Нов софтвер: Софтверски модули за 2D анализу затворених електростатичких проблема јаком ФЕМ формулацијом

Transcript

1 Нов софтвер: Софтверски модули за 2D анализу затворених електростатичких проблема јаком ФЕМ формулацијом Руководилац пројекта: Братислав Миловановић Одговорно лице: Жаклина Манчић Аутор: Жаклина Манчић Развијено у оквиру пројекта Технолошког развоја TR Кратак опис Нови софтверски модули, који се могу користити као независан софтвер за прорачун 2D затворених електростатичких проблема, конктерно оклопљених тракастих водова са изотропном, анизотропном и биизотропном ( Телегеновом) диелектричном подлогом. У основи софтверске имплементације је тзв. јака FEM Галеркинова формулација. Особености употребе јаких функција базиса у FEM /Галеркиновој методи су у могућности да се помоћу адекватних функција базиса одабраних из потпуног скупа функција базиса аутоматски задовоље како Нојманови тако и Дирихлеови гранични услови. Техничке карактеристике Прорачун подужне капацитивности (за вишежичне водове прорачун парцијалних капацитивности) и карактеристичне импедансе оклопљеног вода са диелектричном подлогом. Прорачун интензитета електричног поља у унутрашњости вода. Техничке могућности Врши се прорачун у општем случају вишежичних водова правоугаоног попречног пресека са вишеслојном изотропном или анизотропном подлогом или би-изотропном подлогом Телегенобог типа уз могућност израчунавања компоненти електростатичког поља у оквиру излазне датотеке тако да се може директно представити расподела електричног поља у попречном пресеку оклопљеног вода. Реализатори Електронски факултет Ниш Корисници Лабораторија за микроталасну технику и бежичне комуникације Електронског факултета у Нишу Подтип решења Софтвер (М85)

2 Стање у свету За прорачун електростатичких проблема према сазнању аутора у свету постоји велики број моћних и веома скупих програмских пакета који раде електростатичку али и потпуну таласну анализу применом углавном чворно заснованих метода коначних елемената. Ови пакети се користе у практичне и едукативне сврхе. Програмски пакети који се базирају на примени метода коначних елемената (FEM) су вероватно и најраспрострањенији. FEM концепција се углавном базира на чворно заснованим функцијама базиса, што захтева велике меморијске ресурсе и у процесу рачунања намеће често огроман број променљивих. FEM је јако распрострањен нумерички метод а чини га неколико глобалних корака - дискретизација домена (формирање мреже коначних елемената), избор интерполационих функција, прорачун карактеристика елемената, формирања система једначина, решавање система и прорачун одговарајућих, у овом случају електростатичких, параметара. У току прорачуна се ради са ретко поседнутом матрицом система која захтева посебан приступ и третман, одн. меморисање и рад само са ненула елементима. Нека од питања која се јављају код наведеног метода су тачност решења, горња и доња граница апроксимације, стабилност и брзина конвергенције. Отуда и велики број варијанти FEM - а. У [6-3] је поред јаке FEM/Галеркинове формулације анализирана и слаба ФЕМ/Галеркинова формулација, конвергенција резултата и вршено поређење тачности добијених резултата за benchmark геометрије. Показало се да су одступања приближних резултата од тачних минимална, у неким случајевима мања од 0.% са малим бројем коначних елемената ( једноставна правоугаона мрежа) и нижим редом функције базиса. Полазећи од идеје да се направи програмски пакет довољно тачан и брз, који не захтева скупу рачунарску опрему а може да анализира већи број структура, такав да се структура може задати преко потпрограма који је описује дајући потребне податке за даљи прорачун, развијени су софтверски модули за прорачун 2D затворених вишежичних правоугаоних водова са вишеслојном диелектричном подлогом која је у општем случају анизотропна. Опис Софтвер се базира на примени 'јаке' ( strong) FEM / Галеркинове формулације на затворени домен са Сл.. Средина унутар домена је у општем случају анизотропна. Полази се од диференцијалне једначине за електрични скалар потенцијал, div ( ε grad ) = 0, где је S div S дивергенција по површини, grad S - градијент по површини а ε -дијагонални 2 2 тензор пермитивности, ε = diag[ εxx ε yy ]. За ε xx = ε yy средина је изотропна. Домен који се прорачунава дели се на M поддомена (коначних елемената) а приближно решење за електрични скалар потенцијал V ( x, y ) се предстаља у виду линеарне комбинације функција базиса, N = j j, где су j j= V f a f a непознати коефицијенти. У примењеној анализи извршена је деоба на правоугаоне елементе. Свака од функција базиса је ненула на површини једног елемента (за функције синглета) или на неколико суседних елемената (за функције дублета и квадруплета). S V

3 Сл. Према Галеркиновој процедури систем линеарних једначина је облика [ K ][ a ] = [ G ], i, j =, K, N, () ij j i ( )( ) Kij = grad fi ε grad f j ds, S G f D l =, (2) i i n0 d C2 где је D n0 позната нормална компонента вектора D на контури C 2, i и j су глобални M индекси функција базиса, S је површина посматраног домена, S = U S e e, и S је површина e-тог елемента. Решавањем Error! Reference source not found., добијају се непознати коефицијенти a j, а тиме и проближна вредност расподеле потенцијала V. У [3] је уведена јака FEM формулација за D EM проблеме уз увођење посебних јаких базисних функција које задовољавају C континуитет. Аналогно, за 2D електростатичке проблеме јаке 2D 0 функције базиса аутоматски задовољавају континуитет потенцијала V ( C континуалност) и континуитет D n (генерализована C континуалност) на границама између елемената ( C int на Сл.). Комплетан скуп јаких функција базиса за 2D проблеме у хомогеној ( изотропној или анизотропној) средини садржи четири типа квадруплета (Сл.2), два типа дублета (Сл.3) и различите синглете (Сл.4). e= Сл. 2. Квадруплти за јаку FEM формулацију. Обезбеђују континуитет (a) V, (b) D ny, и (d) D nx као и D ny. D nx, (c)

4 Сл. 3. Дублети за јаку ФЕМ формулацију Сл. 4. Типичан синглет за јаку ФЕМ формулацију После одређивања непознатих коефицијената у приближном изразу за електрични скалар потенцијал, рачунају се релевантни електростатички параметри. Детаљан опис и корисничко упутство Софтверски модули су направљени коришћењем Compaq Vusual Fortran-а. Сама процедура састоји се од неколико корака. Први је формирање 2Д мреже којом је обухваћена површина попречног пресека. Нека задатак прорачуна буде оклопљена проводна трака, Сл.3, Сл.3 коначне дебљине t и ширине w у простору испуњеном анизотропним материјалом, ексцентрично постављена унутар оклопа димензија axb. Пример је једноставан уз напомену да софтвер допушта анализу вишежичног вода са вишеслојним диелектриком и да се ефекти крајева могу узимати посебно у обзир тако што се може повећавати ред функција базиса оних коначних елемената који су непосредно уз крајеве. Траке могу бити коначне или занемарљиве дебљине. Први корак је припрема података на основу којих се формира матрица система. Ту спада:

5 -формирање мреже коначних елемената, при чему се после уношења потребних димензија према Сл.3 и броја подеока (учитавањем из текстуалне датотеке у потпрограму genulazpod.for) дуж појединих сегмената као на Сл.4 Сл.4 врши додела индекса чворовима, као на Сл.5: Sl.5 Излазни фајл као резултат покретaња наведене рутине у коме се чувају подаци о укупном броју страница коначних елемената које припадају проводним контурама затвореног домена ( за случај са Сл.5 тај број је 64), типу граничних услова према доњој табели čvor(почетни) čvor2(крајњи) tip V 0 D n

6 је такође текстуална датотека са којом се даље ради. Следећи корак је покретање рутине preproc.for која рачуна координате чворова на основу раније учитаних података и као резултат даје текстуалну датотеку према табели: Redni broj čvora i xk ( i ) yk ( i ) Следећи корак је нумерисање елемената и проналажење чворова који припадају елементу е мреже, што обавља рутина preproc2.for, затим додељивање вредности диелектричне константе сваком елементу мреже (preproc3.for) као и налажење групе од по четири елемента са заједничким чвором, јер се над таквом групом формира квадруплет и налажење групе од по два суседна елемента над којом се формира дублет. Све ово спада у препроцесинг, тј увод у формирање матрице система. Матрица система је ретко поседнута, а на њеној десној страни се налазе познати коефицијенти који су прешли са леве на десну страну у једначини () које чине делови квадруплета типа а) који припадају проводним контурама и нису нула дуж ивица тих (проводних) контура, што представља задовољење Дирихлеовог граничног услова.у наведеном примеру нема симетрије па се не укључују директно Нојманови услови а иначе се укључују у случајевима где постоји симетрија проблема избацивањем оних функција базиса које нису нула на делу контуре на коме је D n = 0 и тиме смањује број непознатих. Када је извршена припрема и израчунати коефицијенти за матрицу система приступа се њеном паковању у вектор, јер је то ретко поседнута матрица, која садржи велики број елемената који су једнаки нули. За рад са овом матрицом, употребљена је фортранска рутина linbcg.for [4]. После решавања система приступа се постпроцесингу, тј издвајању оних израчунатих коефицијената уз функције базиса који одговарају е-том елементу а затим се подужна капацитивност рачуна преко енергије: 2 W = C U = w ds = d S, = gradv 2 2 e E D E e e e e S S e ' где је S површина е-тог елемента, а W енергија по површини попречног пресека. Излазни резултати се штампају у текстуалну датотеку, а рачуна се подужна капацитивност, одн. eff релативна ефективна пермитивност, ε r и карактеристична импеданса, Z c. Такође је постоји опција рачунања Ex и Ey компонената поља у низу тачака мреже, при чему је омогућено задавање корака мреже за рачунање поља, да би се затим излазна датотека увезла у потпрограм направљен помоћу програмског пакета Mathematica (Wolfram) где се помоћу функције цртају линије електричног поља у попречном пресеку структуре, па се тако, за посматрани вод (испуњен конкретно сафиром) добија

7 ( a / b = 3, w / b =, t / b = 0., h / b = 0.45, s / b = 0.5 ). Сл.5 Линије електричног поља добијене уз помоћ функције (Mathematica Wolfram) Још нека корисничка упутства, ограничења и конвергенција Раније је наведено да су софтверски модули написани у Compaq Vusual Fortran-у. Дакле подаци се уносе преко улазних текстуалних датотека. Језгро програма ради са већ припремљеним коефицијентима матрице система и позива потпрограм linbcg.for за решавање ретко поседнутог система једначина. Према задатој геометрији се пишу ( дакле може се надоградити) или из скупа постојећих бирају рутине које обављају припрему података. Минималан ред јаких функција базиса који се може изабрати је 3, с обзиром на облик ових функција [3] а горња граница за ред функција базиса формално не постоји, али је према досадашњем искуству аутора горња граница доста нижа од 0 (због рапидног пораста дужине трајања прорачуна услед повећања броја непознатих због пораста броја синглета што утиче и на стабилност конвергенције резултата) јер се задовољавајућа конвергенција добија већ за ред једнак 3. У сврху анализе тачности и конвергенције као илустрација послужиће поређење добијених резултата за геометрију са Сл.3 добијених са 52 коначних елемената и ред функције базиса 3 ( минималан), за анизотропан диелектрик сафир εr,sap.=diag[9.4.6], (за h = b / 2 и симетрично постављен унутрашњи проводник) са резултатима добијеним помоћу комерцијалног програмског пакета CST [5]. Сл 6 и Сл 7 показују да је слагање резултата одлично [4].

8 FEM strong formulation CST, f=0.5ghz Sapphire a/b=5 a/b=4.2. a/b=3 ε.0 re a/b= a/b= t/b= w/a Sl.6 Ефективна релативна диелектрична константа, eff ε r,у функцији w / a, за диелектрик сафир Strong FEM formulation CST, f=0.5ghz 40 a/b= Sapphire 35 Z c [Ω] 30 a/b=2 25 t/b= a/b=3 a/b=4 a/b= w/a Sl.7 Карактеристична импеданса, Z c, у функцији w / a, за диелектрик сафир Још једно ограничење је могућност рада, за сада само са правоугаоним коначним елементима што намеће геометријске карактеристике класа проблема који се могу анализирати. Литература [] J. Jin, The Finite Element Method in Electromagnetics, Wiley:NewYork, 993. [2] P.P. Silvester, Finite Elements for Electrical Engineers, 3rd Ed., Cambridge University Press, 996.

9 [3] V. V. Petrovic and B. D. Popovic, Optimal FEM solutions of one-dimensional EM problems, International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Field, vol. 4, no., pp , Jan.-Feb [4] Numerical Recipies in Fortran 77, The Art of Scientific computing, Second edition, Volume of Fortran Numerical Recipes,William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, 2.7 Sparse Linear Systems pp.63-82, [5] CST Studio Suite, ver. 200, CST Computer Simulation Technology AG, Darmstadt, 200. [6] Žaklina J. Mančić, Slavoljub R. Aleksic, Vladimir V. Petrović, Comparison of FEM, MoM and EEM in Solving a Benchmark 2D Electrostatic Problem, Proc. 8th International Conference On Applied Electromagnetics PES 2007, Niš, September 3-5, [7] Žaklina J. Mančić, Vladimir V. Petrović, Analiza konvergencije i tačnosti metoda konačnih elemenata za proračun vodova sa TEM talasom, Proc. YUINFO 2009, Kopaonik, Mart 8-, [8] Žaklina J. Mančić, Vladimir V. Petrović, Strong FEM Solution for the Square Coaxial Line, Proc. TELSIKS 2009, Niš, pp , October 7-9, [9] Z. J. Mancic, V. V. Petrovic, Analiza kvadratnog koaksijalnog voda sa anizotropnim dielektrikom metodom konačnih elemenata, Proc. XVIII Telekom. forum TELFOR, Belgrade, Serbia, November 200, pp (štampano i u časopisu Telfor journal 20 Vol 2.). [0] V. V. Petrovic, Z. J. Mancic, Strong FEM Formulation for Quasi-Static Analysis of Shielded Planar Transmission Lines in Anisotropic media, 5th European Conference on Circuits and Systems for Communications (ECCSC'0), Belgrade, Serbia, November 200, pp [] Ž. J. Mančić and V. V. Petrovic, Strong and Weak FEM Formulations of Higher Order for Quasi-Static Analysis of Shielded Planar Transmission Lines, Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 53, No. 5, pp. 4 9, May 20 [2] Žaklina J. Mančić, Vladimir V. Petrović Strong FEM Calculation of the Influence of the Conductor s Position on Quasi-Static Parameters of the Shielded Stripline With Anisotropic Dielectric, ICEST20, Niš, June 29-July. [3] Zaklina J. Mancic, Vladimir V. Petrovic, Quasi-Static Analysis of the Square Coaxial Cable with Tellegen Biisotropic Material,, pp , Telsiks 20, Serbia, Niš, October 5-8, 20. [4] Ž. J. Mančić and V. V. Petrovic, "Strong FEM Formulation for Quasi-Static Analysis of Shielded Striplines in Anisotropic Homogeneous Dielectric" in its current form for publication in Microwave and Optical Technology Letters, dostupno na zahtev.