DISKRETNE STRUKTURE 1 Odgovori na pitanja za usmeni kod profesora Ž. Mijajlovića. Nikola Ajzenhamer Anja Bukurov Lektor: Ludi Burekdžija 2014
|
|
- Ἄννας Βλαβιανός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DISKRETNE STRUKTURE 1 Odgovori a pitaja za usmei kod profesora Ž. Mijajlovića Nikola Ajzehamer Aja Bukurov Lektor: Ludi Burekdžija
2 Sadržaj 1 Matematička idukcija Pricip matematičke idukcije Operatori sumiraja i proizvoda 3 3 Algebarski idetiteti, bioma formula, asocijativi i komutativi zakoi BINOMNA FORMULA Nejedakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredie 4 5 Rekurzive defiicije, Fiboačijev iz 5 6 Lieara difereca jedačia prvog reda 5 7 Iskaza algebra 5 8 Defiicija iskazih formula 6 9 Tautologije - metode dokazivaja i primeri 6 10 Teorema o disjuktivoj ormaloj formi 6 11 Kvatori 6 12 Defiicija predikatskih formula 6 13 Pojam valuacije 7 14 Valjae formule, primeri 7 15 Teorija algebarskih polja 8 16 Osove skupove operacije, defiicije i osobie Osobie skupovih operacija Beskoače skupove operacije Skupovi idetiteti, metode dokazivaja Metode dokazivaja skupovih jedakosti Aksiome teorije skupova Dekartov proizvod, operacija partitivog skupa Dekartov proizvod Operacija partitivog skupa Biare relacije, kompozicija biarih relacija, iverza biara relacija 11 2
3 21 Fukcije, osobie (kompozicija, 1-1 i a preslikavaja Iverza fukcija Iverza slika Ijekcija Surjekcija Kompozicija fukcija Permutacije koačih skupova, račuaje proizvoda i iverza permutacija Proizvod permutacija Iverza permutacija Relacije ekvivalecije i particije skupova, primeri Relacija ekvivalecije Klasa ekvivalecije Particija skupa Parcijalo i liearo uredjei skupovi Koači i beskoači skupovi i kardiali broj Dirikleov pricip za koače skupove Bulove algebre Bulovski idetiteti, de Morgaove jedakosti Euklidov algoritam Lieara diofatovska jedačia 19 3
4 1 Matematička idukcija Matematička idukcija predstavlja važa i moća metod za dokazivaje tvrdeja koja se odose a prirode brojeve. Oa proizilazi iz sledećeg svojstva skupa prirodih brojeva N. Neka je S N i pretpostavimo da skup S ima sledeće dve osobie: (1 0 S (2 za svako, ako S tada + 1 S Tada S = N. Zaista, prema (1 0 S, dok prema (2 tada i 1 S. Opet primejujući (2 alazimo 2 S i tako redom 3, 4,... S, tj. N S. S obzirom da je S N, alazimo S = N. Pretpostavimo da je φ( formula koja se odosi a prirode brojeve (za takvu formulu kažemo da je aritmetički iskaz i eka je S = { N φ(}, tj. S je skup svih oih prirodih brojeva za koje važi φ(. Tada se prethoda svojstva skupa S mogu preizraziti pomoću formule φ( a sledeći ači: 1.1 Pricip matematičke idukcije Neka je φ( aritmetički iskaz. Pretpostavimo da za φ( važi: (1 φ(0 baza idukcije (2 (φ( = φ( + 1 iduktivi korak Tada je φ( istiito za svaki priroda broj. 2 Operatori sumiraja i proizvoda Osobie: a i = def a m + a m a 1 + a, m i=m a i = def a m a m+1... a 1 a, m i=m SUMIRANJE (1 i=1 αa i = α i=1 (2 i=1 (a i + b i = i=1 a i + (3 i=1 = i=1 (4 m i=1 j=1 a ij = m j=1 i=1 a ij P ROIZV OD (1 i=1 αa i = α i=1 (2 i=1 (a i b i = i=1 a i (3 i=1 = i=1 (4 m i=1 j=1 a ij = m j=1 i=1 a ij i=1 b i i=1 b i 4
5 3 Algebarski idetiteti, bioma formula, asocijativi i komutativi zakoi Algebarski idetiteti su formule oblika u = v, gde su u i v algebarski izrazi (termi. Algebarski idetitet u = v je tača ili istiit u ekoj algebarskoj strukturi akko se za zadate vredosti učestvujućih promeljivih u termima u i v vredosti u i v terma poklapaju. Primeri: (x + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 = (x y(x + y. 3.1 BINOMNA FORMULA (x+y = def k=0 ( k Biomi koeficijeti: C k = ( k ( x k y k = x + 1 =! k!( k! ; ( k ( x 1 y = ASOCIJATIVNI ZAKONI: (x + y + z = x + (y + z KOMUTATIVNI ZAKONI: x + y = y + x ( k x 1 y 1 +y redosled izračuavaja e utiče a rezultat 4 Nejedakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredie =2: a1 a 2 a1+a2 2 x = a 1, y = a 2 x, y : (x y 2 0 x 2 2xy + y 2 0 x 2 + y 2 2xy a 1 + a 2 2 a 1 a2 / : 2 a 1+a 2 2 a 1 a 2 =4: 4 a1 a 2 a 3 a 4 a1+a2+a3+a4 4 a 1+a 2+a 3+a 4 4 = a1+a2 2 + a 3 +a a1 a 2 a 3 a 4 4 a 1 a 2 a 3 a 4 G(a 1,..., a A(a 1,..., a = G(b 1,..., b A(b 1,..., b b 1+b b b1... b 2 = b1+...+b + b b 2 2 b1... b + b b 2 2 b1... b b b 2 = 5
6 Ovim smo dokazali ejedakost za sve brojeve, oblika = 2 k ; k N +. =bilo koji broj koji ije oblika 2 k : m N 2 m 1 < < 2 m + l = 2 m Dati su am brojevi a 1,..., a a +1 = a +2 =... = a 2 m 2 m : = a1+a2+...+a 2 m a1 a 2... a a a 2 m a1+...+a+a a 2 m 2 a m 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a1+...+a (+l( a1+...+a a 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a1+...+a a 1 a 2... a ( a1 a2... a / a1 a 2... a a1 a2... a 2 2m m +l 2 m +l ( a a 2 / 2m m 5 Rekurzive defiicije, Fiboačijev iz Pomoću matematičke idukcije mogu se defiisati i uvoditi ovi matematički objekti. Defiicije u kojima se koristi idukcija azivamo iduktivim ili rekurzivim defiicijama. Fiboačijev iz je iz brojeva čiji su početi elemeti f 1 = 0, f 2 = 1, a svaki sledeći broj u izu dobija se sabirajem prethoda dva: f = f 1 + f 2. 6 Lieara difereca jedačia prvog reda Jedačia oblika A(xy + B(xy + C(x = 0 koja deljejem sa A(x 0, postaje y + P(xy + Q(x = 0 aziva se lieara difereca jedačia prvog reda. Ukoliko je fukcija Q(x=0, lieara difereca jedačia se aziva homogeom. 7 Iskaza algebra Iskaza algebra ili raču iskaza je dvoelemeti skup 0,1, zajedo sa jedom uarom i pet biarih operacija. Služi za utvrdivaje tačosti ekog iskaza. p, q, r,... su iskaza slova (promeljive čije su vredosti matematički izrazi,, =,,, su iskazi vezici Operacije su defiisae iskazim tablicama: =
7 8 Defiicija iskazih formula (1 0, 1 su iskaze formule (2 iskaze promeljive p, q, r,... su iskaze formule (3 ako su A i B iskaze formule, tada su i A, A B, A B, A = B, A B i A B iskaze formule. (4 svaka iskaza formula dobija se primeom prethoda tri pravila 9 Tautologije - metode dokazivaja i primeri Iskaza formula A (p, q, r,... je tautologija akko za sve vredosti p=α, q=β, r=γ,... (α, β, γ {0, 1}, vredost A je 1, od. A (α, β, γ, Metode dokazivaja: tabliči metod, metod diskusije po iskazom slovu, metod tabloa, metod svodeja a apsurd. Primeri tautologija: p = p, p p (pricip isključeja trećeg, (p q r p (q r (asocijativost kojukcije, (p q (q p (komutativost kojukcije, p p, (p q p q, (p q p q (de Morgaovi zakoi 10 Teorema o disjuktivoj ormaloj formi Literal je p ili p. Atom je kojukcija literala. Disjuktiva ormala forma (DNF je disjukcija atoma A. Formula F je u DNF, ako je F = A1 A2... A ; A = p α1 1 p α p α k 1, p je iskazo slovo, α 1,..., α k {0, 1}. { p α p ako je α = 1 = p ako je α = 0 Teorema: Svaka iskaza formula ima SDNF. Razlika izmedu DNF i SDNF je u tome da u SDNF u svakom atomu postoje svi literali te iskaze formule. 11 Kvatori Kvatori su kvalifikatori u jeziku. Njihova sematika je: - za svaki, uiverzali kvator - postoji, egzistecijali kvator Uglavom su vezai za promeljivu: x, x. 12 Defiicija predikatskih formula ***** Neka je skup L jezik predikatskog račua. L = CostL U FuL U RelL, pri čemu su CostL skup simbola kostati ({0, 1,...}, FuL skup simbola algebarskih operacija ({+, *,...} i RelL skup simbola relacija ({,,...}. ***** 7
8 Termi (algebarski izrazi se grade od simbola kostati, operacija i relacija, pr. L = {0, 1} U {+,*} U { }. (1 Promeljive (dodeljuju im se vredosti iz domea su termi i simboli kostati su termi (2 Ako su u i v termi, oda su u+v, u*v termi (3 Svaki term dobija se koačom primeom prethoda dva pravila Atomiče formule su: u = v, u v,... Predikatske formule su: (1 Atomiče formule su predikatske formule (2 Ako su φ i λ predikatske formule, tada su i φ λ, φ λ, φ, φ = λ,... takode predikatske formule (3 Ako je φ formula, tada su i xφ i xφ takode predikatske formule (4 Svaka predikatska formula dobija se koačom primeom prethoda 3 pravila Primeri: x y(x + y = 1 x( x = 0 = y(x y = 1 x(x 2 2x + 2 = 0 L {1,2,3,...,-1,-2,-3,... }=L 13 Pojam valuacije Valuacija je bilo koja fukcija koja skupu iskazih primeljivih dodeljuje vredosti 0 ili 1. φ(p1,...,p φ(α1,...,α Valuacija( je svako preslikavaje p1,..., p α = α 1,..., α α : P 2, gde je P skup iskazih slova {p 1, p 2,...} 14 Valjae formule, primeri Valjae formule su formule čija opšte važeća istiitost ije uslovljea ačiom iterpretacije elogičkih simbola, već samoj logičkoj strukturi formule. Valjae formule izražavaju zakoe ispravog logičkog zaključivaja a jeziku relacijskih struktura. Ako je formula A tača u ekoj iterpretaciji D, oda oa opisuje izveso svojstvo strukture D. Medutim, ako je formula A tača u svakoj iterpretaciji, oda oa više e opisuje svojstvo eke strukture, već opšte svojstvo svih struktura, tj. opšte pravilo zaključivaja. Takve formule, koje su tače u svim iterpretacijama azivaju se opšte važećim formulama ili valjaim formulama. Primeri: xφ(x = x φ(x xφ(x = x φ(x x φ(x = xφ(x 8
9 15 Teorija algebarskih polja Teorija polja je matematička disciplia koja proučava polja. (1 (x + y + z = x + (y + z asocijativi zako (u aditivoj formi (2 x + y = y + x komutativi zako (3 x + 0 = 0 + x = x zako eutralog elemeta (4 x + (-x = (-x + x = 0 zako suprotog elemeta Svaka algebarska struktura A a kojoj su defiisae algebarske operacije + i i postoji kostata 0, tj. A = (A, +,, 0 i u kojoj važe idetiteti (1 (4 aziva se Abelovom ili komutativom grupom. Skup A je dome algebre A, dakle skup a kojem su defiisae operacije +, i 0 A. Komutativi prstei su algebre A = (A, +,,, 0, 1 koje zadovoljavaju sledeće zakoe: (1 (4 (5(x y z = x (y z (6x y = y x (7x 1 = 1 x = x (8x (y + z = (x y + (x z distributivi zako Uzimamo da je x y = def x + ( y Polja su komutativi prstei koji zadovoljavaju i ovu aksiomu: x 0 = y(x y = 1 ili x 0 = x x 1 ako je uvedea operacija iverzog elemeta. 16 Osove skupove operacije, defiicije i osobie Skupova operacija može biti shvaćea kao postupak kojim se skupu/skupovima pridružuje skup. Georg Kator je godie formulisao kocept skupova: X = {a φ(a} Skupove operacije su: uara operacija, tzv. komplemetiraje i četiri biare, tzv. presek, uija, razlika i simetriča razlika. (1 Komplemet skupa A, u ozaci A c, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji e pripadaju skupu A. A c = {x U x / A} (2 Presek skupova A i B, u ozaci A B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju i skupu A i skupu B. A B = {x U x A x B} (3 Uija skupova A i B, u ozaci A B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju skupu A ili skupu B. A B = {x U x A x B} 9
10 (4 Razlika skupova A i B, u ozaci A\B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju skupu A, a e pripadaju skupu B. A\B = {x U x A x / B} U opštem slučaju e važi jedakost A\B = B\A. (5 Simetriča razlika skupova A i B, u ozaci A B je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju ili skupu A ili skupu B. A B = {x U x A x B} Uredje par (x, y = def {{x}, {x, y}} 16.1 Osobie skupovih operacija Za svaki skup A važi: Idempotetost: A A = A, A A = A Za svaka dva skupa A i B važi: Komutativost: A B = B A, A i B važi A B = B A Za svaka tri skupa A, B, i C važi: Asocijativost: A (B C = (A B C, A (B C = (A B C Distributivost: A (B C = (A B (A C, A (B C = (A B (A C Osobie komplemeta, uiverzalog skupa i prazog skupa: (A c c = A, A c = U\A, A A c = U, A A c =, c = U, U c =, (A B c = A c B c, (A B c = A c B c A U = U, A U = A A = A, A = 16.2 Beskoače skupove operacije A 1 A 2... A = N A 1 A 2... A = x N x N N A A A ( Nx A A ( Nx A 10
11 17 Skupovi idetiteti, metode dokazivaja Skupovi idetiteti predstavljaju jedakost dva skupa. To su dobro zapisai izrazi u kojima učestvuju skupovi A, B, C,..., operacije,, c,... Formala defiicija skupovog izraza (terma: (1, A, B, C,... su skupovi izrazi. (2 Ako su u i v skupovi izrazi, oda su i u v, u v, u c, u\v, u v skupovi izrazi. (3 Svaki skupovi izraz dobija se primeom prethoda dva pravila. Skupovi izraz L = D važi akko vredost od L jeste idetički jedaka vredosti od D za ma kakav izbor skupova (skupove promeljive zameiti kokretim skupovima. Za svako proizvoljo x važi x L x D, tj. L i D imaju iste elemete. A = B akko za svako svojstvo φ važi: φ(a φ(b (jedakost po iteziji = začeju. A = B akko A i B imaju iste elemete: x A x B (jedakost po eksteziji = obimu Metode dokazivaja skupovih jedakosti (1 Dijagram za ograiče broj skupova (2 Tabele pripadosti (svodeje a tabliči metod dokazivaja tautologija (3 Dokaz izraza a osovu defiicija, aksioma,... (4 Metod karakterističih fukcija 18 Aksiome teorije skupova Ove aksiome su aveli Rasel, Frekel i Zermelov početkom 20. veka. (A1 Ako su a, b skupovi, tada je {a, b} takodje skup. (A2 Ako su a, b skupovi, tada su {a b}, {a b},... takodje skupovi. (A3 Ako je a skup, tada je i P (a = {X X a} takodje skup i o se aziva Partitivi skup skupa a. (A4 Praza skup ( je takodje skup. (A5 Aksioma beskoačosti: Postoji skup X takav da u jemu leži. Ako y X, tada y X; y = y {y}. (A6 Aksioma restrikcije: Ako je X skup, φ eko svojstvo, tada je i Y = {x X φ(x} takodje skup. (A7 Ako je data disjukta familija skupova, svi su eprazi, tada postoji X koji bira tačo po jeda elemet iz svakog člaa( relacija trasferzale. 19 Dekartov proizvod, operacija partitivog skupa 19.1 Dekartov proizvod Ako su A i B skupovi, oda se skup uredjeih parova sa prvom koordiatom iz A, a drugom koordiatom iz B aziva Dekartov proizvod skupova A i B, i ozačava se sa AxB: 11
12 AxB = def {(a, b a A, b B} AxBxC = (AxBxC Važi distributivost Dekartovog proizvoda u odosu a operacije presek, uija,...: Ax(B C = (AxB (AxC Dekartov proizvod skupova A 1,..., A u ozaci A 1 x... xa ili i=1 A i = def {f : I i I A i f(i A i, i I} je skup svih uredjeih -torki sa koordiatama iz odgovarajućih skupova. A 1 x... xa = def {(a 1,..., a a 1 A 1,..., a A } Ako je bilo koji od skupova A 1,..., A praza, oda je po defiiciji praza i skup A 1 x... xa. Ako je A 1 = A 2 =... = A = A, oda se odgovarajući Dekartov proizvod obeležava sa A i zove se Dekartov -ti stepe skupa A, gde je A 1 = A. Ako je A, oda je Dekartov stepe zgodo proširiti i za =0, a sl. ači: A 0 = def { }, odakle sledi da A 0 je jedoelemeti skup Operacija partitivog skupa Skup čiji su elemeti svi podskupovi jedog skupa aziva se partitivi skup. P (X = def {A A X} Praza skup je elemet svakog partitivog skupa. Skup X je elemet P(X. Za razliku od prazog skupa koji ema elemeata, jegov partitivi skup se sastoji od jedog elemeta: P ( = { }. Broj elemeata P(X je 2, ukoliko skup X ima N elemeata. 20 Biare relacije, kompozicija biarih relacija, iverza biara relacija Biare relacije izmedju skupova A i B su podskupovi Dekartovog proizvoda dva skupa A i B. ρ = {(a, x, (b, y,...} AxB (A = {a, b, c}, B = {x, y} Iverza relacija: Neka je ρ eka biara relacija izmedju A i B. Relacija σ koja je relacija izmedju B i A, takva da je (x, y σ akko (y, x ρ, tj. σ = {(x, y (y, x ρ, y A, x B} aziva se iverza relacija relacije ρ. Nekada se ozačava i kao ρ 1. Kompozicija relacija: Neka je σ relacija izmedju skupova A i B, i ρ relacija izmedju skupova B i C. Tada je relacija τ kompozicija relacija izmedju relacija ρ i σ u ozaci τ = ρ σ, ako za (a, c τ def b((a, b σ (b, c ρ, 12
13 odoso τ = ρ σ = {(a, c AxC b B, (a, b σ (b, c ρ} Važi: Asocijativost kompozicije: (ρ σ τ = ρ (σ τ 21 Fukcije, osobie (kompozicija, 1-1 i a preslikavaja Neka su A i B skupovi. Fukcija iz A u B je f AxB tako da za svako x A postoji tačo jedo y B, tako da (x, y f. Fukcija ili preslikavaje je uredjea trojka (A, B, f, gde su prve dve koordiate dati skupovi A i B, a treća je f kojom se svakom elemetu skupa A dodeljuje tačo jeda elemet skupa B. Zapisuje se f : A B. Skup A je dome fukcije f. To je skup sa kojeg vršimo preslikavaje. Skup B je kodome fukcije f. To je skup a koji vršimo preslikavaje. Preslikavaje ili fukcija je zapravo relacija sa osobiom da svaki elemet skupa A stavlja u relaciju sa tačo jedim elemetom skupa B. ( x A( y B(x, y f i ( x A( y, z B(x, y f (x, z f = y = z. Postoji različit zapis fukcija: f = {(x, x 2 x N} f = {(0, 0, (1, 1, (2, 4,...} f : N( N f = ( x f = x 2 f =< f(x x N > f =< x 2 x N > Najčešći zapis je: f(x = x 2 Formala defiicija: (1 f AxB (2 a A : b B, t.d.(a, b f (3 a A b, b B (a, b, (a, b f = b = b Skup vredosti fukcije f: f(a = {f(a a A} Može da važi i za podskup X A i to je slika skupa X: f[x] = {f(x x X} 21.1 Iverza fukcija Dati su skupovi A i B i fukcija f : A a 1 1 B. Možemo uvesti fukciju f 1 : B A. y = g(x x = f(y g = f 1 = {(x, y (y, x f}. Iverze fukcije su simetriče u odosu a x = y pravu. 13
14 21.2 Iverza slika Ako imamo skupove A i B i preslikavaje f : A B, iverza slika fukcije f je fukcija u ozaci f 1. f 1 [Y ] = {x A f(x Y }. Osobie: X, Y A f[x Y ] = f[x] f[y ] f[x Y ] f[x] f[y ] X, Y B f 1 [X Y ] = f 1 [X] f 1 [Y ] f 1 [X Y ] f 1 [X] f 1 [Y ] 21.3 Ijekcija Preslikavaje ili fukcija f skupa A u skup B, u ozaci f : A B je ijekcija ili 1-1 ako za bilo koja dva razlicita elemeta x 1, x 2 A i jihove slike su različite, tj. f(x 1 f(x 2 : Poekad pišemo f : A 1 1 B Surjekcija ( x 1, x 2 A(x 1 x 2 = (f(x 1 f(x 2 Preslikavaje ili fukcija f skupa A u skup B, u ozaci f : A B je surjekcija ili a ako za svaki elemet b B postoji a A takav da je b = f(a, tj: Poekad pišemo f : A a B. ( b B( a A t.d. (b = f(a Fukcija koja je istovremeo i 1-1 i a zove se bijekcija Kompozicija fukcija Kompozicija fukcija, proizvod ili slagaje fukcija je biara operacija: f : A B g : B C = h = g f, h : A C za bilo koje date skupove A, B, i C. h(x = def g(f(x odoso (g f(x = def g(f(x Slagaje fukcija je asocijativog karaktera: h (g f = (h g f 14
15 Dokaz: (h (g f(x = h((g f(x = h(g(f(x = (h g(f(x = ((h g f(x Ako su date fukcije f : A B i g : X B, f = g akko X = X x X f(x = g(x f = g akko: (1 dom(f = dom(g i (2 f i g imaju iste vredosti za elemete domea Fukcije (A, B, f i (C, D, g su jedake akko je A = C, B = D i f = g( x A = C, f(x = g(x g f f g, u opštem slučaju. Teorema: Neka su f : A B, g : B C: (1 proizvod 1-1 fukcija je 1-1 fukcija (2 proizvod a fukcija je a fukcija (3 proizvod bijektivih fukcija je bijektiva fukcija 22 Permutacije koačih skupova, račuaje proizvoda i iverza permutacija Dat je skup X i fukcija f : X a 1 1 X. Fukciju f azivamo permutacijom skupa X. Skup svih permutacija skupa X ozačavamo: Sym(x = {p p : X a 1 1 X}. Grupa permutacija je simetriča grupa skupa X, pr. Grupa (Sym(X, 0, 1, i X = {1, 2,..., }, p : X a 1 1 X, q : X a 1 1 X = q p je takodje 1-1 i a fukcija. p, q Sym(X = q p Sym(X Ako je p : X a 1 1 X i p 1 : X a 1 1 X, oda p Sym(X = p 1 Sym(X 22.1 Proizvod permutacija Ako su date dve permutacije p i q, primejivajem prvo q, a zatim i p bi dalo isti rezultat kao i primea samo jede eke permutacije r. Proizvod permutacija p i q se tada defiiše kao permutacija r. ( ( = ( Rešeje: Prvo se primei permutacija q a elemet 1, odoso 1 3, pa se oda primei permutacija p a dobijei elemet, odoso 3 1, pa se a kraju dobije 1 1. Postupak se poavlja za ostale elemete. 15
16 22.2 Iverza permutacija Iverza permutacija je permutacija fukcija, tačije bijekcija, dakle ima svoju iverzu fukciju. To je permutacija u kojoj se razmejuje svaki broj i broj mesta koji o zauzima. p 1 = ( = ( Relacije ekvivalecije i particije skupova, primeri 23.1 Relacija ekvivalecije Biara relacija ( tilda je relacija ekvivalecije domea A ako ispujava sledeće karakteristike: refleksivost: a a, a A simetričost: a b = b a, a, b A trazitivost: (a b b c = a c, A, b, c A Relacija ekvivalecije je biara relacija ad domeom A: AxA; (a, b za eke a, b A. Primeri: (1 jedakost (2 paralelost pravih: p q akko p q. (3 kogruecija po modulu ( N: x = y ili x y(mod Klasa ekvivalecije Klasa ekvivalecije elemeta x A, u ozaci x/, [x] ili C x, je skup svih elemeata y koji su u relaciji sa kojima je x u relaciji: Particija skupa x/ = def {y A x y}, x A Particija skupa A je familija χ podskupova od A: (1 X χ = X / (2 X, Y χ, X Y = X Y (3 X χ X = A Trasverzala ili izbori skup particije χ je T A tako da T bira tačo po jeda elemet iz svakog člaa particije χ. χ = {X t t T }, t X t Broj člaova skupa A jedak je sumi broja člaova svakog elemeta: A = t T X t 16
17 23.2 Parcijalo i liearo uredjei skupovi Relacija je relacija uredeja a A ako je refleksiva, atisimetriča i trazitiva refleksivost: a a, a A atisimetričost: a b b a = a = b, a, b A trazitivost: (a b b c = a c, A, b, c A Primeri: (1 Haseovi dijagrami (2 (P (x, y P (x y y y z, z y = y = z y z, z u = y u (3 Puo biaro drvo: Drvo (T,, v predstavlja parcijala uredje sistem koji ima: - ajmaji elemet - (u smislu koačih skupova a T, [v, a] je laac tj. liearo uredje skup (svaki ima svog pretka [v, a] = {x T 0 x a} x, y < a = (x y (y x (4 Grupa (N,, gde je relacija x y: x x x y, y x = x = y x y, y z = x z - a A je ajmaji elemet ako za x A važi a x - b A je ajveći elemet ako za x A važi x b - a A je miimali elemet ako za x A za koje važi a x, važi i x = a - b A je maksimali elemet ako za x A za koje važi x b, važi i x = b Liearo uredjei skupovi su oi koji zajedo sa relacijom čie grupu (A,, takvu da je: (1 je relacija uredjeja (RAT (2 ispujava još i: x y y x, x, y A x < y x = y y < x 17
18 24 Koači i beskoači skupovi i kardiali broj Skupovi X i Y su ekvipoteti (iste kardialosti, iste moći akko def postoji f : X a 1 1 Y. Ako skupovi imaju istu kardialost, to se zapisuje: X = Y, X Y, gde je ozaka X kardiali broj skupa X (isto važi i za skup Y. f : X a 1 1 Y = X = Y X Y def g : X a 1 1 Y f je relacija ekvivalecije. Skup je koača akko postoji postoji bijekcija F : {1, 2,..., } X za eko N. X = ; X = {f(1, f(2,..., f(} = {x 1, x 2,..., x } Primeri koačih skupova: (1 {1, 2,..., } = (2 X = {k N k m} (3 A = ; P (A = 2 (4 S - permutacije skupa {1, 2,..., }; S( =! (5 A = ; C = {X A x = k}; C = - kombiacije bez poavljaja k Defiicije beskoačih skupova: BESKONAČNI SKUPOVI Skup je beskoača ako ije koača. Skup je beskoača ako možemo uslikati N u jega fukcijom 1-1. Ako možemo preslikati skup u jegov pravi deo, oda je o beskoača. Primeri beskoačih skupova: 1 N={1,2,...} 2 X Y, X je beskoača skup, pa je i Y beskoača 3 f : N Y, Z je beskoačo 24.1 Dirikleov pricip za koače skupove Ako x 1... x + 1 tada za eko i važi x i 2. Posledice: (1 f : A A; A je koača skup, tada f : A a a 1, a 2,..., a A {a i } 1 a 1, a 2,..., a A {a i } 1 (2 f : A a A tada f : A a 1 1 A. 1 1 A 18
19 25 Bulove algebre Bulova algebra je algebarska struktura B = (B,,,, 0, 1. B - dome (epraza skup - bulovska disjukcija - bulovska kojukcija - bulovski komplemet 0,1 - Bulove kostate, 0, 1 B Struktura zadovoljava sledeće aksiome: 1 (x y z = x (y z - zako asocijacije (x y z = x (y z 2 x y = y x - zako komutativosti x y = y x 3 x (x y = x - zako apsorpcije x (x y = x 4 x 0 = x - zako eutralog elemeta x 1 = x 5 x x = 1 - zako komplemeta x x = svaka Bulova algebra ima dva elemeta Primeri: (1 Iskaza logika: B 2 = (B 2,,,, 0, 1 (2 B 2 = (B 2,,,, 0, 1, B 2 = {(α 1,..., α α 1,..., α {0, 1}} 26 Bulovski idetiteti, de Morgaove jedakosti Svi idetiteti iz aksioma bi mogli da se ubace i ovde x x = x x x = x x 0 = 0 x 1 = 1 0 = 1 1 = 0 (x = x De Morgaove jedakosti: (x y = x y (x y = x y 27 Euklidov algoritam Euklidov algoritam se koristi za odredivaje ajvećeg zajedičkog delioca dva cela broja. NZD dva cela broja je broj koji deli ta dva broja bez ostatka. a, b N, b 0 19
20 a = b q 1 + r 1, 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, r 3 < r 2. r 2 = r 1 q + r, r < r 1 r 1 = r q +1 + r +1, r +1 = 0 Postupak se mora završiti jer u N ema beskoačih regresija (opadajućeg iza. NZD je posledji eula ostatak, pa je NZD(a,b = r 28 Lieara diofatovska jedačia d = αa + βb Opšti oblik lieare diofatovske jedačie: ax + by = c Diofatovska jedačia ax+by = c ima rešeje akko d = NZD(a, b d c oblika x = ( c d α + ( b d t i y = ( c d β ( a d t, gde je t eki ceo broj, a α i β su dobijei iz Euklidovog algoritma. Ako d e deli c, oda jedačia ema rešeja. 20
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 skripta za studente fizike
MATEMATIKA 1 skripta za studete fizike Nebojša Č. Dičić, Departma za Matematiku, Prirodo-matematički fakultet, Uiverzitet u Nišu, e-mail: dicic@hotmail.com Novembar 2013. ii Sadržaj 1 Uvodi pojmovi 1 1.1
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDruštvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότερα1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραTačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα[1] Formalni jezik iskazne logike
[1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραTvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.
Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v
Διαβάστε περισσότεραGlava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα