Κεφάλαιο 3. Ολοκλήρωµα Fourier. ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια:

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Ολοκλήρωµα Fourier 3 Εισαγωγή ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια: g Τότε η g δε µπορεί ν αναπτυχθεί σε σειρά Fourier γιατί δεν είναι περιοδική συνάρτηση Απ την άλλη µεριά η g προσεγγίζεται σηµειακά και µε την νόρµα από την ακολουθία Εστω { } συναρτήσεων gχ[ /, /] συνάρτηση f έτσι ώστε Τότε (φορµαλιστικά) Ας ορίσουµε τώρα τη περιοδική, [ /, /] f x = g x x ix / / () f x f e π = = g t e dt e / = πit πix πit πix g t e dt e, gχ[ /, /) () = και για it g () π γ πixγ g t e dt e d γ, ερµηνεύoντας τη σειρά ως άθροισµα Riema ως προς τη µεταβλητή γ Το εσωτερικό ολοκλήρωµα είναι µια συνάρτηση g που καλείται µετασχηµατισµός Fourier της g και παίζει ρόλο ανάλογο µε την ακολουθία των συντελεστών Fourier, αλλά για µη περιοδικές συναρτήσεις Το εξωτερικό ολοκλήρωµα καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της g Και τα δυο ολοκληρώµατα µαζί είναι το ανάλογο της σειράς Fourier για µη περιοδικές συναρτήσεις

2 Υπ αυτή την έννοια αναµένουµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier στην πραγµατική ευθεία έχει παρόµοιες ιδιότητες µ αυτές των σειρών Fourier και αυτό σε γενικές γραµµές είναι αληθές Οι διαφοροποιήσεις οφείλονται κυρίως στο γεγονός ότι οι χώροι ( ) δεν περιέχονται ο ένας µέσα στον άλλο όπως συµβαίνει µε τους T Κλείνοντας αναφέρουµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier είναι ένα βασικό εργαλείο της Αρµονικής Ανάλυσης Με τη χρήση του µελετούµε τον τελεστή alace, επιλύουµε διαφορικές εξισώσεις, προβλήµατα ανάλυσης χρόνου/συχνότητας κλπ

3 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Ορισµός 3 Εστω είναι ο χώρος των ebesgue µετρήσιµων συναρτήσεων και f : είναι µετρήσιµη και ολοκληρώσιµη f : = Τότε ο γραµµικός τελεστής συνάρτηση, δηλαδή πixγ S: : Sf γ f x e dx = είναι καλά ορισµένος Η εικόνα Sf καλείται µετασχηµατισµός Fourier της f Για απλότητα χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό f ˆ : = Sf Στο εξής (και όταν δε δηµιουργείται παρανόηση) θα γράφουµε : = ( ) για τους συνήθεις χώρους των ολοκληρώσιµων C : = C, =,,, για τους χώρους των συναρτήσεων, παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε συνεχή -παράγωγο (για C : = C είναι ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων) και = : = µε τις συνήθεις νόρµες Υπενθυµίζουµε ότι, < r< q q r q Κατ αρχήν αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier που αποδεικνύονται εύκολα: Πρόταση 3 F Για κάθε f, g ισχύει af bg = afˆ bgˆ, a, b (γραµµικότητα) F Αν f f ( τ ) τ =, τότε F3 Για ω ισχύει: ˆ i f f e πγτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο)

4 πω i i e f ( γ ) = fˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες) F4 Για a { } F5 f f ισχύει: f ˆ γ = a a (διαστολή) f ( a ) ( γ ) γ = ˆ γ, γ F6 Εστω f απόλυτα συνεχής και x Αν F( x) ( γ ) = f t dt και F, τότε η F είναι ˆ ˆ f F ( γ) =, γ {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο) πγ i και ( ) F7 Αν f, f,, f f f f x, τότε: ( ),,,, ( ) f ( γ ) ( πγ i ) fˆ ( γ) F8 Αν f ( ) και xf ( x) ( i) xf f = (παράγωγοι στο χρόνο) τότε η f είναι παραγωγίσιµη και: π γ = γ (παράγωγος στις συχνότητες) F9 Εστω f g x = f x t g t dt είναι η συνέλιξη δυο µετρήσιµων συναρτήσεων f, g Τότε f g γ = f( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο) Είναι εύκολο να δούµε ότι f f

5 Λήµµα 3 Αν f, g, τότε = f x g x dx f x g x dx Aπόδειξη Αµεση, χρησιµοποιώντας τον ορισµό 3 Ας υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier συναρτήσεων που θα χρησιµοποιούµε συχνά παρακάτω (Α) Αν f χ[ /, /] ( A A A ) ηµ ( πaγ) f ( γ ) = Επίσης, αν = >, τότε µε άµεσο υπολογισµό παίρνουµε ηµ π Ax f x = A>, τότε χρησιµοποιώντας τη θεωρία ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε πγ π x f γ = χ γ Στο εξής γράφουµε [ ] A/, A/ ηµ π ( Ax) π x χ > ( A A/, A/ ) (Β) Αν f = [ ] ( A> ), τότε f ( γ ) ( πγ ) x AA, A χ ηµ πaγ =, διότι A f = [ A/, A/ ] [ A/, A/] A χ χ και το αποτέλεσµα προκύπτει από το ηµ ( π Ax) f x =, A π x θεώρηµα συνέλιξης F9 και την (Α) Επίσης αν γ A τότε f ( γ) = χ[ ]( γ) ( A> ) AA, Ετσι ( Ax) ( π x) ηµ π A γ χ > A, [ ]( γ AA ) ( A ) ηµ ( πx) Υπενθυµίζουµε ότι αν F( x) =, τότε η παραπάνω οικογένεια ( π x) F > µε συναρτήσεων ( A ) A - 8 -

6 F A x = A F Ax = ( Ax) ( π x) ηµ π A είναι η προσεγγιστική µονάδα του Feyer (για A ) (Γ) Αν f ( x) = e x, τότε µε απευθείας υπολογισµό παίρνουµε f ( γ ) Px = και αντιστρόφως Υπενθυµίζουµε ότι αν ( πγ ) =, τότε η οικογένεια συναρτήσεων ( π x) x λ Pλ ( x) = P = ( x) λ λ λ π P λ λ> µε είναι η προσεγγιστική µονάδα του Poisso (για λ ) Ετσι λ λ ( πx) λγ ( λ ) e > ( ) Αν f ( x) = e π x, τότε ( γ ) ( γ) f = e πγ και αντιστρόφως Πράγµατι, ( γ ) df π x π i γ x π f e e dx i xe x π e i γ = = π x dx dγ x i x x i x π π γ π π γ π x ( π i γ x ) = i e e dx= ie e i e e dx x i x e π π γ e dx f = πγ = πγ γ Kαταλήγουµε στην επίλυση µιας οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης df ( γ ) πγ f ( γ ) =, dγ η λύση της οποίας είναι η x - 8 -

7 Αλλά: π γ γ πγ f = f e = f e d γ ( ) ( ) πx π ( x y ) ( ) π r f = e dx = e dxdy = π lim e rdrdθ =, r και εφόσον f ( ) > τελικά παίρνουµε f f ( γ ) = e πγ r = και Αν Gx e π x G λ λ> µε =, τότε η οικογένεια συναρτήσεων x = = λ λ λ x / G ( x) G e π λ λ είναι η προσεγγιστική µονάδα του Gauss (για λ ) Ετσι Λήµµα 3 e λ πx / λ πλ γ ( λ ) e > Εστω f και f είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της f Τότε: (α) Η f είναι οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση στο (β) (αντιστροφής): Aν f, τότε πγ γ i x f x = f e dγ σ π στο (γ) (Μοναδικότητας): Aν f ( γ) (δ) (Riema-ebesgue): f ˆ ( γ ) Απόδειξη = γ, τότε f = σπ στο lim = γ - 8 -

8 f f h f x e dx = f x hx dx (α) πihx γ ( γ ) ηµ ( π ) λόγω κυριαρχούµενης σύγκλισης Η συνέχεια είναι οµοιόµορφη διότι το φράγµα f ( x) ηµ ( π hx) dx είναι ανεξάρτητο του γ (β) Θεωρούµε την προσεγγιστική µονάδα Poisso ( P ) µε λ λ> h P λ ( γ ) λ = λ ( πγ ) λγ Τότε, απ το Λήµµα 3 και το γεγονός e P ( γ ) παραπάνω) παίρνουµε (βλέπε (Γ) λγ πγ i x f ( γ) e e dγ = f ( y) P ( y x) dy= f P ( x) Για λ, χρησιµοποιούµε το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης (όσον αφορά το αριστερό µέλος της παραπάνω lim f P x = f x σπ (όσον αφορά ισότητας) και το γεγονός ότι λ το δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας) και παίρνουµε το ζητούµενο (γ) Αµεση, απ το θεώρηµα αντιστροφής (β) (δ) Eπειδή e πi = έχουµε άρα συνεπώς: ( γ ) λ λ πγ i x γ πγ i x f = f x e dx= f x e dx γ, πγ i x f ( γ ) = f ( x) f x e dx γ, f ( γ ) f f γ λ λ () Είναι όµως γνωστό ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων µε για κάθε < Αρα φραγµένο φορέα είναι πυκνό στον

9 για κάθε ε > υπάρχει συνεχής συνάρτηση g µε το φορέα αυτής να AA,, A> έτσι ώστε είναι ένα συµπαγές διάστηµα [ ] f g < ε Εφόσον δε η g είναι και οµοιόµορφα συνεχής, για την παραπάνω επιλογή του ε παίρνουµε δ ε /( 4 g ) < = έτσι ώστε x, y [ A, A] µε x y δ g( x) g( y) ε /(4 A) < < Για την παραπάνω επιλογή της g το δεξιό µέλος της ανισότητας () είναι φραγµένο από: f f f g g g g f γ γ γ γ f g g g g f γ Για < δ γ > έχουµε (λόγω οµοιόµορφης συνέχειας της g ) γ δ g g g( x) g x dx γ = γ = ( ) A δ A A γ ε < δ < εε = ε A A A δ g ( x) g x dx g max {, } Ετσι η () γίνεται ε > δ > : γ : γ > f ( γ) f f 3ε δ γ και έχουµε το ζητούµενο Εστω

10 { x } f C f ( x) C : = C = : lim = είναι ο χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων στο που τείνουν στο µηδέν στο άπειρο Τότε από το Λήµµα 3 διαπιστώνουµε ότι η απεικόνιση S (βλ ορισµό 3) είναι - και η εικόνα της είναι µέσα στο χώρο C, δηλαδή S : C () Οπως όµως και στις σειρές Fourier η S δεν είναι επί του χώρου C ηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις στο C που δεν είναι µετασχηµατισµός Fourier καµιάς ολοκληρώσιµης συνάρτησης Το πρόβληµα του χαρακτηρισµού της εικόνας του µετασχηµατισµού Fourier είναι εξαιρετικά δύσκολο και ουσιαστικά άλυτο Τέλος, από τις ιδιότητες F6 και Φ7 σε συνδυασµό µε το Λήµµα 3 (γ) (Riema-ebesgue) έχουµε: Αν f, τότε ˆ ( ) f γ = Αν f ( ), τότε f ( γ ) ( / γ ) = (Εδώ f ( g ) = αν f / g, γ ) Όπως και στις σειρές Fourier, η «λειότητα» της f αντανακλάται στην τάξη µε την οποία ο µετασχηµατισµός Fourier της f φθίνει στο άπειρο

11 33 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον ( ) Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε τo µετασχηµατισµό Fourier S Με άλλα λόγια, από τη γνώση µιας συνάρτησης f ορίσαµε µια νέα συνάρτηση ( γ) ˆ πγ i x f = f x e dx, γ Για πιο λόγο όµως να το κάνουµε αυτό; Οπως ήδη είπαµε στην παράγραφο 3 ο µετασχηµατισµός Fourier γενικεύει την έννοια του συντελεστή Fourier Υπ αυτή την έννοια ο µετασχηµατισµός Fourier αποτελεί µια ανάλυση της f σ ένα νέο πεδίο, το πεδίο των συχνοτήτων της Για παράδειγµα, αν f ( x ) = για κάθε x T, τότε oι τιµές f ( ),, είναι ίσες µε τους συντελεστές Fourier της f θεωρώντας την f ως -περιοδική συνάρτηση Φυσικά είναι σηµαντικό να βρούµε συνθήκες ώστε να µπορούµε µε µοναδικό και εύχρηστο τρόπο (και µε κάποια έννοια) να ανακατασκευάσουµε την f από το µετασχηµατισµό Fourier της Η κατάσταση είναι πιο δύσκολη σε σχέση µε τις σειρές Fourier διότι η ανάλυση της f πραγµατοποιείται µέσω υπεραριθµήσιµου i πλήθους «βασικών» συναρτήσεων της µορφής { e πγ } οι συναρτήσεις οι χώροι i x e πγ, γ, δεν ανήκουν σε κανέναν χώρο δεν είναι ο ένας µέσα στον άλλο, και ο µετασχηµατισµός Fourier δεν είναι (εν γένει) ολοκληρώσιµη συνάρτηση Ας θεωρήσουµε λοιπόν f για να εκµεταλλευθούµε τα εργαλεία των χώρων Hilbert Υπενθυµίζουµε ότι το είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του f, g = f x g x dx

12 Εστω πixγ S: C : Sf γ f x e dx = είναι ο περιορισµός του τελεστή Fourier S (βλ ορισµό 3 και ()) πάνω στον Αρχικά θα δείξουµε ότι Εστω Sf ( ) = ( ), = ( ) g x f x f f x y f y dy Η g είναι φραγµένη (Cauchy-Swchartz), oλοκληρώσιµη (συνέλιξη ολοκληρώσιµων συναρτήσεων) και οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση στο, το τελευταίο διότι ( ) ( ) ( ) g x g x h f x y f x h y f y dy (το γεγονός f f h f, h f f h, h οµοιόµορφα φαίνεται όπως στην απόδειξη του Λήµµατος 3 (δ)) Τότε Από το Λήµµα 3 ισχύει g ( y) = f ( y) g ( y) K( y) dy= g( γ) K ( γ) dγ, K (3) Θεωρούµε την προσεγγιστική µονάδα Poisso { P λ } λ>, οπότε η (3) γράφεται: ή ισοδύναµα λ y g( y) e dy= g( γ ) P ( γ) dγ, λ y f ( y) e dy= g Pλ ( ) λ Παίρνουµε λ και στα δυο µέλη της παραπάνω ισότητας και έχουµε

13 λ y f ( y) e dy= g P λ = ( ) = lim lim λ λ f y dy g f x dx Tελικά: Sf = f = f, άρα ο τελεστής S είναι ισοµετρία και συνεπώς είναι - Ας δούµε τώρα την εικόνα πγ i i λ i e e, έχουµε πγ i i λ i R( S ) του S Εφόσον { } λ i γ Για κάθε w R ( S) e e = P R S γ, λ> έχουµε Αλλά πγ i λ i e e, w = i P ( γ ) w P w ( γ ) λ λ, = = lim P w= w, λ λ {} µε την νόρµα, άρα w = και R S = R ( S) = ( ), Συνεπώς δηλαδή η εικόνα του τελεστή είναι πυκνή στον Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι η απεικόνιση S είναι ισοµετρία από ένα πυκνό υποσύνολο του (τον ) πάνω σ ένα πυκνό υποσύνολο του Από τα θεωρήµατα Β και Β3 του Παραρτήµατος Β, ο τελεστής S επεκτείνεται συνεχώς και µε µοναδικό τρόπο σ όλο τον σε µια ισοµετρία επί του Τότε ο S είναι ορθοµοναδιαίος τελεστής (βλ Πρόταση Β4 Παράρτηµα Β), συνεπώς * S = S, όπου S * είναι ο συζυγής τελεστής του S Aρα για κάθε f, g πixy * * Sf, g = f, Sg f ye dy g xdx= f, Sg

14 πixy,,, * * f y g x e dxdy= f S g f Sg i = f S g Σηµείωση Στην παραπάνω, γράφουµε φορµαλιστικά πixi πixi f ( xe ) dx και g( x) e dx για τα όρια µε την έννοια ακολουθιών -συναρτήσεων, πχ της µορφής πγ i x f = f ( x) e dx και γ γ πγ i x g g x e dx = αντιστοίχως Τελικά: * S g S g Sg = = i ηλαδή ο αντίστροφος τελεστής S ορίζουµε τη σύνθετη απεικόνιση είναι η ανάκλαση του S Tέλος, : : ( γ ) πγ i i S S S Sf f f e d = = όπου πάλι το παραπάνω ολοκλήρωµα νοείται ως όριο µε την έννοια ακολουθιών συναρτήσεων ηλαδή πγ i i, f = f γ e dγ γ, πγ i x f x f γ e d = γ µε την έννοια ( γ) πγ i i lim f f e dγ = Ο S είναι τελεστής ανάλυσης και ο S είναι τελεστής σύνθεσης και καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f Ο τελεστής πγ Tf f e i i = γ dγ καλείται ολοκλήρωµα Fourier της f είξαµε το ακόλουθο:

15 Θεώρηµα 3 (Placherel) Σε κάθε συνάρτηση f ( ) αντιστοιχεί µοναδική συνάρτηση f ( ) που ορίζεται ως όριο µε την -έννοια οποιασδήποτε ακολουθίας ( ) συναρτήσεων, πχ ως τέτοια ώστε: πixi lim f f x e dx =, Αν f τότε η f ταυτίζεται µε το µετασχηµατισµό Fourier Sf του ορισµού 3 f = f f ˆ πγ i i f = f γ e dγ µε την έννοια, δηλαδή ( γ) πγ i i lim f f e dγ = Σηµειώνουµε ότι για κάθε f, g ισχύει η ταυτότητα Parseval f, g = f, g Φυσικά η κατά νόρµα σύγκλιση δε συνεπάγεται τη σηµειακή σύγκλιση Όπως όµως και στις σειρές Fourier ισχύει το πολύ σηµαντικό Θεώρηµα 33 (Carleso) Το ολοκλήρωµα Fourier µιας συνάρτησης f συγκλίνει σηµειακά στην f σχεδόν παντού στο Με άλλα λόγια ( γ ) f x = f e d γ σπ στο lim πγ i x Για τη σηµειακή σύγκλιση έχουµε το ακόλουθο - 9 -

16 f µεταβολής σε µια περιοχή σηµείου x Τότε Θεώρηµα 34 Εστω lim ( γ) πγ i x f e d είναι συνάρτηση φραγµένης γ = ( ) ( ) f x f x σηµειακά Αν η f είναι συνεχής και φραγµένης µεταβολής σε κάποιο διάστηµα ( ab, ), τότε πγ i x f ( γ) e dγ = f ( x) x ( a b) lim,,, όπου η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη σε κάθε διάστηµα στο εσωτερικό ab, του - 9 -

17 34 Μετασχηµατισµός Fourier στον συναρτήσεις Γενικευµένες Aν θέλουµε να γενικεύσουµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου σε χώρους τότε τα πράγµατα δυσκολεύουν διότι σε αντίθεση µε τις σειρές Fourier δεν ξέρουµε καν αν ο µετασχηµατισµός Fourier είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση Στην περίπτωση όµως όπου < < έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 35 (Ηausdorff-Youg) Eστω < < και q είναι ο συζυγής εκθέτης του Τότε ο τελεστής πixγ S: : Sf γ f x e dx q = είναι φραγµένος και εφόσον ο ( ) είναι πυκνός στον, ο S επεκτείνεται συνεχώς µε µοναδικό τρόπο σ ένα φραγµένο Eτσι ο µετασχηµατισµός Fourier της τελεστή πάνω σ όλο τον f ορίζεται οριακά ως εξής: και πix lim f f x e dx = Sf q f q Σηµειώνουµε όµως ότι ο S δεν είναι ισοµετρία ούτε επί του q Απόδειξη Ο S : προηγούµενη παράγραφο o S : είναι φραγµένος και από την είναι φραγµένος Από το θεώρηµα Riesz-Thori (βλ Κεφ ) προκύπτει το ζητούµενο Το θεώρηµα Ηausdorff-Youg δεν επεκτείνεται για > Για > ο µετασχηµατισµός Fourier ορίζεται µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων Ας εξηγήσουµε σύντοµα τι εννοούµε - 9 -

18 Ορισµός 3 Ορίζουµε το χώρο συναρτήσεων Schwartz { ( ) {}} = ϕ: : ϕ C και su x ϕ m x <, m Για παράδειγµα αν φ είναι µια απειροδιαφορίσιµη συνάρτηση c φ C φ πάνω σε συµπαγή φορέα, συµβολικά ( ), τότε Αν P είναι οποιοδήποτε πολυώνυµο, τότε P( x) e x x Ενας χρήσιµος εναλλακτικός χαρακτηρισµός του χώρου είναι: ϕ για κάθε, υπάρχουν σταθερές C, έτσι ώστε ( ) C, ϕ ( x) x Σηµειώνουµε ότι αν ϕ, ψ, τότε ϕψ, ϕ ψ και Εστω και ( ) ϕ ψ = ϕ ψ = ϕ ψ ϕ = su x ϕ, m x d( ϕψ) ( m ) ( x) m, = m, = m ϕ ψ m, d: :, ϕ ψ Αποδεικνύεται ότι η d είναι µια µετρική στον ως προς την οποία ο είναι πλήρης µετρικός χώρος Με χρήση αυτής της µετρικής ισχύει lim ϕ = ϕ lim ϕ ϕ = m, m, Πρόταση 3 Ισχύει Επιπλέον, ο χώρος Schwartz είναι πυκνός στον ( ) για κάθε <

19 Εφόσον Fourier µιας συνάρτησης ϕ για κάθε, ο µετασχηµατισµός ορίζεται ως συνήθως πγ i x Sϕ γ ϕ γ ϕ x e dx = = και ικανοποιεί όλες της ιδιότητες F-F9 της πρότασης 3 Επιπλέον f, g έχουµε ισχύει το Λήµµα 3, δηλαδή για κάθε = f x g x dx f x g x dx (4) Επειδή x ϕ ( x) για κάθε και ϕ, έχουµε ϕ C ( m) ( ) Επίσης από τη σχέση ( ) m πix ϕ γ ( πiγ) ϕ ( γ) ότι άρα = προκύπτει ϕ < m,, m, ϕ Ετσι και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός της ϕ ( ) πγ i x S ϕ x = ϕ( γ) e dγ είναι καλά ορισµένος και ισχύει πγ i x ϕ x = ϕ γ e dγ σηµειακά (και µε τη µετρική του ) Αποδεικνύεται δε το ακόλουθο: Θεώρηµα 36 Ο µετασχηµατισµός Fourier S : είναι οµοιοµορφισµός

20 Ορισµός 34 Καλούµε χώρο των γενικευµένων συναρτήσεων (sace of temered distributios) το δυϊκό χώρο * του χώρου Schwartz Με άλλα λόγια καλούµε γενικευµένη συνάρτηση ένα συνεχές γραµµικό συναρτησιακό f : Συνήθως συµβολίζουµε µε f, ϕ (ή Tf αντιστοιχεί στο στοιχείο ϕ Πρόταση 33 Το γραµµικό συναρτησιακό f : ϕ ) την τιµή την οποία η γενικευµένη συνάρτηση f είναι συνεχές (δηλαδή γενικευµένη συνάρτηση) αν και µόνον αν υπάρχουν σταθερές C > και έτσι ώστε f, ϕ C ϕ ϕ m, = m, Παραδείγµατα (α) Εστω ( ) και f ( x) C( x ) f είναι µετρήσιµη συνάρτηση στον f,loc για κάποιο φυσικό Τότε η f ορίζεται ως γενικευµένη συνάρτηση µέσω της σχέσης ϕ f, ϕ = f x x dx Πράγµατι, εύκολα αποδεικνύεται η Πρόταση 33 για =, m= Επίσης, αν g είναι πολυωνυµικά φραγµένη, τότε,loc f, ϕ = g, ϕ f = g σπ (β) Η γενικευµένη συνάρτηση δ x του Dirac ορίζεται ως εξής: Με µια µη αυστηρή ερµηνεία δ x, ϕ = ϕ x, x Η αγγλική ορολογία είναι temered distributio ως συντοµογραφία του όρου distributios of temerate growth

21 ( x), x δ = και η δ είναι όσο «άπειρη» χρειάζεται στο µηδέν ώστε το εµβαδόν κάτω του γραφήµατός της να ισούται µε Η δ x είναι όντως γενικευµένη συνάρτηση διότι ( x), δ, ϕ ϕ ϕ, άρα ισχύει η πρόταση 33 για = x (γ) Η πρωτεύουσα τιµή PV x της συνάρτησης x ορίζεται ως γενικευµένη συνάρτηση ως εξής: Το όριο είναι καλά ορισµένο διότι ϕ x PV, ϕ = lim dx x ε x > ε x ( x) ( x) ( x) ϕ ϕ ϕ PV, ϕ = lim dx lim dx dx x ε = x x x x> ε ε ε< x< x< M M ( x) ( x) ( x) ϕ ϕ ϕ = x lim dx ε ε x x< M M Για το πρώτο ολοκλήρωµα έχουµε ενώ για το δεύτερο Τελικά: ε dx ( ) ϕ x ϕ x ϕ ξ x dx ( ε ) su ϕ x x x ( x) xϕ( x) ϕ lim dx = lim dx ϕ = ϕ M x x x x< M M x< M, x,,

22 (,, ) PV, ϕ ϕ ϕ, x άρα από την πρόταση 33 για = η πρωτεύουσα τιµή της / x είναι γενικευµένη συνάρτηση (δ) Κάθε συνάρτηση f ορίζεται ως γενικευµένη συνάρτηση από τη σχέση ϕ f, ϕ = f x x dx Ορισµός 35 Ορίζουµε τη µετάθεση fτ f ( τ ) Df a = f ( a ) και ανάκλαση f f f * ως εξής: =, διαστολή = µιας γενικευµένης συνάρτησης f, ϕ = f, ϕ = f, ϕ τ, τ τ και αντιστοίχως Df a, ϕ = fd, / aϕ, a>, a f, ϕ = f, ϕ Ορισµός 36 Ορίζουµε την παράγωγο µιας γενικευµένης * f ως εξής: συνάρτησης Γενικότερα: f f, ϕ = f, ϕ ( ) ( ), ϕ = f, ϕ Σηµειώνουµε ότι όλες οι παράγωγοι µιας γενικευµένης συνάρτησης υπάρχουν και είναι γενικευµένες συναρτήσεις (αν η f C ( ) ο ορισµός 36 ταυτίζεται µε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση, η οποία και αποτελεί το κίνητρο αυτού του ορισµού)

23 x > Παράδειγµα Εστω U ( x) = είναι η µοναδιαία βηµατική x < συνάρτηση (Heaviside) Αυτή ορίζεται ως γενικευµένη συνάρτηση (βλέπε παράδειγµα (α) παραπάνω) µε τύπο Τότε Αρα U, ϕ = U x ϕ x dx= ϕ x dx U, ϕ = U, ϕ = ϕ x dx= ϕ = δ, ϕ U = δ Ορισµός 37 Ορίζουµε το µετασχηµατισµό Fourier µιας * f ως εξής: γενικευµένης συνάρτησης Σηµειώνουµε ότι αν f f, ϕ = f, ϕ τότε ο ορισµός 37 ταυτίζεται µε την (4) η οποία και αποτελεί το κίνητρο αυτού του ορισµού Σηµειώνουµε επίσης ότι ο µετασχηµατισµός Fourier γενικευµένης συνάρτησης είναι επίσης γενικευµένη συνάρτηση Τέλος, ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier γενικευµένης συνάρτησης f oρίζεται από τη σχέση f, ϕ f, ϕ f, ϕ = = i Παράδειγµα Ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης δ οριζεται ως εξής: άρα Θεώρηµα 37 δ, ϕ = δ, ϕ = ϕ = ϕ x dx=, ϕ, δ = Ο µετασχηµατισµός Fourier * * S : είναι oµοιοµορφισµός

24 Σηµείωση Εφόσον κάθε συνάρτηση στον f µπορεί να θεωρηθεί ως γενικευµένη συνάρτηση (βλέπε παράδειγµα (δ) παραπάνω), µε χρήση του ορισµού 37 µπορούµε πάντα να ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier της f ως γενικευµένη συνάρτηση Φυσικά αν < <, τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της f είναι µια συνάρτηση στον q

25 35 Θεώρηµα αντιστροφής µέσω προσεγγιστικών µονάδων Εστω { K λ } λ> είναι µια προσεγγιστική µονάδα, δηλαδή λ = λ, (α) K ( x) dx (β) su λ> K λ C <, (6) lim λ x dx= για κάθε φιξαρισµένο δ > (γ) K λ x > δ Τότε όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο (βλ άσκηση ) και στο Κεφάλαιο ισχύει Πρόταση 34 Εστω { K λ } λ> κάθε f είναι µια προσεγγιστική µονάδα όπως στην (6) Για, < ισχύει: lim f K ( x) f ( x) λ = σηµειακά σπ στο λ lim f K f = λ λ Αναφέρουµε ορισµένες χρήσιµες προσεγγιστικές µονάδες: ηµ λ χ γ ( π x / λ) = λ π x Feyer { F } : λ λ> [ ] λ = / λ,/ λ πγ i x F x x x e d λ πλ x Poisso { P } : λ λ> Pλ x = Gauss { G } : λ λ> λ Ορισµός 38 Εστω G x e π λ = λ x µετρήσιµης συνάρτησης f ορίζουµε ˆf είναι ο µετασχηµατισµός Fourier µιας, Τότε (φορµαλιστικά) - -

26 ( γ ) ˆ πγ i x Tf f e dγ, (5) να είναι το ολοκλήρωµα Fourier της f Το ιοστό «µερικό άθροισµα» του ολοκληρώµατος Fourier ορίζεται ως ˆ ( γ ) = γ (5α) πγ i x T f x f e d Προφανώς δεν είναι καθόλου προφανές αν το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος της (5) είναι καλά ορισµένο, ή ανήκει στον, ή συγκλίνει στην f µε κάποια έννοια Το δεξιό µέλος της (5α) είναι όµως καλά ορισµένο Μελετούµε την ακολουθία µερικών αθροισµάτων T f (βλ ορισµό 33) Τότε όπου ˆ πγ i x = ( γ) γ =, T f x f e d f D x D ( x) ( x) ηµ π = π x Η ακολουθία { D } καλείται πυρήνας Dirichlet Οπως και στις σειρές Fourier, η συνάρτηση D είναι άρτια, αλλά ( x) dx= D για κάθε, su D =, (7) (µε υπολογισµό παρόµοιο αυτού στις σειρές Fourier) Λόγω της (7) συµπεραίνουµε ότι ο πυρήνας Dirichlet { D} δεν είναι προσεγγιστική µονάδα, άρα η πρόταση 33 δε µπορεί να εφαρµοσθεί Για να προχωρήσουµε θα χρησιµοποιήσουµε πάλι το µετασχηµατισµό Hilbert - -

27 36 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Ανάλυση Caldero-Zygmud Oρισµός 39 Εστω ˆf είναι ο µετασχηµατισµός Fourier µιας συνάρτησης f, όπου είναι ο χώρος Schwartz Ορίζουµε το µετασχηµατισµό Hilbert της f ως εξής: Hf x = i sig γ f γ e dγ πγ i x Oπως και στις σειρές Fourier, o τελεστής H είναι πολλαπλασιαστής (ο ορισµός είναι ανάλογος του ορισµού 5) µε φίλτρο ( γ ) i sig( γ ) Λ = Ας θυµηθούµε τώρα την πρωτεύουσα τιµή της συνάρτησης /( π x) ως γενικευµένη συνάρτηση (βλέπε προηγούµενη παράγραφο): ϕ x PV, ϕ = lim dx π x π ε x > ε x Όπως ήδη έχουµε πει παραπάνω, ο µετασχηµατισµός Fourier της γενικευµένης αυτής συνάρτησης ορίζεται ως ϕ x PV, ϕ = PV, ϕ = lim dx ϕ π x π x π ε x > ε x πixy ( ϕ ) lim ϕ πixy e = lim y e dy dx y dx dy ε x ε π > x = π ε x> ε x ( xy) ( xy) i ηµ i ηµ = lim ϕ( y) dx dy ϕ( y) lim dx dy π ε = x> ε x π ε x> ε x i = ϕ π = ϕ π ( y) sig( y) dy, i sig( y) (λόγω κυριαρχούµενης σύγκλισης, διότι η οµοιόµορφα φραγµένη) Αρα: ηµ xy dx είναι x > ε x - -

28 i sig π x = ( γ ) µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων και έτσι µέσω συνέλιξης (επίσης µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων) παίρνουµε f ( x y) Hf ( x) = lim dy ε x ε y π > Παρατήρηση Το γινόµενο ψ f * ορίζεται ως εξής: µε γενικευµένη συνάρτηση fψ, ϕ = f, ψϕ * Η συνέλιξη ψ µε γενικευµένη συνάρτηση f ως εξής f ψ, ϕ = f, ψ ϕ, ορίζεται όπου ψ είναι η ανάκλαση της ψ Τότε f * ψ = f ψ µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων O µετασχηµατισµός Hilbert συνδέεται µε φυσικό τρόπο µε την ακολουθία των µερικών αθροισµάτων του ολοκληρώµατος Fourier f ως εξής: µιας συνάρτησης Αλλά: πγ i x T f x f D x f e d, χ = = γ χ γ γ (, ) ( γ) ( γ ) ( γ ) sig sig = Παρατηρούµε ότι: = ( ) πγ i x πi( γ ) x f sig( ) e d f sig e d γ γ γ γ γ γ - 3 -

29 i ( γ) ( γ ) γ = = πix πiγx πix πi ie -i sig f e d ie H e f x Oµοίως Τελικά: πγ i x πix πii f ( γ) sig( γ ) e dγ = ie H ( e f )( x) i T f x e H e f x e H e f x πix πi i πix πi i = (8) Αρα όπως και στις σειρές Fourier για τη µελέτη της ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων ( T f ) αρκεί να µελετήσουµε τη συµπεριφορά του τελεστή Hilbert Ισχύει όµως το ακόλουθο: Θεώρηµα 38 (Κolmogorov-Riesz) Για κάθε < < υπάρχει θετική σταθερά C τέτοια ώστε Hf C f f Εφόσον ο είναι πυκνός στον, ο H επεκτείνεται µε µοναδικό τρόπο σ' ένα φραγµένο τελεστή (που για απλότητα εξακολουθούµε να συµβολίζουµε µε H ) H : Ο H δεν είναι φραγµένος για = ούτε για = Για την απόδειξη του θεωρήµατος 38 χρειαζόµαστε ένα πολύ σηµαντικό Λήµµα: Λήµµα 33 (κάλυψης Caldero-Zygmud) Για κάθε f ( ) και λ > υπάρχει µια ακολουθία διαστηµάτων j j, Ω : j, λ λ λ έτσι ώστε: { } - 4 -

30 Τα f Ω είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο, Ω και λ λ f ( x) dx λ Ω, Ω f ( x) λ για κάθε x Ω, όπου Ω = Ω Τότε ορίζουµε: και g x = Ω f x, x Ω Ω f x dx, x Ω h( x) = f ( x) g( x) Ετσι, h( x ) = για κάθε x Ω και h( x) dx= Ω Με άλλα λόγια η f αναλύεται σε άθροισµα µιας «καλής» συνάρτησης, της g, η οποία είναι φραγµένη από το λ και g = f και µιας «κακής» συνάρτησης, της h (εκεί όπου η f δεν είναι φραγµένη) µε φορέα το Ω και µε µηδενικό µέσο όρο σε κάθε διάστηµα Ω του φορέα της Αυτή είναι η ανάλυση των Caldero-Zygmud Θα χρησιµοποιήσουµε την ανάλυση αυτή για να δείξουµε ότι ο τελεστής Hilbert είναι (,) ασθενώς φραγµένος Απόδειξη θεωρήµατος 38: Προφανώς ο H είναι (, ) ισχυρώς φραγµένος Στην πραγµατικότητα είναι ισοµετρία, διότι Hf = Hf = f = f Αρκεί να δείξουµε ότι ο H είναι (,) ασθενώς φραγµένος Τότε απ το θεώρηµα Marciiewicz o H είναι (, ) ισχυρώς φραγµένος για κάθε < < Τότε λόγω δυϊκότητας ο H θα είναι (, ) ισχυρώς φραγµένος για κάθε πυκνός στον είναι > και εφόσον ο ο H επεκτείνεται µε µοναδικό τρόπο σ' ένα φραγµένο τελεστή - 5 -

31 H : < < Θα δείξουµε λοιπόν ότι ο H είναι (,) ασθενώς φραγµένος Εστω f ( x) = g( x) h( x) Hf ( x) = Hg( x) Hh( x) είναι η ανάλυση Caldero-Zygmud όπως παραπάνω Τότε Hf { } Hg Hh ( λ ) = : λ = λ d ( λ /) d ( λ /) d x Hf x d Εκτιµούµε τον πρώτο όρο ( /) έχουµε: Hg Hg d λ Aπό την ανισότητα Chebychev Hg Hg 4 dhg ( λ/ ) = { x : Hg( x) λ/} = λ λ 4 g g 8 f = = g( x) dx g( x) dx λ λ λ = = λ λ d λ Eστω Ω είναι δυαδικό Εκτιµούµε τώρα το δεύτερο όρο Hh ( /) * διάστηµα ίδιου κέντρου µε το Ω και Ω = ( Ω ) και Τότε Hh * Ω * * { } { } d λ/ = x : Hh x λ/ Ω x Ω : Hh x λ/ Hh Προφανώς f Hh x dx f = Hh x dx * λ λ Ω λ λ ( x) Ω h( x) = f x f x dx χ Ω x = b x Ω Ω h και αρκεί να δείξουµε ότι b, Ω - 6 -

32 Αλλά Hb ( x) dx c f Ω Ω Ω Ω ( y) b Hb ( x) dx = dy dx π x y = b y dy dx π Ω Ω x y x c ( c είναι το κέντρο του Ω και b ( y) dy= Ω ) y c b ( y) dx dy π Ω Ω ( x y)( x c ) Ω b( y) dx dy b y dy π = Ω Ω ( x c ) π, Ω (διότι y c Ω / και x y > x c /) Αρα Ω 4 Hb x dx b y dy f π Ω π - 7 -

33 37 Σύγκλιση ολοκληρωµάτων Fourier στον ( ) ( < < ) Συνδυάζοντας το θεώρηµα 38 µε την (8) έχουµε πi ( πi ) ( ) T f H e f H e f C f < f, και λόγω πυκνότητας του, ο T επεκτείνεται µε µοναδικό τρόπο σ ένα φραγµένο (απ το δηλαδή T : : T f = f D C ) τελεστή πάνω σ όλο τον Από την αρχή οµοιόµορφα φραγµένου έχουµε, su T C <, (9) όπου ακόλουθη T είναι η συνήθης νόρµα του τελεστή T Ισχύει όµως η Πρόταση 35 Για κάθε < < έχουµε lim T f f = Απόδειξη Το σύνολο { : lim } A= f T f f = είναι κλειστό (η απόδειξη παρόµοια µε αυτή της πρότασης 4 του Κεφαλαίου ) Απ την άλλη µεριά ο χώρος { : εχει φραγµενο φορεα} B = f f είναι πυκνός στον (πχ θεωρείστε την προσεγγιστική µονάδα του Feyer, οπότε lim f F = f µε την νόρµα, ενώ f F έχει φραγµένο φορέα για κάθε ) Απ την άλλη µεριά, για κάθε g B έχουµε T g = g υπό την προϋπόθεση ότι ο φορέας του g ανήκει - 8 -

34 στο (, ) Αρα B A και αφού το A είναι κλειστό, αναγκαστικά A = Οσον αφορά τη σηµειακή σχεδόν παντού σύγκλιση των ολοκληρωµάτων Fourier απλά αναφέρουµε την ακόλουθη πολύ σηµαντική γενίκευση του θεωρήµατος Carleso-Ηut Θεώρηµα 39 Για κάθε < < έχουµε lim f D x = f x σηµειακά σπ στο - 9 -

35 38 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχηµατισµός Hilbert Ας δούµε τώρα πως συνδέεται ο µετασχηµατισµός Hilbert µε τις συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις στο άνω ηµιεπίπεδο {( xt, ) : t } Π = > Αρχικά θα βρούµε την αρµονική επέκταση µιας συνάρτησης f στο Π, δηλαδή θα λύσουµε το πρόβληµα Dirichlet u( x t) =, = στο Π u x, f x στο, όπου είναι ο τελεστής alace όπως ορίσθηκε στο Κεφάλαιο xt, Π, παρατηρούµε ότι Για γ και i x t πγ u x, t = e e πγ = γ (απλή εφαρµογή), οπότε είναι λογικό να ορίσουµε ως (µοναδική) λύση του παραπάνω προβλήµατος την (, ) ( γ ) πγ i x πγt u x t f e e d = γ, διότι η u ικανοποιεί την u = στο Π και όπου η t u x t = f P x,, t t =, t > π t x P x είναι η προσεγγιστική µονάδα του Poisso και συνεπώς u x, = lim u x, t = lim f Pt x = f x t t Η συνάρτηση Pt ( x ) είναι αρµονική στο πραγµατικό µέρος του πυρήνα Cauchy Π και µάλιστα είναι το - -

36 i g( z) =, z = x it Π π z Ετσι, η συζυγής αρµονική της P r (για σταθερά ίση µε µηδέν) είναι η i i x Im = Im = πz π x it π x t ( ) : Ht ( x) = H > καλείται συζυγής πυρήνας Poisso και δεν είναι προσεγγιστική µονάδα Επίσης παρατηρούµε ότι Η οικογένεια { t} t lim Ht x : H x π x t = = δηλαδή οριακά παίρνουµε τον τελεστή Hilbert Για z = x it Π ορίζουµε = ( ) = = g z g x it f P x i f H x Pf x i H f x t t t t i i f y f y = dy dy π = x it y π z y Η g είναι αναλυτική στο Π και t t t t ( ) f x y lim H f ( x) = H f ( x) = lim dy Hf ( x) = y> t y Λόγω πυκνότητας του στον ( ) παίρνουµε t ( i ) lim g it = f i Hf < < για κάθε f σηµειακά σπ ή µε την έννοια Αυτή είναι η αναλυτική αναπαράσταση της f Παρατηρούµε ότι i πγi πγ i i γ γ γ ( γ) γ ( γ ) f ihf f e d i i sig f e d ηλαδή δεν υπάρχουν πλέον αρνητικές συχνότητες = πγ i i f e d γ - -

37 39 Xώροι Paley-Wieer Υπάρχουν κλάσεις συναρτήσεων των οποίων ο µετασχηµατισµός Fourier επεκτείνεται σε µια ολόµορφη συνάρτηση σε κάποιο χωρίο του επιπέδου Kλάση A Εστω F ( ) έτσι ώστε F ( γ ) γ ( γ) όπου { z x iy: y } e z πγ i z πγ y = < και πizγ f z = F e dγ, z Π, () Π = = > Για τέτοιες τιµές του z έχουµε = e, άρα το ολοκλήρωµα είναι καλά ορισµένο Τώρα για z µε Im( z) δ Im z > δ > έχουµε > > και πizγ πiz γ lim f z f z lim F e e dγ πizγ πiz γ = F lim e e dγ =, διότι πizγ πiz γ πγδ e e 4e και e π iz lim e π γ e πiz γ = λόγω iz συνεχείας της γ, άρα η εναλλαγή ορίου προκύπτει από το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης Κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο Π Με χρήση των θεωρηµάτων Fubii και Cauchy, για κάθε κλειστό δρόµο c Π ισχύει ( γ) πizγ f z dz = F e dzdγ =, c c συνεπώς απ το θεώρηµα Μοrera η f είναι ολόµορφη στο Επίσης, γράφοντας Π = ( ) = = [ ) πγ y πiγ x πγ y πiγ x γ γ γ χ γ γ,, f z f x iy F e e d F e e d από το θεώρηµα Placherel έχουµε - -

38 πγ y [ ) f x iy dx= F γ e χ dγ F <, Τελικά: (α) Aν F (, ), τότε η f που ορίζεται από τη () είναι αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο και οι περιορισµοί αυτής πάνω σε κάθε οριζόντια ευθεία του άνω ηµιεπιπέδου είναι -συναρτήσεις Κλάση Β Ας δούµε τώρα µια άλλη κλάση της µορφής A/ ( γ ) πizγ f z F e d A/ = γ, () όπου A F F γ = γ A/, A/ Τέτοιες συναρτήσεις είναι ακέραιες, δηλαδή ολόµορφες στο (µε απόδειξη παρόµοια όπως παραπάνω) και επιπλέον < <, ( ) και [ ] Αρα A/ A/ f z F γ e d γ e F γ d γ = Ce πyγ πay πay A/ A/ f ( z) Ce π A z () Ακέραιες συναρτήσεις που ικανοποιούν ένα φράγµα τύπου () καλούνται εκθετικού τύπου Τελικά: (β) Κάθε συνάρτηση f που ορίζεται από την () είναι ακεραία και εκθετικού τύπου, ο δε περιορισµός της στον πραγµατικό άξονα είναι συνάρτηση στον Είναι αξιοσηµείωτο ότι ισχύουν και οι αντίστροφοι ισχυρισµοί των (α) και (β) ηλαδή έχουµε Πρόταση 36 Εστω f ολόµορφη στο υπάρχει συνάρτηση F (, ) Π και su < y< έτσι ώστε f x iy dx= C < Τότε - 3 -

39 και ( γ) πizγ f z = F e dγ, z Π ( γ ) C = F dγ Πρόταση 38 (Paley-Wieer) Εστω f είναι ακεραία (ολόµορφη στο ) και εκθετικού τύπου f ( z) Ce π A z για κάποιο < A < και f ( x) dx< Τότε υπάρχει συνάρτηση F ( ) µε έτσι ώστε ( γ ) = γ [ /, /] F A A A/ ( γ ) πizγ f z F e d A/ = Ορισµός 3 Ο χώρος όλων των ακεραίων συναρτήσεων εκθετικής τάξης A > των οποίων ο περιορισµός πάνω στην πραγµατική ευθεία είναι συνάρτηση του ( ) καλείται Paley-Wieer χώρος, συµβολικά PW A O περιορισµός των στοιχείων των χώρων Paley-Wieer στην πραγµατική ευθεία καλούνται συναρτήσεις πεπερασµένου φάσµατος (bad-limited) Οι χώροι συναρτήσεων πεπερασµένου φάσµατος είναι χώροι Hilbert µε το εσωτερικό γινόµενο του γ f, g = f x g x dx ισοµετρικά ισόµορφοι µε τον [ A/, A/] [ A A ] Ετσι οι ιδιότητες του /, / µεταφέρονται σε χώρους συναρτήσεων πεπερασµένου φάσµατος και αντιστρόφως Εφόσον ( γ ) A/ πγ i i f = F e d A/ όπου F ( γ ) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της f και εφόσον η F γ, - 4 -

40 µπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο του [ A A ] /, / έχουµε f A / Fe / A πiγ A i / i ( / A) e πγi d F e πγ i = γ d γ A/ A = A A/ A( i / A) ( i / ) i ( / A) ηµ π πγ i = f χ[ /, /]( γ) e dγ f A A A A = A Aπ A ή f A( i / A) ( i / ) ηµ π = f A π A A Με άλλα λόγια η f µπορεί να ανακατασκευασθεί µε γνώση µόνον των τιµών της στα σηµεία / A Αυτό είναι το δειγµατοληπτικό θεώρηµα Shao που παίζει σηµαντικό ρόλο στη θεωρία επικοινωνιών Ετσι δείξαµε το ακόλουθο Θεώρηµα 3 (δειγµατοληψίας Shao-Whittaer) Eστω f : είναι µετρήσιµη και ολοκληρώσιµη συνάρτηση σ-πεπερασµένου φάσµατος, δηλαδή f ( γ) = γ > σ /, για κάποιο σ > Τότε η f ανακατασκευάζεται πλήρως από τις τιµές της στα σηµεία x = / σ µέσω της σχέσης ( x / ) ( x / ) ηµ πσ σ f ( x) = f σ πσ σ Η σύγκλιση είναι απόλυτη και οµοιόµορφη στο Η f επεκτείνεται σε µια ακεραία συνάρτηση εκθετικού τύπου όπως παραπάνω Σηµείωση Η συχνότητα λήψης των δειγµάτων της f (ανά µονάδα µήκους) ισούται µε το διπλάσιο του µέγιστου φάσµατος ( σ /) της f και καλείται συχνότητα λήψης yquist Αν η συχνότητα λήψης είναι µικρότερη αυτής τότε δεν µπορούµε να επιτύχουµε πλήρη ανακατασκευή - 5 -

41 3 Τελεστές Caldero-Zygmud Oι τελεστές Caldero-Zygmud αποτελούν γενίκευση του τελεστή Hilbert Πράγµατι έχουµε τον ακόλουθο Ορισµός 3 Εστω ότι η συνάρτηση K : {} ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες για κάποια σταθερά C : C, x (i) K( x) x, (ii) ( ) { } K x K x y dx C y x> y K x dx = < r < s < r< x< s (iii) Tότε λέµε ότι η K είναι ένας πυρήνας Caldero-Zygmud Αν K f ορίζουµε έναν τελεστή Caldero-Zygmud ως εξής: είναι ένας πυρήνας Caldero-Zygmud, τότε για κάθε = lim ( ) = lim ( ) Tf x K x y f y dy K y f x y dy x y ε ε > ε y> ε O στόχος µας είναι να δείξουµε ότι κάθε τελεστής Caldero- για κάθε < < Η Zygmud είναι φραγµένος στον αποδεικτική µεθοδολογία βασίζεται ακριβώς όπως στην απόδειξη του θεωρήµατος 38 ηλαδή θα δείξουµε ότι ο T είναι (,) ισχυρώς φραγµένος και (,) ασθενώς φραγµένος Πρόταση 39 Εστω K και T είναι ένας πυρήνας Caldero- Zygmud και τελεστής Caldero-Zygmud αντιστοίχως Τότε υπάρχει σταθερά D > έτσι ώστε Απόδειξη Εστω < r < s< και Tf D f f = ( ) Trs, f x K y f x y dy r< y< s - 6 -

42 Για κάθε < r < s< η συνάρτηση Kχ[ rs, ] [ s, r] (λόγω (i)), K f και από το θεώρηµα Placherel άρα χ[ rs, ] [ s, r] παίρνουµε T f Kχ f = K χ f rs, [ rs, ] [ s, r ] [ rs, ] [ s, r ] Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι K χ f = K χ f su [ r, s] [ s, r] [ r, s] [ s, r] γ K χ[, ] [, ] D< su rs s r rs, για κάποια θετική σταθερά D Εφόσον Tf ( x) lim T f ( x) =, από r, s το Λήµµα Fatou και την παραπάνω θα έχουµε το ζητούµενο, αφού rs, Αλλά Tf lim T f D f r, s rs, χ ( γ πγ i x ) = πγ i x K [ rs, ] [ s, r] K x e dx K x e dx r< x γ γ < x< s Για το πρώτο ολοκλήρωµα έχουµε πγ i x πγ i x K ( x) e dx = K ( x)( e ) dx γ (λόγω (iii)) γ r< x r< x K x πγ x dx πγ dx γ (λόγω (i)) γ r< x r< x dx π π γ 4 r< x γ Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε άρα πγ i x = πγ i x γ K xe dx K xe dx, γ < x< s γ < x< s - 7 -

43 όπου γ πγ i x πγ i x = ( γ ) K x e dx K x K x e dx R, γ < x< s γ < x< s πγ i x πγ i x R( γ ) = K x e dx K x e dx γ < x< s γ γ < x < s γ γ Από τη συνθήκη (ii) για y = /( γ ) παίρνουµε γ γ πγ i x K x K x e dx K x K x dx C γ < x< s γ < x< s Επίσης από τον ορισµό της R προκύπτει ότι η R ορίζεται µέσω ενός ολοκληρώµατος πάνω σε χωρίο U του µήκους το πολύ U / γ x > / γ Συνεπώς: = και τέτοιο ώστε R( γ) K U x dx K x dx dx γ dx γ = U U U γ γ x Συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουµε ότι K χ[, ] [, ] D< su rs s r rs, για κάποια θετική σταθερά D και η πρόταση αποδείχθηκε Πρόταση 3 Εστω T είναι τελεστής Caldero-Zygmud όπως παραπάνω Τότε ο T είναι (,) ασθενώς φραγµένος Απόδειξη Είναι ακριβώς ίδια µε την απόδειξη ότι ο τελεστής Hilbert είναι (,)-ασθενώς φραγµένος Θεώρηµα 3 Εστω T είναι τελεστής Caldero-Zygmud όπως για κάθε παραπάνω Τότε ο T είναι φραγµένος στον < < Απόδειξη Με το θεώρηµα Marciiewisz και συνεπεία των προτάσεων 39 και 3 προκύπτει ότι ο T είναι (,)-ισχυρώς φραγµένος για κάθε και λόγω πυκνότητας < < στο χώρο του υπάρχει µοναδική συνεχής επέκταση του T πάνω στον - 8 -

44 Για > το αποτέλεσµα προκύπτει µέσω δυϊκότητας Τονίζουµε εδώ ότι στην απόδειξη της πρότασης 3 µόνον η συνθήκη (ii) χρησιµοποιείται Η συνθήκη αυτή καλείται συνθήκη Hormader Μια ικανή συνθήκη ώστε να ισχύει η συνθήκη Hormader είναι η ακόλουθη: Εστω : { } K είναι παραγωγίσιµη για κάθε x και Τότε ισχύει η συνθήκη Hormader { } K x C x x ( ) { } K x K x y dx C y x> y Aπό την παραπάνω συζήτηση διαπιστώνουµε ότι κάθε (,)- ισχυρώς φραγµένος τελεστής που ικανοποιεί τη συνθήκη Hormader (ή τη συνθήκη K ( x) C x x { } ) είναι φραγµένος στον για κάθε < < Κλείνοντας τονίζουµε ότι σε καµία περίπτωση η ισχύς όλων των αποτελεσµάτων στο µεταφέρεται αυτούσια και στον (κάποια ναι, πολλά όµως όχι) Η ανάλυση Fourier στον είναι πολύ πιο επίπονη απ ότι στον και χρειάζεται πολύ προσοχή όταν κάποιος εργάζεται σε χώρους ανώτερης διάστασης - 9 -

45 3 Ασκήσεις είξτε τις ιδιότητες F-F9 της πρότασης 3 Εστω f ( ) f > είξτε ότι f f ( ), 3 Αν < =,,, t f t dt δείξτε ότι (α) f είναι φορές παραγωγίσιµη στο (β) ( πi t f t dt = f ) ( ) =,,, 4 ώστε παράδειγµα συνάρτησης f αλλά f ( ) τέτοιο ώστε ( ) f 5 είξτε ότι δεν υπάρχει g ( ) { } µε 6 Εστω f, g f g = f f q, όπου οι, q είναι συζυγείς εκθέτες και h= f g είξτε ότι h είναι οµοιόµορφα συνεχής Αν h C το οποίο όµως δεν ισχύει για = > δείξτε ότι 7 Αν a > υπολογίστε τη συνέλιξη g( t) χ χ ( t) = και [ a/, a/] [ a/, a/] στη συνέχεια το µετασχηµατισµό Fourier των συναρτήσεων f ( t) ( t) =, χ[ a/, a/] g( t) χ χ ( t) =, [ a/, a/] [ a/, a/] ht χ χ χ χ ( t) = [ a/, a/] [ a/, a/] [ a/, a/] [ a/, a/] Πως επηρεάζει η συνέλιξη το φορέα της f ; 8 Εστω, g ( t) = χ ( t), h( t) = χ ( t) και f ( t) g h( t) είξτε ότι: [, ] [,] = - -

46 , t (α) f () t = t, t (β) f ( γ ) ( ) ( ) ηµ π γ ηµ πγ = πγ (γ) f 9 είξτε ότι η εικόνα του µετασχηµατισµού Fourier Sf : C C το οποίο είναι γνήσιο υποσύνολο του είναι πυκνό στο C ( ) Υπόδειξη: Ο χώρος Schwartz είναι πυκνός στο C ( ) Υπολογίστε το όριο λ ηµ ax i x lim e πγ dx, ( a λ > σταθερά) λ x (Θεώρηµα αντιστροφής) Εστω f, f λ πγ i x f ( γ) e dγ = f ( x) είξτε ότι lim, σηµειακά σπ στο λ λ είξτε ότι π συν π ( x /) ( πγ ) συν πγ γ < /4 συν x dx= x γ > /4 Υπόδειξη: Εφαρµόστε θεώρηµα αντιστροφής (βλ άσκ ) 3 Για at a >, δείξτε ότι η συνάρτηση f ( t) e ( at ) µετασχηµατισµό Fourier f ( γ ) = 3 4a 8 aπ iγ ( a ( πγ ) ) 4 Υπολογίστε την οικογένεια συναρτήσεων f a ( γ) ( ax) e = ηµ π πx ( πx) > πγ i x dx, a, γ = έχει - -

47 Υπόδειξη: Συνέλιξη κάποιων (γνωστών) συναρτήσεων 5 είξτε ότι dx π =, ab, >, a> b ( x a )( x b ) ab( a b) Υπόδειξη: Eφαρµογή ταυτότητας Parseval 6 Αν f ( ), µε χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε το µετασχηµατισµό Fourier της f που ικανοποιεί την εξίσωση x a x x = x a f y dy e e 7 (Poisso Summatio formula) Εστω a f x ε =, f = ( x ) για ε, a > είξτε ότι, ( ) = ix f x f e π σηµειακά σπ στο T Εφαρµόστε κατάλληλα την PSF για τη συνάρτηση a e a δείξτε την ισότητα a = e a ( π ) ax f = e, a> και 8 Εστω f g,, < < και, q είναι συζυγείς εκθέτες είξτε την ταυτότητα «τύπου» Parseval = f x g x dx f γ g γ dγ 9 Υπολογίστε f, g ( ) τέτοιες ώστε f g Υπολογίστε προσεγγιστική µονάδα { f } στο σύνολο c λ λ> c όπου C C, είναι ο χώρος των απειροδιαφορίσιµων συναρτήσεων µε φραγµένο φορέα c c Εστω f loc ( ) και g C ( ), όπου C άσκηση είξτε ότι f g είναι όπως στην C και υπάρχουν ακολουθίες - -

48 c συναρτήσεων g C ώστε f g f είξτε ότι ο χώρος όλων των συναρτήσεων f, < των οποίων ο µετασχηµατισµός Fourier έχει συµπαγή φορέα είναι πυκνός στον 3 Αν f και A f ( γ ), < a <, δείξτε ότι η f a γ ικανοποιεί τη συνθήκη Holder τάξης a, δηλαδή για κάποια θετική σταθερά M a, f x h f x M h x h 4 Αν f είναι συνεχής, f ( ) και δείξτε ότι f ( x) = x Υπόδειξη: Για y xy f y e dy= x, g x = e x, θεωρείστε τη συνέλιξη f gx 5 (Μετασχηµατισµός Fourier στον ) Ο Μετασχηµατισµός Fourier µιας συνάρτησης f ως όπου πγ i i x f γ = f x e dx, γ, x, γ i x είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον ορίζεται Αν g( x) = f ( Ax), όπου A είναι αντιστρέψιµος γραµµικός τελεστής στον (δηλ πίνακας), υπολογίστε τη g είξτε ότι αν η f είναι αναλλοίωτη ως προς τις περιστροφές (ορθοµοναδιαίους γραµµικούς τελεστές A µε A = ), δηλαδή αν f ( A x) = f ( x) τότε το ίδιο ισχύει για τη g f x ( ) είξτε ότι ( γ ) = ( πiγ ) f ( γ) x= ( x x ) γ = ( γ γ ) i,,,,,,, i - 3 -

49 f x ν υπό τη προϋπόθεση Αν ν i C για κάθε ν =,, ν f f είναι ο τελεστής alace της f µε C ν ( ) x για κάθε ν =, και g = f, υπολογίστε τη g 6 Αν u ( ), g, h παραγώγους µέχρι ης τάξης όλες στον πρόβληµα αρχικών τιµών 7 Αν u τάξης στον 8 Εστω P ( x) και η u έχει συνεχείς µερικές (, ) u( x, t) u x t = c t x u( x, ) = f ( x), x, t > u( x, ) = g( x) t i C, να λυθεί το και η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης C, να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών { r } < r< (, ) u( x, t) u x t = t x x u( x,) = e είναι προσεγγιστική µονάδα 9 Αν ϕ π x, x, t > είναι ο πυρήνας Poisso είξτε ότι { xp r } δείξτε ότι υπάρχουν σταθερές C > και ώστε ( ),, ϕ C ϕ ϕ Στη συνέχεια δείξτε ότι ο χώρος είναι πυκνός στον κάθε < για - 4 -

50 x a 3 είξτε ότι H χ[, ] = log Συµπεράνετε ότι ο ab x b ούτε στον µετασχηµατισµός Hilbert δεν είναι φραγµένος στον ( ) 3 Mε χρήση του ορισµού δείξτε ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert των f x συν π cx g x = ηµ πcx ισούται µε συναρτήσεων = και Hf ( x) = ηµ ( πcx) και Hg( x) συν ( π cx) = αντιστοίχως Στη συνέχεια δείξτε ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert της συνάρτησης icx h( x) = e π icx ισούται µε Hh( x) = ie π, όπου c είναι µια πραγµατική σταθερά 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Fourier (µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων) της µοναδιαίας βηµατικής συνάρτησης: U x, x > =, x < πixγ καθώς επίσης και των συναρτήσεων e, συν πγ x, ηµ πγ x, ( ) δ, x,, όπου γ σταθερά 33 είξτε ότι π γ = π x 34 Mια συνάρτηση καλείται αιτιατή (causal) αν f ( t ) =, t < είξτε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier µιας πραγµατικής συνάρτησης µπορεί (φορµαλιστικά) να παρασταθεί συναρτήσει του µετασχηµατισµού Fourier µιας αιτιατής συνάρτησης Υπόδειξη Θεωρείστε g = f i Hf 35 Εστω ϕ είξτε ότι lim = ( ) και πix e PV ϕ x dx ϕ πi x πix e lim PV ϕ ( x) dx ϕ( ) πi = x - 5 -