ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα ( )

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού κατά µήκος της διεύθυνσης [] του αντίστροφου χώρου στην οοία αρουσιάζει τοικό ελάχιστο και σε µικρές αοστάσεις γύρω α αυτό (µε είεδο αναφοράς (Ε) το µέγιστο της ζώνης σθένους) έχει τη µορφή : c( ) + G( ) + + όου Ε και G θετικές σταθερές και η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου. (α) ώστε τις µονάδες των Ε και G και ροσδιορίστε τη θέση (στον αντίστροφο χώρο) και την τιµή του ελαχίστου της ζώνης αγωγιµότητας. (β) Αν η ζώνη σθένους του υλικού αρουσιάζει µέγιστο στο κέντρο της ζώνης Brillouin δείξτε ότι το υλικό αυτό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα και ροσδιορίστε το µήκος κύµατος ου ρέει να έχουν οι λεγµατικές ταλαντώσεις (φωνόνια) ου θα µορούσαν να συµµετάσχουν σε µία οτική διέγερση ηλεκτρονίου αό το µέγιστο της ζώνης σθένους στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας. (γ) Αν η θέση και η τιµή του ελαχίστου της ζώνης αγωγιµότητας είναι αντίστοιχα ξ και in (όου < ξ < Ε > και η λεγµατική σταθερά) να υολογιστούν τα και συναρτήσει των ( ξ Ε). (δ) Να υολογιστούν η εγκάρσια και η διαµήκης µάζα του ηλεκτρονίου κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας. Ααντήσεις (α) Οι διαστάσεις των και G ροκύτουν αό την ααίτηση να έχει διαστάσεις ενέργειας (.χ. ) όλη η αράσταση c( ) + G( ) + + [Ε ] Εειδή: : καθαρός αριθµός άρα : [] [] [ ] Και [] [G] καθαροί αριθµοί ια τα ακρότατα: [ ] [ ] [ ] [ ] < για αρα : µεγιστο > για αρα : ελαχιστο G ου µηδενίζονται στα οότε : G

2 > G άρα ελάχιστο Εοµένως σηµείο ελαχίστου: και για λόγους (κυβικής) συµµετρίας τα υόλοια (ισοδύναµα) σηµεία ελαχίστου στον αντίστροφο χώρο είναι τα: ± ± ± (β) Εειδή (κατά την εκφώνηση) το είναι στο ενώ (σύµφωνα µε το ερώτηµα (α)) το in βρίσκεται σε έχουµε υλικό έµµεσου ενεργειακού χάσµατος. Προκειµένου να ειτευχθεί.χ. οτική διέγερση ηλεκτρονίου αό σε in είναι ααραίτητη η συµµετοχή.χ. µίας λεγµατικής ταλάντωσης ου θα εξασφαλίσει την αροχή κρυσταλλικής ορµής στο διεγειρόµενο ηλεκτρόνιο. Εειδή το κυµατάνυσµα του φωτονίου µίας.χ. οτικής διέγερσης είναι αµελητέο σε σχέση µα τα όρια της ζώνης Brillouin όου εντοίζεται το in (η ακριβής θέση βέβαια εξαρτάται αό τις τιµές των σταθερών και ) η λεγµατική ταλάντωση ου θα µεσολαβήσει θα ρέει να έχει κρυσταλλική ορµή (κυµατάνυσµα) ίση µε q ponon ponon λ λ (γ) Αν ξ ξ () και () in + ξ ξ Είσης: 8 ξ (δ) G G G T T T

3 . Ενδογενής ηµιαγωγός µε δοµή αδάµαντα και λεγµατική σταθερά έχει µέγιστο της ζώνης σθένους στο κέντρο της ζώνης Brillouin (σηµείο ) και αρουσιάζει την εξής δοµή ζώνης-αγωγιµότητας: i) υάρχουν έξι (6) ελάχιστα στα 6 ισοδύναµα σηµεία Χ [στα όρια της ζώνης Brillouin κατά µήκος της διεύθυνσης () και των συµµετρικά ισοδυνάµων διευθύνσεων του αντίστροφου χώρου] µε ενέργεια Ε Χ ως ρος το µέγιστο της ζώνης σθένους ii) υάρχει είσης ένα τοικό ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας στο σηµείο της ζώνης Brillouin µε ενέργεια Ε ως ρος το µέγιστο της ζώνης σθένουςκαι Ε >Ε Χ. Οι ενεργές µάζες των ελευθέρων ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιµότητας είναι () () (). α) ώστε συναρτήσει του τις συντεταγµένες ( ) των 6 ισοδύναµων τοικών ελαχίστων Ε (Χ). β Με ενεργειακό είεδο αναφοράς το µέγιστο της ζώνης σθένους γράψτε µία έκφραση για την ενέργεια των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας ου έχουν κρυσταλλική ορµή ( ) τέτοια ώστε να ευρίσκονται ενεργειακά λίγο άνω αό το τοικό ελάχιστο Ε () γ) Μέ ενεργειακό είεδο αναφοράς το µέγιστο της ζώνης σθένους γράψτε µία έκφραση για την ενέργεια των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας ου έχουν κρυσταλλική ορµή ( ) τέτοια ώστε να ευρίσκονται ενεργειακά λίγο άνω αό το τοικό ελάχιστο Ε (Χ) κοντά σε ένα αό τα 6 σηµεία της ερώτησης (α) το οοίο µορείτε να ειλέξετε ελεύθερα. δ) Ποια σχέση ρέει να ικανοοιούν τα µεγέθη () () () ώστε να υάρχει εερασµένη θερµοκρασία κατά την οοία οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα ελάχιστα και Χ να εξισώνονται; ε) Στην ερίτωση ου ικανοοιείται η συνθήκη (δ) υολογίστε συναρτήσει των Ε Ε Χ () () () τη θερµοκρασία κατά την οοία εξισώνονται οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα δύο ελάχιστα ( και Χ) της ζώνης αγωγιµότητας; Λύση (α)τα έξι ισοδύναµα ελάχιστα βρίσκονται στα σηµεία ± ± ± Αφού / είναι το όριο της ζώνης Brillouin µε την λεγµατική σταθερά. (β) Η δοµή ζώνης όως εριγράφεται στην άσκηση έχει την αρακάτω µορφή όου : το σηµείο του αντίστροφου χώρου και gp : το σηµείο Χ του αντίστροφου χώρου (γ) Η ενέργεια των ηλεκτρονίων κοντά στο ελάχιστο (σηµείο: Χ) της ζώνης αγωγιµότητας γράφεται : ( ) ( + ) + + ( ) ( ) (δ) Προκειµένου να εξισωθούν οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα ελάχιστα Χ και ρέει

4 T T T T T T + + όου M M οότε ln T M T. Εοµένως ροκειµένου να υάρχει Τ> ου να ικανοοιείται η ροηγούµενη σχέση ρέει ln > >. (ε) Στην ερίτωση ου ικανοοιείται η ροηγούµενη συνθήκη (ερώτηµα (γ)) η θερµοκρασία στην οοία εξισώνονται οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων στα δύο ελάχιστα δίνεται αό τη σχέση ln T

5 A A A () () () () () () B B B. Στο διλανό σχήµα φαίνονται: i) ισοενεργειακές ειφάνειες Ε ()σταθ. γύρω αό το ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας στον αντίστροφο χώρο ( ) για τρία ηµιαγώγιµα υλικά (Α Α Α) και ii) τρείς δοµές ζώνης (σχέσεις διασοράς Β Β Β) ου αντιστοιχούν στα ίδια υλικά ΑΛΛΑ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ Ι ΙΑ ΣΕΙΡΑ. iii) ια τα ίδια υλικά δίνονται στον αρακάτω ίνακα τιµές για τον αριθµό των ισοδυνάµων ακροτάτων και τις ενεργές µάζες ΜΕ ΤΗΝ ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ. Si (Μ6) G (Μ) GAs ( / ).9/.9.8/.6.7/.7 ( l / ).5/.5./..7/.5 (α) Α() (β) Β() (γ) (δ) Συµληρώστε τον Πίνακα γράφοντας κάτω αό κάθε στοιχείο (Si G GAs) τη σωστή αντιστοιχία α) των ισοενεργειακών ειφανειών β) των σχέσεων διασοράς γ) την ενεργό µάζα υκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων δ) την ενεργό µάζα υκνότητας καταστάσεων οών για κάθε υλικό. ε) Εξηγήστε τις τιµές Μ6 και Μ του Πίνακα. Ααντήσεις Si (Μ6) G (Μ) GAs ( / ).9/.9.8/.6.7/.7 ( l / ).5/.5./..7/.5 (α) Α() Α Α Α (β) Β() Β Β Β (γ) (δ) (α) Αφού ο αριθµός των ισοδύναµων ελαχίστων της ζώνης αγωγιµότητας είναι Μ6 για το Si και Μ για το G τότε στο Si αντιστοιχούν οι ισοενεργειακές ειφάνειες Α µε τα Μ6 ελλειψοειδή. Στο G µε Μ αντιστοιχούν οι ισοενεργειακές ειφάνειες Α όου τα 8 ελλειψοειδή έχουν το κέντρο τους ακριβώς στα όρια της ζώνης Brillouin εοµένως συνεισφέρουν µόνο κατά το ήµισυ (Μ 8/ ) στην αγωγιµότητα. Η ισοενεργειακή ειφάνεια Α αρουσιάζει ένα µόνο ελάχιστο στο εοµένως αντιστοιχεί στο GAs για το οοίο δεν αναγράφεται αριθµός ισοδύναµων ελαχίστων (άρα Μ). (β) Με βάση τις ααντήσεις ου έχουν δοθεί στο ερώτηµα (α) οι σχέσεις διασοράς Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο στο αντιστοιχούν στο GAs. Όµοια οι σχέσεις διασοράς Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο κατά µήκος του άξονα () αντιστοιχούν στο G ενώ οι Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο κατά µήκος του άξονα () αντιστοιχούν στο Si. (γ) M ( ) (δ) + l

6 . Ηµιαγωγός τύου I έχει σε TK ενεργειακό χάσµα Ε g. και ενεργές υκνότητες καταστάσεων: N. 9 c - N.8 9 c -. (α) Υολογίστε την ενδογενή υκνότητα φορέων του ηµιαγωγού σε θερµοκρασία ΤΚ. (β) Αοδείξτε την σχέση ου συνδέει την ενδογενή στάθµη ri του ηµιαγωγού µε τα µεγέθη Ε N N T και υολογίστε την τιµή του σε θερµοκρασία ΤΚ. (γ) Ο ηµιαγωγός νοθεύεται µε δότες συγκέντρωσης 5 c -. Η ενεργειακή στάθµη δοτών στον ηµιαγωγό αυτόν βρίσκεται.5 κάτω αό το ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας. (γ ) Εξηγείστε µε οιοτικά ειχειρήµατα γιατί τα αραάνω δεδοµένα ειτρέουν την αραδοχή του ολικού ιονισµού των ροσµείξεων. (γ ) Αοδείξτε στην ροσέγγιση του ολικού ιονισµού την σχέση ου συνδέει την στάθµη ri του νοθευµένου ηµιαγωγού µε την συγκέντρωση ροσµείξεων Ν και τα N T και υολογίστε την τιµή της σε θερµοκρασία ΤΚ. (γ ) Με βάση το αοτέλεσµα της ερώτησης (γ ) υολογίστε το οσοστό ιονισµού των δοτών και ελέγξτε την ορθότητα της αραδοχής του ολικού ιονισµού. Ααντήσεις T T (α) n p + g t t t i i i np n n n g t i i..8 i.76 n n c n c (β) Ενδογενείς ηµιαγωγοί + + ( ) t t t t n p Εοµένως: Με Ε ( + ) T T ln ( + ) ln 5.8 ln 55.5 ln(.69) (γ ) Ε - 5 και T(K)5 εοµένως οι δότες έχουν αρκετή θερµική ενέργεια για να ιονισθούν (γ ) c + 5 ενώ ni ~ c 9 + Εοµένως κυριαρχούν οι εξωγενείς ροσµίξεις n και 5 T T ln + 5 ln (γ ) 56

7 p + p Εc () Al G - As T T 5. Το σύνθετο ηµιαγώγιµο υλικό Al G - As έχει κυβική κρυσταλλική δοµή θειούχου ψευδαργύρου και η δοµή των ενεργειακών του ζωνών σθένους και αγωγιµότητας κατά µήκος των διευθύνσεων ( Χ) και ( ) εριγράφεται αό το διλανό σχήµα (Σχ.α). Τα τοικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας είναι: ένα () στο σηµείο ( )/ έξι (6) σε σηµεία ισοδύναµα του Χ (.9 )/ και οκτώ (8) σε σηµεία ισοδύναµα του ( )/ όου 5.65 Α ο (5.66 Α ο ) είναι η λεγµατική σταθερά του GAs (AlAs) αντίστοιχα. Οι ενεργές µάζες ηλεκτρονίων του GAs είναι: n.7 nl.9 nt. nl.8 nt.. Μεταβάλλοντας την εριεκτικότητα σε Al () τα τοικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας στα σηµεία Χ του αντιστρόφου χώρου αλλάζουν τιµή (µε ενέργεια αναφοράς Ε () ()) µε τον τρόο ου φαίνεται στο Σχ.β ενώ οι ενεργές µάζες αραµένουν µε καλή ροσέγγιση αµετάβλητες. Κατασκευάζουµε µε βάση το υλικό Al G - As µία ακολουθία εριοχών ως εξής: (i) υόστρωµα GAs (ii) Είστρωση Al. G.6 As άχους.5 µ (iii) Λετή στρώση GAs άχους 5 n (iv) Είστρωση Al. G.6 As άχους.5 µ α) Να υολογίσετε τη θέση του ειέδου ri ως ρος το µέγιστο της στάθµης σθένους για κάθε εριοχή του ηµιαγώγιµου συστήµατος β) Να σχεδιάσετε υό κλίµακα το ενεργειακό διάγραµµα της δοµής γ) Να δείξετε ότι υάρχουν εριοχές όου τόσο τα ηλεκτρόνια όσο και οι οές αρουσιάζουν διάκριτο φάσµα. Σε οια κίνηση αντιστοιχεί αυτή η διακριτοοίηση του φάσµατος; n p 6. Αν οι τιµές της στάθµης σθένους στις δύο λευρές µίας εαφής p-n (στις Σχ..α 8 Σχ..β 8 Ποσοστό Αλουµινίου () n p ουδέτερες εριοχές µακριά αό το σηµείο της εαφής) και οι αντίστοιχες τιµές της T p στάθµης αγωγιµότητας να δείξετε ότι n p n p pnn όου ln η ni τάση εαφής Θέµα Εξετάσεων. Εαφή p-n µε διατοµή. κατασκευάζεται αό ηµιαγώγιµο υλικό µε σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r ενεργειακό χάσµα Ε g.7 ενδογενή συγκέντρωση φορέων n i. 9 c - σε θερµοκρασία δωµατίου ευκινησίες φορέων µ p 5 c /s µ n 5 c /s ίδιο µέσο ελεύθερο χρόνο µεταξύ κρούσεων (της τάξης του - s) καθώς και ίδιο χρόνο ζωής τ p τ n.5 µs (αό την διέγερση-δηµιουργία µέχρι της εανασύνδεση) των φορέων µειονότητας. Θεωρείστε ότι το ηλίκο των ενεργών µαζών αγωγιµότητας είναι όσο και το ηλίκο των ενεργών µαζών υκνότητας καταστάσεων. Η εαφή κατασκευάζεται νοθεύοντας τις εριοχές n και p µε ροσµίξεις συγκεντρώσεων Ν 5 5 c - N A.5 6 c - αντίστοιχα οι οοίες θεωρούνται ολικά ιονισµένες. (α) Να υολογιστεί η ενεργός υκνότητα καταστάσεων για τις ζώνες σθένους (N ) και

8 αγωγιµότητας (Ν ). (β) Να σχεδιαστεί το ενεργειακό διάγραµµα της εαφής σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροίας (υολογισµός και αναγραφή τών Ε i(p) - - i(n) δυναµικό εαφής). (γ) Να υολογιστεί το εύρος της εριοχής αογύµνωσης (άντλησης) σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροίας. Λύση (α) Προσδιορίζουµε τις υολογίζοντας το γινόµενό τους και το ηλίκο τους: g g 7 T T i i.8. n n c c (). Είσης µ τ αλλά όου οι µέσοι ελεύθεροι χρόνοι µεταξύ κρούσεων µ τ (της τάξης του - s) είναι ίσοι ( τ τ ) σύµφωνα µε την εκφώνηση οότε µ µ και τελικά Αό τις () και () αίρνουµε : 7. c 9 µ µ.9 () 9.9 c και T A 5 / 7.5 (β) ln ln q ni /.8 ln 98. T ( n) n ( n) n ln 8.8 ( p ) T ( n ) p p g o 759. g + T ln.6 ( i ) + ( i ) Ε i(p) i(n) 66. (γ) Πλάτος της εριοχής αογύµνωσης (n) Είσης: i(n) i(p) 65.6 (p) ε rε c w + c w.µ q A Θέµα Εξετάσεων. α) Να δείξετε ότι για την εριοχή θερµοκρασιών όου ισχύει η αραδοχή του ολικού ιονισµού των ροσµείξεων το εσωτερικό δυναµικό (ή δυναµικό διάχυσης ή δυναµικό εαφής) µίας εαφής p-n ενός ηµιαγώγιµου υλικού ικανοοιεί µία σχέση της µορφής + T ( A B ln T ) και να ροσδιορισθούν οι συντελεστές Α και Β. g Θέµα Εξετάσεων: Ηµιαγωγός άµεσου ενεργειακού χάσµατος έχει σε θερµοκρασία TK Ε g. και ενεργές υκνότητες καταστάσεων για µεν τη στάθµη σθένους: N 7 8 c - για δε τη στάθµη αγωγιµότητας: N.7 7 c -. Tο ενεργειακό χάσµα του ηµιαγωγού µεταβάλλεται για την εριοχή θερµοκρασιών αό 5Κ µέχρι 75Κ µε σταθερό ρυθµό (d g /dt). /K.

9 α) Υολογίστε την ενδογενή υκνότητα φορέων του ηµιαγωγού σε θερµοκρασίες Τ Κ και Τ 6Κ. β) Αν η ενεργός µάζα ηλεκτρονίων του ηµιαγωγού είναι n.8 και η σχετική διηλεκτρική σταθερά του ηµιαγωγού είναι ε r 6 να υολογίσετε την αόσταση αό τη ζώνη αγωγιµότητας της στάθµης δοτών (Ε ) της στάθµης αοδεκτών ( A ) και της στάθµης εξιτονίου (Ε Χ ) και να σχεδιάσετε οιοτικά την εξάρτηση του συντελεστή αορρόφησης αό την ενέργεια αα(ε) στην εριοχή του ενεργειακού χάσµατος. Οι υολογισµοί και η σχεδίαση να γίνουν για Τ8Κ. Στο ίδιο σχεδιάγραµµα σχεδιάστε οιοτικά την εξάρτηση αα(τ) για Τ8Κ. γ) Υοθέτουµε ότι ο ηµιαγωγός έχει νοθευτεί µε ροσµείξεις τύου «ότες» σε συγκέντρωση Ν ου έχουν υοστεί ολικό ιονισµό. Να γράψετε τις βασικές σχέσεις ου ισχύουν σε θερµοδυναµική ισορροία και µε βάση αυτές να υολογίσετε τις συγκεντρώσεις n φορέων n και p συναρτήσει των Ν και n i. Εφαρµογή: i δ) Οταν το είεδο ροσµείξεων ενός ηµιαγωγού είναι τέτοιο ώστε n εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις T n και np n i ή όχι και γιατί; Θέµα Εξετάσεων. α) Hµιαγώγιµο υλικό της οικογένειας I ου σε θερµοκρασία Κ έχει ενεργειακό χάσµα Ε g. σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r ενδογενή συγκέντρωση φορέων n i c - και ενεργές µάζες υκνότητας κατάστάσεων n και p. φέρει οµοιόµορφη συγκέντρωση ρόσµειξης Αλουµινίου (στήλη ΙΙΙ του Περιοδικού Πίνακα) ίση ρος 5 6 (άτοµα Al)/c σε όλο του τον όγκο. Στην µία ειφάνεια του ανωτέρω υλικού εµφυτεύουµε ειλέον Αντιµόνιο (στήλη του Περιοδικού Πίνακα) µε οµοιόµορφη συγκέντρωση ίση ρος 7 6 (άτοµα Sb)/c σε µία εριοχή µέχρι βάθος µ. Να εξηγήσετε ότι το τελικό αοτέλεσµα είναι µία εαφή p-n και να σχεδιάσετε ένα σκαρίφηµα κατά βάθος (για τα ρώτα µ) σηµειώνοντας τις συγκεντρώσεις φορέων σε κάθε υοεριοχή p και n. β) Να υολογίσετε το εσωτερικό δυναµικό της εαφής. γ) Να υολογίσετε το συνολικό λάτος της εριοχής αογύµνωσης και να σχεδιάσετε ένα ενεργειακό διάγραµµα της εαφής σηµειώνοντας τις διαστάσεις και ενεργειακά µεγέθη των ερωτηµάτων (β) και (δ). ίνονται: Φορτίο ηλεκτρονίου: 6-9 Ταχύτητα φωτός στο κενό: c 8 /s ιηλεκτρική σταθερά του κενού: ε ( N - - )885 - (/) Σταθερά του Pln:. -5. s J. s T(K) J