Испитвање тока функције

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Испитвање тока функције"

Transcript

1 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном систему, те да се на основу добијених резултата нацрта график те функције. Дакле потребно је испитати: (1 ДОМЕН (област дефинисаности ФУНКЦИЈЕ ( АСИМПТОТЕ И ТАЧКЕ ПРЕКИДА ( ПАРНОСТ (И ПРЕИОДИЧНОСТ (4 НУЛЕ И ЗНАК ФУНКЦИЈЕ (5 МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ (6 КОНВЕКСНОСТ; КОНКАВНОСТ; ПРВОЈНЕ ТАЧКЕ На основу добијених резултата нацртати: (7 ГРАФИК ФУНКЦИЈЕ У примеру који следи биће детаљно описан поступак испитивања тока функције као и сва потребна теоретска објашњења за горе наведене ставке, почев од ДОМЕНА ФУНКЦИЈЕ до ГРАФИКА ФУНКЦИЈЕ. Кључну улогу код испитивања ТОКА ФУНКЦИЈЕ има решавање једначина и неједначина, наиме, помоћу њих ми испитујемо: ДОМЕН и НУЛЕ И ЗНАК ФУНКЦИЈЕ. Треба свакако нагласити да нуле и знак испитујемо три пута. Први пут испитујемо нуле и знак финкције f ( Други пут испитујемо нуле и знак функције f МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ Трећи пут испитујемо нуле и знак функције f КОНВЕКСНОСТ; КОНКАВНОСТ; и ПРЕВОЈНЕ ТАЧКЕ. да бисмо одредили да бисмо одредили ПРИМЕР: ИСПИТАТИ ТОК И НА ОСНОВУ ДОБИЈЕНИХ РЕЗУЛТАТА НАЦРТАТИ ГРАФИК ФУНКЦИЈЕ: f. 1

2 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( 1 Домен (област дефинисаности функције Домен функције је скуп ова за које је израз y f дефинисан т.ј. треба одредити скуп ова за које је могуће израчунати израз Овде ћемо решити дати пример. Ако желите да сазнате више кликните на: ( додатни примери >> Дата функција f је дефинисана за све вредности за које је именилац различит од нуле, односно: речима: ± Дакле домен функције је: D f (, (, (, +. Другим Дата функција је дрфинисана за (, (, (, +. Шта нам говори добијени резултат? Овај резултат нам говори да се график функције налази у осенченом делу координантног система приказан на следећој слици: ( Повратак на почетак >>

3 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( Асимптоте функције: Асимптота је права која према некој кривој заузима такав положај да јој се та крива стално ''приближава'' а никад је не сече. Права у координантном систему може да буде; вертикална; хоризонтална; или коса; Те праве као и њихове једначине приказане су на следећој слици:

4 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 У том смислу, треба размотрити постојање вертикалне, хоризонталне и косе асимптоте. Вертикална асимптота: lim f ± онда је права Ако је a a вертикална асимптота. НАПОМЕНА: ''Кандидати'' за број a у претходном лимесу су тачке прекида или крајеви интервала из домена функције, што значи да вертикалних асимптота може постојати и више о једне. Хоризонтална асимптота: lim f b онда је права y b хоризонтална асимптота. Ако постоји 4

5 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Коса асимптота: Ако постоје лимеси: k f lim и lim n f k онда је права y k+ n коса асимптота. НАПОМЕНА: Хоризонтална и коса асимптота се међусобно искључују (ако постоји хоризонтална онда не постоји коса асимптота и обрнуто, тачније, хоризонтална асимптота је специјалан случај косе асимптоте код које је k односно хоризонтална асимптота има једначину: y + n. Испитајмо асимптоте дате функције: f ''Вертикална Асимптота''. Пошто имамао две тачке прекида: ( и, то значи да треба испитати граничне вредности функције за обе тачке: Закључак: Права ( је вертикална асимптота lim f lim 5

6 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 lim f lim Закључак: Права је вертикална асимптота. НАПОМЕНА: У овом примеру нисмо испитивали ( леви и десни лимес >>, јер сазнање о томе да ли дата функција тежи ка ( + или односно ћемо имати кад испитамо ''ЗНАК ФУНКЦИЈЕ''. ( Како се израчунава леви и десни лимес за овај пример можете погледати: << ОВДЕ >> ''Хоризонтална асимптота'' 1 lim lim lim 1 f lim 1 Закључак: Не постоји хоризонтална асимптота ( јер је lim f. ''Коса асимптота'' lim f lim lim lim k 1 lim 1 lim 1 k ( у околини тачке lim lim ( 1 lim n f k + + ( + lim lim lim lim lim Закључак: Права y n односно y је коса асимптота. ( додатни примери >> ( << Назад ( << Повратак на почетак >>

7 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( Парност функције: Дефиниција: Функција у f( je парна (симетрична у односу на у-осу ако је: f ( f Дефиниција: Функција у f( je непарна (симетрична у односу на координантни почетак ако је: f ( f 7

8 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитајмо парност дате функције: f ( ( f ( f f f Закључак: Дата функција је непарна. ( Ако желите да сазнате више кликните на додатни примери >> ( << Повратак на почетак >> ( 4 Нуле и знак функције: Треба одредити скуп вредности за које је: f ( ; односно f ( > ; односно f ( <. Дакле треба решити једначину: f ( (нуле-функције и неједначине: f > f < (знак функције Испитајмо нуле и знак дате функције f ''нуле функције'' f Дакле, f ( за НАПОМЕНА: ''нуле функције'' представљају тачке у којима график функције пресеца -осу 8

9 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ''знак функције'' Треба решити неједначине: f ( > односно f ( <. Обе ове неједначине ћемо решити помоћу табеле. ( детаљно о решавању неједначина помоћу табеле >> Прво треба раставити на чиниоце бројилац и именилац разломка у датој функцији: f + Формирајмо табелу: ( f ( + + Закључак: f > за (, (, f ( < за (, (, + ( Добијени резултати нам говоре да грагик функције пресеца осу у тачки, а да се график налази у неосенченом делу координантног система чији је приказ на следећој слици 9

10 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( << Повратак на почетак >> ( додатни примери >> 1

11 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( 5 Монотоност и екстремне вредности: 1 Дефиниција: Нека је на интервалу ( ab, дефинисана функција y f ( a b,, из пртпоставке да је 1 кажемо да је функција y f монотоно растућа. Ако из исте претпоставке да је 1. Ако за било које < следи да је f ( f ( кажемо да је функција y f монотоно опадајућа. < онда 1 < следи да је f ( f ( > онда 1 Како је ''извод функције у тачки '', '( једнак коефицијенту правца тангенте конструисане и тачки (, односно, f '( k f ( у геометријском смислу T f,, то имамо да од положаја тангенте зависи раст функције. Наиме, ако је тангента у посматраној тачки растућа онда је и сама функција у посматраној тачки растућа, а ако је тангента опадајућа у посматраној тачки онда је и сама функција опадајућа у опсматраној тачки. Пошто је тангента права чија је једначина y k+ n, односно, y f ' + n, то долазимо до следећег закључка: Ако је f '( > онда је функција y f ознака: f или y Ако је f '( < онда је функција y f ознака: f или y Ако је f '( онда функција y f 11 растућа у тачки опадајућа у тачки у тачки нити расте нити опада. Наиме, она у тој тачки може ( а не мора да има ексремну вредност (максимум или минимум

12 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Дакле, потребан услов да функција y f има екстрмну вредност у тачки је да је f ' међутим он није и довољан услов. ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ПОСТОЈАЊЕ ЕКСТРЕМА ФУНКЦИЈЕ: Нека је дата функција y f непрекидна у тачки и нека она у тој тачки има први и други извод и нека је f '( : Ако је f ''( < (други извод онда функција y f максимум. Ако је f ''( > (други извод онда функција y f минимум. Ако је f ''( (други извод онда функција y f у тачки има у тачки има у тачки нема екстремну вредност. (у том случају функција у тачки има превојну тачку Претходно разматрање приказано је на следећој слици: 1

13 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитајмо монотоност и екстремне вредности дате функције f. Код испитивања монотоности и екстремних вредности, ми заправо треба да одредимо f ' дате функције а онда, практично, да испитамо ''нуле и знак'' први извод функције f '(. f ' f ' ( ( + ( Сада треба испитати ''нуле и знак'' функције: f ' ( ( + ( ( ( + f ' ( Добили смо ''стационарне тачке'': ; ;. 1 Карактер тих тачака ћемо утврдити помоћу другог извода f "(. Одредимо сада други извод f "( : 1

14 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 4 ( ( + ( 9 9 f " ( f ' ( ( ( f " 4 4 ( 9 ( ( 9 ( 4 ( ( 18 4 ( ( 9 4 ( ( 4 ( ( 18 4 ( ( 9 4 ( ( 4 ( 4 ( ( 9 ( ( ( 4 4 ( ( + ( ( + ( ( ( + ( << повратак на Конвексност; конкавност;... Утврдимо сада карактер стационарних тачака: ; ; Треба, дакле, одредити: f ( ; f ( ; f ( 1. 1 ; па на основу ''знака'' добијених резултата утврдити која од тих тачака представља екстремну вредност а која не. ( + ( 69 f f Пошто је: f минимум. 1 дата функција у тачки 1 нема ни максимум ни 14

15 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( + ( ( f ( f Како је: f < Одредимо координате тог максимума: Дакле, y ma y ma f дата функција у тачки има максимум. 1 за, а тачка E 1 ; 4 ( ( ( f ( f ( представља тај максимум. Пошто је: f ( f ( > дата функција у тачки минимум. Одредимо координате тог минимума: Дакле, y ( ( f ( 4 6 min min 1 4 y за, а тачка 1 E ; 4 има представља тај минимум. Сада треба испитати монотоност, односно, испитати ''знак функције'' f ' ( ( + (. Формирајмо табелу: 15

16 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/ ( f f ( Закључак: f за ( ; ( ; ( ; f за ( ; ( ; + ( << Повратак на почетак >> 16

17 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( 6 Конвексност; конкавност; превојне тачке: Функција је конвексна на интервалу ( ab, ако се њен график налази испод тангенте конструисане у било којој којој тачки тог интервала. Ако се график налази изнад тангенте конструисане у било којој тачки интервала ( ab, онда је функција конкавна на том интервалу. Теорема: Нека је функција y f непрекидна на интервалу (, извод за ( ab, интервалу. интервалу., тада важи: Ако је f > за ( ab, онда је функција y f Ако је f < за ( ab, онда је функција y f Ако је f ( за неко ( ab онда функција y f превојну тачку., ab и нека она има први и други конкавна на том конвексна на том у тачки има 17

18 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитајмо конвексност; конкавност и превојне тачке дате функције: f Искористићемо већ добијене резултате за ''други извод'' из петходне тачке ( << монотоност и екстремне вредности Дакле, f... ( ( + f f ( + ( ( ( ( + Прво ћемо одредити првојне тачке а то значи да треба да решимо једначину: 6( 9+ f ( + Дакле, функција f 6 9+ (пошто је 9+ > за свако 6 има превојну тачку за. Израчунајмо f да бисмо одредили у координати превојне тачке P. f То значи да је превојна тачка P (,. Сада треба испитати ''знак'' функције: испитали ковексност и конкавност. y ( ( ( + да бисмо 18

19 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Формирајмо табелу: f + + f ( конкавна конвексна конкавна конвексна Дакле: Дата функција је конвексна за (, (, + Дата функција је конкавна за (, (, Првојна тачка је P (,. Добијени резултати се могу видети на графику >> : 19

20 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ( 7 График функције: ( << Повратак на почетак >>

21 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ДОДАТНИ ПРИМЕРИ: (А НАЈЧЕШЋИ ПРИМЕРИ за ДОМЕН ФУНКЦИЈЕ: Израз са разломком: (Именилац разломка мора бити различит од нуле (... Пример 1: + 1 Одредити домен функције y + Решење: + раставимо на чиниоце израз на левој страни неједнакости: ( ( ( 1( ( повратак на Пример >> Домен функције је: D { R 1 } f или другачије записано: D (, (, (,1 ( 1, + Графички приказ домена функције: f Дакле: функција y f је дефинисана за (, (, (,1 ( 1, + Шта нам говори добијени резултат? То нам говори да се график функције налази у осенченом делу координантног система који је приказан на следећој слици: 1

22 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 (Б Израз са парним кореном: (Израз који се налази под кореном мора бити ненегативан (... Пример : Одредити домен функције: y Решење: У овом примеру имамо два услова која мора да задовољи домен функције. Прво, израз под кореном мора бити ненегативан, друго, израз у имениоцу мора бити различит од нуле Израз + 1 за R. Неједначину + ћемо решити помоћу табеле

23 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Најпре треба раставити на просте чиниоце израз + ( 1( + I I + : ( поступак за растављане на чиниоце израза I( показан је у Примеру 1 >> Сада све добијене чиниоце поређати у табелу (у прву колону: (Бројеви: (-; ; 1; који се налазе у првом реду изнад табеле, представљају ''нуле - полинома'' ( +; ; (+1; редом У сваки ред табеле у одговарајућим пољима (интервалима уписати знак ( + где је полином (из тог реда позитиван, односно знак ( где је полином негативан. У последњем реду табеле је израз I( ; у тим пољима (интервалима уписати одговарајуће знакове ( + или ( који се добију као ''резултат множења'' одговарајућих ''знакова'' који се налазе у тој колони изнад посматраног поља (интервала ( I( + + Скуп решења наше неједначине + су сви интервали у последњем реду табеле који су означени знаком ( + укључујући и крајеве тих интервала (јер решавамо неједначину у којој имамо ''... '' т.ј. скуп решења је: [ ; ] 1; + Како је скуп решења неједначине скуп решења неједначине + 1 читав скуп реалних бројева R, а + је [ ; ] 1; + то је домен функције y ( ; 1; [ ;] 1; : D R [ ] f + +

24 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Дакле: Функција y је дефинисана за [ ; ] 1; +. График ове функције налази се у осенченом делу координантног система. (В Израз са логаритмом: (израз који се логаритмује мора бити строго већи од нуле (... > Пример : Одредити домен функције: y ln 4 Решрње: Дата функција је дефинисана за свако х за које је: > 4 Да бисмо решили ову неједначину потребно је да реставимо на просте чиниоце изразе: и 4 : 4

25 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Квадратни трином се може раставити на чиниоце помоћу формуле: A + B+ C A( ( 1 Израз разлика квадрата: 4 се раставља на чиниоце као , 1, A 4; B 19; C 1; B± B 4AC A 19 ± ( ( 4 19 ± , 8 19 ± 169 1, 8 19 ± 1 1, ; ; ; ( 4 4 Дакле, ми сада решавамо неједначину: 4( 4 4 > ( ( + 5

26 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Формирајмо табелу: ( I( + + Скуп решења неједначине је:, (, 4 4 односно: D, (, 4 f 4 Дакле: Функција y ln је дефинисана за, (, График ове функције налази се у осенченом делу координантног система: ( << Назад ( << Повратак на почетак >> 6

27 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ПРИМЕРИ за АСИМПТОТЕ ФУНКЦИЈЕ Леви и десни лимес: lim f a Ако испитујемо, онда можемо посматрати понашање функције f ( кад тежи ка a с лева и кад тежи ка a с десна. Због тога ћемо узети произвољну околону f у интервалу ε тачке a, то јест посматраћемо понашање функције ( a ε, a+ ε где је функције f ( као lim f а десни лимес функције f ( као lim f ε > произвољно мали број. Сда можемо дефинисати леви лимес a ε a+ε. Дакле ми сада леви лимес израчунавамо као: lim f lim f a ε... a ε ε Односно десни лимес израчунавамо као: lim f lim f a+ ε... a+ ε ε Где је ε > произвољно мали број. Узмимо неки конкретан пример: Пример 4: Одредити леви и десни лимес функције f а ( б 7 у околини тачке:

28 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 решење: а Леви лимес: ( ε ε ( ε ( + ε + ε ε ( ( ε + ε 9 ( ε ( ε + lim lim lim ε ε + + 9ε + ε + ε + 9ε + ε + ε lim lim ε ε ε + 9ε + ε + ε + 9ε + ε + ε lim lim ε ε ε + ε Десни лимес: ( + ε ( ε ε ε ε ( + ε ( ε + ε ( 9ε ε ε ( 9ε ε ε lim lim lim + + lim lim ε + ε ε ε ε ε б Леви лимес: ( ε ε ( ε ( ε lim lim ε ε 9ε + ε ε 9ε + ε ε + + ε ε lim lim ε ε

29 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Десни лимес: + ε ( ε + ε ( + 9 ( ε ( ε ε ε + ε + ε + ε lim lim lim ε ε ε + ε + ε + 9ε + ε + ε lim lim ε ε ε ε ε ε + 9ε + ε + ε lim ε ( << Назад ( << Повратак на почетак >> Пример 5: 5+ 7 Одредити асимптоте функције: y. Решење: Прво треба одредити ''домен функције'' да бисмо установили постојање тачака прекида: Дакле: D (, (, + f. Вертикална асимптота: lim f lim Права је вертикална асимптота. Хоризонтална асимптота lim f lim lim lim Не постоји хоризонтална асимптота. ( јер је lim 1 + f

30 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Коса асимптота: 5+ 7 f lim lim + + k lim lim ( lim 1 + lim k n lim f k lim 1 lim lim n lim lim 1 Права y 1 1 +, односно, y је коса асимптота. Добијени резултати су приказани на графику: ( << Назад ( << Повратак на почетак >>

31 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Пример 6: 4 Одредити асимптоте функције: y 1 Решење: Одредимо домен функције, како би утврдили постојање тачака прекида. 1 1 ± 1 Дакле, D (, 1 ( 1,1 ( 1, + f Вертикална асимптота: ( 4 1 ε 4 1+ ε + ε 4 + ε + ε lim lim lim lim ε ε ( ε 1 ( 1+ ε + ε ( ε ε ε ε ( ε ε ε ε ε 1 ε ε ε ε lim lim ε ( ε 4 1 ε + ε 4 ε + ε lim lim lim ε ε ( ε 1 ( 1 ε + ε 1+ ε ε ε ε + ε + lim ε ε ε ( 4 1 ε 4 1 ε + ε 4 ε + ε lim lim lim lim ε ε ( ε 1 ( 1 ε + ε 1 ε ε ε ε ε + ε + lim ε ε ε 4 1+ ε 4 1+ ε + ε 4 + ε + ε lim lim lim ε ε ( ε 1 ( 1+ ε + ε ( ε ε ( ε + ε + 1 ε ε ε + ε + ε ε ε lim lim lim + ε ε ε ε ε ε + ε Праве ( 1 и 1 су вертикалне асимптоте. 1

32 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Хоризонтална асимптота: lim lim lim Права y ( 1 је хоризонтална асимптота. ( << Назад ( << Повратак на почетак >> ПРИМЕРИ за ПАРНОСТ ФУНКЦИЈЕ: Пример 7: Испитати парност функције: 1 a y 4 + b y + c y Решење: 1 ( 1 a f ( f Функција је парна. b ( ( f f Функција је непарна. c + f ± f + Функција није ни парна ни непарна. ( << назад ( << Повратак на почетак >>

33 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 ПРИМЕРИ за НУЛЕ И ЗНАК ФУНКЦИЈЕ Пример 8: Одредити нуле и знак функције: y y Решење: ''нуле функције'' ( ( ( 5 5 :( ( 1 ( 1 5 ( ( Дакле, y за: 1 или или 5. 1 НАПОМЕНА: ''нуле функције'' представљају тачке у којима график функције пресеца -осу. ''знак функције'' Треба решити неједначине: y > и y <. Кад се неједначина решава помоћу табеле онда се у тој табели добијају решења за обе поменуте нејадначине. Дакле, решавамо неједначине: > и < 9 9 Кад ове изразе раставимо на чиниоце добијамо неједначине: ( + 1( 5 ( + 1( 5 > односно < + +

34 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Формирајмо табелу: y Дакле, y > за (, 1 (, ( 5, + y < за (, ( 1, (,5 Шта нам добијени резултати говоре? График функције се налази у неосенченом делу координантног система а -осу пресеца у тачкама: 1; ; и 5, што је приказано на следећој слици: ( << Назад ( << Повратак на почетак >> 4

35 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 РЕШАВАЊЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ ПОМОЋУ ТАБЕЛЕ Кад решавамо неку ''компликовану'' неједначину I( > или I( < онда обе ове неједначине можемо решити помоћу табеле коју формирамо на следећи начин: Прво: Израз I( раставимо на просте чиниоце, рецимо: I Q1 Q Q... Qn Друго: Одредимо нуле сваког од добијених чинилаца, то јест решимо једначине: Q ; Q ; Q ;... Q ; 1 Нека су сва добијена решења: 1; ; ;... m (Напоменимо да број решења не мора да буде п јер не мора свака од једначина да има решење Треће: Поређајмо све добијене чиниоце: ; ; ;... ; n Q Q Q Q I у 1 прву колону табеле. Четврто: У ред изнад табеле поређајмо: ; 1; ; ;... ; почев од најмањег до највећег (овде смо претпоставили да је 1 < < <... < m m n + по величини Та табела изгледа овако: - 1 Q1 (... Q (... Q (... m Qm (... I(... Сада у празна поља у сваком реду табеле уписујемо знак ( + или ( у зависности од тога да ли је одговарајући израз Qi Коначно, у последњем реду уписујемо знак ( + или ( као резултат у одговарајућиј колони. Узмимо неке конкретне примере: ( << Назад позитиван или негативан. 5

36 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Пример 9: Решити неједначину: Решење: > Раставимо на просте чиниоце израз: Дакле, дата неједначина је еквивалентна са неједначином: ( 5 ( 5+ ( ( + ( + 4 > Одредимо нуле добијених чинилаца, то јест решимо једначине: ( ( + 4 ( нема реална решења Формирајмо табелу: I( Дакле, скуп решења дате неједначине (, 5 (, (, ( << Назад ( << Повратак на почетак >> 6 > је:

37 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Пример 1: Решити неједначину: Решење: + > 4+ Најпре треба дату неједначину довести на облик: I( > + > > ( 4+ > > > 4+ Раставимо на чиниоце дати израз: ( 7+ 6 > + ( 4+ 6 > 1 1 ( ( ( 1( ( ( > ( 1( > ( ( ( 1( > : Напомена Ако решимо неједначине ( уместо одговарајућих једначина : > > > > 1> > 1 > > тиме смо добили информацију где треба писати знак ( + у наредној табели као и бројеве које треба уписати у први ред изнад табеле: 7

38 Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Формирајмо табелу: I( Скуп решења дате неједначине је: + (,1, (, ( << Назад ( << Повратак на почетак >> 8

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

krugdoo@sbb.rs www.krugizdavackakuca.rs Реч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час коригованих примедбама рецензената. Не представља обавезујући документ већ сваки наставник треба да је прилагоди

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015. Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014. Садржај Предговор 4 1. Уводни део 5

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Координатни системи у физици и ОЕТ-у

Координатни системи у физици и ОЕТ-у Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН- 1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти

Διαβάστε περισσότερα

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Бојана Јанковић ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Мастер рад Нови Сад, 2012. године САДРЖАЈ Предговор...

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда

Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда Основни ниво од до 6 од 5 до 56 од 58 до 59 од 6 до 6 од 65 до 66 69 од 76 до 00 од 08 до 0 од 6 до 9 Средњи ниво од до 8 40 од 66 до 7 од 7 до

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање вредности Планкове константе

Одређивање вредности Планкове константе Одређивање вредности Планкове константе Увод Посебна врста полупроводничких диода су LED диоде (Light Emitting Diode). Ове диоде емитују светлост када су директно поларисане. Појава емисије инфрацрвене

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

ПРИРУЧНИК ЗА УПОТРЕБУ СОФТВЕРСКОГ АЛАТА LtSpice СА ПРИМЕРИМА

ПРИРУЧНИК ЗА УПОТРЕБУ СОФТВЕРСКОГ АЛАТА LtSpice СА ПРИМЕРИМА ПРИРУЧНИК ЗА УПОТРЕБУ СОФТВЕРСКОГ АЛАТА LtSpice СА ПРИМЕРИМА Aлександар Пеулић Ђорђе Дамњановић Чачак, Август 2015 Building Network of Remote Labs for strenghthening university- secondary vocational schools

Διαβάστε περισσότερα

Aлати и основне функције

Aлати и основне функције Bежба 1 Aлати и основне функције 1.1. КАКО ПОЧЕТИ РАД У MATLAB У MATLAB се дистрибуира у компримованом формату на CD-овима. Инсталацијом, датотеке са ових CD-ова премештају се на диск, декомпримују се

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ Рампа представља косу подземну просторију која повезује хоризонте или откопне нивое, и тако је пројектована и изведена да омогућује кретање моторних возила. Приликом пројектовања рампе

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЧЕТРНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 1

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево)

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево) ОДРЕЂИВАЊЕ ПАРАМЕТАРА КРИСТАЛНЕ РЕШЕТКЕ МЕТОДОМ КРИСТАЛНОГ ПРАХА, ДЕБАЈ ШЕРЕРОВ МЕТОД ТЕОРИЈСКИ УВОД У параметре кристалне решетке убрајају се дужине ивица кристалне ћелије: a, b и c и дужина међураванског

Διαβάστε περισσότερα

1. Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код г) Не знам

1. Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код г) Не знам . Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код. Од наведених цифара, бинарном бројном систему не припада цифра: а) б) в) 0 3. Од наведених знакова, не представља

Διαβάστε περισσότερα

Вежба Графика У Octave постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој вежби

Διαβάστε περισσότερα

1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће''

1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће'' ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће'' 1. УВОД Зашто су краљевићи и царевићи од античких па до наших времена имали своје приватне учитеље математике? Зашто

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД. Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене. Филип Радуловић

МАСТЕР РАД. Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене. Филип Радуловић Математички факултет Универзитета у Београду МАСТЕР РАД Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене Филип Радуловић Београд 2014. Ментор: Чланови комисије: проф. др. Александар Јовановић проф. др. Александар

Διαβάστε περισσότερα

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад Универзитет у Београду Математички факултет МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад студент: Данка Николић ментор: доцент др Небојша Икодиновић Београд, 2016. Садржај Предговор... 1 1. Уводни

Διαβάστε περισσότερα

Драги ученици, драге ученице

Драги ученици, драге ученице РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE

СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Марија Сретеновић СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE Мастер рад Нови Сад,. Садржај СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА

Διαβάστε περισσότερα