Signály operácie (OPAKOVANIE) Základné operácie: +, -, *, /,,, urychlenie, spomalenie, posun signalov, otočenie signálov... Pokročilé operácie

Transcript

1 Sigály operácie (OPKOVNIE) Základé operácie: +, -, *, /,,, urychleie, spomaleie, posu sigalov, oočeie sigálov... Pokročilé operácie Operácia Vysledok SN sigály DN sigály Skaláry Čislo súči <,>,, Korelácia, Kovolúcia Fukcia Fukcia,, periodické sigály: výsledok možeme počíať pre jedu periódu súčiu fukcií Plaí <x,y>,, (auokorelácia) je symerická fukcia okolo bodu

2 Harmoický sigál Komplexý var harmoického sigálu Uvažujme sigál s( ) ako komplexú fukciu času, pre korý plaí s j( ω+ ϕ) ( ) e cos( ω + ϕ) + j ( ω + ϕ) x( ) + jy( ) si Fukcie x( ) a y( ) sú reále fukcie času, pričom x( ) je sufázová a y( ) kvadráová zložka sigálu s( ) (3.) Reály var harmoického sigálu Sufázová zložka x( ) zo vzťahu (3.) reprezeuje reály, echicky realizovaeľý sigál, pre korý plaí x( ) ( + ) ( f + ) π + cosω ϕ cos π ϕ cos ϕ (3.) kde ϕ je počiaočá fáza (pre ) ω je kruhová frekvecia je perióda sigálu Grafické zázoreie sigálu v časovej oblasi: x() π ω ϕ ω π ω

3 3 Grafická reprezeácia ohoo sigálu je vo frekvečej oblasi: mpliúda Fáza ω ω ω ω Zo vzťahu (3.) je zrejmé, že harmoický sigál je jedozače defiovaý svojou ampliúdou, kruhovou frekveciou ω a počiaočou fázou ϕ. Reály var harmoického sigálu - súčový Úpravou vzťahu (3.) pre reálu zložku sigálu x( ) dosaeme kde a ( ) ( ) x cosω + ϕ cosϕ cosω siϕ siω a cosω + bsiω cosϕ b siϕ (3.3) ( si cos ) a + b ϕ + ϕ > a + b (3.4) (3.5) siϕ aϕ b cosϕ a (3.6)

4 Reály var harmoického sigálu - expoeciály 4 Sufázovú zložku x( ) môžeme vyjadriť aj pomocou komplexe združeých sigálov s( ) a s( ). Pre x( ) poom plaí j( ω+ ϕ) j( ω+ ϕ) x( ) cos( ω + ϕ) [ s( ) + s( ) ] [ e + e ] (3.7) Siuáciu, keď fázory s( ) a s( ) roujú kruhovou frekveciou ω, ale opačými smermi, ilusruje asledový obr: ω +ϕ -ω -ϕ

5 5 Reprezeácia sigálu zo vzťahu (3.7) v kmiočovej oblasi je v grafickej forme: mpliúda C Fáza ϕ -ω ω ω -ω -ϕ ω ω V omo prípade sa jedá o dvojsraé spekrum. k si sigál x( ) vyjadríme ako ( ) ω x Ce + Ce poom C C e e j jω jϕ jϕ kde C predsavuje komplexú ampliúdu, pričom plaí (3.8) (3.9) C (3.)

6 Superpozícia harmoických sigálov 6 Uvažujeme dva reále sigály x cosω ( ) ( ) x cosω pričom ϕ ϕ (3.) Vyvorme x x + x cosω + cosω (3.) ( ) ( ) ( ) ko bude sigál vyzerať v čase? Napr.: x() x().cos( ωa) f f b fb a fa ko asi bude vyzerať reprezeácia sigálu v kmiočovej oblasi?

7 Periodický sigál 7 k x( ) je voreý superpozíciou N harmoických sigálov, eda N N ( ) ( ) ( + ) x x cosω ϕ (3.5) výsledý sigál x( ) bude periodický, ak pre frekvecie jedolivých superpoovaých sigálov bude plaiť f kf (3.6) kde k je racioále číslo a ; ; 3; K ; N. Oázka: Môžeme určeý periodický spojiý sigál vyjadriť ako superpozície harmoických sigálov Odpoveď: Áo, sigál musí spliť isé podmieky.

8 Dirichleove podmieky 8 Uvažujeme, periodický sigál x( ), pre korý plaí x( ) x( + ν) preν ± ± kde je perióda sigálu ; ; ;K (3.7) x() υ by periodická fukcia x( ), korá vyhovuje vzťahu (3.7), mohla byť vyjadreá ako superpozícia harmoických sigálov pre korých frekvecie plaí ω ω (ω je základá harmoická, ; ; 3;K ), musia a iervale ν+ vyhovovať Dirichleovým podmiekam: fukcia x( ) musí byť ohraičeá, musí mať koečý poče bodov espojiosi, v korých musí mať defiovaú limiu zľava a limiu sprava, musí mať koečý poče maxím a miím. k sigál spĺňa ieo podmieky, poom sa dá vyjadriť pomocou Fourierovho radu.

9 Reály zložkový var Fourierovho radu 9 Každý reály periodický sigál x( ), korý spĺňa Dirichleove podmieky, môžeme rozložiť do Fourierovho radu, pre korého reály zložkový var plaí x kde a ( ) a + ( a cos + b ω ) si ω (3.8) ω je kruhová frekvecia -ej harmoickej zložky a, a a b b sú koeficiey ezávislé od premeej a plaia pre e asledové vzťahy: x( ) d a x( ) cosω d b ( ) pre ; ; 3;K x si ω d (3.) Plaí: x ak je fukcia ( ) párou periodickou fukciou, poom pre jej rozklad do Fourierovho radu plaí (síusové zložky rozvoja sú ulové): ( ) x a + a cosω x ak ( ) je epára periodická fukcia, poom jej rozklad do Fourierovho radu je daý vzťahom (kosíusové zložky rozvoja sú ulové): ( ) x a + b si ω

10 Reály rigoomerický var Fourierovho radu Podobe ako harmoický sigál resp. superpozíciu harmoických sigálov, koré sú v rigoomerickom vare vyjadreé vzťahmi (3.) a (3.5), môžeme každý periodický sigál x( ), korý vyhovuje Dirichleovým podmiekam, vyjadriť rigoomerickým varom Fourierovho radu, pre korý plaí b kde ( ) + cos( + ) + cos( + ) x ω ϕ ω ϕ (3.4) je veľkosť jedosmerej zložky sigálu (sredá hodoa x( )) je ampliúda -ej harmoickej zložky ω ω je kruhová frekvecia -ej harmoickej zložky ϕ je počiaočá fáza -ej harmoickej zložky Obrázok vľavo memoechická pomôcka a zapamäie a a, vzťahov medzi b, ϕ, ϕ a -b b a + b aϕ a a ϕ ϕ ϕ f f f f f f

11 Expoeciály var Fourierovho radu Podobe ako sme vyjadrili harmoický sigál pomocou komplexe združeých fázorov (vzťah (3.7), obr. 3.4) môžeme periodický sigál x( ) vyjadriť pomocou expoeciáleho varu Fourierovho radu. Plaí preň j j ( ) ( ) { } x + x + C e + C e C e ω ω jω kde C sú komplexé Fourierove koeficiey, pre koré plaí C ( ) x e jω d pre ; ± ; ± ;K Zo vzťahov (3.), (3.5) a (3.9) vyplýva, že C C a + b odkiaľ C ϕ C C (3.8) (3.9) C (3.3) arg (3.3) C arg C C C ϕ f f f C C C ϕ ϕ f f f ϕ

12 Vzájomé vzťahy a prepočy medzi koeficieami jedolivých varov Fourierovho radu: Expoeciály rigoomerický Zložkový var var var C, argc, ϕ a, b C, argc C, ϕ C C arg C ϕ C ϕ arg C a a b a a b C Re Im { C} { C} cosϕ siϕ a, b C a C a j b a + b a cosϕ C b siϕ C a a + b a cosϕ b siϕ

13 Príklad 3 Uvažujme periodickú fukciu x( ): x() plaí x( ) pre + + ; pre osaé kde π ω ; ± ; ± ;K Máme urobiť rozvoj fukcie x( ) do Fourierovho radu a získať ak reprezeáciu daej fukcie vo frekvečej oblasi. Riešeie Daá fukcia spĺňa Dirichleove podmieky a preo ju môžeme rozložiť do Fourierovho radu. k použijeme expoeciály var Fourierovho radu, poom pre koeficiey C a základe vzťahu (3.9) dosaeme si [ ] ω jω jω C si e d e π j ω ω pričom si π predsavuje si fukciu.

14 4 C C C C C a) 3 f arg c 3π π π 3 -π 3 f -π -3π b)

15 Fyzikála ierpreácia Fourierovho radu 5 Rozvojom sigálu x( ) do Fourierovho radu získame eda obraz o om, aké je zasúpeie jedolivých frekvečých zložiek v daom sigále. Komuikačý kaál má určié echické paramere, medzi koré parí aj šírka frekvečého pásma. Je eda zrejmé, že aj keď spekrum sigálu je eoreicky ekoečé, cez komuikačý kaál sa preáša le jeho ohraičeá časť > vplyv šírky frekvečého pásma komuikačého kaála a preášaý sigál Kovergecie Fourierovho radu Doeraz sme mlčky predpokladali, že: a) periodická fukcia x( ) vyhovuje Dirichleovým podmiekam, x b) fukciu ( ) sme priamo ahradili jej rozvojom do Fourierovho radu, pričom v skuočosi ide o aproximáciu fukcie x( ) fukciou ξ( ), pre korú plaí ( ) ξ ( ) jω ξ lim lim C e k k k k k (3.33) eo súče exisuje však le vedy, keď uvedeý Fourierov rad koverguje. Posačujúce podmieky (vyhovujú pre väčšiu ašich aplikácií): fukcia je po úsekoch spojiá, fukcia je po úsekoch hladká.

16 Fukcia po úsekoch spojiá 6 Fukciu x( ) azývame po úsekoch spojiou a iervale a; b ak je spojiá vo všekých bodoch ohoo iervalu, okrem koečého poču bodov i, i ; ; 3; K ; k, v korých má espojiosi. druhu,.j. ie je v ich defiovaá alebo ie je v ich spojiá, ale má vlasé jedosraé limiy x( i ) (zľava) a x( i + ) (sprava). k x( i ) x( i + ) hovoríme, že fukcia x( ) má v bode i skok o veľkosi x( i + ) x( i ). k iekorý z bodov i je kocovým bodom iervalu a; b, vyžadujeme exiseciu vlasých jedosraých limí x( a+ ) alebo x( b ). Fukcia po úsekoch hladká Fukciu x( ) azývame po úsekoch hladkou a iervale a; b ak je x( ) aj x ( ) v omo iervale po úsekoch spojiá. Bodová kovergecia k je x( ) periodická fukcia, korá je a iervale periodiciy ; po úsekoch hladká, poom Fourierov rad ejo fukcie: a) koverguje v každom bode spojiosi a ξ x ( ) ( ) b) v bodoch espojiosi.j. vo vúri iervalu periodiciy dáva Fourierov rad arimeický priemer limiy zľava a sprava ξ( ) [ x( i + ) + x( i ) ] c) v bodoch ν, ν ; ± ; ± ;K je Fourierov rad rový arimeickému priemeru jedosraých limí v okrajových bodoch iervalu periodiciy ξ( ν) [ x( + ) + x( ) ]

17 Rovomerá kovergecia a iervale 7 Posačujúce podmieky pre rovomerú kovergeciu: x a) Nech periodická fukcia ( ) je spojiá a iervale periodiciy ; x a má a ňom po úsekoch spojiú deriváciu ( ) a x okrem oho plaí ( ) x( ). Poom Fourierov rad fukcie x( ) koverguje rovomere a iervale ;. x b) Nech fukcia ( ) je absolúe iegrovaeľá a iervale periodiciy ; a ech v ejakom iervale ( a; b), pričom a b, je spojiá spolu so svojou deriváciou. Poom pre každé δ x koverguje Fourierov rad fukcie ( ) < rovomere a iervale a + δ; b δ.

18 Výkoové spekrum periodických sigálov 8 Uvažujme, že sigál x( ) je apäie u( ) alebo prúd i( ) (ich okamžié hodoy). Pre sredý výko periodického sigálu s periódou odovzdávaý do záťaže plaí Vieme že plaí Dosadíme: Ps ( ) Použiím C ( ) x e jω d jω x C e d P s x( ) ( ) x > s ( ) d C e ω j j P C ω x e d dosaeme výsledok (sredý výko periodického sigálu vo frekvečej oblasi): P C C s resp. P s C Ps C + C resp. (3.4) Ps C + C C + + kde ef je efekíva hodoa -ej harmoickej zložky. ef

19 Sredé výkoy jedolivých harmoických zložiek 9 P S P S PS P S f f f výkoové spekrum eobsahuje iformáciu o fázových pomeroch. Všeky sigály, koré majú rovaké ampliúdové spekrum a odlišé fázové spekrum, majú rovaké výkoové spekrum.

20 Gibbsov jav ak periodická fukcia x( ) má a iervale periodiciy bod espojiosi, poom rozvoj ejo fukcie do ekoečého Fourierovho radu je le jej aproximáciou. Fukciu s bodom espojiosimôžeme vyjadriť apr: x xs + σ Kde ( ) ( ) ( ) σ ( ) je jedokový skok: σ( ) x() pre pre > x() x( +) x(-) x s() Vplyv jedokového skoku môžeme ajľahšie aalyzovať apr. aalýzou periodického sigálu zložeého le z jedokových skokov: r(- ) π π

21 Pre fukciu r( ) plaí ( π π; π π) ( π π; π π) pre + k + k r( ) pre + k 3 + k pre k ; ± ; ± ;K Fourierov rozvoj fukcie r( ) a + 3π π π : r( ) d d +. b r( ) Súče prvých N čleov Fourierovho rozvoja fukcie r( ) pre pare si ωd pre epare π : N ( ) + S N a + b si ω (3.54) a S N ( ) si + π si si ( N ) si + L+ N (3.55) S (- ) N,5 π

22 Derivácia S N( ) sa dá vyjadriť v uzavreom vare: cos N si N si N S N ( ) π si π si Položeím derivácie rovú ule dosávame exrémy i i π N Následou iegráciou vieme vyjadriť sumu v uzavreom vare: S N π ( ) + d + si N si π si N d si Pre hodoa v prvom exréme a použiím subsiúcie y S N eda: π N si N si y, 895 π si π y ( ) + d + dy π prvé maximum sa približuje k bodu espojiosi, ale jeho veľkosť eklesá. N pre limiý prípad, keď N a dosávame: fukcia prekmie vždy a obe sray rovako, a každú srau o 8.95% hodoy skoku v bode espojiosi (dokopy je o približe 8%) x() x( +) x(-)

23 Príklad 3 Pre periodickú fukciu x ( ) plaí x () ϕ x ( ) ( ; ) pre + + pre osaé kde ; ± ; ± ;K Úlohy: a) vyjadrie sigál v zložkovom a rigoomerickom vare FR, aproximuje sigál pomocou prvých 5 harmoických b) zisie rozložeie výkou pre prvých 5 harmoických Riešeie Pre výpoče spekra fukcie x( ) použijeme jej rozvoj do reáleho zložkového varu Fourierovho radu: a a b d [ ] d [ ] cos ω si ω si π ω π [ ] d si ω cos cos ω π π [ ω ] ( ) ( ) π

24 4 a) Použiím získaých výsledkov môžeme pôvodý sigál vyjadriť v zložkovom vare ako: x ( ) a + b si ω a_, b_ *.5 * *. 4 5 *.7 x (),64 /,,3 x () p sigál x() sigál x () p / k chceme zisi modul a fázu (zmea a rigo. var FR) dosávame a a + b b si ;,,3,... b b b ϕ > ϕ arcsi( ) ; ϕ π /,?, π /,?, π /...,,,3,... b b

25 5 Modul a fáza X (f) 3 f ϕ (f) 3 f π Pozor: a predáške bolo espráve uvedeé, že fázová charakerisika ide doprava dohora Následe pôvodý sigál skladáme pomocou x ( ) + ( ω + ϕ ) cos Je zrejmé, že vyskladaý sigál bude ideický (kosius posuuý o polovicu pí doprava je síus) ako pri skladaí v zložkovom vare. b) Rozložeie výkou: Sredý výko dodaý do záťaže R Ω prvými 5 spekrálymi zložkami vypočíame zo vzťahu (3.4):

26 P sp &,48 4 π 3π 5π Sredý výko dodaý do záťaže všekými spekrálymi zložkami je a základe vzťahu (3.37) P s [ ] d 6 (3.7) (3.7) Porovaím hodô P s a P sp vidíme, že 96% celkového výkou sigálu je súsredeé v jedosmerej zložke a v prvej, reej a piaej harmoickej spekra sigálu. Z uvedeého vyplýva, že z eergeického hľadiska emá výzam zväčšovať prakickú šírku pásma ad hodou 5 f.