Žilinská univerzita v Žiline Elektrotechnická fakulta Katedra experimentálnej elektrotechniky FILTRE SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI

Transcript

1 Žilinská univerzita v Žiline Elektrotechnická fakulta Katedra experimentálnej elektrotechniky FILTRE SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI JURAJ OSTROVSKÝ 2009

2 Filtre so spínanými kapacitormi BAKALÁRSKA PRÁCA JURAJ OSTROVSKÝ ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Elektrotechnická fakulta Katedra experimentálnej elektrotechniky Študijný odbor: TELEKOMUNIKÁCIE Vedúci bakalárskej práce: prof. Ing. Dušan Repčík, CSc. Stupeň kvalifikácie: bakalár (Bc.) Dátum odovzdania bakalárskej práce: LIPTOVSKÝ MIKULÁŠ 2009

3

4 ZADANIE BAKALÁRSKEJ PRÁCE Meno, priezvisko: Študijný odbor: Názov témy: Juraj Ostrovský Telekomunikácie Filtre so spínanými kapacitormi Pokyny pre vypracovanie: 1.Analýza Zobellových filtrov LC typu horný, dolný priepust 2.Rozbor obvodu na realizáciu induktoru obvodom so spínanými kapacitormi 3.Technická realizácia filtra so spínanými kapacitormi Vedúci bakalárskej práce: prof. Ing. Dušan Repčík, CSc. Katedra experimentálnej elektroniky Detašované pracovisko EF Liptovský Mikuláš Dátum odovzdania bakalárskej práce: Liptovský Mikuláš doc. Ing. MarcelaKoščová, CSc. Vedúca katedry

5 ABSTRAKT Pre konštrukciu filtrov so spínanými kapacitami je žiadúce previesť návrh jednotlivých prvkov filtru ako rezistorov, induktorov a dvojných kapacitorov so spínanými kapacitami. V bakalárskej práci budem analyzovať princíp funkcie pásmovej priepuste na základe spínaných kapacitorov. Kľúčové slová: filter, RC, spínané kapacitory, dolný priepust, horný priepust ABSTRACT For filter costruction with switching capacities it is compulsory to carry out the draft of separate elements of filter such as resistors, inductors and doubling capacitors with switching capacities. In bachelor thesis thesis we will analyze the function principle of band-pass filters on the basis of switching capacitors. Keywords: filter, RC, switching capacitors, lower filter, DP, HP ANOTAČNÝ ZÁZNAM V bakalárskej práci budem analyzovať princíp funkcie pásmovej priepuste na základe spínaných kapacitorov. Výsledkom je aj ukážka praktickej realizácie takéhoto filtra.

6 OBSAH 1. ÚVOD CIEĽ RIEŠENIA ELEKTRICKÉ FILTRE Dolno-frekvenčný priepust Pásmový priepust Pásmová zádrž Niektoré problémy prispôsobenia filtrov OBVODY ZO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Príklady aktívnych SC filtrov ANALÝZA OBVODOV SO SC METÓDOU UZLOVÝCH NAPÄTÍ A LINEÁRNEJ TRANSFORMÁCIE SÚRADNÍC Kapacitor v spojitom a vzorkovacom režime Analógia popisu obvodov Časovanie spínačov Zostavovanie uzlových nábojových rovníc Zostavenie kapacitnej matice subobvodu C Obvody so spínanými kapacitormi a aktívnymi prvkami Rešpektovanie funkcie ideálnych spínačov Určenie obvodových rovníc: SYNTÉZA PRVKOV SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Prístup k syntéze prvkov so spínanými kapacitormi Návrh prvkov so spínanými kapacitormi ROZBOR OBVODU INDUKTORU SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Rozbor obvodu pre realizáciu induktoru so spínaným kapacitorom Náhrada induktora u filtra dolný priepust ZÁVER...Erreur! Signet non défini. 9. ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY VYHLÁSENIE O SAMOSTASTNOSTI VYPRACOVANIA BAKALÁRSKEJ PRÁCE POĎAKOVANIE... 42

7 ZOZNAM OBRÁZKOV A TABULIEK Obr.1 Dolno-frekvenčný priepust... 3 Obr.2 Reťazový filter... 4 Obr.3 Určenie slučkových prúdov... 4 Obr.4 Impedačné rozloženie... 7 Obr.5 Sekcie reťazca filtra... 8 Obr.6 Zapojenie polčlánkov filtra... 9 Obr.7 Zobrazenie impedancie polčlánkov... 9 Obr.8 π a T článok Obr.9 Pásmo priepustnosti filtra Obr.10 Hornofrekvenčný priepust T a π článku Obr.11 Závislosť frekvencie w Obr.12 Pásmový priepust T a π článku Obr.13 Závislosti rezonancie Obr.14 Rezonancie T a π článku Obr.15 Závislosť α, β, Z π, ZT od frekvencie ω Obr.16 Pásmová zádrž Obr.17 Fáza β v pásmach priepustnosti Obr.18 Pásmo priezračnosti Obr.19 Modul koeficientu prenosu Obr.20 Štruktúra a priebehy filtrov Obr.21 Aktívne RC filtre Obr.22 SC obvody Obr.23 Časový priebeh náboja, U a I v obvode so vzorkovacím režimom práce Obr.24 Vetva obvodu v spojitom a vzorkovanom režime práce Obr.25 Pasívny obvod so SC a jeho rozloženie na subobvod C(b) a subobvod S(c) Obr.26 Spínače a ich transformačné grafy Obr.27 Jednoduchý praktický obvod so SC a operačným zosilňovačom Obr.28 Rezistor so spínaným kapacitorom Obr.29 Zapojenie uzemneného induktora so SC a ekvivalentného induktora Obr.30 Dvojný kapacitor so spínanými kapacitormi a ekvivalentný dvojný kapacitor Obr.31 Vetva obvodu s kapacitorom...35 Obr.32 Zapojenie uzemneného induktora so spínanými kapacitormi...36

8 Obr.33 Obvod pre simuláciu induktora so spínanými kapacitormi...37

9 ZOZNAM SKRATIEK A SYMBOLOV nf vf SC HP DP PZ U vst U výst I C L R Z I n a 0 U n 0 I n f XC XL IO Q T f s nízkofrekvenčný vysokofrekvenčný spínané kapacitory (switched Capacitors) horný priepust dolný priepust pásmová zádrž vstupné napätie výstupné napätie prúd kondenzátor induktor rezistor impedancia obvodový (slučkový) prúd útlm komplexné napätie amplitúdy komplexný prúd amplitudy frekvencia kapacitná reaktancia induktívna reaktancia integrovaný obvod elektrický náboj perióda vzorkovacia frekvencia

10 A I v S incidenčná matica vetvový prúd subobvod

11 1. ÚVOD V mojej bakalárskej práci budem analyzovať princíp funkcie pásmovej priepuste na základe spínaných kapacitorov. Aktuálnosť vhodnej metódy analýzy obvodov so spínanými kapacitami(sc) narastá s tým, ako tieto obvody nachádzajú stále širšie uplatnenie, prevažne ako filtre v integrovanej technológií MOS. Doteraz publikované metódy sú platné rôznym prístupovým obmedzením. Najčastejšie sa používajú buď ekvivalentné modely v analógovom režime, alebo kapacitnej matici resp. nábojové rovnice. Pre konštrukciu filtrov so spínanými kapacitami je žiaduce previesť návrh jednotlivých prvkov filtru ako rezistorov, induktorov a dvojných kapacitorov so spínanými kapacitami. Ďalej sa žiada, aby realizácia týchto prvkov bola na základe určitého typu transformácie medzi p a z, napr. LDI, bilineárnej atď. Z uvedeného vyplýva, že treba formulovať požiadavky na daný prvok s danou transformáciou, napr. vyjadriť ich určitou rovnicou. Ďalším krokom je potom návrh zapojenia odpovedajúceho prvku. Vhodná formulácia požiadaviek uľahčuje vlastný návrh obvodu. Je známa už rada prvkov so spínanými kapacitami. K ich návrhu sa došlo rôznymi postupmi, napr. z diferenčných rovníc v časovej oblasti, z podobných obvodov aktívnych filtrov RC atď. 1

12 2. CIEĽ RIEŠENIA Cieľom práce je ukázať metódu syntézy týchto prvkov na základe požadovaného priebehu náboja v oblasti z a typ transformácie medzi p a z a požiadavky na tieto prvky stanoviť pri konštantných hodnotách budiacich napätí. Výsledkom je funkčný laboratórny prípravok vhodný na merania z predmetu AOS. 2

13 3. ELEKTRICKÉ FILTRE Pri spracovaní elektrických signálov často treba oddeliť dva signály s rôznymi frekvenciami. Na takéto účely možno v princípe použiť elektrický obvod zostavený z prvkov, ktorých impedancia závisí od frekvencie. Ako príklad môže poslúžiť LC- obvod, ktorý prepúšťa resp. zadržiava signály s frekvenciou ω = 1/ L. C a v jeho blízkom okolí. Takýto obvod je filtrom, ktorý sa nazýva pásmový priepust, alebo pásmová zádrž. Iné druhy filtrov prepúšťajú signály s frekvenciami od O až po istú, tzv. kritickú frekvenciu ω, nad ktorou prepúšťajú signály s veľkým útlmom, alebo neprepúšťajú vôbec, prípadne naopak silne potláčajú signály s frekvenciami nižšími ako ω a prepúšťajú signály s frekvenciami vyššími ako ω. Filtre tohto druhu sa nazývajú dolno-frekvenčný priepust, alebo v druhom prípade horno-frekvenčný priepust. Obr.1 Dolno-frekvenčný priepust Činnosť filtra možno približne opísať na jednoduchom prípade dolno-frekvenčnej priepuste podľa obr.1. Takýto filter sa často používa na potlačenie striedavej zložky (zvlnenia) jednosmerného napätia získaného usmernením striedavého napätia. Ak na vstupné svorky AB privedieme silne zvlnené napätie z usmerňovača potom na výstupných svorkách CD je jednosmerné napätie s malým zvlnením, závislým od veľkosti indukčnosti L a kapacity C, pretože indukčnosť a druhý kondenzátor pôsobia ako napäťový delič. Deliaci pomer je približne: Xl/Xc = (1/ωC)/(L;ω) = 1/(ω LC). Jednosmernú zložku napätia pri ideálnych bezstratových prvkoch L a C filter prepustí bez útlmu. Lepšie potlačenie striedavých zložiek napätia sa dosiahne, ak sa niekoľko takýchto článkov zapojí za sebou, ako napr. na obr. 2. 3

14 Filter takého typu sa nazýva reťazcovým filtrom. Pri pohľade na takýto reťazec vznikajú nasledovné otázky. V akom pásme frekvencií prepúšťa takýto filter signály? Je v tomto pásme útlm nulový, alebo nie? Aký je charakter útlmu mimo pásma priepustnosti, hlavne v oblasti tzv. kritických, alebo hraničných frekvencií? V akom vzťahu (amplitúdovom a fázovom) sú prúdy v susedných sekciách? V akom vzťahu (amplitúdovom a fázovom) sú napätia susedných uzlov oproti spodnému voči,,u,, BD? Aký vplyv má impedancia záťaže pripojenej k svorkám CD (ak ku svorkám AB je pripojený zdroj signálu) na činnosť filtra? Čo je charakteristickou veličinou pre jednu sekciu filtra? Obr.2 Reťazový filter Odpovede na tieto otázky budeme hľadať pre všeobecný, predbežne nekonečný reťazec zostavený z impedancií Z1 a Z21 pod a obr. 3. Pre jednotlivé články reťazca možno zaviesť obvodové prúdy I1, I2, I3,... In,..., ktoré sú viazané obvodovými rovnicami podľa 2.Kirchhoffovho zákona. Takýchto rovníc je nekonečný počet. Pri určení obvodových prúdov však možno využiť rekurentné vlastnosti reťazca. Vzhľadom na periodicitu štruktúry obvodový prúd In súvisí s prúdom In 1 v nasledujúcej sekcii vzťahom: r r r ln = a. I n 1 = 1 r r. I a n (1) Obr.3 Určenie slučkových prúdov 4

15 kde a je útlm (tlmenie); je to alebo reálne číslo menšie ako 1 (v jednotlivých sekciách reťazca nepredpokladáme prítomnosť aktívnych prvkov), alebo komplexné číslo s absolútnou hodnotou menšou ako 1. Pre n-tú sekciu podľa 2.Kirchhoffovho zákona r r r r r r r r platí: Z 2.( I n I n 1 ) + Z1I n + Z 2.( I n I n+ 1) = 0 r 1 r 1 Z1 Dosadením za prúdy v rovnici (1) dostaneme rovnicu: ( a + r ) = 1 + r (3) 2 a 2Z 2 Rovnica (3) vo všeobecnosti určuje útlm a jednej sekcie reťazca. V ďalšom sa obmedzíme na prípad, keď Z r 1 a Z r 2 sú isté odpory, alebo isté reaktancie a v takom prípade,,a,, je reálne číslo, alebo komplexné číslo s modulom 1. Analýzou rovnice (3) možno ukázať, že ak 1 < Z 1 /(4 Z 2 ) < 0, potom,,a,, je komplexné číslo s modulom 1 a ak Z 1 /(4 Z 2 ) > 1, alebo Z 1 /(4 Z 2 ) < 1, potom,,a,, je reálne číslo. Uvedené vlastnosti spínača sa dajú napísať v tvare: a = e kde,,y,, je reálne, alebo rýdzo-imaginárne číslo. Rovnicu (3) potom možno napísať v tvare: Uvážme jednotlivé prípady zvlášť: e y r e Z = cosh y = 1 + r 2 2Z y + y 1 (4) 2 a) Nech platí 1 < Z1/(4Z2) < O V takom prípade y = jβ, kde β je reálne číslo. Rovnica (4) prejde na tvar: e jβ r j + e β Z1 = cos β = 1 + r 2 2. Z 2 (5) Sekcia filtra má nulový útlm, a nastáva v nej fázový posuv. b) Nech platí Z1/(4Z2) > 1 Rovnica (4) prejde na tvar: 5

16 e α r + e α Z1 = cosα = 1 + r 2 2. Z 2 (6) Sekcia filtra má útlm a = e α, kde α je konštanta útlmu. Vzhľadom na to, že,,a,, je kladné, fázový posuv v sekcii filtra je nulový. c) Nech platí Z1/(4Z2) < 1 V tomto prípade je,,a,, záporné a možno ho napísať v tvare a =-e α (α je kladné) Rovnica (4) prejde na tvar e α r α 1 + e Z = cosh α = 1 + r 2 2. Z 2 (7) Rovnici (4) vyhovujú aj riešenia a = e γ = 1/a, t.j. riešenia typu e α, resp. e j β. Takéto riešenia odpovedajú prúdom, resp. napätiam budeným na druhom (nekonečnom) konci filtra. Reálne môže nastať taká situácia vtedy, ak reťazec je konečný a zakončený záťažou, ktorá má isté impedančné vlastnosti, o ktorých pojednáme neskôr. Na základe uvedených úvah, možno napísať rekurentný vzťah pre prúd r r v ľubovoľnej sekcii filtra. Ak v n-tej sekcii filtra tečie harmonický prúd: I n = I r r r m ( ) potom v n+m-tej (m = 1, 2, 3,...) sekcii tečie prúd:. 0 j ωt jm I = a I I. e n+ m n = n 0 n. e (8) jωt Tento výraz sa podobá na výraz pre prúdovú vlnu šíriacu sa na vedení so spojito rozloženými parametrami s tým rozdielom, že na vedení je diskrétne číslo,,m,, nahradené spojitou súradnicou,,z,, ktorá určuje smer šírenia vlny na vedení 2. 6

17 Charakter filtra určuje pomer Z1/(4Z2). Ak je tento pomer z intervalu 1 až O, filter je pásmový priepust bez útlmu v pásme priepustnosti, ak pomer je mimo uvedeného intervalu, filter je pásmová zádrž: Obr.4 Impedančné rozloženie Pre ďalšie úvahy treba presnejšie definovať pojem sekcia filtra, alebo článok filtra. Z obr. 3 vidieť, že reťazec možno na sekcie rozložiť dvojakým spôsobom, ktoré sú znázornené na obr. 4. Vzniknú tak sekcie, ktoré sa zo zrejmých dôvodov nazývajú Tčlánky ( T-sekcie ) a π- články ( π-sekcie ). Je tiež zrejmé že postupnosť ľubovoľného typu článkov spojených za sebou vytvára ten istý reťazec, takže prenosové vlastnosti odvodené vyššie platia pre obidva typy sekcií. Ak sa na vstup nekonečného reťazca zostaveného z T- článkov alebo π- článkov pripojí zdroj U/I = Z sa nazýva charakteristická impedancia reťazca. Táto impedancia má niektoré charakteristické zvláštnosti. Pomer Un/In= Z nameraný na ľubovoľnej sekcii nekonečného reťazca je veličina rovnaká pre ľubovoľnú sekciu filtra, a vyplýva zo skutočnosti, že v nekonečnom reťazci možno vypustiť ľubovoľný počet sekcií a pomer Un/In sa v zostatku reťazca nezmení. Od istej sekcie možno celý zostatok nekonečného reťazca nahradiť prvkom, ktorého impedancia sa rovná charakteristickej impedancii Z a zostatok reťazca si zachová pôvodné impedančné vlastnosti. Možno tiež nahradiť celý reťazec, s výnimkou prvej sekcie, prvkom s impedanciou Z ako na obr. 5a, kde Z t = Z a obr. 5b, kde Zπ = Z sú charakteristické impedancie reťazcov zostavených z T- článkov a π-článkov. 7

18 Uvedené úvahy vedú k záveru, že charakteristická impedancia reťazca je plne určená vlastnosťami jednej sekcie reťazca. Obr. 5a a 5b umožňujú vypočítať charakteristické impedancie obidvoch typov článkov a odpovedajúcich reťazcov. Z obr. r r r r r Z1 Z 2.( Z1 / 2 + Z t ) 5a vidieť, že: Z t = + r r r Z + Z / 2 + Z ) t Obr.5 Sekcie reťazca filtra Dôležitosť charakteristickej impedancie spočíva v skutočnosti, že ak chceme spojiť niekoľko reťazcových filtrov za sebou do jedného nehomogénneho filtra tak, aby filter neskreslil vlnu prechádzajúcu cezeň, musia mať tieto filtre rovnaké charakteristické impedancie. Impedancia záťaže takého filtra musí sa tiež rovnať charakteristickej impedancii spoločnej celému filtru. Ak táto požiadavka nie je splnená, vznikajú v reťazci odrazy energie, čo v konečnom dôsledku vedie k zníženiu energie odovzdávanej záťaži. Záťaž, ktorej impedancia sa rovná charakteristickej impedancii filtra sa nazýva prispôsobenou záťažou. Filter zakončený prispôsobenou záťažou rovnou charakteristickej impedancii Z t je znázornený na obr. 6 a je uvažovaný, ako by bol zostavený z T- článkov ABCD. Alternatívne ho však možno uvažovať zostavený z π-článkov A B C D, pričom musí byť stále prispôsobený. To znamená, že časť reťazca vpravo od C D znázornená na obr. 7a musí ma vstupnú impedanciu Z. Polčlánok T je teda transformátorom impedancie ZT na Z. Podobne druhý polčlánok na obr. 7b transformuje impedanciu Zπ na ZT. O transformačných vlastnostiach polčlánkov sa možno presvedčiť priamym výpočtom. 8

19 Obr.6 Zapojenie polčlánkov filtra V obmedzenom rozsahu možno takéto polčlánky využiť záťaže k filtru, ale ich význam spočíva hlavne pri návrhu kompozitných filtrov. na prispôsobenie Obr.7 Zobrazenie impedancie polčlánkov Vráťme sa ešte k rekurentnému vzťahu (8) pre prúdy v sekciách filtra. Formálne rovnaké vzťahy platia pre napätia v jednotlivých uzloch filtra. Tieto vzťahy predstavujú akési prúdové resp. napäťové vlny pozdĺž filtra. V pásme priepustnosti filtra výrazy pre prúdy a napätia na jednotlivých sekciách filtra sú tvaru: I r + = I r n m e 0 n. j.( ωt βm) kde 0 I n a U r + = U r n m e 0 n. j.( ωt βm) 0 U n n a komplexné amplitúdy prúdu a napätia v n-tej sekcii filtra. Ak uvažujeme prúd a napätie ako vlny potom je zrejmé, že takáto vlna sa pozdĺž reťazca šíri akousi fázovou rýchlosťou a doba tn ide do n+m potrebná na prechod konštantnej fázy medzi n-tou a n+m-tou sekciou vyplýva z podmienky φ = φ n+ m n. Na prenos fázy je teda potrebná istá doba tn ide do n+m, ktorá je úmerná po sekcii m. Reťazec pôsobí ako oneskorovacie vedenie. 9

20 3.1 DOLNO-FREKVENČNÝ PRIEPUST: Najjednoduchší dolno-frekvenčný priepust je LC- filter znázornený na obr. 2. Filter možno považovať za zostavený z T- článkov, alebo π - článkov pod a obr.8. Pre tieto články Z1 = jω L, Z2 = 1/jω C, takže: Obr.8 π a T článku r Z r 4. Z 2 r r 2 ω. L. = 4 1 C 2 ω. L r. C r Filter prepúšťa signály v pásme frekvencií ω, pre ktoré platí teda všetky signály od nulovej frekvencie, až po kritickú frekvenciu ω 1 = π 1 L r. C r Obr.9 Pásmo priepustnosti filtra 10

21 V pásme priepustnosti filtra je útlm nulový, a fázový posuv β v jednom článku 2 2 ω. L r. C r ω je daný výrazom: cos β = 1 = ω1 Mimo pásma priepustnosti filter prenáša s útlmom a konštantu útlmu α jedného ω článku je daná výrazom: cosα = 1 2. ω1 2 Obr.10 Horno-frekvenčný priepust T a π článku Obr.11 Závislosť frekvencie w Impedancia ZT je imaginárna v pásme frekvencii od 0 po ω 1, nad ω 1 rastie od 0 (Z klesá od nekonečna) po asymptotickú hodnotu. Grafické závislosti od frekvencie w sú znázornené na obr

22 3.2 PÁSMOVÝ PRIEPUST: Jednoduchý pásmový priepust možno zostaviť z T- článkov, alebo π - článkov podľa obr. 16. Jeho činnosť možno kvalitatívne posúdiť nasledovnou úvahou. Na veľmi nízkych frekvenciách impedancia sériového ramena T- článku je daná hlavne kapacitnou reaktanciou l/(2c1), takže článok sa chová ako kapacitný delič. Na frekvenciách vyšších ako je rezonančná frekvencia sériového ramena L-C1 je ω L > l/(ω C1), teda sériové rameno má induktívny charakter a filter pracuje ako dolnofrekvenčný priepust. Na veľmi vysokých frekvenciách filter znovu neprepúšťa signály vzhľadom na vysokú induktívnu reaktanciu sériového ramena a malú kapacitnú reaktanciu paralelného ramena s kapacitou C2. Kvantitatívna analýza poskytuje nasledovné výsledky. Obr.12 Pásmový priepust T a π článku Z uvedenej analýzy vyplýva, že filter zostavený z T-, alebo π - článkov podľa obr. 16 prepúšťa signály v pásme frekvencií ω < ω < ω bez útlmu, mimo uvedeného pásma pôsobí ako atenuátor. Na obr. 17 sú graficky znázornené závislosti od frekvencie. Charakteristické impedancie sú reálne v pásme priepustnosti filtra a rýdzo-imaginárne (isté reaktancie). Fáza b sa so zvyšovaním frekvencie mení od o po π. Uvažovaný pásmový priepust (a to platí pre všetky doteraz analyzované filtre) má dva základné nedostatky: a) charakteristické impedancie značne závisia od frekvencie, a znemožňujú prispôsobiť filter v širokom rozsahu frekvencií. 12

23 b) útlm filtra mimo pásma priepustnosti je takisto silne závislý od frekvencie a je nízky blízko hraničných frekvencií. Uvedené vlastnosti má každý prakticky realizovateľný filter, avšak vhodným výberom sekcií a prípadnou kombináciou s polčlánkami možno tieto nedostatky do značnej miery redukovať. Príkladom pásmovej priepuste s výrazne lepšími vlastnosťami je filter, ktorého T- a π - články sú znázornené na obr. 18. Filter vznikne preložením horno-frekvenčnej a dolno-frekvenčnej priepuste cez seba, takže pri dolnej hraničnej frekvencii sa prejavuje ako horno-frekvenčný priepust a pri hornej hraničnej frekvencii má vlastnosti dolno-frekvenčnej priepuste. Sériové rameno filtra je sériovým rezonančným obvodom s nulovou rezonančnou impedanciou a paralelné rameno je paralelným rezonančným obvodom s nulovou rezonančnou admitanciou. a) b) Obr.13 Závislosti rezonancie Obr.14 Rezonancie T a π článku V praxi je dôležitý prípad, ak obidve ramená sú v rezonancii pri spoločnej 13

24 frekvencii. Položme teda r L r L 1 2 r C = r C 1 2 = m 2 a. b. Obr.15 Závislosť α, β, Z π, Z od frekvencie ω T 3.3 PÁSMOVÁ ZÁDRŽ Pásmovými zádržami sú T- články a π - články zobrazené na obr. 20, kde paralelné a sériové ramená pásmovej priepuste na obr. 18 sú navzájom vymenené. Takáto pásmová zádrž je tiež kombináciou dolno-frekvenčnej a horno-frekvenčnej priepuste. Tu sa však pásma priepustnosti neprekrývajú, takže vznikne frekvenčný interval ω 1 a ω 2, v ktorom je filter nepriepustný. Keďže teória a výpočet pásmovej zádrže a priepuste sú analogické, uvádzame iba výsledné vzťahy opisujúce vlastnosti a výpočet parametrov pásmovej zádrže. Obr.16 Pásmová zádrž 14

25 a) b) Obr.17 Fáza β v pásmach priepustnosti 3.4 NIEKTORÉ PROBLÉMY PRISPÔSOBENIA FILTROV V našich úvahách sme doteraz stále predpokladali, že uvažovaný filter je zakončený prispôsobenou záťažou rovnou charakteristickej impedancii filtra teda hodnotám Z t, alebo Z π, čo umožnilo pomerne prehľadne opísať vlastnosti jednotlivých filtrov. Vo všetkých prípadoch sme však videli, že charakteristická impedancia je veličina, ktorá viac alebo menej závisí od frekvencie a teda aj záťaž ak má byť prispôsobená, musí mať rovnaké vlastnosti. Takáto záťaž je v praxi len veľmi ťažko realizovateľná, alebo vôbec nemožná. V praxi ako záťaž obyčajne slúži reálny odpor nezávislý od frekvencie, takže prispôsobenie je možné iba pri jednej, alebo niekoľkých diskrétnych frekvenciách. V tejto súvislosti sa naskytujú dve otázky. 1) Ako (ak je to vôbec možné) treba vybrať záťažovú impedanciu Zz, aby odchýlka od ideálneho prispôsobenia Zz= Zt (pre T- článok) bola najmenšia? 2) Aké sú následky nevyhnutného narušenia podmienky Zz = Zt? Na prvú otázku odpovieme s využitím vlastnosti dolno a horno-frekvenčnej priepuste. Tieto filtre majú charakteristickú impedanciu R= ( L / C) pri nulovej frekvencii (dolno-frekvenčný priepust) a pri nekonečnej frekvencii (horno-frekvenčný priepust). V oblasti blízko hraničnej frekvencie ω 1 sa impedancia prudko mení 15

26 s frekvenciou. Ak chceme dosiahnuť aspoň približné prispôsobenie v istom frekvenčnom pásme, musí byť toto pásmo dostatočne ďaleko od hraničných frekvencií. To znamená, že záťaž volíme z malého okolia hodnoty ( L / C) menšej, alebo väčšej, podľa typu článku). Prispôsobenie sa porušuje s mierou priblíženia sa k hraničnej frekvencii. Druhá otázka si vyžaduje podrobnejšiu analýzu. Ak záťaž Zz Zo (Zo je charakteristická impedancia T-, alebo π - článku).vzťah medzi výstupným a vstupným napätím (alebo prúdom) jedného článku možno nájsť z teórie štvorpólov. Využijeme však radšej znalosti z teórie dlhých vedení, na ktorých sa napätia a prúdy po dĺžke vedenia transformujú podľa známych pravidiel. Na dĺžke l vedenia s koeficientom šírenia vlny sa výstupné napätie transformuje r r U VST ZV podľa vzťahu: r = cosh γl + r. sinh γl U Z VÝST kde Zv je vlnová impedancia vedenia. Článok filtra možno tiež považovať za,,vedenie, po ktorom sa šíri vlna s útlmom α, alebo s fázou β. Z výrazu pre útlm v pásme priezračnosti filtra vidieť, že jeho absolútna hodnota pri Zz Zo je väčšia alebo menšia ako 1, podľa charakteru záťaže. Aplikujme tieto výsledky na T- článok dolno-frekvenčnej priepuste, zaťaženej impedanciou Zz. VÝST V pásme priepustnosti: Obr.18 Pásmo priepustnosti r r r L Z = Z t = r C ω ω

27 Obr.19 Modul koeficientu prenosu Závislosť modulu koeficientu prenosu na frekvencii ω pre n = o,5, 1 a 2 je znázornená na obr. 24. Vidíme, že prenos je citlivo závislý od záťaže a aj pre Zz = L. C (n = 1) sa modul v pásme priepustnosti značne odchyľuje od hodnoty 1. Naopak, ak Zz = Zt, potom v celom pásme priepustnosti a = 1 a mimo pásma priepustnosti: a r 1 = 2x x.( x 1) Vplyv nevyhnutného neprispôsobenia je krajne nepríjemný z dvoch príčin. Predovšetkým z praktického hľadiska sa zjavne zhoršujú charakteristiky filtra a znižuje sa efektívnosť prenosu signálov. Z teoretického hľadiska neprispôsobenie značne komplikuje teóriu, stráca sa kompaktnosť výsledkov a znižuje sa ich prehľadnosť, čo je hlavnou prednosťou teórie v jej elementárnej podobe. Okrem toho treba dodať, že pri výpočte reálneho filtra treba počítať aj s aktívnymi odpormi súčiastok, čo sme v našej teórii zanedbávali. Ak sa tieto okolnosti vezmú do úvahy, potom sa teoretické vzťahy komplikujú natoľko, že priamy výpočet filtrov je nemožný a robí sa pomocou rôznych dopredu vypracovaných grafov, nomogramov a tabuliek. V poslednej dobe neoceniteľnú službu poskytujú počítače. Napriek týmto problémom elementárna teória má svoju hodnotu. Jej cena spočíva v tom, že poskytuje všeobecnú orientáciu v otázkach týkajúcich sa činnosti a štruktúry filtrov. 17

28 Obr.20 Štruktúra a priebehy filtrov Na druhej strane sa netreba obávať, že charakteristiky filtrov sa beznádejne devalvujú neprispôsobením. Použitím kombinovaných sekcií pozostávajúcich z vhodne vybraných prvkov prípadne aj elektromechanických filtrov možno projektovať a konštruovať filtre s potrebnými technickými parametrami. Zostáva ešte posúdiť otázku výberu filtrov pre konkrétne účely z hľadiska frekvenčnej závislosti ich charakteristickej impedancie. Aj keď filtračné vlastnosti T- a π - článkov filtra sú rovnaké, ich charakteristické impedancie sa diametrálne líšia a to v pásme priepustnosti, aj mimo neho. Filter teda môže impedančne ovplyvniť zdroj signálu aj vtedy, ak je zakončený prispôsobenou záťažou. Postup pri výbere typu článku objasníme na nasledujúcom príklade. Po vedení (napr. televíznom rozvode) sa šíri signál nízkej (VHF) a vysokej (UHF) frekvencie. Tieto signály treba oddeliť tak, aby sa primárne vedenie impedančne neovplyvnilo. Pokiaľ neberieme do úvahy impedančné vlastnosti filtrov, možno to urobiť štyrmi spôsobmi pod a obr. 25. Filter A prepustí iba signály VHF a pre UHF má relatívne vysokú vstupnú induktívnu reaktanciu XL, takže podstatne neovplyvní primárne vedenie. Filter B síce tiež prepusti iba signály VHF, avšak jeho kapacitná reaktancia XC pre signály UHF je nízka, čo má neblahý vplyv na primárne vedenie (kapacitný skrat). 18

29 Filter C prepustí iba signály UHF a pre VHF má vysokú kapacitnú reaktanciu XC teda je vhodný na filtráciu. Nakoniec filter D s nízkou induktívnou reaktanciou XL je na oddelenie UHF signálov nevhodný. 4. OBVODY ZO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Od pasívnych filtrov k integrovaným filtrom SC: Obvody so spínanými kapacitormi vznikli v dôsledku historického vývoja kmitočtových filtrov od pasívnych filtrov RLC až po aktívne plne integrované filtre ARC. Induktory boli dlho nezastupiteľným prvkom v realizácii kvalitných kmitočtových filtrov. Často sú však rozmerovo nevyhovujúce a stratové a nie sú fyzikálne prispôsobené pre miniaturizáciu. Preto sa začiatkom 60. rokov vo väčšej miere objavili snahy o náhradu induktoru aktívnymi prvkami. Tak vznikli aktívne RC filtre. Vznikom ARC filtrov padla vážna prekážka pre miniaturizáciu filtrov do podoby integrovaného obvodu. Prvé integrované filtre boli nf filtre v podobe hybridných integrovaných obvodov, ktoré obsahovali monolitické operačné zosilňovače, kapacitné čipy a hrubo-vrstvové rezistory. Vývoj však šiel ďalej. Ďalším krokom k miniaturizácii bola realizácia monolytického, vtedy plne integrovaného filtra. V oblasti finančných aplikácií jednoznačne zvíťazila technológia MOS pred bipolárnou technológiou pre svoje niektoré prednosti, hlavne možnosť jednoduchého vytvárania kvalitných kapacitorov. Táto technológia však tiež priniesla niektoré problémy. Prvým problém súvisel s neefektívnym využívaním plochy čipu IO rôznymi súčiastkami filtru. Vzhľadom k celkovej ploche čipu sa MOS kapacitory nevyrábajú väčšie než okolo 100 pf, typická hodnota je pod 10 pf a je treba rezistor R=10 7 Ω.Takýto rezistor však zaberá veľkú plochu čipu IO. Preto vidíme, že na tvorbu časovej konštanty RC sa odporový i kapacitný prvok podieľajú symetricky, zaberané plochy čipu sú však v pomere 1:50. Ďalším problémom je to, že MOS kapacitory sú nelineárne. Navyše v možnostiach MOS technológie je výroba kapacitorov a rezistorov s presnosťou 5-20%.Preto celková chyba časovej konštanty RC môže byť až 40%. 19

30 Oba tieto problémy boli prekonané originálnym spôsobom, ktorý by sme mohli prirovnať k myšlienke prechodu od RLC filtrov ku ARC filtrom. Problémový prvokrezistor sa nahradí syntetickým-spínaným kapacitorom. Kapacitor v spolupráci s periodicky riadenými polovodičovými spínačmi je zapojený tak, že odoberá elektrický náboj z danej brány a mimo túto bránu sa vybíja, takže stimuluje tepelné straty podobne ako pevný rezistor pripojený k tejto bráne trvalo. Spínače sa synchrónne prepínajú medzi stavy 1 a 2, tak nabitý kapacitor k batérii je vždy sa striedajúci s polaritou napätia. Prepínanie sa deje s periódou T. Po dobu trvania jednej spínacej fázy sa z batérie odoberie elektrický náboj Q, ktorý je rovný súčtu kapacity C a rozdielu napätia na kapacitore na začiatku a na konci spínacej fázy. Veličina Q/T potom udáva priemerný elektrický prúd odoberaný z batérie behom spínacej fázy. Obr.21 Aktívne RC filtre 20

31 Aktívny filter RC môže byť modifikovaný na aktívny filter SC náhradou všetkých rezistorov spínanými ekvivalentami. Predpokladajme, že v integrovaných filtroch SC sa hodnoty pracovných kapacít pohybujú okolo 5 pf. Odpor spínača MOS v zopnutom stave býva pomerne veľký okolo 1 k Ω.Časová konštanta prebíjania vychádza cca 5 ns. Vezmeme do úvahy, že doba potrebná na plné nabitie kapacitora asi 7 časových konštánt v rámci chyby 0,1% zistíme, že súčasné obvody MOS môžu byť navrhnuté pre vzorkovacie frekvencie fs=1/ts do desiatok MHz. Časová konštanta filtru bude daná vzťahom: RC = Ts. C C R Závisí na vzorkovacej perióde, ktorá môže byť riadená zo stabilného oscilátora a na pomere dvoch kapacít. Zatiaľ hodnota kapacity kapacitoru MOS môže byť vyrobená s presnosťou 5-20%, pomer dvoch kapacít možno vyrobiť s presnosťou zlomku percenta. Dosiahnuteľná presnosť časovej konštanty je teraz okolo 0,05-1%.Je tomu tak, pretože väčšina zdrojov chýb ovplyvňuje kapacitory, ktoré sú umiestnené na spoločnom čipe, rovnakým spôsobom. Pomery kapacít sú málo závislé i na zmenách teploty a starnutí čipu. Vo vzorci je obsiahnutá informácia a ďalšie pozoruhodné vlastnosti filtrov SC. Odpor simulovaného rezistoru možno plynule riadiť vzorkovacími periódami. Ak sú takto riadené synchrónne všetky spínané kapacitory vo filtri, tak to v konečnom dôsledku znamená možnosť elegantného prelaďovania filtru, t.j. posuv logaritmickej frekvenčnej charakteristiky po frekvenčnej osi bez zmeny tvaru charakteristiky. Tieto cenné vlastnosti SC filtrov sa v praxi hodne využívajú. Zatiaľ sme hovorili o výhodách, ktoré poskytuje spínaný kapacitor oproti pevnému rezistoru. Skúsenosť však ukazuje, že každá výhoda býva obyčajne nevýhodami v inej oblasti. Aké sú teda nevýhody filtrov SC oproti klasickým filtrom? Uveďme dve principiálne nevýhody: Náhrada pevného rezistora nie je presná. Filter ARC pracuje spojite v čase, zatiaľ čo filter SC impulzívne. V dôsledku prudkého prebíjania kapacitora majú napätia v SC 21

32 filtroch schodový charakter. Pokiaľ je vzorkovací kmitočet ďaleko vyšší ako kmitočet spracovávaného signálu, potom tento vzorkovací efekt nie je dôležitý. V niektorých aplikáciách je však nutné výstupný signál SC filtra vyhladiť klasickým nf filtrom. Druhou principiálnou nevýhodou SC filtrov oproti klasickým filtrom je to, že v dôsledku vzorkovania prechádzajúceho signálu musí byť splnená podmienka vzorkovacieho teorému: f S f PRAC 2 Kde f PRAC je frekvencia spracovaného signálu a fs je vzorkovacia frekvencia. Oblasť pracovných kmitočtov je tak zhora limitovaná u technológie MOS rádovo na jednotky MHz. V prípade, že chceme obmedziť vplyv efektu vzorkovania, však musíme voliť f = / 50 až f / 100.Potom dostávame hranicu rádovo 100 KHz. Pri PRAC f S S realizácii SC filtrov z diskrétnych súčiastok, keď najrýchlejšie dostupné analógové spínače pracujú do kmitočtu rádovo jednotky MHz, možno počítať s pracovnými frekvenciami iba do desiatok khz. K týmto principiálnym obmedzeniam potom pristupujú prejavy niektorých parazitných vlastností komponentov spínaných obvodov. K najzávažnejším patrí prenikanie spínacích impulzov cez medzielektródové kapacity spínačov do analógovej cesty. Toto prenikanie sa prejavuje nielen v prítomnosti aditívneho rušenia na výstupe filtra, ale i v možnej degradácii kmitočtovej charakteristiky. Pretože v súčasných integrovaných filtroch sú obsiahnuté pomerne účinné kompenzačné obvody, ukazujú SC filtre všobecne horšie šumové vlastnosti ako klasické filtre. Pretože podstatná časť šumového výkonu leží v oblasti vyšších kmitočtov ako spektrum užitočného signálu, možno šumové pomery vylepšiť jednoduchou postfiltráciou. 5.1 PRÍKLADY AKTÍVNYCH SC FILTROV: K jednoduchým metódam návrhu SC filtrov z analógového prototypu patrí náhrada všetkých rezistorov ich spínanými ekvivalentami.obr.3. ukazuje princíp takéhoto prístupu. Na obr.a. je uvedená známa schéma eliptickej dolnej priepuste 2.rádu s tromi operačnými zosilňovačmi. Stredný zosilňovač slúži len ako invertor a spolu s ďalším stupňom tvorí neinvertujúci integrátor. Ak odoberáme navyše signál z výstupu prvého alebo druhého zosilňovača, chová sa filter ako pásmový priepust. 22

33 Na obr.b. je odvodená schéma SC filtra. Rezistory sú nahradené spínanými kapacitormi, ktorých kapacity sa prepočítajú zo vzorcov uvedených v obr.22. Invertor je možné celkom vypustiť vďaka vhodnému fázovému spínaču C R 2. Uvedený príklad môže byť zdrojom rady otázok a nejasností, napríklad pokiaľ ide o fázovanie spínačov. Pri náhrade jednotlivých rezistorov spínanými kapacitormi by totiž malo byť dané pravidlo, aké majú byť stavy spínačov voči sebe u každého nahradzovaného rezistora. Otázka fázovania nie je vôbec jednoduchá. Bežný užívateľ integrovaného SC filtra ju našťastie nemusí riešiť. Na základe predchádzajúcej ukážky by mohol vzniknúť mylný názor, že SC filtre sú zvláštne analógové filtre, ktoré vznikajú náhradou rezistorov spínanými kapacitormi. Ukazuje sa však, že SC obvody vynikajú radou jedinečných vlastností, ktorých popis nepatrí do sveta klasických analógových obvodov. Možno vytvoriť takú konštaláciu bežných obvodových prvkov a spínačov, ku ktorej by sme zbytočne hľadali adekvátny analógový ekvivalent. Obr.22 SC obvody Pozoruhodnou vlastnosťou SC obvodov môže byť,,časovo multiplexované chovanie, t.j. schopnosť chovať sa rôzne v rôznych spínacích fázach. Znamená to, že SC filter s dvojfázovým spínaním sa môže z hľadiska jediného páru,vstup-výstup, chovať 23

34 ,,súčasne ako napríklad pásmový i horný priepust. Požadovaný výstup možno vybrať správne riadeným spínačom na výstupnej bráne. 5. ANALÝZA OBVODOV SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI METÓDOU UZLOVÝCH NAPÄTÍ A LINEÁRNEJ TRANSFORMÁCIE SÚRADNÍC. 5.1 KAPACITOR V SPOJITOM A VZORKOVACOM REŽIME: Predpokladajme, že kapacitor je súčasťou obvodu pracujúceho vo vzorkovacom režime. V tomto ideálnom obvode s SC nie sú odporové prvky a tak sa kapacitor nabíja okamžite vzorkou injektovaného náboja. Obr.23 Časový priebeh náboja, napätia a prúdu v obvode so vzorkovacím režimom práce Náboj, ktorý prešiel uvažovanou vetvou je diskrétny a možno ho popísať vzťahom: Vzorec q( nτ ) = q ( t) ( t nt) n= c δ Kde τ je perióda vzorkovania a δ je Diracova distrubcia. Hodnota tohto náboja zodpovedá prírastku akumulovaného náboja. Ak perióda vzorkovania je ďaleko menšia než perióda spracovaného signálu, možno predpokladať, že náboj a napätie sa behom τ 24

35 nemení. Potom možno časovú deriváciu nahradiť konečnými prírastkami za periódu τ a platí: r C τ ( n) = [ u( n) u( n 1) ] i.. K ďalšiemu popisu kapacitnej vetvy však budeme používať odpovedajúce diskrétne vetvové napätie. Potom vetvu obvodu s SC popisujeme jednotne iba v diskrétnych okamžikoch vzorkovacím napätím a vzorkovacím nábojom resp. reláciami medzi nimi. 5.2 ANALÓGIA POPISU OBVODOV: Vetvu analógového obvodu popisujeme Laplaceovými obrazmi obvodových veličín a vzťahom medzi nimi. Obr.24 Vetva obvodu v spojitom a vzorkovanom režime práce Analogicky u obvodov so spínanými kapacitormi prevedieme transformáciu z obvodových veličín a vetvu s SC popíšeme rovnicou: r r r Q( z) = C( z). U ( z) Pri popise analógového pasívneho obvodu metódou uzlových napätí vychádzame z 1.Kirchhoffovho zákona, ktorý možno popísať v tvare: 25

36 A.Iv=0 Kde A je incidenčná matica nezávislých uzlov a vetiev a Iv je vektor vetvových prúdov. Zavedieme súhlasne orientovanú sústavu uzlových napätí U a uzlové prúdy I: I=A.(I0-Yv.U0) A získame výsledný vzťah v jednoduchom tvare: I=Y.U admitancií Yv. Kde admitančnú maticu obvodu Y vypočítame z diagonálnej matice vetvových Vzťah sa zjednoduší, ak sústava obsahuje iba nezávislé zdroje prúdu I0.Metódu uzlových napätí modifikujeme na obvody so spínanými kapacitormi tak, že prechádza v zákon zachovania náboja. Podobne ako v predchádzajúcom prípade zavedieme uzlové napätia U(z)a uzlové náboje Q(z) budú najčastejšie určené iba nezávislými zdrojmi nábojov Q(0), vtedy U0=0.Potom obvod s SC možno popísať sústavou uzlových nábojových rovníc, zapísaných stručne v maticovom tvare Q(z)=C(z).U(z) Kapacitná maticová sústava C(z)je daná podobne: C(z)=A(z).Cv.A(z) Kde Cv je diagonálna matica vetvových kapacít. Incidenčná matica A(z) je však v tomto prípade závislá na spínaní a mení sa s časom. 5.3 ČASOVANIE SPÍNAČOV: Najjednoduchší spôsob spínania, na ktorý sa obmedzíme, je dvojfázové spínanie, kedy spínacie impulzy sa neprekrývajú a ich pomer je 1:1.V obvode potom periodicky 26

37 nastávajú dva stavy L a S, dané zopnutím spínačov S 1 alebo Ss a tým i zmenou topológie obvodu. Každé zopnutie má za následok vznik vzorku injektovaného náboja. Medzi periódou spínania T a periódou vzorkovania τ platí: T=2. τ V praxi častejšie pracujeme s periódou spínania T a tak sa stala základom i pri odvodzovaní nábojových rovníc. Zopnutie spínačov Ss nastane v okamihu t= k.t v obvode stav S, ktorý možno popísať odpovedajúcimi vzorkami náboja Qs (n) a vzorkami napätia Us(n).Podobne v čase t=(k-1/2).t nastane v obvode druhý stav L. Spínače Sl sú zopnuté a Ss rozopnuté. Obvod je popísaný vzorkami napätia Ul (n) a náboja Ql (n). 5.4 ZOSTAVOVANIE UZLOVÝCH NÁBOJOVÝCH ROVNÍC: Pre zostavenie sústavy uzlových nábojových rovníc vo všeobecnom dvojfázovom tvare na celý obvod, použijeme uvedenú metódu uzlových napätí, kedy vplyv spínačov a aktívnych prvkov bude podchytený kombinovanou transformáciou súradníc s redukciou. Kapacitnú maticu obvodu s SC budeme zostavovať postupne. Najprv budeme uvažovať jednoduchý pasívny obvod. Takýto obvod s SC rozdelíme na subobvod C, obsahujúci iba kapacitory a subobvod S, obsahujúci iba spínače. Celkový priebeh rady vzoriek náboja Q(n) respektíve napätia U(n) dostaneme spätne superpozíciu párnych a nepárnych vzoriek. 27

38 Obr.25. Pasívny obvod so spínanými kapacitormi a jeho rozloženie na subobvod C(b) a subobvod S(c) Pre párne vzorky náboja injektovaného do kapacitnej vetvy možno písať: Podobne potom pre nepárne vzorky: Nábojové rovnice prevedieme do Z-transformácie a upravíme ich do maticového tvaru, ktorý popisuje kapacitnú vetvu obvodu v spínanom dvojfázovom režime. 5.5 ZOSTAVENIE KAPACITNEJ MATICE SUBOBVODU C: Nespínaný subobvod C popíšeme admitančnou maticou Y a to buď pomocou incidenčnej matice A, alebo najlepšie priamo z obvodu algoritmom uvedeným v (3).V matici Y vynecháme operátor p= j.ω a dostaneme kapacitnú maticu pasívneho, nespínaného subobvodu C. 28

39 5.6 OBVODY SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI A AKTÍVNYMI PRVKAMI: Ak obvod s SC obsahuje aktívny prvok, ktorý určuje MUN neregulárny, prevedieme úpravu kapacitnej matice C na Ca pomocou odpovedajúcej transformácie a redukcie súradníc. Neregulárne prvky možno považovať za transformátory súradníc, pretože u nich je jednoznačne definovaný vzťah medzi bránovými napätiami a iný vzťah medzi bránovými prúdmi. Pre IZN platí: Ub=A.Ua,Ia=0 Pripojenie takéhoto prvku k regulárnej časti obvodu spôsobí transformáciu a redukciu súradníc vyjadrenú grafom T.V maticiach možno transformáciu pôvodnej kapacitnej matice C na novú Ca, zachytávajúcu vplyv pripojenia aktívnych neregulárnych prvkov, vyjadriť všeobecným vzťahom: Ca= Ti.C.Tu Kde T sú rôzne transformačné matice prúdu a napätia. 5.7 REŠPEKTOVANIE FUNKCIE IDEÁLNYCH SPÍNAČOV: Takisto vplyv spínačov možno popísať vhodnou transformáciou súradníc kombinovanú s redukciou. Ak spínač pripojený medzi uzly i a j zopne, dôjde ku stotožneniu uzlových napätí Ui a Uj. Jedno sa stáva závislé a je nutné ho redukovať. Náboje Qi a Qj sa sčítajú v náboj Qij, čím sa počet uzlových nábojových rovníc v sústave zníži o jednu. 29

40 Obr.26 Spínače a ich transformačné grafy V matici C sa to prejaví sčítaním riadkov a stĺpcov i, j a vynechaním jedného z nich. Transformácia zachytávajúca vplyv všetkých spínačov: Cs=Si.C.Su Kde Su a Si sú transformačné matice napätia a prúdu. Tieto matice sú rôzne pre párny stav S a nepárny stav L, kde sú zopnuté všetky spínače, preto matice S označíme ďalším indexom. Napäťové transformačné matice Su zostavíme z rovníc vyjadrujúcich vzťah medzi pôvodnými napätiami: pred zopnutím spínačov a novými napätiami po zopnutí. Potom platí: U =Su.U 5.8 URČENIE OBVODOVÝCH ROVNÍC: Z uzlových nábojových rovníc možno vypočítať hľadané uzlové napätia, poprípade určiť požadované obvodové funkcie, a to nielen v danej fázy S alebo L, ale i medzi nimi napr. napäťový prenos. 30

41 Určenie obvodových funkcií pre predošlé príklady nemá prílišný význam, pretože príklady boli volené iba pre dokonalú praktickú ilustráciu uvádzané modifikované MUN a nemajú praktické využitie. Preto bol vybraný jednoduchý obvod s SC a OZ. Obr.27 Jednoduchý praktický obvod so spínanými kapacitormi a operačným zosilňovačom Našou úlohou je určiť prenosy napätia Kss a Ksl. Ďalšie dva nemajú význam určovať, pretože Q01=0 a U1=0. Kapacitné matice a sústavy uzlových nábojových rovníc popisujúcich tento obvod zostrojíme tak ako v predchádzajúcom prípade, pomocou grafu T na obr.10. Podobný výsledok dostaneme, ak uvážime i vnútorný uzol zdroja 5 s tým rozdielom, že odpovedajúci riadokq01 a stĺpec U1 obsahujú samé nulové prvky a pri určovaní determinantu je nutné ich vypustiť. Z predchádzajúcej rovnice určíme požadované napäťové prenosy: 31

42 6. SYNTÉZA PRVKOV SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Pre konštrukciu filtrov so spínanými kapacitormi sa požaduje previesť návrh jednotlivých prvkov filtru ako rezistorov, induktorov a dvojných kapacitorov so spínanými kapacitormi. Ďalej sa požaduje, aby realizácia týchto prvkov bola na základe určitého typu transformácie medzi p a z, napr. LDI, bilineárnej atď. Z uvedeného vyplýva, že treba formulovať požiadavky na daný prvok danou transformáciou, napr. vyjadriť ich určitou rovnicou. Ďalším krokom je potom návrh zapojenia odpovedajúceho prvku. Vhodná formulácia požiadaviek uľahčuje vlastný návrh obvodu. Je známa už rada prvkov so spínanými kapacitormi. K ich návrhu sa došlo rôznymi postupmi, napr. z diferenčných rovníc v časovej oblasti, z podobných obvodov aktívnych filtrov RC atď. Cieľom je ukázať metódu syntézy týchto prvkov na základe požadovaného priebehu náboja v oblasti z predaný typ transformácie medzi p a z a požiadavky na tieto prvky stanoviť pri konštantných hodnotách budiacich napätí. 6.1 PRÍSTUP K SYNTÉZE PRVKOV SO SPÍNANÍMI KAPACITORMI K syntéze jednotlivých prvkov so spínanými kapacitormi ako napr. rezistorov, induktorov a dvojných kapacitorov, môžeme pristúpiť z požadovaného priebehu náboja Q(z) pre danú transformáciu p-z. Tento priebeh náboja môžeme stanoviť pre konštantnú hodnotu pôsobiaceho napätia u=konšt. 32

43 Ak uvažujem U = konšt.., tak nám z rovníc vyplynú požiadavky na priebeh náboja pre daný prvok pri U = konšt. Túto okolnosť treba chápať tak, že stanovujeme požiadavky na Q(z) prvku so spínaným kapacitorom tak, aby mal určité vlastnosti pri u= konšt., ktoré odpovedajú skutočným vlastnostiam prvku. 6.2 NÁVRH PRVKOV SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI Najskôr si ukážeme realizáciu rezistora Priebeh náboja pri pôsobení napätia U znamená, že pri prvom zopnutí v čase t=0, odoberie kapacitor zo zdroja napätím U, náboj Q= C. u, čo sa opakuje i v časoch nt(n=1,2,...). Aby došlo k uvedenému priebehu Q(z), tak vždy medzi dvomi nabitiami je nutné kapacitor vybiť. Takúto funkciu musí zabezpečiť spínací obvod, ktorý môže byť realizovaný napr. spínačmi MOS. Spínací obvod pre uzemnený rezistor vrátane spínaného kapacitora. Obr.28 Rezistor so spínaným kapacitorom a. uzemnený b. neuzemnený 33

44 Obr.29 Zapojenie uzemneného induktora so spínanými kapacitormi a ekvivalentného induktora Priebeh náboja induktora je: Ďalej ukážeme návrh dvojného kapacitora. Pre tento obvod platí, že priebeh náboja je: Z toho vyplýva, že pri prvom zopnutí sa kapacitor nabije nábojom Q =C. U, pri ďalšom zopnutí sa kapacitor vybije a ďalej sa už pri U = konšt. nenabíja. Takýto priebeh náboja zabezpečíme tak, že kapacitor sa nabije zo zdroja cez výstup ideálneho zosilňovača napätia. Obr.30 Dvojný kapacitor so spínanými kapacitormi a ekvivalentný dvojný kapacitor Pred ďalším zopnutím sa na vstupe zosilňovača nabije pomocný zdroj napätia, ale cez ideálny zosilňovač napätia, aby sa pritom neodoberal zo zdroja náboj, čo by sa prejavilo ako straty. Pri ďalšom zopnutí sa kapacitor vybije, lebo sa zapojí medzi dve rovnaké napätia, čo si vynúti nulové napätie na kapacitore. Pri ďalších zopnutiach sa už kapacitor nenabíja, lebo na vstupe zosilňovača zostáva nabitý kapacitor. 34

45 Vzhľadom k tomu, že v polohe 1 pracuje len druhý zosilňovač a v polohe 2 pracuje len prvý zosilňovač, je možné použiť len jeden zosilňovač, ale viac spínačov, čo je trend pri realizácii filtrov so spínanými kapacitormi. Ďalej je návrh rezistoru podľa bilineárnej transformácie daný vzťahom: Skutočný priebeh napätia u zapojenia je: Tento náboj zodpovedá dvojnásobnému spínaciemu kmitočtu. 7.ROZBOR OBVODU INDUKTORU SO SPÍNANÝMI KAPACITORMI: 7.1.ROZBOR OBVODU PRE REALIZÁCIU INDUKTORU SO SPÍNANÝM KAPACITOROM Obr.31 Vetva obvodu s kapacitorom Uvažujme vetvu s kapacitorom C, na ktorom je v čase t akumulovaný náboj q(t) podľa obrázka 31. Hodnotu náboja q(t) na kapacitore C môžeme pre danú hodnotu t vyjadriť z rovnice: q(t)=c.[u(t)-u(0)] u(0)- napätie na kondenzátore v čase t=0 Predpokladajme, že kapacitor nie je nabíjaný spojito v čase t, ale prúdom podľa priebehu prepínacieho signálu f p pre pomer t i /T=1/2, potom pre prúd platí: i(t)=i.(n.t i ).d.(t-nt) 35

46 kde: d.(t-nt)-je rad, ktorý vychádza z Kronekerovej delty Ak zaistíme, aby perióda T bola podstatne kratšia ako rýchlosť zmien napätia privedeného na kapacitor, potom pre i(t): i(t)=c/t.[u(t)-u(t-t/2)] Indukčnosť L môžeme simulovať funkčným blokom, ktorý vychádza z rovnice: u(t)=t/c.[i(t-i(t-t/2)] V tom prípade simulovaná indukčnosť bude mať hodnotu: L=T 2 /C, T 2 =1/f 2 L=L EKV L EKV= T 2 /C=1/f S 2.C kde: L EKV je hodnota ekvivalentnej indukčnosti simulovaná obvodom. Obr.32 Zapojenie uzemneného induktora so spínanými kapacitormi Niektoré obvody mali nevýhodu v tom, že mali zle navrhnutý kondenzátor C 3, ktorý sa mohol nabíjať na vstupné napätie, čím mohlo dôjsť k prídavnému náboju, čo sa potom 36

47 mohlo prejaviť ako nežiaduci prídavný rezistor. Tento nedostatok môžeme odstrániť tak, že kapacitor C 3 sa bude vybíjať pripojením medzi vstup a výstup IOZ so zosilnením A u =1.Na základe týchto úvah môžeme navrhnúť zapojenie podľa predchádzajúceho obrázka. Obr.33 Obvod pre simuláciu induktoru so spínanými kapacitormi Spínače a, b sú striedavo prepínané. Pritom kapacitor C 1 príjme náboj C 1.U 1 (n) a zmení jej prúd, ktorý je oneskorený a invertovaný v zapojení OZ a C 2.Kapacitor C 3 potom integruje diferenčné rozdiely medzi priamym a oneskoreným prúdom. Výpočtom v oblasti premennej,,z,, možno odvodiť náhradnú schému simulovaného induktora, pre ktorý platí: L EKV =(T 2.C 2 )/(C 1.C 2 ) 7.2.Náhrada induktora u filtra dolný priepust Pre overenie záveru teórie náhrady induktora pomocou obvodu so spínanými kapacitormi bol zvolený jednoduchý filter LC dolný priepust. Pre porovnanie bol zostrojený dolný priepust LC z klasických prvkov, t.j. cievky L a kondenzátora C. 37

48 Potom pre medznú frekvenciu pre prispôsobený filter dolná priepusť platí praktický vzťah: f m =1/2.π.L.C kde: f m je medzná frekvencia filtra Pre náhradu indukčnosti bol zvolený obvod podľa obr.33.spínače boli realizované pomocou dvoch obvodov s malými hustotami integrácie MH 2009 A. Pre spínanie obvodov bol navrhnutý zosilňovač spínacieho signálu, ktorý je tvorený tranzistormi V 6 a V 7.Obvod V 4 slúži pre úpravu vstupného signálu. Operačný zosilňovač V 3 je jednotkový zosilňovač. Klasický dolný priepust LC a dolný priepust, v ktorej bol induktor nahradený obvodom so spínanými kapacitormi, bola realizovaná ako učebná pomôcka, ktorú je možno využiť ako laboratórnu pomôcku v predmete Teória obvodov. 38

49 7. ZÁVER Bakalárska práca sa skladá z dvoch častí: 1. z teoretickej časti 2. z technickej realizácie prípravku Pri riešení problému náhrady klasických prvkov v štruktúre jednoduchého LC filtra dolný priepust išlo o potvrdenie záveru s teórie. Vychádzali sme zo skutočnosti, že v dostupnej literatúre bolo z uvedenej problematiky len málo praktických výsledkov zo skutočných realizovaných zapojení. Z nameraných závislostí môžeme porovnať vlastnosti filtrov zostavených z klasických prvkov a filtrov so spínanými kapacitormi. Medzný kmitočet u filtrov so spínanými kapacitormi je možné preladiť spínacím kmitočtom s danými technickými možnosťami asi o jednu dekádu. Ako už bolo spomenuté, pre realizáciu boli vybrané len jednoduché filtre a to z toho dôvodu, že pre realizáciu zložitejších a náročnejších filtrov nie sú k dispozícií polovodičové súčiastky s potrebnými požadovanými parametrami, hlavne sa to týka spínačov, ktoré majú v zopnutom stave vnútorný odpor 400Ω. Popísaná metóda náhrady klasických prvkov syntetickými však bude veľmi perspektívna vtedy, keď budú k dispozícií obvody o strednej a veľkej hustote integrácie. 39

50 8. ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY [1] Hájek, K- Sedláček, J.: Kmitočtové filtre. BEN, Praha, [2] Punčochár, J.- Operační zesilnovače v elektronice, BEN, Praha, [3] Liman, O.- Pelka, H.: Elektronika bez balastu. ALFA, Bratislava, [4] Moos, P.: Obvody a systémy využívajúci spínací prvky pri kmitočtové filtraci analógového signálu. [5] Výskumná správa, n.p. Tesla Strašnice, Praha [6] Mikula a kol.: Obvody se spínanými kapacitory. Výskumní správa VA Brno,