MATEMATIKA APLIKÁCIE PRE FYZIKU 1

Transcript

1 VYSOKOŠKOLSKÉ SKRIPTÁ PEDAGOGICKÁ FAKULTA TRNAVSKEJ UNIVERZITY V TRNAVE Miroslv Ožvoldová MATEMATIKA APLIKÁCIE PRE FYZIKU TRNAVA

2 doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Recenzenti: doc RNDr Mári Lucká, CSc doc RNDr Dniel Hriciščáková, CSc Pedgogická fkult Trnvskej univerzit v Trnve ISBN

3 OBSAH Predslov ČÍSELNÉ MNOŽINY Úvod Gli čísiel7 Komplené čísl ich geometrická interpretáci9 RIEŠENIE VYBRANÝCH ROVNÍC A NEROVNÍC6 Úprv lgerických výrzov6 Lineárn kvdrtická rovnic Rovnice nerovnice s solútnou hodnotou7 Aplikáci vužiti rovníc vo fzike POLYNÓMY A ALGEBRICKÉ ROVNICE8 Úvod do polnómov8 Algerické rovnice ich zápis v tvre koreňových činiteľov Algerické rovnice s reálnmi koeficientmi9 Hornerov schém Vužitie interktívnch simulácií n riešenie lgerických rovníc6 ZÁKLADY VEKTOROVEJ ALGEBRY6 Fzikálne vektorové veličin6 Vektorový priestor69 Súčin medzi vektormi77 MATICE87 Pojem mtice87 Operácie s mticmi97 Výpočet inverznej mtice pomocou Gussovho lgoritmu 6 DETERMINANT MATICE 6 6 Determinnt mtice výpočet determinntu mtice druhého tretieho stupň6 6 Výpočet determinntu stupň n, pre n > 6 Inverzná mtic 7 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC6 7 Sústv lineárnch rovníc definíci, pojm7 7 Riešenie sústv n-lineárnch rovníc o n-neznámch9 7 Riešenie sústv m-lineárnch rovníc o n-neznámch - Froeniov vet8 7 Riešenie sústv lineárnch rovníc s prmetrom 8 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 8 Zákldné pojm 8 Niektoré vlstnosti funkcií8 8 Grf vrných funkcií6 8 Limit funkcie7

4 9 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ8 9 Spojitosť funkcie8 9 Deriváci funkcie jednej premennej, jej fzikáln geometrický význm8 9 Prvidlá n výpočet derivácie funkcie9 9 Derivácií všších rádov funkcie jednej premennej96 9 Výpočet limít pomocou derivácií L Hospitlovo prvidlo98 96 Monotónnosť funkcie etrém funkcií 97 Prieeh funkcie7

5 Predslov Pri vstupe n vsokú školu pre jej ezprolémový prieeh nie sú znedteľné vedomosti, ktoré študent ndoudol n strednej škole Mtemtik v mnohých prípdoch roí študentom nemlé prolém, pretože študenti prichádzjú s rôznmi úrovňmi vedomostí, podľ tpu solvovnej strednej škol A sme študentom uľhčili nástup n vsokoškolské štúdium jeho zvládnutie v zčitkoch štúdi priprvil som predložený študijný mteriál, ko učenú pomôcku Smozrejme nevlučuje s smoštúdium z iných, študentom vrných literárnch prmeňov Elektronické skriptá pre predmet Mtemtik plikácie pre fziku sú prvou čsťou zo súoru pokrývjúce sl predmetov Mtemtik plikácie pre fziku Nkoľko s jedná o úvodnú čsť predmet, ktorý zčín v prvom ročníku v zimnom semestri, sústredili sme s n nevhnutnú teóriu s určitými ukážkmi konkrétnch fzikálnch plikácií Ich počet s ude môcť postupne zvšovť n záklde získného teoretického zákldu Tetje rozdelený do desitich kpitol, podľ temtického zmerni čsového hrmonogrmu Okrem stručnej teórie je doplnený hojným počtom riešených príkldov (celkove 6), ktoré študentom odporúčme smosttne preriešiť nhlidnuť n riešenie ž v prípde, k nstnú prolém v smosttnom riešení Správnosť pochopeni teórie zvedených pojmov si študent môže preveriť odpoveďmi n kontrolné otázk, ktoré sú rovnko ko j úloh uvedené n konci kždého prgrfu, v celkovom počte Zákld vidíme v zvládnutí mtemtických zručností vedomostí pri: - práci s číselnými množinmi s komplenými číslmi; - úprve lgerických výrzov s vužitím zákldných vzťhov vzorcov, ko i riešení vrných rovníc nerovníc i s solútnou hodnotou; - hľdní koreňov lgerických rovníc; - zákldných operáciách s vektorovými veličinmi, reprezentovnými v geometrickom modeli orientovnou úsečkou v ritmetickom modeli mticmi Nučiť s prcovť s vektorovými rovnicmi, ko i pochopiť význm sklárneho vektorového súčinu vo fzike; - operáciách s mticmi determinntmi; - riešení sústv lineárnch rovníc; - vužívní zákldných elementárnch funkciách jednej premennej ich diferenciálneho počtu vo fzike Nkoľko dorý študijný mteriál vzniká postupne elektronické skriptá je možné ľhšie inovovť, pripomienk doplnk zo strn čitteľ rd uvítm n drese mozvoldo@trunisk Ďkujem z pomoc pri ich vlepšovní Autork

6 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc KAPITOLA ČÍSELNÉ MNOŽINY Učené ciele: Zvládnuť prácu s číselnými množinmi; Sstém reálnch čísiel, operácie, vlstnosti prác n množine reálnch čísiel; Zručnosti v práci s operácimi s reálnmi komplenými číslmi s výrzmi Kľúčové slová: Množin, reálne komplené čísl, úprv lgerických výrzov Poždovné vedomosti: Znlosť stredoškolskej mtemtik z olsti množín, zákldných vzťhov úprv výrzov Motiváci Orázok : Hodin pre udúcich klárov Otázk : Prezentujú hodin n orázku správne údje hodín? Preverte! Otázk : Koľko prirodzených čísiel možno nájsť n hodinách v dných zápisoch? A) B) C) ni jedno D) šesť Otázk : Koľko rcionálnch čísiel možno nájsť v zápisoch n hodinách? A) B) C) ni jedno D) šesť Otázk : Koľko ircionálnch čísiel možno nájsť v zápisoch n hodinách? A) B) C) ni jedno D) sedem

7 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Úvod Jedným zo zákldných pojmov v mtemtike je pojem množin Pre nše potre pod množinou udeme rozumieť súor určitých čísiel, vecí, resp ojektov), ktoré nzývme prvkmi tejto množin M všk udeme prcovť s číselnými množinmi, tj s množinmi, ktorých prvkmi sú čísl Pre určité množin udeme používť konkrétne, dohodnuté oznčeni: K množin všetkých komplených čísel R množin všetkých reálnch čísel Q množin všetkých rcionálnch čísiel Z množin všetkých celých čísel N množin všetkých prirodzených čísel {} jednoprvková množin, ktorej prvkom je číslo {,,, n } množin, pozostávjúc i z prvkov, vpísných v zátvorkách N strednej škole sme s stretli s pojmom podmnožin dnej množin Spomedzi podmnožín množin R (ktorú oznčujeme tiež ko množinu (-, ), s njčstejšie používjú intervl: (z predpokldu, že < ): otvorený intervl: (, ) { R: < < } uzvretý intervl:, { R: } <, ) R : < zľv uzvretý, sprv otvorený intervl: { } zľv otvorený, sprv uzvretý intervl: (, { R : < } otvorené intervl: (, ) { R: > } (-,) R: < }, ) { R: } (, { R: } Definíci - Rovnosť dvoch množín Hovoríme, že množin A B s rovnjú (píšeme AB), k množin A je podmnožinou množin B (A B) súčsne B je podmnožinou množin A (B A) Inými slovmi: AB, k kždý prvok z množin A ptrí j množine B tiež orátene, kždý prvok množin B je prvkom množin A Definíci - Zjednotenie dvoch množín Zjednotením množín A B (oznčenie A B ) rozumieme množinu všetkých tých prvkov, ktoré ptri spoň do jednej z uvedených množín A, B Definíci - Prienik dvoch množín Prienikom množín A B (oznčenie A B ) rozumieme množinu všetkých tých prvkov, ktoré ptri súčsne množine A j množine B Definíci - Rozdiel dvoch množín Rozdielom množín A B (oznčenie A \ B ) rozumieme množinu všetkých tých prvkov, ktoré ptri množine A, le nie sú prvkmi množin B

8 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Rozdiel množín A\B nieked tiež nzývme komplementom (doplnkom) množin B v množine A Úvodom s udeme zoerť Gliou reálnch čísiel, z ktorej s neskôr presunieme do glie, tj množin komplených čísiel K Otázk : Viete zodpovedť, ktoré z uvedených čísiel ptrí do množin rcionálnch ktoré do množin ircionálnch čísiel (or )? Vpíšte si ich do jednotlivých podmnožín, ktoré si znázornite n ppier, resp do or Gli rcionálnch čísiel Gli ircionálnch čísiel Orázok : Gli čísiel Ak s chcete presvedčiť o správnosti všej odpovede, kliknite si n interktívnu stránku Klifornskej univerzit: (ktívn jun) resp Unit : Bsic Alger Principles, Lesson, Multimédiá, Pl lesson, kde nájdete vicero zujímvých interktívnch ppletov týkjúcich s reálnch čísiel, ko i správnu odpoveď n otázku č Otázk 6: N číselnej osi sú zorzené čísl: ) Koľko prirodzených čísiel je zorzených n osi? ) Ktoré z čísiel zorzených n číselnej osi je prirodzené číslo? Odpoveď: ) jedno, ) Ak nie ste si svojimi odpoveďmi istí, zopkujte si definície v nsledovnej čsti 6

9 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Gli čísiel Medzi zákldné pojm mtemtik ptrí pojem číslo Určuje nám kvntitu určitej veličin v reálnom svete, npr veľkosť olečeni, vzdilenosť dvoch miest n mpe, tď V škole sme s s nimi stretli v spojení s pojmom prirodzené čísl: N množin všetkých prirodzených čísel:,,,,, Nmiesto prirodzené čísl s použív i názov kldné celé čísl Sčítním násoením dvoch prirodzených čísiel dostneme opäť prirodzené číslo, čo znmená že operácie sčítni násoeni n množine prirodzených čísiel N sú vžd uskutočniteľné Ak všk uroíme rozdiel dvoch prirodzených čísiel npr 7 môžu nstť dv prípd V prvom dostneme: ) 7 je prirodzené číslo operáci odčítni je uskutočniteľná n N; ) 7 -, tj k uroíme rozdiel čísiel v orátenom pordí, operáci odčítni n množine prirodzených čísiel nie je možná A operáci odčítni ol vžd definovná, množinu prirodzených čísiel musíme rozšíriť o nulu záporné čísl, čím definujeme množinu Z množinu všetkých celých čísiel Z množin všetkých celých čísiel: -, -, -, -,,,,,,, V množine všetkých celých čísiel sú operácie sčítni, odčítni násoeni vžd uskutočniteľné Delením dvoch celých čísiel nedostneme vžd celé číslo A i delenie celého čísl celým číslom (rôznm od nul) olo vžd uskutočniteľné, musíme množinu rozšíriť o množinu zlomkov, tj rcionálnch čísiel, čiže čísiel v tvre p/q Množinu rcionálnch čísiel zvkneme oznčovť Q Ak p q sú nesúdeliteľné celé čísl hovoríme o rýdzo rcionálnom čísle p Q množin všetkých rcionálnch čísiel, tj množinq ; p Z q N q -, -, -, - ⅜, -⅓,,, ⅔,, ⅞,, Je zrejmé, že množin všetkých celých čísiel Z je podmnožinou množin rcionálnch čísiel Q (Z Q), ko špeciáln prípd q V množine všetkých rcionálnch čísiel sú definovné štri zákldné počtové operácie: sčítnie, odčítnie, násoenie delenie číslom (rôznm od nul) vžd uskutočniteľné, nzývme ich počtové operácie Avšk k chceme riešiť npríkld rovnicu, nevstčíme ni s množinou rcionálnch čísiel, pretože táto rovnic nemá riešenie v množine rcionálnch čísiel, keďže neeistuje tké rcionálne číslo, pre ktoré pltí Tktiež s množinou rcionálnch čísiel nevstčíme, k npríkld chceme počítť veľkosť vektor dného predpisom i j, kde i j sú jednotkové vektor krteziánskej súrdnicovej sústv Vieme, že n záklde 7

10 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Ptgorovej vet (resp podľ vzťhu pre veľkosť vektor, ktorému s udeme ešte venovť neskôr v kpitole ), pre veľkosť vektor pltí ted je vjdrená ko ircionálne číslo Množin ircionálnch čísiel s oznčením I, je nekonečná jej prvk získme npríkld pri odmocňovní, logritmovní výpočte trigonometrických funkcií I množin všetkých ircionálnch čísiel:,, π, log, Množin rcionálnch ircionálnch čísiel tvori množinu reálnch čísiel R, ktorú možno usporidť do jedného rdu podľ veľkosti Tento rd reálnch čísel s nzýv číselná os R množin všetkých rcionálnch čísiel: -, -, -⅓,,, ⅔,, ⅞,,, π, log Avšk ni množin reálnch čísiel nie je postčujúc n vriešenie niektorých kvdrtických rovníc ko npríkld, pretože neeistuje židne reálne číslo, pre ktoré pltí - A s tento prolém odstránil, predpokldli mtemtici, že tkéto imginárne čísl eistujú Zviedli smol i (imginárn jednotk), pre ktoré pltí i - tieto čísl nzvli imginárnmi číslmi Množin reálnch čísiel spolu s imginárnmi tvorí množinu komplených čísiel, o ktorých pojednáv nsledovný K množin všetkých komplených, tj čísiel v tvre z i:, i,, i, i, π, log, Množinu všetkých čísiel možno schemtick znázorniť: 8

11 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Komplené čísl ich geometrická interpretáci Prv ko zdefinujeme komplené číslo, ojsnime si geometrickú interpretáciu reálneho čísl pojem solútn hodnot Je výhodné zorzovť reálne čísl ko od n primke (číselnej osi, ovkle n osi ), n ktorej je zvolený zčitok, orientáci jednotk dĺžk - Definíci - Asolútn hodnot reálneho čísl Ku kždému reálnemu číslu možno prirdiť práve jedno nezáporné číslo, ktoré nzývme solútnou hodnotou oznčujeme, ktoré je definovné: pre pre Poznámk: Vzdilenosť odov oznčujeme: d(,) - - Definíci 6 - Komplené číslo Číslo z, ktoré možno zpísť v tvre z i, () kde sú reálne čísl i je imginárn jednotk, definovná vzťhom i - () s nzýv komplené číslo Číslo nzývme reálnou čsťou (oznčenie Re z) číslo imginárnou čsťou (oznčenie Im z) kompleného čísl z Komplené číslo vznikne sčítním násoením reálnch imginárnch čísiel Ich zvedenie súvisí s hľdním riešeni rovníc, ktoré v oore R nemjú riešenie Z definície 6 vplýv, že kždé komplené číslo možno zorziť ko od v rovine, z i, v ktorej -ová os zorzuje reálnu čsť kompleného čísl n -ovú os zorzujeme imginárnu čsť kompleného čísl Orázok : Zorzenie kompleného čísl v Gussovej rovine 9

12 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Z definície 6 vplýv, že komplené čísl sú usporidné dvojice reálnch čísiel (Tktiež je zužívné oznčenie (, ), resp v oznčení z (z, z ), kde prvú súrdnicu resp z tvorí reáln čsť kompleného čísl druhú súrdnicu resp z imginárn čsť kompleného čísl Definíci 7 - Operácie s komplenými číslmi Pre komplené číslo z i je definovná: rovnosť dvoch komplených čísel: z i z i, resp z (, ), z (, ) operáci sčítni: operáci násoeni: z z ( ) ( ) z z (, ) z z (, ) Definíci 8 - Imginárne čísl Komplené čísl tvru z (, ), tj tie čísl, ktoré mjú reálnu čsť rovnú nule, nzývme rýdzo imginárnmi číslmi Poznámk: Dá s ukázť, že uvedené operácie spĺňjú komuttívn, socitívn distriutívn zákon, rovnko ko pri reálnch číslch Pre čísl tvru z i prcujeme s operácimi sčítni násoeni len s reálnou čsťou, pretože imginárn čsť je stále nulová Komplené čísl tvru z i tj čísl s nulovou imginárnou čsťou, môžeme stotožniť s reálnmi číslmi Množin reálnch čísel je ted podmnožinou množin komplených čísel Tkže komplené číslo je zovšeoecnením pojmu reálneho čísl Definíci 9 - Číslo opčné Číslo opčné ku komplenému číslu z i nzývme číslo z i Otázk : Je n orázku znázornené správne číslo opčné k číslu z?

13 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok : K znázorneniu opčného čísl Odpoveď: Číslo z je zorzené správne, le nie správne popísné! Pozor n orázk n internete, vžd si overte správnosť zdroj!! Definíci - Asolútn hodnot kompleného čísl Asolútn hodnot z (veľkosť) kompleného čísl z i, (or ), je kldné číslo, určené vzťhom z () Orázok : Asolútn hodnot kompleného čísl z Definíci - Komplene združené číslo z* Číslo z* i nzývme komplene združeným číslom k číslu z i (or 6)

14 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok 6: Grfické znázornenie kompleného k nemu komplene združeného čísl Poznámk: Komplene združené číslo dostneme zámenou i z i Komplené číslo z komplene združené číslo z* sú smetrické podľ osi Veľkosti kompleného čísl z komplene združeného čísl z* s rovnjú Grfické sčítnie komplených čísiel je znázornené n or 7 vplýv z definície 6 pre sčítni komplených čísiel relizuje s doplnením n rovnoežník Detilnejšie s možno ooznámiť s grfickým sčítním v kpitole Vektorový počet, čsti sčítnie vektorov, nkoľko komplené číslo tvorí vektor v rovine Orázok 7: Sčítnie dvoch komplených čísiel Grfické odčítnie dvoch komplených čísiel vchádz z pripočítni čísl opčného (pozri orázok 8) Detilnejšie s čitteľ môže s prolemtikou ooznámiť v kpitole venovnej vektorovému počtu odčítnie vektorov

15 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok 8: Grfické odčítnie dvoch komplených čísiel Príkld : Určite reálnu imginárnu čsť kompleného čísl: 9i z 7 i z 9i 7 i ( 9i) ( 7 i) ( 7 i) ( 7 i) 6i 6i 7i 9 9i 69i 8 69 i 8 8 Poznámk: Zlomok sme rozšírili jednotkou v tvre komplene združeného čísl v menovteli PDDA Úloh : Sú dné komplené čísl z - i, z - i Vpočítjte: ) z z, ) z - z, c) Určite reálnu imginárnu čsť kompleného čísl Úloh : Vjdrite mtemtickým zápisom solútnu hodnotu kompleného čísl z (z, z ) z Úloh Definíci - Goniometrický tvr kompleného čísl Komplené číslo z i možno vjdriť v goniometrickom tvre: z z (cos φ i sin φ), () kde z je solútn hodnot kompleného čísl (veľkosť) φ je uhol, ktorý zvier os s kompleným číslom z (or 9) z z

16 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok 9: K ojsneniu goniometrického tvru kompleného čísl Goniometrický tvr kompleného čísl možno získť nsledovným postupom: Vjdrime si n záklde or 9 cosϕ z cosϕ () z sinϕ sinϕ z z i z cos φ z i sin φ z (cos φ i sin φ) Uhol φ, ktorý zvier komplené číslo z s osou určíme z jedného zo vzťhov: cosϕ ϕ rccos, (6) z sinϕ ϕ rcsin (7) z Poznámk: Funkci rccos φ (rkuskosínus) je inverzná funkci k funkcii kosínus rcsin φ je inverzná funkci k funkcii sínus; Uľhčenie výpočtu uhlu φ, vstupujúcom pri goniometrickom tvre kompleného čísl npomôže, k si ho zkreslíme do rovin uvedomíme si, v ktorom kvdrnte s komplené číslo z i nchádz Nech φ je ostrý uhol, ktorý zvier komplené číslo s osou (or 9) Pri výpočte uhl φ pltí pomôck: Ak číslo z i s nchádz v: I kvdrnte: φ φ ; (or 9) II kvdrnte: φ π - φ ; (or ) III kvdrnte: φ π φ ; IV kvdrnte: φ π - φ Orázk pre III IV kvdrnt odporúčm čitteľovi smosttne nkresliť

17 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Miesto zápisu z e iφ s použív i čsto zápis z ep iφ Eponenciáln tvr kompleného čísl dostneme použitím Moivrovej vet, ktorú vjdruje vzťh e iφ (cos φ i sin φ) (8) Z Moivrovej vet vplýv rovnosť e inφ (cos nφ i sin nφ) (9) Orázok : K ojsneniu určeni uhl Definíci - Eponenciáln tvr kompleného čísl Kždé komplené číslo z možno zpísť s vužitím veľkosti z uhl φ v eponenciálnom tvre z z e iφ () Príkld : Znázornite n jednotkovej kružnici popíšte v eponenciálnom tvre čísl P (,i), P (-, ), P (,-i) určte príslušný uhol φ Orázok prezentuje riešenie pre zdnú úlohu Orázok : Grfické znázornenie čísiel n jednotkovej kružnici

18 Kpitol Číselné množin doc RNDr M Ožvoldová, CSc PDDA: Úloh : Sú zdné komplené čísl i, i ) Určite: grfick výpočtom číslo z * ) Vpočítjte veľkosť kompleného čísl z c) Určite reálnu imginárnu čsť čísl z d) Npíšte čísl v goniometrickom tvre Príkld : Sú dné dve komplené čísl z z Vjdrite ich súčin v eponenciálnom goniometrickom tvre Nech komplené číslo z je určené uhlom φ z uhlom φ Zápis čísiel z z ude: z z e iφ z (cos φ i sin φ ) z z e iφ z (cos φ i sin φ ) Z vlstností súčinu eponenciálnch funkcií vplýv, že súčin dvoch komplených čísiel je komplené číslo, ktorého solútn hodnot s rovná súčinu solútnch hodnôt rgument s rovná súčtu rgumentov činiteľov z z z z cos ] (φ φ ) i sin (φ φ )] z z z z rovnosť: Z toho vplýv z z z e iφ z e iφ z z e i(φ iφ ) 6

19 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc KAPITOLA RIEŠENIE VYBRANÝCH ROVNÍC A NEROVNÍC Učené ciele: Zvládnuť operácie s úprvou výrzov; Zopkovť si čsté operácie pri riešení vrných rovníc nerovníc; Zvládnuť ezprolémové riešenie lineárnch, kvdrtických rovníc nerovníc; Precvičiť si riešenie lineárnch kvdrtických rovníc nerovníc s solútnou hodnotou; Riešenie vrných tpov rovníc opkovnie ich vužitie v pri Kľúčové slová: koreň lineárnej rovnice, diskriminnt, kvdrtická rovnic, ircionáln rovnic, nerovnic, nerovnice s solútnou hodnotou Poždovné vedomosti: znlosť stredoškolskej mtemtik z olsti úprv výrzov, riešeni rovníc nerovníc N strednej škole ste prcovli s operácimi, ktoré používme pri úprve lgerických výrzov riešení rovníc rôzneho tpu Ak tomu nie je tk (v dosttočnom rozshu, určenom slom gmnziálneho učiv), olo židuce, ste sihli po vhodnom študijnom mteriáli, minimálne form Repetitórium stredoškolskej mtemtik doplnili si tieto medzer, k sú Nie je totiž možné, sme stihli všetko zopkovť j preerť novú látku Nkoľko prolemtik úprv lgerických výrzov hľdnie koreňov rovníc je tk závžná pri riešení plikčných prolémoch, nie je možné ju podceniť nezvládnuť ju Preto som s rozhodl, že tejto prolemtike venujem smosttnú kpitolu, v ktorej si zopkujeme njčstejšie vzťh, ktoré vužívme pri úprve lgerických vzťhov pri riešení vrných tpov rovníc nerovníc, v ktorých s môže nemusí nchádzť solútn hodnot Teóriu si ukážeme vo forme riešených príkldov Zčneme od njjednoduchšieho: zjednodušovni výrzov následne prejdeme k rovnicim: lineárnej kvdrtickej, ko i nerovnicim dného tpu Ukážeme si tiež, ko riešiť logritmické rovnice Úprv lgerických výrzov Úvodom tejto kpitol si zopkujeme užitočné vzťh zo stredoškolskej mtemtik, ktoré študent ude čsto používť pri riešení rôznch prolémov Prepočítním príkldov zmerných n úprvu výrzov, študent ndoudne nevhnutné zručnosti, ktoré vužije neskôr pri rôznch plikáciách mtemtik Odporúčme si svoje vedomosti upevniť, resp preveriť N úvod sme predložili njdôležitejšie vzťh identické rovnosti, ktoré je vhodné si zpmätť ktoré prezentujeme v tuľke tuľke 6

20 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Tuľk : Identické rovnosti Návodom pre ľhšie zpmätnie vzťhov v t môže ť schém, znám pod názvom Psclov trojuholník, ktorá určuje koeficient pri umocnení dvojčlenu ( ) n, ktoré sú pre n: n pretože ( ) n n pretože ( ) n pretože ( ) n pretože ( ) Pre n pltí inomická vet, ktorá umožňuje vjdrenie n-tej mocnin dvojčlen pomocou kominčných čísiel: Tuľk : Vzťh pre mocnin odmocnin < ( ) ( ) ( ) ( ) - ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( r ) s rs r r ( r )( s ) rs pre, s r s r, / r r () r r r r r r ) ( ) ( je párne k,, < n A n n n,,! Vet : Binomická vet Nech sú ľuovoľné komplené čísl n je prirodzené číslo Potom pltí: n n n n n n n n n n n n n n n ) ( ) ( 7

21 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Presvedčiť s o svojich dorých zákldoch je vhodné npríkld j n stránke mth online, ktorú priprvil Viedenská univerzit Pozrite si viceré interktívne nimácie, kde si môžete preveriť Všu správnu identifikáciu výrzov (tpov lgerických štruktúr) (or ): resp Orázok : Pohľd n www stránku mth online Pretože úprv výrzov mnohokrát rzdí v riešení náročnejších príkldov, prepočítním príkldov si overte svoje zručnosti v technike úprv, ko i v rýchlosti ich vriešeni Príkld : Uprvte výrz: ) 7 ; ) ( ) ; c) ( ) ) 7 ; ) ( ) 6 ; c) ( ) Príkld : Uprvte výrz: 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 6 8 8

22 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Uprvte výrz určite podmienk eistencie: ) ( ( )), ) ( ) () 6 ( ), c) ( ), d) ( ) ( ) ( ), z e), f) 7 6, g) z ) ( ( )) ( ) 6 6, R ) ( ) () ( ) 7, R c) d) e) f) ( ) ( ) ( ), { R } ( 6 ) ( ) ( ), R z,,, z { R } z z 6 7, { R } g) 9 Iný spôso riešeni:,, R {}; 9 Príkld : Uprvte výrz určite podmienk eistencie: Podmienk: {, ± } 9

23 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: Zjednodušte výrz určite podmienk eistencie Podmienk eistencie: { },, ) )( ( ) ( ± ± R ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Príkld : Umocnite ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 Príkld 7: Zjednodušte výrz uveďte podmienk eistencie: Podmienk eistencie: ) ( ( )( ) Príkld 6: Uprvte výrz určite podmienk eistencie: n n n n n n n Podmienk riešiteľnosti: n ) )( ( ) ( n n n n n n n n n n n n n n n n n ) )( ( n n n n n n n n

24 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Uprvte výrz: ) ( Podmienk riešiteľnosti:, ± ) ( Iný spôso riešeni: ) ( ) ( ) ( ) ( Príkld : Uprvte výrz: ) ( 6 Podmienk riešiteľnosti: { } ± ) ( R 6 ) ( ) )( ( ) )(6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( 6 Príkld : Uprvte výrz: 7 : : 9 7 : 9

25 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Zjednodušte výrz uveďte podmienk eistencie: ( ) : Podmienk eistencie: ±, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) - ) ( ) Poznámk: Jednoduchšie olo vkrátiť () v prvom člene Počítjte tkto Príkld : Uprvte výrz : Podmienk riešiteľnosti: : : Príkld : Uprvte výrz určite podmienk eistencie: c c c c c c c 6 Podmienk riešiteľnosti: ) ( c c c c c c, ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) )( ( ) ( 6 6 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

26 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Uprvte výrz určite podmienk eistencie: Podmienk riešiteľnosti:, >, >, ( )( ) ) ) )(( ( ) ( ) )( ( ) ( Príkld 7: Uprvte: ) ( Podmienk riešiteľnosti: >, > ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Príkld 6: Uprvte výrz určite podmienk eistencie: Podmienk riešiteľnosti: ± ) )( ( ) ( 8 6

27 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Lineárn kvdrtická rovnic Definíci - Lineárn rovnic Lineárnou rovnicou s neznámou nzývme kždú rovnicu tvru, kde, sú reálne čísl Pri riešení môžu nstť prípd: k, potom - rovnic má práve jeden koreň -/; k, po úprve dostneme to je prvdivý výrok (rovnosť), tkže pôvodná rovnic má nekonečne veľ riešení resp koreňom tejto rovnice je kždé reálne číslo; k,, po úprve dostneme -, keďže, tk sme dostli neprvdivú rovnosť - pôvodná rovnic nemá židne riešenie Príkld 8: Riešte rovnicu ( 8 ) ( ) 6 ( 9 ) ( 8 ) ( ) 6 ( 9 ) O správnosti riešeni s presvedčíme vžd skúškou správnosti! 87 ĽS: , PS: 9 6, ĽS PS 9

28 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci Kvdrtická rovnic Kvdrtickou rovnicou s neznámou nzývme kždú rovnicu tvru c, kde,, c sú reálne čísl, Pri riešení môžu nstť prípd: k, c rovnic má práve jeden dvojnásoný koreň ; k c, riešime tzv rýdzo kvdrtickú rovnicu c, ktorej c riešenie je v tvre, ± to uď reálne leo komplené, podľ znmienk konkrétnej hodnot c; k, R - {}, c, po úprve dostneme ( ), rovnic má dv jednoduché reálne korene: -/; k,, c R - {} potom všeoecný tvr má riešenie ± c ± D,, kde D c nzývme diskriminnt Ak: D >, tk dná kvdrtická rovnic má rôzne reálne korene; D, tk dná kvdrtická rovnic má dv rovnké reálne korene, čiže dvojnásoný reáln koreň; D <, tk dná kvdrtická rovnic nemá riešenie v oore reálnch čísel, v oore komplených čísel má dv imginárne komplene združené korene Príkld 9: Riešte rovnicu v R doplnením n štvorec: ) 8, ) ) 8 /( ½) ) ( / ) ( / ) ( / ) 8 9 ( ) ( ) ( ( / )) ( ) () ( ( / )) ( ) ( ( / )) ( ) (/ ) ±, Nemá riešenie v R Skúšk: (), ĽS PS

29 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Riešte rovnicu: 7 Rovnicu zjednodušíme tk, že oidve strn rovnice vnásoíme (-⅓), čím dostneme: 9 9 Jej riešenie je, ± ± ( i) 9 ± i, pretože - i, resp i Skúšk správnosti: ĽS: (i) 7 ( 9) 7 ĽS PS Príkld : Riešte rovnicu v oore R: ( ) Riešime tzv ircionálnu rovnicu Uprvíme rovnicu tk, sme mli odmocninu n jednej strne ( nám po umocnení rovnice nezostl člen s odmocninou) Ešte predtým si určíme, ked je táto rovnic definovná: ( ) ( ) / ( 9) ± ( 9) 8 9 ± 8 9 ± 9 9 ± 7, 8,, Skúšk správnosti: pre 8: ĽS: (8 ) ĽS PS pre : ĽS: ( ) ( ) ĽS PS Vhovuje len riešenie: 8, pretože 6

30 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Rovnice nerovnice s solútnou hodnotou Prostredníctvom nsledujúcich príkldov si zopkujeme riešenie rovníc s solútnou hodnotou Vužijeme Definíciu, ktorá nám určuje, že solútn hodnot z kldného výrzu, je ten istý výrz, zo záporného výrzu, je výrz opčný Preto si určíme vžd intervl, ked je solútn hodnot kldná Pri riešení rovníc s solútnou hodnotou možno voliť dv spôso riešeni: Odstránenie solútnej hodnot umocňovním oidvoch strán rovnice Rozdelením ooru rovnice n tké podmnožin, v ktorých kždých z výrzov v solútnej hodnote nemení znmienko pre kždú z týchto podmnožín riešime rovnicu, ktorá je ekvivlentná s pôvodnou rovnicou neoshuje už solútne hodnot Oidv spôso prezentujeme v nsledovnom príklde: Príkld : Riešte rovnicu: 9 spôso: umocníme oidve strn rovnice: 9 9 ( ) ( 9) 6,, ± c ± ± 8, / () () 6 Skúšk správnosti: pre 8: ĽS: 8 PS: 8 9 ĽS PS pre : ĽS: PS: 9 ĽS PS Rovnice () () nie sú ekvivlentné Riešením je len 8 spôso: Určíme ked je výrz intervl: A) Rovnicu udeme riešiť zvlášť pre, ked, tkže udeme riešiť rovnicu: /, ) 8 B) < <, tkže ( ) riešime rovnicu: ( ) 9 < nevhovuje Prienik je prázdn množin Riešením je len 8, ko sme ukázli prvým spôsoom 7

31 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Riešte rovnicu: Nkoľko riešením prvým spôsoom, sme s jednoducho nevhli mocninám, riešme príkld pomocou nulových odov: /,, (-, -½) -½, (, ), ) znmienko ( ) ( ) ( ) ( ) znmienko ( ) ( ) ( (-)) ( )( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ) znmienko ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / I I /7 I I Oor prvdivosti rovnice: 7 P, 7 Skúšk správnosti: pre 7/: ĽS: ( ) ( ) PS: ĽS PS Skúšk správnosti: pre /7 7 7 ĽS: ( ) ( ) PS: ĽS PS 8

32 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Riešenie kvdrtických nerovností s čsto vsktuje pri skúmní prieehu funkcie Preto si ho zopkujeme príkldom: Príkld : Riešte nerovnicu:, k Z Určíme, pre ktoré Z má dná nerovnic zmsel: Menovteľ ude nenulový k ± Budeme postupovť tk, n prvej strne sme si vtvorili nulu: Uprvíme n spoločného menovteľ uroíme nznčené operácie: ( )( ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) ) Čitteľ zlomku je vžd kldný pre všetk D f, tkže celý zlomok ude záporný, keď menovteľ ude záporný tj schemtick zpísné : Môžu nstť dv prípd: (-) ( )( ) ( )( ) ) Uvžujme, vted pltí: ( ) > ( ) < ( )( ) > ( < ) P - prázdn množin ) Uvžujme, vted pltí: ( ) < ( ) > ( )( ) < > - P { } jednoprvková množin Riešením je ich zjednotenie, s rešpektovním D f tj má riešenie len pre Riešenie kvdrtickej nerovnosti si ukážeme n príklde určovni definičného ooru 9

33 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Nájdite D f funkcie: f() log( 6) Vieme, že logritmická funkci je definovná len pre rgument, ktorý ndoúd kldné hodnot, tj keď pltí: 6 Keďže ide o tzv normovnú kvdrtickú nerovnosť s celými koeficientmi ( ), možno okrem riešeni pomocou diskriminntu, riešiť ju j rozkldom n koreňových činiteľov Npíšeme si kvdrtický výrz p q Pre koeficient plti vzťh: q p Vieme odhdnúť, že súčin čísiel ( ) resp ( ) ( ) ( ) p, resp ( ) ( ) p Tkže rozkld ude: ( ) () > Presvedčíme s o správnosti výpočtom: p ± p q ±,, ±, ( )( ) ( ) ± 6 ± Súčin činiteľov ude kldný, k oidv činitele udú kldné, leo oidv záporné: Čo možno si zpísť ( ) (, ) ) ) (, ) (, ) log( 6) Príkld 6: Ekvivlentnými úprvmi riešte rovnicu: log( ) Určíme, ked sú výrz definovné: 6 > > > > > log( 6) log( ) log( 6) log( ) ( 6) () > nemá riešenie

34 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Aplikáci vužiti rovníc vo fzike Vo fzike s veľmi čsto stretávme pri riešení fzikálnch zdní s vužívním rôznch tpov rovníc Postupne s s nimi v zákldnom kurze fzik ooznámime Uveďme si spoň dv príkld Príkld 7: Dvj turisti všli súčsne z nocľhárne tým istým smerom po primej ceste pohovli s rovnomerným pohom Prvý turist šiel o, km/h rýchlejšie ko druhý Preto prvý turist došiel do cieľ vzdileného 8 km skôr o jednu hodinu Vpočítjte rýchlosť chôdze oidvoch turistov čs, z ktorý kždý turist došiel do cieľ Postup: Zpíšeme si zdné údje zvolíme si neznámu Nkreslíme si orázok Zostvíme rovnice n záklde zdni Nájdeme riešenie uroíme skúšku správnosti Oznčíme si neznáme: rýchlosť prvého turistu v čs, z ktorý prešiel dráhu s ko t, rýchlosť druhého turistu v čs, z ktorý prešiel dráhu s ko t Zo zdni príkldu vplýv že pltí: v (v,) kmh - () t (t -) h () Nkoľko turisti s pohujú rovnomerným pohom, všk rôznou rýchlosťou, do cieľ dôjdu z rôzn čs, tkže možno npísť vzťh () (): s v t () tt ss vv () s v t () tt ss vv () Predelením rovníc () () dostneme: ss ss vv tt (vv,)(tt ) vv tt vv tt vv tt (vv,)(tt ) vv tt vv tt tt,, vv vv (tt )/ () Po dosdení vzťhu () do poslednej rovnice () vlúčime neznámu t dostneme:

35 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie príkldu vv ( ss vv ) Rovnicu vnásoíme v pre jednoduchšie riešenie vzniknutej kvdrtickej rovnice dosdíme hodnotu z s (jednotk, v ktorých počítme uvediem ž z výsledok): (v ) v 8 v ±, kmh - Druhý koreň v - kmh - nevhovuje podmienkm fzikálneho zdni príkldu v (v,) kmh - kmh - tt ss vv 8 7 h Odpoveď: tt ss vv 8, 8 h Prvý turist, ktorý šiel rýchlejšie ml rýchlosť kmh - do cieľ prišiel z 7 h, kým druhý ml rýchlosť, kmh - do cieľ prišiel z 8 h Druhý príkld prezentuje vužitie goniometrických rovníc, keďže sme s im osoitne v opkovcej čsti nevenovli Ukážeme si ich n príklde Lissjousových kriviek (or ), s ktorými s možno ooznámiť n stránke (Je možné ísť j cez: Applets Menu, Osciltion) Orázok: : Lissjousove krivk N or vidíme nprogrmovnú plikáciu, ktorá demonštruje skldnie dvoch nvzájom kolmých oscilátorov (jeden kmitá v smere osi druhý v smere osi ) Nkoľko kmit hrmonického jednorozmerného oscilátor možno grfick znázorniť pohom po primke odpovedá mu vektor, ktorého mplitúd (mimáln výchlk) nech je A okmžitá výchlk je určená hrmonickou funkciou (sínus leo kosínus)

36 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Pre poh v smere osi pltí: (t) Acos ωt, kde ω je uhlová rýchlosť otáčni Pre poh v smere osi pltí: (t) Bcos (ωtδ), kde B je mplitúd δ fázová konštnt (uhol vektor s osou n zčitku pohu, tj v čse t s Vidíme, že ω je u oidvoch rovnká Sledujme čsový vývoj pohu Vedeli ste zvážiť, ko ol nprogrmovná tkáto plikáci? Všetko vchádz z mtemtického popisu: Ukážeme si ho: (t) Acos ωt (t) Bcos (ωtδ) AA BB cos ωωωω () cos(ωωωω δδ) () Poznáme znám súčtový vzorec: cos (αβ) cos α cosβ sinα sinβ, ktorý vužijeme pre rovnicu () cos ωωωω cos δδ sin ωωωω sin δδ ( ) BB Dosďme ( ) do ( ) vzťhu dostneme: BB AA cos δδ (cos ωωωω) sin δδ ( ) kde sme vužili identitu (sin ) (cos ) n vjdrenie cos Opäť vužijeme vzťh () ktorý dosdíme do vzťhu (): BB AA cos δδ AA sin δδ () Dostli sme ircionálnu rovnicu (s odmocninou, ktorú uprvíme tk odmocnin ostl smosttne n prvej strne rovnicu umocníme n druhú: BB AA cos δδ AA sin δδ B AB cos δδ A cos δδ ( A ) sin δδ B AB B AB cos δδ A sin δδ A cos δδ sin δδ cos δδ A (sin δδ cos δδ ) sin δδ B AB cos δδ A sin δδ ()

37 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Otázk : Čo nám určuje vzťh () ké možnosti posktuje? Anlýzu vzťhu () si uroíme n príklde: Príkld 8: Odvoďte, pri kých hodnotách δδ dostneme z rovnice (): ) primku s kldnou smernicou ) elipsu c) elipsu sklonenú doľv d) elipsu sklonenú doprv e) kružnicu f) primku so zápornou smernicou npíšte odpovedjúce rovnice pre jednotlivé prípd Presvedčte s o správnosti n interktívnom pplete n drese: ) primku s kldnou smernicou ) elips Orázok: Skldnie kmitov primk Orázok: Skldnie kmitov elips cos δδ B AB A sin δδ ) ) cos B AB A sin cos 9 B AB A sin 9 B AB A B AB A B A B A B A rovnic elips ± BB AA čo je rovnic primk V prípde ) pltí kldná smernic BB AA

38 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc c) d) Orázok: Skldnie kmitov Orázok: 6 Skldnie kmitov elips sklonená doľv elips sklonená doprv δδ, δδ δ δδ Elipsu mám určenú δδ ππ kk ππ, kde kk,, Orázok: 7 Skldnie kmitov kružnic e) f) cos 9 B AB A sin 9 Orázok: 8 Skldnie kmitov primku so zápornou smernicou B AB A B AB A pre A B B A A A V prípde d) pltí záporná smernic BB AA AA δδ 8 δδ 9 δδ 7 Elipsu mám určenú δδ ππ kk ππ, kde k,, Poznámk: Vužite možnosť určiť hodnot uhlov npríkld n

39 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Priestorové zorzenie možno nájsť n: Orázok: 9: Lissjousove krivk v D nimácii Kontrolné otázk Viete ojsniť, ked lineárn rovnic nemá riešenie? Ojsnite pojem diskriminnt kde ho vužívme Zpíšte kvntittívne jeho vjdrenie Npíšte ké vzťh plti pre koeficient korene normovnej kvdrtickej rovnice Ojsnite postup pri riešení lineárnej rovnice k rovnic oshuje jeden člen s solútnou hodnotou Ojsnite postup pri riešení lineárnej rovnice k rovnic oshuje vic ko jeden člen s solútnou hodnotou 6 Ako riešime kvdrtické nerovnosti? 7 Ak riešime ircionálnu rovnicu, kú úprvu je vhodné uroiť njskôr? 8 Ak máme rcionálnu funkciu v tvre podielu dvoch lineárnch polnómov, ko postupujeme pri určovní, ked je zlomok kldný ked záporný? 9 Ak máme rcionálnu funkciu v tvre podielu dvoch polnómov: v čitteli polnóm nultého stupň, v menovteli kvdrtický polnóm s reálnmi koreňmi Ako postupujeme pri určovní, ked je zlomok kldný ked záporný? Vmenujte desť identických vzťhov, s ktorými prcujeme pri úprvách výrzov rovníc (t t ) 6

40 Kpitol Riešenie vrných rovníc nerovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc PDDA: Úloh : Pre ktoré hodnot prmetr p má rovnic: 9-6p 9p jediný koreň? Úloh : Určte číslo tk, rovnic () 7( ) ml dvojnásoný koreň? Úloh : Riešte rovnicu: Úloh : Riešte rovnicu: log( ) log 7 log log( ) log 6 Úloh : Riešte rovnicu: 6 Úloh 6: Riešte rovnicu: 7 7 Úloh 7: Riešte nerovnicu: 8 Úloh 8: Ktoré vhovujú nerovnici: ( )( 7) < ( ) výsledok zorzte n číselnej osi Úloh 9: Určte všetk reálne čísl, ktoré vhovujú nerovnicim: ) <, ) - < 7

41 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Kpitol POLYNÓMY A ALGEBRICKÉ ROVNICE Učené ciele: Zvládnuť operácie s úprvou výrzov, polnómmi lgerickými rovnicmi; Vedieť určiť jednoduché vicnásoné korene lgerických rovníc; Nučiť s hľdť korene pomocou Hornerovej schém WZ grpheru Kľúčové slová: polnóm, lgerická rovnic, koreň lgerickej rovnice, koreňový činiteľ Poždovné vedomosti: znlosť stredoškolskej mtemtik z olsti rovníc delenie polnómu polnómom Úvod do polnómov Úvodom zčneme s definíciou inomického jednočlenu tvru n Definíci Binomický jednočlen Výrz tvru n, kde je premenná, je konštnt n je celé nezáporné číslo, nzývme jednočlen (inomický) Ako príkld možno uviesť jednočlen nsledovné výrz: - (/) 7 Definíci Binomický dvojčlen Pod inomickým dvojčlenom rozumieme súčet dvoch inomických jednočlenov; pod inomickým trojčlenom súčet troch jednočlenov; pod polnómom udeme rozumieť súčet ľuovoľného počtu jednočlenov: Definíci Polnóm Nech n je nezáporné celé číslo,,,, n nech sú komplené čísl Funkci f definovná n množine K všetkých komplených čísiel rovnicou P n () f() n n- n- n () s nzýv polnóm Čísl,,,, n s nzývjú koeficient polnómu P n () f() n určuje stupeň polnómu, k 8

42 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Z dôvodov zjednodušeni nmiesto toho, sme hovorili je dný polnóm f, ktorý číslu prirdí číslo f() n n- n- n hovoríme krátko výrz n n- n- n nzývme polnómom n-tého stupň oznčujeme P n () Ak n, máme nenulový konštntný polnóm, ktorý kždému číslu K prirdí to isté číslo, jeho stupeň je ted Ak n, hovoríme o nulovom polnóme (tj funkciu, ktorá pre kždé K ndoúd hodnotu Nulovému polnómu neprisúdime židen stupeň N stránke je dostupný interktívn plet pre lepšie porozumenie význmu koeficientov polnómu stupň polnómu, kde nájdete i test n overenie si svojich vedomostí Precvičme si lineárn kvdrtický člen v podoe funkcie, s ktorou ste s stretli n strednej škole Otázk : Určite, ktorý z grfov ) d) n or odpovedá grfu funkcie f() - Orázok : K otázke - grf funkcií V prípde potre presvedčeni s o správnosti svojej odpovede, odpoveď nájdete nstvením si hodnôt koeficientov n simulácii Eqution grfer voľne prístupnej n www (or ), kde i nájdete množstvo ďlších zujímvých simulácií podnetných mšlienok Orázok : Vstupná stránk interktívnch simulácií Universit of Colordo t Boulder 9

43 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Pre záujemcov môže ť užitočnou i ďlši zujímvá stránk WIMS (WWW Interctive Multipurpose Server): konkrétne z nej pre riešenú prolemtiku: nlsis%ffunctionen Čitteľ n zopkovnie si stredoškolských znlostí môže vužiť www stránku n drese: Otázk : Prirď správn grf funkciám: ) f(), ) f() n orázkoch Orázok : K úlohe, ktorý z grfov prináleží funkcii Orázok : K úlohe, ktorý z grfov prináleží funkcii Nech f() g() sú dv polnóm nech pre kždé K je f() n n- n- n () g() n n- n- n ()

44 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci Rovnosť dvoch polnómov Polnóm f() g() určené vzťhmi () () s rovnjú vted len vted, k pre kždé K pltí tj n n- n- n n n- n- n ted ( - ) n ( - ) n- ( n - n ) Definíci tj pltí -, -,, n - n,,, n n () Otázk : Pre ké hodnot koeficientov,, s rovnjú polnóm f() g()? f() g() Odpoveď: -,, - Poznámk: Kvôli zjednodušeniu formulácie sme npísli oidv polnóm f() g() určené vzťhmi () () v tkom tvre, že v oidvoch vstupujú rovnké mocnin n, n-,,, To môžeme dosihnuť vžd tým, že k jednému z výrzov n prvých strnách rovností (), () pripíšeme vhodne zvolený výrz tvru k k n Vet : Dv polnóm f() g() určené predpismi () () sú totožné, (tj ndoúdjú tie isté hodnot pre kždé komplené číslo ) vted len vted, k i i pre kždé i,,,, n Možnosť deleni dvoch polnómov je zložená n nsledujúcej vete: Vet : Nech f g sú dv polnóm stupňov m, resp n Nech je m n Potom eistujú tké jednoznčne určené polnóm q() r(), že pltí: ) f() g()q() r() pre kždé K, () ) r() je uď nulový polnóm, leo polnóm stupň menšieho ko n Poznámk: Vet hovorí, že kždý polnóm je jednoznčne určený svojimi koeficientmi To znmená, že s nemôže stť, dv polnóm f g, ktoré mjú v () () rôzne koeficient, mohli ť totožnými funkcimi Možno ukázť, že: ) Súčet (rozdiel) dvoch polnómov stupňov n, m je polnóm stupň s m { m, n } ) Súčin dvoch polnómov stupňov n, m je polnóm stupň n m c) Podiel dvoch polnómov nemusí ť polnóm Vet udeme uvádzť ez dôkzov Čitteľ má možnosť dôkz nštudovť v prípde záujmu vo vrných odorných pulikáciách, ko npr Ivn J: Mtemtik,

45 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci Podiel polnómov Ak pltí vzťh (): f() g()q() r() pre kždé K, potom polnóm q() s nzýv čistočný podiel polnómov f g polnóm r() s nzýv zvšok Ak r() je nulový polnóm, hovoríme, že polnóm f() je deliteľný polnómom g(), leo že polnóm g() delí polnóm f() (ezo zvšku) Deleni polnómu polnómom Otázk : Je polnóm P n () zvškom po delení polnómu f() polnómom g()? Ak nie, určite zvšok po delení Odpoveď: P n () nie je zvškom Zvšok: r() 9 / Dv polnóm delíme podľ známej schém, ktorú poznáme zo strednej škol Zopkujeme si to n nsledujúcich dvoch príkldoch: Príkld : Nech f(), g() Potom počítme podiel f()/ g(): ( ) : ( ) -( ) - ( ) Postup spočív ted v tom, že vdelíme prvý člen polnómu f() s prvým členom polnómu g(), tj / s týmto členom vnásoíme polnóm g() zmeníme znmienk! Postup opkujeme Vidíme, že v tomto príklde je ted q() r() - Preto môžeme npísť: ( - ) ( )( ) ( ), f() g() q() r()

46 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Vdeľte mnohočlen: ( ) : ( ) ( 7 7 ) : ( 7 7 ) 7 PDDA: Ukážte delením dvojčlen: ) dvojčlenom ( ), že pltí rovnosť: ( )( ) ) dvojčlenom ( ), že pltí rovnosť ( )( ) Príkld : Nech f() -, g() Vdeľte polnóm f() polnómom g() ( ) : ( ) -( ) ( ) ( ) V príklde je ted q() - r() Preto môžeme npísť: ( - ) ( ) ( - ) f() g() q() r() Zvlášť dôležité ude pre nás delenie polnómu f() stupň n lineárnm polnómom tvru - α Podľ Vet vzťhu () dostneme: f() ( - α) q() r(), kde r() je polnóm stupň nižšieho ko, ted konštnt rôzn od nul, leo nulový polnóm

47 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Vdeľte mnohočlen ( 6 ) : ( ) ( ( ( ) ( ) 6 6 ) ( 6 (6 ) 6 ) : ( ) 6 ) 6 Algerické rovnice ich zápis v tvre koreňových činiteľov Definíci 6 Algerická rovnic Výrokovú formu n n- n- n, kde n je prirodzené číslo,,,,, n sú komplené čísl,, definovnú n množine komplených čísiel, nzývme lgerickou rovnicou n-tého stupň, tj zpisujeme P n () Koeficient,,,, n s nzývjú koeficient lgerickej rovnice Poznámk: Algerickú rovnicu n n- n- n, udeme krtšie zpisovť v tvre P n () Definíci 7 Riešenie lgerickej rovnice Riešením leo koreňom lgerickej rovnice P n (), resp n n- n- n, je kždé tké komplené číslo α, ktorého dosdením do lgerickej rovnice n n- n- n, z dostneme prvdivý výrok, tj tké číslo α, pre ktoré pltí P n (α)

48 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Koreň (riešenie) n n- n- n nzývme tiež nulovým odom polnómu P n () Termínom riešenie rovnice čsto oznčujeme j postup, ktorým koreň (riešenie) rovnice určujeme Riešiť lgerickú rovnicu, znmená nájsť všetk jej riešeni Otázk : Vedeli sme riešiť lgerické rovnice vššieho stupň ko dve n záklde stredoškolských znlostí? Čiže ez kýchkoľvek nových znlostí či teórie, k nepoužijeme výpočtovú techniku Odpoveď: Kldná odpoveď závisí to od tpu rovnice Npríkld pri riešení rovnice možno postupovť sedlickm rozumom : krok: Zvážime, že niektoré člen v rovnice chýjú skúsime ju vhodne uprviť: ( - ) ( ) ( )( ) krok: Uvedomíme si dve skutočnosti pri súčine činiteľov: ( )( ) ) hodnot polnómu ( ) v ode je rovná nule, tkže vieme predeliť polnóm polnómom : ( ): ( ) - _- - - ( ) ( ) ( ) Vidíme, že jeden koreň je ted α ďlšie dv korene α, nájdeme riešením kvdrtickej rovnice:, ktoré je: ± ± ± i α, ) Uprvme výrz ( ) ( ) ( -)( ) pokrčujme vo vužití známch vzťhov: ( -) ( )( ) Z poslednej rovnice vidíme, že α, α - ± ± i α 6, 7 ± i

49 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Krok : Anlzujme získný výsledok: N záklde známch vzťhov zo strednej škol sme nšli sedem koreňov zdnej lgerickej rovnice Poznámk: Uvedený postup, plikovný pri príklde 7 - -, možno zvážiť pri vhodných lgerických rovnicich Avšk vžd s ním nevstčíme V nsledujúcej čsti s udeme zoerť riešením lgerickej rovnice, vzájomným vzťhom rovnice P n (), koreň α tejto rovnice polnómom stupň tvru (-α) Tktiež nájdeme odpoveď n otázk: Ked má rovnic P n () riešenie? Ako nájdeme korene rovnice P n () koľko ich je? Vet : Číslo α je koreňom lgerickej rovnice P n () vted len vted, k polnóm -α delí polnóm P n () ez zvšku, tj k pltí: P n () (-α)p n- () Poznámk: Predchádzjúc vet hovorí, že k číslo α je koreňom polnómu P n (), potom s tento polnóm dá npísť v tvre P n () (-α)p n- () Tento výsledok možno zovšeoecniť: Definíci 8 Koreňový činiteľ Ak číslo α je koreňom lgerickej rovnice P n (), potom polnóm stupň tvru (-α) nzývme koreňovým činiteľom polnómu P n () Dôležitou vetou, ktorú mnohokrát udeme vužívť, je vet o rozklde lgerickej rovnice n koreňových činiteľov Všimnime si, že koeficient pri njvššej mocnine n vstupuje j v rozklde vo vzťhu (6) Nkoľko s čsto počítjú príkld, kde, potom v prípde k s n tento koeficient v rozklde zudne Vet : Ak lgerická rovnic n n- n- n (resp P n () ) má práve n rôznch koreňov α, α,α,, α n,),potom ju možno npísť v tvre koreňových činiteľov: P n () (-α )(-α )(-α ) (-α n ) (6) 6

50 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vet : Algerická rovnic P n (), n má njvic n rôznch koreňov Bezprostredným dôsledkom tejto vet je: Vet 6: Algerická rovnic P n () má vic než n rôznch koreňov vted len vted, k je P n () nulový polnóm Ak polnóm P n () Q n () stupň n mjú rovnké hodnot vo vic ko n rôznch odoch, potom tieto polnóm mjú rovnké koeficient, tj P n () Q n () V predchádzjúcich úvhách sme vžd predpokldli, že dná lgerická rovnic P n () koreň skutočne má Nevieme všk ztiľ, či kždá lgerická rovnic má spoň jeden koreň Tieto ov rozptýli nsledujúc dôležitá vet Vet 7: Fundmentáln vet lger Kždá lgerická rovnic stupň n má v množine komplených čísel spoň jeden koreň Iné znenie tejto vet možno formulovť Kždá lgerická rovnic P n () stupň n má v množine komplených čísel práve n koreňov Vo Vete sme predpokldli, že lgerická rovnic P n () má n rôznch koreňov α, α, α,, α n Terz s udeme zoerť prípdom, keď lgerická rovnic P n () má prvých k koreňov rovnkých zvšných n-k nvzájom rôznch, tj α α α α k, α k,, α n, čo možno vjdriť: P n () (-α )(-α )(-α ) (-α n ) (-α )(-α )(-α )(-α )(-α k ) (-α n ) (-α ) k (-α k ) (-α n ) Týmto s dostávme k pojmu násonosť koreň lgerickej rovnice Definíci 9 k-násoný koreň Číslo α s nzýv k-násoný koreň lgerickej rovnice P n () k pltí: ) P n (α), ) P n () (-α) k P n-k (), pričom P n-k (α) Ak k nmiesto jednonásoný koreň hovoríme jednoduchý Koreň, ktorý nie je jednoduchý, s nzýv vicnásoný (v nšom prípde k-násoný) N záklde Vet predchádzjúcej definície môžeme vsloviť dôležitú vetu: Vet 8: Nech všetk rôzne korene lgerickej rovnice P n () sú α, α, α,, α r Nech pre i,,, r α i je k i -násoný koreň Potom pltí: k k k r n k k k P n () ( α ) ( α ) ( α ) r r (7) 7

51 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci Rozkld n koreňových činiteľov pri k-násoných koreň k k k Súčin n prvej strne rovnice (7) tj P n () ( α ) ( α ) ( α ) r r s nzýv rozkld polnómu P n () n koreňových činiteľov Poznámk: Je zvkom povžovť k-násoný koreň z k koreňov Otázk 6: N záklde vššie uvedeného riešeni v predchádzjúcej otázke 6 viete npísť rovnicu 7 v tvre rozkldu n koreňové činitele? Koľko násoným koreňom je číslo? Koľko komplených koreňov má lgerická rovnic? Odpoveď: ( ) i i ( ) ( i) ( i)( )( ) Číslo je dvojnásoným koreňom, číslo - je jednoduchým koreňom lgerická rovnic má komplené jednoduché korene Pre kontrolu možno spočítť: 7, čo odpovedá stupňu lgerickej rovnice n 7 N záklde vššie uvedených skutočností možno vsloviť nsledujúcu vetu: Vet 9: Kždá lgerická rovnic P n () stupň n má práve n koreňov, k k-násoný koreň povžujeme z k koreňov Príkld : Npíšte lgerickú rovnicu v tvre súčinu koreňových činiteľov, ktorej jednoduchými koreňmi sú čísl: -i, číslo je trojnásoným koreňom Určite, koľko komplených koeficientov má lgerická rovnic ( i) ( )( ) Po roznásoením jednotlivých činiteľov zistíte, že päť zo šiestich koeficientov je komplených Presvedčte s o správnosti výroku! 8

52 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Algerické rovnice s reálnmi koeficientmi V doterjších úvhách koeficient polnómu P n (), ted j lgerickej rovnice P n (), oli vo všeoecnosti komplené čísl Terz udeme predpokldť, že koeficient polnómu P n (), ted j lgerickej rovnice P n (), sú reálne čísl Nech komplené číslo α i je koreňom lgerickej rovnice s reálnmi koeficientmi stupň n Ted pltí: P n (α) α n α n- n- α n Utvorme k číslu P n (α) komplene združené číslo P n ( α ) Pretože P n (α), je P n ( α ) N záklde vlstností komplene združených čísiel dostneme: n n P n ( α ) α α n α n pretože pre k,,, n je n α n α n n α α n α n n α n P( α ), n n, pretože k sú reálne čísl, je k k Dostli sme ted, že P( α ), čo znmená, že komplené čísloα i je tiež koreňom lgerickej rovnice P n () Tým sme ukázli pltnosť nsledovnej vet: Vet : Nech P n () je lgerická rovnic stupň n s reálnmi koeficientmi Ak komplené číslo α i je jej koreňom, potom j číslo komplene združené k číslu α, tj komplené číslo α - i je jej koreňom Poznámk: Dá s dokázť, že k α je k-násoný koreň lgerickej rovnice P n (), potom j komplene združený koreň α je k-násoný koreň tejto rovnice, Z predchádzjúcej Vet vplýv, že počet komplených koreňov lgerickej rovnice s reálnmi koeficientmi je vžd párn Dôsledkom tejto skutočnosti je nsledujúc vet: Vet : Kždá lgerická rovnic nepárneho stupň s reálnmi koeficientmi má spoň jeden reáln koreň Ďlej s udeme zoerť lgerickou rovnicou P n () stupň n s reálnmi koeficientmi, ktorej rozkld polnómu P n () n súčin koreňových činiteľov je určený vzťhom (7): P n () ( ) k k α ( α ) ( α ) r Korene α, α,α,, α r sú vo všeoecnosti komplené čísl, niektoré z nich môžu ť reálne čísl Podľ Vet ku kždému komplenému koreňu α k k i k eistuje j koreňα k k k i, to v rovnkej násonosti Uroíme súčin k nim prislúchjúcich koreňových činiteľov: k r 9

53 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc ( α k )( α k ) [ ( k k i)][ ( k k i)] [( k ) k i][( k ) k i] ( k ) ( k i) k ( k ) ( k ) Dostli sme polnóm stupň s reálnmi koeficientmi Tento polnóm s už nedá rozložiť n súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi Ak rovnkú úprvu uroíme so všetkými koreňovými činiteľmi ptricimi k nereálnm koreňom koreňové činitele ptrice k reálnm koreňom necháme ezo zmen, dostneme rozkld polnómu P n () n súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi, čo potvrdzuje vet: Vet : Kždý polnóm s reálnmi koeficientmi P n () stupň n s dá rozložiť n súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi Poznámk Tvrdenie Vet si môžeme ukázť n príklde už vriešenej rovnice 7 - -, v tvre koreňových činiteľov Stčí keď si vnásoíme činitele s komplene združenými koreňmi dostneme súčin polnómov prvého druhého stupň: ( ) ( ) ( )( ) Záverom tejto čsti vslovíme vetu o rcionálnch koreňoch lgerickej rovnice s celočíselnými koeficientmi, ktorú udeme čsto používť pri hľdní koreňov Vet : Nech n n- n- n je lgerická rovnic stupň n s celočíselnými koeficientmi Nech rcionálne číslo α p/q, kde p q sú nesúdeliteľné čísl, je koreňom tejto rovnice Potom koeficient je deliteľný číslom q koeficient n je deliteľný číslom p Poznámk: Tvrdenie Vet možno dokázť Keďže všetk vet doterz sme uviedli ez dôkzov, predkldáme čitteľovi, ktorý má záujem spoň dôkz vet : Podľ predpokldu číslo α p je koreňom lgerickej rovnice q n n- n- n, to znmená, že musí pltiť: ( p q )n ( p q )n- n- ( p q ) n, tj p n p n- q n- pq n- n q n z čoho dostneme: p( p n- p n- q n- q n- ) - n q n Ted číslo n q n je deliteľné číslom p, pretože výrz v zátvorke je celé číslo Keďže všk podľ predpokldu p q sú nesúdeliteľné čísl, musí ť nutne koeficient n deliteľný číslom p

54 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Podone z rovnosti p n -q( p n- n- pq n- n q n- ) vplýv, že koeficient je deliteľný číslom q Uvedené skutočnosti o rcionálnch koreňoch lgerických rovníc s reálnmi koeficientmi si zosumrizujeme v nsledovnom postupe Pri hľdní rcionálnch koreňov lgerickej rovnice s celočíselnými koeficientmi je postup nsledovný: Nájdeme všetkých deliteľov q, q,, q s čísl (koeficient pri njvššej mocnine) Nájdeme všetkých deliteľov p, p,, p t čísl n (koeficient pri nultej mocnine, tj solútn člen) Určíme možné rcionálne korene rovnice P n () Kždé rcionálne číslo α, ktoré je koreňom dnej rovnice musí ť tvru α p i pre nejké i,,, tj i,,, s q j Dosdením koreň α do dnej rovnice s presvedčíme, ktorý z týchto zlomkov je skutočne jej koreňom, tj či pltí P n (α) Týmto spôsoom zistíme všetk rcionálne korene dnej rovnice Príkld 6: Nájdite potenciálne rcionálne korene lgerickej rovnice P () overte, ktoré z nich sú koreňmi lgerickej rovnice 7 8 Zo zdni rovnice vidíme, že n 8, Hľdáme korene v tvre α p i postupom: q j Nájdeme všetkých deliteľov p i čísl n 8: p i : {,,,,,, 8, 8}, Nájdeme všetkých deliteľov q í čísl : q í : {, }, Určíme potenciálne rcionálne korene αi p i /q i :{,,,,,, 8, 8}, Overíme dosdením postupne, pre ktoré možné αi je splnené P (αi ) : P () číslo nie je koreňom, P (-) ( ) (- ) 7( ) ( ) ( ) číslo nie je koreňom, P () () () 7 () () () číslo je koreňom, Postupne sme týmto spôsoom ukázli, že: P ( ) 9 číslo nie je koreňom, P () číslo nie je koreňom, P ( ) číslo nie je koreňom, P ( 8) číslo 8 nie je koreňom, P (8) číslo 8 nie je koreňom Presvedčte s o správnosti vlstným výpočtom Tkže výsledkom nšich výpočtov je, že

55 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 6 pokrčovnie riešeni jediným rcionálnm koreňom je číslo Je tento koreň jednoduchý, leo vicnásoný? Odpoveď môžeme získť vicerými spôsomi Ukážme si spôso s vužitím vet definície 8, tj delením polnómu ( 7 8) : ( ) ezo zvšku: ( 7 8) : ( ) -( ) ( 6 ) 8 - ( ) 8 - ( 8) číslo je minimálne jednoduchým koreňom O tom, či je dvojnásoným koreňom s presvedčíme, k polnóm predelíme opäť polnómom ( ) ezo zvšku: ( ) : ( ) - ( ) - ( ) - ( ) - ( ) číslo je minimálne dvojnásoným koreňom O tom, či je trojnásoným koreňom s presvedčíme, k polnóm predelíme opäť polnómom ( ) ezo zvšku: ( ):( ) -( ) -( ) -( ) číslo je minimálne trojnásoným koreňom O tom, či je štvornásoným koreňom s presvedčíme, k polnóm predelíme opäť polnómom ( ) ezo zvšku: ( ):( ) -( ) nie je štvornásoný koreň -( 6) 7 číslo nie je štvornásoným koreňom, je len trojnásoným koreňom rovnice Keďže posledný zvšok po delení ol polnóm druhého stupň ( ), mohli sme riešiť kvdrtickú rovnicu dospieť hneď ku všetkým koreňom rovnice Keďže diskriminnt tejto rovnice D, rovnic mám dv komplene združené korene:, [ ± i () / ]/ Vidíme, že sme nšli všetkých päť koreňov rovnice

56 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Hornerov schém V predchádzjúcich čstich sme s zoerli otázkou eistencie počtu koreňov lgerickej rovnice Vlstnosti koreňov lgerickej rovnice nám v mnohých prípdoch umožnili nájsť niektoré korene Otázk nájdeni všetkých koreňov je vo všeoecnosti veľmi zložitá Z príkldu 6 vidíme, že v tomto prípde sme oli schopní nájsť nielen všetk rcionálne korene, le i dv komplene združené korene Tento postup je jednoduchý, všk čsovo náročný zdĺhvý Tkže olo židuce vedieť nejký iný lgoritmus Súčsné pozntk možno sumrizovť: - Poznáme vzorec, pomocou ktorého vieme nájsť korene kvdrtickej rovnice - Vzorce pre korene kuických rovníc eistujú (Crdnove vzorce), rovnko ko j pre rovnice stupň Tieto sú všk oveľ zložitejšie ich prktická použiteľnosť je veľmi mlá, tkže ich neuvádzme - Podoné vzorce pre lgerické rovnice stupň n neeistujú je známe, že s ni nedjú odvodiť - N výpočet koreňov možno použiť i prostriedk informčných komunikčných prostriedkov, ko je npríkld WZ grpher iné interktívne www stránk ko npríkld - Eistuje lgoritmus, zvný Hornerov schém, n určovnie koreňov lgerických rovníc vpočítnie hodnot polnómu P n () v čísle α, kde stupeň n > jednoduchším spôsoom, ko je dosdzovním do rovnice Ukážeme si ju v nsledujúcej čsti: Hornerov schém (Hornerov lgoritmus) je názov lgoritmu pre efektívne vhodnocovnie polnómov Tento lgoritmus ol pomenovný po ritskom mtemtikovi Willimovi Georgovi Hornerovi Hornerov schém prezentuje delenie polnómu f() n n- n- n lineárnm polnómom ( α) Bude nám umožňovť jednoduchším spôsoom určiť: hodnotu polnómu f() v ľuovoľnom čísle α; rozhodnúť, či dné číslo je, leo nie je koreňom lgerickej rovnice; násonosť koreň; delenie polnómu f() polnómom ( α); rozkld n súčin koreňových činiteľov Prilížime si použitie Hornerovej schém Oznčme koeficient polnómu, ktorý vznikne po delení polnómom ( α) ko i Ich spôso určeni prezentuje tuľk Tuľk : Určenie koeficientov pri Hornerovej schéme Koeficient /koreňα n- n α α n- α n- α n- n- α n- n α n- f(α) Algoritmus Hornerovej schém možno vjdriť skrátene: α i α i- i, i,,, n Použitie Hornerovej schém si ojsníme n konkrétnch príkldoch

57 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: Nech f() 7 - Vpočítjte hodnotu polnómu f() v čísle, tj f()? Podľ vššie uvedenej schém hodnotu f() počítme pomocou tuľk pre α : i / α i,, n i α i 8 6 i f() Hľdná hodnot f() 9 Postup si možno ozrejmiť j grfick n nsledujúcom príklde: Príkld 8: Zistite hodnotu polnómu f() 7 6 v čísle α Podľ vššie uvedenej schém uvedomíme si hodnot koeficientov zpíšeme do tuľk pre α : Pozor, tie mocnin, ktoré nám chýjú dáme koeficient! f() 7 6 Postup prezentujme dvomi spôsomi: A) grfick, kde vužijeme orázk z prezentácie sprcovné v projekte študentom Milnom Hlinákom, čím prezentujeme jednotlivé krok Hornerovej schém operácie, ktoré roíme: krok: Zpíšeme do tuľk koeficient koreň α : krok:

58 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc krok: krok: krok: 6 krok: 7 krok: 8 krok: 9 krok: V poslednom okienku nám všlo číslo -, ktoré udáv f() - B) skrátenou tuľkou: i -7-6 i -7-6 (-6) (-6) - f() - α α α f(α)

59 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Npíšte rozkld lgerickej rovnice P n () n koreňových činiteľov: ) v oore reálnch čísiel, ) v oore komplených čísiel, kde P n () Podľ vet o rcionálnch koreňoch potenciálnmi koreňmi lgerickej rovnice P n () p sú čísl α i, kde p q sú nesúdeliteľné čísl tké, že: q : p/ n p/(-6), tj p je deliteľom čísl 6: [, -,, -,, -,, -, 6, -6, 9, -9,, -, 8, -8, 6, -6 ] : q/ q/: [, -] Tkže množin možných koreňov α je: p [ α i ] [, -,, -,, -,, -, 6, -6, 9, -9,, -, 8, -8, 6, -6 ], q ktoré overíme Hornerovou schémou: 6

60 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: - pokrčovnie V delení polnómu nemusíme pokrčovť, pretože polnóm v predposlednom ridku nám už určuje koeficient kvdrtickej rovnice, ktorú vieme riešiť (, ± i)tkže rozkld n koreňové činitele je: ) v oore R: 9 6 ( )( 6 8) ( )( )( 6) ( )( ) ( ) ) v oore K komplených čísiel: ( )( ) ( i)( i) 9 6 Príkld : Nájdite rozkld polnómu P () - - n súčin koreňových činiteľov Rozkld dného polnómu nájdeme tk, že nájdeme njskôr všetk korene dného polnómu podľ Vet o rcionálnch koreňoch lgerickej rovnice ( ted j polnómu) s celočíselnými koeficientmi Ako korene prichádzjú do úvh čísl: α {, -,, -} Pomocou Hornerovej schém zistíme, ktoré z uvedených čísel je koreňom koľkonásoným: - - i α α α α α -- (-) - (-) - je koreň α (-) je dvojnásoným koreň α nie je trojnásoným koreň - - Pokrčujeme s koeficientmi, kde je posledná Keďže je to kvdrtická rovnic, vriešime ju! : Z tuľk vieme určiť rozkld polnómu n koreňové súčin Tretí ridok nám hovorí: P () ( ) ( )( ) Štvrtý ridok tuľk nám určuje: P () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( - -) ( ) ( )( ) Poznámk: Posledné dv korene: α α sme určili riešením kvdrtickej rovnice 7

61 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Nájdite lgerickú rovnicu, ktorá má všetk korene jednoduché rovnké ko rovnic: Njprv nájdeme všetk potenciálne rcionálne korene uvedenej rovnice Je to lgerická rovnic s celočíselnými koeficientmi, možné rcionálne korene preto sú: α ±, ±, ± Ďlej riešime pomocou Hornerovej schém: α α je koreňom α - - α, je dvojnásoným koreňom α α nie je trojnásoným koreňom α α je koreňom α 9 α je jednoduchým koreňom α - α - je koreňom Z posledného ridku vidíme, že s jedná o kvdrtický dvojčlen: α i, α 6 -i Jednoduché korene hľdnej rovnice ted udú:,,-, i, -i, hľdná rovnic ude mť tvr: (-)(-)()(-i)(i), tj Poznámk: Frené oznčenie ridkov v Hornerovej schéme Príkldu 9 nznčuje, z ktorého ridku je výhodné overovť ďlší vrný koreň Príkld : Riešte lgerickú rovnicu, k viete, že jeden jej koreň je číslo i Npíšte rozkld ) polnómu P n () n súčin koreňových činiteľov, ) polnómu P n () n súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi Oznčme si P () α i je koreň lgerickej rovnice s reálnmi koeficientmi Potom, podľ Vet, je j komplene združené číslo * α α - i tiež koreňom tejto lgerickej rovnice Potom polnóm P () je deliteľný koreňovými činiteľmi ( i),( i) ted polnóm P () musí ť deliteľný j súčinom koreňových činiteľov: ( i)( i) ( ) i ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ) ( ) ( ) 8

62 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : - pokrčovnie riešeni N záklde výpočtu možno zpísť P () ( )( ), tkže stčí riešiť lgerickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi Možné rcionálne korene sú α { ±, ± } Použijeme Hornerovu schému: - - α - α nie je koreňom α - - α - je jednoduchým koreňom α α - nie je koreňom α α nie je koreňom α - - α - nie je koreňom Úkon v posledných dvoch ridkoch sme nemuseli roiť, pretože z tretieho ridku tuľk vidíme, že nám ostl kvdrtický dvojčlen, ktorý vieme riešiť: α, i Odpoveď: ) Rozkld polnómu P n () n súčin koreňových činiteľov ude: P n () ( )( ) ( )( ()( i )( i ) ) Rozkld polnómu P n () n súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi možno zpísť: P n () ( )( ()( ) Príkld : Ak vieme, že koreňmi lgerickej rovnice s reálnmi koeficientmi (AR) sú čísl: i, -i - jednoduché korene, dvojnásonými sú čísl,, čísl, sú trojnásoné korene AR Npíšte: ) lgerickú rovnicu v tvre súčinu koreňových činiteľov, ) ký je stupeň n AR, c) kú hodnotu má koeficient, d) kú hodnotu má koeficient n Rozkld polnómu P() n súčin koreňových činiteľov je: ) P n () ( i)( i) ( i) ( i) ( ) () ( ) ( ) ) Stupeň AR n ; c) Koeficient ; d) Koeficient n určíme, k si npíšeme P() v tvre súčinu činiteľov s reálnmi koeficientmi: P() {( ) }{( ) i }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) () () 6 8 9

63 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Npíšte lgerickú rovnicu v tvre súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi v tvre súčinu koreňových činiteľov v oore K: Oznčme si P () je lgerická rovnic s celočíselnými koeficientmi Hľdáme rcionálne korene v tvre α p/q, kde p/(-) q/, ted: p ±, q ±, ±, α { ±, ± /} Pomocou Hornerovej schém zistíme, ktoré z čísiel sú koreňmi: α - nie je koreňom je jednoduchý koreň / ½ je koreňom Keďže α - je koreň, n záklde tretieho ridku schém možno písť: ) P () ( )( ) ( ) ( /)( ( ) ( ) ( /) ( ), čo je rozkld v tvre súčin polnómov stupň s reálnmi koeficientmi; ) P () () ( )( i)( i), čo je rozkld v množine komplených čísiel K Špeciálnm prípdom lgerickej rovnice je inomická rovnic, riešenie ktorej si ukážeme Definíci - Binomická rovnic Rovnic n, kde, s nzýv inomická rovnic Rovnicu možno uprviť n tvr n /, tkže udeme uvžovť z zákldný tvr inomickej rovnice n c, kde c, ktorá má n rôznch koreňov, ktoré vpočítme zo vzťhu ϕ kπ ϕ kπ α n k c cos isin (7) n n kde φ, k c > φ π, k c <, i je imginárn jednotk z k dosdíme postupne čísl,,,, n- Príkld : Nájdite korene rovnice 8 Máme riešiť rovnicu Pretože - 8 <, φ π, čo čitteľ ľhko zistí, k si číslo - nkreslí do sstému Podľ vzťhu (7) určíme štri korene pre k,, : π π π π π π α cos isin i, α cos isin i, π π π π π 7π α cos isin i, α cos isin i 6

64 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vužitie interktívnch simulácií n riešenie lgerických rovníc V súčsnej informčnej spoločnosti nie je možné, nevužívť to čo nám informčné technológie ponúkjú Keďže ich vývoj je neustál rýchl, ojvuje s n internete množstvo rôznch produktov, či už ko open source, tj voľne prístupné zdroje, leo z úhrdu Je n zručnosti čitteľ, ktorý si verie ko s s ním nučí prcovť Je le dôležité, jednk sme sledovli tieto trend, le vžd pri ich použití mli logické uvžovnie Jedným z voľne dostupných progrmov je WZgrpher, ktorý si možno stihnuť n: domcnost/vukove_progrm/wzgrpher/ Túto plikáciu je možno vužiť n: - kreslenie grfov funkcií v krteziánskej polárnej súrdnicovej sústve; - numerické grfické riešenie integrálov derivácií (ž do piteho rádu) funkcií; - výpočet diferenciálnch integrálnch rovníc; - prácu s tuľkmi Po stihnutí otvorení progrmu postupujte (pozri or ): - kliknete políčko funkci f() n ľvej strne hore, resp v hornej lište: grph funkci (or ); - vpíšete skúmnú funkciu dolu do voľného priestoru, všimnite si, ký je poždovný mtemtický zápis, definujte intervl pre funkciu (or c) kliknete n grph, vprvo hore Získte grf dnej funkcie - Odčítte priesečník s osou kliknutím n priesečník s zorzí hodnot koreň (or 6) Orázok : WZgrpher otvorenie 6

65 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok, c: WZgrpher postup zdni funkcie Postup si ukážeme n konkrétnom riešenom príklde: Príkld 6: Riešte grfick lgerickú rovnicu P () - použitím WZgrpheru Orázok 6: Grfické riešenie rovnice - použitím WZgrpheru Jeden koreň sme nšli použitím,7 Aký ude druhý koreň? Určite ho! 6

66 Kpitol Polnóm lgerické rovnice doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Otázk 7: Čo vieme povedť n záklde or 7 o riešení lgerickej rovnice /? Orázok: 7: Grfické riešenie / Odpoveď: V oore reálnch čísiel nemá riešenie Ďlšie zdroje n riešenie rovníc čitteľ nájde n: resp wwwphetcolordoedu Kontrolné otázk Ojsnite pojem polnóm stupň n Čo je to lgerická rovnic stupň n? Čo nzývme koreňom (resp riešením) lgerickej rovnice P n ()? Čo nzývme rozkld polnómu n koreňových činiteľom? Zpíšte ho pre vmi zvolený prípd Čo vieme povedť o výrze P n (), k číslo α je koreňom lgerickej rovnice? Ojsnite, čo to znmená, že číslo α je k-násoný koreň lgerickej rovnice P n (), resp polnómu P n ()? Zpíšte tento výrok 6 Čo vjdruje fundmentáln vet lger? Vslovte znenie fundmentáln vet lger 7 Aký je počet koreňov (riešení) lgerickej rovnice stupň n? 8 Čo je to rozkld polnómu n súčin koreňových činiteľov? 9 Aký je mimáln počet komplených koreňov lgerickej rovnice piteho stupň s reálnmi koeficientmi? Ako možno rozložiť kždý polnóm s reálnmi koeficientmi? Aké rcionálne celočíselné korene môže mť lgerická rovnic s celočíselnými koeficientmi? Vslovte postup pri hľdní možných koreňoch AR Ojsnite význm Hornerovej schém Môžeme ju vužiť n určovnie rozkldu n koreňové činitele? Vslovte, čo všetko je možné pomocou nej určiť Má lgerická rovnic nepárneho stupň s reálnmi koeficientmi spoň jeden reáln koreň? Svoje tvrdenie zdôvodnite Ojsnite rozdiel medzi pojmmi: polnóm lgerická rovnic 6

67 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc KAPITOLA ZÁKLADY VEKTOROVEJ ALGEBRY Učené ciele: Nučiť s prcovť s vektorovými veličinmi n záklde prvidiel vektorovej lger pltnej vo vektorovom priestore; Zvládnuť plikáciu ndoudnutých pozntkov v podmienkch reálneho svet; Nučiť s prcovť s vektorovými rovnicmi; Vedieť ojsniť rozdiel medzi sklárnm vektorovým súčinom dvoch vektorov, ich význm, ko vedieť vpočítť zmiešný súčin medzi tromi vektormi Kľúčové slová: Vektor, vektorový priestor, operácie s vektormi: sčitovnie, násoenie vektor sklárom, sklárn vektorový súčin dvoch vektorov, zmiešný súčin troch vektorov Poždovné vedomosti: znlosť stredoškolskej mtemtik z olsti úprv riešeni rovníc Motiváci Orázok : Príkld vužiti vektorovej lger Fzikálne vektorové veličin Reáln svet okolo nás nám ponúk široké spektrum veličín, npríkld technických, či fzikálnch iných N určenie niektorých veličín postčuje jeden údj, kým n určenie iných veličín jeden údj nestčí Vo všeoecnosti podľ počtu údjov potrených n ich úplné určenie definujeme tri ktegórie fzikálnch veličín: sklárne, vektorové tenzorové Definíci - Sklárne veličin Veličin, ktoré sú jednoznčne určené jedinou číselnou hodnotou nzývme sklárne veličin (resp sklár) Ako príkld sklárnch fzikálnch veličín možno uviesť: teplot, tlk, hmotnosť, čs, 6

68 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci - Vektorové veličin Veličin, ktoré chrkterizujeme nielen ich veľkosťou, le j smerom orientáciou v priestore nzývme vektorové veličin (resp vektor) Ako príkld vektorových fzikálnch veličín možno uviesť rýchlosť, zrýchlenie, silu, intenzit elektrického poľ, Potreu vzniku vektorovej lger si vnútil reáln život njmä mechnik, ktorá s zoerl j skldním síl V dennom živote nás oklopuje trojrozmerný priestor, ktorého mtemtickou strkciou je Euklidovský trojrozmerný priestor Priestor, v ktorom prcujeme s vektorovými veličinmi nzývme vektorový priestor A sme si uvedomili, že prcujeme s vektorovými veličinmi, všetk fzikálne vektorové veličin oznčujeme písmenom so šípkou nd písmenom: v,, resp tučnou kurzívou: v, Treťou ktegóriou veličín sú tké veličin, ktoré súvisi s rôznmi vlstnosťmi vrných mteriálov v rôznch smeroch Definíci - Tenzorové veličin Veličin, ktoré sú jednoznčne určené v trojrozmernom priestore vic ko tromi údjmi nzývme tenzorové veličin Ako príkld možno uviesť tenzor npäti, tenzor deformácie iné Mteriál, vkzujúce nizotrópne vlstnosti (rôzne vlstnosti v rôznch smeroch) mjú mnohorké vužitie v reálnom živote: npr v zpľovčoch, Popisovť ich udeme pomocou mtíc (tpu ), ktorým s udeme detilnejšie venovť v kpitole päť V tejto čsti s sústredíme n vektorové veličin, pre ktoré si definujeme zákldné operácie, ktoré vchádzjú zo skldni vektorov, ted orientovných úsečiek, ktoré mjú definovný zčitok veľkosť (or ) v O F A Orázok : Znázorňovnie oznčovnie vektorov Definíci - Vizná vektorová veličin Vizná vektorová veličin je tká vektorová fzikáln veličin, ktorá je vizná n nejký od v priestore (pôsoisko), npr sil pôsoic n deformovteľné teleso Pri zmene pôsoisk tejto sil s zmeni j účink n dné teleso Norm STN ISO - ukldá písť všetk fzikálne veličin, npríkld vektor sil F -ležtým písmom kurzívou hruo ( oldom), leo s vektorom nd fzikálnou veličinou npísnou kurzívou F V tete udú používné oidv tp oznčení vektorov 6

69 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Pripomeňme si, že: ) fzikálne vektorové veličin možno, po vnechní rozmeru, chrkterizovť číslom udávjúcim ich veľkosť, smer orientáciu leo ich zkresliť orientovnou úsečkou; ) vektorové fzikálne veličin delíme n vizné, kĺzvé (leo posuvné) voľné c) ko prvý s vektormi zčl prcovť holndský fzik Stein, ktorý znázorňovl sil pomocou orientovných úsečiek Definíci - Kĺzvá vektorová veličin Vektorová fzikáln veličin pôsoic pozdĺž nejkej primk, ktorá nemá určité pevné pôsoisko s nzýv kĺzvá npr sil pôsoic n solútne tuhé teleso Definíci 6 - Voľná vektorová veličin Vektorová veličin ktorá nie je vizná n určité pôsoisko s nzýv voľná vektorová veličin npr moment dvojice síl pôsoicich n tuhé teleso S ohľdom n reáln svet okolo nás vieme vtvoriť dv mtemtické model vektor: Aritmetický model vektor v trojrozmernom priestore určený trojicou čísiel v (v, v, v ), resp v n-rozmernom priestore n-ticou čísel, ktoré nzývme súrdnicmi vektor vo zvolenej súrdnicovej sústve (,,, n-, n ) Geometrický model vektor v priestore grfick znázornený orientovnou úsečkou vektorom, ktorý má zčitočný od koncový od oznčený šípkou pozri or, kde od O je zčitočný od od A koncový od vektor F Definíci 7 - Veľkosť vektor Veľkosť vektor (resp solútn hodnot vektor) je vžd nezáporná hodnot, ktorú oznčujeme F určíme ju ko vzdilenosť zčitočného odu so súrdnicmi O (,, z ) koncového odu vektor A ( A, A, z A ) podľ vzťhu d ( z () A ) ( A ) ( za ) Definíci 8 - Smer vektor rovnosť vektorov Pod smerom vektor rozumieme množinu všetkých primok rovnoežných s primkou, hovoríme o smere (or ) Dv vektor povžujeme z rovnké (resp ekvivlentné), k mjú rovnký smer rovnkú veľkosť (sú ted kolineárne), pretože s rovnoežným posunutím jedného z nich djú stotožniť 66

70 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok : Smer vektor rovnké vektor Poznámk: Je zrejmé, že smer je spoločná vlstnosť všetkých nvzájom rovnoežných primok je jednoznčne určený hociktorou z týchto primok Orientovnou primkou nzývme množinu všetkých odov n primke usporidných podľ jedného z dvoch možných usporidní dvoch rôznch odov A B tejto primk: ) od A je pred odom O (píšeme A < O); ) od je pred odom A (píšeme O > A) Orientovnú úsečku OA udeme nzývť vizným geometrickým vektorom (stručne vizným vektorom), kde od O je zčitočný od, v ktorom je pôsoisko, od A je koncový od vektor Pri skúmní vlstností tuhého teles s stretneme s vizným vektorom sil n primku, ktorého pôsoisko možno posunúť do ľuovoľného odu primk Vektor n or nzývme reprezentntom voľného vektor Otázk : Možno povžovť dv nesúhlsne orientovné vektor rovnkej veľkosti z rovnké? Odpoveď: Nie Definíci 9 - Nulový vektor Pod nulovým vizným vektorom rozumieme od ko orientovná úsečk, ktorej koncový od splýv so zčitočným odom oznčíme ho resp Je zrejmé, že nulový vektor neurčuje nijký smer ni orientáciu Definíci - Jednotkový vektor Jednotkový vektor je tký vektor, ktorého veľkosť s rovná jednej V krteziánskej súrdnicovej sústve oznčujeme jednotkové vektor: i (,, ) - vektor v smer osi, j (,, ) vektor v smer osi k (,,) - vektor v smer osi z Otázk : Je vektor (,, ) jednotkový vektor? Odpoveď: Nie, leo jeho veľkosť 67

71 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Dĺžk nulového vektor je Ak dĺžk nenulového vektor je jednotkový vektor s ním súhlsne rovnoežný je, tk pltí:, ( resp s použív i zápis ) () z čoho úprvou dostávme pre jednotkový vektor vzťh resp v tvre () Vzťh () nám vjdruje, že kždú fzikálnu vektorovú veličinu možno zpísť ko súčin jej veľkosti smeru, určeným jednotkovým vektorom Čsto s stretneme so zápisom vzťhu () v tvre, njmä v mechnike, npríkld pri určení vektor rýchlostí v v v, resp v vv, kde v je veľkosť vektor v v je jednotkový vektor Kontrolné otázk Ako rozdeľujeme veličin podľ počtu údjov potrených n ich presné určenie? Ako oznčujeme vektor, resp vektorové fzikálne veličin ko ich veľkosti? Ako je definovný smer vektor? Ako je určená orientáci vektor? Čo je solútn hodnot vektor? Vjdrite všeoecným mtemtickým vzťhom veľkosť vektor, určeného odmi OA, keď od O leží v zčitku súrdnicového sstému koncový od A leží: ) v rovine z, ) v priestore so súrdnicmi (,, z) 6 Povžujeme z rovnké dv vektor, ktoré mjú rovnkú veľkosť rovnký smer, le nemjú spoločný zčitočný od? 7 Vsvetlite pojem reprezentnt voľného vektor 8 Sú dv ekvivlentné vektor rovnké vektor? 9 Ojsnite pojem vizného voľného geometrického vektor Zpíšte vektor pomocou jeho veľkosti smeru vektorovou rovnicou Ojsnite význm jednotlivých veličín Ako je definovný jednotkový nulový vektor? 68

72 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vektorový priestor Fzikálne vektorové veličin popisujú reálne ojekt v reálnom svete okolo nás (D) Prenik vektorového počtu do prírodných technických vied ol dný možnosťou formulovť množstvo fzikálnch technických pojmov výsledkov nezávisle n voľe súrdnicovej sústv Preto pri riešení mnohých fzikálnch technických úloh olo je výhodné používť vjdrenie vektorov v tvre usporidných dvojíc, leo trojíc, podľ toho či skúmme, resp prcujeme s vektormi v rovine leo v priestore Mtemtik všk zovšeoecňuje pozntk tohto svet n n-rozmerný priestor Ako s prcuje v tkomto priestore ked vtvorí vektorový priestor, ude predmetom nsledovných čstí Definíci - Operácie s ritmetickým vektorom Definujme n množine všetkých usporidných n-tíc reálnch čísiel (,,, n ), ktoré nzývme ritmetickým modelom vektor, rovnosť, sčítnie násoenie reálnm číslom α tkto: rovnosť (,,, n ) (,,, n), () práve vted, k,, n n súčet (,,, n ) (,,, n) (,,, n n) () násoenie reálnm číslom α tj sklárom α α (,,, n ) (α, α,, α n ) () Aritmetické vektor s nchádzjú v ritmetickom priestore, ktorý je definovný nsledovne: Definíci - Vektorový ritmetický priestor V n Pod n-rozmerným ritmetickým vektorovým priestorom V n rozumieme priestor, ktorého prvkmi sú vektor (tj množin usporidných n-tíc reálnch čísiel), v ktorom je definovná rovnosť, sčítnie násoenie reálnm číslom α vzťhmi ( ž ) To znmená, že V n oshuje: - nulový vektor: (,,,) - jednotkový vektor, ktorého dĺžk s rovná Ako príkld jednotkových vektorov možno uviesť (,,,), (,,,), (,,,) - vektor opčný k vektoru, tj, kde α (,,, n ) (,,, n ) (6) Poznámk: Zo zápisu rovností, určených vzťhmi neskôr uvidíme, že ritmetický vektor v n- rozmernom priestore môžeme ted nhrdiť mticou tpu n, tj jednoridkovou mticou s n- stĺpcmi, resp orátene mticou tpu n (n - ridkovou jedno stĺpcovou mticou) 69

73 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Tkže k definovniu operácií vo vektorovom priestore sme vužili znlosti s operácimi s mticmi: násoenie mtice číslom α rôznm od nul ko i sčítnie mtíc Pri zvádzní zákldných operácií s vektormi s vchádzlo zo všeoecne známeho princípu skldni síl pomocou silového rovnoežník skldnie rýchlostí, ktoré si ližšie ozrejmíme v geometrickom modeli vektor, tj v modeli orientovnej úsečk: Vzťh () predstvuje súčet α rovnkých vektorov Súčet pre dvojrozmerný priestor s α ukzuje or Vektor opčný k vektoru pre dvojrozmerný priestor prezentuje or Orázok : Súčet troch rovnkých vektorov Orázok : K pojmu vektor opčný Definíci Súčet geometrických vektorov Súčtom vektor s vektorom nzývme vektor c ( c ), ktorý je určený doplnením n rovnoežník (or 6) Orázok 6: K ojsneniu konštrukcie súčtu dvoch vektorov Pre názornejšie pochopenie si pozrite interktívnu nimáciu Wlter Fendt ( ktorú priližujú orázk 7 7 Orázok 7: ) K ojsneniu súčtu dvoch vektorov ) doplnenie n rovnoežník uhlopriečk je súčet vektorov ( 7

74 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Je zrejmé, že v oidvoch modeloch vektor plti pre kždé, c V n zákon, vjdrujúce vlstnosti súčtu vektorov: komuttívn socitívn zákon, ktoré vjdrujú vzťh: Vet : Pre kždé, c V n pltí komuttívn socitívn zákon: k o m ouť st c c s o c ť i ( ) ( ) o s Komuttívn socitívn zákon hovorí, že nezáleží n pordí, v kom vektor sčítme Sčítnie štroch vektorov prezentuje or 8 z Fendtovej nimácie Orázok 8: Súčet štroch vektorov Otázk : Viete popísť konštrukciu súčtu štroch vektorov, ktorých vidíte n orázku 7? Odčítnie vektorov s zvádz ko inverzná operáci k sčítniu vektorov: Definíci Odčítnie vektorov Odčítť vektor od vektor znmená nájsť tký vektor, pre ktorý pltí Vektor s nzýv rozdiel vektorov oznčuje s (7) Z definície vplýv nsledovná konštrukci vektor : / ( ) 7

75 Pre súčin čísiel vektorov pltí socitívn distriutívn zákon: Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci Násoenie vektor sklárom Nech je nenulový vektor α je reálne číslo (sklár) Súčinom čísl α vektor rozumieme vektor, ktorého dĺžk s rovná α, ktorý je súhlsne rovnoežný (kolineárn) resp (nesúhlsne rovnoežný) s vektorom, podľ toho či α > (α < ) Pre α, leo kldieme α Hovoríme o násoení vektor sklárom Vet : Pre kždé, c V n pre ľuovoľné čísl α β pltí pre násoenie socitívn distriutívn zákon: α ( β ) ( αβ ) socitívnosť ( α β ) α β distriutívnosť α α α ( ) Čsto s v rôznch situáciách stretávme s pojmmi lineárn závislosť nezávislosť vektorov lineárn komináci vektorov Ich ojsnenie podávjú nsledovné tri definície Definíci 6 - Lineárn nezávislosť vektorov, áz Vn Hovoríme, že množin vektorov,, k (k >) vektorového priestoru Vn je lineárne nezávislá, k vektorová rovnic α α α k k (8) je splnená pre čísl α α α k Množinu n - lineárne nezávislých vektorov,, n Vn nzývme ázou Vn Ak vektor áz sú nvzájom kolmé, hovoríme o ortogonálnej áze Ak vektor, ktoré tvori ázu, sú jednotkové nvzájom kolmé, áz s nzýv ortonormáln Definíci 7 - Lineárn závislosť vektorov Hovoríme, že vektor,, k (k >) vektorového priestoru Vn sú lineárne závislé, k vektorová rovnic α α α kk (8) je splnená pre čísl α, α,, α k, z ktorých spoň jedno číslo je rôzne od nul Definíci 8 - Lineárn komináci vektorov Hovoríme, že vektor je lineárnou komináciou vektorov,, k (k >), k vektorová rovnic α α α (9) je splnená pre čísl α, α,, α k, z ktorých spoň jedno je rôzne od nul k k 7

76 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Z definície lineárnej závislosti 7 vplýv, že k medzi vektormi je s -vektorov (s k) lineárne závislých, tk sú všetk vektor lineárne závislé Ľuovoľne vrné vektor spomedzi lineárne nezávislých vektorov sú lineárne nezávislé Vet : Pre vektor,, k (k >) plti nsledujúce vlstnosti: sú lineárne závislé, vted len vted, keď niektorý z nich je lineárnou komináciou osttných vektorov, Dv nenulové vektor sú lineárne závislé, vted len vted k sú rovnoežné (kolineárne) Tri nenulové vektor sú lineárne závislé, vted len vted k leži v rovine (hovoríme, že sú komplnárne) Ľuovoľné štri vektor v trojrozmernom (D) priestore sú lineárne závislé Kždý vektor Vn môžeme jednoznčne vjdriť ko komináciu áz Vn Definíci 9 Súrdnice zložk vektor Čísl α, α,, α k vo vektorovej rovnici α α α k k (9) s nzývjú súrdnice vektor v áze vtvorenej vektormi, k (k >), pričom člen α nzývme zložkou vektor Rozkld vektor v dvojrozmernom priestore V, ktorého ázou sú vektor i (, ) - vektor v smer osi j (, ) vektor v smer osi, prezentuje orázok 9 Čitteľ si môže interktívne vskúšť rozkld ľuovoľného vektor n www stránke: Orázok 9: Rozkld vektor do zložiek jeho súrdnice 7

77 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc S rozkldom vektorov s stretneme npríkld v mechnike Pri skúmní pohu je nevhnutné si zvoliť vzťžnú sústvu V pri čsto s stretávme so vzťžnou sústvou, ktorú tvorí určitá súrdnicová sústv Veľmi čsto vužívme tzv krteziánsku prvouhlú súrdnicovú sústvu (SS), určenú zčitkom O (vzťžným odom), do ktorého sú umiestnené tri nvzájom kolmé jednotkové vektor i, j, k v smere súrdnicových osí,, z, respektíve Vzhľdom n tkúto súrdnicovú sústvu polohu skúmného odu A (or ) máme určenú vted, k poznáme všetk tri jeho súrdnice:,, z ( je kolmá vzdilenosť odu A od rovin preloženej osmi z, ) N určenie poloh hmotného odu v priestore vzhľdom n vzťžný od možno použiť polohový vektor r Polohový vektor odu A je vektor, ktorého zčitok je vo vzťžnom ode O koncový od je v ode A Orázok : Polohový vektor r odu v krteziánskej súrdnicovej sústve Definíci Polohový vektor, jeho rozkld n zložk veľkosť V krteziánskej súrdnicovej sústve polohový vektor r možno určiť vzťhom r i j zk () kde čísl,, z s nzývjú súrdnice vektor r v áze určenej vektormi i, j, k Rovnic r r r r z () určuje rozkld vektor r n zložk v smere súrdnicových osí, kde r i, r j r z zk Veľkosť polohového vektor r je určená vzťhom: r r z () Poznámk: Polohový vektor r odu A zvier so súrdnicovými osmi, z uhl α, β, γ, ktoré nzývme smerové uhl (or ) Pre smerové kosínus týchto uhlov plti vzťh: z cos α ; cos β ; cos γ ; () r r r cos α cos β cos γ () Možno ich vužiť, pri znlosti veľkosti vektor r, n určenie súrdníc odu A V mechnike s čsto stretneme s rozkldom vektor sil F v rovine do osí F F i F j, ktorý prezentuje orázok 7

78 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok : Rozkld vektor F v rovine Príkld : Vektor sil F má v krteziánskej súrdnicovej sústve súrdnice: F (,, ) Určite jeho veľkosť smerové kosínus Veľkosť polohového vektor F je určená vzťhom: z z F F F F F Smerové kosínus sú určené vzťhmi: cos α ; r cos β ; r z cos γ r Príkld : Určite vektor jeho veľkosť, ktorý je rovný päťnásoku vektor r, k viete, že súrdnice sú r [,, ] vektor má opčný smer ko vektor r Aký je uhol týchto vektorov? Sú tieto vektor nesúhlsne kolineárne? ) Zo zdni vieme, že pltí: r ( i j k) (i j k) Veľkosť vektor je určená vzťhom: z ( ) () ) Nkoľko sú vektor r opčné ležice n tej istej primke, ich uhol je 8 c) Áno, tieto dv vektor sú nesúhlsne kolineárne (tj nesúhlsne rovnoežné),9 7

79 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : N orázku sú znázornené tri vektor r, v v určitom čsovom okmihu t Určite: ) ázu trojrozmerného priestoru, ) z grfu ich súrdnice zpíšte vjdrenie vektorov, c) ich veľkosti Orázok : Znázornenie vektorov v krteziánskej súrdnicovej sústve ) Ako vidíme z orázku, ázu tvori tri jednotkové kolmé vektor i, j k, pomocou ktorých vjdríme vektor r, v ) r(t ) i j -k, v(t ) i j, (t ) 6i c) r ( ), v, 6 Príkld : V ritmetickom modeli vpočítjte súčet vektorov, k viete, že ( i j k), (i j k) ) Nkreslite v krteziánskej SS tieto vektor sčítjte ich grfick ( i j k) (i j k) (i 6k) Grfické sčítnie ponecháme n čitteľ, pričom odporúčme nštudovť predchádzjúci príkld Kontrolné otázk Ojsnite rozdiel medzi zložkou vektor súrdnicou vektor Zpíšte tieto skutočnosti Ojsnite význm komuttívneho socitívneho zákon pri sčítní vektorov Ojsnite sčítnie dvoch vektorov v ritmetickom modeli geometrickom modeli Uveďte, čo rozumieme pod lineárnou komináciou vektorov! Definujte vektorový priestor ojsnite pojem ortonormáln áz vektorov! 6 Ako vjdríme veľkosť vektor, keď sú známe jeho súrdnice? 7 Ako s zmeni zložk súrdnice vektor, keď ho vnásoíme sklárom? 8 Uveďte, ko vpočítte uhol, ktorý vektor zvier s osou, keď poznáte jeho súrdnice! 9 Získme súčtom dvoch vzájomne kolmých jednotkových vektorov jednotkový vektor? 76

80 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Súčin medzi vektormi V definícii sme si ojsnili násoenie vektor sklárom, čiže číslom, ktoré nám určuje vektor rovnoežný s pôvodným vektorom, le rôznej veľkosti Ak sklár je záporné číslo, tk j opčnej orientácie Medzi dvomi vektormi sú definovné: sklárn vektorový súčin Medzi tromi vektormi sú definovné: dvojnásoný vektorový súčin zmiešný súčin A/ Sklárn súčin dvoch vektorov Definíci Sklárn súčin dvoch vektorov Sklárn súčin dvoch vektorov je definovný ko operáci, ktorej výsledkom je sklárn veličin Hodnot tejto sklárnej veličin je určená súčinom veľkostí príslušných vektorov kosínusu uhl, ktorý tieto vektor zvierjú: cosα () Poznámk: Sklárn súčin s oznčuje odkou medzi vektormi, v strede výšk písmen Uhol medzi dvom vektormi s určuje tk, neol väčší ko π rdiánov (8 o ) Niektoré vlstnosti sklárneho súčinu uvedieme vo forme vet: Vet : Sklárn súčin dvoch vektorov je komuttívn: Ak je uhol medzi vektormi menší ko π /, sklárn súčin je kldný, leo kosínus ostrého uhl je kldný Ak je uhol medzi vektormi väčší ko π /, je kosínus uhl, ted j sklárn súčin, záporný Sklárn súčin dvoch kolmých vektorov s rovná nule, pričom ni jeden z vektorov nemá nulovú veľkosť, pretože cos (π/) Pre sklárne súčin jednotkových vektorov pltí: i i, j j, k k, i j, i k, j k Pre sklárn súčin pltí distriutívn zákon: ( c) c Sklárn súčin možno vjdriť pomocou súrdníc: ( i j z k) ( i j z k ) z (6) Uhol dvoch vektorov možno vjdriť pomocou sklárneho súčinu: cos z z α (7) ( )( ) z Sklárn súčin vektor jednotkového vektor určuje veľkosť jeho priemetu do osi: i, j, z k 77 z

81 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Zložk polohového vektor r možno vjdriť pomocou zápisu: r r i (r i) i, r r j (r j) j, r z r z k (r k) k Význm sklárneho súčinu: Ozrejmime si význm sklárneho súčinu vektorov pomocou orázk Výsledkom sklárneho súčinu dvoch vektorov je číslo (sklár), ktoré je určené veľkosťou jedného vektor vnásoeného veľkosťou druhého vektor do smeru prvého vektor, tj (resp nopk ) Možno povedť, že výsledkom sklárneho súčinu je číslo, ktoré určuje plochu odĺžnik s rozmermi Toto tvrdenie vchádz z definície vzťhu (), ktorý možno zpísť: cosα [ cosα ] [ cosα ] Orázok : Význm sklárneho súčinu Otázk : Aký význm má: ) sklárn súčin dvoch vektorov ) i c) ( i ) i d)? Odpoveď: ) výsledok je sklár číslo určené plochou odĺžnik s rozmermi leo ) -ová súrdnic vektor, c) zložku vektor d) vjdruje komuttívnosť sklárneho súčinu Príkld : Určite uhol vektorov, kde (, -, -), (, -, ) ( )( ) ( ) cos γ 9 6 γ 9 Vektor sú nvzájom kolmé 78

82 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 6: N orázku je znázornený trojuholník určený vektormi i, i Určite vnútorné uhl trojuholník j γ i α β c φ Orázok : K výpočtu uhlov trojuholník Keď máme vpočítť vnútorné uhl, udeme počítť uhl medzi vektormi, vektormi c Vužijeme pozntok, že súčet uhlov v trojuholníku je 8 z z cos γ γ 6,9 ( )( ) 6 9 z N výpočet uhl β vjdríme vektor c, pričom pltí: c c -i j Opäť použijeme vzťh (7), pričom uhol medzi c oznčíme φ β 8 φ cos c ϕ c ( ) β 8 φ 8 8, 7,7 z ϕ 8, Príkld 7: Určite, ké musí ť číslo λ vektor r p oli nvzájom kolmé, k je dné: r, p λ,, uhol medzi vektormi je π/ A vektor r p oli nvzájom kolmé, ich sklárn súčin musí ť rovný nule, tj pltí: r p Počítjme: r p ( ) ( λ ) λ λ cosϕ λ cos cos λ cosϕ cos λ λ cos 9 (,) λ 8 6 λ 8λ 7 λ / Poznámk: Vužili sme pozntok, že cos cos 6, 79

83 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc B/ Vektorový súčin dvoch troch vektorov Vektorový súčin dvoch vektorov je zvedený ko operáci, ktorej výsledkom je vektor Preto musíme definovť veľkosť výsledného vektor, jeho smer orientáciu Vektorový súčin s oznčuje krížikom medzi vektormi Stretávme s s ním npríkld v mechnike pri definícii momentu sil M r F (or ): Definíci - Vektorový súčin dvoch vektorov Vektorový súčin dvoch vektorov je definovný ko operáci, ktorej výsledkom je vektor c (or vľvo), ktorého veľkosť je c sin α; (7) kde α je uhol vektorov odpovedá ploche rovnoežník určeného vektormi, ; smer: c je kolmý n, c c n rovinu, v ktorej leži vektor, ; orientáci: vektor smeruje do toho polpriestoru, z ktorého vidíme stotožnenie prvého vektor do smeru druhého vektor po krtšej uhlovej dráhe proti smeru hodinových ručičiek tj vektor v pordí,, c tvori prvotočivý sstém (or ) Orázok : K ojsneniu vektorového súčinu: ) c, ) M r F Vrné vlstnosti vektorového súčinu prezentuje vet : Vet : Vektorový súčin dvoch vektorov nie je komuttívn, tj, -, vektorový súčin dvoch rovnoežných (kolineárnch) vektorov s rovná nule (je nulový vektor) Pre jednotkové vektor i, j, k, ktoré sú nvzájom n se kolmé, plti vzťh: i i, j j, k k, i j k, j k i, k i j j i k, k j i, i k j N určenie vektorového súčinu možno vužiť determinnt (pozri kpitolu Determinnt) i j k z i( z z ) j( z ) k( ) (7) z 8

84 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Pri vektorovom súčine musíme dodrživť pordie vektorov! To dokumentujú i dve form distriutívneho zákon: ( c) c ( c) c Pri určovní výsledného vektor zdného dvojnásoným vektorovým súčinom rozlišujeme dv prípd, ktoré nám dávjú dv rôzne výsledk: ( c) ( ) c Sú definovné nsledovne: Definíci Vektorový súčin troch vektorov Nech,, c sú nenulové vektor, dvojnásoný vektorový súčin definujeme vzťhmi: ( c) ( c) c ( ) (8) ( ) c ( c) ( c) (9) Poznámk: O pltnosti vzťhov (8) (9) s čitteľ môže presvedčiť výpočtom, keď si zdá konkrétne tri vektor Príkld 8: Vpočítjte moment sil M, k sil je dná predpisom v ode B, ktorý má súrdnice B (,, ) F i j k pôsoí Vjdeme z definície momentu sil, ktorý je určený vektorovým súčinom rmen pôsoicej sil r vektor sil F : M r F i j k i j k M r r r i j k (6k i j) i j k F F z F z Príkld 9: Vpočítjte plošný osh trojuholník určeného vektormi i j k i j k P i j k 6 i j k, pj Poznámk: Skrtk dj, pjresp oj znmenjú: dĺžková/ plošná/ ojemová jednotk 8

85 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc C/ Zmiešný súčin troch vektorov Definíci - Zmiešný súčin troch vektorov Nech,, c sú nenulové vektor Sklárn súčin vektor c s vektorovým súčinom s volá zmiešný súčin troch vektorov oznčujeme ho [c ], výsledkom ktorého je vžd sklárn veličin, udávjúc veľkosť ojemu rovnoežnosten, ktorého tri hrn sú vektor,, c umiestnené do spoločného odu (or 6) [c ] c ( ) () Orázok 6: K ojsneniu význmu zmiešného súčinu vektorov Niektoré vlstnosti zmiešného súčinu prezentuje vet Vet : Zmiešný súčin troch vektorov je sklár, ktorý môže ť kldný, nulový, leo i záporný Znmienko určuje pordie vektorov, preto ojem rovnoežnosten určíme ko solútnu hodnotu z výrzu c ( ), pretože ojem V je vžd kldná veličin Výrz c cos γ predstvuje výšku rovnoežnosten, pričom veľkosť vektorového súčinu sinα je plošný osh jeho zákldne, tkže máme určený ojem ko súčin podstv krát výšk Keďže pltí komuttívnosť sklárneho súčinu, môžeme npísť pre zmiešný súčin rovnosť ( ) c c ( ) Pre zmiešný súčin pltí identit : [c ] [ c] [ c ] N určenie zmiešného súčinu troch vektorov možno vužiť determinnt (pozri K ) c c cz c ( ) z, () z kde výsledkom je vžd kldné číslo, čo určuje solútn hodnot z determinntu 6 Zmiešný súčin troch vektorov je rovný nule, k vektor sú lineárne závislé, tj leži v jednej rovine 7 Ojem štvorsten V, ktorého tri hrn sú vektor,, c umiestnené do spoločného odu je určený vzťhom: V 6 [c ] () 8

86 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Otázk : Záleží v zmiešnom súčine troch vektorov n pordí, v ktorom relizujeme jednotlivé operácie? Odpoveď: Áno, zmiešný súčin je operáci, v ktorej s nchádz ko sklárn, tk vektorový súčin, pričom s relizuje njprv vektorový súčin po ňom sklárn súčin je definovný pordím vektorov v hrntej zátvorke vzťhom () PDDA Úloh : Aplikovním vektorového následne sklárneho súčinu n vmi zvolené vektor ukážte, že pltí c c cz c ( ) z Návod : Možno použiť i postup c c z { i ( ) j ( ) )} z ( ) z c z c k ( z z z c c z i j k z Úloh : Zistite v kom vzťhu sú výrz ( ) c ( c) Zpíšte Overte n konkrétne zvolených vektoroch Úloh : Nech α je reálne číslo, sú nenulové vektor Zistite, ktorý/(é) zo vzťhov je (sú) správne? A) α ( ) α C) α ( ) α B) α ( ) α α D) α ( ) α Otázk 6: Je možných vicero vrintov zmiešného súčinu troch vektorov? Ak áno, ojsnite ich význm: Odpoveď: Áno: ( c), ( ) c, ( c) Jednotlivé vzťh nám hovori, že podstv rovnoežnosten je určená vektormi: v prípde : c, v prípde :, v prípde : c Názorne si to môžeme predstviť pomocou šktuľk od zápliek Jej ojem ude rovnký, nezáležic ko ju položíme, tj ktorú z troch možností podstv zvolíme Vektorový zmiešný súčinu možno vužiť pri výpočte ojemu ploch kvádr štvorsten, ktorého podstv je trojuholník Ukážeme si jeho vužitie n príkldoch 8

87 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld : Sú dné štri od O (,, ), A (,, ), B (, -, -), C (, -, ) Vpočítjte ) ojem rovnoežnosten určeného odmi O, A, B C, ) veľkosť podstv určenej odmi O, A B, c) výšku rovnoežnosten s podstvou určenej odmi O, A B Ako prvé si určíme tri nekomplnárne (vektor neležicej v jednej rovine) vektor, ktoré sú umiestnené v spoločnom ode Zvolíme si od O, ktorý ude počitkom všetkých troch vektorov: A O (,, ), B O (,, ), c C O (,, ) Ojem určíme zo vzťhu (): c c cz ) V c ( ) z oj z ) Vpočítme plochu podstv s vužitím vektorového súčinu: i j k z z i j k 6i j k P 6 ( ) ( ) pj c) Výšku v vpočítme zo známeho vzťhu: ojem V je súčinom podstv P výšk v, tkže pltí: V V Pv v dj P Príkld : Sú dné štri od O (,, ), A (,, ), B (, -, -), C (, -, ) Vpočítjte ojem štvorsten určeného odmi O, A, B C veľkosť podstv určenej odmi O, A B Nkoľko štvorsten vznikne z odov rovnoežnosten z príkldu 9, vužijeme skutočnosť, že ojem V je určený vzťhom () podstv s rovná polovici ploch rovnoežník určenej vektormi : V 6 [c ] 6 oj, P pj Otázk 7: Je výrz ( ) c zmiešný súčin troch vektorov? 8

88 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Odpoveď: Nie, leo výrz v zátvorke je sklárn veličin, ktorou nemožno vektor c násoiť vektorovo PDDA Úloh : Vjdrite dvojnásoným súčinom troch vektorov, ktorých výsledok vidíte n orázku 7, keď z výsledný vektor povžujeme vektor u Orázok 7: K zdniu úloh Dvojnásoný Kontrolné otázk Definujte ké druh súčinov poznáme v prípde jedného, dvoch troch vektorov Ojsnite význm sklárneho súčinu dvoch vektorov uveďte, ko z neho vjdríme vzťh pre určovnie uhlu dvoch vektorov Definujte vektor, ktorý vznikne ko vektorový súčin dvoch vektorov Ojsnite význm vektorového súčinu vektorov Pre ktorý zo súčinov dvoch vektorov pltí komuttívn zákon? Pltí rovnosť pre vzťh: ( c) ( ) c? Odôvodnite svoje tvrdenie! 6 Ktorý zo súčinov troch vektorov nám určuje ojem rovnoežnosten, ktorého tri hrn sú dné tri vektor? Ako je tento súčin definovný? 7 Mjme tri nenulové vektor umiestnené do spoločného počitku Pltí rovnosť pre tieto vektor ( c) ( ) c? Aká je interpretáci tohto vzťhu? 8 Vjdrite grfick súčet dvoch vektorov pomocou ich súrdníc! 9 Uveďte, ko vpočítte uhol, ktorý vektor zvier s osou, keď poznáte jeho súrdnice! Grfick znázornite dv vektor tretí vektor, ktorý vznikne ko výsledok ich vektorového súčinu Grfick znázornite dv vektor tretí vektor, ktorý vznikne ko výsledok ich vektorového súčtu Vzniknú z otázk vo všeoecnosti rovnké vektor? Ojsnite n konkrétnom zvolenom príklde grfick 8

89 Kpitol Zákld vektorovej lger doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Čitteľ, ktorý s chce ližšie zoznámiť s nimácimi zoerjúcimi s vektorovým počtom má možnosť ich nštudovť prostredníctvom CD nosič: OŽVOLDOVÁ M, BUDINSKÝ J, ČERVEŇ, I sen ČERVEŇ, I jun: Doplnok k Úvodu do vsokoškolskej fzik, interktívne CD CD, STU Brtislv, Brtislv, 6, ktoré ude v krátkej udúcnosti zverejnené n www stránke Ktedr fzik Pedgogickej fkult Trnvskej univerzit v Trnve Menu CD nosič predstvujú or 8 or 9 Orázok 8: Menu interktívneho CD Doplnok k Úvodu do vsokoškolskej fzik F Orázok 9: Menu nimácií z vektorového počtu z interktívneho CD Doplnok k Úvodu do vsokoškolskej fzik 86

90 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Kpitol MATICE Učené ciele: Nučiť s zákldné pojm súvisice s mticmi, ko i ndoudnúť zručnosti týkjúce s operácií s mticmi: súčet, násoenie mtice číslom; Rozlišovť, či je pre zvolené mtice definovný súčin mtíc vedieť vpočítť súčin mtíc; Nučiť s význm pojmu hodnosť mtice vpočítť ju pomocou Gussovej eliminčnej metód; Určiť n záklde Gussovho lgoritmu inverznú mticu; Nučiť s vužívť interktívne www stránk n kontrolu svojich výpočtov n zrýchlenie výpočtov Kľúčové slová: mtic, trojuholníková mtic, štvorcová mtic, jednotková mtic, trnsponovná mtic, ridkové elementárne operácie, Gussov lgoritmus, inverzná mtic, hodnosť mtice, súčet mtíc, násoenie mtice číslom, násoenie mtíc, sumtic Poždovné vedomosti: znlosť úprv lgerických výrzov, riešenie sústv dvoch lineárnch rovníc dosdzovnou metódou, pojm operácie z predchádzjúcich kpitol Motiváci V reálnom svete okolo nás n popis vrných ojektov je vhodné použiť usporidnú n-ticu čísiel, ktorým sme prirdili názov n rozmerný vektor, ktorým sme s venovli vo štvrtej kpitole Ak zoskupíme pod se vic tkýchto n rozmerných vektorov, npríkld m, môžeme vtvoriť sstém prvkov usporidných do tzv mtice V trojrozmernom priestore s s tkýmito ojektmi možno stretnúť npríkld vo fzike pri popise vlstností nehomogénnch mteriálov, u ktorých n ich úplné určenie potreujeme vic ko tri údje Hovoríme v tomto prípde o tenzorových veličinách Pojem mtice Definíci - Mtic Nech m, n sú prirodzené čísl Sstém mn prvkov množin M usporidných do m ridkov n stĺpcov s nzýv mtic tpu m n, čo oznčujeme A ( ij ), kde i,,, m; j,,, n zpíšeme A m m n n mn () Reálne číslo ij nzývme prvkom mtice, jeho umiestnenie je v i-tom ridku j-tom stĺpci 87

91 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Definíci Štvorcová mtic, digonálne prvk Mticu tpu n n nzývme štvorcovou mticou stupň n Prvk ii,i,,, n nzývme digonálne prvk vtvárjú hlvnú digonálu mtice Definíci Tp mtíc - Mticu n nzývme ridkovým vektorom (jednoridková mtic); - Mticu tpu m nzývme m stĺpcovým vektorom (jednostĺpcová mtic); - Nulová mtic - nzývme mticu tpu m n, ktorej všetk prvk s rovnjú nule Zvčjne s oznčuje smolom O; - Digonáln štvorcová mtic nzývme štvorcovú mticu, ktorej všetk prvk ii pre i j i, j,,, n sú nulové; Jednotková mtic stupň n nzývme mticu tpu n n (štvorcovú mticu), ktorej všetk prvk hlvnej digonál s rovnjú číslu, tj prvk ii pre i j,,, n všetk osttné prvk sú nulové, tj prvk ij pre i j i, j,,, n Oznčujeme ju smolom E n ; - Trnsponovnou mticou A T k mtici A ( ij ), tpu m n, kde i,,, m j,,, n nzývme mticu A T ( ij ) tpu n m s prvkmi ij ji i,,, n; j,,, m; - Mtic trojuholníkového tvru nzývme mticu, ktorej všetk prvk hlvnej digonál sú nenulové prvk pod hlvnou digonálou sú nulové, ktorú tiež nzývme Gussov mtic - Gussov redukovná mtic je mtic, ktorá má všetk digonálne prvk nenulové nedigonálne prvk sú všetk nulové Poznámk: Prvok s nchádz (má umiestnenie) v druhom ridku treťom stĺpci Trnsponovnú mticu k štvorcovej mtici získme preklopením prvkov mtice A okolo hlvnej digonál Mticu trnsponovnú A T získme z mtice A zámenou ridkov z stĺpce, pričom musíme dodržť ich pordie Trnsponovná mtic k ridkovému vektoru (stĺpcovému vektoru) je stĺpcový (ridkový) vektor Mticu možno uprviť n trojuholníkový tvr plikáciou Gussovho lgoritmu pomocou elementárnch ridkových úprv (ERO) Definíci - Gussov mtic elementárne ridkové operácie Pod Gussovým lgoritmom postupných úprv n Gussovu mticu, tj mticu trojuholníkového tvru, rozumieme postupnú plikáciu nsledovných troch elementárnch ridkových operácií (ERO) v mtici: ERO : Vzájomná výmen dvoch ridkov mtice ERO : Násoenie niektorého ridku mtice nenulovým číslom ERO : Pričítnie násoku istého ridku mtice k inému ridku mtice 88

92 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc N výpočet Gussovho tvru mtice možno plikovť Gussov lgoritmus (GA) postupných úprv: Krok GA: V mtici verieme tký ridok, ktorý má prvok v prvom stĺpci njnižšiu hodnotu, všk rôznu od nul (njlepšie jednotku) Pomocou ERO tento ridok presunieme n prvé miesto Krok GA: Použitím ERO vtvoríme v prvom ridku prvok Prvok nzývme vedúcim prvkom prvého kroku GA Postupným plikovním ERO dosihneme, v prvom stĺpci pod vedúcim prvkom prvého kroku všetk prvk oli nulové Krok GA: Pomocou ERO ERO uroíme tkú zámenu ridkov v mtici, vedúci prvok druhého kroku (resp iné vhodné číslo) Druhý ridok násoíme postupne tkými číslmi pripočítme postupne k osttným ridkom mtice tk, všetk prvk v druhom stĺpci pod prvkom oli nulové Pre mticu s n ridkmi postup opkujeme ž do n tého kroku, kým nezískme mticu trojuholníkového tvru, ktorej všetk prvk v hlvnej digonále sú nenulové všetk prvk pod hlvnou digonálou sú nulové Postup úprv n Gussov tvr mtice si ukážeme n konkrétnom príklde: Príkld : Uprvte mticu A n trojuholníkový tvr: A 6 Úprvu udeme roiť pomocou Gussovho lgoritmu postupných elementárnch ridkových operácií: Krok GA: njmenšiu hodnotu má prvok, tkže n záklde ERO vmeníme tretí ridok s prvým ridkom 6 krok GA: zvolíme z vedúci prvok Znmená to, že prvý ridok ponecháme nezmenený zčneme ERO: Vnásoíme prvý ridok číslom () pripočítme k druhému ridku získme ekvivlentnú mticu, čo nznčuje znk ~ : 6 () ~ 89

93 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Po ndoudnutí zručností s ERO vnulovnie pod vodicim prvkom možno zrelizovť nrz v dnom stĺpci mtice, čo prezentuje nsledovný príkld Príkld : - pokrčovnie riešeni Vnásoíme prvý ridok číslom (-) pripočítme k tretiemu ridku: ) ( ~ 6 Keďže pod vedúcim prvkom kroku máme smé nul pokrčujeme úprvmi s druhým ridkom (prvý ridok ostáv nezmenený počs úprv): krok GA: Vnásoíme druhý ridok () pripočítme k tretiemu ridku: 9 () 6 ~ Tretí ridok vmeníme s druhým ridkom dostli sme vedúci prvok druhého kroku 9 Druhý ridok vnásoíme () pripočítme k tretiemu ridku: () 9 ~ 9, čo je trojuholníková mtic Príkld : Uprvte mticu A n trojuholníkový tvr: A krok GA: Pozrieme, či niektorý prvok v prvom stĺpci mtice s rovná jedn vidíme, že Vmeníme tretí ridok s prvým ridkom: 9

94 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Gussov lgoritmus udeme používť pri určovní hodnosti mtice, ktorá hrá dôležitú úlohu pri riešení sstému rovníc Príkld : pokrčovnie riešeni krok GA: zvolíme z vedúci prvok Znmená to, že prvý ridok ponecháme nezmenený postupujeme: Vnásoíme prvý ridok číslom () pripočítme k druhému ridku zpíšeme; vnásoíme prvý ridok číslom ( ) pripočítme k tretiemu ridku zpíšeme; následne vnásoíme prvý ridok číslom () pripočítme k štvrtému ridku, čím sme získli pod vodicim prvkom smé nul tým sme ukončili krok GA: krok GA: Pozrieme, ktorý prvok v druhom stĺpci je rovný jedn Nkoľko máme dv zvolíme z vedúci prvok To znmená, že vmeníme druhý ridok so štvrtým ridkom mtice získme vodici prvok druhého kroku : Pozor, v druhom kroku njprv opíšeme prvé dv ridk potom roíme operácie s druhým ridkom, tj vnásoíme druhý ridok ( ) pripočítme k tretiemu ridku, následne druhý ridok ( ) pripočítme k štvrtému ridku: 9 6 krok GA: Nkoľko nemáme v treťom stĺpci tretieho štvrtého ridku židnu jednotku vnulovť prvok môžeme postupom: opíšeme prvé tri ridk následné plikujeme ERO: tretí ridok vnásoíme ( 9) pripočítme k 6-násoku štvrtého ridku: (6) 9) ( 9 6 ~ 6 Získli sme mticu trojuholníkového tvru, ktorej všetk štri digonálne prvk sú 9

95 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Definíci Hodnosť mtice Hodnosťou mtice určenej vzťhom () rozumieme nezáporné číslo h, ktoré udáv mimáln počet lineárne nezávislých ridkov (stĺpcov) v mtici Ak uprvíme mticu n trojuholníkový tvr, počet nenulových prvkov v hlvnej digonále určuje hodnosť mtice Hodnosť mtice oznčujeme ha Vlstnosti hodnosti mtice prezentuje nsledujúc vet, ktorú uvádzme ez dôkzu: Vet : Vlstnosť : V mtici môžeme nájsť h lineárne nezávislých stĺpcov (ridkov) Vlstnosť : Ak veriem ľuovoľne h stĺpcov (ridkov) v mtici, tk tieto stĺpce (ridk) udú lineárne závislé Vlstnosť : Dve mtice mjú rovnkú hodnosť, k s líši i pordím ridkov leo stĺpcov Vlstnosť : Hodnosť mtice s nezmení, k vnásoíme všetk prvk mtice jedného ridku (stĺpc) tým istým reálnm číslom α Vlstnosť : Hodnosť mtice s nezmení, k pridáme v mtici ďlší ridok (stĺpec), ktorý je lineárnou komináciou iných ridkov (stĺpcov) mtice Vlstnosť 6: Hodnosť mtice s nezmení, k vnecháme v mtici ridok (stĺpec), ktorý je lineárnou komináciou iných ridkov (stĺpcov), leo nulový ridok Vlstnosť 7: Hodnosť mtice s nezmení, k zmeníme ridk z stĺpce stĺpce z ridk Príkld : Vpočítjte hodnosť mtice A: A Hodnosť vpočítme ko počet nenulových digonálnch prvkov mtice trojuholníkového tvru Vužijeme výsledok príkldu, kde sme uprvili mticu n ekvivlentnú mticu: ~ ~ 6 ha 9

96 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld : Vpočítjte hodnosť mtice A: A Postupujme úprvou n trojuholníkový tvr následne hodnosť vpočítme ko počet nenulových digonálnch prvkov mtice trojuholníkového tvru: krok GA nemusíme roiť, pretože pristúpime k kroku GA: prvý ridok opíšeme, následne prvý ridok vnásoíme postupne číslmi (), resp ( ), resp () pripočítme k druhému, resp tretiemu, resp štvrtému ridku mtice dostneme ekvivlentnú mticu ~ krok GA: vmeníme štvrtý druhý ridok, sme dostli vodici prvok druhého kroku následne k štvrtému ridku odpočítme trojnásook druhého ridku: ~ ~ hodnosť je h A Príkld : Určite hodnosť mtice A v závislosti n prmetri α, kde A α Verte správn výrok/výrok: Hodnosť mtice je: ) ha pre α ; ) ha pre α ; c) ha nezávisle n α; d) ha pre α ; e) ha pre α ; f) ha nezávisle n α; Mticu Gussovým lgoritmom elementárnch úprv uprvíme n trojuholníkový tvr: krok: vmeníme prvý štvrtý ridok, sme mli 9

97 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Definíci 6 - Rovnosť mtíc Dve mtice A B s rovnjú (čo zpisujeme A B) práve vted, keď sú rovnkého tpu pltí: ij ij pre i,,, m; j,,, n v prípde mtíc tpu m n Otázk : Akého tpu sú mtice A B, k A 6, B? Odpoveď: A je odĺžniková mtic tpu ; B je štvorcová mtic tpu Definíci 7 Sumtic mtice Štvorcová mtic, ktorá vznikne z mtice A vnechním niektorých jej ridkov stĺpcov, s nzýv sumtic mtice A Sumticu štvorcovej mtice, ktorá vznikne vnechním i-teho ridku j-teho stĺpc mtice A, oznčujeme smolom A ij Príkld : pokrčovnie riešeni krok: Vnulujeme prvk pod prvkom : A sme minimlizovli prácu s prmetrom vmeníme druhý ridok so štvrtým ridkom: 6 6 α α α α α V kroku sme vnásoili druhý ridok ( ) pripočítli k tretiemu ridku, následne druhý ridok sme vnásoili ( ) pripočítli k štvrtému ridku V Kroku GA tretí ridok pripočítme ku štvrtému ridku, následne tretí ridok vnásoíme ( α) pripočítme opäť k štvrtému ridku: α α Dosihli sme trojuholníkový tvr následne uroíme diskusiu: Ak α, tj k α h k α h Tkže z dných výrokov sú prvdivé výrok: d) ha pre α 9

98 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Ak mtic A je štvorcová mtic, tk kždá jej sumtic, ktorá vznikne vnechním rovnkého počet ridkov stĺpcov ude opäť štvorcová mtic Otázk : Ako nzývme oznčujeme mticu? Odpoveď: Jedná s o jednotkovú mticu stupň, ktorú oznčujeme E Otázk : Je mtic B trnsponovnou mticou k mtici A, k sú zdné: B 6, A 6? Odpoveď: Áno, pretože mtic B vznikl z A vmenením ridkov z stĺpce tj pltí B A T Otázk : Pltí rovnosť medzi mticmi A B, k: A B? Odpoveď: Nie, pretože nespĺňjú podmienku rovnkého tpu (A tp, B tp ) Príkld 6: Je dná mtic A, určite sumtice A A : A A, A 9

99 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Otázk : Je mtic A z otázk digonálnou mticou? Odpoveď: Nie, pretože nedigonálne prvk mtice sú rôzne od nul Otázk 6: Z kých podmienok ude pltiť rovnosť mtíc, tj A B A B z Odpoveď: Rovnosť mtíc nstne pre, z PDDA Je dná mtic A Úloh : Eistuje k mtici A trnsponovná mtic? Ak áno, určite ju Úloh : Nájdite mticu B, ktorá je dná predpisom B A A T Je vo všeoecnosti táto operáci definovná? Úloh : Pre dnú mticu A určite hodnosť mtice Aký je njvhodnejší vodici prvok prvého kroku v Gussovom lgoritme postupných úprv? Kontrolné otázk Definujte pojem mtice určite ké rôzne tp poznáme Npíšte jednotkovú mticu stupň jedn tri Rovnjú s tieto dve mtice? Je trnsponovná mtic k mtici štvorcového tpu opäť štvorcová mtic? Akého tpu ude trnsponovná mtic k mtici A, ktorá je? Definujte pojem hodnosť mtice 6 Je totožná hodnosť s počtom prvkov digonálnej mtice? 7 Vmenujete elementárne ridkové operácie ich význm 8 Vslovte postup pri upltňovná Gussovho lgoritmu K čomu ho používme? 96

100 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Operácie s mticmi Rovnko ko pre vektor vo vektorovom priestore, tk j pre mtice je židuce si definovť operácie s mticmi: Definíci 8 - Súčet mtíc Súčtom mtíc A ( ij ) B ( ij ) tpu m n nzývme mticu C (c ij ) tpu m n, ktorej prvk sú definovné: c ij ij ij pre i,,, m j,,, n Poznámk: Súčet dvoch mtíc, ktoré nie sú rovnkého tpu s nedefinuje Pre súčet mtíc pltí komuttívn socitívn zákon Ted A B B A (A B) C A (B C) A O A kde O je nulová mtic rovnkého tpu ko mtic A Otázk 7: Je mtic C súčtom mtíc A B, k sú zdné predpismi: 7 C, A, 7 B? Odpoveď: Áno, pretože pre kždý prvok mtice C pltí c ij ij ij, tj pltí C A B Definíci 9 Násoenie mtice číslom Súčinom reálneho čísl α mtice A ( ij ) tpu m n nzývme mticu C (c ij ) rovnkého tpu m n, pre prvk ktorej pltí: c ij α ij pre i,,, m; j,,, n Operáciu zpíšeme C α A Poznámk: Vnásoiť mticu číslom znmená vnásoiť kždý jej prvok číslom α Pre súčin čísl mtice pltí: α (β A) (α β) A (α β) A α A β A α (A B) α A α B A A 97

101 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Definíci - Súčin mtíc Súčinom mtíc A ( ij ) tpu m n B ( ij ) tpu n p v tomto pordí nzývme mticu C (c ij ) tpu m p, ktorej prvk sú definovné: c ij i j i j in nj kj n k ik pre i,,, m; j,,, p, čo zpíšeme C AB Poznámk: Schemtické znázornenie operácie súčinu dvoch mtíc prezentuje or Orázok : Grfické znázornenie operácie súčinu dvoch mtíc Príkld 7: Určte mticu C, ktorá je dná predpisom C A B, kde A B 7 C

102 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Pri súčine mtíc AB mtic A musí mť rovnký počet stĺpcov ko má mtic B ridkov Prvok c ij mtice C, pre ktorú pltí C AB, je sklárnm súčinom i-teho ridku mtice A j-teho stĺpc mtice B (Or ) Pre súčin mtíc pltí socitívn distriutívn zákon: (AB)C A(BC) (A B)C A C BC kde mtice A, B, C sú mtice vhovujúcich tpov pre uvedené operácie Pre kždú štvorcovú mticu tpu n n pltí: AE n E n A 6 Pozor súčin mtíc nie je komuttívn: AB BA (vo všeoecnosti)!! Príkld 8: Vpočítjte súčin mtíc AB, kde A, B Súčin mtíc je definovný, pretože mtic A je tpu: mtic B je tpu, tkže výsledná mtic C ude tpu (Predstvme si zápis ) AB ( ) ( ), ( )( ), ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 7 Otázk 8: Ak mtic A je tpu mtic B je tpu je definovný súčin mtíc AB BA? Ak áno, kého tpu ude výsledná mtic? Odpoveď: Súčin AB nie je definovný, pretože počet stĺpcov prvej mtice s nerovná počtu ridkov druhej mtice Súčin BA je definovný, pretože počet stĺpcov prvej mtice s rovná počtu ridkov druhej mtice, výsledná mtic ude tpu Poznámk: Správnosť Vášho výpočtu si skontrolujte prostredníctvom www stránk (or ) Mtri clcultor, ktorý je voľne dostupný n drese: ner%fmtmult 99

103 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok : Interktívn mticová klkulčk PDDA Úloh : Zdjte si mticu A Nájdite mticu B, ktorá je dná predpisom B A A T Je vo všeoecnosti táto operáci definovná? Úloh : Zdjte si dve mtice A B Vpočítjte ich súčin, zvážte koľko možností eistuje O správnosti s presvedčte použitím klkulátoru n Kontrolné otázk Je definovná operáci sčítni pre ľuovoľné dve mtice? Eistuje súčet mtice k nej trnsponovnej k mtic je: ) štvorcového tpu, ) m n? Ojsnite socitívn distriutívn zákon pre mtice Ako je zdefinovné násoenie mtice číslom? Pltí komuttívn zákon pre mtice pri operácii: ) sčítni, ) násoeni mtíc, c) k mtice sú definovné tk, že dná operáci eistuje 6 Pltí vo všeoecnosti rovnosť AB BA? 7 Pltí vo všeoecnosti rovnosť EB BE, keď mtice sú definovné, že operáci súčinu eistuje? Ojsnite význm mtice E 8 Ako je definovný súčin dvoch mtíc, ojsnite slovne i zápisom 9 Musí mť mtic A rovnký počet stĺpcov ko má mtic B ridkov ol súčin mtíc AB definovný? Nech α β sú reálne čísl, pltí rovnosť (α β) A α A β A? Nech α je reálne číslo mtice A B sú rovnkého tpu, pltí rovnosť: α(a B) αa αb?

104 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Výpočet inverznej mtice pomocou Gussovho lgoritmu V úvode sme si definíciou ojsnili pojem Gussovej mtice, tri zákldné elementárne ridkové operácie (ERO) postup, tzv Gussov lgoritmus, ktorý umožňuje prepis mtice n ekvivlentnú mticu trojuholníkového tvru Táto skutočnosť s vužív j pri určovní inverznej mtice Postup je nsledovný: Npíšeme mticu A tpu n n, K mtici A zostrojíme novú mticu B (A E n ) tk, že k nej n prvú strnu pripíšeme jednotkovú mticu rovnkého stupň kého je mtic A Pre tkúto mticu použitím elementárnch ridkových operácií ERO ERO roíme Gussov lgoritmus úprv n B (E n C), tj n ľvej strne sme dostli jednotkovú mticu N prvej strne získme inverznú mticu A - C Postup si ozrejmíme n konkrétnch príkldoch: Príkld 9: Pomocou Gussovho lgoritmu postupných úprv určite inverznú mticu k mtici A: A Zpíšeme si zdnú mticu k nej n prvú strnu pripíšeme jednotkovú mticu: Postup vo všeoecnosti možno popísť: Pomocou Gussovho lgoritmu udeme roiť tké ridkové operácie prvk pôvodnej mtice A sme zmenili n jednotkovú mticu E Potom prvk n prvej strne sú prvkmi hľdnej inverznej mtice A -, tj A E E A - Konkrétn plikáci Gussovho lgoritmu úprv (GA) n trojuholníkovú mticu je: krok GA - Vmením tretí ridok s prvým ridkom, sme získli vodici prvok prvého kroku :

105 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni krok GA: cieľ vnulovť všetk prvk v prvom stĺpci pod prvkom : Prvý ridok vnásoíme ( ) pripočítme ho k druhému ridku (Pozor prvý ridok opíšeme nezmenený!) Následne prvý ridok vnásoíme () pripočítme ho k tretiemu ridku ( ) () krok GA: Opíšeme prvý ridok k druhému pripočítme tretí ridok, čím získme vodici prvok : Následne k tretiemu ridku pripočítme ( ) násook druhého ridku; k prvému ridku pripočítme ( ) násook druhého: krok GA: Tretí ridok vnásoíme (/),čím dosihneme Následne k prvému ridku pripočítme ( ) násook tretieho ridku: N ľvej strne čir sme získli jednotkovú mticu n prvej strne je hľdná inverzná mtic: A - Skúšk správnosti riešenie: Ak sme počítli správne musí pltiť A - A A - A E, kde je jednotková mtic: ) ( ) ( 6 6 ) ( ) ( Výsledok odone potvrdzuje j výpočet cez IKT (or )

106 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok : Výpočet súčinu AB cez klkulátor Príkld : Riešte rovnicu pre neznámu mticu X urote skúšku: X X Rovnic je mticová rovnic Postupujeme rovnko ko pri klsickej rovnici: člen s neznámou mticou dáme n jednu strnu: X X 8 6 Verieme X pred zátvorku, pričom musíme dodržť pozíciu mtice X n prvej strne zpíšeme jednotkovú mticu! E X 8 6 X 7 6 X 7 6, čo možno zpísť v tvre AX B A - AX A - B X A - B Pozor!! násoím zľv mticu B j mticu A mticou A -, kde A B 7 6 Njprv určíme A - Gussovým lgoritmom: - A

107 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld : pokrčovnie riešeni Uroíme skúšku či pltí A - A E: X Skúšku správnosti uroíme opäť tým, že dosdíme do zdnej rovnice : ĽS: X PS: 8 6 X ĽS PS Príkld : Riešte rovnicu X(A B) A B T () pre neznámu mticu X, kde A B Urote skúšku: C A B, D A B T X Schemtick znázorníme operácie pri zvolenom oznčení: XC D XCC - DC - X E DC - X DC - Pozor!! násoím sprv mticu C j D mticou C -! Vpočítjme inverznú mticu C - : CE EC -

108 Kpitol Mtice doc RNDr M Ožvoldová, CSc PDDA Úloh 6: Pre mtice A B z príkldu riešte mticovú rovnicu (A B)X A B T pre neznámu mticu X Úloh 7: Pre mtice A B z príkldu riešte mticovú rovnicu AX B X A B T pre neznámu mticu X Aký postup riešeni poznáme n určenie inverznej mtice? Vslovte postup Akú rovnosť možno npísť pre súčin mtice k nej inverznej mtice (pokiľ eistuje)? Ktoré zásd musíme dodrživť pri riešení mticovej rovnice? Odhdnite, či dostneme rovnký výsledok v úlohe 6 ko v príklde Svoje tvrdenie zdôvodnite Čo schemtick znázorňuje: CE EC -? Príkld : pokrčovnie riešeni Uroíme skúšku prieežne, či sme správne určili inverznú mticu, pretože pre musí pltiť: CC - CC - E X Skúšk správnosti do vstupnej rovnice (): ĽS: X(A B) PS: A B T ĽS PS Kontrolné otázk

109 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Kpitol 6 DETERMINANT MATICE Učené ciele: - Ooznámiť s so zákldnými pojmmi súvisicimi s determinntmi štvorcovej mtice vedieť ich definovť; - Nučiť s zákldné operácie s determinntmi: súčet, násoenie determinntu číslom, sudeterminnt; - Vedieť určiť hodnotu determinntu štvorcovej mtice stupň n, kde n,,, rôznmi spôsomi (pre n Srrusove prvidlo; pre n rozvojom podľ ľuovoľného ridku, leo úprvou n trojuholníkový tvr); - Vpočítť inverznú mticu pomocou determinntov; - Vedieť prcovť s interktívnmi pletmi (www stránk n internete rôzne softvér n výpočet), ktoré ponúkjú riešenie determinntov pre kontrolu, leo urýchlenie výpočtu Kľúčové slová: determinnt štvorcovej mtic, Srrusove prvidlo, Lplceov rozvoj determinntu, lgerický doplnok, sudeterminnt, djungovná mtic Poždovné vedomosti: znlosť úprv lgerických výrzov, pojmov operácií s mticmi Zručnosť v plikovní Gussovho lgoritmu osttných pozntkov z predchádzjúcich kpitol Motiváci V reálnom svete potreujeme riešiť reálne prolém, ktoré formulujeme podľ ich náročnosti do sstémov rovníc S nimi súvisí j pojem determinnt mtice jeho výpočet Táto kpitol je príprvou n riešenie sstému lineárnch rovníc 6 Determinnt mtice výpočet determinntu mtice druhého tretieho stupň K pojmu determinntu nás privedie úvh, týkjúc s riešeni sstému rovníc o dvoch neznámch, ktorú si zpíšeme v tvre: (6) Hľdjme riešenie sstému (6) spôsomi, ktoré sme s nučili n strednej škole, tj udeme s snžiť eliminovť jednu neznámu úprvmi rovnice postupom: krok: Vnásome prvú rovnicu druhú rovnicu (- ) rovnice sčítme: / / (- ) ( - ) ( - ) - ( - ) - (6) 6

110 krok: Vnásome prvú rovnicu druhú rovnicu (- ) rovnice sčítme: / / ( ) ( ) ( ) ( ) /(-) ( ) (6) Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Definíci 6 Mtic sstému Pod mticou sstému dvoch lineárnch rovníc o dvoch neznámch, určenými rovnicmi (6) rozumiem mticu tpu, ktorej prvk sú koeficient pri neznámch, pri dodržní pordi: (6) Definíci 6 - Determinnt štvorcovej mtice prvého druhého stupň Determinnt štvorcovej mtice A tpu n n definujeme ko číslo, určené predpisom: pre n, tj jednoprvkovú mticu A ( ) det A, čo môžeme zpísť j: (Determinnt mtice A oznčujeme j smolom A ) pre n, tj pre mticu sústvu ko: D det A, (6) tj ko rozdiel súčinu prvkov v hlvnej digonále so súčinom prvkov vo vedľjšej digonále Vidíme, že tento výrz s nchádz v menovteli oidvoch výrzov, určujúcich riešenie sstému dvoch rovníc (6) Možno si položiť otázku: Ako získme výrz, ktorý s nchádz v čitteli zlomku v rovnicich (6) (6)? Vtvorme mticu A, ktorá vznikne tk, že v mtici sstému A nhrdíme prvý stĺpec, stĺpcom prvých strán, tj získme mticu A (66) 7

111 K nej prislúch D det A (67) Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Rovnko vtvorme mticu A, ktorá vznikne tk, že v mtici sstému A nhrdíme druhý stĺpec, stĺpcom prvých strán, tj získme mticu A (68) K nej prislúch D det A (69) Tkže hľdné riešenie R, k D môžeme zpísť v tvre: R {, }, D D (6) D D Vidíme, že riešenie sústv dvoch rovníc o dvoch neznámch tvru (6) môžeme nmiesto zápisov tvru (6) (6) zpísť pomocou determinntu to v tvre určenom vzťhmi (6) Túto skutočnosť zovšeoecňuje tzv Crmerov vet, v ktorej pojednáme pri riešení sstému rovníc v nsledujúcej kpitole 7 Otázk : Je determinnt mtice A Odpoveď: rovný? O správnosti výroku s presvedčíme výpočtom { ( ) } 8 odpoveď áno Definíci 6 - Determinnt štvorcovej mtice tretieho stupň Determinnt štvorcovej mtice A tpu definujeme ko číslo, určené vzťhom (6), ktoré nzýv s Srrusovým prvidlom: det A ( ) ( ) (6) Poznámk: Srrusove prvidlo schemtick znázorňuje postup n or 6 K determinntu z prvej strn pripíšeme prvé dv stĺpce uroíme súčin trojíc prvkov pospájných čirmi v postupnosti: súčin idúce zľv doprv (oznčené červenými čirmi) mjú kldné znmienko, súčin idúce sprv doľv (oznčené modrými čirmi) znmienko záporné 8

112 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Orázok 6: K výpočtu determinntu tretieho stupň Tk isto možno postupovť k si pod determinnt mtice podpíšeme prvé dv ridk uroíme súčet súčinov v smere hlvnej digonál odčítme súčet súčinov v smere vedľjšej digonál N výpočet determinntu mtice vššieho stupň ko tri, už neeistuje prvidlo ko pre tretí stupeň (n ), ktoré sme mohli použiť S výpočtom s ooznámime neskôr Prostredníctvom nsledujúcich viet uvedieme vrné vlstnosti determinntov: Nech A je štvorcová mtic Vet 6 Determinnt mtice A k nej trnsponovnej mtice s rovnjú, tj A A T Vet 6 Determinnt mtice s nezmení keď v mtici k niektorému jej ridku (stĺpcu) pripočítme násook iného jej ridku Vet 6 Ak v mtici A je jeden ridok (stĺpec) nulový, A Vet 6 Ak v mtici A sú dv ridk (stĺpce) rovnké, A Vet 6 Ak v mtici A vmeníme nvzájom dv ridk (stĺpce), determinnt mtice zmení znmienko Vet 66 Ak v mtici A je jeden ridok (stĺpec) mtice lineárnou komináciou vrných ridkov (stĺpcov), A Vet 67 Ak v mtici A vnásoíme ľuovoľný ridok (stĺpec) číslom α rôznm od nul, tk determinnt mtice, ktorú dostneme, s rovná α násoku determinntu mtice A Poznámk: Vet 6 67 nám umožňujú zjednodušiť výpočet determinntu tk, že ridk (stĺpce) vnásoíme vhodnými číslmi pripočítme ich k iným ridkom (stĺpcom) z účelom, sme dostli čo njvic núl v ridku následne použijeme rozkld determinntu podľ tohto ridku (stĺpc), čo vužijeme pri výpočtoch determinntov vššieho stupň Tento lgoritmus vužív Gussovu eliminčnú metódu, s ktorou sme s ooznámili v kpitole 9

113 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 6: Vpočítjte determinnt mtice [ ( ) ( )] [( )( ) ] [ 6] Príkld 6: Riešte rovnicu pre neznámu : Výpočtom determinntov získme kvdrtickú rovnicu ( ), Skúšk správnosti: pre : Ľ S: ( ), pre : Ľ S: ( ) ĽS PS 6 Príkld 6: Vpočítjte determinnt mtice { ( )8 ( 9) } { 8 ( 9) ( )} ( 6) Úprv, ktoré sme uroili: - z prvého ridku sme vňli číslo ; - k druhému ridku sme pripočítli tretí ridok; - od druhého ridku sme odčítli prvý ridok; - použili sme Srrusove prvidlo Poznámk: Srrusove prvidlo môžeme smozrejme ihneď použiť n zdný determinnt príkldu 6:

114 (9 9 ) Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc [ 6 ( 6)8 ( 7)( 9) ] [ 68 ( 9) ( 6)( 7)] Otázk : Ktorý postup v príklde 6 je pre Vás vhodnejší? Zdôvodnite si! Príkld 6: Vpočítjte moment sil FF pôsoicej v ode A vzhľdom n od O, keď FF ii jj kk [NN], AA (,, ), O (,, ) Súrdnice odov A, O sú dné v metroch Nkoľko moment sil je definovný ko vektorový súčin rmen sil pôsoicej sil, vjdríme ho: MM rr FF Opäť možno vužijeme výpočet prostredníctvom determinntu Srrusovho prvidl: Vjdrime si polohový vektor rr OOOO (AA ) (,, ) ii jj kk ii jj kk ii jj MM rr FF rr rr rr zz (ii kk ) (kk 6jj ) ii 6jj 9kk FF FF FF zz Príkld 6: Rozhodnite, či vektor uu, vv zz sú lineárne závislé leo lineárne nezávislé, k uu (,, ), vv (,, ) zz (,, ) Pri rozhodovní o lineárnej závislosti môžeme vužiť Vetu 66, tj určíme hodnotu determinntu podľ výsledku rozhodneme V prípde k A, vektor sú lineárne závislé, leo hodnot determinntu je nulová k dv ridk sú závislé () ( ) vektor sú lineárne nezávislé Príkld s smozrejme mohol riešiť i cez hodnosť mtice V prípde, že vjde h, tri zdné vektor sú lineárne nezávislé

115 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 66: Stnovte výsledný moment MM síl vzhľdom n od O (,, ), keď: FF ii jj kk [NN], pôsoisko je v ode AA (,, ) sil FF ii jj kk [NN] s pôsoiskom v ode AA (,, ) Súrdnice odov AA, AA, O sú dné v metroch Nkoľko moment sil je definovný ko vektorový súčin rmen sil pôsoicej sil, vjdríme ho: MM rr FF Výsledný moment je určený vektorovým súčtom momentov oidvoch síl, tj MM MM MM Vjdrime MM rr FF MM rr FF : rr OOAA (,, ) (,, ) rr OOAA (,, ) (,, ) ii jj kk ii jj kk MM MM MM rr FF rr FF rr rr rr zz rr rr rr zz FF FF FF zz FF FF FF zz ii jj kk MM ii jj kk ii jj kk ii jj kk MM 6ii jj kk Príkld 67: Určite vektor okmžitej rýchlosti vv, ktorý je dný predpisom vv ωω rr, kde vektor uhlovej rýchlosti má súrdnice ωω (,, ππ) v jednotkách [s - ] Čsová závislosť polohového vektor rr, určeného v metroch, je v krteziánskej súrdnicovej sústve dný predpisom rr AAAAii BBtt jj kk Vpočítjte veľkosť okmžitej rýchlosti pre čsový okmih t s Npíšte v kých jednotkách sú určené konštnt A B, vstupujúce v polohovom vektore Vzťh medzi ovodovou uhlovou rýchlosťou je určený vzťhom vv ωω rr Vužijeme výpočet prostredníctvom determinntu jeho rozvoj podľ druhého ridku: ii jj kk ii jj kk vv ωω rr ωω ωω ωω zz ππ ππ () ii rr rr rr zz AAAA BBtt AAAA jj BBtt vv (tt) BBtt ii AAAAjj vv (tt) (BBtt ) (AAAA) vv(tt s) (BB ) (AA ) (BB ) (AA ) 9BB AA ms Rozmer konštánt: [B] [ms - ], [A [ [ms - ]

116 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 68: Určite ko s zmení determinnt mtice A, k mticu vnásoíme číslom α vieme, že mtic A, je štvorcová mtic stupň n Vnásoiť mticu číslom znmená kždý jej prvok vnásoiť číslom α N záklde V 7 si uvedomíme opčný postup, z kždého ridku determinntu mtice α A v zmsle vlstnosti determinntov si vjmeme číslo α Postup ukážeme n konkrétnej mtici [ ] ) ( ) ( det A A det det A α ααα α α αα α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α A A Príkld 69: Sú dné od A (,, -), B (, -, ), C (,, ), O (,, ) Určite ) ojem rovnoežnosten určeného vektormi OA, OB, OC ) uhol vektorov OB OC, c) plochu podstv určenej vektormi OB OC Vužijeme fzikáln význm zmiešného súčinu jeho zápisu v tvre determinntu, ktorý určuje ojem rovnoežnosten Vektor umiestnime do spoločného odu O, tkže ich súrdnice sú totožné so súrdnicmi odov: ) 7 7 ) ( ) ( V oj j ) ) ( ) ( cos c c α vektor sú kolmé c) () ) ( ) ( ) ( k j i j k k i k j i P, pj Iný spôso výpočtu: nkoľko sú vektor kolmé, jedná s o plochu odĺžnik P 6, c P pj,7

117 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Kontrolné otázk Je správn výrok Determinnt je určený sklárom, k prvk mtice sú reálne čísl? K kým mticim eistuje determinnt? Čo vieme povedť o stupni determinntu štvorcovej mtice determinntu k nej trnsponovnej mtice? Možno vužiť Gussov lgoritmus elementárnch ridkových operácií n výpočet determinntu mtice? Čo znmená násoiť determinnt číslom? Ako s zmení jeho hodnot? 6 Mjme štvorcovú mticu stupň dv Ako s zmení determinnt mtice, k mticu vnásoíme číslom dv? 7 Mjme štvorcovú mticu stupň štri Ako s zmení determinnt mtice, k mticu vnásoíme číslom dv? 8 N ký výpočet používme Srrusove prvidlo? Ojsnite ho! 9 Je správn výrok Ak v mtici vmeníme dv ridk, determinnt tejto mtice nezmení hodnotu? Viem použiť determinnt n určovnie lineárnej závislosti, resp lineárnej nezávislosti troch vektorov v D? Ak áno, vsvetlite postup Vsvetlite pojem regulárn mtic PDDA sin cos Úloh : Vpočítjte determinnt cos sin Úloh : Riešte rovnicu Úloh : Vpočítjte determinnt mtice A Úloh : Vpočítjte determinnt mtice B Úloh : Riešte rovnicu pre neznámu : 7

118 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc 6 Výpočet determinntu stupň n, pre n > Determinnt n -tého stupň vo všeoecnosti môžeme počítť dvomi spôsomi: ) rozvojom podľ ľuovoľného ridku leo stĺpc, ) úprvou n trojuholníkový tvr, ked hodnot determinntu s rovná súčinu prvkov hlvnej digonál determinntu Ukážme si oidv spôso: A) Rozvoj determinntu štvorcovej mtice podľ ridku (stĺpc) Determinnt štvorcovej mtice stupň n možno vpočítť tk, že ho rozviniem podľ ľuovoľného ridku leo stĺpc K tomu si potreujeme zdefinovť determinnt A, resp A ij, s ktorým pri výpočte determinntov všších rádov udeme prcovť Definíci 6 - Determinnt A ij resp A Nech A je determinnt prislúchjúci k štvorcovej mtice A stupň n, tj A n n n n n nn Pod determinntom A ij udeme rozumieť determinnt, ktorý vznikne z determinntu A vnechním i-teho ridku j-teho stĺpc, tj pre i j (or 6) Orázok: 6 K tvore determinntu A ij Npríkld pre determinnt A dostneme n n n n A (6) nn Poznámk: Determinnt A ij je stupň n-, tj o stupeň nižší ko stupeň determinntu A Rozvoj determinntu podľ prvého ridku určuje vet 68:

119 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Vet 68 Lplceov rozvoj determinntu štvorcovej mtice A podľ: prvého ridku je určený: A (-) A (-) A (-) A n (-) n A n, (6) leo ľuovoľného i-teho ridku: A i (-) i A i i (-) i A i i (-) i A in (-) in A in n i ( ) i j A ij ij kde i,,, n resp ľuovoľného j-teho stĺpc: A j (-) j A j j (-) j A j j (-) j A j nj (-) nj A nj n j ( ) i j ij A kde j,,, n ij, Poznámk: Nech A je štvorcová mtic tretieho stupň Determinnt mtice A možno určiť rozkldom : A A - A A Príkld 6: Vpočítjte determinnt mtice A n záklde rozvoj podľ vrného ridku (stĺpc) Verieme si rozvoj podľ prvého stĺpc, npriek tomu, že šikovnejšie olo podľ druhého ridku Viete prečo? ( ) ( )( ) ()( ) ( ) ( 7) 6

120 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 6: pokrčovnie riešeni Skúšk: O tom, či sme správne počítli s môžeme presvedčiť vužitím IKT Verieme si klkulčku n Výsledok potvrdzuje nmi vpočítnú hodnotu (or 6) Orázok: 6 Výpočet determinntu pomocou IKT Otázk : Prečo v Príklde 6 je vhodnejšie roiť rozkld podľ druhého ridku? Odpoveď: Pretože dv prvk sú nulové ted musíme počítť len dv determinnt Príkld 6: Vpočítjte determinnt Budeme postupovť v zmsle prvidiel viet 6 67 plikáciou ERO n dosihnutie determinntu, v ktorom získme jeden stĺpec (prvý) pod vodicim prvkom smé nulové prvk Po týchto úkonoch môžeme použiť pozntok vet 68 rozvinúť determinnt podľ prvého stĺpc, ked dostneme determinnt tretieho stupň Ten vpočítme použitím Srrusovho prvidl Použili sme nsledovné úprv: krok GA - ridok (R) vnásoíme číslom (-) pripočítme k R; - R vnásoíme číslom pripočítme k R; - R vnásoíme číslom (-) pripočítme k R, ked sme ukončili krok GA vnulovli prvk v prvom stĺpci determinntu pod prvkom ; - rozvinuli sme determinnt podľ prvého stĺpc použili Srrusove prvidlo pre výpočet determinntu tretieho stupň: 7

121 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 6: pokrčovnie riešeni ( ) () 7 ( ) ()( ) ( )7( ) ( )( ) ( )()( ) ( )7( ) ( )( ) ( )()( ) [ ] [ ] ( 6 8) (7 8) 68 Skúšk: Zdjte hodnot determinntu do klkulčk n Or 6 hodnot determinntu Orázok 6: Skúšk výpočtu determinntu prostredníctvom interktívnej klkulčk Otázk : Akú operáciu sme pri výpočte mohli ešte uroiť, sme počítli pri Srrusovom prvidle s menšími číslmi? Odpoveď: Npríkld odčítť od tretieho ridku prvý Získli sme jednu nulu 8

122 B) Výpočet determinntov vššieho stupň úprvou n trojuholníkový tvr Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Veľmi šikovným spôso počítni hodnot determinntu, njmä pre tých, čo zvládli elementárne ridkové operácie, je uprviť determinnt n trojuholníkový tvr O výpočte hovorí nsledujúce vet: Vet 69: Hodnot determinntu štvorcovej mtice n-tého stupň, uprvená n trojuholníkový tvr, v ktorom kždý z prvkov ii (kde i,,, n) s rovná súčinu Determinnt prvkov hlvnej z Príkldu digonál, 6 môžeme tj det A vpočítť j úprvou nn n trojuholníkový tvr Pri tomto spôsoe vužijeme Vet 6 67 Uprvíme determinnt pomocou Gussovho lgoritmu (GA) elementárnch ridkových operácií (ERO) Postup prezentuje riešený príkld: Príkld 6: Vpočítjte determinnt úprvou n trojuholníkový tvr Vužijeme krok GA rovnký ko v príklde 6: krok GA - R vnásoíme číslom (-) pripočítme k R; - R vnásoíme číslom pripočítme k R; - R vnásoíme číslom (-) pripočítme k R, ked sme ukončili krok GA vnulovli prvk v prvom stĺpci determinntu pod prvkom ; krok GA - R pripočítme k R; - R vnásoíme číslom (-) pripočítme k R; - Vmeníme druhý tretí ridok v determinnte, čím sme dostli vodici prvok kroku GA - Pozor pri výmene ridkov podľ Vet 6 determinnt zmení znmienko; - R vnásoíme číslom (-) pripočítme k R, ked sme ukončili krok GA vnulovli prvk v druhom stĺpci determinntu pod prvkom ; krok GA - s prvok - vnásoíme R číslom (-) pripočítme ho k R; - R vnásoíme číslom (-6) pripočítme ho k R, tým sme ukončili krok GA máme determinnt uprvený n trojuholníkový tvr; - Hodnotu determinntu vpočítme podľ V 69 ko súčin digonálnch prvkov: det A 9

123 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Príkld 6: pokrčovnie riešeni ) ( 7 () ) ( ) ( () 7 ) ( 7 )) )( (( 6) ( 6 ) ( ) ( 6 6 Smozrejme dostli sme rovnký výsledok ko pri výpočte predchádzjúcim spôsoom (pozri or 6) Príkld 6: Vpočítjte determinnt rozkldom podľ určitého ridku: 7 Zvolíme si rozkld podľ prvého ridku, leo je tm jedn nul: ( ) ( ) ( ) A ( ) 6 66

124 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc PDDA Úloh 6: Vpočítjte determinnt nájdite všetk, pre ktoré pltí D() D Úloh 7: Vpočítjte determinnt D z úloh 6 nájdite všetk, pre ktoré pltí D() Príkld 6: Vpočítjte determinnt D nájdite všetk, pre ktoré pltí D() > : D Rozvinieme si determinnt podľ piteho ridku následne podľ prvého stĺpc: ) ( ) )( ( ) ( D ) ( ) )( )( ( > ( ) ( ) >, ( ) > pre všetk (- ) ( ) > > - < - < < U < < > < množin D > pre < <

125 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc 6 Inverzná mtic Ako je známe, kždému číslu z množin R, resp K rôznemu od nul eistuje tké číslo reálne, resp komplené, že ich súčin dáv číslo jedn Je n mieste položiť si otázku: Otázk : Eistuje ku kždej mtici A tká mtic X, že pltí AX XA E? Po nštudovní teórie si n ňu odpoviete Definíci 6 Regulárn singulárn mtic Štvorcovú mticu A tpu n n nzývme regulárnou, k determinnt mtice je nenulový, tj A, čo je ekvivlentné výroku, že hodnoť mtice A je n Štvorcovú mticu A nzývme singulárnou, k A Definíci 66 - Inverzná mtic Nech A je štvorcová mtic Mticu X, pre ktorú pltí: AX XA E nzývme inverznou mticou k mtici A oznčujeme ju X A - Tkže pltí: AA - A - A E (6) Príkld 6: Zistite z kej podmienk mtic je regulárn, k,, c, d sú reálne čísl A d c Vjdeme z Definície 6 k je mtic regulárn A Uprvíme mticu pomocou ERO n tvr odpovedjúci ukončenému kroku GA: d c ~ d c ~ d c ~ d c [ ] [ ] cd d c d c d c ) )( ( (d ) cd (d ) cd

126 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Stretneme s s dvomi spôsomi výpočtov inverznej mtice pomocou determinntov leo jednotkovej mtice s GA K prvej z nich je nutné poznť pojem djungovná mtic, ktorý ojsňuje definíci 67 Definíci 67 - Adjungovná mtic Nech A je štvorcová mtic n-tého stupň Mticu D nzývme djungovnou mticou k mtici A dj A D D D n D D D n D D D n n nn, (6) kde D ij (-) ij A ij pre i, j,, n s nzývme lgerické doplnk k prvku ij mtice A Poznámk: Pozor n usporidnie lgerických doplnkov!!! Doplnk prvku i-teho ridku píšeme do stĺpc! Príkld 66: Nájdite djungovnú mticu k mtici A Vjdeme z definície 67 Vpočítjme si njprv všetk lgerické doplnk D ij k mtici: A 7, pre ktoré pltí D ij ( ) ij A ij 6 8 D ( ) 7 6 D ( ) ( 8) 8 8 D ( ) 6 ( ) D ( ) D ( ) D ( ) 6 7 D (-) ( 6 ) D ( ) ( ) 6 8 D ( ) dj A

127 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc Poznámk: Pozor n usporidnie lgerických doplnkov - nstáv zámen pordi indeov! - Pre prktické počítnie je výpočet inverznej mtice A cez determinnt vhodné len pre mtice tpu njvic Pri všších stupňoch vužívme IKT Definíci 68 - Výpočet inverznej mtice Nech A je regulárn štvorcová mtic, potom inverzná mtic predpisom: A - dj A, (66) A - A k mtici A je určená kde (D ij ) nn sú prvk djungovnej mtice k mtici A určené predpisom D ij ( ) ij A ji, ktoré nzývme lgerické doplnk Tkže inverznú mticu A - dj A A D D A D D D D D D D, resp - A možno vjdriť: A A A - A A A A (67) A A A A Príkld 67: Riešte rovnicu pre neznámu mticu X urote skúšku: 6 8 X - X Rovnic je mticová rovnic Postupujeme rovnko člen s neznámou mticou dáme n jednu strnu: 6 8 X X Verieme X pred zátvorku, pričom musíme dodržť pozíciu mtice X n prvej strne zpíšeme jednotkovú mticu! 6 E X 8 6 X 7 6 X čo zpíšeme: AX B A - AX A - B X A - B 7

128 Kpitol 6 Determinnt doc RNDr M Ožvoldová, CSc PDDA Sú dné mtice A, B Úloh 8: Rozhodnite: ) či k mtici A eistuje inverzná mtic Ak áno určite ju Úloh 9: Pre mticu A rozhodnite o pltnosti výrokov ) A A T, ) A - A T, c) B B - Úloh : Riešte rovnicu pre neznámu mticu X urote skúšku: X X Vslovte podmienku pre eistenciu inverznej mtice ko ju možno vpočítť Definujte djungovnú mticu jej súvis s inverznou mticou Kde prcujeme s lgerickými doplnkmi D ij k mtici ko sú definovné? Príkld 67: pokrčovnie riešeni kde A B 7 6 Terz určíme A - Gussovým lgoritmom: - - A Uroíme si prieežnú skúšku: Ak sme správne počítli, musí pltiť A - A E: - X Skúšku správnosti uroíme opäť tým, že dosdíme do pôvodnej rovnice: ĽS: X PS: X Kontrolné otázk

129 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Kpitol 7 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC Učené ciele: - Ooznámiť s so zákldnými pojmmi súvisicimi so sústvou lineárnch rovníc; - Nučiť s riešiť sstém lineárnch rovníc vicerými spôsomi: s vužitím Crmerovej vet, pomocou inverznej mtice Gussovým lgoritmom postupných elementárnch úprv n záklde Froeniovej vet; - Vedieť prcovť s interktívnmi www stránkmi n výpočet sústv rovníc Kľúčové slová: sstém lineárnch rovníc (SLR), mtic sstému, mtic rozšírená, riešenie SLR, Crmerov vet, riešenie sstému, triviálne riešenie, inverzná mtic, Froeniov vet Poždovné vedomosti: znlosť úprv rovníc, riešenie sústv dvoch lineárnch rovníc pojm operácie z predchádzjúcich kpitol Motiváci Orázok 7: Crl Fridrich Guss * (777 8) Sotv sme nšli v histórii mtemtik význmnejšie meno V nšom povedomí s vvuje jeho krivk znázorňujúc rozloženie prvdepodonosti, s ktorou nstne určitý jv Nám všk odkázl oveľ vic: Nerátjte, le rozmýšľjte O jeho tlente svedčí príhod z ľudovej škol: Učiteľ chcel žikov n dlhšie zviť, tk im dl zrátť čísl od jednej do sto Všetci zčli počítť, len deväťročný sn miestneho murár s zmslel Všimol si, že súčet dvojice čísel od zčitku od konc je vžd rovnký (, 99 ) Keďže tieto súčt s opkujú -krát, nmiesto úmorného výpočtu stčilo vnásoiť výsledok ol n svete V tejto čsti si ukážeme, ko rozhodneme, či sstém rovníc má riešenie, prípdne koľko má riešení N záklde znlostí riešeni sústv dvoch lineárnch rovníc o dvoch neznámch, s ktorými ste s stretli už n strednej škole, vieme, že môže nstť jeden z troch prípdov: - sstém má práve jedno riešenie; - sstém má nekonečne veľ riešení; - sstém nemá riešenie Tieto skutočnosti možno zovšeoecniť j n sstém m-rovníc o n-neznámch Úlohou ude rozhodnúť, či sstém má leo nemá riešenie Ak áno, tk ďlšou úlohou ude nájsť všetk riešeni sstému Postupne preerieme štri možné spôso riešeni SLAR, to pomocou: mtíc, determinntov, k m n, inverznej mtice, k m n det A, informčných sstémov * zdroj orázk: 6

130 7 Sústv lineárnch rovníc definíci, pojm Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Je dná sústv m lineárnch rovníc o n neznámch (,,, n ), kde ij, i,, m, j,, n, sú koeficient pri neznámch i, kde i,, m sú koeficient n prvej strne sústv rovníc (7): n n n n (7) m m m n n m Zdefinujme si pojm mticový zápis SLR, mtic sstému mtic rozšírená: Definíci 7 Mticový zápis SLR Sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch, určenými rovnicmi (7) možno zpísť v mticovom tvre AX B, (7) kde mticu A tpu m n nzývme mticou sstému, ktorej prvkmi sú koeficient ij, i,, m, j,, n) sú reálne čísl pre pri neznámch X, pri dodržnom pordí B je jednostĺpcová mtic tpu m, vtvorená z koeficientov i (pre i,, m) n prvej strne sústv, ktoré nzývme solútne člen: n n A, X, B m mn n m Definíci 7 Rozšírená mtic sstému Mticu C, ktorá vznikne pridním stĺpc prvých strán k mtici sstému A, nzývme rozšírenou mticou sstému lineárnch rovníc, určenými rovnicmi (7) n n C (7) j m mn m Príkld 7: Npíšte mticu sstému A mticu rozšírenú B sstému lineárnch rovníc vo všeoecnom tvre, k m n A, B 7

131 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Pre sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch je mtic sstému A mtic tpu m n mtic vtvorená z neznámch X tpu m, tj m-ridková jednostĺpcová mtic, ko j mtic B, vtvorená z koeficientov n prvých strnách rovníc Definíci 7 Homogénn sstém rovníc Sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch, určenými rovnicmi (7) nzývme homogénnm sstémom, k mtic B, určená stĺpcom solútnch členov sústv (tj koeficient n prvých strnách) je nulová mtic, tj i pre i,,, n n n n n (7) m m m n n Poznámk: Pre homogénn sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch s rovná mtic sstému mtici rozšírenej Definíci 7 Riešenie sstému, mtic sstému Riešením (koreňom) sstému m-lineárnch rovníc o n-neznámch, určenými rovnicmi (7) resp v mticovom zápise v tvre (7), rozumieme usporidnú n-ticu čísiel, čiže jednoridkovú R (r, r, r n ), (resp jednostĺpcovú) mticu, ktorá po dosdení do ľvej strn rovníc sstému (7) dáv rovnosť Ak riešením je nulová mtic, tj R (,, ) hovoríme, že sústv má triviálne riešenie Príkld 7: Pre dnú sústvu lineárnch rovníc npíšte mticu sstému A mticu rozšírenú B sstému lineárnch rovníc: - - A, B PDDA Úloh : Pre dný sstém rovníc z príkldu 7 určite hodnosť mtice sstému hodnosť mtice rozšírenej 8

132 7 Riešenie sústv n-lineárnch rovníc o n-neznámch Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Otázk : Ako nájdeme riešenie sstému rovníc (7) koľko má sstém riešení? N túto otázku udeme vedieť odpovedť po prertí nsledovných dvoch podkpitol Njprv si ukážeme riešenie sstému rovníc, ktorých mtic sstému A je štvorcová mtic tpu n n Pre tkúto sústvu môžeme použiť tri spôso, ktoré si postupne ukážeme A) Riešenie sústv n n pomocou determinntov s vužitím Crmerovej vet S riešením dvoch rovníc o dvoch neznámch, určených rovnicmi (6), sme si už hovorili pri prezentovní zvedeni pojmu determinnt Jednlo s o rovnice Pre riešenie sme si odvodili vzťh (6) (6), K týmto vzťhom možno dospieť s vužitím determinntov: D D {, },, D D kde si definujeme determinnt mtice sústv D determinnt D resp D, v ktorých prvý/resp druhý stĺpec v determinnte sústv nhrdíme stĺpcom prvých strán: Tento pozntok pre sstém s všším počtom neznámch zovšeoecňuje Crmerov vet Vet 7 Crmerov vet Sstém n-lineárnch rovníc o n-neznámch, určený rovnicmi n n n n (7) n n n n n n,, ktorej determinnt regulárnej mtice sústv D, má práve jedno riešenie R{,, } D D Dn R{,,, n },,, n, kde D D D n n n n D Di n n n nn D i, pre i,, n, je determinnt mtice, ktorý vznikne z mtice sústv nhrdením i-teho stĺpc stĺpcom prvých strán sústv (or 7) n n n n nn Orázok 7: K ojsneniu pojmu D i n 9

133 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vet 7 Sústv n-homogénnch lineárnch rovníc o n-neznámch má jediné riešenie totiž nulové (triviálne riešenie) práve vted, k determinnt sústv je rôzn od nul Príkld 7: Riešte sstém rovníc: Ukážeme si výpočet pomocou Crmerovej vet Vpočítme determinnt mtice sústv D presvedčíme s, či je rôzn od nul A D det A ( 6) ( ) [( 8) 9) ] 6 Vpočítme si D ž D v zmsle vet 7: D D D,, D D D Pre čitteľnosť zpíšeme riešenie v tvre usporidnej trojici R{,, } Skúšk správnosti: Opäť môžeme si zvoliť dv spôso: dosdením, leo skúškou cez IKT n Fliner%Flinsolveren&methodcoef&cmdresume spôso: (Vhodný spôso skúšk, ktorý použite n skúške!) ĽS: (-) (-) ĽS PS ĽS: (-) - (-) ĽS PS ĽS: - - (-) ĽS PS spôso: Otvoríme si niektorú z interktívnch stránok n internete uroíme si skúšku Pre dný príkld výsledk zo stránk prezentujú orázk 7 7

134 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie príkldu Orázok 7: Zdnie sstému rovníc do sstému n Orázok 7: Riešenie sstému rovníc zo sstému n Otázk : Je možné riešiť pomocou Crmerovej vet (tj pomocou determinntov) zdnú sústvu rovníc? Odpoveď: Nie, leo mtic sstému nie je štvorcová mtic ted nie je definovný pre ňu determinnt sústv D Otázk : Je sústv homogénnm sstémom rovníc? Odpoveď: Nie, pretože koeficient n prvej strne mtice nie sú nulové Poznámk!!!: Ak zistíme, že mtic sstému je singulárn, tj determinnt sústv je rovný nule, n výpočet použijeme Gussov lgoritmus Froeniovu vetu, s ktorou s ooznámime neskôr

135 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: Riešte sústvu pomocou determinntov: 6 Riešenie Použijeme Crmerovu vetu 7 Njprv zistíme, či mtic sstému je regulárn: D ( ( )( ) ) ( ( ) ( )) (6 ) sstém má jediné riešenie Vpočítme D ž D : D, D, D 6 D D D,, D D D 6 Hľdné riešenie je R {,, } Skúšk: ĽS : ( ) 6 ĽS PS ĽS : ( ) ĽS PS ĽS : ( ) ĽS PS B) Riešenie sústv n n pomocou determinntov s vužitím inverznej mtice Nech je dná sústv rovníc (7) s rovnkým počtom neznámch ko rovníc: n n n n (7) n n n n n n V zmsle definície 7 vieme, že sústvu (7) môžeme vjdriť v mticovom zápise pomocou mtíc: n n A n n n nn X B, n n

136 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc kde sme mticu n-tice neznámch solútnch členov sústv vjdrili ko n-rozmerné jednostĺpcové mtice Pri riešení udeme postupovť v nsledovných krokoch: Zpíšeme si sstém rovníc v mticovom tvre (vzťh 7), tj AX C; Vjdríme si hľdnú mticu v tvre (vzťh 76) X A - C; Určíme si inverznú mticu postupom: - ) npíšeme si definíciu inverznej mtice (vzťh 66) A A A dj ; ) vpočítme det A (k je eistuje inverzná mtic pokrčujeme); c) vpočítme si lgerické doplnk mtice A potrené pre djungovnú mticu; d) v správnom pordí zordíme prvk djungovnej mtice; e) djungovnú mticu vnásoíme číslom /det A; f) uroíme skúšku správnosti, tj či pltí AA - E ; Určíme neznámu mticu X tk, že mticu C vnásoíme zľv mticou A - ; Uroíme skúšku správnosti dosdením do zdného sstému rovníc Postup si ukážeme n príkldoch: Príkld 7: Riešte pomocou inverznej mtice sstém rovníc: Presvedčte s o správnosti riešeni Budeme postupovť podľ vššie uvedených krokov Krok : AX C A, C Krok : Vjdríme si neznámu mticu X A - C Krok : Určíme si inverznú mticu: - ) A dj A A ) A ( ) c) vpočítme si lgerické doplnk, pre ktoré pltí D ij (-) ij A ij pre i, j,,

137 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie riešeni D (-) [ ( ) ] ( ) ( ) D (-) (-)(-) - D (-) 6 D (-) [ ] D (-) D (-) ( )( ) D (-) D (-) D (-) [ ( ] d) v správnom pordí zordíme prvk djungovnej mtice pomocou vzťhu (6) dj A D D D D D D D D D 6 e) djungovnú mticu vnásoíme číslom /det A A - 6, f) uroíme skúšku správnosti, tj či pltí AA - E (uď smosttne výpočtom v prípde skúšk, leo s vužitím IKT, ko prezentujú or 7 or 76); Orázok 7: Súčin mtíc n klkulčke WIMS Tký istý výsledok dostneme, keď si dáme vpočítť primo inverznú mticu (or 76)

138 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok 77: WIMS výpočet súčinu mtíc Príkld 7: pokrčovnie riešeni Orázok 76: WIMS výpočet inverznej mtice Krok : Určíme neznámu mticu X tk, že mticu C vnásoíme zľv mticou A -, tj X A - C X 6 Hľdné riešenie R: {,, } Krok : Spôso : Uroíme skúšku správnosti dosdením do zdného sstému rovníc ĽS: - pltí ĽS PS ĽS: - pltí ĽS PS ĽS: - pltí ĽS PS spôso cez IKT:

139 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Riešenie sstémov lineárnch rovníc pomocou inverznej mtice s njmä vužív, keď riešime vicej sstémov, ktorých mtic sstému je rovnká mení s len mtic rozšírená Príkld 76: Zistite, či eistuje inverzná mtic k mtici dného sstému rovníc Ak áno, riešte dný sstém rovníc pomocou inverznej mtice Mtic sstému je A, N záklde definície 68 udeme počítť inverznú mticu zo vzťhu A A A - - A dj A resp A A A A A A A A A Vpočítjme si njprv determinnt k mtici sústv následne všetk lgerické doplnk D ij k mtici, pre ktoré pltí D ij (-) ij A ij : A -8-8-() -7 D (-) ( ) D (-) ( )) 6 D (-) -() -6 D (-) D (-) 6 D (-) ( ) 6 D (-) D (-) 6 D (-) ( ) 6 dj A A

140 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 76 pokrčovnie riešeni Nkoľko eistuje inverzná mtic riešenie vjdríme v tvre (76) X A - C X Skúšk správnosti riešeni: ĽS : ( ) ĽS PS ĽS : ( ) ĽS PS ĽS : ( ) ĽS PS R {, -, } Kontrolné otázk Čo rozumieme pod pojmom mticový zápis sústv m-lineárnch rovníc o n-neznámch? Ked môžeme sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch riešiť pomocou inverznej mtice? Ako zpíšeme riešenie m-lineárnch rovníc o n-neznámch pomocou inverznej mtice vo všeoecnom tvre? Definujte jednotlivé prvk zápisu Ked zvolíme postup riešeni sstému lineárnch rovníc pomocou determinntov? Vslovte jednotlivé od postupu pri riešení sstému rovníc pomocou inverznej mtice PDDA Úloh : Riešte sstém rovníc pomocou Crmerovej vet: Úloh : Riešte sstém rovníc pomocou inverznej mtici: 6 Úloh : Rozhodnite, či dný sstém má riešenie Ak áno, určite všetk riešeni Presvedčte s o správnosti vášho riešeni: 6 7 7

141 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 7 Riešenie sústv m-lineárnch rovníc o n-neznámch - Froeniov vet Vjdeme zo všeoecného sstému m-rovníc o n-neznámch, určeného rovnicmi (7) n n n n (7) m m m n n m Úlohou ude ted rozhodnúť, či sstém má leo nemá riešenie Ak áno, tk nájsť všetk riešeni sstému Ukážeme si riešenie pomocou Gussovho lgoritmu postupných úprv, kde vužívme elementárne ridkové operácie s mticou rozšíreného sstému n úprvu tejto mtice n trojuholníkový tvr K tomu si potreujeme zopkovť Definíciu Hodnosť mtice, ktorá definuje hodnosť ko číslo, udávjúce mimáln počet lineárne nezávislých ridkov leo stĺpcov v mtici Tkže hodnosť mtice uprvenej n trojuholníkový tvr je počet nenulových digonálnch prvkov v mtici Podmienku riešiteľnosti sstému m-rovníc o n-neznámch (7) vjdruje nsledovná vet: Vet 7 - Froeniov vet: Nech A je mtic sstému B je rozšírená mtic sstému lineárnch rovníc (7) Potom tento sstém: má riešenie, práve keď hodnosť mtice sstému s rovná hodnosti rozšírenej mtice, t,j pltí h A h B ) Ak h A h B n počtu neznámch, sstém má práve jedno riešenie; ) Ak h A h B < n počtu neznámch sstém má nekonečne veľ riešení počet n-h neznámch volíme z prmeter nemá riešenie, k h A h B, tj k hodnosť mtice sstému (7) s nerovná hodnosti rozšírenej mtice (7) Prktickú plikáciu použiti Froeniovej vet prezentujú riešené príkld: Príkld 77: Pre dnú sústvu verte prvdivý výrok/: Sústv: ) nemá riešenie - ) má nekonečne veľ riešení - c) má jedno riešenie d) má triviálne riešenie Npíšme mticu rozšíreného sstému s oddelením mtice sstému zvislou čirou Určíme súčsne hodnosť mtice hodnosť rozšírenej mtice pomocou Gussovho lgoritmu: krok GA Prvý ridok vnásoíme postupne ( ), resp ( ), resp ( ) pripočítme k druhému, tretiemu štvrtému ridku: B 8

142 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 77: pokrčovnie riešeni krok GA - k tretiemu štvrtému ridku pripočítme (-) násook druhého ridku A h B h Po vnechní nulových ridkov vidíme, že hodnosť < B A h h - sstém má nekonečne veľ riešení Výrok ) je prvdivý sstém rovníc má nekonečne veľ riešení Príkld 78: Riešte sstém rovníc: Presvedčte s o správnosti Vášho riešeni Npíšeme rozšírenú mticu sstému: 9 A B n h h B A sústv má práve jedno riešenie N záklde Froeniovej vet 7, možno deklrovť, že sstém má práve jedno riešenie, ktoré určíme nsledovným postupom: Tretí ridok mtice, vzhľdom k tomu, že je koeficient pri neznámej možno zpísť: Druhý ridok zpíšeme: Prvý ridok zpíšeme: - R {, -, }, Skúšk správnosti: Postupne dosdíme do jednotlivých rovníc: ĽS: () ( ) ĽS PS ĽS: ( ) ĽS PS ĽS: ĽS PS 9

143 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 79: Riešte sstém rovníc presvedčte s o správnosti riešeni: Npíšme rozšírenú mticu sstému B Súčsne určíme hodnosť ko mtice sstému A, tk mtice rozšírenej: krok GA vtvoríme vodici prvok prvého kroku : od druhého ridku odčítme prvý ridok vmeníme druhý z prvý ridok: krok GA vnulujeme všetk prvk pod prvý ridok vnásoíme postupne (-) (-7) pripočítme k druhému tretiemu ridku: krok GA Druhý ridok vnásoíme (-) pripočítme k tretiemu ridku: 8 9 h A h B Nkoľko hodnosť mtice s nerovná hodnosti rozšírenej mtice sstému ( ) sstém nemá riešenie Príkld 7: Riešte sstém rovníc, urote skúšku správnosti určite, ktoré výrok sú správne (doplňte, k ude tre): Sústv: ) nemá riešenie ) má nekonečne veľ riešení c) má jedno riešenie d) má triviálne riešenie e) má nekonečne veľ riešení pre prmetre f) pre prmetre má riešenie, Npíšeme rozšírenú mticu určíme hodnoť mtice sstému rozšírenej mtice: krok GA, vnulujeme všetk prvk pod ; prvým ridok vnásoíme postupne ( ), ( ) ( ) pripočítme k druhému, tretiemu štvrtému ridku, resp

144 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie riešeni krok GA prvé dv ridk opíšeme, druhý ridok vnásoíme ( ) pripočítme k tretiemu štvrtému: n h h < B A Sstém má nekonečne veľ riešení, (n - h) - neznáme volíme z prmeter Zvolíme si premennú t u Z posledného ridku mtice vplýv, že pltí: - - t u ( t u ) u t t R [ t, t u, u, t ] Pre u t R: [,,, ] [,,, ] Skúšk správnosti: ĽS: t t u u t ĽS PS ĽS: ( t ) ( t u ) u t ĽS PS ĽS: t ( t u ) u t ĽS PS ĽS: ( t ) t ĽS PS Odpoveď: Správne výrok sú: Sústv: ) má nekonečne veľ riešení, e) má nekonečne veľ riešení pre dv prmetre: t, u f) pre prmetre má riešenie, Príkld 7: Zistite, či sstém má netriviálne riešenie:

145 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie riešeni: n h h B A Vieme že, homogénn sstém rovníc má vžd riešenie, keďže hodnosť rozšírenej mtice s rovná hodnosti mtice sstému Zistili sme, že netriviálne riešenie nemá, keďže počet neznámch s rovná hodnosti Jediné riešenie sstému je triviálne R {,,, } Príkld 7: Rozhodnite, či dný sstém má riešenie Ak áno, určite všetk riešeni Presvedčte s o správnosti riešeni 7 6 Npíšeme rozšírenú mticu sstému: krok GA vtvoríme vodici prvok prvého kroku, tk, že vmeníme štvrtý ridok z prvý: krok GA vnulujeme všetk prvk pod ; prvý ridok vnásoíme postupne ( ), ( ) ( 6) pripočítme k druhému, tretiemu štvrtému ridku resp krok GA výmenou druhého tretieho ridku vtvoríme vodici prvok vnulujeme všetk prvk pod, tým, že druhý ridok násoíme ( ) pripočítme postupne k tretiemu štvrtému ridku:

146 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie riešeni krok GA k štvrtému ridku pripočítme (-) násook tretieho ridku: h A hb n 7 Získli sme mticu trojuholníkového tvru, hodnosť mtice sstému j rozšírenej mtice s rovná počtu prvkov v hlvnej digonále, tj sstém má práve jedno riešenie: Štvrtý ridok mtice, keďže je koeficient pri neznámej možno zpísť: Tretí ridok zpíšeme: 7 7( ) 7 Druhý ridok zpíšeme: Prvý ridok zpíšeme: Riešenie zpíšeme v tvre jednoridkovej: R {, -,, -} Skúšk správnosti: ĽS: 6 ( ) 7( ) ĽS PS ĽS : ( ) ( ) ĽS PS ĽS: ( ) ( ) ĽS PS ĽS : ĽS PS PDDA Úloh : Riešte sstém rovníc Nájdite všetk riešeni sstému tiež prciálne riešenie, ktorého druhá súrdnic Úloh 6: Riešte sstém rovníc: 7 7

147 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 7 8 Úloh 7: Riešte sstém rovníc urote skúšku: z u z u u z u Úloh 8: Rozhodnite, či dný sstém má riešenie Ak áno, určite všetk riešeni Presvedčte s o správnosti vášho riešeni 6 7 Úloh 9: Sú dné vektor (,,), (,, ), c (,, ), d (,, ) záklde vášho výpočtu verte správne tvrdenie: A),, c, d sstém vektorov je lineárne závislý jeho hodnosť h B),, d sstém vektorov je lineárne nezávislý jeho hodnosť h C), c, d sstém vektorov je lineárne nezávislý jeho hodnosť h D), c, d sstém vektorov je lineárne závislý jeho hodnosť h N Kontrolné otázk Ked má sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch riešenie ktorá veličin túto skutočnosť podľ Froenius určuje? Ak má sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch riešenie, čo vpovedá o počte jeho riešení? Ojsnite slovne ko nájdeme riešenie SLAR Ked má homogénn sstém rovníc netriviálne riešenie? Vslovte npíšte úplné znenie Froeniovej vet Skontrolujte si ju! 6 Ked sstém lineárnch rovníc nemá riešenie? 7 Čo vieme povedť o sstéme m-lineárnch rovníc o n-neznámch, k hodnosť mtice sstému hodnosť rozšírenej mtice s rovnjú, le je menši ko počet neznámch? 8 Môže nstť prípd pre sstém m-lineárnch rovníc o n-neznámch, ked hodnosť mtice sstému je väčši ko hodnosť rozšírenej mtice? 9 Čo vieme povedť o sstéme m-lineárnch rovníc o n-neznámch, k hodnosť mtice sstému hodnosť rozšírenej mtice s rovnjú? Aká musí ť hodnosť homogénneho sstému m-lineárnch rovníc o n-neznámch, ml netriviálne riešenie?

148 7 Riešenie sústv lineárnch rovníc s prmetrom Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc O sústve rovníc s prmetrom, hovoríme vted k sústv lineárnch rovníc (7) oshuje miesto niektorého koeficient (koeficientov) prmeter, v nšom prípde ho udeme oznčovť α Prmeter je reálne číslo, ktorého hodnot nie je jednoznčne zdná, le rozhoduje o riešiteľnosti riešení dného sstému Tieto úloh rozvíjjú logické mslenie ukzujú, ko čitteľ porozumel látke vie svoje vedomosti plikovť v konkrétnej situácii Príkld 7: Určite: ) pre ktoré α má sstém rovníc riešenie: - 7 α ) ktorý/é) výrok/) je (sú) prvdivý/é doplňte: Sústv: ) nemá riešenie pre α ; ) má nekonečne veľ riešení nezávisle n prmetri α; c) má jedno riešenie pre α ; d) má triviálne riešenie; e) má nekonečne veľ riešení pre prmeter α c) Pre dné α nájdite riešenie, ktorého štvrtá súrdnic je nul R {,,,,} ) Vmeníme ridk tk, sme vodici prvok kroku Gussovho lgoritm mli jednotku Pokiľ je to možné, volíme tký ridok, kde s prmeter nevsktuje ridok s prmetrom presunieme ko posledný ridok : 7 α 7 α Uskutočníme elementárne operácie: prvý ridok vnásoíme ( ) pripočítme k druhému ridku následne prvý ridok ( ) pripočítme k tretiemu ridku: 7 7 α 7 (*) α V kroku Gussovho lgoritmu pričítme druhý ridok k tretiemu ridku: Dostli sme trojuholníkovú mticu s prmetrom v rozšírenej mtici: Urome diskusiu poslednej mtice (*) v zmsle Froeniovej vet: Nkoľko v mtici sstému A posledný ridok je nulový, h A Hodnosť rozšírenej mtice závisí od prmetr: Ak α h B h A h B sstém nemá riešenie pre α A sstém ml riešenie musí pltiť, že h α α B

149 Príkld 7: pokrčovnie riešeni: Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Keďže h < n, sstém má nekonečne veľ riešení, počet neznámch n h, volíme z prmeter, tj dve neznáme npríkld t u môžu ndoúdť ľuovoľné hodnot Z druhého ridku mtice (*) po dosdení dostneme: 7 t 7u Z prvého ridku vjdrime neznámu : - ( t 7u) 6 6t u t u t u t 6u t 6u t - 7u Riešenie zpíšeme v tvre jednoridkovej mtice: R {,, t, u} Uroíme skúšku: Dosdíme do prvej rovnice: t 6u t 7u ĽS: t u ĽS PS ) Sústv: ) nemá riešenie pre α správn výrok; ) má nekonečne veľ riešení nezávisle n prmetri α; nesprávn výrok; c) má jedno riešenie pre α nesprávn výrok; d) má triviálne riešenie nesprávn výrok; e) má nekonečne veľ riešení pre prmeter α správn výrok c) Pre dné α nájdite riešenie, ktorého štvrtá súrdnic je nul Do vpočítného všeoecného riešeni zvolíme z u dostneme hľdné riešenie: t t Zistili sme, že sstém má riešenie má len pre α, to: R {,, t, } Príkld 7: Zistite, pre ktoré α má sstém netriviálne riešenie ( α) ( α) A nájdite tké riešenie, ktorého Možný spôso riešeni sústv je s vužitím vlstností determinntov pomocou Gusssovho lgoritmu Ako prvé zvolíme riešenie s vužitím vlstností determinntov: A homogénn sstém ml netriviálne riešenie ridk (stĺpce) musi ť lineárne závislé, tj determinnt s musí rovnť nule: α α ( α)( α) α -α -α α ± ± α - 6 α, α α 6

150 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 7: pokrčovnie riešeni: Hodnosť h pretože sudeterminnt druhého rádu je, pretože α α pre α n - h neznámu volíme ľuovoľne, tj t Pre α dostneme z prvej rovnice (-α) t Z druhej rovnice po dosdení z α : ( ) t Všeoecné riešenie I : R {t, t t, - } Riešenie, ktorého ude: R {,, }- triviálne Pre α dostneme () t ( ) ) ( t t Všeoecné riešenie II : R { t, t t, } Riešenie, ktorého ude: R {,, } - triviálne riešenie Netriviálne riešenie s treťou nulovou súrdnicou neeistuje Iný spôso riešeni je pomocou mtíc: α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α A hodnosť h musí s rovnť prvk α α α α 6, ± ± α α α Dostli sme rovnký výsledok, čo sme očkávli 7

151 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vužitie sústv rovníc n riešenie prolémov reálneho svet je mnohorké Ukážeme si spoň jeden príkld, s ktorým s stretnete v zákldnom kurze fzik Príkld 76: Riešte sstém rovníc v závislosti od prmetr : práve jedno riešenie h A h B / / / ( 9(/) (-/) 7 )/ ( 6 7 )/ Sstém má riešenie usporidnú trojicu: R: {, /, /} pre všetk hodnot prmetr R Skúšk: ĽS: ( ) 9(/) ( /) 6 7 ĽS PS ĽS: ( ) (/) ( /) 6 ĽS PS ĽS: ( ) 6(/) ( /) 8 ĽS PS Príkld 7: Zistite, pre ktoré α má sstém netriviálne riešenie α k α α α α h A sstém má triviálne riešenie; Keď le, α A h α Ak α A h sstém má nekonečne veľ riešení 8

152 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 77: Vpočítjte prúd vo všetkých troch vetvách zpojeni podľ orázku 78, keď U e, V, U e,9 V, R Ω, R Ω, R Ω Orázok 78: Schém zpojeni Vužijeme pltnosť Kirchhoffových zákonov pre ovod Predtým ko si npíšeme rovnice, musíme si: Uvedomiť koľko neznámch prúdov máme ted ký sstém lineárnch rovníc udeme riešiť V zdnom príklde n ; Určiť polritu zdrojov: smer elektromotorického npäti jednotlivých zdrojov konvenci vo fzike: smer ude kldný v smolike od zápornej elektród ku kldnej, tj od menšej k väčšej; Určiť počet n okruhov, pretože jednu rovnicu vužijeme rovnicu pltnú pre prúd nn II kk ; To znmená že pri troch neznámch prúdoch zvolíme dv ovod v nich smer postupu; voľ je nezávislá M sme zvolili postup v smere hodinových ručičiek, ko ukzuje or 79 v oidvoch vrných ovodoch rovnko Uvedomiť, že k je smer postupu totožný so smerom elektromotorického npäti ude mť U e znmienko kldné, proti smeru záporné; Ak je smer postupu totožný so smerom prúdu ude znmienko ohmického npäti kldné, proti smeru záporné; 6 Npíšeme rovnice n záklde I II Kirchhoffového zákon Orázok 79: Určenie polrit zdrojov, výer okruhov smer postupu v nich Pri zvolenom oznčení n or 79 nám pre dv ovod plti prvé dve rovnice, treti vchádz z prvého Kirchhoffového zákon: súčet prúdov v uzle je nulový: R I R I - U e -R I - R I U e I - I - I 9

153 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 77: pokrčovnie riešeni Sústvu udeme riešiť pomocou determinntov cez Crmerove prvidlo: D D D I, I, I, D D D kde R D R R D R U R ( ), ε U ε R,9 ( 9) R U ε D R U ε R,,9 (,,9) (,,) R R U ε, D R U ε,9 9,, (,9) I,A, I,A; I,A Záporné znmienk znmenjú, že smer prúdu je opčný ko sme si ho zvolili n or 79 Správn smer prúdov prezentuje or 7 Orázok 7: Správn orientáci prúdov v ovodoch n záklde výpočtu Otázk : Bol možnosť zvoliť si iné okruh v príklde 77? Ak áno, npíšte ké Odpoveď: áno:

154 Kpitol 7 Sústv lineárnch rovníc doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc ) ) Orázok 7: Voľ iných možných okruhov z príkldu 77 Kontrolné otázk Aplikujeme Froeniovu vetu n sstém rovníc s prmetrom? Prečo ridok mtice s prmetrom dávme vžd n pozíciu njnižšieho ridku? Je úprv popísná v ode vžd nevhnutná? Ak máme v digonálnom prvku výrz s prmetrom, ko preieh diskusi týkjúc s hodnosti mtice?

155 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Kpitol 8 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ Učené ciele: - Zvládnuť pojm súvisice so zákldnými elementárnmi funkcimi jednej reálnej premennej, - Zopkovť si určovnie definičného ooru, ooru hodnôt funkcií, ich vlstnosti zostrojenie grfu funkcií: lineárnej funkcie (primk), prol, hperol, eponenciáln funkci, logritmická funkci goniometrické funkcie iné; - Pochopiť pojem limit spojitosť funkcie, ich význm vedieť vpočítť limit vrných funkcií vedieť s vsporidť s prolémom nekonečno Kľúčové slová: funkci, grf funkcie, prostá funkci, zložená funkci, tp funkcií: lineárn, rcionáln, kvdrtická, lomená lineárn, goniometrické, cklometrické, funkci určená prmetrick, eplicitne implicitne; inverzná funkci, spojitosť limit funkcie Poždovné vedomosti: stredoškolská mtemtik z olsti funkcie jednej premennej Motiváci Orázok 8: Prolický let ( Slúži k vtvárniu eztižového stvu njmä pre výcvik kozmonutov, vedecký výskum leo v poslednej doe n rôzne efekt do filmov Mšlienku prolického letu ko prví pulikovli vitici Heinz Fritz Herovci v roku 9 Princíp prolického letu spočív v tom, že účstníci letu s pohujú po rovnkej dráhe ko lietdlo vznášjú s v útroách lietdl v eztižovom stve Ak s lietdlo pohuje po inej ko prolickej krivke, nenstne stv eztiže, le môže nstť zníženie grvitácie Tkto s dá simulovť grvitáci npr n Mrse (grvitčné zrýchlenie g,7 m/s ), či n Venuši (g 8,6 m/s ), leo n Mesici, kde je g,6 m/s, čo je priližne jedn šestin zemského tižového zrýchleni Prolický let zčín stúpním pod uhlom 7, pri ktorom je preťženie,8 g Po dosihnutí určitej letovej hldin s zčne lietdlo pohovť po krivke odpovedjúcej šikmému vrhu, ked zčín eztižový stv, resp mikrogrvitáci, resp znížená grvitáci počs s Klesnie s relizuje pod uhlom leo menším trvá ovkle s Tento proces s mnohokrát zopkuje

156 8 Zákldné pojm Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Pri skúmní prírodných jvov hľdáme súvislosti medzi premenlivými veličinmi, ktoré tieto jv chrkterizujú Štúdium pozorovných zákonitostí, njmä pri fzikálnch procesoch, či ekonomických závislostich, mlo vplv n utvorenie pojmu funkcie, ko jedného z njdôležitejších pojmov mtemtickej nlýz V ežnom živote skúmme teplotu ovzduši ko funkci čsu Hovoríme o reálnej funkcii jednej reálnej premennej (or 8) Otázk : Ktorú z premenných n or 8 nzývme nezávisle premennú ktorú závisle premennou? V kých jednotkách sú dné veličin v prvom ľvom grfe uvedené? Otázk : V čom s líši uvedené dv grf n or 8? Vieme, čo je to zúženie funkcie? Orázok 8: Závislosť teplot ko funkci čsu Poznámk: Operáci zúženi funkcie spočív len v ohrničení jej definičného ooru Z tohto pohľdu or 8 nám predstvuje tú istú funkciu závislosť teplot T ko funkciu čsu t, tj T T(t), le n zúženom intervle, tj n posledné dv dni z merných siedmch dní grf prvo n or 8, čo potvrdzuje i prieeh teplot PDDA Úloh : Ojsnite slovne v čom s líši grf n or 8 Popíšte ich slovne čo njdetilnejšie

157 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 8 - Funkci, definičný oor oor hodnôt Reáln funkci jednej reálnej premennej definovná n množine D (podmnožine reálnch čísel) je prvidlo (predpis), ktorým kždému prvku z množin D prirdíme jediný prvok z množin H (hodnot funkcie v ode ) Zpisujeme f(), resp f: D H Množin D s nzýv definičný oor funkcie Množin všetkých hodnôt funkcie H s nzýv oor hodnôt funkcie Zo skúsenosti vieme, že eistuje niekoľko spôsoov ko vjdriť vzťh (závislosti) medzi veličinmi (premennými): - ilustráci tuľkou, - lgerick (vzťhom), - grfom, - slovne Poznámk: Funkciu f môžeme povžovť z čiernu skrinku, do ktorej vchádz vchádz z nej niečo iné dné predpisom f() Orázok 8: K výkldu pojmu funkci Poznámk: Ak nie je definičný oor dný funkci je dná vzťhom, tk jej definičným oorom rozumieme prirodzený definičný oor, tj množinu všetkých čísel, pre ktoré má dný vzťh zmsel Definíci 8 - Grf funkcie Geometrická interpretáci funkcie f (), kde є M je množin usporidných dvojíc čísiel, tj množin odov [, ] v rovine, pre ktoré pltí f () Túto množinu odov nzývme grfom funkcie f () (or 8) Poznámk: Grf nám dovoľujú rýchlu vizuálnu prezentáciu údjov leo vzťhov medzi dvomi premennými Tktiež nám grf mnohonásone uľhčujú pochopiť zložitejšie veci Npríkld fzik, mtemtik, či ekonomik ol ez grfov tuliek omnoho zložitejši n pochopenie Mnoho slov možno nhrdiť jedným grfom Ale tomu tk skutočne olo, musíme grfu porozumieť pochopiť ho

158 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: Npíšte predpis funkcií, ktorých grf sú zorzené n orázku 8 Orázok 8: ) Grf neznámch funkcií Oznčme si červený grf ko f modrý ko f odčítme z grfu: f () : pre f () pre f () 7 Nkoľko s jedná o lineárnu funkciu jej eplicitné vjdrenie je k q Pre dv od pltí: k q k q q k q k q 7 k 7 k Hľdné eplicitné vjdrenie funkcie je f () Orázok 8: ) Určenie eplicitného vjdreni grfov zdných funkcií Rovnko určíme rovnicu primk pre funkciu f () Riešenie nechám n čitteľovi Definíci 8 - Rovnosť dvoch funkcií O rovnosti dvoch funkcií f g hovoríme vted, keď: ) oidve funkcie mjú rovnký oor definície, tj pltí D f D g ) pre kždé є D f pltí f () g() (8)

159 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 8 - Zložená funkci Nech f(z) u() sú funkcie Ak funkci u prirdí kždému Є D(u) <, > hodnotu funkcie u() z є < α, β >, v ktorom je funkci f(z) definovná, tk funkci f [u()] s nzýv zloženou funkciou z funkcií z u() f(z), (f s volá vonkjšou zložkou u s volá vnútornou zložkou zloženej funkcie Funkcie môžu ť j vicnásone zložené Príkldom je:, є <-, ) z, z u, u, f {z[ u()]} Definíci 8 - Krivk jej prmetrické vjdrenie Nech poloh odu P v rovine je určená v krteziánskej súrdnicovej sústve P (, ) Ak je dná funkci (zorzenie) F, môžeme pomocou nej definovť n intervle J dve reálne spojité funkcie φ Ψ reálnej premennej tk, že t Є J φ(t) (8) Ψ(t) k F(t) (, ) Množinu K všetkých odov P {φ(t), Ψ(t)} rovin, kde t Є J nzývme krivkou Dvojicu φ Ψ nzývme prmetrické vjdrenie krivk v tejto súrdnicovej sústve t - nzývme prmetrom Funkcie, ktoré nám vjdrujú krivku môžeme mť zdné rôzne: - eplicitne nltick, (pozri - implicitne (pozri - tuľkou (pozri - slovným opisom (pozri or 8) Otázk : Pltí rovnosť medzi funkcimi f () g (), k sú určené predpismi: f (), g ()? Odpoveď: Nie, funkcie s nerovnjú i npriek tomu, že k funkciu f() zjednodušíme zistíme, že pltí f () g (), pretože ich definičné oor sú D f R-{} D g R, tj D f D g Príkld 8: Určite definičný oor oor hodnôt zloženej funkcie:, Určíme D : < -, ) Zvoľme u() ; potom u Intervl < -, ) s zorzí funkciou u n intervl <, ) funkciou u n intervl <, )

160 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 86 - Funkci určená eplicitne Elimináciou prmetr t z prmetrických rovníc (8) prejdeme k vjdreniu krivk v tvre f() (8) Hovoríme, že máme zdnú funkciu eplicitne (v eplicitnom tvre) Definíci 87 Funkci určená implicitne Ak je funkčný predpis krivk tvru F(,), (8) krivk je dná v implicitnom tvre hovoríme o implicitnej funkcii Orázok 8: Vjdrenie funkcie slovne, resp opisom nespojitá krivk Poznámk: - Vidíme, že n or 8 s nejedná o spojitú krivku vjdrenú vššie uvedeným opisom - Njjednoduchšie vjdrenie prmetrických rovníc možno zpísť v tvre: t, F(t)), t J Orázok 86: Príkld funkcie zdnej eplicitne

161 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: Nech funkci f() je dná predpisom: f ( ) Určite: ) jej definičný oor; ) funkčnú hodnotu v ode ; c) funkčnú hodnotu v ode ; d) f(); e) f(z); f) f(f()) ) Definičný oor: D: (-, ) (, ); 6 ) f ( ) ; c) f ( ) ; d) f () ; e) z f ( z) ; z f) ( ( )) f f ; ( ) Príkld 8: Určite definičný oor funkcií f() g() dných predpisom f ( ), g( ) f ( ), D(f): - D f : <, ) g ( ), Nkoľko s jedná o druhú odmocninu, pod odmocninou nesmie ť záporné číslo, tj Zlomok ude kldný, k čitteľ j menovteľ udú súčsne kldný, leo záporný, čo môžeme vjdriť názorne ko:, resp nerovnosťmi: > < [ ] [ ] [ > -] [ < -] < - D : (-, -) <, ) g 6

162 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: Určite definičný oor funkcie f ( ) Jedná s o rcionálnu fiunkciu, ktorá v menovteli nesmie mť nulu Preto riešime nerovnosť - ( ) D f : R -{, } Príkld 86: Nech f: sin g: Nájdime funkcie : ) F () f (g()), ) F () g(f()) ) Podľ zdni F () f (g()) f ( ) sin, D F :, ) ) F () g(f()) g(sin ) sin D F : < k π, (k) π> k, ±, ±, Príkld 87: Nájdite definičné oor funkcií ) f (), g() ) f ( ), D(f): D f : <, ) ) g() D(f) D(f ) D(f ), kde f f {(-, ) (,,)} <, ) D g : (, ) Kontrolné otázk Ojsnite pojm funkci, definičný oor oor hodnôt Akými spôsomi možno zdť funkciu? Vmenujte ich Uveďte príkld funkcie zdnej implicitne Uveďte príkld zdnej eplicitne O kej funkcii hovoríme, k vieme že nezávisle premenná primoúmerne s čsom rstie? 6 O kej funkcii hovoríme, k vieme že nezávisle premenná primoúmerne s čsom klesá? 7 Ojsnite pojem zložená funkci ko určíme jej definičný oor 7

163 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 8 Niektoré vlstnosti funkcií V tejto čsti si formou definícii si uvedieme niektoré zákldné pojm vlstnosti, ktoré udeme potreovť, keď skúmme vlstnosti jednoduchých funkcií v závislosti od hodnôt rgumentu, tj keď udeme skúmť prieeh funkcie Definíci 88 - Funkci párn, nepárn Ak funkci f ( ) spĺň pri zmene znmienk rgumentu nsledovné vlstnosti: pre kždé D f j D f ) f (-) f () funkci s volá párn; (8) ) f (-) -f () funkci s volá nepárn (86) Otázk : Viete zistiť, či funkci f () je párn leo nepárn? Odpoveď: Určíme si D f, sme zistili, či je splnená podmienk Definície 88 D f R -{}, tj ku kždému číslu D f j D f Počítjme: ( ) f (-) f ( ) funkci je nepárn Príkld 88: Zistite, či funkci F(), ktorá vznikne súčtom funkcií f () f (-) je párn, leo nepárn, k oidve funkcie sú definovné n R Dná funkci je definovná n R, tkže vzťh (88) je splnený Overíme pltnosť podmienk určenej vzťhom (89): F() f () f ( ) Počítjme: F( ) f ( ) f [ ( )] á f ( ) f () F() je Definíci 89 - Funkci jedno-jednoznčná (prostá) Ak funkci f () pre kždú dvojicu tkú, že pltí, že f ( ) f ( ), funkci s volá jedno-jednoznčná (prostá) Otázk : Viete rozhodnúť, či funkci f () je jedno-jednoznčná? Odpoveď: Určíme si D f R { } Pre kždé dve D f, pre ktoré pltí možno písť: 8

164 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc - - f ( ) f ( ) funkci je jedno-jednoznčná Definíci 8 - Monotónnosť rýdzomonotónosť funkcie Ak pre kždú dvojicu, Є D f <, >, splňujúcu nerovnosti: < pltí f ( ) < f ( ), hovoríme, že funkci f() je n intervle <, > rstúc; < pltí f ( ) > f ( ), hovoríme, že funkci f() je n intervle <, > klesjúc; < pltí f ( ) f ( ), hovoríme, že funkci f() je n intervle <, > neklesjúc; < pltí f ( ) f ( ), hovoríme, že funkci f() je n intervle <, > nerstúc; Ak funkci f() je n intervle <, > uď rstúc leo klesjúc, hovoríme, že je n intervle <, > rýdzomonotónn Poznámk: Ak - f ( ) - f ( ) f ( ) < f ( ) > ted > že funkci f() je n intervle <, > rstúc S touto skutočnosťou udeme prcovť neskôr pri derivácich prieehu funkcie Keďže < > ted < že funkci f() je n <, > klesjúc Vet 8 Kždá rýdzomonotónn funkci je jedno jednoznčná Definíci 8 Ohrničená funkci (zdol, zhor) Ak eistujú čísl, že pre kždé є M pltí: ff(), hovoríme, že funkci f () je zdol ohrničená n množine M, ff(), hovoríme, že funkci je zhor ohrničená n množine M, Funkci je ohrničená, k je ohrničená j zdol j zhor, tj eistuje tké číslo, že pre kždé є M pltí ff() Otázk 6: Je funkci n intervle (; ) ohrničená? Odpoveď: Z grfu funkcie n or 87 vidíme, že všetk od grfu leži nd osou, tkže > ted je ohrničená zdol Ale k pozrieme n okolie odu, ku ktorému s lížime sprv, vidíme, že funkčná hodnot ndoúd nekonečne veľké hodnot Z toho vplýv že nenájdeme židne tké číslo K, pre ktoré funkčná hodnot ol menši ko toto číslo K Hovoríme, že funkci nie je zhor ohrničená,funkci n (; ) je neohrničená Otázk 7: Čo vieme povedť o tej istej funkcii, tj je zhor je ohrničená n <; ) 9, le n intervle <; )?

165 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Odpoveď: Nkoľko funkci je ohrničená zdol i zhor, hovoríme, že je ohrničená Orázok 87: Grf funkcie n intervle (; ) Definíci 8 Inverzná funkci Ak rovnic f() definuje n množine M prostú funkciu (Definíci 88) N je množin hodnôt tejto funkcie, tk vzťh φ(), (87) ktorý prirďuje kždému číslu množin N to číslo množin M, pre ktoré pltí f(), definuje n množine N funkciu φ, ktorú voláme inverznou funkciou k funkcii f oznčujeme f - (or 88) Orázok: 88: K pojmu inverzná funkci Otázk 8: Je funkci sm see inverznou funkciou? Odpoveď: Áno, pretože zámenou osí s funkci nezmení(pozri Poznámku nižšie) Príkld 89: Ukážte, že funkci f () - je prostá nájdite výpočtom k nej inverznú funkciu Vjdeme z Definície 89 funkcie prostej: Určíme si jej D f : definičným oorom funkcie f je množin všetkých reálnch čísel R Ukážeme, že pre kždú dvojicu rôznch čísel R tj, pltí: f( ) f( ) 6

166 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 89: pokrčovnie riešeni - - f( ) f( ) je jednojednoznčná funkci Postup ko nájdeme inverznú funkciu: Npíšeme zákldnú funkciu v nej vmeníme dostneme: Vjdríme si závisle premennú : f - :, D - f R Poznámk: Vsvetlenie nájdeni inverznej funkcie čitteľ nájde j zujímvo n www (Or 89, 8 8) Ak od A (, ) je odom grfu funkcie f(), tk odom grfu φ(),resp po výmene dostneme od grfu M (, ) Bod M M sú súmerne združené podľ primk, tj osi I III kvdrntu (Or 8) Orázok 89: Postup určeni inverznej funkcie z 6

167 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok 8: K inverznej funkcii ukážk smetrie podľ osi prvého kvdrntu Orázok 8: K pojmu inverzná funkci ku kvdrtickej funkcii PDDA Úloh : Určite pre funkciu f ( ) : ) funkčnú hodnotu v ode 6

168 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc ) definičný oor Úloh : Je dná funkci Ψ(t) t t, kde t ( ) Určite Ψ(), Ψ(), Ψ( ) Ψ(/) Úloh : Určite: ) n ktorom intervle je funkci rstúc ) Zistite, či eistuje k funkcii funkci inverzná c) Nkreslite grf funkcie jej inverznej funkcie Úloh : Určite definičný oor funkcií: ) f() ln, ) c) f() ln( 9), Úloh 6: Určite definičný oor funkcie f() ln ( 6 ) Úloh 7: Určite definičný oor funkcie f() ln( ) Úloh 8: Rozhodnite, či eistuje inverzná funkciu k funkcii e Ak áno, nkreslite ju Úloh 9: Rozhodnite n záklde výpočtu, či funkci f () je párn, leo nepárn Úloh : Otvorte si stránku overte si interktívne svoje vedomosti z olsti grfov funkcií O elementárnch funkciách s čitteľ tktiež dočít n stránkch: Úloh : Zistite, či funkci F(), ktorá vznikne rozdielom funkcií f () f ( ) je párn, leo nepárn, k oidve funkcie sú definovné n R Úloh : Nájdite inverznú funkciu k funkciám: ) f (), ) f () -, c) f () Otázk 9 : Čo vieme povedť o smetrii nepárnej funkcie? Uveďte príkld nepárnch funkcií Odpoveď: Je smetrická podľ počitku súrdnicovej sústv Príkld: f(), f() sin Otázk : Je funkci inverzná funkci sm k see? Rozhodnite výpočtom Otázk : N orázku 8 sú zorzené dve funkcie f() Ktorá z funkcií zorzuje grf funkcie ) f( ), ) f( )? 6

169 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc ) ) Orázok 8: Interktívn výuč: Urči k dnej funkcii hľdné grf funkcií H%Fnlsis%Fgrphfuncen&listpe&repet Kontrolné otázk Čo je nutnou podmienkou funkci mohl ť párn leo nepárn? Je funkci F() e cos e - párn, leo nepárn? Definujte funkciu zloženú uveďte dv príkld zložených funkcií 6

170 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 8 Grf vrných funkcií Cieľom tohto prgrfu je zopkovť si zákldné funkcie, s ktorými s vo fzike čsto prcuje je dôležité, ste ich pri plikáciách ezprolémovo zvládli A) Goniometrické funkcie: Definíci A) 8 Goniometrické funkcie Goniometrickými (tiež trigonometrickými) funkcimi nzývme funkcie: sin, cos, tg, cotg, sec cosec, z ktorých s njčstejšie používjú prvé štri Pre ostrý uhol ( α 9 ) definujeme tieto funkcie pomocou prvouhlého trojuholník (or 8): sin α, tj pomer protiľhlej odvesn ku prepone, D f R, H f <-, > (or 8); c cos α, tj pomer priľhlej odvesn ku prepone, D f R, H f <-, > (or 8); c sin tg α, tj pomer protiľhlej odvesn ku priľhlej odvesne, cos D f R/( (k)π/), pre k,,, H f (-, ); (or 8); cos cotg α tj pomer priľhlej odvesn ku protiľhlej odvesne, D f R/( kπ, sin pre k,,, H f (-, ); (or 86) Orázok 8: Prvouhlý trojuholník Orázok 8: Grf funkcií sin, cos, Orázok 8: Grf funkcie tg Orázok 86: Grf funkcie cotg 6

171 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc S goniometrickými funkcimi s viže vlstnosť periodičnosť funkcie, ktorú si definujme Definíci 8 Periodická funkci Nech f() je funkci s D f l je kldné reálne číslo Nech: pre kždé є D f j ± l є D f (88) f () f (± l) (89) funkci s nzýv periodická Njmenšie kldné reálne číslo l, pre ktoré plti vššie uvedené podmienk, s nzýv zákldná periód funkcie Otázk : Sú funkcie sin cos periodickými funkcimi? Ak áno, s kou njmenšou periódou? Odpoveď: Áno, pretože zámenou ± π s hodnot funkcií nezmení Njmenši periód je l π Otázk : Sú funkcie tg, cotg, periodickými funkcimi? Ak áno, s kou njmenšou periódou? Odpoveď: Áno, pretože zámenou ± π s hodnot funkcií nezmení Periód l π Príkld 8: Zistite, či funkci cos (-) je periodická funkci s periódou π Dná funkci je definovná n R, tkže vzťh (88) je splnený Overíme pltnosť podmienk určenej vzťhom (89): cos (-) cos [(π)-] (*) Vzťh (*) uprvíme použitím vzťhu pre kosínus súčtu, resp rozdielu dvoch uhlov: cos (α ± β) cos α cos β sin α sin β, tkže dostávme: cos [(π)-] cos [(-)π)] [cos (-)] cos π - [sin (-)] sin π [cos (-)] - [sin (-)] cos (-) cos (-) je periodická s periódou π Príkld 8: Zistite, či funkci sin (/) je periodická funkci Ak áno, určite jej zákldnú periódu Dná funkci je definovná n R, tkže vzťh (88) je splnený Zistíme, z kej podmienk pre periódu l pltí : sin (/) sin[(l)/, tj udeme počítť sin[(l)/ ] - sin (/) 66

172 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: pokrčovnie riešeni Počítjme použitím vzťhu pre rozdiel goniometrických funkcií: sin α - sin β [cos (α β)/ ]sin(α- β)/, tkže dostávme: sin[(l)/ ] - sin (/) [cos (l )/ ]sinl/ (*) A s prvá strn rovnl nule vo vzťhu (*) musí pltiť sinl/ l/ kπ pre k Z Pre zákldnú periódu k, tkže: l π/ Funkci je periodická so zákldnou periódou π/ Ďlšie príkld môžete čitteľ nájsť n Pre rýchle výpočt vo fzike čsto tre poznť hodnot goniometrických funkcií niektorých uhlov je ich doré vedieť nspmäť Ich hodnot uvádz Tuľk 8 Tuľk 8: Hodnot vrných hodnôt goniometrických funkcií Uhol/funkci ( 6 π ) ( π ) 6 ( π ) 9 ( π ) sin α cos α tg α nie je definovný cotg α nie je definovný Poznámk: Ak si uvedomíme, že sin je posunutý vzhľdom n funkciu cos o 9, hodnot kosínusu dostneme z druhého ridku tuľk, k udeme postupovť z prvej strn do ľvej, počítjúc od nulovej hodnot stupň Grf funkcií si môžete interktívne zostrojiť j n interktívnej stránke: Goniometrické funkcie nie sú prosté, preto k chceme určiť k nim inverzné funkcie, musíme zúžiť definičný oor n tký intervl, v ktorom je funkci prostá (rstúc, leo klesjúc) π π Pre funkciu sin α erieme intervl < -, >, n ktorom je funkci rstúc ndoúd funkčné hodnot <-, > Ak vmeníme dostneme inverznú funkciu: 67

173 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc B ) Cklometrické funkcie: V predchádzjúcej čsti sme si ukázli, že trigonometrickými funkcimi prirďujeme určitému uhlu α odpovedjúcu hodnotu príslušnej trigonometrickej funkcie Môžeme nstoliť orátenú úlohu: Nájdenie uhl α, ktorému prislúch dná hodnot príslušnej trigonometrickej funkcie Toto riešenie zpisujeme v tvre rcsin, rccos, rctg rccotg Tieto cklometrické funkcie (inverzné trigonometrické funkcie) mjú jednoduchý význm: rcsin je rkus uhl, ktorého sínus je rovný Definíci Otázk 8 - : Cklometrické Ak vieme, že funkcie sin ½ čomu s rovná rcsin ½? Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám eistujú n tkom zúženom intervle, kde Odpoveď: rcsin ½ π/6 sú prosté (monotónne) nzývme ich cklometrické funkcie: rkussínus: rcsin pre Є <-, >, H f < - π, π >, (or 87 ) je inverzná funkci k sin, rkuskosínus: rccos pre Є <-, >, H f <, π>, funkci k cos, (or 87) je inverzná rkustngens: rctg pre Є (-, ), H f ( - π, π ), (or 88 ) je inverzná funkci k tg, rkuskotngens: rccotg pre Є(-, ), H f (, π ), je inverzná funkci k cotg Orázok 87: Grf funkcie k nej inverznej funkcie ) sin rcsin ) cos rccos 68

174 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok 88 : Grf funkcie tg k nej inverznej funkcie rccotg C ) Eponenciáln logritmická funkci: Definíci 86 - Eponenciáln funkci Eponenciáln funkci v njjednoduchšom tvre je mocnin s konštntným zákldom premenným eponentom s nsledovnými vlstnosťmi (Or 89): Pre kždé reálne pre kždé > pltí >, grf leží nd osou, Pre kždé > s, pre, Ak < : pri > < funkci je rstúc, pri < > funkci je klesjúc, pri funkci je konštntná Orázok 89: Grf eponenciálnch funkcií pre rôzn zákld 69

175 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 87 - Logritmická funkci Eponenciáln funkci ( >, ) je prostá, preto eistuje k nej inverzná funkci, ktorú voláme logritmická funkci pri záklde : log, kde > ( >, ) (Or 8) ) ) Orázok 8: Grf eponenciálnej k nej inverznej funkciilogritmickej pre: ), ) / Z grfov n or 8 vidieť, že grf logritmickej funkcie je súmerne združený s eponenciálnou krivkou s tým istým zákldom podľ osi prvého tretieho kvdrntu ( ) Vlstnosti logritmickej funkcie vplývjú z vlstností eponenciálnej funkcie: Je definovná len pre >, preto s grf funkcie nchádz nprvo od osi, prechádz odmi [, ] [, ] Os je smptotou grfu Je rstúc pre >, klesjúc pre < < Grf funkcií log log / sú súmerne združené podľ osi Pri výpočtoch s njčstejšie použív dekdický prirodzený logritmus Dekdický logritmus má zákld píšeme ho ez zákldu, tj log Vo fzike s všk čsto stretneme s logritmmi, ktorých zákldom je ircionálne číslo e,78, ktoré s nzýv Eulerove číslo Tieto logritm s nzývjú prirodzené nmiesto log e píšeme ln, čo je odvodené z logritmus nturlis Poznámk: Čsto potreujeme nájsť log k poznáme ln orátene Ich súvis si ukážeme úprvmi : ln () e () Rovnicu () logritmujme so zákldom : log log e ln log e, kde sme z dosdili vzťh () z log e,9, tkže priližne pltí: ln, log 7

176 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc PDDA Úloh : Zistite, ké grf sú n orázku 8 npíšte ich mtemtické vjdrenie Orázok 8: Grf hľdných funkcií Úloh : N orázku 8 sú znázornené grf závislosti veľkosti rýchlosti ko funkci čsu pre tri čstice (A), (B), (C), pohujúce s primočiro rôznou rýchlosťou Určuje priesečník grfu s osou závisle premennej počitočnú rýchlosť jednotlivých čstíc? Ojsnite význm priesečníkov grfov s osmi priesečníkov grfov Úloh : N orázku 8 sú znázornené grf závislosti veľkosti rýchlosti ko funkci čsu pre tri čstice (A), (B), (C), pohujúce s primočiro rôznou rýchlosťou Je pordie telies (B), (A), (C) v čsovom intervle (t, t ) zordené podľ rýchlosti týchto telies od njmenšej po njväčšiu? Zorďte čstice podľ stúpjúcej rýchlosti v jednotlivých čsových intervloch Orázok 8: Grf závislosti veľkosti rýchlosti ko funkci čsu t pre tri čstice A, B, C Úloh 6: Nkreslite grf funkcie cotg k nej inverznej funkcie Úloh 7: Nájdite, n kom intervle eistuje k funkcii funkci inverzná Nkreslite! Úloh 8: Zistite, či funkci tg f ( ) je párn, leo nepárn - sin Kontrolné otázk Uveďte, ktoré funkcie sme uviedli v čsti 8 Určite ich D f, H f nkreslite ich grf 7

177 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 8 Limit funkcie Skúmjme funkciu ff() Funkci je definovná pre všetk Uprvme si tvr funkcie, tk sme mli v čitteli klesjúce mocnin : ff() ( ) () Pre môžeme zlomok vkrátiť: ff() ()() ()() Ke neolo zkázného čísl, dná funkci ol klsickou lineárnou funkciou jej grfom ol primk (or 8) Ako s zmení grf, keď máme zkázný od? Terz s pozrieme n to ko s správ funkci v okolí čísl Orázok 8: Grf lineárnej funkcie A sme zistili ko s správ funkci v okolí čísl, zostvme si tuľku Tuľk 8: Správnie s funkcie ff() ()() v okolí odu,9,99,999,,, ( )( ) ff(),8,98,998,,, Z Tuľk 8 vidíme, že hodnot funkcie f() sú lízke číslu (sú v okolí čísl ), keď hodnot premennej s málo líši od čísl (hovoríme, že sú z okoli čísl ) Definíci 88 - Definíci δ -okoli odu Pod δ -okolím čísl (odu) rozumieme otvorený intervl ( δ, δ), ktorý oshuje číslo, pričom δ > ( je to tzv smetrické okolie) Zvoľme si ľuovoľne mlé číslo ε > (npr ε,) hľdjme, pre ktoré hodnot premenne pdnú príslušné hodnot funkcie f () do okoli ( - ε, ε ) čísl (tj ε-ové okolie odu ) Zrejme musí pltiť f () - < ε 7

178 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc < ε - < εε δ Hodnot premennej musi ť z okoli ( - εε, εε ) čísl, pričom Pre ε, hodnot f () udú v intervle (, 999;,), keď ude z intervlu (,999;,) Čím menšie číslo ε > si zvolíme, tým menšie je príslušné δ εε ) Hovoríme, že funkci má v ode limitu píšeme Definíci 89 - Definíci limit Ak k ľuovoľne mlé číslo ε > eistuje tké kldné číslo δ >, že pre všetk vhovujúce nerovnosti - < δ pltí f() - <ε, Hovoríme, že funkci f () má v ode limitu, čo píšeme lim ff() Poznámk: Aký má prieeh funkci so zkázným odom jedn? Dozvieme s to, v nsledujúcej kpitole, keď preerieme derivácie funkcie prejdeme n prieeh funkcie Nezudnite si uroiť jej prieeh! Jednostrnné limit : O jednostrnných limitách hovoríme, keď s lížime sprv leo zľv k odu Hovoríme o limite sprv, keď s lížime sprv tj, resp lížime s z ľv -, hovoríme o limite zľv Vet 8 : Eistenci limit Ak pltí pre jednostrnné limit rovnosť, tj potom Príkld eistuje 89 limit funkci f()v ode rovná číslu, čo píšeme o vlstnej limite vo vlstnom ode, k j sú konečné čísl 7

179 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 8 - Vlstná nevlstná limit Ak pltí: ) lim ff() hovoríme o vlstnej limite vo vlstnom ode, k j sú konečné čísl, tj (, R); ) lim ff(), hovoríme o nevlstnej limite ( ) vo vlstnom ode ; c) lim ff(), hovoríme o nevlstnej limite ( ) v nevlstnom ode ; d) lim ff(), hovoríme o vlstnej limite ( R) v nevlstnom ode Význm pojmov z definície 8 si ukážeme n príklde: Príkld 8: Rozhodnite, či funkci f() Určite kého tpu sú tieto limit má nevlstnú limitu v kom ode Určíme definičný oor ff(), ktorý je R -{}, čo znmená, že nie je definovná len v ode nul Vpočítjme nsledujúce limit: ) lim jedná s o nevlstnú limitu sprv vo vlstnom ode ; Pomôck: Znmienko nekonečn určíme, že zo znmienk podielu, keď dosdíme ľuovoľne mlú hodnotu lízku k nule z prvej strn, npr,, tkže dostávme lim lim ;, ) lim, jedná s o nevlstnú limitu zľv vo vlstnom ode ; Pomôck: Znmienko nekonečn určíme, že zo znmienk podielu, keď dosdíme ľuovoľne mlú hodnotu lízku k nule z ľvej strn nul, tj npr -,, tkže lim, c) Nkoľko lim lim (neeistuje); lim, podľ Vet 8 d) lim ; jedná s o vlstnú limitu v nevlstnom ode ; e) lim ; jedná s o vlstnú limitu v nevlstnom ode - ; f) lim, pre všetk R,, jedná s o vlstnú limitu vo vlstnom ode g) Nznčené výpočt grfick prezentuje or 8: 7

180 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok 8 Grf funkcie / Príkld 8 : Určite jednostrnné limit v ode nul pre funkcie: )ff(), ) ff() rozhodnite, či limit v ode nul eistuje Ak áno, určite ju nčrtnite grf Nkreslite grf funkcií Grf skúmných funkcií prezentuje or 8: ) ) Orázok 8: Grf funkcie ff(), (vľvo) ff() (vprvo) 7

181 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8 : Vpočítjte lim Príkld udeme riešiť pre dv intervl: ) >, ked ) <, ked ( ) Riešme prípd postupne oidv prípd: ) tj pre > lim lim ()() lim V zmsle vet 8 vidíme, že limit funkcie sprv s nerovná limite funkcie zľv, tkže limit v ode neeistuje Otázk : V ktorých odoch má funkci ff() nevlstné limit? Funkci nie je definovná pre ± V týchto odoch vpočítme limit: lim lim (,99) lim lim (,) Výpočet limít nám uľhčí poznnie nsledovných viet: (,9) (,9) 76

182 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Vlstnosti, ktoré určuje vet 8 možno z istých podmienok plikovť j pre nevlstné od j nevlstné limit Npríkld pre: Ak roíme operácie s dvomi funkcimi, pre limit môžeme dostť výrz tpu: -, Vetu 8 v týchto prípdoch nemôžeme použiť Limit týchto tpov počítme vhodnou úprvou, leo pomocou tzv L Hospitlového prvidl, s ktorým s v prípde záujmu, čitteľ môže ooznámiť v litertúre (Npríkld Híc P, Pokorný M: Mtemtik pre informtikov prírodné ved, PdF TU, Použitie L Hospitlovho prvidl si ukážeme v nsledujúcej kpitole, po prertí derivácií Príkld 8: Vpočítjte: lim Príkld 86: Vpočítjte: lim lim lim lim 77

183 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc sin Príkld 87: Vpočítjte: lim lim sin sin lim Príkld 88: Vpočítjte: (sin )cos lim sin (sin )cos (sin )cos sin lim lim lim sin sin cos Príkld 89: Vpočítjte: cos lim sin (sin ) sin cos lim lim lim lim sin sin cos sin sin lim lim sin cos cos cos sin sin lim lim lim sin cos sin Príkld 8: Vpočítjte: lim π π ( ) π π cos( ) sin ( ) sin lim lim lim π π π π π π ( ) ( ) ( ) Pri definícii prirodzených logritmov sme si uviedli, že ich zákld je číslo e Toto číslo je n limitou postupnosti lim ( ) e Ak nhrdíme limitu postupnosti limitou funkcie, možno n n dokázť, že pltí j vzťh: Vet 8!!! sin ( ) π lim ( ) π π lim ( ) e, z neho odvodený tvr: α lim ( ) e α 78

184 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 8: Vpočítjte: lim( ) lim ( ) lim( ) lim( ) e e Príkld 8: Vpočítjte: lim( ) lim( ) lim( ) - lim( ) lim( ) e Poznámk Pre niektorých je výhodnejší spôso zvedeni sustitúcie výrzu v menovteli zlomku: z z lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) e z z z z z z Z Z Príkld 8: Vpočítjte: lim( ) lim( ) lim( ) 6 lim( ) lim( ) z (-6z-)/ 6 lim( ) lim( ) z z 6 lim( ) - lim( ) z -/9 e - V postupe sme zviedli sustitúciu: z (-6z-)/ dosdili 6 Ďlšie príkld nájdete npríkld n drese: Kontrolné otázk Ojsnite pojem spojitej nespojitej funkcie uveďte tri príkld Ojsnite pojem limit funkcie vo vlstnom ode nevlstnom ode Uveďte príkld 79

185 Kpitol 8 Reáln funkci jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vsvetlite n príklde význm nevlstná limit vo vlstnom ode Vsvetlite n príklde význm nevlstná limit v nevlstnom ode Vslovte zákldné vet, ktoré používme pri výpočte limít funkcií 6 Uveďte príkld známej limit funkcie pre, ktorej hodnot je e 7 Vsvetlite pojem okolie odu zpíšte ho kvntittívne PDDA Úloh 9: Určite Df H f funkcie nkreslite jej grf: ) - 6 ) ) f : 6 Úloh : Určite definičný oor funkcie rccos ln( ) Úloh : Zistite, či funkcie sin sin sú periodické určite ich periódu Úloh : Zistite, či sú ohrničené funkcie: ) ff() sin, ) gg() sin, c) F() sin Úloh : Určite inverznú funkciu k funkcii f: Úloh : Vpočítjte limitu: ) n n 8 lim, ) n n 9 n n lim n n Úloh : Vpočítjte limitu: ) c) lim ( ), d) lim 6, ) tg sin lim, e) lim sin lim Úloh 6: Vpočítjte limitu: ) lim, ) lim 8

186 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Kpitol 9 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ Učené ciele: - Zvládnuť pochopenie zákldných pojmov súvisicich s diferenciálnm počtom - Vpočítť derivácie elementárnch, zložených vrných funkcií jednej premennej - Vedieť určiť derivácie všších rádov pochopiť ich význm - Bť schopný vužiť diferenciáln počet n skúmnie prieehu funkcie - Vedieť plikovť diferenciáln počet pre vužitie vo fzike v pri - Nučiť s vužívť interktívne WWW stránk n kontrolu svojich výpočtov n konštrukciu prieehu funkcií Kľúčové slová: Spojitosť funkcie, deriváci funkcie, geometrický fzikáln význm derivácie, zákldné prvidlá pre deriváciu vrných funkcií, derivácie všších rádov, stcionárn od, lokálne gloálne etrém funkcie, konvenosť konkávnosť funkcie, inflený od, smptot grfu funkcie, prieeh funkcie Poždovné vedomosti: Znlosť zákldnej mtemtik z olsti funkcie jednej premennej Zákld diferenciálneho počtu položil koncom 7 Storoči Isc Newton - nglický mtemtik, fzik stronóm nemecký filozof mtemtik Gottfried Wilhem Leinitz Zvedenie pojmu derivácie zohrlo význmnú úlohu ko v mtemtickej nlýze, tk i vo fzike, kde k tomuto pojmu prispelo štúdium pohu po primke Bolo totiž židuce zdefinovť okmžitú rýchlosť okmžité zrýchlenie Uvidíme, že pojem derivácie je špeciálnm prípdom limit Motiváci Sir Isc Newton (66-77)* G W Leinitz (66 76) ** Orázok 9: Grfu čsovej závislosti poloh pri primočirom pohe Možno určiť rýchlosť s kou s pohuje ojekt v jednotlivých čsových intervloch? * m/strtswithng////wht-newtons--lws-cn ** 8&qt&rlsorgmozill:sk:officil&clientfirefo- 8

187 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 9 Spojitosť funkcie Definíci 9 - Spojitosť funkcie v ode Hovoríme, že funkci f() je spojitá v ode, keď pltí lim f() ff() (9) Poznámk: Funkci f() je spojitá v ode, k ku kždému ľuovoľne mlému číslu ε > eistuje tké číslo δ >, že pre všetk čísl, ktoré spĺňjú nerovnosť < δ, pltí f() f() < ε (or 9) Orázok 9: K ojsneniu pojmu spojitosť funkcie V predchádzjúcej kpitole sme si ukázli, že kým pre eistenciu limit hodnot funkcie f() nehrá židnu úlohu (nezáleží, či je konečná, leo dokonc, či je v tomto ode definovná), pre spojitosť funkcie v ode je dôležité, funkci v ňom ol definovná jej limit s rovnl hodnote funkcie v ode Názornú predstvu o spojitosti funkcie nám umožňuje grf tejto funkcie Kždá nespojitosť funkcie s prejví prerušením jej grfu N orázku 9 vidíme od nespojitosti funkcií: ) ) ) ) Orázok 9: Grf funkcií ) ) Definíci 9 - Spojitosť funkcie n intervle Hovoríme, že funkci f() je spojitá v určitom intervle, k je spojitá v kždom ode tohto intervlu 8

188 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc PDDA Úloh : Rozhodnite, či dná funkci n orázku 9 je spojitá vjdrite ju mtemtickým zápisom Vedeli ste prirdiť v reálnom svete reáln dej popísný funkciou určenou grfick? v - t t Orázok 9: K úlohe Úloh : N záklde grfov n orázku 9 určite, či dné funkcie sú spojité n intervle: ) (, ), ) (, ), c) (, ), d) (, ) Úloh : Meteorologický lón so záťžou stúp v tmosfére Pozorovteľ meri jeho poh vzdilene Nmeri dát pre polohu rýchlosť v stúpni vjdrené grfmi nižšie (or 9) Môže tkúto skutočnosť v relite pozorovť? Ak áno, z kého dôvodu v v t t Orázok 9: K úlohe Úloh : Bilirdová guľ letí konštntnou rýchlosťou Pružnou zrážkou (ez strt energie) nrzí n stenu odrzí s kolmo do opčného smeru (tj rovnkou veľkosťou rýchlosti) Grfick znázornite čsovú závislosť rýchlosti ilirdovej gule Zvážte, či s jedná o spojitú, leo nespojitú funkciu Kontrolné otázk Rozhodnite, či dné funkcie n orázku 9 sú spojité, resp určité od nespojitosti Akými funkcimi je možné popisovť fzikálne deje, ktoré sú funkciou čsu? Svoju odpoveď zdôvodnite Uveďte príkld 8

189 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 9 Deriváci funkcie jednej premennej, jej fzikáln geometrický význm Uvžujme funkciu f() Spojnic odov A B vtvár sečnicu (or 96) Rovnicu primk prechádzjúcej odmi A B v smernicovom tvre možno zpísť: k( ), kde k je smernic primk, určená vzťhom k Ak udeme posúvť od B smerom k odu A, dĺžk sečnice určená spojnicou odov AB, s skrcuje, ko prezentuje or 96 V limitnom prípde, sečnic prejde n dotčnicu (or 96c) dostávme s k pojmu smernic dotčnice prostredníctvom derivácie, ktorú určuje definíci 9 ) ) c) Orázok 96: K ojsneniu pojmu deriváci Definíci 9 - Derivácie funkcie Nech funkci f() je definovná v ode v istom jeho okolí, keď eistuje vlstná limit ff()ff( lim ), (9) volá s táto limit deriváci funkcie v ( ode )(, čo možno ) i zpísť lim ff Or Príkld z ff( )ff() lim, (9) lim d d Geometrický význm derivácie určuje vzťh lim d tg ß k, (9) d tj deriváci určuje smernicu dotčnice ku grfu funkcie v ode β je uhol, ktorý zvier dotčnic grfu funkcie f() v ode s osou (or 97) 86

190 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Orázok 97: Geometrický význm derivácie funkcie v ode Poznámk: Z eistencie derivácie v ode vplýv, že funkci f() je spojitá v tomto ode Ke totiž nepltilo f() f( ), keď, vlstná limit (9) nemohl eistovť funkci neml v ode deriváciu Z definície derivácie vplýv, že limit (9) musí ť tká istá, keď sprv j zľv, čo oznčujeme ( ) zľv ( ) Vet 9 O eistencii derivácie lim ff() ff( ) ff() ff( ) lim Funkci f() definovná n intervle (, ) má v ode (, ) deriváciu, k pre všetk (, ) lížice s sprv k odu (tj ) má funkci jednostrnnú deriváciu sprv f ( ) pre všetk (, ) lížice s zľv k odu (tj - ) má jednostrnnú deriváciu zľv f tieto jednostrnné derivácie s rovnjú, čo zpíšeme: [f ( ) ] [f ( ) ] - [f ( ) ] Ozrejmime si význm tejto vet n príklde funkcie Príkld 9 Zistite, či eistuje deriváci funkcie v ode nul Funkci je definovná n celej množine R predpisom: Pre (, ) je funkci definovná: Pre (, ) je funkci definovná: Počítjme jej jednostrnné derivácie v ode nul: ted v zmsle vet 9 deriváci funkcie neeistuje, npriek tomu, že v tomto ode je funkci spojitá Pojem derivácie hrá význmnú úlohu nielen vo fzike, le i v prírodných technických vedách Stretávme s s ním v mnohých prípdoch K jeho zvedeniu viedlo štúdium jednoduchých primočirch pohov Uvžujme hmotný od pohujúci s rovnomerne po primke (or 98) Jeho poloh v čsovom okmihu t je určená súrdnicou odu A, ktorá s rovná vzdilenosti odov OA, resp v t vzdilenosti odov OB Súrdnic odu určuje 87

191 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc v nšom prípde dĺžku dráh hmotného odu s, ktorá je určená dĺžkou polohového vektor r(t), ktorý je funkciou čsu t Orázok 98: Poloh hmotného odu Z čsový intervl t t t prešiel hmotný od dráhu s s s Keď je poh rovnomerný (s vt) podiel s s( t ) s( t) v (9) t t t určuje priemernú rýchlosť pohu z čsový intervl t, ktorá všk nezávisí od čsu Ak chceme určiť okmžitú rýchlosť hmotného odu musíme čsový intervl t zmenšiť n infinitezimálne mlý čsový intervl, tj musíme počítť limitu s v lim t t s( t) s( t) lim t t t ds dt, (96) ked vlstne prejdú prírstk r Δt n diferenciál d r dt Keďže rýchlosť je vektorová veličin okmžitá rýchlosť v je definovná ko limit podielu prírstku polohového vektoru Δ r r t ) r ( ) r r r príslušného prírstku čsu Δt t - t ( t r v lim t t r - r dr lim (97) t t t - t d t Vzťh (97) čítme: okmžitá rýchlosť je určená deriváciou polohového vektor podľ čsu S mnohými ďlšími plikácimi s stretneme postupne v zákldnom kurze fzik Ako príkld vužiti derivácie vo fzike možno uviesť vzťh pre prúd, ktorý vjdríme ko Q W deriváciu náoj Q podľ čsu: I lim, resp výkon P lim, ko deriváciu práce t t t t W podľ čsu Niektoré ďlšie si ukážeme n vrných príkldoch Príkld 9: Grfická závislosť okmžitej poloh guľôčk ko funkci čsu je znázornená n orázku Určite: ) smer pohu guľôčk; ) čsovú závislosť polohového vektor r guľôčk; c) jej rýchlosť v odoch A B; d) priemernú rýchlosť guľôčk; e) zrýchlenie guľôčk (m) i A α t B Grfická závislosť okmžitej poloh gulôčk ko funkci čsu t (s) 88

192 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni ) Z oznčeni osi závisle premennej je zrejmé, že poh preieh v smere osi Polohový vektor guľôčk v kždom čsovom okmihu t je určený rovnicou r(t) (t)i, kde i je jednotkový vektor v smere osi Trjektóriou pohu je primk ležic v smere osi ) Čsovú závislosť polohového vektor určíme z grfu tk, že určíme smernicu primk k závislosti súrdnice (t ) kt, kde Δ m - k tg α, ms Δt s Polohový vektor guľôčk je určený rovnicou r(t) (t) i, kt i, t i c) Rozmer [ms - ] smernice primk (t) nznčuje jej fzikáln význm Smernic primk, resp tg α určuje okmžitú rýchlosť guľôčk v dnom ode grfu Táto je rovnká pre všetk od grfu je určená rovnicou v v (t) v (t) i, i Veľkosť rýchlosti guľôčk v odoch A i B je rovnká rovná s, ms - d) Nkoľko ide o poh rovnomerný priemerná rýchlosť guľôčk s rovná jej okmžitej rýchlosti v p v, ms - e) Zrýchlenie guľôčk Δ v, pretože rýchlosť pohu s nemení Δ t Príkld 9: Dievč vkročilo po primej ulici v smere juh - sever Grf jej závislosti vzdilenosti od domu ko funkci čsu t je znázornený n orázku Kvlittívne kvntittívne vhodnoťte, kým pohom s dievč pohuje v jednotlivých čsových intervloch zistite: ) priemernú rýchlosť dievčť počs prvej polovice celkového čsového intervlu; ) priemernú rýchlosť v siedmej štrnástej minúte pohu SEVER s (m) B A α α C - - t t t t t t (min) JUH Grf závislosti poloh ko funkci čsu 89

193 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Kvlittívne hodnotenie možno uskutočniť úvhou: V kždom čsovom intervle poloh dievčť je lineárnou funkciou čsu s rôznou smernicou, resp sklonom primk To znmená, že dievč s pohuje rovnomerným pohom s rôznmi rýchlosťmi Njrýchlejšie pôjde v tom čsovom intervle, v ktorom smernic primk, resp tg α je njväčši (<t, t >) Ak je primk rovnoežná s čsovou osou nezávisle premennej t, zmen polohového vektor dievčť s rovná nule, tj dievč s nepohuje Záporná hodnot smernice určuje zmenu smeru pohu Presvedčíme s o tom kvntittívne pre jednotlivé intervl: t t t je v s / t (/6) ms -,7 ms - ; t t t je v ms - ; t t t je v tgα (- /8) ms - -, ms - (dievč s orátilo kráč rýchlejšie ko doterz smerom n juh); t t t v -,6 ms - ; t t t v (/) ms -,8 ms - smerom z juhu n sever; t 8 min 8 s s dievč opäť nchádz n mieste, z ktorého všlo ) Oznčme t dĺžku čsového intervlu <, t >, kde t 9 min, tj polovic z celkovej do pohu t 8 min, určeného z grfu Nech <, t > je súčtom dvoch intervlov <, t > < t, t >, ktorých dĺžk je t t t Z grfu určíme číselné hodnot t 9 min s, t 6 min 6 s t min 8 s Priemernú rýchlosť určíme zo vzťhu v s s s p, t t t kde s je dĺžk dráh, ktoré dievč prešlo z čsový intervl <, t > s je dĺžk dráh, ktoré dievč prešlo z čsový intervl < t, t > Z grfu vidíme, že s (dievč oddchovlo) Veľkosť priemernej rýchlosti v prvej polovici čsového intervlu vpočítme po dosdení m s v p, ms ) Z grfu k príkldu je zrejmé, že počs siedmej minút rýchlosť dievčť ol nulová, tj v p7 ms - Tento výsledok možno určiť i zo skutočnosti, že zmen polohového vektor počs siedmej minút je nulová Rýchlosť počs štrnástej minút určíme z grfu v p t ms 6,66 ms Poznámk: Všimnite si používného oznčeni vektorových fzikálnch veličín Zámerne olo zvolené ko oznčovnie so šípkou nd veličinou (v teoretickej čsti), tk hruo npísné kurzívou (oldom) v príklde 9 9

194 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Určite okmžité rýchlosti ojektu v odoch A, V M, k čsová závislosť pohu v smere osi je určená grfom n orázku (m) V D M A α t A D Grf závislosti poloh ko funkci čsu B 8 - α t (s) Keďže nemáme zdnú ektnú rovnicu závislosti ko funkciu čsu t, nemôžeme dť precíznu odpoveď, pretože nepoznáme (d/dt ) A, resp v odoch V M Odpovedť n otázku nám pomôže nákres dotčnice ku grfu funkcie v dnom ode Smernic dotčnice v tomto ode určuje okmžitú rýchlosť ojektu v skúmnom ode grfu d v dt A k tgα t Po číselnom dosdení hodnôt odčítných z grfu dostneme v A ms - Bod V je mimom funkcie (t) Dotčnic v tomto ode je rovnoežná s čsovou osou, tj smernic resp deriváci funkcie v ode V s rovná nule Ojekt s v ode V zství d v dt V Odone určíme okmžitú rýchlosť v ode M z trojuholník BDD Δ v M k tg(8 α) tg α ms Δt Záporné znmienko hovorí, že ojekt s pohuje v zápornom smere osi Kontrolné otázk Viete npísť správne definíciu derivácie? Formulujte nutnú podmienku eistencie derivácie funkcie v ode? Aký je geometrický význm derivácie funkcie Je spojitosť funkcie postčujúcou podmienkou pre eistenciu derivácie? Ako vužívme deriváciu pri definícii vektor rýchlosti zrýchleni? 6 Aký význm má deriváci pre fziku? Stretli ste s i s ďlšími príkldmi vužiti derivácií? 9

195 9 Prvidlá n výpočet derivácie funkcie Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Nech sú f() g() funkcie, ktoré mjú v určitom intervle (, ) derivácie f () g () Pre derivácie funkcií, ktoré sú súčtom, rozdielom, súčinom podielom dných funkcií plti nsledovné vzťh, určené vetmi 9 ž 9: Vet 9 Zákldné prvidlá pre derivácie Nech f() g() pre všetk R mjú derivácie, potom pltí pre deriváciu súčtu, rozdielu, súčinu podielu: Deriváci súčtu funkcií: () f() g() () f () g () Deriváci rozdielu funkcií: () f() g() () f () g () Deriváci súčinu funkcií: () f()g() () f () g() f() g () Deriváci podielu funkcií: () ff() gg() () ff ()gg() ff()gg () [gg()] Deriváci súčinu konštnt k funkcie: () k f() () k f () Vet 9 Deriváci zloženej funkcie Nech f [u()] je zložená funkci z funkcií z u() f(z), kde f je vonkjši zložk u je vnútorná zložk zloženej funkcie, definovná pre D f (pozri definíciu 8) Deriváci zloženej funkcie je určená predpisom: [f(u())] f (u) (u()), tj je určená súčinom derivácie vonkjšej zložk (v nezmenenom rgumente!) derivácie vnútornej zložk Poznámk: Schemtick si deriváciu zloženej funkcie možno nčrtnúť pomocou zátvoriek, kde hrntá zátvork nám reprezentuje vonkjšiu zložku guľtá zátvork vnútornú zložku zloženej funkcie: [ ()] [] () Príkld 9 Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) Riešenie : Jedná s o súčet elementárnch funkcií (mocninných), tkže pltí, že deriváci súčtu s rovná súčtu derivácií: ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f, vužijeme, že deriváci [k f () ] k [ f () ] funkcie ( n ) n n- : ( ) ( ) ( ) f ( ) 9

196 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Zákldné vzorce pre deriváciu, mocninných, goniometrických, logritmických cklometrických funkcií uvádz vet 9 Vet 9 Zákldné vzorce pre derivovnie vrných funkcií Nech f() je definovná pre všetk D f, potom pre jej deriváciu pltí: Deriváci konštnt s rovná nule! f() k (k ) () f() n (n,, celé číslo) pre kždé RR pltí: ( n ) n n- (), >, tk pre kždé RR pltí: ( ) ln () e (špeciálne pre e), tk pre kždé RR (e ) e lne e () sin, k pre kždé RR (sin ) cos 6 () cos, tk pre kždé RR (cos ) sin 7 () tg, tk pre tie RR, kde cos (tg ) (cos ) 8 () cotg, k pre tie RR, kde sin (cotg ) 9 () log z, k z >, z tk pre všetk > (log z ) () ln, (špeciálne pre z e ) (ln ) () rcsin, tk pre všetk (, ) (rcsin ) (sin ) lnz lne () rccos, tk pre všetk (, ) (rccos ) () rctg, tk pre všetk RR (rctg ) () rccotg, tk pre všetk RR (rccotg ) n Príkld 96 Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) e tg sin Uvedomíme si, že funkciu môžeme zpísť ko súčet funkcií, pričom konštntu dáme pred funkciu: ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), f vužijeme, že deriváci súčtu s rovná súčtu derivácií ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f, f n ( ) ( e ) ( tg ) ( ) ( sin ) f ( ) e cos nnnn cos 9

197 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 97: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) (ln )(tg ) f Uvedomíme si, že s jedná o súčin dvoch funkcií derivujeme podľ vzťhu pre súčin: ( ) ( ln ) ( tg ) ( ln )( tg ) f ( ) ( tg ) ( ln ) cos f Otázk : Zmenil s výsledok z príkldu 9, k sme zátvork pri funkciách f ln tg? nenpísli, tkže zápis ol ( ) Odpoveď: Vzhľdom k tomu, že prednosť má súčin, znmená to, že rgument logritmickej funkcie ol tg, tj jednlo s o zloženú funkciu Z dôvodu jednoznčnosti zdni, je vhodnejšie zátvork npísť j v tomto prípde f ( ) ln( tg ) Riešenie tkto zdného príkldu si ukážeme neskôr Príkld 98: Vpočítjte deriváciu funkcie: f ( ) ln Jedná s o podiel funkcií, použijeme vzťh pre podiel deriváciu podielu funkcií: f ( ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln ln Príkld 99: Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) tg Uvedomíme si, že s jedná s o deriváciu zloženej funkcie Použijeme vzťh pre deriváciu zloženej funkcie, tj zderivujeme vonkjšiu zložku funkcie, tj tg () vnásoíme deriváciou vnútornej zložk funkcie () Schemtick postup môžeme znázorniť: [tg()] [tg ()] ( ) f ( ) [ tg( ) ] cos ( ) ( ) cos ( ) Otázk : Ako ojsnite postup pri derivácii zloženej funkcie? Odpoveď: Uvedomíme si, ktorá je vonkjši ktorá vnútorná zložk funkcie Ako prvé zderivujeme vonkjšiu zložku pri nezmenenom rgumente vnásoíme deriváciou vnútornej zložk 9

198 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) Jedná s o deriváciu zloženej funkcie f f e u ( u) ( e ) u ( e ) e ( ) e ( ) e Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) f sin Jedná s o deriváciu zloženej funkcie, tj súčin derivácie vonkjšej zložk vnásoíme deriváciou vnútornej zložk zloženej funkcie: f sin cos cos ( ) [ ( )] [ ( )]( ) [ ( )] Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) sin Jedná s o deriváciu zloženej funkcie f ( ) [ sin ] [ sin ] ( sin ) [ sin ] cos sin Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) sin ( ) Jedná s o deriváciu zloženej funkcie ( ) f f f u u, kde u je opäť zložená funkci: sin( ) sin( ) cos( ) ( ) [ sin( ) ] [ sin( ) ] ( ) [ ] [ ] Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie ff() ln 6 ln, kde je reálne číslo Riešenie : Jedná s o súčet funkcií, pričom si uvedomíme, že je reálne číslo, ted konštnt, ktorú dáme pred deriváciu Posledný sčítnec je súčinom, pričom druhý člen, keď si uvedomíme, že s jedná o logritmickú funkciu v ode, je nulový nemusíme ho ni uvžovť Pre názornosť ho všk ešte uvedieme: ff () (ln ) 6( ) () (ln ) () ff () 8 8 9

199 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc f ( ) 9 Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) Jedná s o zloženú funkciu zložená funkci): ( ) [( 9) [ ( 9) (6 ) f ( ) f u u cot g Príkld 96: Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) Jedná s o deriváciu súčinu, pričom kždý činiteľ je zložená funkci f ( u) f ( u) u ( ) ( u ) u u ( 9) ( 9) ( 6 ) ( ) ( ) [( ) ] f cot g cot g cot g ( cot g ) ( cot g ) cot g ( cot g ) sin Príkld 97: Vpočítjte deriváciu funkcie ( ) ln(ln ) f Uvedomíme si, že s jedná s o deriváciu zloženej funkcie Použijeme vzťh pre deriváciu zloženej funkcie, tj zderivujeme vonkjšiu zložku funkcie, tj ln() vnásoíme deriváciou vnútornej zložk funkcie () Schemtick postup môžeme znázorniť: [ln()] ( ) () f ln ln ( ) (ln ) Príkld 98: Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) sin Jedná s o deriváciu zloženej funkcie, ktorá je ešte zložená funkci: { } ( sin ) f ( ) [( sin ) ] [ ] ( sin ) [ ( sin ) ][ cos() ]( ) ( sin )( cos ) Príkld 99: Vpočítjte deriváciu funkciu ff() ln e Jedná s o deriváciu súčinu funkcie s konštntou: ff () ( ln e)( ) ( ln e) 6 96

200 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Vpočítjte deriváciu funkciu f ( ) ln( tg ) Uvedomíme si, že s jedná o zloženú funkciu, pričom vnútorná zložk zloženej funkcie je určená súčinom dvoch funkcií Použijeme vzťh pre deriváciu zloženej funkcie vnútornú zložku derivujeme podľ vzťhu pre súčin dvoch funkcií: ( tg ) (tg ) tg cos ( ) [ ln( tg ) ] f Orázok 9 prezentuje zujímvú www stránku s interktívnmi ppletmi s grfickou deriváciou Orázok 9: Pohľd n wwwstránku s interktívnou deriváciou PDDA Úloh : Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) e tg sin Úloh 6: Vpočítjte deriváciu funkcie / tg f ( ) ( e ) rctg ( ) ln Úloh 7: Vpočítjte deriváciu funkcie f ( ) rctg ( ) ( e ) sin cos Kontrolné otázk Npíšte vzťh pre deriváciu zákldných elementárnch funkcií skontrolujte si ich Npíšte vzťh pre deriváciu súčinu dvoch funkcií jednej premennej Npíšte vzťh pre deriváciu podielu dvoch funkcií Npíšte vzťh pre deriváciu zloženej funkcie plikujte n konkrétnom príklde 97

201 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 9 Derivácií všších rádov funkcie jednej premennej Definíci 9 Deriváci druhého vššieho rádu Ak funkci f() je spojitá funkci n intervle (, ) má n tomto intervle deriváciu prvého rádu, deriváci druhého rádu tejto funkcie (f ) je definovná ko deriváci funkcie f(), čo zpisujeme: f () [f ()] Deriváci tretieho rádu funkcie f() je definovná ko deriváci druhej derivácie funkcie, tj f () [f ()] Deriváci n-tého rádu funkcie f() je definovná ko deriváci (n-)derivácie funkcie, čo zpisujeme: (n) f (n) () [f (n-) ()] Poznámk: Všimnime si, že pre deriváciu tretieho rádu ešte používme zápis f (), kým pre derivácie štvrtého rádu vššie, už používme zápis f () (), f (n) (), tj horný inde - v zátvorke číslo, určujúce rád derivácie Derivácie vššieho rádu mjú význm v mnohých olstich, ko v mtemtike, fzike, v ekonómii iných Ukážeme si to pri prieehu funkcií Predtým si zdefinujeme, ked je funkci rstúc, klesjúc, ked má etrém čo je konvenosť, konkávnosť inflený od, ko ho určíme Otázk : Aký význm má vo fzike druhá deriváci polohového vektor? Odpoveď: Prvá deriváci polohového vektor n záklde vzťhu 97 určuje okmžitú rýchlosť Ak tento vzťh derivujeme ešte rz dv d dr d r (98) dt dt dt dt dostneme dôležitú fzikálnu veličinu - okmžité zrýchlenie Príkld 9: Hmotný od s pohuje tk, že jeho polohový vektor r závisí n čse podľ vzťhu r(t) At i Bt j C k, kde A ms -, B ms -, C m Určite: ) veľkosť polohového vektor rýchlosti v čsovom okmžiku t s; ) polohový vektor rýchlosti jeho veľkosť v čsovom okmžiku t s; c) polohový vektor zrýchleni rýchlosti jeho veľkosť v čsovom okmžiku t s ) r( s) i j 8 i j [m], r ( s) 8 ( ) m 6 9 7, m 98

202 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni ) polohový vektor rýchlosti je definovný vzťhom (97) ko čsová deriváci polohového vektor d r d (At i Bt C k) v ( t) At i Bj, dt dt - v ( t) i i [ ms ] v ( s) ms ms ms ; c) polohový vektor zrýchleni je určený vzťhom (98) ko druhá deriváci polohového vektor r : d r dt d(at i B j) 6Ati dt d r d(at i B j) ( ) i dt dt - t [ ] ms, - ( t ) ms Príkld 9 Vpočítjte všetk derivácie do piteho rádu funkcie f ( ) Vchádzme z definície druhej derivácie (definície 9) príkldu 9, kde sme vpočítli prvú deriváciu rovnú : f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) f () (), f () () PDDA Úloh 8: Vpočítjte druhú deriváciu funkcií: ) f ( ) rctg ( ) ) f ( ) e ; c) f ( ) d) () f sin Kontrolné otázk Vsvetlite význm prvej derivácie polohového vektor podľ čsu Vsvetlite význm druhej derivácie polohového vektor podľ čsu Vsvetlite význm prvej derivácie vektor rýchlosti podľ čsu 99

203 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc 9 Výpočet limít pomocou derivácií L Hospitlovo prvidlo Pri výpočte limít s čsto stretávme v tzv neurčitými výrzmi, ted limitmi funkcií, ktoré vedú k výrzom,,,,, V týchto prípdoch je vhodné použiť L Hospitlovo prvidlo, ktoré uvádzme ko nsledujúcu vetu: Vet 9 - L Hospitlovo prvidlo Nech mjú funkcie f() g() v ode limit: lim f ( ) lim g( ) resp [ lim f ( ) lim g( ) ] mjú v okolí odu ich spojité prvé derivácie (poprípde i vššie derivácie), potom limit z podielu funkcií s rovná limite z podielu derivácií funkcii: lim [ f ( ) ] [ g( ) ] f ( ) lim (99) g( ) V prípde, že sme opätovne získli neurčitý výrz / resp / pokrčujeme v derivácich ďlej, tj pltí: [ f ( ) ] [ g( ) ] [ f ( ) ] [ g( ) ] f ( ) lim lim lim g( ) Poznámk: Všimnite si, že v prípde L Hospitlov prvidl, s nejedná o deriváciu podielu funkcií, le podiel derivovných funkcií, čo je rozdiel! Vrné jednotlivé prípd, ked možno použiť L Hospitlovo prvidlo, si ukážeme n riešených príkldoch 7 Príkld 9 Vpočítjte limit funkcií: ) lim, ), lim 6 ln c) lim, d) lim, e) lim, f) ln e lim, g) n n lim ) lim lim [ ] [ ] lim lim ; ) 7 ( 7) 7 lim lim lim 6 ( 6) 6 7 ; 6

204 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni ( ) c) lim lim lim lim, ( ) ( ) d) lim lim lim lim, ln (ln ) ( ) e) lim lim lim lim lim, ( ) e e e e e ( ) f) lim lim lim ( ) n n n n n n n n ln (ln ) g) lim lim lim e sin Príkld 9 Vpočítjte limit funkcie f(): ) lim, ) lim, sin sin tg ln(sin) c) lim, d) lim,f) lim tg7 ln(tg) e e e ) lim lim sin cos cos sin cos ) lim lim, sin cos sin c) lim lim lim, 6 6 tg d) lim cos lim, tg7 7 7 cos 7 cos ln(sin) e) sin lim lim lim cos ln(tg) tg cos

205 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Poznámk: Pri príkldoch s čsto vužívjú nsledovné identit: f ( ) g( ) prepis súčinu dvoch funkcií n podiel: f ( ) g( ), g( ) f ( ) prepis rozdielu funkcií n podiel: g( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Príkld 9 Vpočítjte limitu funkcie lim π ( sin )tg lim π sin ctg lim ( sin )tg π lim π cos sin lim π (sin ) cos Príkld 96 Vpočítjte limitu funkcie lim ( ) sin lim ( ) sin lim sin sin lim cos sin cos lim ( sin ) cos cos sin Ďľšie riešené príkld možno nájsť npríkld v práci: Hricišáková D: Mtemtik A, Trenčín, ISBN , str7- PDDA cos Úloh 9: Vpočítjte limitu funkcií: ) lim,) lim Kontrolné otázk Ojsnite znenie význm L Hospitlovho prvidl, kde v kých prípdoch ho používme? Možno súčin (resp rozdiel) dvoch funkcií prepísť n podiel? Ak áno, tk ko?

206 96 Monotónnosť funkcie etrém funkcií Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc V tejto čsti si ukážeme ko súvisí monotónnosť funkcie s jej deriváciou hľdním etrémov funkcií Vjdeme z definície 8 monotónnosti funkcie nsledujúcej pozntkov: Ak pre kždú dvojicu čísel, D f nchádzjúcich s v intervle <, > pltí: < použijeme oznčenie f ( ) f ( ) Ak nám pltí, že f ( ) < f ( ), tj > ted > že funkci f() je v intervle <, > rstúc Ak si npíšeme lim > ff () > Keďže <, > k nám pltí f ( ) > f ( ), ted < lim < ff () < ff () <, že funkci f() je n <, > klesjúc Tieto skutočnosti prezentuje nsledovné vet : Vet Monotónnosť funkcie Nech funkci f() je spojitá v intervle (, ) nech v kždom vnútornom ode tohto intervlu má deriváciu Potom pltí: k f () >, potom f() je n intervle (, ) rstúc, k f () <, potom f() je n intervle (, ) klesjúc, (or 98) Orázok 9 8: Monotónnosť funkcie (Híc P, Pokorný M: Otázk : Aká je smernic dotčnice grfu funkcie, k funkci je n intervle (, ) ) rstúc, ) klesjúc, c) konštntná? Príkld 97: Zistite pomocou derivácie funkcie, n ktorom intervle je funkci () ln ( ) rstúc n ktorom klesjúc Určíme si definičný oor funkcie () ln ( ) Vidíme, že s jedná o zloženú funkciu, ktorej vonkjši zložk je ln u Vieme, že logritmická funkci je definovná len pre kldný rgument, tj u >, resp > >

207 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 97: pokrčovnie riešeni < < D(f) (, ) Vpočítjme prvú deriváciu: f () [ln ( )] ( - ) (-) - - Funkci ude rstúc f () > n tom podintervle definičného ooru (-, ), n ktorom (-) >, tj musí pltiť: - > > pre všetk D(f) (, ) < (, ) (, ) je rstúc Odone možno ukázť, že funkci () ln( ), ude klesjúc n tej čsti D(f), kde f () <, tj (-) < - Čitteľ si výpočtom preverí, že je to doplnkový podintervl, tj (,) V nsledujúcej čsti si ozrejmíme pojm lokáln gloáln etrém funkcie f() v intervle (, ), ktorý je podmnožinou definičného ooru D(f) ukážeme si, ko hľdáme lokálne etrém, tj lokálne mimá, resp lokálne minimá n určitom intervle (, ) nkoľko v pri s veľmi čsto stretávme s prolémom, keď si položíme otázku ko máme nstviť vonkjšie vstupné prmetre, sme dostli npríkld optimáln výsledok? Npríkld v ekonómii je to zisk vo firme, ký tvr nádo zvoliť ml dný ojem minimáln povrch i Tktiež si ojsníme pojem gloáln etrém f() n D(f) prostredníctvom definícií: Definíci 9 Lokálne minimum Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Funkčnú hodnotu f(), v ode M D(f), nzývme lokálne minimum funkcie f() v ode práve vted, k eistuje tké okolie O() odu, že pre všetk O() -{ } D(f), pltí f () f () Definíci 9 6 Lokálne etrém Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Lokálne mimá minimá funkcie n istej podmnožine M D(f) voláme spoločným názvom lokálne etrém Definíci 9 7 Gloálne mimum Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Funkčnú hodnotu f(), M D(f), nzývme gloálne mimum funkcie f() v ode n množine M práve vted, k pre všetk M pltí f () f ()

208 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Definíci 9 8 Gloálne minimum Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Funkčnú hodnotu f(), v ode M D(f), nzývme gloálne minimum funkcie f() v ode n množine M práve vted, k pre všetk M pltí f () f () Definíci 9 9 Gloálne etrém Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Mimáln minimáln hodnot tejto funkcie n celej množine funkčných hodnôt nzývme gloálne etrém Pri určovní lokálnch etrémov funkcie používme nsledujúce tvrdenie: Vet 9 7 Nutná podmienk eistencie lokálneho etrému stcionárn od Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Ak má funkci f () v ode lokáln etrém Potom f ( ), leo f () v ode neeistuje Bod, v ktorom prvá derivácie je nulová, nzývme stcionárnm odom funkcie f() Poznámk: Geometrick môžeme interpretovť nutnú podmienku lokálneho etrému tk, že dotčnic grfu funkci f() v ode ude rovnoežná s osou, k eistuje deriváci v ode, (or 96) Orázok 99: Geometrická interpretáci stcionárneho odu V prípde, že deriváci neeistuje v tomto ode, dotčnic ku grfu funkcie v tomto ode tiež neeistuje Pozri príkld 9 pre funkciu v ode nul Podľ vet 97 funkci f() môže (le nemusí!) mť lokáln etrém v tých odoch, v ktorých prvá deriváci s rovná nule Ako príkld možno uviesť funkciu, ktorá má f () f ( ) pre Funkci f () pre všetk D(f), tkže vieme, že je rstúc n celom D(f), tkže nemôže mť etrém Z eistencie derivácie v ode o druhu etrému rozhoduje druhá deriváci funkcie v stcionárnom ode, čo deklruje vet 98:

209 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Vet 9 8 Postčujúc podmienk lokálneho etrému v ode Nech má funkci f () v ode deriváciu druhého rádu nech f ( ) Potom funkci f () v stcionárnom ode má lokáln etrém: lokálne mimum, k druhá deriváci je záporná, tj: f ( ) <, lokálne minimum, k druhá deriváci je kldná, tj f ( ) > Definíci 9 Konvenosť konkávnosť funkcie Nech funkci f() je definovná n množine D(f) Ak všetk od grfu funkcie f (), okrem odu dotku, leži nd (pod) dotčnicou ku grfu funkcie v ľuovolnom ode z intervlu (, ) D(f), hovoríme, že funkci je v intervle (,) konvená (konkávn) (or 9) Orázok 9: Geometrická interpretáci konvenej konkávnej funkcie Poznámk: Prirdenie pojmu konkávnej k tvru funkcie je možno si zpmätť podľ pomôck: Do konkávnej s nedá nliť káv Definíci 9 Inflený od funkcie Bod (číslo), v ktorom funkci f() má deriváciu nzývme infleným odom práve vted, keď eistuje tké okolie odu O( ), že pre kždé O( ), < je funkci konvená (konkávn) pre kždé > je funkci konkávn (konvená) Ak je infleným odom funkcie, potom od [, f ( ) ] nzývme infleným odom grfu funkcie Poznámk: Inflený od je tký od, v ktorom s konvená funkci mení n konkávnu nopk Vet 9 9 Určenie konvenosti konkávnosti funkcie pomocou derivácie Nech funkci f() je definovná n množine D(f) nech má n tomto intervle prvé druhé derivácie Potom k pltí, že: f () >, dná funkci je n tomto intervle konvená, f () <, dná funkci je n tomto intervle konkávn 6

210 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 98: N krivke ( ) nájdite od, v ktorých sú dotčnice rovnoežné s osou O Vieme, že všetk primk rovnoežné s osou mjú nulovú smernicu, tj k, resp f () ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) Tkže hľdné od sú: T (, ), T (, ), T (, ) 6 Príkld 99: Nájdite rovnicu normál ku krivke krivke v ode so súrdnicou Určíme od v ktorom hľdáme primku kolmú n dotčnicu: získme ho po dosdení súrdnice do rovnice krivk: T (, ) (, /) 6 Určíme smernicu dotčnice z derivácie zdnej funkcie: ( ) ( 6) ( ) k dot 9 Zo známeho vzťhu pre súčin smerníc dvoch nvzájom kolmých primok získme smernicu normál, keďže pltí k dot k n - k nor 9 k dot 9 Rovnic hľdnej normál určíme v smernicovom tvre k nor ( ) / 9( ) Príkld 9: Nájdite solútne etrém funkcie f() 6 v intervle <, > Vieme, že zdná funkci je v kždom ode R spojitá ted je spojitá i n zdnom intervle Určíme jej deriváciu: f() ( 6 ) 6 6 ( ) ( ) > N záklde vet 9 6 vieme, že dný funkci ude n celom intervle rstúc, keďže f () > n D f Asolútne etrém funkcie udú preto v koncových odoch intervlu: solútne minimum f( ) ( ) ( ) 6( ) v intervle <, >; solútne mimum f() () () 6() v intervle <, > 7

211 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: Nájdite solútne etrém funkcie f ( ) v intervle (,) Vieme, že zdná funkci je definovná pre > je v kždom ode spojitá Ted je spojitá i n zdnom intervle Určíme jej deriváciu: f() ( ) > pre všetk D f N záklde vet 9 6 vieme, že dný funkci ude n celom intervle rstúc, keďže f () > ted j n skúmnom intervle (,) Asolútn etrém mimum ude mť funkci v koncovom ode intervlu: - solútne mimum f ( ) 8; - solútne minimum neeistuje, keďže v od nie je definovná Príkld 9: Určite výšku lievik kužeľovitého tvru, ktorého strn je rovná cm, tk jeho ojem ol mimáln Oznčme r polomer kruhovej podstv lievik tvru kužeľ v jeho výšku Zrejme r v, r >, < v < Pre ojem kužeľ pltí: V πr v/ V π (v v ) Ojem V je spojitou funkciou v pre všetk v (,) Singulárne od zistíme z prvej derivácie: d V π d (v v ) π ( v ) v dv d v O ký etrém s v tomto ode jedná určíme so znmienk druhej derivácie v ode v : d V π d (v v ) π d π ( v ) ( 6v) < pre kždú hodnotu výšk ted dv d v d v j pre singulárn od v Funkci ude mť v tomto ode lokálne mimum PDDA: Úloh: Nájdite výšku vlc s mimálnm ojemom, ktorý možno vpísť do gule s polomerom R Kontrolné otázk Ojsnite, ko postupujeme pri hľdní lokálnch etrémov? Môže ť lokáln etrém súčsne gloálnm etrémom? Ak áno, ojsnite n príklde Nstne prípd ked funkci nemá solútn etrém? Ak áno, uveďte príkld 8

212 97 Prieeh funkcie Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Prieeh, ko sme uviedli v úvode tejto kpitol, je zujímvý z pohľdu zisťovni očkávní npríkld pri podnikní vo firme, či prieehu nárstu rýchlosti i Nie vžd vieme určiť podľ kej funkcie s sledovná udlosť ude vvíjť Preto si nznčíme všeoecný postup pri určovní prieehu funkcie Predtým si zdefinujeme pojm smptot grfu funkcie Zčneme s čsto používnými, tj ked je os os je smptotou grfu funkcie f() Definíci 9 Asmptot grfu funkcie Pod smptotou grfu funkcie rozumieme primku, ku ktorej s grf funkcie f() líži pre určité, ktoré môže, leo nemusí ť z D(f) Os o rovnici ude smptotou grfu funkcie f(), k pltí: ff(), resp lim ff() ; lim Os o rovnici ude smptotou grfu funkcie f() keď pltí: lim ff(), leo lim ff(), lim ff(), leo lim ff() ; Asmptot ez smernice, primk je smptotou grfu funkcie f() keď pltí: lim ff() ± lim ff() ±, pričom znmienk pri, môžu mť ľuovoľnú komináciu (,), (,-), (-,), (-,-) podľ tpu funkcie Asmptot so smernicou, primk o rovnici kq, je smptotou grfu funkcie f(), keď pltí: k lim ± ff() qq lim [ff() k] ± Poznámk: Vidíme, že os o rovnici je špeciáln prípd smptot ez smernice, ked Vidíme, že os o rovnici je špeciáln prípd smptot so smernicou, ked k q Otázk : Eistuje rovnoežná smptot grfu funkcie s vrnou osou, ktorej smernic neeistuje? Odpoveď: Áno, je to smptot ez smernice, ktorá je rovnoežná s osou O v odoch, kde dná funkci nie je definovná Príkld uvidíme pri skúmní prieehu funkcie 9

213 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Pri skúmní prieehu funkcie udeme postupovť podľ nsledovných desitich odov: Nájdeme oor definície funkcie Nájdeme všetk nulové od funkcie Zistíme, či je funkci párn, nepárn, periodická Nájdime všetk smptot grfu funkcie: Nájdeme všetk jej od nespojitosti jednostrnné limit v nich Nájdeme všetk jej od nespojitosti jednostrnné limit v nich Zistíme všetk intervl, n ktorých je funkci rstúc, klesjúc, nerstúc, neklesjúc, tj vpočítme prvú deriváciu funkcie 6 Určíme stcionárn od, tj od v ktorom prvá deriváci funkcie je nulová, leo neeistuje určíme, kde môžu ť potenciálne etrém funkcie 7 Vpočítme druhú deriváciu znmienko druhej derivácie v stcionárnch odoch Nájdeme všetk lokálne etrém funkcie 8 Určíme všetk intervl, n ktorých je funkci konvená, konkávn 9 Nájdeme všetk čísl, v ktorých má funkci inflený od všetk inflené od grfu funkcie Zostrojíme (nčrtneme) grf funkcie Poznámk: Všetk prieežné úkon nimi získné výsledk prieežne zkresľujeme do jedného grfu funkcie Postup prezentuje nsledovný príkld 9 A oli jednotlivé krok zreteľnejšie, orázk sú dopĺňné postupne Príkld 9: N záklde nčrtnutého postupu určite prieeh funkcie: Nájdeme oor definície funkcie D(f) (, ) (, ) Bod neptrí do D(f), čo si zkreslíme hneď do grfu! f ( ) Nájdeme všetk nulové od funkcie ) D(f), (Poznámk: ude mť súvis s smptotou!), ) pltí pre, pre (Poznámk: grf funkcie nepretín os, keďže nulové od funkci nemá neprechádz ni počitkom súrdnicovej sústv) Zistíme, či je funkci párn, nepárn, periodická Vieme, že pre párnu, resp nepárnu funkciu pltí: Pre kždé D(f) j D(f) - je splnené; ) Pre párnu funkciu: pre kždé D(f) pltí: f( ) f() ) Pre nepárnu funkciu: pre kždé D(f) pltí: f( ) f() Počítjme pre zdnú funkciu: f ( ) f ( ) funkci je nepárn (lichá) Funkci ude smetrická ( ) podľ počitku, jedn čsť ude ležť nd osou, druhá čsť grfu pod osou!

214 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Nájdeme všetk smptot grfu funkcie: Nájdeme všetk jej od nespojitosti jednostrnné limit v nich Bodom nespojitosti je od Pýtme s, či os o rovnici je smptotou grfu funkcie? Počítjme: lim, resp lim ; Podmienk je splnená- os je smptotou, tj grf funkcie s pre ± ude lížiť k osi, čo si následne zkreslíme do grfu červenými šípkmi Pýtme s, či os o rovnici ude smptotou grfu funkcie? Počítjme: lim, lim, Podmienk je splnená - os je smptotou, tj grf funkcie s pre ude lížiť k osi, čo si zkreslíme do grfu modrými šípkmi Ako pomôcku pri určovní znmienk limit môžeme uviesť spôso: pre limitu dosdíme veľmi lízke číslo z prvého okoli odu, tj,, resp z ľvého okoli: k lim ± lim lim, / lim ± > lim, lim < ted lim -, V predchádzjúcom postupe sme určili, že skúmná funkci má smptotu ez smernice o rovnici, čo je jediný od nespojitosti funkcie Tkže iné smptot ez smernice nemá Pýtme s, či funkci má smptotu so smernicou, tj primku o rovnici kq Počítjme: qq lim [ ] ± Jedinou smptotou so smernicou je os s rovnici Z prieeh šipiek pozntku o nepárnosti funkcie už, j ez derivácii, vieme odhdnúť prieeh funkcie, čo prezentuje orázok: Zistíme všetk intervl, n ktorých je funkci rstúc, klesjúc, nerstúc, neklesjúc, tj vpočítme prvú deriváciu funkcie - určíme n ktorých intervloch je kldná (rstúc) n ktorých záporná (klesjúc) [ f ( ) ]

215 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni f () < pre všetk D(f) ted funkci je n celom D(f) klesjúc, v zhode s nšim náčrtom funkcie Určíme stcionárn od, tj od v ktorom prvá deriváci funkcie je nulová, leo neeistuje v ktorých môžu ť etrém funkcie [ f ( ) ] neeistuje židne D(f), s [ f ()] Ted funkci neude mť ni lokálne ni gloálne etrém Vidíme, že [ ] Nájdime všetk lokálne etrém funkcie Vpočítme druhú deriváciu znmienko druhej derivácie v stcionárnch odoch f (), funkci neude mť ni lokálne ni gloálne etrém Zistíme všetk intervl, n ktorých je funkci konvená, konkávn Vpočítme druhú deriváciu: Keďže neeistuje židne D(f), s [ ] [ f ( ) ] ( ) >, keď > n tomto intervle (, ) funkci je konvená; <, keď < n tomto intervle (, ) je konkávn Nájdeme všetk čísl, v ktorých má funkci inflený od všetk inflené od grfu funkcie Funkci s mení z konvenej n konkávnu v okolí odu Keďže tento od nie je z D(f), funkci f ( ) inflený od nemá Zostrojíme (nčrtneme) grf funkcie, (pozri orázok vššie) Príkld 9: Zistite prieeh funkcie f ( ) - Nájdeme oor definície funkcie Funkci nie je definovná tm, kde s ± D(f) (, ) (, ) (, ) Bod neptri do D(f), čo si zkreslíme hneď do grfu (or 99 )! (Poznámk: ude mť súvis s smptotou!),vieme že to udú smptot grfu funkcie ez smernice zkreslíme si do grfu

216 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Or 9 9 K postupu prieehu funkcie f ( ) Nájdeme všetk nulové od funkcie ) D(f), f ( ), Máme jeden od, ktorým grf funkcie ude prechádzť: A [,,], ktorý si zkreslíme do grfu (or 98)! c), tj Ak túto rovnicu vnásoíme ( ), dostneme rovnosť, čo vieme že nepltí pre židne D(f), pretože Zistenie nám hovorí, že grf funkcie nepretín os, v židnom ode Or 9 8 K postupu prieehu funkcie f ( ) Zistíme, či je funkci párn, nepárn, periodická Vieme, že pre párnu, resp nepárnu funkciu pltí:

217 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Pre kždé D(f) j D(f) - je splnené; ) Pre párnu funkciu: pre kždé D(f) pltí: f( ) f() ) Pre nepárnu funkciu: pre kždé D(f) pltí: f( ) f() Počítjme pre zdnú funkciu: f ( ) f ( ) funkci je párn, tkže ude smetrická ( ) podľ osi! Nájdime všetk smptot grfu funkcie: Nájdeme všetk jej od nespojitosti jednostrnné limit v nich Bodom nespojitosti sú od Pýtme s, či os o rovnici je smptotou grfu funkcie? Počítjme: lim, resp lim ; Podmienk je splnená- os je smptotou, tj grf funkcie s pre ± ude lížiť k osi, čo si následne zkreslíme do grfu šípkmi Pýtme s, či os o rovnici ude smptotou grfu funkcie? Počítjme: lim, Podmienk nie je splnená, tj os nie je smptotou, čo olo zrejmé, j z toho, že eistuje priesečník s osou v ode A Asmptot ez smernice: Určíme limit v odoch nespojitosti funkcie, tj pre Počítjme jednostrnné limit: lim (,), čo zkreslíme šípkou do grfu ( ) lim, čo zkreslíme šípkou do grfu ( ) (,999) Rovnko počítme pre od : lim (,99), čo zkreslíme šípkou do grfu ( ) lim, čo zkreslíme šípkou do grfu ( ) (,)

218 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Or 9 8c K postupu prieehu funkcie f ( ) Výpočtom sme ukázli, že primk o rovnicich sú smptot ez smernice grfu funkcie Pýtme s, či funkci má smptotu so smernicou, ted primku o rovnici k q Počítjme: k lim ± lim ± ( ) qq lim [ ± ] Jedinou smptotou so smernicou má rovnicu, čo je os, ktoré sme si iným spôsoom odvodili Viete už z prieehu šípiek pozntku o párnosti funkcie už, j ez derivácii odhdnúť prieeh funkcie? Predpokld prieehu funkcie f ( ) prezentuje or 98d Or 9 8d K postupu prieehu funkcie f ( )

219 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Z grfu vidíme, že : - funkci ude rstúc n intervle (, ) (, ); - funkci ude klesjúc n intervle (, ) (, ); - funkci ude mť lokáln etrém v ode A [,,] to lokálne mimum; - funkci ude n intervle (, ) (, ) konvená; - funkci ude n intervle (, ) konkávn; - funkci inflený od nemá Prvdivosť týchto tvrdení overíme ďlšími výpočtmi podľ nznčeného postupu, čo necháme n čitteľ 6 Príkld 9: Príkld Zistite prieeh funkcie f ( ) Oor definície funkcie: Funkci nie je definovná tm, kde s D(f) (, ) (, ), čo si zkreslíme hneď do grfu! (Poznámk: ude mť súvis s smptotou!) - Nájdeme všetk nulové od funkcie: ) D(f), f ( ) Máme jeden od, ktorým grf funkcie ude prechádzť: A [, -], ktorý si zkreslíme do grfu vššie 6 6 ± 6 ), tj, ± 6,,,, Zisteni nám hovori, že grf funkcie pretín ko os v jednom ode os v dvoch odoch, z čoho vplýv, že ni jedn os neude smptotou grfu funkcie, o čom s možno presvedčiť výpočtom 6

220 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni Zistíme, či je funkci párn, nepárn, periodická Vieme, že pre párnu, resp nepárnu funkciu pltí: Pre kždé D(f) j D(f) - nie je splnené pretože pre neeistuje neude ni párn ni nepárn Nájdime všetk smptot grfu funkcie: Pýtme s, či os o rovnici je smptotou grfu funkcie? 6 6 lim, resp lim Podmienk nie je splnená - os nie je smptotou, ko sme si už ojsnili vššie Pýtme s, či os o rovnici ude smptotou grfu funkcie? 6 lim Os nie je smptotou (má jeden priesečník) Asmptot ez smernice: Počítjme jednostrnné limit v ode nespojitosti : 6, 6, lim lim, lim 6,9 lim 6,9,9 Asmptot so smernicou, ted primku o rovnici kq Počítjme: 6 6 k lim lim 6 q lim lim smptot: - lim [ f( ) - k] Z nčrtnutých limít, viete nčrtnúť už prieeh funkcie? Vskúšjte, leo s presvedčte pokrčovním výpočtov: Monotónnosť funkcie: [ f ) ] ( 6 [ f ()] > pre kždé D f je n celom D f rstúc 6 ( ) ( ) ( ) 6 Stcionárn od: Keďže je rstúc n celom D f, nemá stcionárne od pretože čitteľ je vžd rôzn od nul, tj ( ) 6 7 Etrém: nemá 7 6

221 Kpitol 9 Diferenciáln počet funkcie jednej reálnej premennej doc RNDr Miroslv Ožvoldová, CSc Príkld 9: pokrčovnie riešeni 8 Konvenosť konkávnosť funkcie n intervloch: 6 6 6( ) [ f ) ] ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pre < je [ f ()] > všetk od dotčnice leži pod grfom - funkci je konkávn n intervle (, ) Pre > je [ f ()] < všetk (, ) je funkci konvená 9 Inflený od: Kedže konkávnosť s mení n konvenosť funkcie v tesnej lízkosti odu nespojitosti, ktorý nie je z D f inflený od nemá Nčrtneme grf funkcie Orázok 99 Grf funkcie f ( ) 6 PDDA: Úloh: Nájdite výšku vlc s mimálnm ojemom, ktorý možno vpísť do gule s polomerom R Kontrolné otázk Ojsnite, ko postupujeme pri hľdní lokálnch etrémov? 8