Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης. Ενότητα 4. Βασίλειος Γιαννόπαπας

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης Ενότητα 4 Βασίλειος Γιαννόπαπας

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 Βιβλιογραφια S. M. Sze, Semiconductor Devices, Physics and Technology Wiley, NY, 1985 B. G. Streetman, S. Banerjee, Solid State Electronic Devices Prentice Hall, UK, 2000 S. O. Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices McGraw Hill, NY, 2002 P. S. Kireev, Semiconductor Physics, Mir, Moscow, 1978 Ε. Ν. Οικονόµου, «Φυσική Στερεάς Κατάστασης», ΠΕΚ / ΙΤΕ Τόµος Α (1997), σ Τόµος Β (2003), σ

4 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΖΩΝΕΣ:Ζώνη αγωγιµότητας και ηλεκτρόνια Ζώνη σθένους και οπές, Άµεσο-Έµµεσο Ενεργειακό Χάσµα, Ενεργός µάζα (m t, m l, m lh, m hh, m soh ) Πυκνότητα καταστάσεων Ενεργός µάζα πυκν. καταστάσεων ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΜΙΑΓΩΓΟΙ ΕΝ ΟΓΕΝΕΙΣ:Στάθµη Fermi, Συγκεντρώσεις φορέων: n, p ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ: ότες Αποδέκτες, Ενδοχασµατικές καταστάσεις, Στάθµη Fermi-Συγκεντρώσεις φορέων ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Σε θερµοδυναµική ισορροπία (στάθµη Fermi) Χωρική εξάρτηση των ενεργειακών ζωνών Ευθυγράµµιση ενεργειακών ζωνών 2

5 Κατάταξη Υλικών ανάλογα µε τις ηλεκτρικές τους ιδιότητες Υλικά Μονωτές Ηµιαγωγοί Αγωγοί Ειδ. Αντίσταση ρ(ωcm) Αγωγιµότητα σ(s/cm)

6 Τυπικές αγωγιµότητας διαφόρων υλικών (µονωτών, ηµιαγωγών, αγωγών) Ειδική αντίσταση ρ (Ωcm) Γυαλί Γερµάνιο (Ge) (Ag) NiO Πυρίτιο(Si) (Cu) ιαµάντι (GaAs) (Al) Θειάφι (GaP) (Pt) Τηγµένη χαλαζία (CdS) Bi Αγωγιµότητα σ (S/cm) 4

7 Η «περιοχή» των ηµιαγωγών στον Περιοδικό Πίνακα Περίοδος Στήλη ΙΙ ΙΙΙ IV V VI 2 B C N 3 Mg Al Si P S 4 Zn Ga Ge As Se 5 Cd In Sn Sb Te 6 Hg Pb 5

8 Μοναδιαίες Κυψελίδες τριών Κυβικών Κρυσταλλικών Συστηµάτων (α) (β) (γ) (α) Απλό Κυβικό (SC=Simple Cubic) (β) Χωροκεντρωµένο Κυβικό (BCC=Body Centered Cubic) (γ) Εδροκεντρωµένο Κυβικό (FCC=Face Centered Cubic) 6

9 Η συνηθέστερες δοµές για τα περισσότερα ηµιαγώγιµα υλικά οµή Αδάµαντα : FCC + Βάση οµή Θειούχου Ψευδαργύρου : FCC + Βάση Βάση: Si (0, 0, 0) Si ( ¼, ¼, ¼ ) Βάση: As (0, 0, 0) Ga ( ¼, ¼, ¼ ) 7

10 Το βασικό τετράεδρο της οµής Αδάµαντα (κάθε άτοµο + οι τέσσερεις πλησιέστεροι γείτονες) και η σχηµατική του αναπαράσταση στο επίπεδο 8

11 Συνέπειες, στηνκίνησητωνηλεκτρονίων, της αλληλεπίδρασης των ατοµικών τροχιακών, σε περιβάλλον συµπυκνωµένης ύλης Ε Ζώνη Αγωγιµότητας Ενεργειακό Χάσµα Ζώνη Σθένους π.χ.: Si (Απόσταση ατόµων) Πλεγµατική Σταθερά 9

12 Συνέπειες της κρυσταλλικής περιοδικότητας στην Κίνηση των ηλεκτρονίων, (1 η ΖΒ) του FCC Εξάρτηση της ενέργειας, Ε, των ηλεκτρονίων Σθένους και Αγωγιµότητας, ( εσµικών και Ελευθέρων), από τον προσανατολισµό Της κρυσταλλικής ορµής k, κατά µήκος χαρακτηριστικών αξόνων του αντιστρόφου Χώρου, στο εσωτερικό της πρώτης Ζώνης Brillouin (1 η ΖΒ) : Σχέσεις ιασποράς 10 E V = E V (k), E C = E C (k),

13 Γενικά Χαρακτηριστικά των Σχέσεων ιασποράς: 1) Οι σχέσεις: E V = E V (k), E C = E C (k), παρουσιάζουν ακρότατα σε σηµεία-, ή κατά- µήκος-διευθύνσεων-, υψηλής συµµετρίας 2) Η υψηλότερη πλήρως κατηλληµένη ζώνη (Ζ. Σθένους) παρουσιάζει ακρότατο: E V,max = E V (k=0), 3) Η αµέσως επόµενη (ενεργειακά), µετά την Ζ. Σθένους, (Ζώνη Αγωγιµότητας) µπορεί να έχει ελάχιστο είτε E C = E C (k=0): Άµεσο ενεργειακό χάσµα είτε E C = E C (k 0): Έµµεσο ενεργειακό χάσµα 11

14 Παραδείγµατα: Σχέσεων ιασποράς Ενεργειακών Χασµάτων Ισοενεργειακών Επιφανειών στον αντίστροφο χώρο 12

15 Ηλεκτρονιακή Ατοµική οµή τριών χαρακτηριστικών Ηµιαγώγιµων υλικών Si = (Ar)3s 2 p 2 Ge = (Ar)3d 10 4s 2 p 2 Ga = (Ar)3d 10 4s 2 p 1 As = (Ar)3d 10 4s 2 p 4 13

16 Επιλογή Ενεργειακού Χάσµατος Τύπου και Μεγέθους 14

17 Σχέση Πλεγµ. Σταθεράς και Ενεργειακού Χάσµατος 15

18 Προσαρµογή Πλεγµατικών Σταθερών 16

19 Προσδιορισµός τηςτιµής Ε g (Energy gap=ενεργειακό χάσµα) και τουείδους E g,d, E g,ind του ενεργειακού χάσµατος (d=direct=άµεσο, ind=indirect=έµµεσο) ΜΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ (ΦΑΣΜ/ΠΙΑ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ) (α) Άµεση Οπτικές διαζωνιακές µεταβάσεις: (α) Έµµεση Απορρόφηση ιέγερση Αποδιέγερση Εκποµπή 17

20 Υπολογισµός της «σταθεράς» οπτικής απορρόφηση: α συναρτήσει της ενέργειας του προσπίπτοντος φωτονίου ( ħ E ) 1/ 2 g, d, ħ E ( ) 2 g, d ħ Eg ind α ω ω α ω, ħω E, g, ind Άµεσο χάσµα (π.χ. GaAs) E o =E g,d 1.4 ev E 1 3 ev E 2 5 ev Έµµεσο χάσµα (π.χ. Si) E o =E g,ind 1.1 ev E ev E 2 5 ev 18

21 Ενεργειακή Συµπεριφορά των ηλεκτρονίων κοντά στο ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιµότητας 1 ( ) ( ) ( ( ) ) E ( ) c kx, k y, kz = Ec kx0, k y0, kz0 + E k c k i k k k 0 o 1! 2 1 Ec + ( ki k0i )( k j k0 j ) ko 2! i, j ki k j E k = Αλλά, στο ακρότατο: ( ) 0 Και, όταν οι άξονες k x, k y, k z συµπίπτουν µε άξονες συµµετρίας : της ζώνης Brillouin Άρα: k c k o 2 Ec k k i j k o = 0, για i j 1 E E k, k, k E k, k, k ( k k ) 2 ( ) ( ) c c x y z = c x0 y0 z0 + 2 ko 2! i ki i 0i 2 19

22 Αν ορίσουµε τον τανυστή ενεργού µάζας ηλεκτρονίου ως : 1 1 m k E 2 c = * 2 ko ( 0) ħ k ij i k j Όταν οι άξονες k x, k y, k z συµπίπτουν µε άξονες συµµετρίας της ζώνης Brillouin: (όλα τα µη διαγώνια στοιχεία µηδενίζονται) 1 1 m k E 2 c = * 2 2 ko ( 0) xx ħ k yy x zz y z Οπότε, η διαφορά ενέργειας, ως προς το ακρότατο, γράφεται: 1 E ħ ( k k ) E k E k k k ( ) ( ) c 2 i 0i c c 0 = ( 2 i 0i) = ko * 2 i= x, y, z ki i= x, y, z 2me, i ΗΛΑ Η: τα ηλεκτρόνια που διεγείρονται κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας συµπεριφέρονται ως ελεύθερα ηλεκτρόνια (Ε=p 2 /2m * ), αλλά µε «ενεργό µάζα» m * m 0, όπου m 0 η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου 20

23 Συγκεκριµένα (βλ. ιαφάνεια 18): Α) στην περίπτωση του άµεσου ενεργειακού χάσµατος, (π.χ., GaAs), k 0 =0, και οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι σφαίρες, άρα: m * e,x= m * e,y= m * e,z= m * e, και : ħ E k E k 0 ( k k k ) 2 ( ) ( ) c = c 0 = + * x + y + z 2me B1) στην περίπτωση του έµµεσου ενεργειακού χάσµατος, του Si, όπου k 0 =(0,0,k 0 ), υπάρχουν 6 ισοδύναµα σηµεία στην 1 η Ζ. Brillouin : (0,0,±k 0 ), (0,±k 0,0), (±k 0,0,0), και οι ισοενεργειακές επιφάνειες eίναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής, άρα: m * e,x= m * e,y= m * T, m * e,z= m * L, και : ħ ħ E k E k k k k k 2 2 ( ) = ( = ) c c ( ) ( * x y * z 0) 2m + + T 2m L 21

24 B2) στην περίπτωση του έµµεσου ενεργειακού χάσµατος, του Ge, όπου k 0 =(k 0,k 0,k 0 )/ 3, υπάρχουν 8 ισοδύναµα σηµεία στην 1 η Ζ. Brillouin : (k 0,k 0,k 0 ), (-k 0,k 0,k 0 ), (k 0,-k 0,k 0 ), (-k 0,-k 0,k 0 ) (k 0,k 0,-k 0 ), (-k 0,k 0,-k 0 ), (k 0,-k 0,-k 0 ), (-k 0,-k 0,-k 0 ), οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής, η µαθηµατική έκφραση των οποίων απλοποιείται όταν αναφέρεται ως προς τοπικό σύστηµα αναφοράς παράλληλο στον κύριο και τους δευτερεύοντες άξονες του κάθε ελλειψοειδούς, οπότε: m * e,x = m * e,y = m * T, m * e,z = m * L. Υλικό k 0 (m L /m 0 ) (m T /m 0 ) Si 0,85X Ge 1,00L GaAs Γ GaP 0.92X

25 Παρόµοια, στη Ζώνη Σθένους, (όπου: k 0 =0, και E v (k 0 =0)=0), οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι σφαίρες, οπότε : m * h,x= m * h,y= m * h,z= m * h, και E k k k k + k + k ( ) 1 Ev 2 2 x y z v = ( 2 i 0i ) = ħ ko * 2 i= x, y, z ki 2mh όπου, η ενεργός µάζα των οπών m * h (h=holes) είναι αρνητική, όπως προκύπτει από την παράγωγο της σχέσης διασποράς ΗΛΑ Η: τα θετικά φορτία που αποµένουν στην Ζ. Σθένους, µετά την διέγερση ηλεκτρονίου, συµπεριφέρονται ως «ελεύθερες οπές» (Ε=p 2 /2m h * ), αλλά µε αρνητική «ενεργό µάζα» m h* m 0. 23

26 Αλλά : Αντίθετα µε τα ηλεκτρόνια αγωγιµότητας, των οποίων το spin δεν αλληλεπιδρά µε τροχιακά χαρακτηριστικά, (ακριβέστερα: αλληλεπιδρά µε µη-εκφυλισµένα τροχιακά τύπου s), οι οπές στη Ζώνη Σθένους, [3-πλά εκφυλισµένη, (τύπου-p) χωρίς spin], [6-πλά εκφυλισµένη, συµπεριλαµβάνοντας το spin], υπόκεινται σε αλληλεπίδραση spin-τροχιάς, η οποία αίρει εν µέρει τον 6-πλό εκφυλισµό. Οπότε: Ε = ħ hh Ε = ħ lh k 2 2 k 2 2 2m 2m hh lh,, J=3/2 Εκφυλισµός:4 hh: lh: Ε = ħ soh k 2 2 2m soh J=1/2, Εκφυλισµός:2, soh: 24

27 (hh=heavy hole) Βαρειές Οπές, (lh=light hole) Ελαφρειές Οπές spin-orbi=spin-τροχιά soh=spin orbit hole =Ενέργεια διαχωρισµού spin-τροχιάς Υλικό m e /m 0 m hh /m 0 m lh /m 0 m soh /m 0 (ev) Si k Ge k GaAs GaP k

28 Προσδιορισµός των ισο-ενεργειακών επιφανειών Στην περιοχή ακροτάτων του αντίστροφου χώρου Προσδιορισµός των ενεργών µαζών ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΤΡΟΝΙΚΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Απορρόφηση υψήσυχνου-ac συναρτήσει στατικού Μαγ.Π: Β Αύξηση απορρόφησης Όταν η συχνότητα του AC Συµπίπτει µε την Κυκλοτρονική συχνότητα ω 26 c =-eb/m *

29 Αποτελέσµατα Κυκλοτρονικού Συντονισµού Β=(Bcos30 o, Bsin30 o, 0) 27

30 Εξιτόνιο (Exciton) Το ηλεκτρόνιο και η οπή (ως ετερόσηµα φορτία) έλκονται Σχηµατίζουν υδρογονοειδές συγκρότηµα, όταν : E ( k ) = E ( k ) k C k V g ΟΠΟΤΕ: E ex : (Κοινή ταχύτητα οµάδας) g = E ħ k 2( ) 2 n me+ mh e = = = ε m m 4 µ µ e h, 2 2 E 2 H µ 2ħ µ Hε me+ mh Ε Η, µ Η : Ενέργεια σύνδεσης και ανηγµένη µάζα του Υδρογόνου g Frenkel Excitons: Μέση ακτίνα εξιτονίου ατοµική απόσταση Wannier-Mott Exc.: Μέση ακτίνα εξ/νίου > ατοµικής απόστασης 28

31 Εξιτονικές καταστάσεις και οπτική απορρόφηση Ενέργεια σύνδεσης εξιτονίου GaAs E g 29

32 Για τον υπολογισµό της συγκέντρωσης φορέων: [πυκνότητα φορέων=πυκνότητα καταστάσεων πιθανότητα κατάληψης] E v,max v,min E c,max n= gn( E) fn, F D( E) de E c,min v,max p g ( E) f ( E) de g ( E)[1 f ( E)] de = = E E p p, F D p n, F D E v,min πρέπει να γνωρίζουµε την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων για τα ηλεκτρόνια και για τις οπές :g n (E) = dn e /(dedv) :g p (E) = dn p /(dedv) 30

33 Υπολογισµός της Πυκνότητας ενεργειακών καταστάσεων Σε σύστηµα : 1- ιάστασης (1-D) : L 1 L 1 =n 1 λ x dp x =h/l 1 2- ιαστάσεων (2-D) : L 1 L 2 L 2 =n 2 λ y dp y =h/l 2 3- ιαστάσεων (3-D): L 1 L 2 L 3 L 3 =n 3 λ z dp z =h/l 3 Κυκλικές Οριακές Συνθήκες Άρα: για συστήµατα µοναδιαίας «έκτασης», L 1 =L 2 =L 3 =1, η ελάχιστη κυψελίδα ανά κατάσταση στο χώρο των ορµών είναι, αντίστοιχα dp x =h, dp x dp y =h 2, dp x dp y dp z =h 3, «Έκταση», στο χώρο των ορµών, µεταξύ p και p+dp 1-D: dp, 2-D:2πpdp, 3-D:4πp 2 dp, Αριθµός καταστάσεων µεταξύ p και p+dp 1-D: dp/h, 2-D:2πpdp/h 2, 3-D:4πp 2 dp/h 3, 31

34 Για να υπολογισθεί ο αριθµός καταστάσεων µεταξύ (Ε, Ε+dΕ), Πρέπει: 1) Να υπολογιστεί η γεωµετρία της ισοενεργειακής επιφάνειας Ε=σταθ., στο χώρο των ορµών, κοντά στο k 0, όπου k 0, σηµείο ακροτάτου (min, max) της ζώνης (Ε c, E v ) αντίστοιχα 2) Να υπολογισθεί, συναρτήσει της ενέργειας, η διαφορική «έκταση» (1-D:µήκος, 2-D:επιφάνεια, 3-D:όγκος) ανάµεσα στις ισοενεργειακές επιφάνειες, Ε=σταθ. και Ε=σταθ.+dE, στο χώρο των ορµών 3) Να διαιρεθεί ο διαφορικός όγκος µε την ελάχιστη «κυψελίδα ανά κατάσταση» του χώρου των ορµών, (ανάλογα µε τις διαστάσεις του συστήµατος), και µε το διαφορικό dε 4) Το αποτέλεσµα της διαίρεσης, επί τον αριθµό Μ των ισοδυνάµων ακροτάτων, είναι η πυκνότητα καταστάσεων ανά µονάδα όγκου και ενέργειας g(e)=μ[dn/(dvde)] [Άµεσο Χάσµα, π.χ. GaAs: M=1, Έµµεσο Χάσµα. Π.χ.Si: M=6, Ge:M=8 (1/2)=4 (βλ. σ. 11, 17, 29)] 32

35 Εφαρµογή: Ζώνης Αγωγιµότητας - Άµεσο Χάσµα 3-D:= d (E,E+dE)=4πp 2 dp/h 3, p 2 =2m(E-E c,min ), dp=mde/p = mde/[2m((e-e c,min )] 1/2 Συνυπολογίζοντας εκφυλισµό ( 2) λόγω spin: * 3 2 d ( E, E+ de) 1 (2 m ) ( ) 1/ 2 e gn( E) 2 = E E 2 3 c,min de 2π ħ 2-D:= d (E,E+dE)=2πpdp/h 2, p=[2m(e-e c,min )] 1/2, Συνυπολογίζοντας εκφυλισµό ( 2) λόγω spin: * d ( E, E+ de) 1 (2 me ) gn( E) 2 = 2 de 2π ħ 1-D:= d (E,E+dE)=dp/h, dp=mde/p = mde/[2m((e-e c,min )] 1/2 Συνυπολογίζοντας εκφυλισµό ( 2) λόγω spin: * 1 2 d ( E, E+ de) 1 (2 me ) gn( E) 2 = E E de 2π ħ ( ) c,min

36 Εφαρµογή: Ζώνης Αγωγιµότητας - Έµµεσο Χάσµα 3-D: Έστω ότι έχουµε τρεις διαφορετικές ενεργές µάζες (µηδενικά µη-διαγώνια στοιχεία, µε κατάλληλη επιλογή του συστήµατος αναφοράς στον αντίστροφο χώρο) ( p ( 0 0) x p ) py p x y ( pz pz0) E= Ec,min * * * 2m 2m 2m x y z Οι ισοενεργειακές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή, µε όγκο αναλλοίωτο σε αλλαγή της αρχής των αξόνων (p x0 =p y0 =p z0 =0) p p x y pz p p x y pz + + = = 1 * * * m ( E E ) 2 m ( E E ) 2 m ( E E ) a b c x c,min y c,min z c,min a= 2 m ( E E ), b= 2 m ( E E ), c= 2 m ( E E ) * * * x c,min y c,min z c,min Όγκος ελλειψοειδούς: 4 4 V = π abc= π 8 m m m ( E E ) 3 3 * * * 3/ 2 p x y z c,min 34

37 * * * 1/ 2 ιαφορικός Όγκος: dv ( E, E+ de) = 2π 8 m m m ( E E ) de p x y z c,min ιαιρώντας µε τη στοιχειώδη κυψελίδα (h 3 ) του αντίστροφου χώρου και συνυπολογίζοντας εκφυλισµό (2) λόγω spin : dv ( E, E+ de) 2π g ( E) = M 2 = M 2 8 m m m ( E E ) h de h p * * * 1/ 2 n 3 3 x y z c,min Για τήν περίπτωση του πυριτίου, (όπου: m x * =m y* =m t * m z* =m l *, Μ=6). (2 m ) gn( E) = ( E E ) 2π ħ * 3/ 2 e, DoS 1/ c,min Ενεργός µάζα πυκνότητας καταστάσεων : (DoS=Density of States) *3 2 *2 * me, DoS = M ( mt ml ) 35

38 Εφαρµογή: Ζώνη Σθένους µε «βαρειές» και «ελαφρειές» οπές E E+dE k hh k lh Όγκος ισοενεργειακών σφαιρών στον αντίστροφο χώρο Vp( E) = π phh( E) + π plh ( E) phh plh Όπου : E = = * * 4 3/ 2 2mhh 2m ( *3/ 2 *3/ 2) lh Vp( E) = π (2 E ) mhh + mlh *3/ 2 *3/ 2 1/ 2 Άρα dv ( E, E+ de) = 2 π (2) m + m E de ( ) p hh lh ιαιρώντας µε τη στοιχειώδη κυψελίδα (h 3 ) του αντίστροφου χώρου και συνυπολογίζοντας εκφυλισµό (2) λόγω spin : * 3 2 dvp( E, E+ de) (2 mh. DoS ) g p( E) 2 = E h de 2π ħ Ενεργός µάζα πυκνότητας καταστάσεων : (DoS=Density of States) ( ) 2 3 m = m + m * *3/ 2 *3/ 2 h, DoS hh lh 36

39 Συγκέντρωση φορέων στους ενδογενείς ηµιαγωγούς Ενδογενείς Ηµιαγωγοί : OXI προσµίξεις (i = intrinsic) ΟΧΙ πλεγµατικές ατέλειες Συγκέντρωση ηλεκτρονίων: n i = p i :συγκέντρωση οπών 1 f ( E) =, f ( E ) = 1/ 2 F D, T E EF F D, T F kt e + 1 E E E E C f(e) E V E F 1-f(E) 0 0,5 1,0 g(e) f F-D (E) n(e), p(e) EF kt n=p E F (E C +E V )/2 E-E F >> kt f ( E) e e E kt 37

40 Οπότε: E c,max c,min * 3 2 Ec,max 1 2m EF E e kt kt n( ) n, F D( ) 2 2 c,min 2π ħ E c,min ( ) n= g E f E de e e E E de E λόγω της ισχυρά φθείνουσας εξάρτησης του εκθετικού όρου, από την ενέργεια, αντικαθιστούµε, το άνω όριο του ολοκληρώµατος: Ε c,max E c,max c,min * E m F E e kt kt n( ) n, F D( ) 2 2 c,min 2π ħ E c,min ( ) n= g E f E de e e E E de E 3 2 me kt kt 2 2 ħ 0 * ( E 1 2 c,min EF ) ( E Ec,min n= e e ) ( E E ) 1 2 c,min d( E Ec,min ) 2π Οπότε : * 3 2 n C F 2 m kt E E n= 2 exp 2πħ kt καί όµοια για τις οπές: * 3 2 p V F 2 m kt E E p= 2 exp 2πħ kt 38

41 Ενεργός Πυκνότητα Καταστάσεων Στη Ζώνη Αγωγιµότητας Ενεργός Πυκνότητα Καταστάσεων Στη Ζώνη Σθένους = πħ * mp kt = 2 2 πħ * mn kt C, eff V, eff 2 Στην προσέγγιση των µη-εκφυλισµένων ηµιαγωγών (ενδογενείς ηµιαγωγοί µε χαµηλές συγκεντρώσεις φορέων) οι δύο ζώνες (Σθένους και Αγωγιµότητας) µπορούν να προσεγγισθούν µε απλές ενεργειακές στάθµες (Ε V, E C ) µε πυκνότητες καταστάσεων ( V,eff, C,eff ) που εξαρτώνται από την θερµοκρασία, και αντίστοιχες πιθανότητες κατάληψης που υπακούουν σε στατιστική Boltzmann, µε στάθµη αναφοράς την Ε F T=300K N C (cm -3 ) N V (cm -3 ) Si GaAs

42 Η στάθµη Fermi προσδιορίζεται από τη συνθήκη ουδετερότητας * EC + E 3 V m h n= p EF = + kt ln E * 2 4 me Αντικαθιστώντας την E F στις σχέσεις για τις συγκεντρώσεις φορέων, παίρνουµε, για τους ενδογενείς (i) ηµιαγωγούς 3 2 kt * * 3 4 ( E ) g 2 2 ( ) exp C E E n V i = pi = mem h exp 2 2 C kt = V π 2kT ħ i T=300K E g (ev) n i =p i (cm -3 ) Si GaAs

43 Εξάρτηση της συγκέντρωσης ενδογενών φορέων από την θερµοκρασία, (Si, GaAs) Εξάρτηση των Ε g και E F, από τη θερµοκρασία, για ενδογενείς ηµιαγωγούς Ε Ε C Ε F, m e* /m h* <1 =1 >1 Ε V Τ 41

44 Εξωγενείς Ηµιαγωγοί Προσµείξεις Προσµείξεις τύπου «ότες» (περίσεια ηλεκτρονίου) π.χ.: προσµείξεις As σε Si Προσφορά αγώγιµου ηλεκτρονίου Προσµείξεις τύπου «Αποδέκτες» (έλλειµµα ηλεκτρονίου) π.χ.: προσµείξεις Β σε Si Προσφορά αγώγιµης οπής 42

45 Ενδοχασµατικές ενεργειακές στάθµες λόγω προσµείξεων π.χ., πρόσµειξη Asσεκρύσταλλο Si : Το 5 ο ηλεκτρόνιο του ατόµου του As (εκτός δεσµικού τροχιακού), τείνοντας να κυκλοφορήσει ως ελεύθερο στο κρυσταλλικό περιβάλλον του Si, (δηλαδή, µε ενεργό µάζα m e* ), «βλέπει»τοθετικάιονισµένοάτοµο (As + ) θωρακισµένο, µέσωτηςσχετικής διηλεκτρικήςσταθεράς ε r τουπυριτίου. Άρα, σύµφωνα µε το µοντέλο του Bohr για τα υδρογονοειδή άτοµα : * 2 e e * υ 1 e E= meυ, = m 2 e E= 2 4πε rε 0r 4πε rε 0r r 2 4πε rε0r υ e m e 4πε εħ l m r= n m = m r = r r = n 2 2 * 2 2 * * * 2 e r 0 2 eυ ħ, e ( 2 eυ ) n * 2 r 4πε rε0r 4πε rε0 mee 2 me 4πε 0ħ 2 me me 0 n = ε r = ε * 2 r * 0 = ε r (0.5 ) * me mee me me r n a A E n = m e = me m = ev m * 4 4 * * 1 e e e ε r (4 πε0ħ) n 2 (4 πε0ħ) n me ε r n me ε r µε στάθµη αναφοράς (ελευθέρου ηλεκτρονίου) το ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιµότητας 43

46 ˆ ˆ ˆ pˆ e pˆ e H = H0+ H1 = Eg + * = Eg + * 2me 4πε rε0r 2me 4πε rε0r Το τµήµα της τελευταίας παρένθεσης είναι η Hamiltonian ενός υδρογονοειδούς ατόµου, µε τις αντικαταστάσεις : E n Προσέγγιση της ενεργού Hamiltonian Για κίνηση κοντά στο ελάχιστο της Ζώνης Αγωγιµότητας, το 5 ο («µη-δεσµικό») ηλεκτρόνιο, µπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφεται µε καλή προσέγγιση από τη ενεργό Hamiltonian : g e e / ε, m m, 2 2 * r e e Οπότε, οι ιδιοενέργειες του συστήµατος είναι : * 4 1 mee ε r (4 πε0ħ) n = E = = Eg = 4 * * 1 me 1 me eV me 1 E g (4 πε0ħ) n me ε r n me ε r 44

47 Ανάλογα αποτελέσµατα προκύπτουν στην περίπτωση των οπών, αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι m h* < 0, και ως επίπεδο αναφοράς µηδενικής ενέργειας το Ε V (k=0)=0 Τυπικές τιµές για την ενέργεια δοτών Si: ε r =11.7, m e* =0.5m e E D E g -50meV, r D 23a 0 Άρα : τα αποτελέσµατα είναι αυτοσυνεπή µε την παραδοχή της προσέγγισης του υδρογονοειδούς ατόµου Σχηµατική απεικόνιση ενδοχασµατικών καταστάσεων οτών Αποδεκτών Ιονισµένοι ότες Ιονισµένοι Αποδέκτες 45

48 Πραγµατικές ενδοχασµατικές καταστάσεις διαφόρων προσµείξεων σε Si και GaAs 46

49 Υπολογισµός στάθµης Fermi σε εξωγενείς ηµιαγωγούς E C E D N D N C E A N A NV E V Έστω: Ν D+ =συγκέντρωση ιονισµένων δοτών Ν Α- =συγκέντρωση ιονισµένων αποδεκτών n = συγκέντρωση ηλεκτρονίων (ενδο-, εξω-γενών) p = συγκέντρωση οπών (ενδο-, εξω-γενών) Συνθήκη ουδετερότητας : n+ν Α- =p+n D + (Συνθήκη υπολογισµού της στάθµης Fermi), όπου : 47

50 EC EF EV EF Από τις εκφράσεις : n= C ( T ) e xp p= V ( T )exp kt kt 0 D D + D = D D = D = 1 ED EF ED EF 1+ exp 1+ 2exp 2 kt kt 0 A A A = A A = A = 1 EF EA EF EA 1+ exp 1+ 2exp 2 kt kt + και τη σχέση ουδετερότητας : p+ D n A = 0 προκύπτει η στάθµη Fermi E = E ( ( T ), ( T ), E, E,, E,, E ; T ) F F V C V C D D A A ενώ εξακολουθεί να ισχύει ο «νόµος δράσης των µαζών» E n p= exp = n kt g 2 C V i ανεξάρτητα από την προέλευση των φορέων και από την Ε F 48

51 Ε Ε Ε Ε E C E D E V E i D g(e) f F-D (E) Προσµείξεις τύπου «ότες» n p E F Ε Ε Ε Ε E C n E A E V E i A p E F g(e) f F-D (E) Προσµείξεις τύπου «Αποδέκτες» 49

52 Συγκέντρωση ηλεκτρονίων (cm -3 ) A B C A:Περιοχή «ψύξης» (εξάρτηση από Τ, µέχρι να ιονιστούν όλοι οι ότες) B:Περιοχή εξωγενούς αγωγιµότητας (ανεξαρτησία από Τ λόγω ιονισµού όλων των οτών και ασήµαντης συνεισφοράς των ενδογενών φορέων) C:Περιοχή ενδογενούς αγωγιµότητας (εξάρτηση από Τ λόγω σηµαντικής συνεισφοράς των ενδογενών φορέων) 50

53 Μεταβολή, µε την θερµοκρασία, της στάθµης Fermi του Si, για διαφορετικές συγκεντρώσεις προσµείξεων τύπου n και τύπου p. (Σηµειώνεται και η θερµοκρασιακή µεταβολή του χάσµατος) Μεταβολή, µε την θερµοκρασία, της στάθµης Fermi του GaAs, για διαφορετικές συγκεντρώσεις προσµείξεων τύπου n και τύπου p. (Σηµειώνεται και η θερµοκρασιακή µεταβολή του χάσµατος) 51

54 Υπολογισµός συγκέντρωσης φορέων και στάθµης Fermi, στην προσέγγιση του πλήρους ιονισµού, Ν D+ N D, N A- N A a) Εξωγενής ηµιαγωγός τύπου-n, Ν D >N A n n φορείς πλειονότητας nn = ( D A ) + ( D A ) + 4 n i nn+ A = pn+ D nn pn = ni n p i n = nn E E C F kt n = e E = E kt ln[ n ] n C F C C n Στην περίπτωση: >> + 2n n D A i n D A n 1 1 i 2 D Αν, Ν Α =0 D n n = a 1 ) D >>n i n n = D +n i2 / D, p n =n i2 / D a 2 ) D <<n i n n =n i + D /2, p n =n i - D /2 52

55 Υπολογισµός συγκέντρωσης φορέων και στάθµης Fermi, στην προσέγγιση του πλήρους ιονισµού, Ν D+ N D, N A- N A b) Εξωγενής ηµιαγωγός τύπου-p, Ν A >N D p p φορείς πλειονότητας 1 p = ( ) + ( ) + 4 n n p 2 2 p A D A D i p+ A = p+ D np pp = ni n n i p = pp EV EF kt pp V e EF EV kt ln V pp = = + Στην περίπτωση: >> + 2n p Αν, Ν D =0 A 4 n 1 1 i p p = A b 1 ) A >>n i p p = A +n i2 / A, n p =n i2 / A A D i p A D b 2 ) A <<n i p p =n i + A /2, n p =n i - A /2 53

56 Εικόνα 1 Εικόνα 28: Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.

57 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.