Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
|
|
- Ἰούδας Μαλαξός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil, mida õpetatakse nii kitsas kui laias kursuses 0. klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja Vektor tasandil. Joone võrrand nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil. Laias kursuses peab õpilane lisaks eelnevale selgitama ka kahe vektori vahelist nurka, lahendama kolmnurka vektorite abil, leidma lõigu pikkust ja selle keskpunkti koordinaate, koostama sirge võrrandit ka punkti ja sihivektori kaudu ning teisendama kõiki sirge võrrandeid üldkujule. Õpilane leiab ka kahe sirge vahelise nurga, koostab hüperbooli, parabooli ja ringjoone võrrandeid ning leiab kahe joone lõikepunkte. Soovitan kõigil õpetajatel tutvuda kirjastuse Avita poolt välja antud raamatuga Gümnaasiumi kitsas matemaatika III. Vektor tasandil. Joone võrrand. Õpik on ladusas keeles, rohkete illustratsioonidega, järgib hästi ainekava ning sisaldab rohkesti elulisi ülesandeid. Ülesannete raskusaste on kitsale kursusele vastav. Laia kursuse jaoks sobivad ka senini käibel olnud õpikud, kuid ainekava tuleb tõesti tähelepanelikult jälgida. Enne vektori mõiste sissetoomist peaks kordama üle need teadmised, mis puudutavad koordinaatteljestikku ja punkti koordinaate. Selleks sobib kitsa kursuse õpiku alguses olev
2 lähtetest. Õpetaja otsustab klassi tasemest lähtudes, kas selle võib anda koduseks kordamiseks või on otstarbekam neid ülesandeid tunnis koos arutada. Edasi valib juba õpetaja, kas ta alustab lõigust ja selle keskpunktist või vektori mõistest. Lõigu keskpunkti koordinaatide leidmine tundub õpilastele alguses väga lihtne ja loogiline olevat, kuid pärast vektori koordinaatide tundmaõppimist leitakse keskpunkti asemel poolt vektorit. Sellisele põhimõttelisele veale tuleb tähelepanu juhtida ning minu arvates aitab, kui õpilane ise oma tehet suuliselt kommenteerib: Leian lõigu AB keskpunkti K koordinaadid, selleks., mitte Leian pool vektorist AB. Vektori mõiste sissetoomisel tuleb rõhutada, et vektorit iseloomustavad kolm omadust: siht, suund ja pikkus. Selgitada tuleb sõnade siht ja suund erinevust. Kindlasti ei saa jätta selgitamata, et matemaatikas räägime vabavektorist ja füüsikas seotud vektorist. Varasemates õpikutes olid tehted vektoritega geomeetriliselt ja analüütiliselt vaheldumisi. Panin tähele, et õpilastele osutuvad raskemaks geomeetrilised tehted. Soovitan kõigepealt tegelda vektorite liitmise, lahutamise ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 4 3 Joonis Rääkides vektoritest (joonis ), mis on samasuunalised või vastassuunalised, jõuame kollineaarsete vektoriteni ning vektori korrutamiseni arvuga. Vektorite liitmisel on kõige olulisemaks kolmnurga reegel (), mida mitu korda järjest rakendades jõuame hulknurga reeglini. Kasulik on näidata ka rööpküliku reeglit (). See töötab hästi, kui vektorid on juba
3 ühisesse punkti rakendatud. Oluline on ka fakt, et rööpküliku teine diagonaal on nende vektorite vaheks (3). Geomeetriliste tehete juures vektoritega on oluline, et igal korral märgataks, kuidas vektorid rakendatakse (järjestikku või ühisesse alguspunkti) ja milline vektor on tulemuseks. Kahe vektori vahe mõiste tuleb kas pähe õppida või näidata kohe alguses, et vektori lahutamise saab asendada vastandvektori liitmisega. Kunagi ammu õpetati vektorit põhikooli viimases klassis ja tolleaegses töövihikus olid väga head ülesanded. Enne vektori koordinaatide leidmist on aeg sisse tuua ühikvektorid ning näidata vektori avaldamist nende kaudu. Vektori koordinaatide leidmise reeglit on vaja osata selgitada (lugeda). Vektori pikkuse leidmine on ju Pythagorase teoreemi rakendamine. Analüütilises geomeetrias on tal väga oluline koht. Tehteid vektoritega koordinaatides on võimalik koordinaatteljestikus joonistega kinnitada. Oluline mõiste on punkti kohavektor. Liiga lihtne mõiste kipub meelest ära minema. Soovitan õpetajal teha õpilastele nende teemade käsitlemisel väiksemaid töid ja hoolikalt kontrollida tähistusi. Õpilaste tähelepanu tuleb ka vigadele juhtida. Näiteks pakun etteütlust. Kirjuta sümbolites: a) punkti A x-koordinaat on - ja y-koordinaat on ; b) vektori AB koordinaadid on ja -6; c) kui A ( ;3) ja B ( 3; ) d) vektori = ( ;3) a r A(3;4) on..., siis lõigu AB keskpunkti K koordinaadid on lõpp-punkti koordinaadid, kui vektor a r on rakendatud punkti Nüüd on tarvis juhtida tähelepanu, et punkti koodinaatide puhul ei kasutata võrdusmärki, vektori koordinaatide juures aga kasutatakse. Seega ka lõigu keskpunkti koordinaatide leidmisel ei kasutata võrdusmärki. Tublimatele õpilastele võib anda järgmise ülesande: Leia kolmnurga ABC raskuskeskme koordinaadid, kui A(4;5), B(;-5) ja C(-3;0). Traditsiooniline lahenduskäik (joonis ) näeks ette, et leitakse mediaan AK, seejärel nüüd rakendatakse saadud vektor punkti A ning saadakse punkti R koordinaadid. AK ; 3
4 Joonis Kui küsida, kas keegi tegi seda teisiti, siis leidub ehk õpilane, kes leidis kolmnurga tippude vastavate koordinaatide aritmeetilise keskmise ning saigi, et R(;0). Seega saab püstitada hüpoteesi, et ( x ; y ) ja ( x ; y 3 3) x + x + x3 y + y + ; 3 3 R, kui kolmnurga tippude koordinaadid on ( ) y3 x ; y,. Nüüd tuleb see vaid üldkujus ära näidata. Soovitan proovida. Järgmisel sügisel mäletatakse hästi, et terve tahvel sai tõestust täis. Kasutades joonist tahan veelkord juhtida tähelepanu kohavektori mõistele. Kui rakendada vektor = ( 3 ; 5) AR punkti A(4;5), siis punkti R koordinaatide saamiseks ei saa öelda, et liidan punkti A koordinaatidele vektori AR koordinaadid; õige oleks, et punkti A kohavektorile OA liidan vektori AR ja saan punkti R kohavektori OR = ( ;0), millest järeldan, et R(;0). Vektorite skalaarkorrutise r r a b = r r a b cosϕ definitsiooni võib küll pähe õppida ja rakendamise selgeks saada, kuid tema füüsikalisest tähendusest on ka tarvis aru saada.
5 Olgu meil tarvis vedada liivakott (joonis 3) punktist A punkti K. Kasutame vedamiseks jõudu F r, mis moodustab vedamise suunaga nurga ϕ. Füüsikast teame, et liikumise suunaline jõud teeb tööd (A), mis on võrdne selle jõu suuruse ja läbitud tee pikkuse korrutisega. Läbitud tee T r S r r F Joonis 3 pikkus on lõigu AK ehk vektori AK pikkus AK. Jõud F r lahutub kaheks komponendiks T r (vertikaalsuunaline, ei avalda kasulikku jõudu) ja S r (liikumissuunaline). Vektori S r pikkuse saame avaldada kolmnurgast ABL. Saame, et r AB S r r cos ϕ = r = r, millest S = F cosϕ ning jõu töö avaldub kujul F F r A= AK F cosϕ. Jääb loota, et uutes õpikutes on rohkem füüsikalise sisuga ülesandeid. Matemaatikas kasutame me skalaarkorrutist vektorite vahelise nurga leidmiseks. Laias kursuses lahendame kolmnurka vektoreid ja skalaarkorrutist kasutades. Sirgete teema ei ole gümnaasiumis uudiseks, sest lineaarfunktsiooniga tegeldi juba põhikoolis. Võibki alustada sirgete joonestamisest etteantud valemi järgi. Näiteks y = x 3, y = 0,5x ja x + 4y= 8 asuvad joonisel 4. Joonestamisega koos saab meelde tuletada + lineaarfunktsiooni liikmete nimed ja kordajate tähendused.
6 Joonis 4 Järgmisena laseksin õpilastel joonestada sirgeid erinevate andmete põhjal. Näiteks: a) antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(;-4); b) antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus ; c) antud on punkt D(;-3) ja sirge tõusunurk o 60 ; d) antud on punkt E(-4;-) ja sihivektor = ( 3;) s r ; e) antud on punkt F(5;) ja on teada, et sirge on paralleelne y-teljega; f) antud on punkt G(0;-4) ja on teada, et sirge on paralleelne x-teljega; g) sirge läbib punkti H(5;-4) ja on paralleelne sirgega y = x 3; h) sirge poolitab koordinaattasandi II ja IV veerandi; i) sirge poolitab koordinaattasandi I ja III veerandi. Saame järgmise joonise (vt joonis 5):
7 Joonis 5 Märkame, et suudame sirgeid joonistada erinevate andmete järgi. Kas me suudame ka sirgete järgi võrrandid välja mõelda? Vaatleme saadud jooniseid ja püüame leida nende tõusud ning algordinaadid. Mõnel juhul see õnnestub hästi, mõnel juhul peame vastuse andma väga ligikaudselt. Järelikult on joonisest vähe ja tuleb teadmisi laiendada. Asudes tuletama sirgete võrrandeid, peab meeles pidama, et kitsas kursuses koostatakse võrrandit kahe punkti, punkti ja tõusu ning punkti ja algordinaadi abil; lisaks ka telgedega paralleelsete sirgete võrrandid. Laias matemaatikas koostatakse sirge võrrandit ka punkti ja sihivektori abil ning teisendatakse sirgeid üldkujule. Eks iga õpetaja otsustab ise, kas ta tuletab need võrrandid eraldi või võtab kõik koos korraga ette. Kitsas kursuses võiks seda teha ükshaaval. Laias kursuses võib kasutada ka sirge tõusu väljakirjutamist mitmel erineval viisil.
8 Joonis 6 Olen oma praktikas seda kasutanud. Joonistan ühe sirge (joonis 6) ja kannan sinna kõik sirgete võrrandite koostamiseks vajalikud andmed ( punkti, tõusunurk, sihivektor, sirge suvaline punkt, lõikepunkt y-teljega). Märkame koos õpilastega, et sirge tõusu saab esitada mitmel moel. Sirge tõusuks on tõusunurga tangens, mida saab avaldada kõigist joonisele tekkinud kolmnurkadest ja ka sihivektori koordinaatide abil. Saame, et y y y y k = tanα = = = x x x x (.) (.) (3.) (4.) (5.) y x s s Kui neid nüüd -kaupa kokku panna, saame kõikvõimalikud sirgete võrrandid. Näiteks annavad 3. ja 4. osa sirge võrrandi kahe punkti abil y y y y x x =. Kui sellesse x x võrrandisse asendada punktid x- ja y-teljelt, saame sirge võrrandi telglõikudes. Kui aga nimetajas olevaid punktide koordinaatide vahesid vaadelda vektorite koordinaatidena, siis
9 ongi meil sirge võrrand punkti ja sihivektori kaudu y y x x =. Võrduse. ja 3. osa y s x s annavad sirge võrrandi punkti ja tõusu kaudu y y = k( x ) x, millest omakorda saab punkti A punktiga C asendades sirge võrrandi tõusu ja algorinaadi järgi y = kx+ b. Siit järeldus: väga hästi peab tundma sirge võrrandeid kahe punkti ja punkti ning tõusu kaudu, kõik ülejäänud on vaid tõlgendamise küsimus. Oma riigieksamite hindaja kogemustele toetudes pean tunnistama, et kõige keerulisemaks osutub y-teljega paralleelse sirge võrrandi kirjutamine, sest kõik funktsioonid algavad ju y =., nüüd järsku näiteks x = 3. Loomulikult võib sirgete võrrandid tuletada ka vektorite kollineaarsust kasutades. Sirgete vastastikuste asendite määramist on õpitud põhikoolis (lineaarvõrrandite süsteemi lahendite arvu leidmine), nüüd saab ka teisi võimalusi pakkuda. Nurga leidmiseks kahe sirge vahel kasutatakse tavaliselt valemit tanϕ = k k + k k. Mida teha siis, kui valem meelest läks? Lihtne on sirgetevahelist nurka leida tõusunurkade vahena. Olgu ühe sirge tõus (joonis 7) k ja seega tõusunurk α = arctan k ning teise sirge tõus k ja tõusunurk β = arctan k, siis nurk sirgete vahel on ϕ = α β. Lihtne ja töötab alati. Sirgetevahelise nurga leidmiseks võib kasutada ka nende sihivektoreid või normaalvektoreid koos skalaarkorrutisega. Oluline on õpilastele näidata, kuidas sirge võrrandist sihivektorite koordinaate lugeda. Joonis 7
10 Normaalvektori mõisteni jõutakse laia matemaatika. kursuses Geomeetria I. Tasandi võrrandi koostamisel lähtutakse normaalvektori (tasandiga risti oleva vektori) ja tasandil asetseva vektori ristseisust (skalaarkorrutis on võrdne nulliga). Nüüd võib näidata, et ka tasandil paikneva sirge võrrandit võib koostada sirgega risti oleva vektori (normaalvektori) ja sirgel asuva vektori ristseisust lähtudes. Miks see hea on? Kui sirge on antud võrrandiga + 3y= 3 n r = ; 3, mida saaks kasutada x, siis saame võrrandist lugeda normaalvektori ( ) sirgete vahelise nurga leidmisel sihivektorite asemel. Normaalvektori kasutamist võibki näidata kas tasandi võrrandi õpetamise juures või eksamieelse kordamise ajal. Normaalvektorite kasutamiseni jõutakse tavaliselt alles ruumigeomeetrias, sest ainekavasse jõuab normaalvektori mõiste koos tasandi võrrandiga. Seega sobib normaalvektor sirgetevahelise nurga leidmiseks eksamieelsel kordamisel. Sirgete võrrandite abil saab kirjeldada ühtlast liikumist, temperatuuri muutusi, ürituse korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata õpikuid ja jälgi meedias toodud graafikuid). Saame õpilastele näidata, et õpitut on võimalik rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada joonestada graafikuid nii paberil kui arvuti abil, meenutada kõiki ruutfunktsiooni graafikuga seotud mõisteid (nullkohad, nende arv, avanemine, telg, haripunkt, lõikepunktid telgedega). Kitsa kursuse õppijad sellega piirduvadki, st parabooli ja hüperbooli võrrandeid nad koostama ei pea. Laias kursuses võib õpetaja graafiku ette anda ja lasta joone võrrandi ära arvata. Näiteks allpool toodud 0,5 9 hüperboolide (joonis 8 ja 9) korral saame, et y= ja y=. Vajalikud andmed tuleb x x õpilasel lugeda jooniselt, arutledes enne, milliseid fakte üldse vaja läheb.
11 Joonis 8 Joonis 9
12 Analoogselt saab käituda ka parabooliga: kõigepealt skitseerime graafiku valemi järgi, siis analüüsime, milliseid andmeid on vaja, et valemit joonise järgi tuletada. Ühiselt arutledes jõutakse järeldusele, et valemis y = ax + bx+ c kordajate a, b ja c määramiseks vajame kolme punkti koordinaate. Võtame (joonis 0) punktid A(-;4), B(;0) ja C(;4) ning asetame Joonis 0 saadud koordinaadid võrrandisse. Saame 3 muutujaga kolmest võrrandist koosneva süsteemi a b+ c= 4 kordajate a, b ja c suhtes: a+ b+ c= 0. Lahendades saame: a =, b = - ja c = 0 ehk 4a+ b+ c= 4 y= x x. Kas saame seda teha ka teisiti? Õpilased pakuvad kindlasti kohe nullkohti. Kasutades joonist, saame, et x = ja x. Teades, et y = ax + bx+ c= a( x x )( x x ), saame = a( x+)( x ) = y ning tundmatuks jääb vaid kordaja a. Selle leidmiseks valime jooniselt veel ühe punkti, näiteks (0;). Asendame selle võrrandisse ( 0+ )( 0 ) = a ja saame, et a = ning valemi paraboolile ( x+ )( x ) = x + + y = x.
13 Joonis Kindlasti on tarvis lahendada tekstist arusaamise oskusele suunatud ülesandeid. Näiteks: leidke ruutfunktsiooni y = ax + bx+ c kordajad, kui x = 6 on ruutfunktsiooni nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. Kas õpilased saavad aru: et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8); seega parabool avaneb ülespoole; kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal (sest parabooli telg on x = 4). Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. Iga võtte omandamiseks tuleb lahendada teatud arv ülesandeid, kuid neid tulebki erinevalt esitada sõnastada. Ringjoonega on tegeldud põhikoolis planimeetria ülesandeid lahendades. Tuletage meelde ringjoone definitsioon ja näidake ringjoone võrrandi saamist koordinaatteljestikus. Valem võib õpilastel meelest minna, kuid tekkinud pilt peaks jääma silmade ette. Kindlasti tasub toonitada, et me kasutame jälle Pythagorase teoreemi. Kitsas kursuses piirdutakse põhivalemi rakendamisega, st koostatakse ringjoone võrrand etteantud keskpunkti ja raadiuse järgi. Laias kursuses saab eelnevalt lasta leida ka võrrandi kirjutamiseks vajalikke lähteandmeid. Mulle
14 endale meeldivad kombineeritud üleanded, kus õpilane peab kasutama erinevaid teadmisi loovalt. Näiteks: kolmnurk ABC on antud oma tippudega A(-;8), B(;-) ja C(3;3) (joonis ). * Leia külgede AC ja BC pikkused ning kolmnurga sisenurk tipu C juures. * Arvuta kolmnurga pindala. * Leia vektori AD koordinaadid ja pikkus, kui D on külje BC keskpunkt. * Leia sirge AD võrrand. Millist nime kannab lõik AD kolmnurgas ABC? * Leia külje AB keskristsirge võrrand ja tipust B tõmmatud kolmnurga kõrguse võrrand. * Leia kolmnurga tippe läbiva parabooli võrrand. * Leia kolmnurga ABC ümberringjoone võrrand. Joonis Selles ülesandes on seotud kogu analüütilise geomeetria kursus. Tuleb märgata, et kogu lahendust toetab suurel määral joonis. Õpilastel on võimalus joonist kogu aeg täiendada ja visuaalselt hinnata oma arvutuste abil saadud tulemusi. Pööran tähelepanu kolmnurga ümberringjoone võrrandi koostamise erinevatele võimalustele. Senistel riigieksamitel on õpilased kasutanud selleks kolme moodust:. Otsitakse ringjoone keskpunkti koordinaate ja raadiust. Selleks asendatakse ringjoone võrrandisse kolmnurga tippude koordinaadid ja saadakse kolmest muutujast koosnev
15 ( ) ( ) a + 8 b = r süsteem ( a) + ( b) = r ( 3 a) + ( 3 b) = r. Sellise süsteemi lahendamise ideid peab õpetaja kindlasti näitama, sest õpilased ei pruugi ise ratsionaalse võtteni jõuda.. Kuna ühes alaülesandes on juba AB keskristsirge võrrand ( 3 y x= ) leitud ja teades, et kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub keskristsirgete lõikepunktis, piisab, kui leiame teise keskristsirge võrrandi. Kasutame selleks külge AC. Selle külje keskpunkti E koordinaadid on (0,5; 5,5) ja tõus k = (sest AC tõus on -). Saame süsteemi millest ringjoone keskpunkti koordinaadid on O(-;3) ja raadius 5 (näiteks OA pikkus). 3y x=, y x= 5 3. Ringjoone võrrandi võib anda ka kujul x + y + ex+ fy+ g = 0. Kui siia asendada nüüd kolmnurga tippude koordinaadid, saame süsteemi: e+ 8 f + g = e f + g = 0, millest e+ 3 f + g = 0 e = 4, f = -6 ja g = -. Saame x + y + 4x 6y = 0. Soovi korral võime saadud tulemuse teisendada kujule ( + ) + ( y 3) = 5 x. Samuti võib lasta leida saadud ringjoone pikkust, ringi pindala ja ringjoonele puutujate võrrandeid. Antud kursust saab ainesiseselt lõimida Funktsioonid I kursusega, planimeetria kordamisega ning laia matemaatika. kursusega. Ülesannete lahendamisega saab tähelepanu juhtida läbivatele teemadele Elukestev õpe ja karjääriplaneerimine (hotelli pidamine, liikluse korraldamine jne), Keskkond ja jätkusuutlik areng (ressursside otstarbekas kasutamine), Teabekeskkond (leia meedias ilmunud graafik ja koosta ise ülesanne) ja Tervis ja ohutus (sõidukite liikumise kiirust ja haiguste levikut puudutavate graafikute uurimine). Samuti saab ülesannete lahendamise käigus arendada ettevõtlikkus-, enesemääratlus-ja õpipädevust ning sotsiaalset pädevust. Ülesannete keerukust saab valida vastavalt klassi tasemele, samas saab tublimatele anda keerukamaid ja mitterutiinseid ülesandeid ning lasta neil ka ise ülesandeid koostada. Kolleegide poolt valmistatud materjale leiab Koolielu portaalist ning matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt:
16 Laia matemaatika. kursuse Geomeetria I lõppedes peab õpilane oskama kirjeldada punkti koordinaate ruumis, selgitama ruumivektori mõistet, tegema lineaartehteid vektoritega, teadma vektorite kollineaarsuse ja komplanaarsuse tunnuseid ning vektorite skalaarkorrutist, arvutama kahe punkti vahelist kaugust, vektori pikkust ning kahe vektori vahelist nurka. Samuti tuletab õpilane sirge ja tasandi võrrandid ning kirjeldab sirge ja tasandi vastastikuseid asendeid, koostab sirge ja tasandi võrrandeid, määrab võrranditega antud kahe sirge ja tasandi, kahe tasandi vastastikuse asendi ning arvutab nurga nende vahel. Õpilane kasutab neid teadmisi geomeetrilise ja füüsikalise sisuga ülesannete lahendamisel. Enne ruumigeomeetria juurde asumist tuleb kindlasti tuletada meelde 0. klassi viimases kursuses õpitu ning natuke korrata ka tasandigeomeetriat (kolmnurk, ringjoon, puutuja jne). Kohe alguses tuleb aga märkida, et selle teema käsitlemisel on suureks abiks Jane Albre koostatud dünaamilised slaidid, mida on kõigil võimalik kasutada. Leiate need matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt, lisaks tasub vaadata ka Koolielus olevaid materjale. Kursus algab punkti asukoha määramisega ruumis ning kahe punkti vahelise kauguse leidmisega. Siin oleks hea demonstreerida ka olukorda, kus punktid jäävad pildil üksteise taha ja tundub, nagu kaugust ei olekski. See on olukord, millega saame näidata, et joonis meid alati ei aita ja seega on tarvis appi võtta valemid. Olulisel kohal on stereomeetria asendilaused: nurk kahe sirge, sirge ja tasandi ning kahe tasandi vahel, sirgete ja tasandite ristseis ning paralleelsus, kolme ristsirge teoreem, hulknurga projektsiooni pindala. Neid mõisteid omandamata pole võimalik hiljem klassikalise stereomeetria ülesandeid lahendada. Tuleb tuua hulgaliselt näiteid klassiruumist, mängida pliiatsite (kui sirge) ja raamatutega (kui tasand). Võib kasutada ruumiliste kehade mudeleid, kus servad on sirgeteks ja tahud tasanditeks. Suurt tähelepanu tuleb pöörata kolme ristsirge teoreemile ja kahetahulise nurga mõistele, mis paljudele lastele jääb arusaamatuks. Nende mõistete tundmiseta pole võimalik lahendada püramiidi ülesandeid järgmises kursuses. Hulknurga (kolmnurga) projektsiooni pindala arvutamise valemi tuletamisel aitab kaasa J. Albre vastav slaid ja kindlasti ka mudelite (kui neid koolis leidub) kasutamine. Tehted vektoritega ruumis omandatakse õpilaste poolt hästi vaid sel juhul, kui ta sai need selgeks 0. klassis. Tuletades seal õpitu kiiresti meelde, saab väga paljus tugineda analoogiale. Õpilased jõuavad kiiresti järeldusele, et lisandub ainult kolmas koordinaat ning kõik tehted vektoritega koordinaatides toimuvad analoogselt tasandiga (vektorite liitmine, lahutamine, korrutamine arvuga, pikkuse ja skalaarkorrutise leidmine). Küll on aga tunduvalt keerulisem teha vektoritega tehteid geomeetriliselt. Eriti raske on see õpilastel, kellel puudub
17 ruumitaju. Vektorite kollineaarsusele ja ristseisule lisandub nende komplanaarsuse mõiste. Õppekavas pole segakorrutise mõistet ning seega ei saa me mittekomplanaarsust siduda kolme vektoriga määratud rööptahuka ruumalaga. Küll võime arutada, kas nelja punktiga on määratud püramiid või mitte. Näiteks: kas punktid A(-;0;5), B(4;-4;3), C(3;4;7) ja D(;-5;0) võivad olla kolmnurkse püramiidi tippudeks? Nüüd peab õpilane mõtlema, milline on püramiid. Peab aru saama, et sel juhul on 3 punktiga määratud püramiidi põhi ja neljas on püramiidi tipuks. Järelikult ei saa nende nelja punkti abil moodustatud vektorid olla komplanaarsed. Seega tuleb tal kontrollida, kas vektorid on komplanaarsed või mitte. Antud näite korral osutuvad vektorid komplanaarseteks ning järelikult ei saa need punktid esitada püramiidi. Oluline on ka näidata, et iga vektorit ruumis saab avaldada kolme mistahes mittekomplanaarse vektori abil. Asudes koostama sirgete võrrandeid ruumis, tasub meelde tuletada eelnev tasandil. Kui seejärel küsida, milliste andmete järgi saaksime kirjeldada sirget ruumis, siis kuulete ikka, et tõusu ja punkti abil, jne. Nüüd saabki küsida, kuidas nad kirjeldaksid ühe sirge tõusu ruumis ja ei osata ära seletada. Kahjuks saamegi lähtuda vaid kahe vektori kollineaaarsusest. Oluline, et õpilased märkaksid sirge määravad punkt ja sihivektor, mida me alati suudame sirge võrrandist lugeda. Nende abil saame otsustada sirgete vastastikuse asendi üle ja leida nendevahelise nurga. Võrreldes tasandiga lisandub ruumis uus mõiste kiivsed sirged. Õpilane peab suutma leida ka sirgete lõikepunkti. Tasandi võrrandi koostamise aluseks on kaks võimalust: ) normaalvektori ristseis tasandil asuva vektoriga (normaalvektori ja tasandil asuva vektori skalaarkorrutis on null); ) kolme vektori komplanaarsus (kolme vektori koordinaatidest moodustatud determinant on null). Kahe tasandi vastastikuse asendi määramiseks vajame nende normaalvektoreid, samuti saame nende abil (kasutades skalaarkorrutist) leida tasanditevahelise nurga. Sirge ja tasandi vastastikuse asendi määrame sirge punkti ja sihivektori ning tasandi normaalvektori abil. Õpilane leiab ka sirge ja tasandi vahelise nurga (sihivektori ja normaalvektori skalaarkorrutist kasutades) ning nende lõikepunkti (võrrandite süsteemi lahendades). Õpetaja võib julgelt toetuda käibel olevatele õpikutele (sobivad ka varem ilmunud, jälgige vaid raskusastet) ning kasutada kolleegide poolt valmistatud õppematerjale, mida leiab nii Koolielu kui matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt.
18 Kasutatud kirjandus:. Tõnso, T., Veelmaa, A. (998). Matemaatika X klassile. Tallinn: Mathema.. Tõnso, T., Veelmaa, A. (996). Matemaatika XII klassile. Tallinn: Mathema. 3. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (00). Matemaatika 0. klassile. Tallinn: Koolibri. 4. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (003). Matemaatika. klassile. Tallinn: Koolibri. 5. Afanasjeva, H., Afanasjev, J. (0).Gümnaasiumi kitsas matemaatika III. Vektor tasandil. Joone võrrand. Tallinn: Avita. 6. Koolielu: 7. Matemaatikaõpetajate virtuaalne võrgustik: 8. Gümnaasiumi õppekava:
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραKitsas matemaatika-3 tundi nädalas
Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραIKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel
IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραVektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2
Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee
Διαβάστε περισσότεραAINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED
Matemaatika Gümnaasium 10.-12. klass Kursusi: 14 (lisaks kordamine) Tunde kursuses: 35 Rakendumine: 1. september 2016 Koostamise alus: Gümnaasiumi riiklik õppekava, lisa 3; Koeru Keskkooli õppekava AINE
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότερα1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused
Vabariigi Valitsuse 06.01.2011. a määruse nr 2 Gümnaasiumi riiklik õppekava lisa 3 1. Ainevaldkond Matemaatika 1.1. Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava
Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika
Ainevaldkond Matemaatika 1 Matemaatikapädevus Matemaatika õpetamise eesmärk gümnaasiumis on matemaatikapädevuse kujundamine, see tähendab suutlikkust tunda matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemsust;
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραTrigonomeetria gümnaasiumis
Trignmeetria gümnaasiumis Hannes Jukk, Tartu Ülikl Trignmeetria võib meile tähendada kahte pisut erinevat matemaatikavaldknda. Ajalliselt n see tähendanud esmalt klmnurkade mõõtmise ja lahendamisega senduvat
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότεραREAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM
Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραKui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused klass
217/218. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused 11. 12. klass 1. a) Vee temperatuur ei muutu. (1) b) A gaasiline, B tahke, C vedel Kõik õiged (2), üks õige (1) c) ja d) Joone õige asukoht
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus
Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραNÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused
Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad 1. ülesanne Füüsika lõppvoor. 30. märts 2003. a. Keskkooli ülesannete lahendused Läheme kiirusega v/2 liikuvasse süsteemi. Seal on olukord sümmeetriline,
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότερα2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραStaatika ja kinemaatika
Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.
Διαβάστε περισσότεραÕppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele
- 1 - Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele Õppeprotsessi kirjelduses on klasside kaupa lahti kirjutatud õppesisu ja taotletavad õpitulemused. Märgitud on ka muutused võrreldes 2002.a. Lisatud on soovitusi
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότερα5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi
Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραPinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus. Kinemaatika
Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida
Διαβάστε περισσότερα