Приближно одређивање капацитивности коаксијалних водова правоугаоног попречног пресека

Transcript

1 Приближно одређивање капацитивности коаксијалних водова правоугаоног попречног пресека Аутор: Армин Хајризовић Факултет техничких наука, Чачак Електротехничко и рачуарско инжењерство, електроенергетика, школска 0/03. Ментор рада: др Јерослав Живанић, редовни проф. Резиме У оквиру мастер рада извршен је прорачун подужне капацитивности, карактеристичне импедансе и електричног поља коаксијалних водова правоугаоног попречног пресека. У те сврхе коришћен је метод еквивалентне електроде, а добијени резултати упоређени су са резултатима добијеним применом софтверског пакета COMSOL. Кључне речи Коакријални вод, нсмгпичкг мгеодг, кажациеивноре, глгкепично жољг, заобљгнг ивицг. УВОД Велики је значај коаксијалних водова у свим областима електротрехнике, било да су са хомогеним или нехомогеним диелектриком, било да су кружног или правоугаоног попречног пресека. За прорачун параметара ових водова постоје одређени приближни изрази, али се углавном користе многобројне аналитичке и нумеричке методе. Циљ мастер рада је да се да приказ основних врста коаксијалних водова и да се за коаксијалне водове правоугаоног попречног пресека изврши прорачун: електричног поља, потенцијала, карактеристичне импедансе као и да се одреди подужна капацитивност. При томе би упоредо анализирали водове где су унутрашњи проводници били са или без заобљених ивица. Све извршене анализе и прорачуни приказани су кроз шест одвојених целина укључујући увод и закључак. У другом делу мастер рада ће бити дат приказ основних коаксијалних водова различитих попречних пресека и њихова примена. Поред тога биће описани диелектрици који се најчешће користе у водовима и биће дати изрази за израчунавање подужне капацитивности и карактеристичне импедансе. У трећем делу су набројане нумеричке и аналитичке методе за прорачун капацитивности водова правоуганог попречног пресека. У склопу ове области биће описана два метода: метода еквивалентне електроде (MEE) и метод коначних елемената (MKE). Поред тога, метод еквивалентне електроде биће илустрован на примеру коаксијалног вода квадратног попречног пресека. У четвртом делу ће бити описан софтверски пакет COMSOL чији се рад у основи заснива на примени метода коначних елемената. Срж мастер рада представља пето поглавље. У овом поглављу применом нумеричког метода еквивалентне електроде биће одређена подужна капацитивност, електрично поље и карактеристична импеданса за случај коаксијалног вода правоугаоног попречног пресека са и без заобљених ивица. За добијање поменутих резултата написан је одговарајући алгоритам у програму Маегмаеика. Тако добијени резултати биће упоређени са резултатима добијеним применом готовог софтверског пакета COMSOL. И на крају, у шестом поглављу биће извршена анализа свих добијених резултата и донети одговарајући закључци. КОАКСИЈАЛНИ ВОДОВИ Коаксијални водови се примењују у микроталасним колима, у области радио и видео технике итд. Могу бити различитог попречног пресека: кружног, елиптичног, правоугаоног и др. са савршеним и несавршеним. Уобичајени диелектрици код коаксијалних водова су тефлон, полиетилен и полистирен, чије диелектриком су релативне пермитивности r =,;,5;,55. Тефлон се користи за најквалитетније каблове. Мана му је што је релативно мек, па услед савијања кабла може доћи до промене положаја унутрашњег проводника, а тиме и до нежељених рефлексија на воду. Добра особина тефлона је што добро подноси високу температуре (код лемљења). Полиетилен и полистирен су јефтини, нешто већих губитака од тефлона и топе се при лемљењу. Као диелектрик користе се и стандардни диелектрични материјали који се обрадјују тако што се начине шупљикавим.

2 Стандардне карактеристичне импедансе данашњих коаксијалних каблова су 50Ω и 75Ω. Прва импеданса је најчешћа номинална импеданса у микроталасној техници. Друга вредност приближно одговара истом услову, али за ваздушни диелектрик, стандардно се примењује у ТВ и видео техници. Коаксијални каблови могу бити крути, полукрути и савитљиви. Крути се употребљавају у мерној опреми, за пренос великих снага и као резонатори великог фактора доброте. Полукрути се најчешће користе за спајање појединих микроталасних кола у оквиру једног уређаја. Они су предвиђени да се савијају само једном. Накнадна савијања и исправљања нису пожељна, јер водови пуцају. Савитљиви водови користе се када је потребно имати савитљиву и растављиву везу, а најчешће при мерењима и тестирањима уређаја. Код савијања полукрутих и савитљивих водова треба водити рачуна о минималном полупречнику кривине, декларисаног од стране произвођача. За прорачун параметара коаксијалних водова изведени су приближни изрази, али пошто они постоје само за једноставније облике водова за прорачун се углавном користе аналитичке и нумеричке методе 3. Тако на пример за квадратни коаксијални вод израз за подужну капацитивност је: C g, , g. 6.33, 0.5 ln НУМЕРИЧКЕ И АНАЛИТИЧКЕ МЕТОДЕ ЗА ПРОРАЧУН КАПАЦИТИВНОСТИ ВОДОВА ПРАВОУГАОНОГ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА За решавање проблема везаних за прорачун подужне капацитивности водова правоугаоног попречног пресека користе се многобројне аналитичке и нумеричке методе, од којих се могу издвојити : Метод комформног пресликавања, Метод фиктивних извора, Метод коначних елемената, Метод еквивалентне електроде, Талеркинов метод. 3. Мгеод гквивалгненг глгкеподг Метод еквивалентне електроде (MEE) је један једноставан и тачан нумерички метод помоћу кога се могу решавати проблеми електростатике. Показао се веома користан и за решавање проблема везаних за магнетостатику, нискофреквентне системе уземљивача, у теорији вођених електромагнетних таласа по водовима и при проучавању струјања нестишљивих флуида и вођења топлоте кондукцијом. Уопште, може се рећи да се МЕЕ са успехом може примењивати у свим областима теоријске физике, где су законитости представљене Пуасоновом односно Лапласовом једначином. Конкретно може се користити за решавање статичких и квазистатичких електромагнетних поља и других потенцијалних поља у теориској физици. Овај метод је развијан на Електронском факултету у Нишу, а његов творац је проф. др Драгутин Величковић који је био и професор на Техничком Факултету (сада Факултет Техничких Наука) у Чачку. При томе развијен је велики број нумеричких програма за решавање проблема из електростатике и то: за прорачун план-паралелних и аксијално симетричних електродних система, за тракасте водове као и електростатичке системе образоване од равних плочастих електрода занемарљиве дебљине и полигоналног облика. 3. Мгеод коначних глгмгнаеа Метод коначних елемената спада у групу метода дискретне анализе. Основни принцип на коме се метод заснива је подела неког разматраног домена на одређен број поддомена коначних димензија, тако да се анализом појединих елемената, уз претпоставку о њиховој међусобној повезаности, анализира целина. Његова примена је почела прво у области прорачуна инжењерских конструкција (за потребе авио индустрије), а затим, за кратко време овај метод се развио у посебну научну област са широком применом у различитим областима науке и инжењерске праксе: механика, термодинамика, динамика флуида, акустика, геофизика, квантна механика, електромагнетика и др. У решавању проблема електростатике се интензивно користи преко тридесет година. 4 ПРОГРАМСКИ ПАКЕТ COMSOL COMSOL је моћно интерактивно окружење за моделовање и решавање научних и инжењерских проблема. Опремљен новом технологијом која је подршка у развоју нумеричких метода. Програм има велики дијапазон могућности, а одликује се лаком израдом жељеног модела, лаком импровизацијом и прилагођавањем жељеног проблема и једноставношћу којом се нестандардне рачунске операције могу обрадити.

3 5 ПРОРАЧУН ПАРАМЕТАРА КОАКСИЈАЛНОГ ВОДА ПРАВОУГАОНОГ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА У овом поглављу биће детаљно анализирани коаксијални водови правоугаоног попречног пресека, при чему ће се посматрати два случаја: први када је унутрашњи проводник вода са оштрим ивицама и други када су ивице унутрашњег проводника вода заобљене, Слика. 5. Ргшгњг жпоблгма жпимгном мгеода гквивалгненг глгкеподг На реални систем који је приказан на Слици примењен је метод еквивалентне електроде коаксијалног вода правоугаоног попречног пресека са и без заобљених ивица. у случају y y x x c c d d Слика. Коаксијални водови правоугаоног попречног пресека са и без заобљених ивица. Примењујући метод еквивалентне електроде реални систем који чине две електроде правоугаоног попречног пресека замењује се системом помоћних еквивалентних електрода које се постављају равномерно по површини електрода (Слика ), 3,4. x N 4 N 3 x x N x r 0 N K N 3 c N N 4 d Слика. Распоред еквивалентних електрода. Будући да стране проводника нису исте величине, свака страна треба да садржи различити број еквивалентних електрода. У разматраном случају стране проводника су,, c, d и подељене су на N, N, N 3 i N 4 делова, а ширине свих ових делова треба да буду исте и једнаке x. Наелектрисања еквивалентних електрода постављених на површину проводника су: q i, за i,..., за вертикалну страну унутрашње електроде, q j, j,... N, за хоризонталну страну унутрашње електроде, Q n, n,... N3, за вертикалну страницу спољашње електроде, Q m, m,... N4, еквивалентних електрода је за хоризонталну страну унутрашње електроде, у делу заобљених ивица број еквивалентних електрода је N k, k,,3. Према томе укупан број еквивалентних електрода је: N N N N N N u ( 3 4 k) () Сваки део оригиналног проводника у разматраном примеру танког пљоснатог проводника ширине x је замењен са цилиндричном еквивалентном електродом (ЕЕ) са кружним попречним пресеком. Еквивалентни полупречник ових ЕЕ се може израчунати као:

4 x r0 r0 c d ren, где је x. 4 N N3 N4 Еквивалентне електроде које замењују ове делове имају исти полупречник, потенцијал и наелектрисање као део стварног проводника који они замењују. Систем еквивалентних електрода ствара електрични потенцијал: N I q N O i Qj 0 ln x xi y yi ln x x j y y j, i4 j4 где су : NI N 4Nk i No N3 N4. Уз услове U и непозната наелектрисања. () N I N O qi Qj 0 i j добија се комплетан систем линеарних једначина чија су решења Решавањем овог система једначина добијају се вредности наелектрисања еквивалентних електрода, а на основу њих вредност капацитивности као: C N I q i i Вектор електричног поља одредјује се на основу једначине: U. (3) E -grd, (4) а израз за карактеристичну импедансу је: Z c У следећој табели биће дата конвергенција резултата за подужну капацитивност, односно коефицијент сразмерности за коаксијалан вод правоугаоног попречног пресека, у зависности од броја еквивалентних електрода. r. cc Табела. Конвгпггнција резултата за пазличиег бпојгвг гквивалгнених глгкепода. број еквивалентних електрода C 0, N , N , N , N , N , N , N , N , N , N 600 No more memory ville. (5) Из Табеле се може закључити да са повећањем броја еквивалентних електрода резулатат конвергира ка крајњем решењу, при чему се следећи резултат у односу на предходни, за знатно већи број еквивалентних електрода, разликује на другој децимали. Овим је показано да се применом МЕЕ за различит број еквивалентних електрода добија приближно исто решење, што је био и циљ. Наравно, када број еквивалентних електрода тежи бесконачности добија се тачно решење.

5 У Табели приказани су резултати за подужну капацитивност и карактеристичну импедансу коаксијалног вода правоугаоног попречног пресека без заобљених ивица, за различите односе страница d. Табела. Ргзслеаеи за случај правоугаоног коаксијалног вода без заобљених ивица, када јг d 5, dc. d N N N 3 N 4 C Z c На Слици 3 је дат графички приказ како се мења подужа капацитивност у зависности од полупречника заобљења. 9 /= 8 C'/ /= /= r / Слика 3. Ппомгна подужне капацитивности у зависности од плупречника заоблљења за различите вредности и за cd0.5, d 0..

6 y y Поред резултата приказаних у табелама и на графицима применом програмског пакета Маегмаеиcа могуће је нацртати контурне криве, што је илустровано на следећим сликама Слика 4. Еквижоегнцијалнг криве с рлсчајс вода ра заобљгним ивицама. x Слика 5. Еквигнгпггеркг кпивг с рлсчајс вода ра заобљгним ивицама. x

7 5. Ргзслеаеи добијгни жпимгном COMSOLA На Слици 6 приказана је путања по којој се врши прорачун елктричног поља, односно посматра се само један квадрант. c d Слика 6. Ппиказ жсеањг жо којој рг впши жпопачсн глгкепичног жоља. На Слици 7 приказана је x-компонента електричног поља а на Слици 8 y-компонента. Слика 7. Елгкепично жољг- y комжонгнеа Слика 8. Елгкепично жољг- x комжонгнеа. ЗАКЉУЧАК У оквиру мастер рада под називом Приближно одредјивање капацитивности коаксијалних водова правоугаоног попречног пресека извршен је прорачун подужне капацитивности, карактеристичне импедансе и електричног поља коаксијалних водова правоугаоног попречног пресека. Резултати су добијени применом једног једноставног и веома тачног метода еквивалентне електроде за различите облике коаксијалног вода правоугаоног попречног пресека са и без заобљених ивица. Резултати су показали да се МЕЕ може веома успешно применити за решавање оваквих проблема. Уочена је веома добра конвергенција резултата и одлично слагање резултата са резултатима добијених применом готовог програмског пакета COMSOL, као и са резултатима добијеним применом постојећих приближних израза. Поређењем резултата за водове код којих је унутрашњи проводник са заобљеним ивицама дошло се до закључка да заобљеност ивица незнатно утиче на вредност подужне

8 капацитиввности. Изузетак су случаји када је полупречник заобљења приближне вредности половине странице. Са повећањем заобљења капацитивност се смањује, а вредност карактеристичне импедансе се повећава јер је она обрнуто пропорционална капацитивности. Јачина електричног поља на ивицама унутрашњег проводника у случају када се ради са водовима чије ивице нису заобљене је велика, па се заобљавањем ивица вредност поља смањује. Резултати добијени у овом раду могу се користити у даљем истраживачком раду за решавање других врста коаксијалних водова а у случају водова правоугаоног попречног пресека могу се анализирати ексцентрични водови или водови чији је унутрашњи проводник заокренут под неким углом. Такође могу се анализирати и водови са вишеслојним диелектриком.. ЛИТЕРАТУРА [] A. M. Milovnovic, M. M. Bjekic, Approximte Clcultion of Cpcitnce of Lines with Multilyer Medium, Journl of Electricl Engineering, Vol 6, No.5, 0, pp , ISSN: [] V.V. Petrović, D.V. Tošić, A.R: ĐorĎević, Mikrotlsn psivn kol, Elektrotehnički fkultet Beogrd, 00, ISBN [3] Milovnovic, A., Koprivic, B., Clcultion of Chrcteristic Impednce of Eccentric Rectngulr Coxil Lines", PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electricl Review), ISSN , R. 88 NR 0/0, pp [4] A. Milovnovic, B. Koprivic, Anlysis of Squre Coxil Lines y using Eqvivlent electrodes method, Joint Conference 3rd interntionl workshop on Nonliner Dynmics nd Synchroniztion - INDS nd 6th Interntionl Symposium on Theoreticl Electricl Engineeering - ISTET, July 5-7, 0, University of Klgenfurt, Austri, Proceedings of Full Ppers, pp.9-96, ISBN: [5] B. Koprivic, A. Milovnovic, Modeling of Rectngulr Coxil Lines with Rounded Edges, Interntionl Scientific Conference - UNITECH, Grovo, god., Proceedings of Full Ppers, pp , ISSN 33-30X. [6] D. M Velickovic, A. Milovnovic, Approximte Clcultion of Cpcitnce, Proceedings of VIII Interntionl IGTE Symposium on Numericl Field Clcultion in Electricl Engineering, Grz, 998. [7] D. M. Veličković, A. Milovnović, Electrosttic Field of Cue Electrode, Serin Journl of Electricl Engineering, Vol., No., pp [8] D.M.Velickovic, Equivlent Electrodes Method, Scientific Review, Belgrde, No.-, pp.07-48, 996. [9] K. L.Kiser, Trnsmission lines, Mtching, nd Crosstlk, Tylor nd Frncis Group, Boc Rton, FL, 006. [0] D.M. Velickovic, F.H Uhlmnn, K. Brndisky, R.D. Stntchev, Fundmentls of Modern Electromgnetics for Engineering, Technishe Universität Ilmenu, Germny, 005. [] D. M. Veličković, Metodi z prorčun elektrosttičkih polj, Knjig prv, Stil, Niš, 98. [] D. M. Veličković, Elektromgnetik, prv svesk, Niš, 994. [3] Softwre pckge COMSOL, Version.3, [4] M. Miletić, Anlitički i priližni izrzi z prorčun krkteristične impednse vodov rzličitih poprečnih presek, Diplomski rd, Tehnički fkultet Ččk, 00. [5] J. Surutk, Elektromgnetik, Akdemsk Miso, Beogrd, 006.