Βιβλιογραφια. Ε. Ν. Οικονόμου, «Φυσική Στερεάς Κατάστασης», ΠΕΚ / ΙΤΕ Τόμος Α (1997), σ Τόμος Β (2003), σ

Transcript

1 Βιβλιογραφια S. M. Sze, Semiconductor Devices, Physics and Technology Wiley, NY, 1985 B. G. Streetman, S. Banerjee, Solid State Electronic Devices Prentice Hall, UK, 2000 S. O. Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices McGraw Hill, NY, 2002 P. S. Kireev, Semiconductor Physics, Mir, Moscow, 1978 Ε. Ν. Οικονόμου, «Φυσική Στερεάς Κατάστασης», ΠΕΚ / ΙΤΕ Τόμος Α (1997), σ Τόμος Β (2003), σ

2 ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΗΜΙΑΓΩΓΙΜΕΣ ΔΟΜΕΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΓΕΝΙΚΑ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΖΩΝΕΣ:Ζώνη αγωγιμότητας και ηλεκτρόνια Ζώνη σθένους και οπές Άμεσο-Έμμεσο Ενεργειακό Χάσμα Ενεργός μάζα (m t, m l, m lh, m hh, m soh ) Πυκνότητα καταστάσεων Ενεργός μάζα πυκν. καταστάσεων 2

3 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΜΙΑΓΩΓΟΙ ΕΝΔΟΓΕΝΕΙΣ:Στάθμη Fermi Συγκεντρώσεις φορέων: n, p ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ: Δότες Αποδέκτες Ενδοχασματικές καταστάσεις Στάθμη Fermi-Συγκεντρώσεις φορέων ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ: Ευκινησία-αγωγιμότητα Σκέδαση φορέων Ρεύμα αγωγιμότητας-ρεύμα διάχυσης Δημιουργία και επανασύνδεση φορέων ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Σε θερμοδυναμική ισορροπία (στάθμη Fermi) Χωρική εξάρτηση των ενεργειακών ζωνών Πεδίο λόγω φορτίου χώρου ΕΠΑΦΗ p n:χωρίς εξωτερική τάση Με εξωτερική πόλωση [Ορθή-ανάστροφη, I=I(V)] 3

4 Κατανομή Υλικών ανάλογα με τις ηλεκτρικές τους ιδιότητες Υλικά Μονωτές Ειδ. Αντίσταση ρ(ωcm) Αγωγιμότητα σ(s/cm) Ημιαγωγοί Αγωγοί

5 Τυπικές αγωγιμότητας διαφόρων υλικών (μονωτών, ημιαγωγών, αγωγών) Ειδική αντίσταση ρ (Ωcm) Γυαλί Γερμάνιο (Ge) (Ag) NiO Πυρίτιο(Si) (Cu) Διαμάντι (GaAs) (Al) Θειάφι (GaP) (Pt) Τηγμένη χαλαζία (CdS) Bi Αγωγιμότητα σ (S/cm) 5

6 Η «περιοχή» των ημιαγωγών στον Περιοδικό Πίνακα Περίοδος Στήλη ΙΙ ΙΙΙ IV V VI 2 B C N 3 Mg Al Si P S 4 Zn Ga Ge As Se 5 Cd In Sn Sb Te 6 Hg Pb 6

7 Μοναδιαίες Κυψελίδες τριών Κυβικών Κρυσταλλικών Συστημάτων (α) (β) (γ) (α) Απλό Κυβικό (SC=Simple Cubic) (β) Χωροκεντρωμένο Κυβικό (BCC=Body Centered Cubic) (γ) Εδροκεντρωμένο Κυβικό (FCC=Face Centered Cubic) 7

8 Η συνηθέστερες δομές για τα περισσότερα ημιαγώγιμα υλικά Δομή Αδάμαντα : FCC + Βάση Δομή Θειούχου Ψευδαργύρου : FCC + Βάση Βάση: Si (0, 0, 0) Si ( ¼, ¼, ¼ ) Βάση: As (0, 0, 0) Ga ( ¼, ¼, ¼ ) 8

9 Το βασικό τετράεδρο της Δομής Αδάμαντα (κάθε άτομο + οι τέσσερεις πλησιέστεροι γείτονες) και η σχηματική του αναπαράσταση στο επίπεδο 9

10 Συνέπειες, στην κίνηση των ηλεκτρονίων, της αλληλεπίδρασης των ατομικών τροχιακών, σε περιβάλλον συμπυκνωμένης ύλης Ε Ζώνη Αγωγιμότητας Ενεργειακό Χάσμα Ζώνη Σθένους (Απόσταση ατόμων) Πλεγματική Σταθερά 10

11 Συνέπειες της κρυσταλλικής περιοδικότητας στην Κίνηση των ηλεκτρονίων, (1 η ΖΒ) του FCC Εξάρτηση της ενέργειας, Ε, των ηλεκτρονίων Σθένους και Αγωγιμότητας, (Δεσμικών και Ελευθέρων), από τον προσανατολισμό Της κρυσταλλικής ορμής k, κατά μήκος χαρακτηριστικών αξόνων του αντιστρόφου Χώρου, στο εσωτερικό της πρώτης Ζώνης Brillouin (1 η ΖΒ) : Σχέσεις Διασποράς 11 E V = E V (k), E C = E C (k),

12 Γενικά Χαρακτηριστικά των Σχέσεων Διασποράς: 1) Οι σχέσεις: E V = E V (k), E C = E C (k), παρουσιάζουν ακρότατα σε σημεία-, ή κατάμήκος-διευθύνσεων-, υψηλής συμμετρίας 2) Η υψηλότερη πλήρως κατηλλημένη ζώνη (Ζ. Σθένους) παρουσιάζει ακρότατο: E V,max = E V (k=0), 3) Η αμέσως επόμενη (ενεργειακά), μετά την Ζ. Σθένους, (Ζώνη Αγωγιμότητας) μπορεί να έχει ελάχιστο είτε E C = E C (k=0): Άμεσο ενεργειακό χάσμα είτε E C = E C (k 0): Έμμεσο ενεργειακό χάσμα 12

13 Σχηματική αναπαράσταση ενδογενούς αγωγιμότητας 1. Ηλεκτρόνιο διεγείρεται από την Ζ.Σθένους (δεσμός Α) στην Ζώνη Αγωγιμότητας («κυκλοφορώντας ελεύθερο»), με «ενεργό» μάζα 2. Θετικό φορτίο παραμένει στον δεσμό Α («οπή» στην Ζ. Σθένους) 3. «Ελεύθερο» ηλεκτρόνιο εξουδετερώνει την οπή του δεσμού Α 4. Νέα οπή δημιουργείται στο δεσμό Β μέσω της διέγερσης ηλεκτρονίου 5. Αρα, και η οπή «κυκλοφορεί ελεύθερα» αλλά με διαφορετική ενεργό μάζα 13

14 Σχέση Πλεγμ. Σταθεράς και Ενεργειακού Χάσματος 14

15 Προσαρμογή Πλεγματικών Σταθερών 15

16 Επιλογή Ενεργειακού Χάσματος Τύπου και Μεγέθους 16

17 Παραδείγματα: Σχέσεων Διασποράς Ενεργειακών Χασμάτων Ισοενεργειακών Επιφανειών στον αντίστροφο χώρο 17

18 Ηλεκτρονιακή Ατομική Δομή τριών χαρακτηριστικών Ημιαγώγιμων υλικών Si = (Ar)3s 2 p 2 Ge = (Ar)3d 10 4s 2 p 2 Ga = (Ar)3d 10 4s 2 p 1 As = (Ar)3d 10 4s 2 p 4 18

19 Προσδιορισμός της τιμής Ε g (Energy gap=ενεργειακό χάσμα) και του είδους E g,d, E g,ind του ενεργειακού χάσματος (d=direct=άμεσο, ind=indirect=έμμεσο) ΜΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ (ΦΑΣΜ/ΠΙΑ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ) (α) Άμεση Οπτικές διαζωνιακές μεταβάσεις: (α) Έμμεση Απορρόφηση Διέγερση 19 Αποδιέγερση Εκπομπή

20 Υπολογισμός της «σταθεράς» οπτικής απορρόφηση: α συναρτήσει της ενέργειας του προσπίπτοντος φωτονίου ( E ) 1/2 g, d, E ( ) 2 g, d Eg ind α ω ω α ω, ω E, g, ind Άμεσο χάσμα (π.χ. GaAs) E o =E g,d 1.4 ev E 1 3 ev E 2 5 ev Έμμεσο χάσμα (π.χ. Si) E o =E g,ind 1.1 ev E ev E 2 5 ev 20

21 Ενεργειακή Συμπεριφορά των ηλεκτρονίων κοντά στο ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιμότητας 1 ( ) ( ) ( ( ) ) E ( ) c kx, ky, kz = Ec kx0, ky0, kz0 + E k c k i k k k 0 o 1! 2 1 Ec + ( ki k0i)( kj k0 j) ko 2! i, j ki kj E k = Αλλά, στο ακρότατο: ( ) 0 Και, όταν οι άξονες k x, k y, k z συμπίπτουν με άξονες συμμετρίας : της ζώνης Brillouin Άρα: k c k o 2 Ec k k i j k o = 0, για i j 1 E E k, k, k E k, k, k ( k k ) 2 ( ) ( ) c c x y z = c x0 y0 z0 + 2 ko 2! i ki i 0i 2 21

22 Αν ορίσουμε τον τανυστή ενεργού μάζας ηλεκτρονίου ως : 1 1 m k E 2 c = * 2 ko ( 0) k ij i kj 2 Όταν οι άξονες k x,k y,k z συμπίπτουν 1 1 Ec * 2 2 με άξονες συμμετρίας της ζώνης Brillouin: = ko ( 0) xx m k k yy x (όλα τα μη διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται) zz y Οπότε, η διαφορά ενέργειας, ως προς το ακρότατο, γράφεται: 1 E ( k k ) E k E k k k ( ) ( ) c 2 i 0i c c 0 = ( 2 i 0i) = ko * 2 i= xyz,, ki i= xyz,, 2me, i z ΔΗΛΑΔΗ: τα ηλεκτρόνια που διεγείρονται κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας συμπεριφέρονται ως ελεύθερα ηλεκτρόνια (Ε=p 2 /2m * ), αλλά με «ενεργό μάζα» m * m 0, όπου m 0 η μάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου 22

23 Συγκεκριμένα (βλ. Διαφάνεια 13): Α) στην περίπτωση του άμεσου ενεργειακού χάσματος, (π.χ., GaAs), k 0 =0, και οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι σφαίρες, άρα: m * e,x = m* e,y = m* e,z = m* e, και : E k E k 0 ( k k k ) 2 ( ) ( ) c = c 0 = + * x + y + z 2me B1) στην περίπτωση του έμμεσου ενεργειακού χάσματος, του Si, όπου k 0 =(0,0,k 0 ), υπάρχουν 6 ισοδύναμα σημεία στην 1 η Ζ. Brillouin : (0,0,±k 0 ), (0,±k 0,0), (±k 0,0,0), και οι ισοενεργειακές επιφάνειες eίναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής, άρα: m * e,x = m* e,y = m* T, m* e,z = m* L, και : E k E k k k k k 2 2 ( ) ( ) c = c 0 = 0 + ( ) ( * x + y + * z 0) 2mT 2mL 23

24 B2) στην περίπτωση του έμμεσου ενεργειακού χάσματος, του Ge, όπου k 0 =(k 0,k 0,k 0 )/ 3, υπάρχουν 8 ισοδύναμα σημεία στην 1 η Ζ. Brillouin : (k 0,k 0,k 0 ), (-k 0,k 0,k 0 ), (k 0,-k 0,k 0 ), (-k 0,-k 0,k 0 ) (k 0,k 0,-k 0 ), (-k 0,k 0,-k 0 ), (k 0,-k 0,-k 0 ), (-k 0,-k 0,-k 0 ), οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής, η μαθηματική έκφραση των οποίων απλοποιείται όταν αναφέρεται ως προς τοπικό σύστημα αναφοράς παράλληλο στον κύριο και τους δευτερεύοντες άξονες του κάθε ελλειψοειδούς, οπότε: m * e,x = m* e,y = m* T, m* e,z = m* L. Υλικό k 0 (m L /m 0 ) (m T /m 0 ) Si 0,85X Ge 1,00L GaAs Γ GaP 0.92X

25 Παρόμοια, στη Ζώνη Σθένους, (όπου: k 0 =0, και E v (k 0 =0)=0), οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι σφαίρες, οπότε : m * h,x = m* h,y = m* h,z = m* h, και E k k k k + k + k ( ) 1 Ev 2 2 x y z v = ( 2 i 0i) = ko * 2 i= x, y, z ki 2mh όπου, η ενεργός μάζα των οπών m * h (h=holes) είναι αρνητική, όπως προκύπτει από την παράγωγο της σχέσης διασποράς ΔΗΛΑΔΗ: τα θετικά φορτία που απομένουν στην Ζ. Σθένους, μετά την διέγερση ηλεκτρονίου, συμπεριφέρονται ως «ελεύθερες οπές» (Ε=p 2 /2m h * ), αλλά με αρνητική «ενεργό μάζα» m h* m 0. 25

26 Αλλά : Αντίθετα με τα ηλεκτρόνια σθένους, των οποίων το spin δεν αλληλεπιδρά με τροχιακά χαρακτηριστικά, (ακριβέστερα: αλληλεπιδρά με μη-εκφυλισμένα τροχιακά τύπου s), οι οπές στη Ζ. Αγωγιμότητας, [3-πλά εκφυλισμένη, (τύπου-p) χωρίς spin], [6-πλά εκφυλισμένη, συμπεριλαμβάνοντας το spin], υπόκεινται σε αλληλεπίδραση spin-τροχιάς, η οποία αίρει εν μέρει τον 6-πλό εκφυλισμό. Οπότε: Ε Ε hh lh = = k 2 2 k 2 2 2m 2m hh lh,, J=3/2 Εκφυλισμός:4 hh: lh: Ε soh = Δ k 2 2 2m soh J=1/2, Εκφυλισμός:2, soh: 26

27 (hh=heavy hole) Βαρειές Οπές, (lh=light hole) Ελαφρειές Οπές spin-orbi=spin-τροχιά soh=spin orbit hole Δ=Ενέργεια διαχωρισμού spin-τροχιάς Υλικό m e /m 0 m hh /m 0 m lh /m 0 m soh /m 0 Δ(eV) Si k Ge k GaAs GaP k

28 Προσδιορισμός των ισο-ενεργειακών επιφανειών Στην περιοχή ακροτάτων του αντίστροφου χώρου Προσδιορισμός των ενεργών μαζών ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΤΡΟΝΙΚΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Απορρόφηση υψήσυχνου-ac συναρτήσει στατικού Μαγ.Π: Β Αύξηση απορρόφησης Όταν η συχνότητα του AC Συμπίπτει με την Κυκλοτρονική συχνότητα ω 28 c =-eb/m *

29 Αποτελέσματα Κυκλοτρονικού Συντονισμού Β=(Bcos30 o, Bsin30 o, 0) 29

30 Εξιτόνιο (Exciton) Το ηλεκτρόνιο και η οπή (ως ετερόσημα φορτία) έλκονται Σχηματίζουν υδρογονοειδές συγκρότημα, όταν : E ( k) = E ( k) k C k V g ΟΠΟΤΕ: E ex : (Κοινή ταχύτητα ομάδας) g = E k 2( ) 2 n me + mh 4 μ e μ memh E, H μ ε 2 μhε me + mh = = = Ε Η, μ Η : Ενέργεια σύνδεσης και ανηγμένη μάζα του Υδρογόνου g Frenkel Excitons: Μέση ακτίνα εξιτονίου ατομική απόσταση Wannier-Mott Exc.: Μέση ακτίνα εξ/νίου > ατομικής απόστασης 30

31 Εξιτονικές καταστάσεις και οπτική απορρόφηση Ενέργεια σύνδεσης εξιτονίου GaAs E g 31

32 Για τον υπολογισμό της συγκέντρωσης φορέων: [πυκνότητα φορέων=πυκνότητα καταστάσεων πιθανότητα κατάληψης] E v,max v,min E c,max n = gn( E) fn, F D( EdE ) E c,min v,max p g ( E) f ( EdE ) g ( E)[1 f ( E)] de = = E E p p, F D p n, F D E v,min πρέπει να γνωρίζουμε την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων για τα ηλεκτρόνια και για τις οπές :g n (E) = dn e /(dedv) :g p (E) = dn p /(dedv) 32

33 Υπολογισμός της Πυκνότητας ενεργειακών καταστάσεων Σε σύστημα : 1-Διάστασης (1-D) : L 1 L 1 =n 1 λ x dp x =h/l 1 2-Διαστάσεων (2-D) : L 1 L 2 L 2 =n 2 λ y dp y =h/l 2 3-Διαστάσεων (3-D): L 1 L 2 L 3 L 3 =n 3 λ z dp z =h/l 3 Κυκλικές Οριακές Συνθήκες Άρα: για συστήματα μοναδιαίας «έκτασης», L 1 =L 2 =L 3 =1, η ελάχιστη κυψελίδα ανά κατάσταση στο χώρο των ορμών είναι, αντίστοιχα dp x =h, dp x dp y =h 2, dp x dp y dp z =h 3, «Έκταση», στο χώρο των ορμών, μεταξύ p και p+dp 1-D: dp, 2-D:2πpdp, 3-D:4πp 2 dp, Αριθμός καταστάσεων μεταξύ p και p+dp 1-D: dp/h, 2-D:2πpdp/h 2, 3-D:4πp 2 dp/h 3, 33

34 Για να υπολογισθεί ο αριθμός καταστάσεων μεταξύ (Ε, Ε+dΕ), Πρέπει: 1) Να υπολογιστεί η γεωμετρία της ισοενεργειακής επιφάνειας Ε=σταθ., στο χώρο των ορμών, κοντά στο k 0, όπου k 0, σημείο ακροτάτου (min, max) της ζώνης (Ε c, E v ) αντίστοιχα 2) Να υπολογισθεί, συναρτήσει της ενέργειας, η διαφορική «έκταση» (1-D:μήκος, 2-D:επιφάνεια, 3-D:όγκος) ανάμεσα στις ισοενεργειακές επιφάνειες, Ε=σταθ. και Ε=σταθ.+dE, στο χώρο των ορμών 3) Να διαιρεθεί ο διαφορικός όγκος με την ελάχιστη «κυψελίδα ανά κατάσταση» του χώρου των ορμών, (ανάλογα με τις διαστάσεις του συστήματος), και με το διαφορικό dε 4) Το αποτέλεσμα της διαίρεσης, επί τον αριθμό Μ των ισοδυνάμων ακροτάτων, είναι η πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα όγκου και ενέργειας g(e)=μ[dn/(dvde)] [Άμεσο Χάσμα, π.χ. GaAs: M=1, Έμμεσο Χάσμα. Π.χ.Si: M=6, Ge:M=8 (1/2)=4 (βλ. σ. 11, 17, 29)] 34

35 Εφαρμογή: Ζώνης Αγωγιμότητας - Άμεσο Χάσμα 3-D:= dn(e,e+de)=4πp 2 dp/h 3, p 2 =2m(E-E c,min ), dp=mde/p = mde/[2m((e-e c,min )] 1/2 Συνυπολογίζοντας εκφυλισμό ( 2) λόγω spin: * 3 2 dn( E, E + de) 1 (2 m ) ( ) 1/2 e gn( E) 2 = E E 2 3 c,min de 2π 2-D:= dn(e,e+de)=2πpdp/h 2, p=[2m(e-e c,min )] 1/2, Συνυπολογίζοντας εκφυλισμό ( 2) λόγω spin: * dn ( E, E + de) 1 (2 me ) gn( E) 2 = 2 de 2π 1-D:= dn(e,e+de)=dp/h, dp=mde/p = mde/[2m((e-e c,min )] 1/2 Συνυπολογίζοντας εκφυλισμό ( 2) λόγω spin: * 1 2 dn ( E, E + de) 1 (2 me ) gn( E) 2 = E E de 2π ( ) c,min 12 35

36 Εφαρμογή: Ζώνης Αγωγιμότητας - Έμμεσο Χάσμα 3-D: Έστω ότι έχουμε τρεις διαφορετικές ενεργές μάζες (μηδενικά μη-διαγώνια στοιχεία, με κατάλληλη επιλογή του συστήματος αναφοράς στον αντίστροφο χώρο) ( p ( 0 0) x p ) py p x y ( pz pz0) E = Ec,min * * * 2m 2m 2m x y z Οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή, με όγκο αναλλοίωτο σε αλλαγή της αρχής των αξόνων (p x0 =p y0 =p z0 =0) p p x y pz p p x y pz + + = = 1 * * * m ( E E ) 2 m ( E E ) 2 m ( E E ) a b c x c,min y c,min z c,min a = 2 m ( E E ), b= 2 m ( E E ), c= 2 m ( E E ) * * * x c,min y c,min z c,min Όγκος ελλειψοειδούς: 4 4 V = πabc = π 8 m m m ( E E ) 3 3 * * * 3/2 p x y z c,min 36

37 * * * 1/2 Διαφορικός Όγκος: dv ( E, E + de) = 2π 8 m m m ( E E ) de p x y z c,min Διαιρώντας με τη στοιχειώδη κυψελίδα (h 3 ) του αντίστροφου χώρου και συνυπολογίζοντας εκφυλισμό (2) λόγω spin : dv ( E, E + de) 2π g ( E) = M2 = M2 8 m m m ( E E ) hde h p * * * 1/2 n 3 3 x y z c,min Για τήν περίπτωση του πυριτίου, (όπου: m x * =m y* =m t * m z* =m l *, Μ=6). (2 m ) gn( E) = ( E E ) 2π * 3/2 edos, 1/2 2 3 c,min Ενεργός μάζα πυκνότητας καταστάσεων : (DoS=Density of States) *3 2 *2 * medos, = M ( mt ml) 37

38 Εφαρμογή: Ζώνη Σθένους με «βαρειές» και «ελαφρειές» οπές E E+dE k hh k lh Όγκος ισοενεργειακών σφαιρών στον αντίστροφο χώρο Vp( E) = π phh( E) + π plh( E) phh plh Όπου : E = = * * 4 3/2 2mhh 2m ( *3/2 *3/2) lh Vp( E) = π (2 E) mhh + mlh *3/2 *3/2 1/2 Άρα dv ( E, E + de) = 2 π (2) m + m E de ( ) p hh lh Διαιρώντας με τη στοιχειώδη κυψελίδα (h 3 ) του αντίστροφου χώρου και συνυπολογίζοντας εκφυλισμό (2) λόγω spin : * 3 2 dvp( E, E + de) (2 mhdos. ) g p( E) 2 = E hde 2π Ενεργός μάζα πυκνότητας καταστάσεων : (DoS=Density of States) ( ) 23 m = m + m * *3/2 *3/2 h, DoS hh lh 38

39 Συγκέντρωση φορέων στους ενδογενείς ημιαγωγούς Ενδογενείς Ημιαγωγοί :OXI προσμίξεις (i = intrinsic) ΟΧΙ πλεγματικές ατέλειες Συγκέντρωση ηλεκτρονίων: n i = p i :συγκέντρωση οπών 1 ff D, T( E) =, f, ( ) 1/2 E EF F D T EF = kt e + 1 E E E E C E V E F 0 1,5 1,0 g(e) f F-D (E) n(e) EF kt n=p E F (E C +E V )/2 E-E F >> kt f( E) e e E kt 39

40 Οπότε: E c,max c,min * 32 Ec,max 1 2m EF E e kt kt n( ) n, F D( ) 2 2 c,min 2π E c,min ( ) n = g E f E de e e E E de E λόγω της ισχυρά φθείνουσας εξάρτησης του εκθετικού όρου, από την ενέργεια, αντικαθιστούμε, το άνω όριο του ολοκληρώματος: Ε c,max E c,max c,min * E m F E e kt kt n( ) n, F D( ) 2 2 c,min 2π E c,min ( ) n = g E f E de e e E E de E 32 me kt kt * ( E 1 2 c,min EF ) ( E Ec,min n = e e ) ( E E ) 1 2 c,min d( E Ec,min) 2π Οπότε : * 32 n C F 2 mkt E E n = 2 exp 2π kt καί όμοια για τις οπές: * 32 p V F 2 mkt E E p = 2 exp 2π kt 40

41 Ενεργός Πυκνότητα Καταστάσεων Στη Ζώνη Αγωγιμότητας Ενεργός Πυκνότητα Καταστάσεων Στη Ζώνη Σθένους N N = π * mkt p = 2 2 π * mkt n Ceff, Veff, 2 Στην προσέγγιση των μη-εκφυλισμένων ημιαγωγών (ενδογενείς ημιαγωγοί με χαμηλές συγκεντρώσεις φορέων) οι δύο ζώνες (Σθένους και Αγωγιμότητας) μπορούν να προσεγγισθούν με απλές ενεργειακές στάθμες (Ε V, E C ) με πυκνότητες καταστάσεων (N V,eff, N C,eff ) που εξαρτώνται από την θερμοκρασία, και αντίστοιχες πιθανότητες κατάληψης που υπακούουν σε στατιστική Boltzmann, με στάθμη αναφοράς την Ε F T=300K N C (cm -3 ) N V (cm -3 ) Si GaAs

42 Η στάθμη Fermi προσδιορίζεται από τη συνθήκη ουδετερότητας * EC + E 3 V m h n = p EF = + ktln E * 2 4 me Αντικαθιστώντας την E F στις σχέσεις για τις συγκεντρώσεις φορέων, παίρνουμε, για τους ενδογενείς (i) ημιαγωγούς 32 kt 34 ( EC EV) i i 2 e h C V * * Eg n = p = 2 ( m m ) exp = N N exp 2π 2kT 2kT i T=300K E g (ev) n i =p i (cm -3 ) Si GaAs

43 Εξάρτηση της συγκέντρωσης ενδογενών φορέων από την θερμοκρασία, (Si, GaAs) Εξάρτηση των Ε g και E F, από τη θερμοκρασία, για ενδογενείς ημιαγωγούς Ε Ε C Ε F, m e* /m h* <1 =1 >1 Ε V Τ 43

44 Εξωγενείς Ημιαγωγοί Προσμείξεις Προσμείξεις τύπου «Δότες» (περίσεια ηλεκτρονίου) π.χ.: προσμείξεις As σε Si Προσφορά αγώγιμου ηλεκτρονίου Προσμείξεις τύπου «Αποδέκτες» (έλλειμμα ηλεκτρονίου) π.χ.: προσμείξεις Β σε Si Προσφορά αγώγιμης οπής 44

45 Ενδοχασματικές ενεργειακές στάθμες λόγω προσμείξεων π.χ., πρόσμειξη As σε κρύσταλλο Si : Το 5 ο ηλεκτρόνιο του ατόμου του As (εκτός δεσμικού τροχιακού), τείνοντας να κυκλοφορήσει ως ελεύθερο στο κρυσταλλικό περιβάλλον του Si, (δηλαδή, με ενεργό μάζα m e* ), «βλέπει» το θετικά ιονισμένο άτομο (As + ) θωρακισμένο, μέσω της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r του πυριτίου. Άρα, σύμφωνα με το μοντέλο του Bohr για τα υδρογονοειδή άτομα : * 2 e e * υ 1 e E = meυ, = m 2 2 e E = 2 4πεrε0r 4πεε r 0r r 2 4πεε r 0r υ e m e 4πε ε l m r = n m = m r = r r = n 2 2 * 2 2 * * * 2 e r 0 2 eυ, e ( 2 eυ ) n * 2 r 4πε rε0r 4πε rε0 mee 2 me 4πε0 2 me me 0 n = εr = ε * 2 r * 0 = εr (0.5 ) * me mee me me * 4 4 * * 1 me e 2 1 me 1 me eV me 1 n = = = ε r(4 πε0 ) n 2 (4 πε0 ) n me ε r n me ε r r n a A E με στάθμη αναφοράς (ελευθέρου ηλεκτρονίου) το ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιμότητας 45

46 pˆ e pˆ e 0 1 g * 2 g * 2 2me 4πε rε0r 2me 4πε rε 0r Hˆ = Hˆ + Hˆ = E + = E + Το τμήμα της τελευταίας παρένθεσης είναι η Hamiltonian ενός υδρογονοειδούς ατόμου, με τις αντικαταστάσεις : E n Προσέγγιση της ενεργού Hamiltonian Για κίνηση κοντά στο ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιμότητας, το 5 ο («μη-δεσμικό») ηλεκτρόνιο, μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφεται με καλή προσέγγιση από τη ενεργό Hamiltonian : g e e / ε, m m, 2 2 * r e e Οπότε, οι ιδιοενέργειες του συστήματος είναι : * 4 1 me e εr (4 πε0 ) n = E = me m ev m = Eg = 4 * * 1 1 e e 1 E g 2 2 2(4 πε0 ) n me εr n me εr 46

47 Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν στην περίπτωση των οπών, αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι m h* <0, και ως επίπεδο αναφοράς μηδενικής ενέργειας το Ε V (k=0)=0 Τυπικές τιμές για την ενέργεια δοτών Si: ε r =11.7, m e* =0.5m e E D E g -50meV, r D 23a 0 Άρα : τα αποτελέσματα είναι αυτοσυνεπή με την παραδοχή της προσέγγισης του υδρογονοειδούς ατόμου Σχηματική απεικόνιση ενδοχασματικών καταστάσεων Δοτών Αποδεκτών Ιονισμένοι Δότες Ιονισμένοι Αποδέκτες 47

48 Πραγματικές ενδοχασματικές καταστάσεις διαφόρων προσμείξεων σε Si και GaAs 48

49 Υπολογισμός στάθμης Fermi σε εξωγενείς ημιαγωγούς E C E D N D N C E A N A NV E V Έστω: Ν D+ =συγκέντρωση ιονισμένων δοτών Ν Α- =συγκέντρωση ιονισμένων αποδεκτών n = συγκέντρωση ηλεκτρονίων (ενδο-, εξω-γενών) p = συγκέντρωση οπών (ενδο-, εξω-γενών) Συνθήκη ουδετερότητας :n+ν Α- =p+n D + (Συνθήκη υπολογισμού της στάθμης Fermi), όπου : 49

50 EC EF EV EF Από τις εκφράσεις : n = NC ( T) exp p = NV ( T)exp kt kt 0 ND ND N + D = ND ND = ND = 1 ED EF ED EF 1+ exp 1+ 2exp 2 kt kt 0 NA NA N A = NA NA = NA = 1 EF EA EF EA 1+ exp 1+ 2exp 2 kt kt + και τη σχέση ουδετερότητας : p+ ND n NA = 0 προκύπτει η στάθμη Fermi E = E ( N ( T), N ( T), E, E, N, E, N, E ; T) F F V C V C D D A A ενώ εξακολουθεί να ισχύει ο «νόμος δράσης των μαζών» E n p = N N exp = n kt g 2 C V i ανεξάρτητα από την προέλευση των φορέων και από την Ε F 50

51 Ε Ε Ε Ε E C E D E V E i N D g (E) f F-D (E) Προσμείξεις τύπου «Δότες» n p E F Ε Ε Ε Ε E C n E A E V E i N A p E F g (E) f F-D (E) Προσμείξεις τύπου «Αποδέκτες» 51

52 Συγκέντρωση ηλεκτρονίων (cm -3 ) A B C A: Περιοχή «ψύξης» (εξάρτηση από Τ, μέχρι να ιονιστούν όλοι οι Δότες) B: Περιοχή εξωγενούς αγωγιμότητας (ανεξαρτησία από Τ λόγω ιονισμού όλων των Δοτών και ασήμαντης συνεισφοράς των ενδογενών φορέων) C:Περιοχή ενδογενούς αγωγιμότητας (εξάρτηση από Τ λόγω σημαντικής συνεισφοράς των ενδογενών φορέων) 52

53 Μεταβολή, με την θερμοκρασία, της στάθμης Fermi του Si, για διαφορετικές συγκεντρώσεις προσμείξεων τύπου n και τύπου p. (Σημειώνεται και η θερμοκρασιακή μεταβολή του χάσματος) Μεταβολή, με την θερμοκρασία, της στάθμης Fermi του GaAs, για διαφορετικές συγκεντρώσεις προσμείξεων τύπου n και τύπου p. (Σημειώνεται και η θερμοκρασιακή μεταβολή του χάσματος) 53

54 Υπολογισμός συγκέντρωσης φορέων και στάθμης Fermi, στην προσέγγιση του πλήρους ιονισμού, Ν D+ N D, N A- N A a) Εξωγενής ημιαγωγός τύπου-n, Ν D >N A n n φορείς πλειονότητας nn = ( ND NA ) + ( ND NA ) + 4 n i nn + NA = pn + ND np n n = ni n p i n = nn E E C F kt n = N e E = E ktln[ N n ] n C F C C n Στην περίπτωση: N >> N + 2n n N N D A i n D A n 1 1 i 2 N D Αν, Ν Α =0 N D n n = a 1 ) N D >>n i n n =N D +n i2 /N D, p n =n i2 /N D a 2 ) N D <<n i n n =n i +N D /2, p n =n i -N D /2 54

55 Υπολογισμός συγκέντρωσης φορέων και στάθμης Fermi, στην προσέγγιση του πλήρους ιονισμού, Ν D+ N D, N A- N A b) Εξωγενής ημιαγωγός τύπου-p, Ν A >N D p p φορείς πλειονότητας 1 p = ( N N ) + ( N N ) + 4 n n N p N 2 2 p A D A D i p + A = p + D nppp = ni n n i p = pp EV EF kt pp NV e EF EV ktln NV pp = = + Στην περίπτωση: N >> N + 2n p N N 2 12 Αν, Ν D =0 N A 4 n 1 1 i p p = N A b 1 ) N A >>n i p p =N A +n i2 /N A, n p =n i2 /N A A D i p A D b 2 ) N A <<n i p p =n i +N A /2, n p =n i -N A /2 55