ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ

Transcript

1 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροτιστής, έροια Θεωρούµε υλικά σηµεία µαζώ m,m,...,m που βρίσκοται στα σηµεία,,..., (όχι ααγκαστικά διαφορετικά) ατίστοιχα εός επιπέδου (p). ια α δηλώσουµε ότι στο σηµείο υπάρχει η σηµειακή µάζα α γράφουµε (α) ή m(a) = α ποδεικύεται ότι υπάρχει µοαδικό σηµείο G του (p) τέτοιο, ώστε: uuuur uuuur uuuur r mga+ mga mga= 0 () Πράγµατι, α είαι έα ακόµη σηµείο του επιπέδου µε τη ιδιότητα uuuur uuuur uuuur r m A+ m A m A= 0 () Τότε µε αφαίρεση κατά µέλη τω () και () βρίσκουµε uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r m (A G ) + m (A GA ) m (A GA ) = 0 ή uuur r uuur r (m+ m m )KG= 0 KG= 0 K G Έτσι το σηµείο G είαι µοαδικό. Ο είαι τυχαία δια. αρχή, η () γράφεται: uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur r m (OA OG) + m (OA OG) m (OA OG) = 0 uuuur uuuur uuuur uuur moa+ moa moa OG= (3) m+ m m Λέµε ότι το G είαι το κέτρο µάζας (συτοµογραφικά Μ) τω σηµείω,,..., µε µάζες m,m,...,m ατίστοιχα. ράφουµε συµβολικά: G = {A (m ),A (m ),...,A (m )} δε υπάρχει κίδυος για το ποιες είαι οι µάζες m,m,...,m, γράφουµε απλούστερα G = {A,A,..., A } ια δύο ταυτιζόµεα σηµεία (m ) και A(m ) είαι {A(m ), A(m )} = A Σελ.

2 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, Ο συµβολισµός (m, m,..., m ) θα σηµαίει ότι στο σηµείο έχου τεθεί µάζες m,m,...,m και είαι ταυτόσηµος µε το συµβολισµό (m+ m m ). Μπορούµε ισοδύαµα α πούµε ότι υπάρχου σηµεία ταυτιζόµεα µε το µε µάζες m,m,...,m. ια λόγους που θα φαού στη συέχεια θα χρησιµοποιείται ο καταλληλότερος. Τέλος ο συµβολισµός (,,..., )(m) θα σηµαίει ότι σε όλα τα σηµεία,,..., υπάρχει η ίδια µάζα m. αφέρουµε τις βασικές ιδιότητες του Μ χωρίς αποδείξεις λόγω του περιορισµέου χώρου και χρόου. Ιδιότητες του Μ ) πό τη (3) προκύπτει ότι: Το Μ δε αλλάζει α οι µάζες m,m,...,m ατικατασταθού από τα ισοπολαπλάσιά τους λm,λm,...,λm. υτό µας δίει τη δυατότητα α θεωρούµε αυθαίρετα ότι m= παίροτας ως λ= ή α γράφουµε G = {A (m ),A (m ),...,A (m )} και α εοούµε ότι οι µάζες m είαι αάλογες τω m,m,...,m, δηλαδή είαι λm, λm,..., λm και όχι υποχρεωτικά m,m,...,m. uuuur uuuur uuuur r ) Η σχέση mga+ mga mga= 0 για = γίεται uuuur uuuur r m GA+ m GA = 0 Η τελευταία δείχει ότι το Μ δύο σηµειακώ µαζώ m και m που βρίσκοται στα σηµεία A και A βρίσκεται στο ευθ. τµήµα AA και έχει τη ιδιότητα GA m = ή το ίδιο m GA = m GA GA m Στη ειδική περίπτωση που είαι m= m το G είαι το µέσο του AA 3) Θεώρηµα οµαδοποίησης: Το Μ δε αλλάζει α οποιοδήποτε υποσύολο τω σηµείω,,..., ατικατασταθεί µε το Μ τους µε µάζα ίση µε το άθροισµα τω µαζώ τους. π.χ G = {A (m ),A (m ), A 3(m 3), A 4(m 4), A 5(m 5)} και οοµάσουµε G = {A (m ), A (m ), A 3(m 3)} και G = {A 4(m 4),A 5(m 5)}, τότε G = {G (m+ m+ m 3),G (m4+ m 5)} Η πρόταση ισχύει για οποιαδήποτε διαµέριση του συόλου {A (m ), A (m ),..., A (m )}. υτή η ιδιότητα θα χρησιµοποιηθεί κυρίως στη η οµάδα παραδειγµάτω που ακολουθεί. Σελ.

3 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ πό τη πρόταση αυτή επίσης προκύπτει ότι η ευθεία που συδέει τα G = {A (m ), A (m ), A 3(m 3 )} και G = {A 4(m 4), A 5(m 5 )} διέρχεται από το G. Το συµπέρασµα αυτό της παραπάω πρότασης είαι επίσης ιδιαίτερα χρήσιµο. Με χρήση τω ελαχίστω παραπάω θεωρηµάτω µπορούµε α αποδείξουµε πολλές και δύσκολες προτάσεις της υκλείδειας εωµετρίας. άποιες κατηγορίες προβληµάτω που µπορού α λυθού εύκολα µε τη βοήθεια τω παραπάω θεωρηµάτω είαι εκεία στα οποία ζητείται: Να αποδειχθεί ότι τρεις ή περισσότερες ευθείες διέρχοται από το ίδιο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι 3 ή περισσότερα σηµεία είαι συευθειακά. Να αποδειχθεί ότι µια ευθεία διέρχεται από έα σηµείο. Να βρεθεί ο λόγος στο οποίο διαιρείται ευθ. τµήµα από έα σηµείο και άλλα είδη προτάσεω όπως δείχουµε στη συέχεια. είχουµε τώρα πως µπορού α χρησιµοποιηθού τα παραπάω µε συγκεκριµέα παραδείγµατα. πιλέξαµε εδώ απλές εφαρµογές για α γίει καταοητή η θεωρία τω Μ. Τις κατατάξαµε σε 4 οµάδες,,,. Παραλείψαµε τη θεωρία του Μ του µήκους γραµµής και της περιµέτρου, καθώς και το Μ του εµβαδού που µπορού α λύσου µε τη ίδια ευκολία άλλες κατηγορίες προβληµάτω. ΟΜ Οι διάµεσοι κάθε τριγώου διέρχοται από το ίδιο σηµείο το οποίο διαιρεί κάθε διάµεσο σε λόγο : πόδειξη Έστω τρίγωο µε (), (), () και, και Ζ οι διάµεσοί του. Τότε {(), ()} = (). Άρα {(), (),()} = {(),()} = G(3) όπου G σηµείο της G m() διαµέσου µε = = G m() Ζ () G ια το ίδιο λόγο το G βρίσκεται και στις άλλες διαµέσους και Ζ τις οποίες διαιρεί στο ίδιο λόγο. () Έτσι και οι 3 διάµεσοι του διέρχοται από το ίδιο σηµείο G. () () Οι διχοτόµοι κάθε τριγώου διέρχοται από το ίδιο σηµείο. πόδειξη Έστω το τρίγωο µε µέτρα πλευρώ () = α, () = β, () = γ. Σελ. 3

4 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, Έστω (α), (β), (γ). Τότε {(β), (γ)} = (β+ γ) όπου το σηµείο της πλευράς µε = γ. Άρα το σηµείο είαι το β ίχος της διχοτόµου. ποµέως {(α), (β), (γ)}= {(α),{(β), (γ)}}= {(α), (β+ γ)} = Ι(α+ β+ γ) όπου Ι το σηµείο της διχοτόµου µε τη ιδιότητα Ι β + = γ Ι α A(α) Ζ Ι (β) (β+γ) (γ) ια το ίδιο λόγο το Ι βρίσκεται και στις άλλες διχοτόµους. Έτσι και οι 3 διχοτόµοι διέρχοται από το ίδιο σηµείο Ι που έχει τη ιδιότητα Ι β + = γ Ι α Θεώρηµα Ceva και Van Aubel Έστω τρίγωο και τα σηµεία, και Ζ τω πλευρώ, και Ζ ατίστοιχα... Ζ = οι ευθείες, και Ζ διέρχοται από το ίδιο σηµείο G µε τη ιδιότητα G Ζ = + G Ζ πόδειξη: Τοποθετούµε στις κορυφές, και κατάλληλες µάζες x, y, ω ατίστοιχα ώστε: = {, }, = {,}, Ζ = {,} ω Άρα: = y x Ζ = ω Ζ y = B(y) (ω) Ζ x Με τις παραπάω µάζες είαι: = {,}, = {,}, Ζ = {,} Άρα: {,, } = {,{, }} = {, } = {,, } = {,{, }} = {, } = {,, } = {,{, }} = {, Ζ} = 3 Ζ Όµως το = {,, } είαι µοαδικό. Άρα 3 δηλαδή οι ευθείες, και Ζ διέρχοται από το ίδιο σηµείο. m() y+ ω y ω Ζ ια το σηµείο ισχύει: = = = + = + m() x x x Ζ Η τελευταία σχέση είαι γωστή ως θεώρηµα του Van Aubel. (x) Σελ. 4

5 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ ίεται πετάγωο (κυρτό ή µη). Έστω Μ το µέσο του τµήµατος Λ που συδέει τα µέσα τω απέατι πλευρώ του τετραπλεύρου και ε η ευθεία Μ. Με το ίδιο τρόπο ορίζουµε και τις ευθείες Μ, Μ 3,Μ 4,Μ 5. Να αποδειχθεί ότι οι 5 αυτές ευθείες διέρχοται από το ίδιο σηµείο. Ο K Μ Λ πόδειξη Έστω (,,,, )(). Τότε: {(), (), (), (), ()}= {{(), {(), ()}, {(), ()}}= {(), Λ(), ()}= {(), Μ (4)} = Ο(5) Μ ια το ίδιο λόγο Ο Μ, Ο Μ 3, Ο Μ 4, Ο Μ 5. ποµέως και οι 5 ευθείες διέρχοται από το ίδιο σηµείο Ο. Ο m(μ ) ια το Ο ισχύει η σχέση = = 4 ΟΜ m(a) ατασκευή άσκησης και ταυτόχροη απόδειξή της είχουµε τώρα τη κατασκευή και ταυτόχροα τη απόδειξη άσκησης που µπορούµε α δηµιουργήσουµε εύκολα µε τη βοήθεια του Μ. ίεται τετράπλευρο (κυρτό ή µη) και τα σηµεία E AB, Z B, Η, Θ τέτοια ώστε: =, Ζ = 3 Ζ, Η = 4 Η 3, Θ = Θ 4. Έστω Ο = ΘΖ Η. Να αποδειχθεί ότι ΘΟ= ΟΖ και Ο = 7 ΟΗ 3. πόδειξη: Τοποθετούµε στις κορυφές,,, τις µάζες,, 3, 4 ατίστοιχα. πειδή = = m() m(), θα είαι (3) = {(), ()} Όµοια, Ζ(5) = {(), (3)}, Η(7) = {(3), (4)}, Θ(5) = {(4),()} Άρα {,,, }= {{, }, {, }}= {Θ(5), Ζ(5)}=Ο ΘΖ Όµοια: {,,, }= {{, }, {,}}= {(3), Η(7)}=Ο Η και επειδή το {,,, } είαι µοαδικό θα είαι Ο Ο Ο = ΘΖ Η () Θ(5) (4) πειδή m(θ) = m(z), το Ο είαι το µέσο του ΘΖ και επιπλέο Ο (3) Η(7) () Ο m(η) 7 = = ΟΗ m() 3 Ζ(5) (3) Σελ. 5

6 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, Η παρακάτω εφαρµογή αυτή είαι η βασική πρόταση ή Λήµµα που δηµοσιεύσαµε στο περιοδικό ΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχος 3, σελ κεί δώσαµε µια γεωµετρική και µια διαυσµατική απόδειξη. Μια ακόµη γεωµετρική απόδειξη έδωσε ο Νίκος υριαζής στο τ. 4 του ΠΟΛΛΩΝΙΟΥ σελ Η απόδειξη µε τη βοήθεια του κ.β που ακολουθεί είαι συτοµότατη και δε έχει τη αάγκη διάκρισης περιπτώσεω όπως οι γεωµετρικές που ααφέραµε. Έστω τετράπλευρο και τα σηµεία, Ζ, Η, Θ τω πλευρώ του,,, ατίστοιχα τέτοια, ώστε: = Η = λ και Θ = Ζ = µ. Έστω Η Θ Ζ O = EH ΘΖ. Να αποδειχθεί ότι: ΘΟ = λ ΟΖ και Ο = µ. ΟΗ πόδειξη: Έστω (α), (β), (γ), (δ). Θα προσδιορίσουµε κατάλληλα τα α, β, γ, δ ώστε ={, }, Ζ = {, }, Η = {,}, Θ = {, }. ρκεί: β γ = = λ () και α δ δ γ = = µ () α β Θ(+µ) Θέτουµε αυθαίρετα α= και βρίσκουµε β= λ, γ= λµ, δ = µ ίαι τώρα: {,,, }= {{, }, {, }}= {, Η}=Ο Η και {,,, }= {{, }}, {, }}= {Θ, Ζ}=Ο ΘΖ ποµέως {,,, }= Η ΘΖ = Ο, δηλαδή Ο Ο Ο ΘΟ m(ζ) λ + λµ Άρα: = = = λ και ΟΖ m(θ) + µ Ο m(η) µ + λµ = = = µ ΟΗ m() + λ (µ) () Η(µ+λµ) Ο (λµ) (+λ) Ζ(λ+λµ) (λ) ίεται τετράπλευρο περιγεγραµµέο σε κύκλο. Έστω, Ζ, Η, Θ τα σηµεία επαφής του κύκλου µε τις πλευρές,, και ατίστοιχα και =Θ=α, =Ζ=β, Η=Ζ=γ, Η=Θ=δ. Έστω επίσης Ο = Η ΘΖ. Να αποδειχθεί ότι: Ο α.β. ΘΟ α.δ. = και = ΟΗ γ.δ. ΟΖ β.γ. δ Θ α δ Η O γ γ Ζ β πόδειξη: Η απόδειξη µπορεί α γίει α στις κορυφές α β Σελ. 6

7 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ,,, τοποθετήσουµε τις µάζες,,, α β γ δ. ύο ισόπλευρα τρίγωα και Ζ είαι εγγεγραµµέα στο ίδιο κύκλο Ο. ιαµελίζουµε το σύολο {,,,,, Ζ} σε δύο υποσύολα τριώ στοιχείω. Έστω Χ = {,, } και Ψ = {,, } τα δύο υποσύολα. και Λ είαι τα κ.β τω τριγώω και, α αποδειχθεί ότι η Λ διέρχεται από το Ο. πόδειξη: Έστω (,,,,, Ζ)(). Τότε: {,,,,, Ζ} = {{,, },{,, Ζ}} = {Ο,Ο} = Ο πίσης {,,,,, Ζ}= {{,, },{,, }}= {, Λ} Λ Ο Ζ ίεται τρίγωο µε κ.β (σηµείο τοµής διαµέσω) το σηµείο και κύκλος κέτρου. τυχαία διάµετρος του κύκλου, Λ το κ.β του τριγώου και Μ το µέσο του τµήµατος, α αποδειχθεί ότι η ΛΜ διέρχεται από το κέτρο του κύκλου. πόδειξη: Έστω (,,,, )(). ίαι {,,,, }= {{,, }, {, }}= {, } = πίσης: {,,,, }= {{,, }, {, }}= {Λ, Μ} ΛΜ. Άρα ΛΜ. πιπλέο είαι: Λ m(m) = = Μ m(λ) 3 Λ Μ ίεται ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο (=) και ο εγγεγραµµέος κύκλος του Ι. τυχαία διάµετρος του κύκλου, το µέσο του τµήµατος, Λ το µέσο του τµήµατος και Μ το µέσο του Λ α αποδειχθεί ότι η Ι διέρχεται από το Μ. πόδειξη: Έστω ( ), (), (), (), () πειδή οι µάζες τω,, είαι αάλογες τω πλευρώ του θα είαι {,, }=Ι. πίσης {, }=Ι. Άρα: {,,,, }= {{,, },{,}}= {Ι, Ι} = Ι πίσης {,,,, }= {, {, }, {, }}= {, (), Λ()}= {, Μ} Μ, δηλ. Ι Μ ή το ίδιο η Ι διέρχεται από το Μ. Ι Μ Λ Σελ. 7

8 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, ίεται τρίγωο και οι διχοτόµοι του, και Ζ που τέµοται στο Ι. Η τέµει τη Ζ στο. Να αποδειχθεί ότι: α) = α + β + γ Ι α β) Ζ = α + γ Ζ α + β πόδειξη: Έστω (α,α),(β),(γ). Τότε: G={(α, α), (β), (γ)}= {(α), {(α), (β), (γ)}}= {(α), Ι} Ι και G={(α, α), (β), (γ)}= {{(α), (β)}, {(α), (γ)}}= {Ζ, } Ζ. ποµέως το G είαι το σηµείο τοµής τω Ζ και Ι, δηλαδή το και ισχύει: m(ι) α + β + γ Ζ m() α + γ = = και = = Ι m() α m(ζ) α + β Ι ίεται τρίγωο και τα σηµεία και τω πλευρώ του και τέτοια ώστε: = 4 και =. Έστω Ζ και Η τα µέσα τω και. Να αποδειχθεί 3 4 ότι η ευθεία ΖΗ διέρχεται από το κ.β του τριγώου. πόδειξη: Έστω (3, 5), (4,4), (7,). Τότε (7) = {(3), (4)} και (5) = {(4), ()}, Ζ = {(7), (7)} και Η = {(5), (5)}. Άρα {(3, 5), (4, 4), (7,)}=, {{(3), (4)}, {(4), ()}, (5), (7)}= {(7), (5), (5), (7)}= {{(7), (7)}, {(5), (5)}}= {Ζ(4), Η(0)} ΖΗ πίσης {(3, 5), (4, 4), (7, )}= {(8), (8), (8)} το οποίο είαι το κ.β του τριγώου. Η m(z) 4 7 Άρα ΖΗ και µάλιστα = = = m(h) 0 5 (3,5) Η(0) (7) (4,4) (5) Ζ(4) (7,) Σε τρίγωο φέρουµε τη διάµεσο. Έστω και Λ τα έγγετρα τω τριγώω, και Σ το σηµείο τοµής τω και Λ. Να αποδειχθεί ότι Σ β + γ + µ = όπου α, β, γ οι πλευρές Σ α του και µ το µήκος της διαµέσου. πόδειξη: (α/,α/) (µ) Σ Λ (β,γ) (µ) Σελ. 8

9 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ α α Έστω (, ), (µ), (µ), (β, γ). πειδή στις κορυφές του τριγώου έχουµε µάζες αάλογες τω πλευρώ του, θα α είαι = {( ), (µ), (γ)} και όµοια α Λ = {( ), (µ), (β)}. α α Έστω Ρ = {(, ), (µ), (µ), (β, γ)} α α Τότε Ρ = {{( ), (µ), (γ)}, {( ), (µ), (β)}} = {, Λ} Λ. α α πίσης: Ρ = {(, ), (µ), (µ), (β, γ)} = {(α), (β, γ), {(µ), (µ)}}= {(α), (β, γ), (µ)}= {(α), (β, γ, µ)} Άρα Ρ = Λ δηλαδή Ρ Σ και Σ m() β + γ + µ = = Σ m() α ΟΜ Μια πολύ χρήσιµη πρόταση είαι η παρακάτω που ααφέρουµε χωρίς απόδειξη Θεώρηµα: είαι εσωτερικό σηµείο τριγώου και οοµάσουµε = (), = (), 3= () τότε ισχύει: uuur uuur uuur r + + = 0 δηλαδή το είαι το Μ 3 τω 3 ( ), ( ), ( ). 3 ίεται τρίγωο και τα σηµεία και τω πλευρώ του και τέτοια ώστε: = και = 3. είαι το σηµείο τοµής τω και α αποδειχθεί ότι () = () 6 () πόδειξη: Έστω (), (), (3). Τότε {,, }= {{, }, }= {, } Όµοια: {,, }= {{, }, }= {, } Άρα {A, B, } = = (3) () (4) (3) Σελ. 9

10 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, ποµέως τα εµβαδά τω τριγώω, και είαι αάλογα τω,, 3. ηλαδή () = λ, () = λ και () = 3λ, άρα () = 6λ και εποµέως () = () 6 ίεται τρίγωο, σηµείο της πλευράς του, σηµείο εσωτερικό του τριγώου και σηµείο Λ εσωτερικό σηµείο του τριγώου τέτοια ώστε: () = 0, () = 0, () = (Λ) = 4, (Λ) = 8, (Λ) = 4 Μ = Λ α αποδειχθεί ότι Μ= Μ 0 πόδειξη: Έστω (0, 4), (), (4), (0, 8) Τότε = {(0), (), (0)} και Λ = {(4), (4), (8)} () 3 m() πειδή = = = =, θα είαι = {,}. () 6 m() ποµέως {(0, 4), (), (4), (0, 8)}= {(0, 4), (, 4), (0, 8)}= {(0, 4), (, 4, 0, 8)} = {(4), (4)} πίσης {(0, 4), (), (4), (0, 8)}= {{(0), (), (0)}, {(4), (4), (8)}} = {, Λ} Λ Άρα {(0, 4), (), (4), (0, 8)}= Λ = Μ και ισχύει: Μ m() 4 = = =, δηλαδή το Μ είαι το µέσο του. Μ m() 4 0 Μ 8 Λ 4 4 ίεται τρίγωο και τα σηµεία και Ζ τω πλευρώ του και ατίστοιχα. Οι και Ζ τέµοται στο σηµείο Ο και είαι: (ΟΖ) = 5, (Ο) = 8, (Ο) = 0. Να βρεθεί το εµβαδό του τετραπλεύρου ΖΟ. 3η ιεθής Ολυµπιάδα Νέω, 999 Λύση: Φέρουµε τη Ο. Οοµάζουµε (ΟΖ) = ω, (0) (Ο) = φ. Έστω τώρα (0), (φ+ 8), (ω+ 5). Τότε ω φ Ο = {,, }, (ω+ 5) = {, } και (ω+5) Ζ(φ+8) Ζ(φ+ 8) = {, }. 5 8 O AZ (AOZ) ω 0 ίαι: = = και (φ+8) (ω+5) ZB (BOZ) 5 Ζ m() φ+ 8 = =, άρα: φ + 8 ω = () Ζ m() Σελ. 0

11 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ (Ο) φ m() ω+ 5 πίσης: = = και = =, άρα: ω + 5 φ = () (Ο) 8 m() πό τη λύση του συστήµατος τω () και () βρίσκουµε: ω= 0 και φ=, άρα (ΖΟ) = ω+ φ=. ίεται τραπέζιο µε //. Έστω Ο το σηµείο τοµής τω διαγωίω του και τα σηµεία και Λ εσωτερικά τω τριγώω Ο και Ο τέτοια ώστε: () = 80, (Ο) = 3, (Ο) = 4 (Λ) = 6, (ΛΟ) =, (ΛΟ) = 6 Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία, Ο και Λ είαι συευθειακά. πόδειξη: Θέτουµε τις κατάλληλες µάζες στις κορυφές,,, και δύο µάζες m και m στο Ο, ώστε α είαι = {Ο(m ),, } και Λ = {Ο(m ),,} Έστω (3), (4), (6), (8), Ο(0, 3). πειδή οι µάζες Ο(0), (3), (4) είαι αάλογες τω εµβαδώ (), (Ο), (Ο), θα είαι = {,, Ο(0)} (8) (6) 6 Λ Όµοια: Λ = {,, Ο(3)} 6 Άρα {,,,, Ο(0, 3)} = {, Λ} O(0,3) ίαι: 3 4 (Ο)=80+3+4=36 80 (Ο)=6++6=34 (Ο) = 4(Ο) (3) (4) () () = 4 = Ο m() πειδή = = = O = {A,} Ο m(a) Όµοια: Ο = {, }, άρα Ο = {,,, } Ο = {,,,, Ο(0, 3)} ποµέως πρέπει Ο Λ ίεται τρίγωο και οι Σεβιαές, και Ζ που τέµοται σε εσωτερικό σηµείο του τριγώου. Να αποδειχθεί ότι (Ζ) (Ζ) () = = () + () () + () () + () πόδειξη: Έστω () = x, () = y, (KAB) = ω και (x),b(y), (ω) Τότε: {(x), B(y), (ω)} = πίσης = {(y), (ω)}, = {(ω), (x)}, Z = {A(x), B(y)} Σελ. Ζ

12 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, ποµέως {,, Ζ}={(x), (y), (ω)}= {(x), (y), (ω)}=k (Ζ) (Ζ) (K) (KZE) (Ζ) () = = = = m() m(e) m(z) ω+ y x+ ω y+ x ΟΜ ΡΟΠΗ ΥΝΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΞΟΝ Λόγω του περιορισµέου χρόου και χώρου, θα ααφέρουµε µόο το συµπέρασµα του θεωρήµατος αυτού µεταφρασµέο µε γεωµετρικούς όρους και δε θα υπεισέλθουµε στις ατίστοιχες θεωρίες της Φυσικής. Θεώρηµα Έστω τα συεπίπεδα σηµεία A (m ), A (m ),..., A (m ), µε Μ το σηµείο G, τυχαία ευθεία του επιπέδου τους και d, d,...,d και d οι αποστάσεις τω σηµείω αυτώ και του G από τη. Ισχύει τότε: ε m d+ ε m d ε m d = (m+ m m )d όπου: G τότε εi = + για όλα τα σηµεία A i που βρίσκοται στο ίδιο ηµιεπίπεδο της που βρίσκεται και το G, εi = για όλα τα σηµεία Ai που βρίσκοται στο άλλο ηµιεπίπεδο της και εi= 0 για όλα τα σηµεία Ai που βρίσκοται στη G τότε εi = + για όλα τα σηµεία A i που βρίσκοται στο ίδιο ηµιεπίπεδο της (το οποιοδήποτε) εi = για όλα τα σηµεία Ai που βρίσκοται στο άλλο ηµιεπίπεδο της και εi= 0 για όλα τα σηµεία Ai που βρίσκοται στη Η ίδια πρόταση ισχύει και α τα d, d,...,d δε είαι τα µήκη τω καθέτω τµηµάτω προς τη ευθεία, αλλά τα µήκη τω τµηµάτω που φέροται παράλληλα προς τη ίδια διεύθυση από τα σηµεία A, A,..., A και έχου το άλλο άκρο τους στη ευθεία. Το παραπάω θεώρηµα θα το οοµάζουµε θεώρηµα τω ροπώ ως προς τη ευθεία. Συτοµογραφικά ΘΡ. Σελ.

13 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ ε A d 5 d5 A5 G d 4 d4 A d 3 d3 ε A d 5 d5 A5 4 G d d4 A d 3 d3 A4 A3 A4 A3 Σχ. Σχ. Έτσι, για το σχήµα µε G = {A (m ), A (m ), A 3(m 3),A 4(m 4), A 5(m 5)} ισχύει: m d + m d m d m d m d = (m + m + m + m + m )d Η ίδια πρόταση ισχύει και για το σχήµα όπου οι / / / / / / / / / / GK είχουµε τη χρήση του παραπάω θεωρήµατος στις επόµεες εφαρµογές. ίεται τρίγωο µε Μ το σηµείο και ευθεία που αφήει όλες τις κορυφές του τριγώου προς το ίδιο µέρος της. d,d,d 3 και d είαι οι αποστάσεις τω,, και από τη ατίστοιχα, α αποδειχθεί ότι: d+ d + d = 3d 3 πόδειξη: K K d d d d 3 Έστω (A,,)() Τότε (3) = {,, } φαρµόζουµε το ΘΡ..d+.d +.d 3= 3.d, δηλαδή d+ d+ d3= 3d οι,, δε είαι κάθετες στη η πρόταση ισχύει πάλι ως εξής: + + = 3 ίεται τετράπλευρο, τα µέσα και Ζ τω και και Μ Σελ. 3

14 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, το µέσο του Ζ. Έστω επίσης ευθεία που αφήει όλες τις κορυφές του τετραπλεύρου προς το ίδιο µέρος της και d,d,d 3,d 4 και d οι αποστάσεις τω,,, και Μ από τη. Να αποδειχθεί ότι: d+ d+ d3+ d4= 4d πόδειξη: Έστω (,,, )(). Τότε Μ( 4) {,,,} =. φαρµόζουµε το Θ.Ρ για τα σηµεία,,,..d+.d +.d 3+.d 4= 4.d ή d+ d+ d3+ d4= 4d Ζ Μ d 4 d d d 3 d Μ Έστω τρίγωο πλευρώ α, β, γ, το έγγετρό του Ι και ευθεία που αφήει όλες τις κορυφές του τριγώου προς το ίδιο µέρος της. Φέρουµε τις ', ', ', ' και ΙΙ' κάθετες στη. Να αποδειχθεί ότι α. + β. + γ. = α + β + γ.ιι α η ευθεία αφήει όλες τις κορυφές α) ( ) του τριγώου προς το ίδιο µέρος της. α. + β. γ. = α + β + γ.ιι α οι κορυφές και και το Ι β) ( ) βρίσκοται προς το ίδιο µέρος της εώ η κορυφή βρίσκεται προς το άλλο µέρος της γ) α. + β. = γ. α η ευθεία διέρχεται από το Ι και αφήει τις κορυφές και προς το έα µέρος της και τη κορυφή προς το άλλο µέρος της. πόδειξη: γ (α) Ι β (γ) (β) Ι (α) (β) α Ι B' Ι' A' ' (γ) α) Έστω (α), (β), (γ). Τότε Ι(α+ β+ γ) = {,, }. α. β. γ. α β γ.ιι φαρµόζουµε το Θ.Ρ: + + = ( + + ) β) φαρµόζουµε πάλι το Θ.Ρ για τα σηµεία,,. α. + β. γ. = α + β + γ.ιι Θα έχουµε λοιπό: ( ) Σελ. 4

15 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ γ) η ευθεία διέρχεται από το Ι, τότε ΙΙ = 0 και η προηγούµεη σχέση γίεται: α. + β. γ. = 0 ή α. + β. = γ. ίεται καοικό πετάγωο και ευθεία. Φέρουµε από τις κορυφές του πεταγώου τις κάθετες ', ', ', ', ' προς τη ευθεία καθώς και τη ' κάθετη στη. Να αποδειχθεί ότι: α) + + = 5 α η αφήει τις κορυφές, προς το έα µέρος της και της κορυφές,, και το κέτρο του προς το άλλο µέρος της β) + + = 5. α η συµπίπτει µε τη K γ) + = + + α η διέρχεται από το κέτρο του πεταγώου και αφήει τις κορυφές και προς το έα µέρος της και τις κορυφές, και προς το άλλο µέρος της. ίαι άµεση εφαρµογή του θεωρήµατος τω ροπώ ίεται καοικό πετάγωο κέτρου Ο. πό το Ο φέρουµε ευθεία παράλληλη προς τη. Έστω x,y οι αποστάσεις τω και ατίστοιχα από τη R και R η ακτία του πεταγώου. Να αποδειχθεί ότι: x y = πόδειξη: Έστω (A,B,,, )(). Τότε Ο = {,,,, } Φέρουµε και τις κάθετες από τα,, στη ευθεία. φαρµόζουµε το θεώρηµα τω ροπώ ως προς τη ευθεία Ο. = 0 και επειδή = = x, = = y και Ο= R η παραπάω σχέση γίεται: x y R = 0 R και τελικά: x y = Ο ίεται καοικό επτάγωο ΖΗ κέτρου Ο. πό το Ο φέρουµε ευθεία ε // και τις, και κάθετες στη. Να αποδειχθεί ότι R =. + όπου R η ακτία του επταγώου. ( ) πόδειξη: Φέρουµε τις κάθετες και από τις υπόλοιπες κορυφές του επταγώου όπως δείχει το σχήµα. Οοµάζουµε = = x, = ΖΖ = y, = ΗΗ = ω. Η κάθετη από το στη είαι η ακτία R. Σελ. 5

16 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, Έστω επίσης (A, B,,,, Ζ, Η)(). Τότε Ο(7) = {,,,,, Ζ, Η} φαρµόζουµε το ΘΡ :.x+.x+.ω. y.r. y+.ω = 7.0 και τελικά: R = (x y + ω) Ζ ψ Η ω Ζ Η R ψ Ο ω χ χ ΟΜ ΡΟΠΗ ΡΝΙΣ Έστω υλικό σηµείο εός επιπέδου (Π) µε µάζα m. Έστω επίσης άξοας κάθετος στο επίπεδο. Οοµάζουµε ροπή αδράειας του (m) ως προς το άξοα το γιόµεο: Ι= mr Π (m) r Ο όπου r η απόσταση του σηµείου από το άξοα. Έστω τώρα τα υλικά σηµεία (m ), A (m ),..., A (m ) εός επιπέδου και άξοας ε Π στο σηµείο του Ο. Έστω r, r,..., r οι αποστάσεις τω, A,..., A από το άξοα ατίστοιχα, δηλαδή οι αποστάσεις τω σηµείω από το Ο. Ως ροπή του συστήµατος τω υλικώ αυτώ σηµείω ως προς το άξοα ορίζεται το άθροισµα τω ροπώ τω σηµείω ως προς το, δηλ. το άθροισµα I= I+ I I = m r + m mr Η ροπή αδράειας ορίζεται και για µη συεπίπεδα υλικά σηµεία, αλλά επειδή θα περιοριστούµε σε προτάσεις της πιπεδοµετρίας, προς το παρό ο παραπάω ορισµός µας καλύπτει. ια τη ροπή αδράειας υλικώ σηµείω ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα Steiner ή θεώρηµα τω παραλλήλω αξόω: Η ροπή αδράειας του συστήµατος υλικώ συεπίπεδω σηµείω ως προς άξοα (η) κάθετο στο επίπεδό τους είαι ίση µε τη ροπή αδράειας του συστήµατος ως προς άξοα ε // η που διέρχεται από το Μ τω σηµείω συ τη ροπή αδράειας της συολικής µάζας τω σηµείω ως προς το άξοα α αυτή είαι συγκετρωµέη στο Μ τω σηµείω. Σελ. 6

17 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Έστω δηλαδή τα συεπίπεδα σηµεία (m ), A (m ),..., A (m ), = { (m ),A (m ),...,A (m )}, άξοας που διέρχεται από το και είαι κάθετος στο επίπεδο τω σηµείω και άξοας η// ε που τέµει το επίπεδο τω σηµείω στο Ο. Οοµάζουµε r, r,..., r τις αποστάσεις τω, A,..., A από το άξοα ατίστοιχα, d,d,...,d τις αποστάσεις τω ίδιω σηµείω από το άξοα (η) και d τη απόσταση τω δύο αξόω, δηλ. τη Ο. Ισχύει τότε: Π (η) d3 A 3 r O d 3 K d r r d A A Ι Ι (m m... m )d (η) = ή το ίδιο: m d + m d m d = m r + m r m r + (m + m m )d όπου I η ροπή αδράειας του συστήµατος τω υλικώ σηµείω ως προς το άξοα και Ι (η) η ροπή αδράειας τω ίδιω σηµείω ως προς το άξοα (η). Στα παραδείγµατα που ακολουθού, θα σηµειώουµε µόο το ίχος του άξοα στο επίπεδο και όχι το ίδιο το άξοα και τη ροπή αδράειας εός υλικού σηµείου ως προς το άξοα θα τη οοµάζουµε ροπή αδράειας ως προς το ίχος του στο επίπεδο. φαρµογές πόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήµατος. Σε κάθε ορθογώιο τρίγωο µε π = ισχύει: = + πόδειξη: Έστω το συµµετρικό του ως προς το. Έστω επίσης (), (). Τότε = {, }. φαρµόζουµε το θ. Steiner µε άξοες κάθετους στο επίπεδο του τριγώου στα σηµεία και. Ι και Ι είαι οι ροπές αδράειας του συστήµατος {, } ως προς τα σηµεία και, θα έχουµε: Ι = Ι + ή + = + + ή = + και τελικά: = + () B A() () () πόδειξη: Έστω () και (). Έστω Μ το µέσο της. Τότε Μ = {, } και Μ= (). φαρµόζουµε το θ. Steiner Μ() για το σύστηµα {, } ως προς άξοες κάθετους στο επίπεδο του τριγώου στα σηµεία Μ και. () Σελ. 7

18 6 η ΜΘΗΜΤΙΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΗΣ, Θα έχουµε: Ι = Ι + Μ ή Μ και λόγω της (): + = Μ + Μ + Μ + = Θεώρηµα διαµέσω. Σε κάθε τρίγωο µε διάµεσο τη Μ ισχύει: πόδειξη: Έστω (), (). Τότε Μ() = {, }. φαρµόζουµε το θ. Steiner για δύο άξοες κάθετους στο επίπεδο του τριγώου στα σηµεία Μ και. Ι = Ι + Μ ή + = Μ + Μ + Μ και επειδή Μ Μ= Μ= έχουµε τελικά + = Μ + Θεώρηµα Stewart Έστω τυχαίο σηµείο της πλευράς τριγώου. Ισχύει + = + + = Μ + () Μ () πόδειξη: () Έστω () και () ώστε = {, } φαρµόζουµε το θεώρηµα Steiner για δύο άξοες κάθετους στο επίπεδο του τριγώου στα σηµεία και. Ι (, ) = Ι (, ) + + = + + ( + ) = ( + ) + = + () (Θεώρηµα Leibnitz) ίεται τρίγωο κέτρου βάρους και σηµείο Ο του επιπέδου του. Να αποδειχθεί ότι: Ο + Ο + Ο = (α β γ + + ) 3 πόδειξη: Έστω (,, )(). Τότε = {,, }. φαρµόζουµε το θ. Steiner µε άξοες κάθετους στο επίπεδο του τριγώου στο κέτρο µάζας και στο σηµείο Ο. Έχουµε: Ο + Ο + Ο = Ο ή Ο + Ο + Ο = Ο () Ο Σελ. 8

19 Νικ. Ιωσηφίδης: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΝΤΡΟΥ ΜΖΣ ΣΤΗΝ ΠΟΙΞΗ ΩΜΤΡΙΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Όµως: 4 = ( µ α ) = µ α= β + γ α β + γ α = γ + α β Όµοια: = και 9 α + β γ = 9 Άρα η () γίεται: Ο + Ο + Ο = (α β γ + + ) 3 ίεται καοικό επτάγωο ΖΗ ακτίας R. Να αποδειχθεί ότι: + + = 7R πόδειξη: Έστω (,,,,, Ζ, Η)(). Ο είαι το κέτρο του επταγώου, τότε {,,,,, Ζ, Η}= Ο(7). φαρµόζουµε το θ. Steiner µε άξοες κάθετους στο επίπεδο του επταγώου στα σηµεία Ο και. Ζ Ι = Ι + 7R ή Ο AB + A Ζ + Η = 7R + 7R και επειδή Η=, Ζ= και = η σχέση γίεται: AB + A + = 4R ή AB + + = 7R Η O R Σελ. 9