačenie: u 0 =x 0, u =x, u =x, u 3 =x, u 4 =x, u 5 =x 3 (podľa násobnosti) u 0 F 00 u F 0 F u F 0 F F u 3 F 30 F3 F 3 F 33 u 4 F 40 F4 F4 F 43 F 44 u 5 F 50 F 5 F 5 F 53 F 54 F 55 F ii sú koeficienty Newtonovho interpolačného polynómu F sk = F sk F s k F u s u sk= F (k) (u s ) s k k! F i0 =f(u i ) f(x)=f 00 +F (x x 0 )+F (x x 0 )(x x )+F 33 (x x 0 )(x x )(x x )+ +F 44 (x x 0 )(x x )(x x ) +F 55 (x x 0 )(x x )(x x ) 3 Hermiteova interpolácia: Dané sú x i, f(x i ) a f (x i ) i {0,, n} Nech x i x j pre i j Hľadáme polynóm z triedy p P n+ taký, že p(x i )=f(x i ) a p (x i )=f (x i ) Veta 03 Nech x i, y i, y i R i {0,,, n} x i x j pre i j Potom!h(x) P n+ (x) : h(x i )=f(x i ) a h (x i )=f (x i ) Polynóm h(x) vyzerá takto: h(x)= [ l i(x i )(x x i )][l i (x)] f i +(x x i )[l i (x)] f i kde l i (x)= i j x x j x i x j Príklad 0 Nájdite Newtonov interpolačný polynóm pre uzly f( )=6, f(0)=, f()=3, f(5)=66 Riešenie: x 0 = f 0 =6 x =0 f = f = 6 0 = 5 x = f =3 f = 3 0 = f = 6 3 = x 3 =5 f 3 =66 f 3 = f 3 = 0 5 =4 f 33= 6 = 3 p(x)=6 5(x+)+x(x+)+ 3 x(x+)(x )= 3 x x 3 x+

25 NUMERICKÁ MATEMATIKA 5 Newtonov interpolačný polynóm pre ekvidistantné uzly {x i } n {f(x i)} n, h=x i+ x i pre,,, n f(x)=f(x 0 )+f[x 0, x ](x x 0 )+f[x 0, x, x ](x x 0 )(x x )+ + n + +f[x 0, x,, x n ] (x x i )+ f[x 0,, x n, x](x x 0 ) (x x n ) }{{} chyba f(x i )=f(x i+ ) f(x i ), f[x 0,, x k ]= k f 0 k!h k x 0 f 0 x f f 0 h x f f h x 3 f 3 f h f 0 h f 3 f 0 h 6h 3 x=x 0 +th, f(x 0 +th)=f(x 0 )+ f(x 0) th+ f(x 0 ) h h th(t )h+ + + n f(x 0 ) n!h n h n t(t ) (t n+)+ n+ f(ξ x ) (n+)!h n+ hn+ t(t ) (t n) ( ) ( ) ( ) t t t f(x 0 +th)= f(x 0 )+ f(x 0 )+ + n f(x 0 ) + n+ f(x 0 ) n n+ }{{} Newtonov interpolačný polynóm napred pre ekvidistantné uzly )= tk kde ( t k Optimálny výber interpolačných uzlov: Chyba Newtonovho interpolačného polynómu, keď máme n+ interpolačných uzlov: k! e(x)= f (n+) (η x ) (x x 0 ) (x x n ) (n+)! f(x) p(x)=e(x) {x i } n {f(x i)} x i a, b max e(x) (n+)! (x x M n+ 0) (x x n ) x a,b max x a,b f (n+) (x) =:M n+

26 6 ROČNÍK Veta o minimálnej odchylke pre Čebyševove polynómy Spomedzi všetkých normalizovaných polynómov n-teho stupňa v premennej t sa práve T n (t) na intervale, najmenej odchyluje od nuly Dôkaz x= b a t+b+a T n = n cos(n arccos x) max p n(t) max T n (t) = n t, t, arccos t i = i+ n π ( ) ( x (a+b) x (a+b) T n = n T n b a b a cos(n arccos t i )=0 n arccos t i = i+ π ( ) i+ t i= cos n π ) ( ) n ( x (a+b) b a = + / b a ) =x n + ( x (a+b) ˆT n a,b (x)= n (b a) n T n b a Maximálna odchylka: n (b a) n Veta 05 Spomedzi všetkých normalizovaných polynómov sa práve Čebyševov normalizovaný polynóm odchyluje majmenej od nuly x i = b a ( ) (i+)π cos + b+a interpolačné uzly (optimálny výber) (n+) XI Interpolácia pomocou splajnov Lineárne splajny {x i } n {f(x i} n x i a, b, a=x 0 <x < <x n <x n =b, h i =x i+ x i, h= max h i, s(x)= l j (x)f(x j ) Lagrange, f(x) s(x) C a, b, s 0 (x) na x 0, x ; s (x) na x, x,, s n (x) na x n, x n s i (x) sú lineárne funkcie s i (x)=f(x i )+f[x i, x i+ ](x x )+f[x i, x i+, η i ](x x i )(x x i+ ) f(x) s i (x) max f (x) =M i max M i =M M x x i,x i+! h f(x) s i (x) s(x i )=f(x i ) f(x) =l 0 (x)f(x 0 )+l (x)f(x )+ l j (x i )=δ ij bázické funkcie lineárneho splajnu x x ak x x 0, x x n x ak x x n, x n l 0 (x)= x x 0 l n (x)= x n x 0 0 ak x x, x n 0 ak x x 0, x n 0 ak x x 0, x i x i+, x n x i x ak x x l i (x)= i, x i x i x i x x i+ ak x x i, x i x i x i+ ) n

27 Prirodzený kubický splajn Podmienky pre prirodzený kubický splajn: S(x) C a, b S(x i )=f(x i ) ()n 3 S(x) P 3 x x i, x i+ 4 S (x 0 )=S (x n )=0 Moment splajnu: M i =S i (x i), M i+ =S i (x i+) NUMERICKÁ MATEMATIKA 7 S i (x) M i = M i+ M i x i+ x i (x x i ) S i (x)=[m i h i +(M i+ M i )(x x i )] h i kde h i =x i+ x i S i (x)=m i x i+ x i h i +M i+ x x i h i S i(x)=m (x i+ x) (x x i ) i +M i+ +A i h i h i (x i+ x) 3 (x x i ) 3 S i (x)=m i +M i+ +A i (x x i )+ b i +A i x i () 6h i 6h i }{{} =B i B i =f i M ih i 6 f(x i )=S i (x i )= M ih i 6 +B i f(x i+ )=S i (x i+ )= M i+h i 6 +A i h i +B i A i = f i+ f i h i h i 6 (M i+ M i ) () S i (x)=m (x i x) (x x i ) i +M i h i h i +A i S i(x i )= M i h i+a i S i (x i )=M i h i +A i M i (h i +h i )=A i A i M i (h i +h i )= f i+ f i h i 6 (M i+ M i ) f i f i + h i 6 (M i M i ) h i h i M i (h i +h i )+ h i 6 (M i+ M i ) h i 6 (M i M i )= f i+ f i h i f i f i+ h i h i 6 M i + h i +h i M i + h i 3 6 M i+= f i+ f i f i f i h i h i ( h i h i 6 fi+ f i M i +M i + M i+ = f ) i f i h i +h i h i +h i h i +h i h i h i }{{}}{{}}{{} =λ i =η i =g i λ i M i +M i +η i M i+ =g i λ i +η i =

28 8 ROČNÍK η λ η λ η n λ n η n λ n M M M 3 M n 3 M n M n = g g g 3 g n 3 g n g n Ak súčet mimodiagonálnych prvkov je menší ako prvok na hlavnej diagonále, tak hovoríme o diagonálne dominantnej matici Ak g(x) C a, b, g(x) interpoluje f(x), S(x) prirodzený kubický splajn, ktorý aproximuje f(x), potom b a [g (t)] dt b a [S (t)] dt Spojitý prípad: XII Metóda najmenších štvorcov f(x) C a, b, p (x) f(x), w(x)>0 integrovateľná, p (x)= (presne) Kritérium: ai x i je stupňa n b a w(x)[f(x) p (x)] dx b a w(x)[f(x) q(x)] dx q(x) P n (x) Diskrétny prípad: {x i } n i=, { f(x i )} n i=, {ϕ j(x)} n, ϕ j(x) sú lineárne nezávislé, tj α 0 f(x) p m (x)= ϕ 0 (x ) ϕ (x ) ϕ m (x ) ϕ 0 (x ) +α ϕ (x ) + +α ϕ m (x ) m =0 α i ϕ 0 (x n ) ϕ (x n ) ϕ m (x n ) m α j ϕ j (x) Kritérium: w i [ f(x i ) p m (x i )] =minimum i= b ρ(f, p)= f p = w(x)[f(x) p(x)] dx spojitý prípad a f p = n w i [ f(x i ) p(x i )] diskrétny prípad i=

29 NUMERICKÁ MATEMATIKA 9 Príklad počet neznámych << počet meraní Spojitý prípad: f(x) C,, máme k dispozícii: {ϕ i (x)}, w(x) váhová funkcia f(x) p n (x)= a i ϕ i (x) Neznáme sú a 0,, a n a treba minimalizovať + [f(x) a i ϕ i (x)] dx H(a 0,, a n )= f (x)dx } {{ } η n a i a j ϕ i (x)ϕ j (x)dx =η } {{ } c ij a i f(x)ϕ i (x)dx + } {{ } d i a i d i + n a i a j c ij 0= H d k + c kj a j + a i c ik = d k + c ki a i =0 d k = c ki a i a k c 00 c 0 c 0n c 0 c c n c n0 c n c nn }{{} Gramova matica Keďže ϕ i (x) sú bázové v priestore det(c ik )=0 a 0 a a n = Príklad Ortogonálny systém {g i (x)}, ortonormálny systém {h i (x)} g 0 (x)=ϕ 0 (x) k g k (x)=ϕ k (x) (g i, g j )= g i (x)g j (x)dx d 0 d d n k g k (x)=ϕ k (x) c j g j (x) k (ϕ k, g j ) g j g j (g i, g k )=(g i, ϕ k ) i=j : (g j, ϕ k )=(g j, g j ) c j = (g j, ϕ k ) (g j, g j ) =(g j, ϕ k ) g j k g k (x)=ϕ k (x) ( ϕ k, g j ) gj g j g j c j (g i, g j )

30 30 ROČNÍK k g k =ϕ k (ϕ k, h j )h j Legendrove ortogonálne polynómy: P 0 =, P =x, (n + )P n+ (x)=(n+)xp n (x) np n (x) Vlastnosti: P n (x) má n koreňov na intervale, P m(x)p n (x)dx=0 pre m n 3 P n (x)= d n n n! dx n (x ) n 4 [P n(x)] dx= n+ 5 xk P n (x)dx=0 pre k=0,,, k 6 xn P n (x)dx= n+ (n!) (n+)! Príklad (pokračovanie) f(x) p (x)= a j h j (x)= (f, h j )h j (x) a j =d j = f(x)h j (x)dx=(f, h j ) H(a 0,, a n )=η a i d i + (f, h j )sú Fourierove koeficienty a i n a j c ij =η a T d+a T ca c ij =0 i j, a T ca=a T a, lebo c je jednotková matica Preto: η+(a d) T (a d) d T d=η+a T a d T a a T d+d T d d T d=η+a T a a T d totiž a T d=d T a Pre aké a bude H minimálne? Ak a=d Diskrétny prípad: {x i } n i=, { f(x i )} n i=, {ϕ i(x)} n i=, ϕ j(x) sú lineárne nezávislé tvaru x j a (m) i f(x) p m (x)= a (m) i ϕ i (x) horný index je stupeň polynómu a nie derivácia Treba minimalizovať: w i [ f(x i ) p m (x)] f p = i= ( n i= ) w i [f(x i ) p m (x i )]

31 j= NUMERICKÁ MATEMATIKA 3 w i [ f(x i ) a (n) j ϕ j (x i )] H(a (m) 0,, a (m) n ) H a (m) k m i= = w i [ f(x i ) a (m) j i= } {{ } d jk a (m) j ϕ j (x i )] (ϕ k (x i ))=0 w i ϕ j (x i )ϕ k (x i ) = w i f(xi )ϕ k (x i ) m i= a (m) j d jk =ρ k d 00 d 0 d 0m d 0 d d n d n0 d n d nn } {{ } ρ k a (m) 0 a (m) a (m) m = Príklad 3 Máme interval 0,, ekvidistantne na n podintervalov dĺžky h= n x i (i )h, ih (d ij )=n m+ 0 x j+k dx n 3 m+ i= 3 4 m+3 Príklad 4 ϕ j (x)=x j, {x i } n i=, Q(n) 0 i= x j+k i i= ρ 0 ρ ρ m x j+k i = n j+k m+ m+ zle podmienená matica +m (x), Q(n) (x),, Q(n) n (x), w i Q (n) j (x i )Q (n) k (x i) Q j+ (x)=(x α j+ )Q j (x) β j (x)q j (x) Q 0 (x) Q (x) 0 j Q j (x)= x j + a i x i α j+ = w i x i Q j(x i ) i= w i Q j(x i ) i= β j = w i Q j(x i ) i= w i Q j (x i ) i=

32 3 ROČNÍK d 00 d 0 d 0m b 0 m f(x) b j Q (n) d j (x) 0 d d m b = d m0 d m d mm b m (d ij ) je diagonálna matica, lebo d ij =0 pre i j Poznámka d jk = ρ k = i= Čebyševove ortogonálne polynómy: Hermiteove ortogonálne polynómy: Laguerrove ortogonálne polynómy: f(x i )Q k (x i ) i= w i Q (n) j (x i )Q (n) k (x i) b k = ρ k d kk 0 x T j(x)t k (x)dx e x H j (x)h k (x)dx e x L j (x)l k (x)dx Príklad 5 Máme zmeranú odpor medenej tyče v rôznych teplotách: Treba minimalizovať: H a 0 = H a = t i (C ) R i (Ω) H(a 0, a )= 7 (R i a 0 a t i ) i= 7 (R i a 0 a t i )=0 i= 7 (R i a 0 a t i )t i =0 i= ε i +a 0 +a t i = R i 7 i= 7 i= t 0 i t i t i 7 i= 7 i= ( a0 a Xa=y X T Xa=X T y t i t i ) = ( a0 a R i ) = ρ 0 ρ ρ m 7 R i i= 7 R i t i Symetrická M nn matica je kladne definitná, ak existuje inverzná pozitívne definitná symetrická matica i=

33 f (x 0 ) f(x 0+h) f(x 0 ) h NUMERICKÁ MATEMATIKA 33 XIII Numerická derivácia =D + (h) f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) =D (h) h f (x 0 ) f(x 0+h) f(x 0 h) =D 0 (h) h f(x)=f(x 0 +h)=f(x 0 )+ f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 ) h h+ f (x 0 )! =f (x 0 )+ f (x 0 )! h + f (x 0 ) h 3 + 3! h+ f (x 0 ) h + 3! Symbolom f(x) je nekonečne malá rádu O(h p ) rozumieme: ak existuje k R, h 0 >0 h>0 h<h 0 f(x) kh p f(x 0 +h)=f(x 0 )+ f (x 0 )! f(x 0 h)=f(x 0 ) f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 ) f (x 0 )=a h+a h +a 3 h 3 + h D 0 (h)= f(x 0+h) f(x 0 h) h h+ f (x 0 )! h+ f (x 0 )! f(x 0 +h) f(x 0 h)=h f (x 0 )! h + f (x 0 ) 3! h f (x 0 ) 3! +h 3 f (x 0 ) 3! h 3 + f (iv) 4! h 3 + f (iv) 4! h 4 + f (v) h 5 + 5! h 4 f (v) h 5 + 5! +h 5 f (v) + 5! h [f(x 0+h) f(x 0 h)]=f (x 0 )+h f (x 0 ) +h 4 f (v) + 3! 5! h [f(x 0+h) f(x 0 h)] f (x 0 )=b h +b h 4 +b 3 h 6 +chyba ráduo(h ) D 0 (h) má chybu rádu O(h ); D + (h), D (h) majú chybu rádu O(h) Príklad 3 Aproximujte deriváciu e x v bode R t chyba odseknutia h D + (h) R t h D (h) e

34 34 ROČNÍK f(x 0 +h) f(x 0 +h) ε D 0 (h) D 0 (h) = f(x 0 +h) f(x 0 +h) h f(x 0 )+h) f(x 0 h) h f(x 0 h) f(x 0 h) ε f(x 0 h) f(x 0 h) h f(x 0+h) f(x 0 h) h ε h = ε h Richardsonova extrapolácia D + (h) T (h) D (h) Predpokladajme, že T (h) vieme počítať pre h 0 rôzne h Ak D 0 (h) existuje, chceme ju odhadnúť lim h 0 T (h) teraz rátame z D 0 (h): T (h)=f (x 0 )+b h + b h 4 +b 3 h 6 + }{{} O(h 4 ) T (h)=f (x 0 )+b h +O(h 4 ) T (h)=f (x 0 )+4b h +O(h 4 ) T (h) T (h)=3b h +O(h 4 ) b h = T (h) T (h) O(h 4 ) 3 T (h)=f (x 0 )+(T (h) T (h)) 3 +O(h4 ) T (h) T (h) T (h)+ =f (x 0 )+O(h 4 ) }{{ 3 } T (h) T (h)=f (x 0 )+O(h 4 )=f (x 0 )+c h 4 + c h 6 +c 3 h 8 + }{{} O(h 6 ) T (h)=f (x 0 )+c h 4 +O(h 6 ) spravíme to isté ako s T (h) T (h)=f (x 0 )+6c h 4 +O(h 6 ) T (h) T (h) =c h 4 +O(h 6 ) 5 T (h)=f (x 0 )+ T (h) T (h) +O(h 6 ) 5 T (h) T (h) + 5 T (h)=f (x 0 )+O(h 6 ) T (h)= f (x 0 )+b h p +O(h r ) }{{} L (h p ) r>p

35 NUMERICKÁ MATEMATIKA 35 T (h)= f (x 0 )+b (h) p +O(h r ) }{{} L [(h) p ] Pre D ± je p=, pre D 0 je p= L (h p ) Lagrangeov polynóm stupňa v premennej h p Príklad 3 Ideme interpolovať v premennej h p, potrebujeme interpolačné uzly L [(h) p ]=T (h); L [h p ]=T (h); L(x)=l 0 (x)f(x 0 )+l (x)f(x ) l 0 (x)= x x x 0 x l 0 (x p )= xp h p (h) p h p l (x p )= xp (h) p h p (h) p L (x p )= xp h p (h) p h p T (h) p (h)+xp h p (h) p T (h) L (0)= hp p hp T (h) T (h)+t (h) T (h) T (h) h p ( p T (h)+ ) h p ( p ) =p p =T (h)+ p x 0 =h ( p ) T (h) T 00 p ( ) h h x = T T 0 T ( ) p ( ) h h x = T T 0 T T ( 4 ) 4 p ( ) h h x 3 = T T 30 T 3 T 3 T 33 ( 8 ) 8 p ( ) h h x i = i T i T ik =T i,k + T i,k T i,k (q p ) k Príklad 33 Máme aproximovať Γ (x) v bode x=5 Γ(x)= e t t x dt Γ(x) 0 má derivácie vyšších rádov Γ (x)= e t t x ln tdt 0 T 00 =D 0 (0, 4)= Γ(9) Γ() = T 0 =D 0 (0, )= Γ(7) Γ(3) = h i T i0 T i T i T i Presná hodnota Γ (5)= na 6 desatinných miest Poznámka f(x, y) (x 0, y 0 ) f(x 0+h, y 0 ) f(x 0 h, y 0 ) x h

36 36 ROČNÍK XIV Riešenie sústav lineárnych rovníc y y=0 y(0)=0 y()= sinh y (x i ) y(x i )=0 y(x i+h) y(x i )+y(x i h) h y(x i )=0 h= 4 : (+h) 0 (+h) y y = (+h ) y 3 sinh i y i chyba Príklad 4 Ax=b, A je regulárna štvorcová matica a a a n x b a a a n x = b a n a n a nn x n b n a a a n m ik = a ik 0 a a n A a kk 0 0 a nn Algoritmus GEM: for k:= to n- do for i=k+ to n do m ik := a ik /a kk for i=k+ to n do for j:=k+ to n do a ij := a ij m ik a kj for i:=k+ to n do b i := b i m ik b k n n n n [ ] γ (n k) = γ = [(γ )γ+γ]= [γ +γ 3 n = 3 +γ = k= [ γ 3 = 3 ] n γ= [ γ + ] n Počet združených operácií v tomto algoritme: γ γ= = n(n )(n ) + n(n ) = n3 n + n 3 3 6

37 NUMERICKÁ MATEMATIKA 37 Príklad 4 ( a ) ε Bez pivotizácie ; ; ; ; Netreba robiť pivotizáciu: ak matica je diagonálne dominantná ak matica je symetrická kladne definitná ε=a s pivotizáciou ; ; ; ; LU-rozklad a a a 3 a a a 3 = 0 0 l 0 u u u 3 0 u u 3 a 3 a 3 a 33 l 3 l u A= 4 P= P pamätá riadky L= U= LU= 4 8 P= PA=LU Algoritmus na LU-rozklad: for k:= to n- do γ:=ind max(a, k, n) swap(a,b,k,n,γ) p γ :=p k ; p k :=γ for i=k+ to n do m ik =a ik /a kk for i=k+ to n do for j=k+ to n do a ij =a ij m ik a kj for i:= to n do

38 38 ROČNÍK s:=b pi for j:= to i- do s:=s a ij y j y i =s (Posledných 5 riadkov rieši Ly=Pb) XV Numerická kvadratúra Chceme aproximovať I= β α f(x)dx Obdĺžnikove pravidlo: I (β α)f( x) pre x a, b Lichobežníkove pravidlo: I (β α)(f(α)+f(β)) Simpsonovo pravidlo: I β α [f(α)+4f(γ)+f(β)] γ=α+β 6 Newton-Cotesova metóda: Ak počet interpolačných uzlov je n+, tak namiesto integrandu f(x) berieme Lagrangeov polynóm n-teho stupňa Nech x i :=α+ih, kde h= β α Potom Lagrangeov polynóm n-teho stupňa: n β α β α p n (x)= f(x)dx j i f(x i ) j i x x j x i x j dx=hλ ni :=h x x j x i x j β x x j f(x i ) dx α x i x j j i n 0 j i Potom (n + )-uzlová Newton-Cotesova aproximácia je: β α f(x)dx h f(x i )λ ni t j i j dt

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Numerická lineárna algebra. Zobrazenie

Numerická lineárna algebra. Zobrazenie Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif

Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Metódy numerickej matematiky I

Metódy numerickej matematiky I Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti: Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA

NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory

Διαβάστε περισσότερα

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,... Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,... Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Podmienenost problému a stabilita algoritmu

Podmienenost problému a stabilita algoritmu Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Požiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program

Požiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program z predmetu: Matematická analýza 1. Číselné postupnosti a ich základné vlastnosti. 2. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti funkcií. 3. Derivácia funkcie jednej reálnej premennej, jej vlastnosti

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19

Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy 1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc

MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

Matematická analýza pre fyzikov IV.

Matematická analýza pre fyzikov IV. 119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Analysis of Waves

Fourier Analysis of Waves Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry

Úvod do lineárnej algebry Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie 1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5.

Διαβάστε περισσότερα

Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke

Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2 Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický

Διαβάστε περισσότερα