Предавање 3. Слика 15. Слика 14.

Transcript

1 све мање пригушене, односно да се до новог стационарног стања долази све спорије. То је показала и симулација модела у којој је повећање константе брзине реакције преласка S' у S, k -S, што при константној k S, заначи смањење S', а повећање S, довело до повећаног пригушења осцилација (Слика 15). Слика 14. Слика 15. Као што видимо у овом случају је примена системског приступа, где је временски ток излазне величине препознат у одговарајућем математичком моделу довела до унапређења схватања кинетичке шеме активности одговарајућег ензима, што је од великог значаја за разумевање његових физиолошких улога. Предавање 3 Следећи биолошки пример потпригушеног система другог реда је промена притиска у аорти у времену услед систоле, односно пражњења леве коморе. За моделовање овог система користи се еквивалентно електрично коло са којим смо се већ више пута срели (Слика 16). Слика 16. Приказ хемодинамичке шеме крвног суда и еквивалентног електричног кола. 26

2 Овај модел се заснива на Windkessel принципу која посматра крвне судове као систем међусобно повезаних еластичних цеви које имају способност накупљања крви. Приказани модел представља једну такву еластичну цев, односно неки краћи крвни суд или део дужег крвног суда. Windkessel принцип није добо име по научнику који га је установио већ по аналогији која је послужила за његов настанак. Windkessel на немачком означава ваздушну комору која је коришћена приликом пумпања воде да би омогућила релативно константан проток у времену. Наиме у свом циклусу свака пумпа има део у којем узима течност, а не пумпа је и део у којем је пумпа. У првом делу проток из пумпе је нула и одговарао би срчаној диастоли, а у другом делу проток из пумпе је максималан и одговарао би срчаној систоли. Да нема ваздушне коморе вода из црева би излазила у млазевима, што би отежало његову контролу, а то се и догађа у првим тренуцима када пустимо воду кроз црево или из чесме. Међутим, ако постоји ваздушна комора она ће приликом пумпног дела циклуса задржавањем дела течности на рачун сабијања ваздуха у себи смањити проток кроз црево, док ће у делу циклуса без пумпања сабијени ваздух истиснути накупљену воду из коморе и на тај начин обезбедити проток воде и у делу циклуса када се пумпа пуни. Услед тога осцилације притиска у цреву ће бити значајно смањене. Слично ради и крвни систем. Срце се у дијастоли пуни и не пумпа крв, а у систоли се празни пумпајући крв. Када зид аорте и других великих артерија не би био еластичан целокупни крвни систем би био изложен великим осцилацијама у притиску (Слика 18а) и брзо би дошло до његовог пропадања. Слика 17. Аналогија између пумпе и крвног система која је коришћена у Виндкесел теорији. Зид великих артерија, а посебно аорте је међутим, веома богат еластичним влакнима, што омогућава да се шире приликом систоле, смањујући систолни (горњи) притисак, а да се скупљају током дијастоле повећавајући дијастолни (доњи) притисак, на тај начин смањујући њихову разлику на око 40mmHg код здравих особа (Слика 18а). Ова разлика се назива и пулсни притисак. Имајући речено у виду Windkessel принцип се може назвати и принципом еластичног крвног суда. Користећи овај приступ могуће је моделовати крвни систем делећи га на више одељака, комора или сегмената који су представљени појединачним крвним судовима, групама сродних крвних судова или чак деловима већих крвних судова познате геометрије. Сваки од ових одељака се потом описује јединичним моделом попут оног на слици 16. Јединични модели се затим међусобно повезују редно или паралелно дајући модел читавог крвног система (Слика 4). 27

3 На овај начин се добија веома детаљан модел који омогућава праћење протока крви и крвног притиска у сваком делу система, али истовремено он је и веома сложен за моделовање, симулацију и интерпретацију. Постоји више типова јединичних модела али на овом курсу ћемо ближе описати само један, тзв Л модел који је приказан на слици 16. Улазне величине у овом моделу су притисак (P i ) и проток крви (Q in ) на почетку крвног суда, а излазне притисак (P o ) и проток крви (Q out ) на његовом крају. Као што смо већ рекли када смо описивали еквивалентне електричне модел е, крвни притисак је еквивалентан електричном потенцијалу, а проток електричној струји. Да би се описале промене ове две величине у времену користе се три параметра. Први параметар је еластичност зида аорте (С, сompilance) који је дефинисан као пораст запремине аорте при датом притиску у односу на запремину при нултом притиску: V V C 0 (1.24) p Следећи параметар је отпор протоку крви кроз крвни суд R. Како је крв вискозна течност отпор њеном протицању кроз крвни суд полупречника r у случају ламинарног кретања је дата изразом: 8 l R (1.25) 4 r где је μ коефицијент трења, а l, дужина суда. Последњи параметар је инерција крви. Наиме, услед пумпне активности срца проток крви кроз крвни суд је пулсирајући, односно његова брзина осцилује у времену (Слика 18б), како крв има масу то она поседује и инерцију и супротстављаће се свакој промени брзине кретања. Слика 18. Промене крвног притиска током једног срчаног циклуса у левој срчаној преткомори (црвена линија), левој срчаној комори (плава линија) и аорти (зелена линија). Сасвим разумљиво, капацитет кондензатора (C) је електрични аналог капацитета крвног суда да се раверзибилно шири под дејством притиска, односно његове еластичности (compliance), а отпор отпорника (R) је аналог отпору протока крви кроз крвни суд. Електрични еквивалент инерције крви је индукција (L). Наиме, у складу са Ленцовим законом промена електричне струје у колу индуктивнсти L индукује одговарајућу електрични потенцијал који се супротставља промени струје, а супротстављање промени је управо смисао инерције. Овакво комплетно RCL коло се користи за моделовање аорте и главних артерија чији су зидови веома еластични, а проток крви пулсан те се 28

4 ефекти и отпорност и инерцији и еластичности морају узети у обзир. Зидови артериола и капилара су релативно крути, проток крви кроз њих релативно константан, док им је пречник мали, те је утицај трења на проток доминантан што условљава да се динамика протока може довољно добро описати само помоћу отпора протицању крви. Код великих вена, чији су зидови веома еластични, а прток крви прилично константан, се ефекат инерције може занемарити и карактеристике протока крви описати само помоћу отпора (R) и еластичности (C). Најједноставнији пример модела системског крвотока који узима у обзир ова поједностављења је дат на слици 19. Слика 19. Пример вишекоморног модела системског крвотока. (sas: аорта, sat: артерија, sar: артериола, scp: капилар, svn: вена). Као је само потпуни RCL елемент систем другог реда, то ћемо приказати његов математички модел. Да би смо то учинили моделоваћемо промене крвног пририска у аорти под дејством систоле. Еквивалентна електрична шема је дата на слици 20. Слика 20. Еквивалентно коло сегмента аорте. Системска једначина која описује овај модел има облик: 1 1 Lp a ao Rp a ao pao plk (1.26) C C Где р ао представља крвни притисак у аорти, односно излазну величину, р ik, притисак крви у левој комори, односно улазну величину, а L a, R a i C a, инерцију крви у аорти, отпор протицању крви у аорти и еластичност аорте. Ова једначина у потпуности одговара системској једначини за RCL струјно коло коју смо већ извели на предходном часу (једначина 1.9), те су сходно томе и изрази за природну кружну фреквенцију и количник пригушења дати изразима 1.10 и Такође и овде је претпостављено да је стимулус скоковит и представљен наглим отварањем залистака и ослобађањем крви из коморе под притиском од p vs = 100 mmhg. Ако се узму у обзир следеће вредности параметара за аорту: C a = 0,178ml/mmHg; R a = 0,033 mmhg/ml/s; и L a = 0,2278 mmhg/s 2 /ml и симулира овај модел у Симулинку на основу шеме на слици 21, добиће се одговор као на слици 22. Као што се види то је потпригушен одговор система другог реда. Из a a 29

5 једначина 1.10 и 1.11 и задатих параметара могу се одредити вредности количника пригушења (ζ=0,0146) и природне кружне фреквенције ( n =4,97). У случају аорте и великих артерија код здравих људи крвни притисак увек достиже стационарно стање кроз неколико пригушених осцилација што је последица малог отпора протоку крви услед великог полупречника крвног суда (види једначину 1.25) и великог доприноса инерције крви услед велике масе крви у крвном суду. На примеру моделовања јединичног сегмента системског крвотока смо се упознали са применом еквивалентних електричних шема у моделовању биолошких система, док ћемо на примеру моделовања брзог хоризонталног помераја око приказати примену механичких еквивалентних шема. Чуло вида је свакако најзначајније чуло за човека. Оно нам омогућује да видимо свет око себе, захваљујући чулним ћелијама чепићима и штапићима који препокривају задњим део ока чинећи ретину. Чулне ћелије нису равномерно распоређене у мрежњачи већ су најгушће паковане у њеном централном делу пречника око 1mm који се назива жута мрља или fovea (Слика 21). Слика 21. Положаj мрежњаче и жуте мрље (стрелица) u оку гледано са стране (A) и спреда (B). Слике које падну на овај део мрежњаче видимо оштро. У остатку мрежњаче чулне ћелије су ређе распоређене омогућавајући периферан вид, односно предмете чије слике падну на делове мрежњаче изван жуте мрље примећујемо, али да би их оштро видели светлост која се одбија од њих мора пасти на жуту мрљу. Ово је омогућено радом три пара антагонистичких мишића (Слика 22) који омогућавају померање очне јабучице тако да жељене предмете можемо оштро видети. Један од типова покрета ока је и брзи покрет (енг. saccade), који омогућава веома брз прелаз са једне мете на другу. При овом покрету се, због његове брзине, чуло вида искључује и он се врши на основу запамћеног положаја нове мете коју смо предходно уочили периферним видом. Када се покрет заврши, а жељена мета није уфокусирана, нервни систем врши додатне корекције положаја ока новим брзим покретом ока без кашњења. Нервна контрола овог покрета је с тога веома сложена, као што се и види са слике 23. Ови покрети су једни од најбржих у људском телу јер за прелажење угаоног растојања од 10 о оку треба свега 50ms. Пример за брзи покрет ока је читање. Наиме, док читамо текст у једном реду око се помера споро пратећи текст, међутим, када треба с краја једног реда да 30

6 пређемо на почетак другог онда се то чини брзим покретом ока. Исто тако брзим покретом ока ловац или војник тражи своју мету за гађање. Слика 22. Мишићи, очна јабучица и оптички нерв десног ока. Слика 23. Шема нервне контроле брзог покрета ока. 31

7 Значај чула вида за човека, чињеница да се његово функционисање релативно једноставно и недеструктивно може мерити на људима, као и његов значај за војну индустрију, па самим тим и издашно финансирање истраживања, су условили веома интезивна истраживања још од половине прошлог века. Велики број експреименталних података омогућио је развој многих математичких модела који описују истраживане функције, те је уз крвни и нервни систем чуло вида свакако највише моделован органски систем код човека. То добро илуструје и чињеница да се први математички модел хоризонталног брзог покрета ока појавио још 1954 у раду Westheirmera. Пре него што опишемо овај модел нешто ћемо више рећи о самом хоризонталном брзом покрету ока. Поред хоризонталног брзог покрета ока постоје и вертикални и кружни брзи покрет ока. За хоризонтални брзи покрет ока заслужни су бочни прави мишић (musculus rectus lateralis) и медијални прави мишић (musculus rectus medialis) својим антагонистичким деловањем. То је симетричан покрет очне јабучице који се идентично врши на оба ока. Он се контролисано може изазвати помоћу апаратуре на слици 24а где се глава посматрача фиксира испред екрана са хоризонтално постављеним малим диодама које емитују светло (лед-диоде) у нивоу очију посматрача. Испитанику се објасни да приком гашења и паљења светала увек треба да посматра диоду која светли и то тако да без покрета главе што брже уфокусира новоупаљено светло. Растојање између диоде која је управо угашена и оне која је после ње упаљена дефинише угаони померај (Θ) који очи треба да пређу током брзог покрета да би уфокусирале упаљену лампицу. Угаони померај ока, време за које се извршио, па тиме и брзина којом се извршио могу се мерити недеструктивно користећи принцип са слике 24б. (а) (б) Слика 24. Апаратура за стимулацију (а) и мерење параметара (б) брзог хоризонталног покрета ока. Мерење се заснива на чињеници да зеница, дужица и беоњача рефлектују различиту количину светлости (беоњача највише, а зеница најмање). Ако осветлимо кружним снопом инфрацрвене светлости делове ока са обе стране зенице као на слици 24б и помоћу фото ћелија региструјемо интензитет одбијене светлости претварајући га у електричну струју можемо веома прецизно измерити сваки покрет ока пошто ће он условити промену у односу површина беоњаче, дужице и зенице које су при томе осветљене, па самим тим и јачина рефлектоване светлости, односно струја које долази у наш мерни уређај. При томе, ако се око помери на лево, од левог снопа ће се одбијати мање светлости, јер ће већи део осветљене површине припадати дужици и зеници, а од десног 32

8 снопа више јер ће већи део осветљене површине припадати беоњачи, па ћемо поред већ поменутих параметара знати и у ком смеру се око помера. Слика 25. Промене положаја и брзине кретања ока у времену током брзог хоризонтални помераја ока од 10 о. Слика 26. Зависност брзине кретања ока (а), времена трајања покрета (b) и латентног периода који му претходи (c) од величине помераја ока. Временски ток промена измерених параметара за померај од 10 о су дати на слици 25. Са слике се види да између стимулације и одговора ока постоји латентни период од око 100ms у току кога нервни систем одлучује да ли да крене у покрет и дефинише растојање које око треба да пређе при том (треба имати у виду да око не региструје приликом покрета). Сам покрет за ово растојање траје око 60ms. Најважнији параметри покрета поред његове величине у степенима су трајање латентног прериода, трајање покрета и његова максимална брзина. Ако се они прикажу у функцији величне покрета (Слика 26) може се видети да је трајање латентног периода независно од величине покрета (Слика 26c), трајање покрета линеарно расте с њим (Слика 26b), док брзину покрета карактерише експоненцијални раст (Слика 26a) са 33

9 пређеним путем. Као што смо већ рекли први квантитативни модел брзог хоризонталног покрета ока је дао Вестхајмер У свом моделу он описује само кретање очне јабучице на основу њених виско-еластичних карактеристика. Активност мишића се не моделује већ се своди на улазни правоугаони стимулус који очној јабучици намеће моменат силе (τ). Кретање очне јабучице у одговору на хоризонтални померај од 20 о је описано следећом системском једначином: J B K t (1.27) Овој системској једначини одговора еквивалентна механичка шема на слици 27. Слика 27. Механички еквивалент Вестхајмеровог модела брзог хоризонталног покрета ока. Кретање очне јабучице полупречника r је описано помоћу ротационих елемената момента инерције (Ј) који је условљен масом очне јабучице, трења (В) током ротирања очне јабучице у свом лежишту и коефицијента еластичности (К) који је условљен еластичношћу очног нерва за којег је очна јабучица попут за опругу прикачена целим трајањем кретања. Из системске једначине види се да је у питању систем другог реда. Јеначину за механички систем другог реда смо већ дефинисали и ако узмемо у обзир да смо то учинили за линеарно кретање, а да је у случају помераја ока то ротационо кретање, лако је видети да су у питању еквивалентни изрази. У овом случају механички модел далеко боље одговара природи система који је представљем механичким покретом ока од електричног модела, те се с тога и користи приликом моделовања система. Како су системске једначине еквивалентне то се и вредности количника пригушења и природне кружне фреквенције могу одредити на основу познатих израза тако да гласе: B 2 KJ (1.28) K n J (1.29) Ова два параметра према Вестхајмеровим подацима за померај од 20 о имају вредности од: ω n =120rad/s и ζ=0,7. Као што се из вредности види у питању је потпригушен систем. Решавање једначине 1.27 према поступку са којим ћете се упознати на вежбама, даје следећу зависност угаоног помераја од времена: 1 1 cos 1, tan K n e 2 t t n t (1.30) 34

10 Као што се могло очекивати ова једначина одговара оној коју смо већ извели за систем другог реда са правоуглим улазом (једначина 1.21). Ако се на основу ове једначине прикажу промене угаоног помераја у времену добија се запис као на слици 28. Слика 28. Симулација Вестхајмеровог модела за дате параметре. Као што се види по свом облику он одговара променама угаоног помераја које су експериментално одређене. И заиста за стимулацију од 20 о Вестхајмеров модел добро описује овај систем. Али да ли то важи и за остаје вредности стимулуса. Да би се то одредило преба утврдити зависности основних параметара брзог хоризонталног помераја ока од угаоног помераја и упоредити их са експериментално добијеним подацима на слици 26. Занемарићемо латентни период пошто се модел није ни бавио нервном контролом процеса. Како је у питању потпригушен систем време трајања покрета ћемо заменити временом достизања максималног помераја (Т р ). У тренутку када угаони померај достигне максималну вредност брзина кретања је нула, односно кретање очне јабучице се зауставља да би се наставило у супротном смеру. Како је брзина кретања први извод пута по времену израз за Т р ће се добити за ону вредност времена у којој је први извод угаоног помераја по времену нула: nt e 2 1 cos 1 2 n t t T 0 (1.31) p t t K 1 Решавањем овог проблема се нећемо бавити већ ћемо дати коначан израз за Т р : Tp (1.32) d За дате вредности количника пригушења и природне кружне фреквенције оно је износило 37ms. Међутим, из једначине се јасно види да је Т р независно од 35

11 угаоног помераја што није случај са експериментално добијеним подацима где је време помераја линеарно расло са порастом вредности угаоног помераја. Следећи тест модела је зависност максималне брзине од угаоног помераја. Када се достигне максимална брзина она се више не може повећавати и у том тренутку времена (Т mv ) убрзање је нула. Слично као са временом у којем се достиже максимални померај време у којем се достиже максимална брзина се може одредити као вредност времена у којем је други извод пута по времену (односно убрзање) нула. Без залажења у детаље добија се израз: T mv 1 tan 1 d 1 2 (1.33) Вредност максималне брзине се може одредити као први зивод угаоног помераја за t= Т mv. За арбитрарну вредност угаоног помераја ΔΘ=γ/К добија се израз: T mv (1.34) Овај израз указује да би максимална брзина требала да буде линеарно зависна од угаоног помераја. Међутим, експериментални подаци показују да је та зависност експоненцијална. Као што се види вредновање модела кроз поређење са експерименталним подацима је показало да је он одговарајући само за вредност улаза од 20 о, док за друге вредности улаза то није случај. Закључено је то последица две чињенице, улаз није прост парвоугаони стимулус и систем није линеаран. Имајући то у виду поново се вратило образовању модела да би се те грешке исправиле. Први резултати су добијени 1964 када је Робенсон дефинисао прави облик улазног стимулуса. Он је једно око испитаника фиксирао помоћу посебног сочива које је повезао са претварачем силе док је друго око оставио слободно и помоћу већ описаног метода мерио параметре брзог хоризонталног помераја ока. Како се очи померају синхроно, односно паралелно су инервисане, активност мишића која ће довести до брзог хоризонталног помераја слободног ока измерених карактеристика, ће се код фиксираног ока претворити помоћу претварача силе у електрични сигнал амплитуде пропорционалне снази мишићне контракције. Захваљујући томе Робинсон је утврдио да улаз у систем није правоугаони стимулус већ комбинација пулсног стимулуса за којим следи правоугаони стимулус (Слика 29). Слика 29. Облик улазног стимулуса који доводи до брзог хоризонталног помераја ока. Наиме, трајање и амплитуда пулса одрређују величину и трајање брзог хоризонталног помераја ока, док правоугаони стимулус служи да се око одржи у 36

12 постигнутом положају. Са напретком инструменталне технике било је омогућено и да се продре у нервну природу оваквог стимулуса. Тако је помоћу микроелектроде вршена интрацелуларна регистрација мембранског потенцијала појединачног неурона из окуломоторног језгра у којем се налазе тела неурона који инервишу медијални прави мишић ока (Слика 23). Слика 30. Активност нерава у окуломоторном језгру која доводи до брзог хоризонталног помераја ока. У експерименту (Слика 30) се пошло од положаја ока у којем је медијални прави мишић потпуно истегнут (Θ 0 ). Неких 5ms пре него што почне померај неурони веома брзо генеришу акционе потенцијале и ова интензивна активност траје скоро до завршетка покрета узрокујући снажну контракцију мишића који доводи око у жељени полаожај (Θ 1 ) и одговара пулсном делу улазног стимулуса. Затим се активност неурона (фреквенција акционих потенцијала) смањује и одржава на датом нивоу резултујући напоном мишића који одржава око у жељеном положају, што одговара правоуглом делу улазног стимулуса. Фреквенција акционих потенцијала је пропорционална степену згрчености мишића. Кретање ока у супротном смеру, односно опуштање мишића се постиже престанком генерисања акционих потенцијала (види прелаз Θ 2 у Θ 2 ). Дакле, иако недовољно тачан Вестхајмеров модел је указао на пут који ће довести до исправнијег модела. И заиста показало се да Вестхајмеров модел са 37

13 новим улазним стимулусом представља одговарајући модел за све вредности угаоног помераја ока. Али ту се није стало са развојем модела. Следећи корак је било укључивање мишићне активности у модел и узимање у обзир нервних улаза и корекције положаја ока по завршеном померају. Овај сложени модел је развијан дуго времена тако да је свој коначни облик добио Еквивалентни механички модел који га описује је дат на слици 31. Слика 31. Еквивалентна механичка шема модела брзог хоризонталног помераја ока који узима у обзир мишићну активнос и корекције коначног положаја ока. Њега описује следећа системска једначина: Као што се види то је и даље линеарна диференцијална једначина али трећег степена. Нећемо залазити у детаље модела јер су они изван домета овог курса, само ћемо приметити да су оба мишића представљена сложеном комбинацијом тегова (силе), клипова (трење) и опруга, док је очна јабучица приказана слично као и у Вестхајмеровом моделу (само је овде трење В р приказано помоћу малог клипа). Овај сложени модел веома верно одсликава брзи хоризонтални померај ока за све вредности помераја и у свим својим појединостима. Међутим ако упоредимо симулацију промене угаоног помераја у времену у одговору на стимулус од 13 о са брзом корекцијом крајњег положаја (Слика 32) са оном код Вестхајмеровог модела (Слика 28) са изузетком латентног периода одговори су готово идентични. Наравно то није случај за неке друге параметре. Дакле, упркос својој једноставности и недостацима Вестхајмеров модел за извесне 38

14 намене даје довољно добре резултате, те се захваљујући својој једноставности и данас широко користи. Слика 32. Симулација промене угаоног помераја у времену помоћу модела из Уз то развој модела брзог хоризонталног помераја ока је јако леп практични пример и то у свим детаљима, поступка за формирање, симулацију и вредновање модела којег смо теоријски дефинисали на првом предавању. Следећи тип одговора система другог реда на скоковити стимулс који се назива критично пригушен (ζ=1), описан је једначином 1.22., и графички приказан на слици 10 доле. Као што видимо, коефицијент пригушења је довољно велик да је пригушио све осцилације тако да излазна величина у прелазном режиму монотоно расте до нове стационарне вредности. Међутим, овај раст, односно кашњење одговора система у односу на стимулус, за разлику од монотоног раста у случају система првог реда, се не може представити простом експоненцијалом, пошто га поред на крају и на самом почетку карактерише мања брзина, већ сигмоидном кривом. Како је описани случај, као што се може видети на слици 10, екстремни облик понашања система у прелазном режиму када је ζ>1 то ћемо примере за оваква понашања дати једновремено пошто опишемо и овај последњи облик понашања система који се означава као препригушени. Оно што се може приметити јесте да за разлику од потпригушених осцилација када је повећање коефицијента пригушења доводило до смањeња кашњења одговора система за улазом, у случају препригушеног система са повећањем коефицијента пригушења ово кашњење се повећава. Како је преломна тачка између ова два тренда за ζ=1, када је кашњење система другог реда минимално, тај случај се и означава као критично пригушен. Разлог томе је што у случају потпригушених осцилација експоненцијални члан у једначини 1.21 опада са порастом ζ, те се израз у загради брже ближи јединици, односно стационарној вредности Θ, док у случају препригушених осцилација први експоненцијални израз у једначини 1.23 расте са порастом ζ, те се читав израз у загради све спорије ближи јединици, односно стационарној вредности Θ. 39

15 Леп биолошки пример препригушеног система другог реда представља интеракција епидермалног фактора раста (ЕФР) и његовог мембранског рецептора (ЕФРР). Ефекти ЕФР су многи, и остварују се преко сложене мреже сигналних ланаца, али свакако најуочљивији од њих је индукција деоба циљних (епидермалних) ћелија. Утврђено је да постоји сигмоидална зависност интензитета митогеног одговора од концентрације лиганда (Слика 33 лево), али истовремено је утврђена линеарна веза између интензитета митогеног одговора и броја комплекса лиганд-рецептор у стационарном стању (Слика 33 десно). Слика 33. Ова чињеница указује да број лиган-рецептор комплекса у стационарном стању директно дефинише интензитет ћелијског одговора, док се информација о интензитету улазног сигнала (концентрација ЕФР) која за последицу има сигмоидалну везу између овог интензитета и ћелијског одговора, остварује кроз динамику везивања лиганда за рецептор и истовремену интернализацију самог рецептора. Наиме, за овај рецептор-лиганд систем (али и многе друге) сматра се да повећани интензитет интернализације рецептора за којег је везан лиганд има кључни значај за информисање ћелије о концентрацији одговарајућег хормона. С тога треба очекивати да додавање хормона изазове сигмоидални пораст броја концентрације везаних рецептора и да степен њихове интернализације треба да има кључан утицај на облик ове зависности. Да би се потврдила оваква хипотеза дефинисан је следећи модел на слици 34: Слика 34. Овај модел карактеришу следећи параметри: реверзибилно везивање лиганда за рецептор и добијање рецептор лиганд комплекса означеног са С са константом брзине везивања k on и константом брзине дисоцијације k off. Слободни рецептор и рецептор-лиганд комплек с с е интернализују у процесу ендоцитозе са константама брзине kt и k e. Новосинтетисани рецептори бивају инкорпорирани 40

16 у ћелиску мембрану брзином V R. V R се може одредити као производ броја рецептора у мембрани без присуства лиганда и константе брзине интернализације слободног рецептора, V R =R T k t. Улазна величина је промена концентрације лиганда у времену у екстрацелуларном простору запремине V, док је излазна величина промена броја рецептор-лиганд комплекса у ћелијској мембрани у времену, C(t). Како очекујемо сигмоидалну зависност, а разматрамо у суштини два процеса везивање лиганда за рецептор и његову интернализацију можемо очекивати да се систем може описати линеарном диференцијалном једначином другог реда, при чему би сигмоидална зависност подразумевала да је у питању препригушен систем. И заиста показано је да се систем у случају правоуглог улазног стимулуса може описати једначином 1.23, при чему су p 1 и p 2 дефинисани следећим изразом: 2 (1 ) 1 4 p1,2 (1.35) 2 где је β партициони коефицијент (коефицијент расподеле) који квантификује способност система да ендоцитозом интернализује комплекс рецептор лиганд пре но што лиганд дисосује од рецептора и дефинише се као: k e (1.36) koff док је γ специфични афинитет који квантификује способност рецептора да веже (ухвати) лиганд, и дефинише се као: k R on T koff NavV (1.37) Где је N av Авогадров број. По аналогији са дефиницијом p 1 и p 2 датом у вези са једначином 1.23 могу се повезати вредности β и γ са природном кружном фрекфенцијом и коефицијентом пригушења и то на следећи начин: n (1.38) 1 (1.39) 2 Симулација овог модела показује да у зависности од концентрације лиганда у спољашњем медијуму број рецептор-лиганд комплекса у ћелијској мембрани заиста расте према сигмоидалном закону, при чему степен пригушења расте са опадањем концентрације лиганда (Слика 35). 41

17 Слика 35. Да је овај ефекат првенствено последица повећане интернализације комплекса лиганд рецептор у односу на брзину интернализације слободног рецептора показује слика 36. на овој слици је приказан број рецептор-лиганд комплекса у мембрани у зависности од параметра опадања D, који се дефинише као: D=k e /k t. Повећање брзине интернализације комплекса k e, доводи до повећања D, што истовремено доводи до све мањег степена пригушења, односно кашњења одговора за стимулусом. Дакле повећање концентрације лиганда смањује кашњење одговора система кроз повећање брзине интернализације насталог комплекса лиганда и рецептора. Слика 36. Зависност промене концентрације везаног ЕФРР нормализоване на укупну концентрацију рецептора у мембрани (С* n )услед скоквитог пораста концентрације ЕФР од вредности параметра опадања. Ово се може поткрепити и ако се прикаже ефекат пораста D на природну кружну фрекфенцију и коефицијент пригушења (Слика 37). 42

18 Слика 37. Ефекат параметра опадања на вредности количника пригушења и природне кружне фреквенције. Све ове симулације су поткрепљене експерименталним резултатима. Приказани пример јасно показује како се помоћу адекватне примене системског приступа може продрети у механизам одговарајуће биолошке појаве, а потом на основу оваквих сазнања дефинисати експерименте који ће потврдити налазе добијене моделовањем и тако затворити круг сазнања једног биолошког процеса. Уз то постојање модела олакшава примену оваквих сазнања на друге, сличне системе. И заиста описани модел се може сматрати општим моделом који описује систем лиганд-мембрански рецептор. Да је то тако најбоље говори чињеница да је он веома успешно примењен на низ веома различитих лиганд рецептор парова и да је не само веома верно репродуковао њихову експериментално утврђену кинетику, већ је указао и на основне механизме њихове регулације и еволуционе притиске који су у складу са функцијом лиганд-рецептор пара довели до развоја оваквих регулационих механизама. Да би смо то илустровали поред ЕФР-ЕФРР пара размотрићемо резултате примене описаног модела на још четири лиганд рецептор пара: самф-самфр код слузаве гљиве Dictiostelium discoideum, виталогенин-виталогенински рецептор (VtgR) код жабе Xenopus laevis и трансверин-трансверински рецептор (ТfR) и LDL-LDLR код човека. Пет веома различитих рецептора од којих су ЕФРР и самфр сигнални рецептори, док су преостала три транспортни рецептори. У неповољним условима средине слободноживеће амебе врсте Dictiostelium discoideum почињу да луче самф у спољшњу средину. Када се овај молекул веже за самф рецептор у њиховој мембрани покреће се сложен сигнални механизам изазивајући осцилације самп у цитоплазми. У детаље процеса преноса сигнала нећемо улазити, али његови ефекти су огромни, јер једноћелијски организам мењају за свега неколико часова у вишећелијски (Слика 38). Наиме, све амебе у околини почињу да се синхронизовано крећу уз градијент концентрације самф при томе налећу једна на другу и повезују се преко гликопротеинских молекула у својим мембранама. Као резултат овог процеса и до амеба се могу повезати у структуру која подсећа на пужа голаћа и која је диференцирана на два региона главу и реп. Вишећелијска 43

19 структура се синхронизовано креће главом напред све док не дође на топло и суво место. Ту ћелије главе образују дршку а ћелије репа спорангију у којој се образују хаплоидне споре. Пуцањем спорангије споре се ослобађају и ако падну у повољне влажне и тамне услове развијају се у једноћелијске слободноживеће амебе. Због своје готово чудесне трансформације из једноћелијског у вишећелијски организам Dictiostelium discoideum је веома коришћен као модел у изучавању процеса настанка вишећелијске организације. Поред тога, овај организам се користи и као модел за изучавање хемотаксиса, јер кретање ка извесном хемијском стимулусу се налази у основи одвијања великог броја процеса какви су запаљенски процеси, зарастање рана, развој нервног система и метастаза тумора. Што се тиче преостала три рецептора, TfR везује за себе протеин трансверин, бива интернизован у процесу ендоцитозе и у киселој средини ендозома из трансверина се ослобађа гвожђе. Потом се читав комплекс рецептор-лиганд враћа у мембрану где се лиганд ослобађа и поново везује гвожђе. Дакле, овај рецептор има улогу у усвајању гвожђа од стране ћелија. LDLR по везивању LDL (low density lipoprotein) такође бива интернализован, али у лизозомима се ослобађа цео лиганд који даље бива разграђен снабдевајући ћелију холестеролом, неопходним састојком свих биолошких мембрана. Рецептор се потом враћа у мембрану. VtgR се налази у мембрани јајних ћелија птица, гмизаваца, риба и водоземаца и има улогу у транспорту протеина вителогенина из крви мајке у јајну ћелију. У јајној ћелији од вителогенина се образује чак 90% укупних протеина јајне ћелије (јајета). Tabela 1. Receptor k off (min -1 ) K D (nm) R T V (l) β γ ζ ω EGFR x10 5 1x TfR x LDLR x VtgR x x campr x У табели 1 су дати основни параметри модела за свих пет рецептора. Оно што се може видети јесте да ни један од одговора није осцилаторан односно потпригушен јер је количник пригушења није мањи од један. Поред тога количник пригушења је далеко мањи код сигналних него код транспортних рецептора, што је нарочито изражено код самфр где му је вредност 1, односно читав систем је критично пригушен. Вредности ζ једнаке или блиске јединици омогућавају да одговор система верно прати промене у концентрацији сигнала (и величину и брзину промене), односно да верно пренесе ћелији информацију која је у тој промени садржана. Како транспортни рецептори немају улогу у преносу информације брзина реакције није кључна за њих те отуд веће вредности ζ. Рецептор-лиганд системи се могу груписати и у односу на вредности коефицијента расподеле и специфичног афинитета и то у три групе. Прву чине LDLR и TfR, код којих је γ делеко мање од β, другу VtgR код којег је ситуација обратна и трећу ЕФРР и самфр, где су обе вредности мале и подједнаке. Однос величина ова два кофицијента дефинише начин регулације рецептор-лиганд система који има за циљ постизање његове максималне ефикасности. 44

20 Слика 38. Промена ефикасности рецептора услед пораста ванћелијске запремине у случају ЕФРР (А), TfR (B), LDLR (C), VtgR (D). Слика 39. Промена ефикасности рецептора услед пораста параметра опадања у случају ЕФРР (А), TfR (B), LDLR (C), VtgR (D). 45

21 У првој групи висока вредност β је условљена веома ниском вредношћу константе дисоцијације лиганд-рецептор система (табела 1, види јед. 1.36), па је с тога висока вероватноћа да ће овај комплакс бити интернализован пре но што се раскине. Ниска k off је последица чињенице да су и LDL и трансверин велики протеински молекули који са рецептором успостављају многе везе те је њихов контакт чврст и тешко се раскида. Веома ниска вредност γ је условљена малим бројем рецепторских молекула у мембрани у одсуству лиганда (R T, Табела 1, види јед. 1.37). ово је последица чињенице да је усвјање LDL и гвожђа само једна од потреба свих ћелија, при чему нити потребе за њима нити њихова доступност нису константни. С тога се ћелији не исплати да држи велики број рецептора у мембрани и тако расипа своје ресурсе. Имајући у виду да је γ делеко мање од β, то ће чак и мала промена γ довести до великих промена у ефикасности, док би тек значајно већа промена у β довела до сличног ефекта, с тога је за ћелију рационалније да ефикасност система повећа повећавајући γ. Да је то заиста тако показују симулације у којима се повећава ванћелијска запремина (Слика 38) чиме се смањује γ (јед. 1.37), или повећава константа интернализације k e (Слика 39), чиме се повећава партициони коефицијент (јед. 1.36), при чему се остали параметри не мењају и имају вредности као у табели 1. Повећање ванћелијске запремине смањује конценрацију лиганда па тиме и ефикасност његовог везивања односно специфични афинитет. Како се види са слике 38 повећање ванћелијске запремине доводи до драстичног успоравања интернализације лиганда као мере ефикасности рецепторског система код LDLR и TfR, док повећање k e, односно β (слика 39), практично нема ефекта. Ако се анализира израз за специфични афинитет (јед. 1.37), а имајући у виду да је број рецептора у мембрани релативно мали (табела 1) најефикаснији начин да се повећа γ, па тиме и ефикасност система је да се повећа број рецептора, како активирањем транскрипције одговарајућег гена, тако и убрзаном инкорпорацијом у мембрану већ синтетисаних протеина. И заиста је утврђено да се регулација ефикасности овог система врши на транскрипционом нивоу синтезе рецептора. Овакав начин контроле ефикасности система, пошто се заснива на повећању специфичног афинитета, се назива афинитетни. У случају VtgR вредност специфи;ног афинитета је огромна, што је последица огромног броја рецепторских молекула у ћелијској мембрани чак и у одсуству лиганда (Табела 1). Ово је последица чињенице да су јајне ћелије високо специјализоване и да је транспорт виталогенина од суштинског значаја за развој јајета. С тога се ћелији исплати да инвестира у велики број рецептора у мембрани, без обзира на количину супстрата, и на тај начин омогући његово максимално ефикасно усвајање, упркос неповољном односу површине преко које се ћелија пуни и запремине која се пуни у случају јајне ћелије. Како је R T огромно смањење γ услед повећања ванћелиске запремине као што се види на слици 38 неће имати никакав ефекат на ефикасност рада система, док ће повећање интернализације рецептор лиганд комплекса (k e ) довести до брзог и значајног повећања ефикасности (Слика 39). Дакле у случају VtgR ефикасност се повећава повећањем интернализације рецептор лиганд комплекса, с тога се овакав тип контроле ефикасности назива конзумни. Овде треба рећи да повећање интернализације није последица везивања лиганда, јер се баш као и код претходна два транспортна рецептора и везани и невезани рецептор интернализују истом брзином, но за разлику од њих код VtgR је показано да 46

22 деловање одговарајућих хормона може веома значајно повећати брзину интернализације. Анализа слика 38 и 39 показује да у случају ЕФРР промене и специфичног афинитета и коефицијента расподеле имају значајан ефекат на ефикасност рада пошто су обе величине мале и подједнаке. С тога се овакав начин регулације назива двојна осетљивост. Међутим, шта за систем повољније да повећа у циљу повећања ефикасности рада, β или γ? Да би смо дали одговор на ово питање графички ћемо приказати поменуте рецепторлиганд системе у β γ простору при чему је део простора са доминантном афинитетном контролом ограничен линијом дуж које је осетљивост на промене γ два пута веће него осетљивост на промене β (горњи леви квадрант), део простора са доминантном конзумном контролом линијом дуж које је осетљивост на промене β два пута веће него осетљивост на промене, γ, док се између ове две линије налази подручје двојне осетљивости. Поред тога као меру ефикасности система ћемо увести релаксациону временску константу τ, која је обрнуто пропорционална ефикасности система и производу β и γ. С тога она опада идући од горњег десног угла ка доњем левом углу графика, што је представљено променом боја линија дуж којих τ има исту вредност од плавих ка црвеним. Паралелно са опадањем τ расте ефикасност. Како је прави пут увек и најкраћи, то је најрационалнији начин да се повећа ефикасност система да се он помери у правцу нормалном на изо- τ линије, наравно у смеру опадања τ. У случају LDLR и TfR то је као што смо већ показали повећање γ, односно хоризонтални померај, а у случају VtgR повећање β, односно вертикални померај. У случају система ЕФРР ЕФР, график нам указује да је најефикаснији начин дијагонални померај, односно истовремено повећање и β и γ. Слика 40. Утицај специфичног афинитета (γ) и коефицијента расподеле (β) на ефикасност рада рецепторских система. 47

23 Коефицијент расподеле се може повећати или повећањем k e, или смањењем k off. Како је је ЕФР мали молекул и у односу на велике лиганаде три транспортна рецептора остварује много мањи број веза са рецептором, то је смањење k off веома ограничено. То није случај са интернализацијом рецептор лиганд комплекса (k e ), те је то прави начин за повећање, што слика 39 и показује. Међутим, уколико као код транспортних рецептора ћелија не би правила разлику између интернализације слободног и заузетог рецептора то би истовремено довело и до повећања интернализације слободног рецептора (k t ) а самим тим и до опадања броја слободних рецептора у мембрани (R T ) односно до пада специфичног афинитета. Да би се то избегло у току еволуције су развијени механизми потпуно одвојене регулације ендоцитозе слободног и заузетог рецептора, што је омогућило да се у одговору на повећање концентрације лиганда ефикасност система брзо повећа истовременим повећањем ke и смањењем k t. Истовремено, за разлику од транспортних рецептора где је контрола ефикасности независна од лиганда већ условљена деловањем хормона и фактора раста, односно потребама организма, код сигналних рецептора она је искључиво лиганд регулисана што и омогућује веома брзу и прецизну реакцију система на промену концентрације лиганда па тиме и верно преношење информације која је у тој промени садржана. На овом примеру смо јасно показали способност системског приступа да систематизује велики број експерименталних података и издвоји из њих суштину, стварајући на тај начин нови квалитет, односно ново знање. То би био крај разматрања улоге математичког језика у системској анализи. На следећем часу ћемо нешто више рећи о начину како се графички и математички језик могу функционално повезати како би олакшали и квалитативно унапредили примену сваког од њих понаособ у решавању проблема системске биологије. 48