Слика 1. Слика 1.1 Слика 1.2 Слика 1.3. Количина електрицитета која се налази на електродама кондензатора капацитивности C 3 је:

Transcript

1 Три кондензатора познатих капацитивности 6 nf nf и nf везани су као на слици и прикључени на напон U Ако је позната количина наелектрисања на кондензатору капацитивности одредити: а) Напон на који је прикључена ова веза кондензатора б) Енергију на сваком од кондензатора Слика а) Ако је позната количина електрицитета којом је оптерећен кондензатор капацитивности може се израчунати напон на том кондензатору који је уједно и напон на њему паралелно спрегнутом кондензатору капацитивности (слика ): Слика Слика Слика U kv U U (паралелна веза) Количина електрицитета која се налази на електродама кондензатора капацитивности је: U Да би се кондензатори и оптеретили тим количинама наелектрисања кроз кондензатор капацитивности је протекла количина електрицитета (слика ): (редна веза) Напон на и напон на који је прикључена ова мешовита веза кондензатора је: U 5kV U U U 5kV б) На основу познатог напон и количина електрицитета могу се израчунате енергије на сваком од кондензатора:

2 W U 75 mj W U 5 mj W U mj Укупна енергија на свим кондензаторима је W W W W 5 mj На основу закона о одржању рада и енергије исту толику енергију извор напона U предаје кондензаторима у току њиховог пуњења (теоријски тај прелазни режим траје неограничено дуго) тј W e U 5 mj (слика ) Израчунати еквивалентну капацитивност везе кондензатора са слике Уколико се ова веза прикључи на напон U V одредити укупну енергију свих кондензатора Познато је: 6nF 9 nf 8nF Слика Слика Слика Слика Редна веза кондензатора и се може заменити једним кондензатором капацитивности е (слика ): e 6nF У односу на крајеве и еквивалентна капацитивност је (слика и слика ): e e nf e Количина наелектрисања на еквивалентном кондензатору : e eu e e истаје као и на кондензатору

3 Израчунавање осталих вредности се врши на следећи начин: U V U U U V U 6 6 U V U U U V Укупна енергија једнака збиру електростатичких енергија свих кондензатора је: We eu 8 J Кондензатори капацитивности nf nf и 5nF непознати напон U (слика ) Ако је напон на кондензатору капацитивности одредити: а) Напон U б) Укупну енергију кондензатора прикључени су на U V Слика Слика Слика а) Сличним поступком као што је то показано у претходним примерима добија се: U 8 8 (слика ) 5 nf U 6 V

4 б) Када се веза кондензатора замени једним кондензатором еквивалентне капацитивности e (слика и слика ) e nf за укупну електростатичку енергију свих кондензатора се добија: W eu 8 mj e У вези кондензатора са слике познати су напон U на кондензатору и капацитивности свих кондензатора Израчунати прикључен напон U и енергије свих кондензатора Познато је: U V nf nf 6 nf Слика Слика На основу означених вредности напона и наелектрисања свих кондензатора (слика ) може се писати: U n (редна веза) U V U U U 6 V U 8n n U V U U U 9V Енергије појединих кондензатора су: W U 5μJ W U 5μJ W U μj W U μj 5 Три равна ваздушна кондензатора повезана су као на слици 5 и прикључена на стални напон Одредити напоне и количине наелектрисања на сваком од кондензатора Ако се између облога кондензатора капацитивности убаци диелектрик релативне диелектричне константе одредити промену укупне енергије ове везе кондензатора Познато је: nf 7nF nf и 5V

5 Слика 5 e 5nF e e 5 n e 5 n U 5V U U U 5 V U 75n 75 n Када се у међуелектродни простор кондензатора убаци хомоген диелектрик релативне диелектричне константе његова капацитивност се повећава пута: e 8nF Ако се укупна електростатичка енергија свих кондензатора пре убацивања диелектрика у кондензатор капацитивности обележи са W e а након убацивања изолатора са W e ' онда је: We e 65 J We e J W e We We 75 J 6 У колу приказаном шемом на слици 6 познате су вредности капацитивности свих кондензатора као и количина наелектрисања на кондензатору Израчунати напон U на који је веза кондензатора прикључена еквивалентну капацитивност везе кондензатора као и укупну енергију везе кондензатора Нумерички подаци: nf nf n Слика 6 Слика 6 Слика 6 Слика 6

6 Кондензатори и везани су у паралели (слика 6): e nf па на ред са кондензатором (слика 6) За еквивалентну капацитивност (слика 6) се добија: e e nf e Напон U на који је веза кондензатора прикључена добија се на следећи начин: U V U U U V n (јер је ) 6n e 6n e U 5V e Укупна енергија је: e W eu eu 5 nj e 7 Веза кондензатора приказана на слици 7 прикључена је на непознат напон U Ако је кондензатор оптерећен количином електрицитета одредити: а) Напон U б) Количину електрицитета на сваком од кондензатора в) Енергију на сваком од кондензатора Познато је: μf μf μf 5 8μF m Слика 7 Слика 7 а) U U U U V kv (паралелна веза- слика 7) б) U m U m U m m (редна веза) в) W U 5J W U J W U 5J W J W 5 J 5

7 8 Група кондензатора повезана је као на слици 8 и прикључена на напонски генератор електромоторне силe U V Одредити еквивалентну капацитивност ове групе кондензатора као и напоне и количине наелектрисања на сваком од кондензатора Познато је: μf μf Слика 8 Редна веза кондензатора се може заменити кондензатором капацитивности e : e 5 e μf која је везана паралелно са преостала три кондензатора: 8μF e e Напон на паралелно везаним кондензаторима је исти: U U U U U V e а пошто су исте и њихове капацитивности иста су и њихова наелектрисања: e e U Кондензатори су везани редно па је на њима исто наелектрисање: e одакле следи да је: U U U5 U6 U7 U8 V 5 9 Група кондензатора је прикључена на напон U 8 V (слика 9) Одредити: а) Еквивалентну капацитивност између тачака и б) Напоне и количине наелектрисања на сваком од кондензатора в) Укупну енергију кондензатора Познато је: μf μf

8 Слика 9 5 ) e μf 7 e 5 6 μf e e U U U Ue U б) U 8 V U 5 6 U 5 U6 U7 U8 U9 U U V 7 U 56 e e e 56 eu 9 в) W mj Шест кондензатора познатих капацитивности nf 5 6 nf и nf повезана су као на слици Количина наелектрисања на кондензатору је позната и износи μ Одредити еквивалентну капацитивност ове везе кондензатора и напон на који је она прикључена Одредити укупну енергију свих кондензатора Слика nf 56 nf e 56 nf 56 e e 5nF e Прикључени напон се може израчунати на следећи начин:

9 56 U V U 56 U5 U6 V U e U U56 kv 56 U U e 6 e / kv U Ue U U kv Укупна енергија је: e W e U mj Одредити укупну енергију везе кондензатора са слике Познато је: V μf 6μF μf μf Слика 5 e F e e F 5 6 e F e W e e 5 mj 7 Израчунати напоне и количине наелектрисања на свим кондензаторима у колу приказаном на слици Познато је: 5 μf μf U 5 V Слика

10 U U V U V F U V (или U U U U U V ) U U5 V U U 6V U U V 5 Сферни кондензатор полупречника електрода и има диелектрик од два концентрична слоја релативних диелектричних константи и Раздвојна површина диелектрика је полупречника (слика ) а оптерећење кондензатора Одредити: а) Вектор електричне индукције у функцији растојања од центра кондензатора б) Вектор јачине електричног поља у функцији растојања од центра кондензатора в) Вектор јачине поларизације у функцији растојања од центра кондензатора P г) Потенцијал у функцији растојања од центра кондензатора ако је спољашња електрода кондензатора на нултом потенцијалу д) Капацитивност кондензатора ако је m m 6 m и 5 Слика Слика На унутрашњој електроди кондензатора је равномерно распоређено наелектрисање (постоји висок степен централне симетрије) док се на спољашњој електроди занемарљиве дебљине налази иста количина негативног оптерећења Међуелектродни простор се састоји из два дела па је неопходно применити генералисани Гаусов закон (трећу Максвелову једначину):

11 I) : У овој области не постоје линије поља вектора диелектричног помераја и вектора јачине електричног поља (на даље ће се сматрати да је у овој области тај услов увек испуњен када у њој нема наелектрисања) а нема ни обухваћених слободних наелектрисања (потребан али не и довољан услов да не постоји поље) Пошто вектор диелектричног помераја стварају слободна наелектрисања то значи да у овој области не постоји електрична индукција не постоји ни електрично поље ни вектор поларизације: P II) : У средини хомогеног диелектрика чија је релативна диелектрична константа обухваћена количина слободног електрицитета је она која се налази на унутрашњој електроди кондензатора За векторе и P се добија (слика ): P Пројекције ових вектора на радијалну координату сферног координатног система у околини тачака дисконтинуитета су: а P 8 P 8 а P III) : У средини испуњеној хомогеним диелектриком релативне диелектричне константе 5 се не налазе додатна слободна наелектрисања па је иста количина обухваћених слободних наелектрисања као и у претходном изолатору (слика ):

12 До истог израза за електричну индукцију у овој средини се долази на следећи начин: Ако на раздвојној површини два диелектрика нема слободних наелектрисања нормална компонента вектора диелектричног помераја (једина у овом примеру) остаје непромењена тј За електрично поље и поларизацију се добија: P 5 За граничне вредности интензитета ових вектора се добија: а P 5 P 5 5 У оба диелектрика постоје запреминска везана наелектрисања Због различитих вредности вектора јачине поларизације на развојној површини диелектрика постоје негативна везана наелектрисања површинске густине: v P P 6 IV) : Алгебарски збир обухваћених слободних наелектрисања (распоређених на електродама кондензатора) је па је:

13 Промена електричне индукције електричног поља и поларизације у функцији растојања од центра система је приказана на сликама и Слика Слика Слика Слика 5 Довођењем спољашње електроде на нулти потенцијал одводе се позитивна слободна наелектрисања са спољашње стране спољашње електроде Зато постоје само негативна слободна наелектрисања са унутрашње стране спољашње електроде Расподела потенцијала је приказана на слици 5 а одређује се на следећи начин: IV) : P l M III) : P M l

14 II) : I) : Капацитивност се добија када се одреди напон између електрода и потражи однос количине електрицитета и напона: U U 96 pf Капацитивност се може одредити и као редна веза два кондензатора и : Сферни кондензатор (слика ) испуњен је чврстим и течним диелектриком релативних диелектричних константи 8 и Кондензатор је најпре оптерећен количином електрицитета а затим искључен са извора сталног напона U Када течни диелектрик исцури кроз отвор долази до пробоја у ваздушном делу кондензатора Израчунати прираштај напона кондензатора од тренутка искључивања извора до момента пробоја Познато је: 5mm 7mm mm и kv MV/m Слика

15 Вектори диелектричног помераја јачине електричног поља и јачине поларизације су нормални на раздвојну површину два диелектрика па се при одређивању њихове расподеле користи генералисани Гаусов закон и гранични услов за нормалну компоненту вектора диелектричног помераја n n Електрично поље се скоковито мења и има различите вредности и првој и другој средини: Пре искључивања са извора сталног напона важе следећи изрази: па је U а након што диелектрик исцури: па је U Разлика напона је: U U U Када диелектрик исцури поље у ваздушниом делу је Да не би дошло до оштећења кондензатора не сме да попусти ни један диелектрик Критичне области су површина унутрашње електроде и раздвојна површина два диелектрика У задатку је дато да

16 проблем настаје на граници диелектрика у ваздушном делу па је максимална вредност је mx и она не сме бити већа од критичног поља за ваздух k v : mx k v k v Заменом добијеног израза за количину електрицитета у израз за промену напона добија се: U k v 75 V 5 Проводник кружног попречног пресека полупречника mm обложен је слојем диелектрика релативне диелектричне константе и дебљине mm (слика 5) Aко је проводник оптерећен сталним подужним наелектрисањем p m oдредити расподелу електричне индукције електричног поља поларизације P и напон између тачака А и В U AB Израчунати интензитет вектора електричног поља на растојањима 6 mm и mm од осе проводника Слика 5 Слика 5 На површини проводника се налазе равномерно распоређено подужно слободно наелектрисање (постоји висок степен аксијалне симетрије) У диелектрику којим је проводник обложен формирају се електрични диполи који стварају запреминска везана наелектрисања У ваздушном делу нема везаних наелектрисања па на раздвојној површини диелектрик-ваздух са стране диелектрика постоје позитивна површинска везана наелектрисања Вектор диелектричног помераја постоји у областима и и има исту зависност од растојања од oсе проводника Разлог томе је што је и у диелектрику и у ваздуху исто обухваћено слободно наелектрисање Осим тога и на граници диелектрик-ваздух се не мења електрична индукција (гранични услов n n ) Гаусова површина је цилиндар чија се оса поклапа са осом проводника полупречника и висина h ( слика 5) Излазни флуксеви вектора и Е кроз базисе су једнаки нули постоји само флукс кроз омотач цилиндра:

17 h B B За радијалне компоненте (једине компоненте у овом примеру) вектора електричне индукције вектора јачине електричног поља и вектора јачине поларизације се добија: : P : h P 8 8 : h P Граничне вредности функција су: 8 6 P 8 6 P P P На раздвојној површини диелектрик-ваздух са стране диелектрика постоје позитивна површинска везана наелектрисања: P P v 6 Расподел електричне индукције електричног поља и вектора поларизације P приказана је на сликама 5 5 и 5

18 Слика 5 Слика 5 Слика 5 Интензитет вектора електричног поља на растојањима проводника је: 6 mm и mm од осе 75 V m 5 V m док је напон између тачака А и В U AB 9 V 6 Коаксијални кондензатор полупречника електрода и дужине h има диелектрик који се састоји из два коаксијална слоја (слика 6) релативних диелектричних константи и Раздвојна површина диелектрика је полупречника Кондензатор је оптерећен наелектрисањем сталне подужне густине ' а) Извести изразе за интезитет вектора електричне индукције и јачине електричног поља у функцији растојања oд осе кондензатора б) Израчунати јачину електричног поља на растојањима и в) Одредити интезитет вектора јачине поларизације у функцији растојања од осе кондензатора г) Израчунати подужну капацитивност Познато је: m m m 5 m m p ' 5 m

19 Слика 6 Слика 6 ) и : Е : l o l l o B B 8 ) : : 8 V 6 m V 75 m в) P P : P : P 8 г) Подужна капацитивност се може израчунати на два начина: Одређивањем напона између електрода кондензатора у функцији подужне количине електрицитета U l l l pf 6 U 5 m

20 Као редна веза два кондензатора ' и ' : ' ' ' ' ' 7 Цилиндрични кондензатор полупречника електрода и испуњен је са два коаксијална диелектрична слоја релативних диелектричних константи ε и ε као на слици 7 Спољашња електрода је на нултом потенцијалу а) Одредити интензитет вектора диелектричног помераја и вектора јачине електричног поља као и потенцијал у функцији растојања од осе кондензтора б) Одредити подужну капацитивност кондензатора Нумерички подаци: e m e m e m ε ε Слика 7 ) Интензитет вектора диелектричног помераја : : l o l l o B B : l l Интензитет вектора јачине електричног поља: : : : : Потенцијал

21 : l : l : l : l 5 б) U l 8 8 F m U 8 Цилиндрични кондензатор полупречника електрода m и m налази се у вакууму и испуњен је диелектриком који се састоји од два коаксијална слоја релативних диелектричних константи и Раздвојна површина диелектрика је полупречника m а) Одредити тако да енергија електростатичког поља локализована у диелектрику релативне диелектричне константе буде три пута мања од енергије локализоване у диелектрику релативне диелектричне константе б) За тако одређено израчунати максимални напон на који се сме прикључити кондензатор ако су критична поља диелектрика k MV m и k 5MV m Слика 8 а) Поље постоји само у међуелектродном простору На раздвојној површини два диелектрика је исте су обухваћене количине слободног наелектрисања па је Пошто је W ' W ' добија се:

22 па је 6 б) Максимална вредност поља у првом и другом диелектрику су: mx mx У претходна два израза фигурише подужно наелектрисање а у задатку се тражи максимални напон на који сме кондензатор да се прикључи Зато се замењује преко подужне капацитивности и напона ' U где је: У средини где је пермитивност максимално електрично поље не сме да има вредност већу од критичне вредности за тај диелектрик: mx k одакле се добија: U U k k U k U mx k 6968 kv У средини где је пермитивност максимално електрично поље не сме да има вредност већу од k 5MV m : mx k U U k k

23 U k U 7 59 kv mx 8 k Први услов даје мању вредност напона на који сме кондензатор да се прикључи он је јачи услов па је U U 6968 kv mx mx 9 У циљу изједначавања електричног поља коаксијалног кабла изолација кабла је начињена од два коаксијална слоја релативних диелектричних константи ε и ε (слика 9) Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је а спољашњег а) Одредити полупречник раздвојне површине два диелектрика тако да максимално електрично поље у оба диелектрика буде исто б) Одредити на који максимални напон се овај кабл може прикључити а да притом не дође до пробоја в) Нацртати графике и Познато је: k MV m k MV m m m ε ε Слика 9 ) m ) k k mx k 8 k k (критичнији услов)

24 U U mx l mx k 79 kv Коаксијални кабл полупречника проводника 8 mm и 5 mm и дужине L m (ефекат крајева се може занемарити) испуњен је до половине уљем непознате диелектричне константе (слика ) Напон између проводника кабла је U Након искључивања кабла са извора напајања уље из међуелектродног простора се испусти Тада се напон између проводника кабла повећа три пута U' U Одредити диелектричну константу уља које се налазило у каблу Слика Слика Нека је I) Пре истицања уља: Електрична индукција електрично поље и вектор јачине поларизације постоје само у области између проводника кабла Сви ти вектори на раздвојној површини имају само тангенцијалне компоненте (слика ) па се одређују применом генералисаног Гаусовог закона и граничног услова за тангенцијалну компоненту електричног поља ( t t ) Електрично поље у обе средине је исто али се разликују вектори диелектричног помераја: Флукс вектора диелектричног помераја кроз базисе је нула постоји само флукс кроз омотач: ' L L o B B Међутим када се одређује флукс кроз омотач он се мора одредити посебно кроз половину омотача који се налази у средини а посебно кроз половину омотача у средини

25 (слика ) Вектор диелектричног помераја је колинеаран са вектором површине омотача у обе средине у свакој средини има исту вредност у било којој тачки на растојању од осе каба па се може извући испред интеграла: L o o o o o o o L одакле се за електрично поље у обе средине добија: Вектор диелектричног помераја има различите вредности: На основу претходна два израза може се закључити да је површинска густина слободних наелектрисања на проводницима коаксијалног кабла већа у оном делу кабла који се налази у средини са већом диелектричном константом На унутрашњем проводнику је: s s а на спољашњем: s s Везана наелектрисања на унутрашњем проводнику су: ) ( v P P v а на спољашњем:

26 v P ( ) v P У ваздушном делу кабла релативна диелектрична константа једнака је јединици ( ) па нема везаних оптерећења на том делу проводника Напон између унутрашњег и спољашњег проводника се добија као линијски интеграл електричног поља од унутрашњег до спољашњег проводника (све једно је да ли се прелази преко прве или преко друге средине јер је исто поље у оба диелектрика): U l Након искључивања генератора количина електрицитета остаје непромењена ' ' ' Уље исцури из простора у коме се претходно налазило тако да је сада присутан само ваздух Тада је: Е а напон: U ' l Из услова да је 5 U' U добија се: Задатак је могуће решити и на други начин: Пре искључивања генератора постоји паралелна веза два кондензатора и : L L

27 e U e После истицања уља ( ): U L Из услова датог у задатку U U добија се: 5 Усамљени бесконачно дуг цилиндар од диелектрика (слика ) релативне диелектричне константе и попречног пресека полупречника оптерећен је запреминском густином наелектрисања која се мења у функцији растојања од осе цилиндра по закону onst Цилиндар се налази у вакууму а) Одредити и нацртати дијаграм промене интензитета вектора диелектричног помераја и јачине електричног поља у функцији растојања од осе цилиндра б) Одредити потенцијал на оси цилиндра као и на растојању од осе ако је референтна тачка нултог потенцијала на површини цилиндра Слика ) Вектор диелектричног помераја се одређује применом треће Максвелове једначине на цилиндричну површину чија се оса поклапа са веома дугачким диелектричним цилиндром У обе средине постоји само флукс кроз омотач: h B B h : V h V

28 : Дијаграми 8 h h V h V и су приказани на сликама и респективно б) За потенцијале се добија: Слика Слика p 6 p Дата је редна веза два идентична равна ваздушна кондензатора површине електрода међуелектродног растојања и оптерећена количинама наелектрисања За колико ће се променити енергија ове редне везе ако се међуелектродни простор једног од кондензатора испуни диелектриком релативне диелектричне константе а растојање између његових електрода смањи за трећину? Капацитивност плочастог ваздушног кондензатора је: Ако се међуелектродни простор испуни диелектриком релативне диелектричне константе а растојање између електрода смањи на једну трећину капацитивност тог кондензатора је:

29 Редна веза два ваздушна кондензатора: е W е е Редна веза ваздушног кондензатора и кондензатора са диелектриком: e ε ε Wе W е ε е 6ε Промена електростатичке енергије је: W W е W W W е е 6 е Раван ваздушни кондензатор приказан на слици прикључен је на извор напона U Растојање између електрода кондензатора је а њихова површина Диелектрик је састављен из два диелектрична слоја диелектричних константи ε и ε тако да први заузима три пута више међуелектродног простора од другог Израчунати интезитет електричног поља и електричне индукције у сваком од диелектрика Oдредити капацитивност кондензатора Познато је: m U kv ε ε m Слика Слика Вектори диелектричног помераја и јачине електричног поља су тангенте на раздвојну површину два диелектрика диелектричних константи ε и ε Користећи гранични услов за тангенцијалну компоненту електричног поља добија се: t t U kv 5 m m m Применом Максвеловог постулата на површину квадра чија се једна страница налази у простору између облога кондензатора паралено са њима (слика ) добија се:

30 одакле је: Напон између електрода кондензатора је: Е l Е Е l l U па се за капацитивност добија: U 5875pF Капацитивност кондензатора се може израчунати и као паралелна веза два кондензатора и : 75 pf pf 5 pf 5875 e Раван ваздушни кондензатор (слика ) капацитивности начињен је од плоча у облику квадрата странице које се налазе на међусобном растојању ( ) Израчунати за колико се промени капацитивност кондензатора када се он делимично потопи у трансформаторско уље чија је релативна диелектрична константа : а) као на слици б) као на слици Слика Слика Слика

31 Нека је капацитивност равног ваздушног кондензатора а) Сличним поступком као у претходном примеру добија се еквивалентна капацитивност: e p p p p e e б) У овом случају вектори диелектричног помераја и јачине електричног поља су нормални на раздвојну површину два диелектрика и Користећи гранични услов за нормалну компоненту вектора диелектричног помераја добија се: n n Напон између електрода је: U Е Е одакле се за капацитивност добија: е U Капацитивност се може израчунати и као редна веза два кондензатора: e e Промена капацитивности је: e

32 5 Два плочаста кондензатора истих димензија ( m m ) испуњена су различитим диелектрицима ( и 5 ) а критична електрична поља износе k 5kV/m и k kv/m респективно Одредити: а) Максимални напон на који се може прикључити редна односно паралелна веза ова два кондензатора б) Максималну енергију везе кондензатора Нека је 5 F а) Редна веза: mx Први начин: mx mx U U mx mx mx / mx k mx kv/m () mx / mx k mx 5kV/m () При услову () долази до пробоја у првом кондензатору тако да се усваја услов () mx k k mx U mx k V mx U mx Umx kv U U U kv mx mx Други начин: mx U U k U k kv U k U k 7 kv Усваја се мања вредност напона: U U mx kv

33 Паралелна веза U mx Umx Umx U V mx k U V (при овом напону већ долази до пробоја у првом кондензатору) mx k U mx kv б) Редна веза e 7 mx eu mx 5 pj Паралелна веза ep W 7 W mx epu mx 5875 pj