1-MAT-220 Algebra februára 2012
|
|
- Πιλάτος Ρόκας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1-MAT-220 Algebra februára 2012
2 Obsah 1 Grupy Binárne operácie Cayleyho veta Faktorizácia Relácie ekvivalencie a rozklady Rozklad grupy podľa podgrupy Normálne podgrupy Faktorové grupy Vety o izomorfizme Grupy II Akcie grúp Vloženie pologrupy do grupy Register 15 Zoznam symbolov 16 2
3 Kapitola 1 Grupy 1.1 Binárne operácie Tvrdenie Ak má binárna operácia na množine M neutrálny prvok, tak tento neutrálny prvok je jediný. {binop:jednneutr} 1.2 Cayleyho veta Ľahko vieme overiť že pre danú množinu M všetky bijekcie z M do M tvoria s operáciou skladania zobrazení grupu. (Dôkaz je presne rovnaký ako pre permutácie v prípade, že M bola konečná.) Túto grupu budeme označovať (S(M), ) alebo stručnejšie S(M). Definícia Pod grupou transformácií množiny M budeme rozumieť ľubovoľnú podgrupu grupy (S(M), ). Ekvivalentne by sme mohli grupu transformácií definovať tak, že je to množina bijekcií z M do M uzavretá na skladanie a inverzné zobrazenie. (V [KGGS] sa grupa transformácií definuje takto, pretože tento pojem je tu zavedený skôr než pojem grupy. Aj historické poradie, v akom matematici definovali tieto pojmy, je rovnaké.) Definícia Nech (G, ) a a G. Zobrazenie f a : G G dané predpisom xf a = a x voláme ľavá translácia. Zobrazenie g a : G G dané predpisom xg a = x a voláme pravá translácia. Lema Každá ľavá (pravá) translácia je bijekcia. Dôsledok Pre všetky a G platí f a, g a S(G). Lema Pre ľavé translácie platí g b g a = g b a Dôsledok Zobrazenie a g a je homomorfizmus z G do S(G). Dôsledok Pravé translácie tvoria podgrupu grupy S(G). Dôkaz. DU 3
4 4 Cayleyho veta Aby sme dokázali Cayleyho vetu, stačí už len ukázať, že práve uvedený homomorfizmus je v skutočnosti izomorfizmus na svoj obraz, t.j. že je injektívny. Veta (Cayley). Každá grupa (G, ) je izomorfná s nejakou grupou transformácií. Presnejšie, (G, ) je izomorfná s podgrupou grupy S(G) tvorenou všetkými pravými transláciami. {cayl:vtcayl} Dôkaz. DU Dôsledok Ľubovoľná konečná grupa rádu n (t.j. taká, ktorá má n prvkov) je izomorfná s podgrupou grupy permutácií S n. Príklad Ilustrujme si Cayleyho vetu na príklade grupy (Z, +). (Keďže ide o komutatívnu grupu, v tomto prípade sú ľavé a pravé stranslácie totožné.) V tomto prípade pre a Z máme zobrazenie g a : Z Z xg a = x + a, {cayl:prsrot} ktoré je očividne bijektívne, čiže g a S(Z). Takisto sa ľahko overí, že g a+b = g a g b, z čoho vidíme, že a g a je homomorfizmus. Fakt, že tento homomorfizmus je injektívny, môžeme overiť podobne ako v dôkaze Cayleyho vety. Príklad Skúsme sa pozrieť na reprezentáciu grupy (S, ), kde S = {z C; z = 1} pomocou Cayleyho vety. V tomto prípade máme xg z = xz. Z Moivrovej vety vieme, že vynásobenie komplexných číslom z s jednotkovou veľkosťou presne zodpovedá otočeniu bodu v komplexnej rovine okolo počiatku o uhol ϕ taký, že z = cos ϕ+i sin ϕ. Čiže v tomto prípade tvoria grupu transformácií z Cayleyho vety všetky otočenia kružnice okolo nuly. 4
5 Kapitola 2 Faktorizácia 2.1 Relácie ekvivalencie a rozklady Definícia Relácia ekvivalencie je relácia R na množine A, ktorá je reflexívna, symetrická a tranzitívna; t.j. pre všetky a, b, c A platí: ara arb bra arb brc arc Množina {b A; arb} sa nazýva triedou ekvivalencie s reprezentantom a a označuje sa [a] R, prípadne len [a]. Definícia Rozklad množiny A je taká množina A = {A i ; i I} neprázdnych podmnožín množiny A, že platí: (i) Pre všetky i, j I platí buď A i = A j alebo A i A j =. (ii) A i = A. i I Pred hlavnými výsledkami týkajúcimi sa rozkladov a ekvivalencií uvedieme si ešte jednu lemu: Lema Nech R je relácia ekvivalencie. Potom {ekv:lmtriedy} arb [a] R = [b] R. Veta Ak R je relácia ekvivalencie na A, tak množina všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny A. Veta Ak A = {A i ; i I} je rozklad množiny A, tak relácia R definovaná tak, že arb ( i I)a A i b A i je relácia ekvivalencie. (Definícia relácie R vlastne hovorí, že dva prvky sú v relácii R práve vtedy, keď ležia v tej istej množine rozkladu A.) 5
6 6 Rozklad grupy podľa podgrupy Videli sme, že relácii ekvivalencie na množina A môžeme priradiť rozklad množiny A a opačne. Chceli by sme ukázať, že táto korešpondencia medzi reláciami ekvivalencie a rozkladmi je jednojednoznačná; čiže relácie ekvivalencie a rozklady sú vlastne len 2 rôzne pohľady na tú istú vec. Označme rozklad prislúchajúci relácii ekvivalencie R ako A R a reláciu ekvivalencie danú rozkladom A ako R A. My vlastne chceme ukázať, že tieto 2 priradenia sú navzájom inverzné, čiže R AR = R a A RA = A. (Tu je tiež dôležité si uvedomiť, čo znamená že 2 relácie resp. 2 rozklady sú rovnaké. Relácie chápeme ako podmnožiny A A, 2 relácie sa R a R sa rovnajú práve vtedy, keď platí arb ar b pre všetky a, b A. Rovnosť pre rozklady takisto chápeme ako rovnosť množín to znamená, že rovnaké rozklady pozostávajú z tých istých podmnožín.) Z lemy vidíme, že ak priradíme relácii ekvivalencie rozklad, tak v rovnakých podmnožinách budú práve tie prvky, ktoré sú v relácii R, a teda skutočne platí R AR = R. Platnosť rovnosti A RA = A pre ľubovoľný rozklad sa tiež ukáže pomerne jednoducho. DU {ekvcvic:uloekvzobr} Cvičenia Úloha a) Nech f : A B je surjektívne zobrazenie. Dokážte, že relácia R na množine A určená predpisom ara f(a) = f(a ) je relácia ekvivalencie a triedy rozkladu sú množiny f 1 ({b}) = f 1 (b) pre b B. b) Nech R je relácia ekvivalencie na množine A a nech B je množina všetkých tried ekvivalencie. Dokážte, že zobrazenie f : A B, ktoré každému prvku priradí jeho triedu ekvivalencie (teda f : a [a]) je surjektívne. c) V predchádzajúcej časti sme každému surjektívnemu zobrazeniu priradili reláciu ekvivalencie a obrátene. Dokážte, že tieto dve priradenia sú navzájom inverzné. 2.2 Rozklad grupy podľa podgrupy Definícia Nech G je grupa a A, B G sú jej ľubovoľné podmnožiny. Potom definujeme súčin AB podmnožín A, B ako AB = {ab; a A, b B}. V prípade, že jedna z množín je jednoprvková, budeme používať stručnejší zápis ab namiesto {a}b a Ab namiesto A{b}. {rozkl:lmkompl} Niektoré užitočné vlastnosti násobenia podmnožín zhrnieme v nasledujúcej leme: Lema Nech G je grupa. (i) Násobenie podmnožín je asociatívne, t.j. A(BC) = (AB)C pre ľubovoľné podmnožiny A, B, C G. (ii) Pre ľubovoľnú podmnožinu A G platí ea = Ae = A. (iii) Ak H je podgrupa grupy G a h H, tak hh = H. {rozkl:lmitem5} (iv) Ak H je podgrupa grupy G, tak H 2 = H.H = H. (v) Pre ľubovoľnú podmnožinu A G platí (A 1 ) 1 = A, kde používame označenie A 1 = {a 1 ; a A}. 6
7 KAPITOLA 2. FAKTORIZÁCIA 7 ozkl:lmitem6} ozkl:lmitem4} (vi) Ak H je podgrupa grupy G, tak H 1 = {h 1 ; h H} = H. (vii) Pre ľubovoľné podmnožiny A, B G platí (AB) 1 = B 1.A 1. (viii) Ak K, H sú podgrupy grupy G, tak (HK) 1 = K 1.H 1 = KH. Označenie H 1 v predchádzajúcej leme neznamená, že by táto množina bola inverzným prvkom ku H v P(G) { } s operáciou násobenia podmnožín H 1 jednoducho len označuje množinu inverzných prvkov ku prvkom z H. Definícia Ak H je podgrupa grupy G, tak označíme pre a G ah = {ah; h H}, Ha = {ha; h H}. Množiny ah nazývame ľavé triedy grupy G podľa H (alebo ľavé triedy grupy G modulo H), množiny Ha sú pravé triedy grupy G podľa H. Lema Nech H je podgrupa G a a, b G. Potom ah = bh práve vtedy, keď b 1 a H. Podobne platí Ha = Hb ab 1 H. {rozkl:lmainvb} Tvrdenie Ľavé triedy grupy G podľa jej podgrupy H tvoria rozklad G. (Inak: {ah; a G} je rozklad množiny G.) Pravé triedy grupy G podľa jej podgrupy H tvoria rozklad G. Definícia Nech G je grupa a H je podgrupa. Rozklad {ah; a G} sa nazýva ľavý rozklad G podľa H a rozklad {Ha; a G} sa nazýva pravý rozklad G podľa H. Všimnime si, že eh = He = H, teda ako jedna z ľavých (pravých) tried sa vždy vyskytne podgrupa H. Lema Nech H je podgrupa grupy G a a G. Potom zobrazenie ϕ: H ah definované ako ϕ: h ah je bijekcia. Podobne zobrazenie ψ : H Ha, ψ : h ha je bijekcia. Veta Nech H je konečná podgrupa G. Potom počet prvkov každej ľavej triedy ah je rovnaký (a rovná sa počtu prvkov podgrupy H). Takisto sa rovná počtu prvkov ľubovoľnej pravej triedy Hb. Na základe predchádzajúcej vety, ktorá hovorí, že počet ľavých a pravých tried je rovnaký, má zmysel nasledujúca definícia. Definícia Nech H je podgrupa konečnej grupy. Potom [G: H] je počet všetkých ľavých (pravých) tried rozkladu G podľa H. Toto číslo nazývame indexom grupy G podľa H. Veta (Lagrangeova veta). Ak G je konečná grupa a H je jej podgrupa, tak platí {rozkl:vtlag} G = H.[G: H]. Teda počet prvkov podgrupy H delí počet prvkov G. Nasledujúci výsledok by snáď mohol vysvetlovať, prečo namiesto počtu prvkov konečnej grupy niekedy používame aj termín rád grupy. 7
8 8 Rozklad grupy podľa podgrupy Dôsledok Ak G je konečná grupa, tak rád každého prvku delí rád grupy G (počet prvkov grupy G). Dôkaz. Stačí si uvedomiť, že rád prvku a je počet prvkov podgrupy [a]. Dôsledok Ak G je p-prvková grupa a p je prvočíslo, tak každý jej prvok okrem neutrálneho prvku je generátorom G (a teda G je cyklická). {rozkl:dos1} {rozkl:dosprv} Dôkaz. Rád prvku a e nie je 1 a keďže je deliteľ prvočísla p, musí byť rovný p. Teda [a] obsahuje p rôznych prvkov e, a 1, a 2,..., a p 1, čiže [a] = G. Dôsledok Každá 4-prvková grupa je izomorfná buď so Z 4 alebo so Z 2 Z 2. Dôkaz. Nech G je 4-prvková grupa. Podľa dôsledku rády jej prvkov môžu byť jedine 1, 2 alebo 4. Ak G obsahuje prvok rádu 4, tak tento prvok je jej generátor. V tomto prípade dostávame, že G je cyklická a G = Z 4. Druhá možnosť je, že všetky prvky s výnimkou neutrálneho majú rád 2, čiže pre každý prvok platí a 2 = e, kde e je neutrálny prvok G. Inak povedané, pre všetky a G platí a = a 1. Z toho dostávame aj to, že G je komutatívna: xy = (xy) 1 = y 1 x 1 = yx. Označme prvky tejto grupy e, a, b, c. Zatiaľ o nich vieme toto: e a b c e e a b c a a e b b e c c e Podľa zákonov o krátení sa každý prvok vyskytne v ľubovoľnom riadku a v ľubovoľnom stĺpci tabuľky grupovej operácie práve raz. Tento fakt nám umožní jednoznačne doplniť prázdne miesta v tabuľke. Všimnime si napríklad, že prvok ab nemôže byť a, e ani b (inak by sme mali v niektorom riadku alebo stĺpci tento prvok dvakrát). Podobnú úvahu môžeme urobiť pre prvok ba. Dostávame: e a b c e e a b c a a e c b b c e c c e Teraz už v každom riadku a stĺpci máme jediné voľné miesto, teda zostávajúci prvok je jednoznačne určený e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Pretože aj Z 2 Z 2 má tú vlastnosť, že všetky prvky okrem neutrálneho majú rád 2, a práve sme ukázali, že touto podmienkou je grupa jednoznačne určená (až na označenie prvkov čiže až na izomorfizmus), máme G = Z 2 Z 2. 8
9 KAPITOLA 2. FAKTORIZÁCIA 9 rmal:tvrahhb} 2.3 Normálne podgrupy Tvrdenie Nech H je podgrupa grupy G. Ak ah = Hb, tak Ha = Hb. (Takisto za týchto predpokladov platí ah = bh.) Veta Nech H je podgrupa G. Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) ah = Ha pre všetky a G, (ii) ah Ha pre všetky a G, (iii) Ha ah pre všetky a G, (iv) aha 1 H pre všetky a G, (v) H aha 1 pre všetky a G, (vi) aha 1 = H pre všetky a G, (vii) {ah; a G} = {Hb; b G}. {normal:vtinv} {normal:item:it1} {normal:item:it2} {normal:item:it3} {normal:item:definv} {normal:item:it5} {normal:item:it4} {normal:item:ahhb} Všimnime si, že podmienku (v) môžeme zapísať aj tak, že platí aha 1 H pre všetky h H a a G, čiže h H aha 1 H. (2.1) {normal:eqdefinv} Definícia Podgrupa H grupy G sa nazýva normálna (invariantná) podgrupa, ak spĺňa niektorú z ekvivalentných podmienok uvedených vo vete Označujeme H G. Ak G je komutatívna grupa, tak každá jej podgrupa je invariantná. Z vety vidíme, že pre invariantnú podgrupu ľavé a pravé triedy rozkladu sú totožné. Príklad Pre každú grupu G sú jej podgrupy G a {e} normálnymi podgrupami. Pretože v komutatívnej grupe je každá podgrupa normálna, úloha zistiť, či nejaká podgrupa je normálna, je zaujímavá len v nekomutatívnom prípade. Príklad Preskúmajme, ktoré podgrupy S 3 sú normálne. Zostavme najprv tabuľku grupovej operácie. (Do riadku ϕ a stĺpca τ zapisujeme ϕ τ.) id (12) (13) (23) (123) (132) id id (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) id (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) id (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) id (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) id (132) (132) (23) (12) (13) id (123) Teraz skúsme nájsť všetky podgrupy grupy S 3. Z Lagrangeovej vety vieme, že (okrem podgrúp {e} a S 3 ) stačí hladať podgrupy rádu 2 a 3. Podľa dôsledku ide o cyklické grupy, teda nám stačí nájsť všetky prvky rádu 2 resp. 3. Prvky rádu 2 sú práve cykly dĺžky 2. Tie vygenerujú podgrupy H 1 = {id, (12)}, H 2 = {id, (13)} a H 3 = {id, (23)}. Napríklad pre podgrupu H 1 = {id, (12)} máme (13)H 1 = {(13), (123)} a H 1 (13) = {(13), (132)}. Keďže sme dostali pre ten istý prvok inú ľavú a pravú triedu, podgrupa H 1 nespĺňa podmienku (i) z vety 2.3.2, a teda nie je normálna. Podobným spôsobom môžeme overiť, že ani ostatné 2-prvkové podgrupy nie sú normálne. {normal:prs3} 9
10 10 Faktorové grupy Prvky rádu 3 sú trojcykly (123) a (132). Obe generujú tú istú 3-prvkovú podgrupu A 3 = {id, (123), (132)} pozostávajúcu z párnych permutácií množiny {1, 2, 3}. Vidíme, že pravý i ľavý rozklad je rovnaký, jeho triedy sú množina A 3 (párne permutácie) a jej doplnok S 3 A 3 (nepárne permutácie). Teda A 3 spĺňa podmienku (vii) z vety 2.3.2, čiže je normálna. (Na zdôvodnenie toho, že H 4 je normálna sme mohli použiť aj všeobecnejší fakt, že každá podgrupa indexu 2 je normálna úloha ) {normalcvic:index2} {permcvic:a4lagr} Cvičenia Úloha Ak H je podgrupa G a [G : H] = 2, tak H je normálna podgrupa. Navyše, pre každý prvok x G platí x 2 H. Úloha Dokážte, že grupa A 4 párnych permutácií 4-prvkovej množiny nemá žiadnu 6-prvkovú podgrupu. 2.4 Faktorové grupy Veta Ak G je grupa a H je jej invariantná podgrupa, tak na množine všetkých tried G podľa H môžeme definovať operáciu ako (ah) (bh) = (ab)h. Táto operácia je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentanta triedy) a množina všetkých tried G podľa H s touto operáciou tvorí grupu. Túto grupu označujeme G/H a nazývame faktorová grupa grupy G podľa H. Je dôležité si uvedomiť, že faktorovú grupu môžeme definovať iba pre invariantnú podgrupu. Dôkaz. Všetky tvrdenia vety vlastne vyplývajú z toho, že takto definované násobenie je to isté ako násobenie podmnožín grupy G. Platí totiž (ah)(bh) = (ah)(hb) = a(hh)b = ahb = a(hb) = a(bh) = (ab)h. Z toho vyplýva, že operácia, ktorú sme definovali je dobre definovaná a takisto, že je asociatívna. Pretože eh = H a HH = H, trieda eh je neutrálny prvok. Inverzný prvok k ah je a 1 H, pretože (ah)(a 1 H) = (aa 1 )H = eh = H. 2.5 Vety o izomorfizme {izom:vtkanon} V úlohe sme videli jednojednoznačný vzťah medzi surjektívnymi zobrazeniami a reláciami ekvivalencie. V prípade, že na danej množine máme navyše grupovú štruktúru, surjektívne homomorfizmy budú podobným spôsobom zodpovedať normálnym podgrupám (a navyše, ako uvidíme v cvičeniach za touto časťou, istým špeciálnym reláciam ekvivalencie, ktoré voláme kongruencie). Veta (Kanonický homomorfizmus). Ak G je grupa a H je normálna podgrupa G, tak zobrazenie f : G G/H dané predpisom f : a ah je surjektívny homomorfizmus. Tento homomorfizmus voláme kanonický homomorfizmus. Navyše, jadro kanonického homomorfizmu je práve podgrupa H. 10
11 KAPITOLA 2. FAKTORIZÁCIA 11 Vidíme teda, že pre každú faktorovú grupu máme surjektívny homomorfizmus. Obrátené tvrdenie dáva nasledujúca veta: Veta (Veta o izomorfizme). Ak f : G G je homomorfizmus grúp, tak Ker f je normálna podgrupa grupy G a faktorová grupa G/ Ker f je izomorfná s podgrupou Im f grupy G. Dôsledok Ak f : G H je surjektívny homomorfizmus grúp, tak grupa H je izomorfná s faktorovou grupou G/ Ker f. Vety a nám hovoria, že normálne podgrupy sú práve jadrá homomorfizmov. (Jadro každého homomorfizmu je normálna podgrupa a obrátene, pre každú normálnu podgrupu máme epimorfizmus na faktorovú grupu, ktorého jadrom je práve táto podgrupa.) Dôkaz nasledujúceho tvrdenia je veľmi podobný tej časti dôkazu vety 2.5.2, v ktorej sme dokazovali, že ide o homomorfizmus. Lema Nech f : G G je grupový homomorfizmus. Nech H je normálna podgrupa G taká, že H Ker f. Potom zobrazenie ϕ: G/H G dané predpisom {izom:vtizom} {izom:lmkerhom} ϕ(ah) = af je dobre definované a je to grupový homomorfizmus. Navyše, ak f je epimorfizmus, tak aj ϕ je epimorfizmus. Ak túto lemu použijeme na kanonický homomorfizmus ϕ: G G/K, dostaneme: Dôsledok Ak H, K sú normálne podgrupy grupy G a H K, tak zobrazenie f : G/H G/K f : ah ak je surjektívny homomorfizmus. Pomocou predchádzajúcej vety môžeme odvodiť výsledok, ktorý pripomína krátenie pre faktorové grupy. Dôležité je uvedomiť si, že ak H, K sú normálne podgrupy G a H K, tak H je normálna podgrupa K. Navyše K/H je podmnožina G/H tvorená triedami ah pre ktoré a K. Veta (Tretia veta o izomorfizme). Ak H, K sú normálne podgrupy G, pričom H K G, tak K/H je normálna podgrupa G/H a platí {izom:doskerhom} {izom:vtizom2} G/K = (G/H)/(K/H). Ukážeme si ešte jeden výsledok o faktorových grupách. Veta (Tretia veta o izomorfizme). Nech G je grupa, N je normálna podgrupa G a S je podgrupa G. Potom množina SN tvorí podgrupu grupy G, N je normálna podgrupa SN, S N je normálna podgrupa S a platí S/(S N) = SN/N. Videli sme, že normálne podgrupy zodpovedajú homomorfizmom zobrazeniam, ktoré rešpektujú grupovú operáciu. V úlohách a môžeme vidieť, ako súvisia s reláciami, ktoré rešpektujú grupovú operáciu. Takéto relácie nazývame kongruenciami. Definícia Nech (G, ) je grupa. Relácia ekvivalencie R na množine G sa nazýva kongruencia, ak platí {izom:defkong} (a 1, b 1 ) R, (a 2, b 2 ) R (a 1 b 1, a 2 b 2 ) R. 11
12 12 Vety o izomorfizme {izomcvic:konghom} Cvičenia Úloha Nech G je grupa. a) Pre normálnu podgrupu H definujme reláciu R ako arb a 1 b H. Dokážte, že táto relácia je kongruencia (definícia 2.5.8). Dokážte, že rozklad zodpovedajúci relácii R je práve rozklad G podľa podgrupy H. b) Dokážte, že ak R je kongruencia na G, tak [e] R je normálna podgrupa G. Navyše, rozklad určený reláciou ekvivalencie R je práve rozklad G podľa tejto podgrupy. c) Overte, že priradenia medzi normálnymi podgrupami G a kongruenciami na G z predchádzajúcich častí úlohy sú navzájom inverzné. Úloha Nech (G, ) je grupa. a) Ak f : G H je homomorfizmus, tak relácia R na množine G daná predpisom xry f(x) = f(y) je kongruencia (pozri úlohu 2.1.1). b) Ak R je kongruencia na G, tak na množine G/R tried ekvivalencie predpis [a] [b] = [a b] dobre definuje binárnu operáciu a G/R s touto binárnou operáciou tvorí grupu. Navyše, zobrazenie a [a] je surjektívny homomorfizmus z G do G/R a jeho jadro je [e]. Úloha Dokážte, že v grupe (Q, +) neexistuje maximálna (vzhľadom na inklúziu) vlastná podgrupa. T.j. neexistuje podgrupa S grupy (Q, +) také, že ak S T a T je podgrupa, tak T = S alebo T = Q. (Inak povedané: Jediné podgrupy obsahujúce S by boli S a Q.) {izomcvic:kong 12
13 Kapitola 3 Grupy II 3.1 Akcie grúp 3.2 Vloženie pologrupy do grupy Tvrdenie Ak (M, ) je komutatívna pologrupa s krátením, tak existuje grupa (G, ) a injektívny homomorfizmus i: M G taký, že pre každý homomorfizmus f : M G z M do grupy G existuje práve jeden homomorfizmus f : G G taký, že f = f i. {polog:tvrpologrupa} M i G. f f G Inak povedané, každú komutatívnu pologrupu s krátením možno vnoriť do grupy a táto grupa i príslušné vnorenie sú určené jednoznačne až na izomorfizmus. 13
14 Literatúra [KGGS] Tibor Katriňák, Martin Gavalec, Eva Gedeonová, and Jaroslav Smítal. Algebra a teoretická aritmetika 1. UK, Bratislava,
15 Register grupa faktorová, 10 grupa transformácií, 3 homomorfizmus kanonický, 10 index grupy podľa podgrupy, 7 kongruencia, 11 podgrupa normálna, 9 rád grupy, 7 rozklad grupy podľa podgrupy, 7 súčin podmnožín grupy, 6 translácia ľavá, 3 pravá, 3 trieda grupy podľa podgrupy, 7 veta Cayleyho, 4 Lagrangeova, 7 o izomorfizme, 11 15
16 Zoznam symbolov S(M) 3 AB 6 ah 7 Ha 7 H G 9 G/H 10
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραLogické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.
Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότεραMatematická logika. Emília Draženská Helena Myšková
Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE
UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE BANSKÁ BYSTRICA 2013 Názov: Čísla a počítanie Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Doc.
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a pomocné tvrdenia... 4
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Úvod......................................... 3 1. Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Označenia a omocné tvrdenia.......................... 4 Prvočísla 6.1 Deliteľnosť......................................
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραKatedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Ko²iciach GRAFOVÉ ALGORITMY A FORMÁLNA LOGIKA Marián Kle², Ján Plavka Ko²ice 2008 RECENZOVALI: RNDr. Vladimír Lacko, PhD.
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základné vlastnosti grupy, morfizmy
6. kapitola Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základé vlastosti grupy, morfizmy 6. Biáre operácie Jede z častých prístupov v matematike je kombiovať elemety možiy, pričom sa požadujú
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότερα1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραALGORITMICKÁ TEÓRIA GRAFOV
ŽILINSKÁ UNIVERZITA FAKULTA RIADENIA A INFORMATIKY Stanislav Palúch ALGORITMICKÁ TEÓRIA GRAFOV C C A B A B D D VYDALA ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE, 2008 Tlačová predloha týchto textov bola vytvorená v
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότερα9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραLR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera
LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα