1 Merania, neistoty a korelácie Popis dát Typy dát Zobrazovanie dát Priemery

Transcript

1 ŠTATISTIKA V RADIAČEJ FYZIKE O B S A H Merana, nestoty a koreláce Pops dát Typy dát Zobrazovane dát Premery Artmetcký premer Alternatívy artmetckému premeru Merane rozmazana Rozptyl Štandardná odchýlka Alternatívne merana rozmazana....4 Vlastnost kvanttatívnych dát Mery polohy (central tendency - locaton) Mery varablty (varaton - dsperson) Mery tvaru (shape) (škmosť, špcatosť); Kovaranca a koreláca Kovaranca Koreláca Vac než dve premenné... 6 Kontrolné otázky:... 7 Úlohy:... 7 Súhrn... 8 Teoretcké rozdelena Pravdepodobnosť Zákon veľkých čísel Očakávané hodnoty....3 Rozdelene hustoty pravdepodobnost Bnomcké rozdelene Possonove rozdelene Dve Possonove rozdelena Gaussovské rozdelene Bnormálne rozdelene Iné rozdelena Rovnomerné rozdelene Webullove rozdelene Bret-Wgnerove alebo Cauchyho rozdelene... 3 Kontrolné otázky Úlohy Súhrn estoty (Errors) Úvod... 35

2 3. Prečo sú nestoty gaussovské? Centrálna lmtná veta (central lmt theorem - CLT) Práca s nestotam Opakovane meraní Premerovane vážených meraní Kombnáce nestôt Jedna premenná Funkca dvoch a vacerých premenných Pravdlá kombnáce nestôt Relatívne nestoty ekoľko funkcí nekoľkých premenných Systematcké nestoty... 4 Kontrolné otázky Úlohy Súhrn Odhady (Estmaton) Estmátory Funkca verohodnost ektoré základné estmátory Mamálna verohodnosť (lkelhood) ML : Konzstentnosť, vychýlenosť a nvaranca Mamálna verohodnosť pr veľkých estoty v ML estmátoroch Vaceré premenné Rozšírená mamálna verohodnosť Metóda momentov Mamálna verohodnosť a najmenše štvorce Stratfkované vzorkovane kontrolné otázky Úlohy Súhrn Metóda najmenších štvorcov jednoduchá úmernosť Lneárny ft Váhovaný lneárny ft Systematcké chyby a lneárny ft Ftovane bnovaných dát χ rozdelene Chyby u aj y elneárna metóda najmenších štvorcov Úlohy Kontrolné otázky Súhrn Pravdepodobnosť a spoľahlvosť (Probablty and Confdence) Pravdepodobnosť Matematcká pravdepodobnosť Emprcká pravdepodobnosť Objektívna - sklon Subjektívna pravdepodobnosť (Bayesova štatstka) Úroveň spoľahlvost (Confdence level)... 7

3 6.. Úroveň spoľahlvost v popsnej štatstke Intervaly spoľahlvost v odhadoch Úrovne spoľahlvost z Gaussovho rozdelena Bnomcký nterval spoľahlvost Possonovské ntervaly spoľahlvost Studentove t rozdelene Úlohy Kontrolné otázky Súhrn Pr spracovaní a vyhodnocovaní väčšeho množstva údajov je nevyhnutné použť metódy štatstky, prčom pôvod a obsah dát môže byť veľm rôznorodý. Štatstka je nástroj, ktorý pomáha plánovať a realzovať epermenty, analyzovať a nterperetovať získané výsledky. Pre radačnú fyzku sú typcké hromadné údaje takže v tejto vednej oblast ne je možné vyhnúť sa využtu štatstckých metód. Aby sme tento nástroj vedel používať efektívne, je potrebné poznať ako pracuje, aké sú jeho možnost a kedy ktoré jeho súčast využívať. Štatstku môžeme rozdelť na popsnú, ktorá sa zaoberá získavaním, charakterom a prezentácou dát a matematckú, ktorá sa zaoberá odhadm a testovaním hypotéz. Ceľom popsnej štatstky je pops dát, zataľ čo ceľom matematckej štatstky je rozhodnúť o charakterstkách základného súboru dát. MERAIA, EISTOTY A KORELÁCIE UČEBÉ CIELE Študent by sa mal naučť popísať a charakterzovať súbor kvanttatívnych dát, optmálne ho zobrazť, mal by sa naučť vypočítať premer, štandardnú odchýlku, medán, modus, škmosť, špcatosť, vedeť určť č súbory dát sú vo vzájomnom vzťahu alebo sú vzájomne na sebe nezávslé. KĽÚČOVÉ SLOVÁ Dáta, premer, rozptyl, štandardná odchýlka, modus, medán, škmosť, špcatosť, kovaranca, koreláca.. POPIS DÁT Všetko sa odvíja od dát s ktorým chceme pracovať. Môžeme ch nazývať súborom výsledkov, vzorkam, eventam alebo nak, ale pozostávajú zo súboru základných meraní z ktorých chceme získať nejakú zmysluplnú nformácu. Aby sme názornejše vdel význam dát, potrebujeme s ch zobrazť, alebo prevesť do jedného, dvoch dôležtých čísel, ktoré daný súbor dát charakterzujú bez hlbšej analýzy alebo nterference. Týmto sa zaoberá popsná štatstka

4 .. Typy dát Dáta sa nazývajú kvanttatívne, alebo numercké ak môžu byť zapísané číslam a kvaltatívne, alebo nečíselné, ak sa číslam nedajú zapísať (napr. farba auta). S kvaltatívnym dátam sa pre ťažkost s ch matematckým popsom nebudeme v ďalšom zaoberať. Kvanttatívne dáta môžu byť dvoch typov. Dskrétne, z ch Štatstka popsná štatstka Zber dát, zobrazene dát, ch charakterstka matematcká štatstka Odhady, testovane hypotéz Typy dát Kvaltatívne (nečíselné) (napr. farba auta) Kvanttatívne (numercké) dskrétne, celočíselné (napr. počet sedadel v aute) spojté (nemôžu byť určené presne) (váha auta, dĺžka...) povahy vyplýva, že sa dajú vyjadrť celým číslam a spojté, ktorých hodnota sa vyjadruje reálnym číslam. Spojté dáta nemôžu byť zaznamenané presne, je možné ch zaznamenať len na stý počet desatnných mest. Príkladom dskrétnych dát môže byť počet koles, sedadel v aute, zataľ čo dĺžka a váha auta sú spojté dáta. Pokaľ máme veľký počet dát, často je výhodné rozdelť ch do bnov (skupín, tred, alebo blokov) zostavením frekvenčnej tabuľky. Príklad: Hádzane 0 mncí Hádžeme 0 mncí. Vyjadrte skrátene dosahnuté výsledky. Rešene každá mnca môže po dopade ukazovať buď znak (Z) alebo číslo (C). Dostaneme tak napr. CCZCZZZZCCZCZCCZCZZZ, čo môžeme skrátene zapísať ako (Z, 9C).

5 Pre spojté dáta je to komplkovanejše, pretože všetky dáta sú rôzne (ak použjeme dostatočný počet desatnných mest). Ak chceme vytvárať skupny čísel, musíme zvolť určtý rozsah hodnôt, ktoré budú patrť do jedného bnu. To znamená určté zaokrúhľovane čísel a stratu presnost nformáce, čo je cena za kompresu dát. Obvykle sa šírka bnov vyberá rovnaká, ale nekedy môže byť výhodné použť rozdelnu šírku bnov... Zobrazovane dát Počet eventov v každom bne môže byť zobrazený v stĺpcovom grafe alebo v hstograme (obr.. ). Medz sĺpcovým grafom a hstogramom je techncký rozdel v tom, že v prvom prípade je reprezentované číslo úmerné dĺžke stĺpca, zataľ čo v druhom prípade ploche. Stĺpový graf je možné použť pre kvaltatívne ako aj kvanttatívne dáta, zataľ čo hstogram len pre kvanttatívne dáta. V prípade numerckých dát je dôležtý správny výber šírky bnu aby sme získal optmálne zobrazene požadovaných charakterstík dát. Ak je šírka prílš malá, počet eventov v bne je malý a výraznejše sa prejavujú fluktuáce dát, ak je šírka bnu prílš veľká, stráca sa nformáca o rozdelení dát. Dokumentuje to aj príklad (obr..) rozdelena skupny študentov podľa veku. Obr.. Príklad stĺpcového grafu zobrazujúceho výsledky hodu 0 mncam Obr.. Vek skupny študentov zobrazený s rôznou šírkou bnu Dáta je možné zobrazť mnohým spôsobm. Je veľa typov grafov (obr..3), (napr. kruhový, bodový, čarový graf, frekvenčný polygónový a veľa ďalších), takže je

6 potrebné vybrať také zobrazene, ktoré optmálne zdôrazí požadovanú charakterstku súboru dát. Obr.. 3 Príklad rôznych typov zobrazena dát. PRIEMERY.. Artmetcký premer Ak chceme popísať dáta jedným číslom, najlepším a najzmysluplnejším sa javí artmetcký premer. Ak máme súbor dát obsahujúc hodnôt {,, }, potom premerná hodnota je Takýmto spôsobom môžeme vypočítať aj strednú hodnotu ľubovolnej funkce f() f f ( ) Ak máme bnované (zoskupené) dáta, bn j zodpovedá hodnote j a obsahuje n j dát, potom teto premery môžeme písať ako j n j j, pre funkce f nj f( j ) j

7 Príklad: Vážene kovových platnč ek Hmotnost 4 kovových platnček sú 35g, g, 9g, 7g. Aká je premerná hmotnosť platnčky? Rešene Premer vypočítame podľa vzťahu Premerná hmotnosť potom bude 8 g.. Po dosadení dostaneme ( ) / 4 8 g. Príklad: Obsadenosť áut a dalnc sledujeme počet pasažerov v 00 autách. V 68 je len jeden pasažer, v 0 dvaja, v 8 traja a 4 štyra. Aká je premerná obsadenosť auta pasažerm? Rešene Vychádzame zo vzťahu n j j. Po dosadení dostaneme ( ) / 00 j.48. Premerná obsadenosť auta potom bude.48 pasažera... Alternatívy artmetckému premeru Geometrcký premer dvoch čísel je dĺžka strany štvorca s plochou rovnou súčnu dvoch čísel. Pre čísel je potom defnovaný ako... 3 Harmoncký premer je prevrátená hodnota artmetckého premeru prevrátených hodnôt Kvadratcký premer (odmocnna premeru kvadrátov (root mean square)) môžeme vyjadrť ako Všetky teto velčny sú oveľa menej bežné ako artmetcký premer, takže obvykle, keď sa hovorí o premere, myslí sa tým artmetcký premer. Súbor dát sa často charakterzuje aj pomocou modusu a medánu Modus je najčastejše vyskytujúca sa hodnota v súbore dát. Dá sa ľahko nájsť, ale nemusí veľm charakterzovať daný súbor dát, preto netreba preceňovať jeho výnam. Súbor môže mať aj vac modusov, alebo žadny. Medán je bod v polovc súboru dát, rozpoluje súbor dát, polovca dát je nad medánom a polovca je pod medánom. Pokaľ je dôležtejší rozsah dát ako ch číselné hodnoty, býva medán preferovaný pred artmetckým premerom. Medán dostaneme ako číselnú hodnotu v polovc podľa veľkost usporadaného súboru dát. Pokaľ počet dát

8 je párny, medánom je premerná hodnota dvoch dát v polovc usporadaného súboru dát..3 MERAIE ROZMAZAIA.3. Rozptyl Premer (stredná hodnota) charakterzuje naše dáta jedným číslom. Toto však môže byť nekedy nedostatočné a zavádzajúce, ako to dokumentuje príklad na obr.. 4. Oba dátové súbory vychádzajúce z hodnotena 80 študentov 0 bodovou stupncou majú rovnakú premernú hodnotu (7), ale na prvý pohľad sa výrazne líša. Prvý učteľ hodnotl vo veľm malom rozpätí, zataľ čo druhý použl podstatne šršu škálu hodnotena. Sú rozdelené rozdelne a je potrebné nejakým spôsobom charakterzovať ch šírku, alebo rozmazane dát okolo strednej hodnoty. Použte premernej odchýlky ne je vhodné, pretože kladné a záporné odchýlky sa ruša a výsledok je nulový. 0 ) ( Výhodnejše je použť premer kvadrátov odchýlek rozptyl (varance) V ) ( ) ( Pre funkce môžeme rozptyl vyjadrť ako f f f V ) ) ( ( ) ( Defníca rozptylu môže byť jednoduchým operácam prevedená do jednoduchšeho tvaru V ) ( ) ( Obr..4 Hodnotene skupny 80 študentov dvom učteľm bodm z 0 stupňovej škály

9 + V ) ( ) ( + V ) ( + V ) ( ) ( V + Takže nakonec dostaneme ) ( V alebo ekvvalentne ) ( V Slovne to môžeme vyjadrť, že rozptyl je premer kvadrátov mínus kvadrát premerov..3. Štandardná odchýlka Stredná kvadratcká odchýlka sa nazýva štandardná odchýlka a označuje sa. Je defnovaná ako odmocnna z rozptylu V () alebo nak vyjadrené ) ( Príklad: Hodnotene študentov Porovnajte hodnotena tej stej skupny študentov dvom učteľm na obr..4. Čím sa líša? Rešene a obr..4 sú ukázané dve rôzne hodnotena tých stých študentov dvom učteľm - prvý učteľ udell 0 študentom hodnotene 6, 60-tm hodnotene 7, 0-8, prčom premerné hodnotene bolo 7, rozptyl 0.5, štandardná odchýlka Druhé hodnotene bolo jemnejše učteľ použl väčší rozsah známok, prčom premerné hodnotene bolo tež 7, ale rozptyl bol. dosahnutá štandardná odchýka bola.45 (čo je ~3 vac ako v prvom prípade) Príklad: Použte štandardnej odchýlky pr kontrole kvalty produkce Spoločnosť vyrába ložská s premernou hmotnosťou 30 g so štandardnou odchýlkou 0.g. Ako je možné využť štandardnú odchýlku pr výstupnej kontrole? Rešene Pokaľ výrobky majú hmotnost v rámc jednej štandardnej odchýlky je to v poradku, výrobný proces beží bez problémov. Výstupná kontrola ešte akceptuje ložská s váhou 9.8 až 30. g ( ) ale je už

10 potrebné sledovať podrobnejše výrobný proces - dve štandardné odchýlky reprezentujú výstražnú hladnu, keď váha presahuje 3 (rozsah 9.7 a 30.3g) je to už hladna akčná produkca je zastavená.3.. Iné defníce štandardnej odchýlky Obr.. 5 ukazuje príklad možného rozdelena spojtej premennej z nekoľkých pozorovaní napr. výšky 30-ročných mužov. Ak je dostupných len nekoľko hodnôt, dáta môžeme zobrazť čarkam na os výšky (obr..5a), alebo zobrazť ako hstogram, kde na zvslej os je počet pozorovaní v danom ntervale výšok h, na vodorovnej os výšok má stĺpec šírku 0 cm (obr..5b). Aktuálny počet mužov v danom bne je n h, celkový počet je Σn h. Ak zväčšíme počet pozorovaní 00 krát, počet v každom bne sa zvýš (obr..5c) a je možné vykreslť hstogram s menšou šírkou bnu aby sme zobrazl tvar rozdelena s lepším rozlíšením. Pretože zobrazujeme n(h) ako počet pozorovaní na v závslost na výške v cm, bez ohľadu na šírku bnu, celková výška hstogramu sa nebude veľm menť pr zmene šírka bnu (obr. 4d). Pre veľký počet pozorovaní môže byť šírka bnu veľm malá, takže Obr..5 Príklad možného rozdelena spojtej premennej (napr. výšky 30-ročných mužov). - (a) len z nekoľkých pozorovaní každé reprezentuje čarka na os výšky. Teto dáta môžu byť alternatívne znázornené hstogramom (b), kde n je počet mužov v danom ntervale výšok (šírka bnu je tu 0 cm). (c) počet pozorovaní 00 krát vyšší ako v predošlom prípade. (d) ten stý počet pozorovaní ako v (c), ale s menšou šírkou bnu. (e) so zvyšovaním počtu pozorovaní a zmenšovaním šírky bnu prejdeme k spojtému rozdelenu. (Zdroj: L. Lyons, Statstcs for nuclear and partcle physcs, Cambrdge Unversty Press, 986) hstogram môžeme apromovať spojtou krvkou (obr..5e). Takýto prípad nám bude dávať veľm dobrú teoretckú predpoveď počtu mužov rôznych výšok, prčom celkový počet mužov zahrnutých v hstograme bude nhdh ( ). Príjmme konvencu, že skutočnú strednú hodnotu budeme označovať μ a strednú kvadratckú odchýlku. ektorí autor defnujú štandardnú odchýlku ako r.m.s. (root

11 mean square) - odchýlku dát od skutočnej strednej hodnoty μ mesto od vzorkového premeru μ lm ( μ) Merané hodnoty premeru a rozptylu určtej (obmedzenej) vzorky budeme označovať a s. μ obvykle neveme, veme len jeho odhad (premer vzorkovej populáce). Aby sme kompenzoval nadhotene, znížme počet stupňov voľnost. Ak nahradíme - μ, budeme robť najmenej jedno merane na určene. ajlepší epermentálny odhad štandardnej odchýlky bude vzorková štandardná odchýlka s. evychýlený (unbassed) odhad zdrojového (skutočného) rozdelena s je daný ako s ( ) alebo po jednoduchých úpravách dostaneme ekvvalentne s ( ), kde a Keď sa bude počet meraní zvyšovať, nakonec pre nekonečný počet meraní dosahneme pôvodné, zdrojové (parent) rozdelene meranej velčny zdrojový parameter lm ( epermentálny parameter ) Faktor /(-) je potrebný na to, aby sme dostal nevychýlený odhad populačního rozptylu, t.j. pre veľké vzorky s sa blíž k. Ak merana sú zoskupené, t.j. ak hodnotu j má m j eventov, dostaneme Obr..6 Príklad typckej funkce rozdelena pravdepodobnost ukazujúc najpravdepodobnejšu hodnotu μ ma, medán μ / a strednú hodnotu μ. Dve rôzne vyšrafované čast sú rovnaké m j j m j a j j s m ( ) ( m ). j j j j Rozptyl premeru je u s j m j Príklad: Merane s rozdelnou detekč nou úč nnosť ou Predpokladajme, že ndvduálne merana bol robené s rozdelnou detekčnou účnnosťou (buď kvôl meranu s rôznym časťam prístroja, alebo kvôl tomu, že vlastná účnnosť je funkcou premennej ). Ako je potrebné tento fakt zobrať do úvahy?

12 Rešene Každé merane k je nutné váhovať faktorom w k ktorý je recpročný detekčnej účnnost pre dané merane. Potom premer je daný ako: wk k wk. Pre rozptyl a rozptyl premeru (u ) dostaneme: k k s ( wk ( k ) wk ) neff ( neff ) a u s neff. k k n eff tu je efektívny počet eventov. Ak celkový počet eventov je T ± δ, potom T nnef wk wk. (**) δ k k Teda 00 ± 0 eventov nám dá 00 efektívnych eventov (zo vzťahu (**)). Ale ak máme konštantnú detekčnú účnnosť 4%, regstrujeme len 4 ± reálnych eventov, korgovaný celkový počet je 00 ± 50 a n eff je 4 (ako očakávame). a záver, dá sa očakávať, že vzorky eventov, ktoré majú veľm nízku detekčnú účnnosť, budú dávať pre n eff hodnotu ~..3.3 Alternatívne merana rozmazana stredná absolútna odchýlka - je veľm zredkavo používaná rozsah dát (range) - rozdel medz najvyššou a najnžšou hodnotou (varačné rozpäte) nterkvartlový rozsah (nterquartle range) (kvartlové rozpäte) rozdel medz spodným a horným kvartlom Kvartly (quartle) dáta (usporadané) rozdelené na 4 čast spodný kvartl - bod s 5 % dát pod túto hodnotu a 75% dát nad horný kvartl - bod s 5 % dát nad a 75% dát pod ekedy sa tež používajú tež decly obsahujúce 0% dát, alebo percently, ktoré obsahujú dané percento dát. So štandardnou odchýlkou nekedy bývajú problémy - jej hodnota môže byť majorzovaná nekoľkým etrémnym hodnotam na okrajoch (chvostoch) dát, defnuje sa FWHM (plná šírka v polovčnej výške) táto nezávsí na dátach na chvostoch, používa len centrálny pík (dá sa veľm ľahko nájsť z hstogramu použtím ceruzky a pravítka). Pre Gaussove rozdelene platí nasledovný vzťah medz FWHM a strednou kvadratckou odchýlkou FWHM.35.4 VLASTOSTI KVATITATÍVYCH DÁT.4. Mery polohy (central tendency - locaton) (premer,modus, medán).4. Mery varablty (varaton - dsperson)

13 (varačné rozpäte, kvartlové rozpäte, varačný koefcent, štandardná odchýlka, rozptyl).4.3 Mery tvaru (shape) (škmosť, špcatosť);.4.3. Škmosť (skew) popsuje asymetru dát γ po úpravách dostaneme 3 3 ( ) ( ) γ ( ) γ je nulové ak dáta sú symetrcké, rozdelené okolo premeru, ak chvost je Obr..7 Ilustráca škmost roztahnutý napravo γ je poztívne, dáta majú poztívnu škmosť, negatívnu majú ak deformáca je naľavo. Mawellove rozdelene rýchlostí molekúl v plyne - príklad škmost rozdelena. Alternatívy defnovana škmost - Pearsonova škmosť (Pearson premer modus skew) škmosť.4.3. Špcatosť (curtoss, nekedy tež kurtoss) 4 c ( ) 3 4 pre normálne rozdelene c je rovné nule. Poztívne c mplkuje relatívne vyšše píky šrše chvosty ako Gauss s rovnakým premerom a štandardnou odchýlkou. Záporné hodnoty znamenajú šrší pík a kratše chvosty Vo všeobecnost: r je r-tý moment a ( ) moment. r sa volá r-tý centrálny Obr..8 Ilustráca špcatost súboru dát

14 Rozptyl je druhý, škmosť tretí a curtoss je štvrtý centrálny moment Mery polohy - premer - modus - medán Kvanttatívne dáta Mery varablty - varačné rozpäte - kvartlové rozpäte - varačný koefcent -štandard. odchýlka - rozptyl Mery tvaru - špcatosť - škmosť.5 KOVARIACIA A KORELÁCIA Vyjadrujú vzťah medz dvojcam dát v súbore dát, napr. dvojce polohu a čas (,t), napr. výška a váha, IQ atď pre tredu študentov, pre každého jednotlvca a pod..5. Kovaranca Predpokladajme dáta pozostávajúce z párov čísel {(,y ), (,y ),...}, Môžeme nájsť ch premer, rozptyl V() a V(y), a štandardné odchýlky, y Dáta môžu spolu súvseť môžu byť vzájomne nezávslé alebo závseť na sebe. Popsuje to kovaranca medz a y cov(, y) ( )( y ( )( y y y y) y) Ak hodnoty, ktoré sú nadpremerné, majú tendencu vyskytovať sa spolu s nadpremerným hodnotam y (čo mplkuje, že malé podobne bude sprevádzané malým y) potom znamenko oboch častí v sume bude mať tendencu byť rovnaké a celková suma bude kladná. Podobne ak veľké má tendencu byť s malým y, kovaranca je záporná. Ak hodnoty sú nezávslé a nespojené, potom kladný rozdel pre má rovnakú šancu byť násobený kladným alebo záporným rozdelom pre y a celková suma je nulová.

15 Všmnme s,že ak kovaranca obsahuje len rozdely medz premerm a y, nč sa nemení ak sa posune počatok, teda vo všeobecnost cov(, ) V() Príklad: vzť ah medz výškou a váhou skupny osôb Aký je as vzťah medz výškou a váhou skupny osôb? Rešene Kovaranca medz výškou a váhou skupny osôb je podľa všetkého poztívna, pretože vyšší ľuda obvykle váža vac. Medz váhou a slou môže byť negatívna, pretože prílš tuční ľuda obvykle nebývajú vo veľm dobrej kondíc, medz výškou a IQ bude kovaranca pravdepodobne nulová..5. Koreláca Kovaranca je užtočná, ale má rozmer (napr. kovaranca medz výškou a váhou 6.5 má jeden význam je ak sú rozmery [cm ]- [g], ný význam ak sú [m] - [kg]). Lepše je vyjadrť vzťahy medz premenným bezrozmerným korelačným koefcentom, ktorý je defnovaný ako cov(, y) y y ρ y y kde ρ je číslo medz - a +, ak je rovný nule, a y sú nekorelované. Kladná koreláca znamená, že ak dané je väčše ako premerné, potom aj y bude tež(v premere) väčše ako premerné y. Pre záporné ρ - väčše mplkuje menše y. Ak ρ (alebo -) potom a y sú úplne korelované (ak veme hodnotu jedného, presne špecfkujeme hodnotu druhého). Korelačný koefcent je bezrozmerný. Obr.. ukazuje rôzne koreláce dát Príklady koreláce a obr..9 a.0 sú ukázané výsledky skúšky študentov druhého ročníka stej anglckej unverzty z termodynamky a kvantovej mechanky so zahrnutím hodnotena laboratórnych prác. V akom sú vzťahu? Rešene Obr..9 zobrazuje známky z kvantovej mechanky a termodynamky, vdeť, ako sa dá očakávať, že kto je dobrý v jednom je dobrý aj v druhom - korelačný koefcent 0.7. Obr..0 ukazuje porovnane výsledkov termodynamky vs. praktcké cvčena. Tendenca kto je dobrý v jednom je dobrý aj v druhom je prítomná, ale je veľm slabá - korelačný koefcent 0.3 Obr..9 Porovnane hodnotena študentov z termodynamky a kvantovej fyzky Obr..0 Porovnane hodnotena študentov z termodynamky a praktckých cvčení

16 Obr.. Príklady koreláce dát s rôznym hodnotam korelačného koefcentu.5.3 Vac než dve premenné Ak máme tr elementy - (, y, z) označovane je vcelku bez problémov, ale pre n elementov už to ne je také jednoduché. Jedným z možných rešení je označovane ( (), ()... (n) ). Kovaranca sa vyjadruje medz párom premenných cov( ( ), y( j) ) ( ) y ( j) ( ) y ( j) S týmto označovaním vytvora teto elementy symetrckú matcu n n prvkov V j cov( ( ), ( j) ) táto sa nazýva kovarančná matca, alebo rozptylová matca, alebo chybová matca, a dagonálne prvky sú práve rozptyly. Korelačná matca je bezrozmerný ekvvalent kovarančnej matce. Jej prvky musa ležať medz - a + a ukazujú meru korelovanost dvoch premenných. Jej dagonálne prvky sú všetky ρ j cov( ( ), ( j) j ) kovarančnú matcu môžeme zapísať v tvare Vj ρ j j

17 K O T R O L É O T Á Z K Y :. Aké je rozdelene štatstky a čím sa zaoberajú jej jednotlvé čast?. Aké typy dát poznáme a ako ch môžeme charakterzovať? 3. Ako môžeme dáta zobrazovať? 4. Čím môžeme vo väčšne prípadov najvhodnejše charakterzovať súbor dát pokaľ to máme vyjadrť jedným číslom? 5. Ako vypočítame artmetcký premer pre jednotlvé dáta a ako pre zoskupené (bnované) dáta? 6. Čo je to modus a medán a ako ch vypočítame? 7. Čo je to rozptyl a ako ho vypočítame? 8. Ako vypočítame štandardnú odchýlku? 9. Čo vyjadruje vzorková štandardná odchýlka a ako ju vypočítame? 0. Čo sú kvartly a čo je nterkvartlové rozpäte?. Aký je vzťah medz FWHM a štandardnou odchýlkou pre Gaussove rozdelene?. Ako môžeme charakterzovať vlastnost kvanttatívnych dát? 3. Čo vyjadruje škmosť (skew) a ako ju vypočítame? 4. Čo je to špcatosť (kurtoss) a ako ju vypočítame? 5. Čo je to kovaranca a ako ju vypočítame? 6. Čo vyjadruje korelára a ako ju vypočítame? 7. Aký je rozdel medz kovarancou a korelácou? Ú L O H Y :. Vek (v rokoch) tredy 3 študentov je nasledovný: 8.9, 8.6, 9.4, 8.8, 9.3, 0.3, 9.8, 0, 8.5, 9.5, 9., 8.6, 9.4, 9., 8.8, 8.6, 8., 9.8, 9.5, 9, 0, 9.6, 8.5. Vypočítajte premer a štandardnú odchýlku.. Zopakujte výpočet pre príklad. so zahrnutím veku ucteľa (37.0). Všmnte s, že efekt na premer je veľm slabý, ale štandardná odchýlka vzrástla významne..3 Vypočítajte pre predošlé problémy škmosť.4 Hodnotena študentov z klasckej mechanky a kvantovej mechnky sú: Klascká : ; Kvantová: Vypočítajte dve premerné známky, kovarancu a korelácu..5 Máme 80 čísel:

18 Hstogramujte teto čísla použtím vhodného rozmeru bnu..6 ajdte premer, modus, a medán pre uvedené dáta, jednak pre pôvodné ako aj pre bnované..7 Použtím predošlých dát vypočítajte štandardnú odchýlku a FWHM. S Ú H R Dáta - kvanttatívne, alebo numercké ak môžu byť zapísané číslam a kvaltatívne, alebo nečíselné, ak sa číslam nedajú zapísať (napr. farba auta). Kvanttatívne dáta môžu byť dskrétne, z ch povahy vyplýva, že sa dajú vyjadrť celým číslam a spojté, ch hodnota sa vyjadruje reálnym číslam. Artmetcký premer Modus je najčastejše vyskytujúca sa hodnota v súbore dát. Medán je bod v polovc súboru dát, rozpoluje súbor dát. Medán dostaneme ako číselnú hodnotu v polovc podľa veľkost usporadaného súboru dát. Pokaľ počet dát je párny, medánom je premerná hodnota dvoch dát v polovc usporadaného súboru dát. Rozptyl V ( ) alebo ekvvalentne V ( ) Štandardná odchýlka ( ), ajlepší epermentálny odhad štandardnej odchýlky bude vzorková štandardná odchýlka s. evychýlený odhad zdrojového (skutočného) rozdelena s je daný ako s ( ) Rozsah dát (range) - rozdel medz najvyššou a najnžšou hodnotou (varačné rozpäte) Interkvartlový rozsah (nterquartle range) (kvartlové rozpäte) rozdel medz spodným a horným kvartlom Kvartly (quartle) dáta (usporadané) rozdelené na 4 čast, spodný kvartl - bod s 5 % dát pod túto hodnotu a 75% dát nad touto hodnotou, horný kvartl - bod s 5 % dát nad a 75% dát pod touto hodnotou

19 Škmosť (skew) - popsuje asymetru dát γ 3 3 ( ) ( ) Špcatosť (curtoss, nekedy tež kurtoss) c ( ) 4 3, pre normálne rozdelene c je rovné nule Kovaranca medz a y cov(, y) ( )( y y) y y Koreláca - bezrozmerný korelačný koefcent - cov(, y) ρ číslo medz - a +, ak je rovný nule, a y sú nekorelované. y y y y, kde ρ je TEORETICKÉ ROZDELEIA UČEBÉ CIELE Študent by sa mal oboznámť s pojmom pravdepodobnost, pôsobením zákona veľkých čísel, čo sú to očakávané hodnoty, zoznámť sa so základným rozdelenam hustôt pravdepodobnost pre bnomcké, Possonove a Gaussove rozdelene a ch charakterstkam, lmtným prípadm vedúcm ku Gaussovskému rozdelenu. KĽÚČOVÉ SLOVÁ Pravdepodobnosť, zákon veľkých čísel, očakávané hodnoty, bnomcké rozdelene, Possonove rozdelene, Gaussove rozdelene, bnormálne rozdelene. PRAVDEPODOBOSŤ Čo je to pravdepodobnosť? V mnohých stuácách sa stretávame s epermentam v ktorých sa podstatné podmenky nemena (zostávajú zachované) a naprek tomu v epermente dostávame rôzne výsledky. Takéto výsledky ndvduálnych meraní alebo epermentov môžu byť nepredpovedateľné, a predsa možné výsledky sére takých meraní majú dobre defnované rozdelene. Pravdepodobnosť p získana určtých špecfckých výsledkov realzácou jedného z týchto meraní je možné vyjadrť pomerom p počet udalostí v ktorých pozorujeme výsledok celkový počet meraní S pojmom pravdepodobnost sú spojené pojmy - možnosť, nemožnosť, stota. Pokaľ pravdepodobnosť daného javu je menša ako ale väčša ako 0 jav je možný, pokaľ pravdepodobnosť je rovná 0 jav je nemožný a pokaľ pravdepodobnosť je rovná je stota, že jav určte nastane. Javy môžu byť vzájomne nezávslé na sebe, môžu sa vzájomne vylučovať alebo jeden jav môže byť podmenený estencou ného javu. V prípade vzájomne nezávslých javov, pravdepodobnosť, že teto javy

20 nastanú súčasne je daná súčnom pravdepodobností jednotlvých javov. Pokaľ máme vzájomne sa vylučujúce javy, pravdepodobnosť, že nastane nejaký jav je daná súčtom pravdepodobností vzájomne sa vylučujúce javy - súčet pravdepodobností p p +p +...p nezávslé javy - súčn pravdepodobností p p p p 3...p podmenené pravdepodobnost - p p A.p A B Obr.. Graf závslost frekvence a meranej dĺžky pre 00 meraní. Plná čara zobrazuje skutočné zdrojové rozdelene so strednou hodnotou μ cm a 0.50 cm. Prerušovaná krvka zobrazuje odhad zdrojového rozdelena s μ 0.08 cm a 0.48 cm... Zákon veľkých čísel - spočíva v tom, že varablta veľkého počtu nezávslých (alebo obmedzene závslých) náhodných velčín sa vzájomne natoľko ruší (kompenzuje), že ch súčet je relatívne (napr. vzhľadom k počtu sčítancov, alebo k svojej strednej hodnote), skoro konštantný. Inak povedané, ak rozmer súboru dát vzrastá, fluktáce sa znžujú a náhodné výchylky sa vyhladzujú. Dokumentuje to aj obr.. kedy rozdelene obmedzeného počtu meraní (00) je dosť rozhádzané, pr rastúcom počte meraní sa bude vyhladzovať. Príklad platnost zákona veľkých čísel je napr. prebeh chemckých reakcí, aj keď je výsledkom náhodného chovana jednotlvých molekúl, je možné vzhľadom k veľkému množstvu a malej závslost zúčastnených molekúl predvídať pomocou dferencálnych rovníc.

21 . OČAKÁVAÉ HODOTY Ak veme rozdelene pravdepodobnost pre nejaké číslo r, veme ľahko vypočítať premernú hodnotu, ktorú môžeme očakávať. Očakávaná hodnota r - označuje sa <r>, alebo nekedy E(r) (epected value). r rp() r. r Každá funkca r má tež svoju očakávanú hodnotu f f() r P() r Pre súčet funkcí platí <f + g> ( f + g)p(r) fp(r) +gp(r) < f> +< g> ale pre súčn funkcí <fg> <f><g> to platí len ak funkce f a g sú nezávslé, nak ne. r.3 ROZDELEIE HUSTOTY PRAVDEPODOBOSTI Spojté premenné vyžadujú trochu rozdelne spracovane ako dskrétne. Pravdepodobnosť, že leží v špecfkovanom rozsahu je popísaná rozdelením hustoty pravdepodobnost Pravdepodobnosť toho, že výsledok leží medz a alebo P ( ) lm Pd ( ) pravdepodobnosť výsledok leží medz a + δ δ 0 δ pre očakávané hodnoty P( ) d f f( ) P( ) d ( ) Príklad na rozdelene pravdepodobnost Hádzane 4 mncí. Vypočítajte pravdepodobnost jedolvých možných konfgurácí. Rešene - pravdepodobnosť, že prvá mnca po dopade bude mať znak je /, to sté platí pre ostatné mnce, takže pravdepodobnosť, že všetky mnce budú mať hore znak je daná súčnom jednotlvých pravdepodobností P(4) (/) 4 /6 - Ďalša možnosť je, že po dopade tr mnce budú mať hore znak a jedna mnca bude mať hore číslo - pre prvé tr pravdepodobnosť je súčn jednotlvých pravdepodobností 3/ /8 a pre štvrtú je pravdepodobnosť /. Ak však nezáleží na poradí, ktorá mnca bude mať hore číslo, potom máme 4 možnost (ZZZC, ZZCZ, ZCZZ,CZZZ) každá s rovnakou pravdepodobnosťou /6, takže P(3) - pravdepodobnosť pre 3 znaky a jedno číslo je P(3) 4/6 /4 - pre dva znaky a dve čísla máme 6 permutácí mncí (ZZCC, ZCZC, ZCCZ, CCZZ, CZCZ, CZZC) každá s pravdep. /6, takže P()6/63/8 - pre znak a tr čísla je P()P(3)/4 -pravdepodobnosť, že nepadne žadny znak P(0)P(4)/6 pravdepodobnosť, že sa nečo stane musí byť, ak r bude počet hodených znakov (r0,,, 3, 4), máme pravdepodobnost P(r) (/6, /4, 3/8, /4, /6) toho, že hod štyrm mncam dá r znakov - toto príklad rozdelena pravdepodobnost.

22 .3. Bnomcké rozdelene Popsuje procesy s daným počtom dentckých pokusov s dvom možným výsledkam. Príkladom bnomckého rozdelena je napr. hádzane mncou, skúška kvalty komponentov (prjatý alebo ne), lečene pacentov (mŕtvy, vylečený) a pod. Označme pravdepodobnosť úspechu p, pravdepodobnosť neúspechu potom bude -p, n je počet pokusov, rozdelene dáva pravdepodobnosť r úspechov a (n - r) neúspechov, mmo týchto n pokusov, každý z ktorých má pravdepodobnosť úspechu p, pravdepodobnosť r úspechov z n pokusov ) je n možných permutácí úspechu a neúspechu, z ktorých počet s r úspechm je počet cest vybrana r z n n C r n! r!( n r)! ) je tu r úspechov s pravdepodobnosťou p a podobne (n-r) neúspechov s pravdepodobnosťou (-p), kombnácou dostaneme p r (-p) n-r Keď spojíme oba faktory, dostaneme bnomcké rozdelene pravdepodobnost Pr (; pn, ) p( p)! r! n r! r n r n ( ) pravdepodobnosť závsí nelen na počte úspechov r, ale tež na vlastnej pravdepodobnost p a počte pokusov n Dôležté vlastnost bnomckého rozdelena Celková pravdepodobnosť že sa nečo stane je n r 0 r n r n n p ( p) C [ p+ ( p)] n r stredný počet úspechov je r np rozptyl V() r np( p) štandardná odchýlka np( p) keď p je neznáme môžeme pre rozptyl použť odhad r s n r

23 Obr.. Bnomcké rozdelena s rôznym hodnotam p a n Z porovnana vdíme, že <r>,kde rovnosť platí len pre p 0. Vo všeobecnost rozptyl je menší ako premer. Príklad bnomckého rozdelena Hádane karet - karty majú 5 rôznych symbolov - t. j. je šanca 0 % uhádnuť správny. Ak hádame 6 karet, aká je šanca uhádnuť vac než polovcu správne? Rešene Pravdepodobnosť z bnomckého rozdelena je P(4; 0., 6) + P(5; 0. 6) + P(6; 0., 6).54% % %.7 %. Pr hádaní šestch karet je pravdepodobnosť uhádnuť vac ako polovcu z nch (t.j. najmenej 4 a vac) správne.7%. Bnomcké rozdelene je málo používané - častejše sa stretávame s jeho lmtam: p 0, n, ale np konšt. bnomcké Possonove rozdelene n, p konšt., bnomcké Gaussove rozdelene

24 .3. Possonove rozdelene Pr bnomckom rozdelení výsledky nastávajú v stom počte pokusov (n). U Possonovho rozdelena je to trochu né - neuvažujeme o počte pokusov, namesto toho sú tu ostré prípady objavujúce sa v kontnuu (napr. cez búrku bude určtý počet bleskov (ostré prípady), ale nemá zmysel pýtať sa ako často nebol blesk.gegerov počíač produkuje pr zdroj žarena určté praskane, ale ne určté nepraskane). Predpokladajme, že v nejakom ntervale premere nastane λ eventov. Rozdeľme nterval do n malých rovnakých častí, takých malých, že šanca mať dva eventy v jednej čast je zanedbateľná. Potom pravdepodobnosť, že daná sekca obsahuje event je p λ / n. Pravdepodobnosť, že bude r eventov v n sekcách ntervalu je daná bnomckým rozdelením r λ λ n r n! Pr (; λ / nn, ) p ( ) n r n r! n r! pre n s r konečným - faktorál dáva ( ) n! nn ( )( n )...( n r+ ) n ( n r)! r n r λ λ a e n n n λ Possonove rozdelene očakávaný počet je λ je - pravdepodobnosť získana r eventov ak stredný r λ Pr (; λ) e r! λ Dôležté vlastnost Possonovho rozdelena - celková pravdepodobnosť takže r 0 Prλ (; ) stredná hodnota početu eventov je r λ rozptyl V(r) λ štandardná odchýlka λ štandardná odchýlka sa rovná druhej odmocnne premerného počtu eventov. Z obr.3 vdeť, že pre λ <.0 napravdepodobnejší výsledok je 0. Possonovské rozdelene je vždy šrše ako bnomcké s rovnakou strednou hodnotou. Possonovský rozptyl je rovný premeru λ, zataľ čo bnomcký rozptyl np(-p) je vždy menší ako premer np.

25 Obr..3 Possonovské rozdelena s rôznym hodnotam λ.

26 Príklad na Possonove rozdelene Počet neutrín detegovaných v 0 sekundových ntervaloch v epermente (v čase keď astronómova prvý raz pozoroval supernovu 987a) Počet eventov : Počet ntervalov : Predpoveď : premer r Possonova predpoveď dobre súhlasí s dátam (okrem hodnoty pre 9 eventov). To ukazuje, že pozade spôsobené náhodným eventam je Possonovské, a 9 eventov ne je pozaďová fluktuáca, ale pršl zo supernovy Possonovské rozdelene môže dobre apromovať bnomcké rozdelene pokaľ počet pokusov n je veľký a pravdepodobnosť p je malá Príklad na porovnane Possonovho a bnomckého rozdelena Vypočítajte predpovede pre 00 pokusov s ndvduálnou pravdepodobnosťou úspechu % z bnomckého a z Possonovho rozdelena pre počet úspechov 0-6. Rešene 00 pokusov s ndvduálnou pravdepodobnosťou úspechu %, bnomcké pravdepodobnost pre počet úspechov sú r : P(bnomcká) : 3.3% 7.% 7.3% 8.% 9.0% 3.5%.% Possonove rozdelene pre premer dáva pravdepodobnost P(Posson) : 3.5% 7.% 7.% 8.0% 9.0% 3.6%.%.3.3 Dve Possonove rozdelena Predpokladajme eventy dvoch typov - a, b s zodpovedajúcm premerm λ a, λ b a taktež poznáme pravdepodobnosť pozorovana r a, r b. Celkove r eventov môže byť takých, že všetky sú typu b, alebo sú kombnáca typu a, b atď. λ λ Pr () Pr ( ; ) Pr ( r; ) e e!( )! r ra rb λa λb a b a λ a λ ra 0 ra r ra ra r r b r ( λ ) ( )! a+ λ λ b a + λb r λ a λ b e r! r 0 r!( )! a a r ra λa + λb λa + λb λa λ b Suma je práve bnomcký rozvoj +, čo je rovné, takže výsledok je λa + λb λa + λb r ( λ ) ( ) a+ λ λ b a + λb Pr () e r! t.j. suma dvoch Posonovských procesov je ďalš Possonovský proces..3.4 Gaussovské rozdelene Rozdelovaca funkca hustoty pravdepodobnost Gaussovho rozdelena je: r

27 P ( ; μ, ) e π ( μ ) Gaussove alebo normálne rozdelene je symetrcké okolo μ, šírka je kontrolovaná hodnotou (Prvý krát spomínané 733 de Movre (Anglčan) v prác Appromato ad summam termnorum bnom (a+b) n n serem epans ). Pre μ ±, P() padá na 0.6 píkovej hodnoty, t.j. takmer na polovcu. Toto sú nflené body, kde druhá derváca je rovná nule. Obr..4 Gaussovské (normálne) rozdelene pravdepodobnost Ak urobíme substtúcu z (-μ) / dostaneme Gaussove alebo normálne rozdelene Dôležté vlastnost Gaussovho rozdelena: e π z čo sa nazýva jednotkové je normované na P ( ; μ, ) d μ je stredná hodnota rozdelena P( ; μ, ) d μ je to taktež modus a medán

28 Štandardná odchýlka je, rozptyl ( μ) P( ; μ, ) d Pre Gaussovské rozdelene platí - FWHM (šírka v polovc mama).35, Príklad - Výpoč et FWHM(v jednotkách ) Ukážte, že pre Gaussovské rozdelene platí - FWHM (šírka v polovc mama).35. Rešene Keď používame Gaussan je obvykle najjednoduchše posunúť počatok súradncovej sústavy tak, že μ 0, ( ) f(0) f e, pre 0 π π takže v polovčnej výške dostaneme e π π e ln ln ln.774 Takto sme vypočítal polovcu šírky gaussánu v polovčnej výške, takže plná šírka sa potom rovná Keď používame funkcu gaussovského rozdelena stretávame sa s rôznym štandardným ntegrálm. Ich rešena sa nachádzajú v každej matematckej príručke. Bohužaľ neurčté ntegrály gaussánu sa nedajú rešť analytcky, ale sú numercky spočítane a spracované do tabulek. V tabulkách sú obvykle uvádzané hodnoty ntegrovaného gaussovského rozdelena medz symetrckým hrancam - (-μ)/ a +(-μ)/, t.j. pravdepodobnost, že ak event má Gaussove rozdelene, bude ležať nejaký počet štandardných odchýlek od strednej hodnoty. 68.7% oblast leží vnútr oblast 95.45% 99.73% 3 ak chceme vedeť určté % potom 90 % leží vnútr % % % 3.90 Tabelované hodnoty dvojstranného ntegrálu gaussánu dávajú percentá pravdepodobnost, že bod leží v danom počte od strednej hodnoty (na obr..5 nevyšrafovaná časť)

29 Obr..5 Obr..6 Pokaľ tabelované hodnoty vyjadrujú jednostranný ntegrál gaussánu, udávajú percentá pravdepodobnost, že bod leží v danom počte štandardných odchýlek na jednej strane od strednej hodnoty (na obr..6 nevyšrafovaná časť) Gauss ako lmta Possonovského a bnomckého rozdelena Pre veľké hodnoty λ Possonove rozdelene prechádza na Gaussove s μ λ, a λ (λ by malo byť mnmálne 5, stejše 0. V takom prípade je gaussán veľm vhodnou apromácou possona). Obr..7 Vzťahy medz bnomckým, Possonovým a Gaussovým rozdelením. a p sú počet pokusov a ndvduálna pravdepodobnosť úspechu pre bnomcké rozdelene. Stredná hodnota pre Possonove rozdelene je μ. V prípade Gaussovho rozdelena odvodeného ako lmta Possonovho rozdelena pre veľké μ, stredná hodnota μ a rozptyl sú rovnaké. Príklad: Possonove rozdelene apromované Gaussovým Porovnajte pravdepodobnosť z Possonovho rozdelena pre λ 5.3 pre dva alebo menej eventov s pravdepodobnosťou pre rovnaký prípad z Gaussovho rozdena. Rešene Ak λ je 5.3, potom pravedepodobnosť dvoch, alebo menej eventov použtím Possonovho rozdelena je 0. %. Keď apromujeme hstogram Possonovho rozdelena hladkou Gaussovou krvkou, zodpovedajúca hodnota pre Gaussán je v polovc medz možným dskrétnym hodnotam a 3, teda.5 eventu. To je (5.3-.5)/. od premeru a z tabelovaných hodnôt pre jednostr. Gauss máme pravdepodobnosť.% Rovnako bnomcké rozdelene prechádza na Gauss s μ np a np( p) p by malo byť ~ 0.5, väčše alebo menše hodnoty p vyžadujú väčše n, pr väčších početnostach skoro všetko smeruje ku Gaussu - o tom hovorí centrálna lmtná veta.

30 .3.5 Bnormálne rozdelene zahŕňa dve premenné, y, kovaračná matca je V ρ y ρ y y a jej nverzná matca V y ρ y y( ρ ) ρ y kde ρ je korelačný koefcent cov(, y) ρ y Výsledný vzťah pre bnormálne alebo dvojrozmerné Gaussove rozdelene je Py (, ) π ρ y ( ) μ y μ y μ y μ y ep ρ + ( ρ ) y y zobrazene je vrstevncový graf. Vrstevnce rovnakej pravdepodobnost sú krvky, pre ktoré eponent v rovnc je konštantný a to je rovnca elpsy. Je vdeť, že elpsa, pre ktorú eponent - / má etrémne a y hodnoty pr μ ± a μ y ± y Obr..8 Bnormálne rozdelene

31 Obr..8 ukazuje líne konštantnej pravdepodobnost pre dvojrozmerné rozdelene, kde a y sú kladne korelované. Elpsy konštantnej pravdepodobnost sú pr 90, 80, % píkovej hodnoty. Parametre sú, y, ρ Ak spravíme rez rozdelením, uvažujúc rozdelene y, pre fnú hodnotu, potom rovnca dáva Gaussove rozdelene v y ktorého štandardná odchýlka sa blíž k hodnote y y a stredná hodnota je μ ( ) y + ρ μ ρ.4 IÉ ROZDELEIA.4. Rovnomerné rozdelene P ( ) b a 0 pre a b pre ostatné premer je obvykle (a+b) /, keď spravíme ntegrál aby sme získal < >, potom pre rozptyl dostaneme ( b a) V( ) Štandardná odchýlka je odmocnna z rozptylu Obr..9 Rovnomerné rozdelene

32 .4. Webullove rozdelene β β ( α) P ( ; αβ, ) αβα ( ) e α je škálový faktor, β je špcatosť píku, β dáva eponencálnu funkcu Obr..0 ekoľko Webullovych funkcí, píky sú pre β.0, 4.0 a 7.0 FmM ( ;, Γ ).4.3 Bret-Wgnerove alebo Cauchyho rozdelene π Γ ( ) ( m M) + Γ Bret-Wgnerova funkca, často používaná v jadrovej fyzke pre vyjadrene rozdelena častíc hmotnost m v dôsledku rezonance s hmotnosťou M a šírkou Γ, sa redukuje na Cauchyho funkcu F(z) zmenou počatku a škály. F( z) π + z Cauchyho funkca nemá rozptyl, lebo ntegrál zfzdz ( ) dverguje Obr.. Cauchyho funkca

33 K O T R O L É O T Á Z K Y 8. Čo je to pravdepodobnosť, ako ju môžeme vyjadrť? 9. Ako môžeme vyjadrť pravdepodobnosť, že : a) nastanú súčasne dva nezávslé javy, b) nastane nektorý z dvoch vzájomne sa vylučujúcch javov? 0. O čom hovorí zákon veľkých čísel?. Ako vyjadríme očakávanú hodnotu nejakej velčny?. Aká je rozdelovaca funkca hustoty pravdepodobnost bnomckého rozdelena? 3. Aká je stredná hodnota, rozptyl a štandardná odchýlka pre bnomcké rozdelene? 4. Ako môžeme odhadnúť rozptyl pre bnomcké rozdelene keď nepoznáme hodnotu p - ndvduálne pravdepodobnost úspechu? 5. Aká je rozdelovaca funkca hustoty pravdepodobnost Possonovho rozdelena? 6. Aká je stredná hodnota, rozptyl a štandardná odchýlka pre Possonove rozdelene? 7. Keď sčítame dva Possonovské procesy aké rozdelene bude mať súčet? 8. Aká je rozdelovaca funkca hustoty pravdepodobnost Gaussovho rozdelena? 9. Aká je stredná hodnota, rozptyl a štandardná odchýlka pre Gaussove rozdelene? 30. Aký je vzťah medz FWHM a pre Gaussove rozdelene? 3. Aká je pravdepodobnosť, že skutočná hodnota velčny, ktorá má normálne rozdelene bude ležať v ntervale ± od strednej hodnoty? 3. Kedy prechádza Possonove rozdelene na Gaussove? Ú L O H Y. Počas spŕšky meteortov, meteorty padajú s početnosťou 5.7 za hodnu. Aká je pravdepodobnosť pozorovana menej než 5 meteortov v časovej peróde 30 mnút?. Študet sa pokúša stopnúť auto. Autá prechádzajú v náhodných ntervaloch, pr premernej početnost za mnútu. Pravdepodobnosť, že auto zastaví je %. Aká je pravdepodobnosť, že študent bude ešte čakať : a) po prechode 60 aut? b) po hodne?.3 Ukážte, že škmosť a špcatosť sú pre Gaussán nulové. S Ú H R Pravdepodobnosť p získana určtých špecfckých výsledkov realzácou jedného z týchto meraní je možné vyjadrť pomerom počet udalostí v ktorých pozorujeme výsledok p celkový počet meraní

34 vzájomne sa vylučujúce javy - súčet pravdepodobností p p +p +...p nezávslé javy - súčn pravdepodobností p p p p 3...p podmenené pravdepodobnost - p p A.p A B Očakávaná hodnota r - označuje sa <r>, alebo nekedy E(r) (epected value). r rp() r r bnomcké rozdelene pravdepodobnost Pr (; pn, ) p( p)! r! n r! r n r n ( ) pravdepodobnosť závsí nelen na počte úspechov r, ale tež na vlastnej pravdepodobnost p a počte pokusov n stredný počet úspechov je r np rozptyl V() r np( p) štandardná odchýlka np( p) keď p je neznáme môžeme pre rozptyl použť odhad r s n r Possonove rozdelene - pravdepodobnosť získana r eventov ak stredný očakávaný počet je λ je r λ λ Pr (; λ) e r! celková pravdepodobnosť takže r 0 Prλ (; ) stredná hodnota početu eventov je r λ rozptyl V(r) λ štandardná odchýlka λ suma dvoch Posonovských procesov je ďalš Possonovský proces Rozdelovaca funkca hustoty pravdepodobnost Gaussovského rozdelena je: ( μ ) P ( ; μ, ) e π

35 je normované na P ( ; μ, ) d μ je stredná hodnota rozdelena P( ; μ, ) d μ je to taktež modus a medán Štandardná odchýlka je, rozptyl ( μ) P( ; μ, ) d Pre Gaussovské rozdelene platí - FWHM (šírka v polovc mama).35, Rovnomerné rozdelene P ( ) b a pre a b 0 pre ostatné premer je obvykle (a+b) /, rozptyl - V( ) ( b a) 3 EISTOTY (ERRORS) UČEBÉ CIELE V tejto kaptole by sa mal študent oboznámť s typm nestôt, naučť sa pracovať s nm, oboznámť sa s centrálnou lmtnou vetou, ako sa kombnujú nestoty, čo sú to systematcké a náhodné nestoty KĽÚČOVÉ SLOVÁ nestoty - náhodné a systematcké, nestoty typu A a typu B, kombnáce nestôt, centrálna lmtná veta 3. ÚVOD Pr meranach sa stretávame s nestotam, ktoré môžu byť systematcké alebo náhodné. estoty môžu mať mnohé príčny, tvora ch vaceré komponenty. Keď hodnoty sú ohodnotené nestotou, táto nestota je gaussovská štandardná odchýlka. Ak napr. poveme, že tehla váž 0.8 ± 0. kg, myslí sa tým, že to vážme váhou, ktorá dáva hodnotu, ktorá sa v rámc ± 0. kg nelíš od skutočnej hodnoty so 68% pravdepodobnosťou, v rámc 0. kg s 95% a 0.3 kg s 99.7 % pravdepodobnosťou. Toto ne je len taký náhodný výber. estoty v meranach a

36 výsledkoch sú vo všeobecnost dobre popísané Gaussovým rozdelením (preto sa toto rozdelene nazýva normálnym rozdelením) 3. PREČO SÚ EISTOTY GAUSSOVSKÉ? Zdroje nestôt pr meranach môžu byť rôzne. apríklad ak merame dĺžku nejakého predmetu pomocou pravítka - výsledok je ovplyvnený najrôznejším príčnam - uhol pohľadu, kalbráca pravítka, chvene rúk a pod. Pr použtí ných meradel, napr. dgtálnych - do hry vstupujú né okolnost ktoré ovplyvňujú získanú hodnotu. edokonalosť merana nemá len jednu príčnu, ale mnohé. V nasledovnom s ukážeme zaujímavé a významné vlastnost premenných, ktoré sú sumou nekoľkých ďalších. Hovorí o tom centrálna lmtná veta (central lmt theorem - CLT). 3.. Centrálna lmtná veta (central lmt theorem - CLT) Máme sumu X pre nezávslých premenných, kde,,..., každá má z rozdelena strednú hodnotu μ, rozptyl V alebo, rozdelene pre X má: a) očakávanú hodnotu X μ b) rozptyl V( X) V c) stáva sa Gaussovským pre. CLT pracuje lepše v centre rozdelena ako ďalej od neho. Rozdelene môže byť nerozoznateľné od Gaussa v oblast - sgma od píku, ale na okrajoch, chvostoch sa môže líšť. Obr 3.. A - hstogram 5000 čísel náhodne vybraných z rovnomerného rozdelena medz 0 a. Má strednú hodnotu /, rozptyl / a je ploché - určte ne Gauss B - hstogram ných 5000 čísel, každé je sumou dvoch náhodných čísel (ako pre A) X +, rozdelene je trojuholníkové, pík pre.0, padá lneárne k 0 a. C - suma 3 náhodných čísel, pík pr.5, tvar krvkový, D - suma náhodných čísel - Gauss - stredná hodnota pre 6.0, rozptyl /.0

37 3.3 PRÁCA S EISTOTAMI 3.3. Opakovane meraní Predpokladajme, že velčna je meraná mnohokrát. Môžeme využť CLT v jednoduchšej podobe za predpokladu všetky stredné hodnoty μ majú rovnakú hodnotu μ - aj štandardné odchýlky majú rovnakú hodnotu X μ μ <X> je očakávaná stredná hodnota sumy nezávslých premenných, každá z ktorých má strednú hodnotu rozdelena μ a rozptyl V (alebo ) X a keď s označíme potom dostaneme μ keď merana sú nezávslé, rozptyl je práve rozptyl X delený V( ) V (Keď urobíme meraní,,..., a spremerujeme ch - dostaneme premer. Tento výsledok je subjektom štatstckých fluktuácí, ale v premere jeho hodnota bude μ, - raz vac, raz menej, ale v premere μ, t.j. μ. Rozdel medz aktuálnou hodnotou premeru a skutočnou strednou hodnotou je popísaný rozdelením, ktoré má rozptyl V( ) Obr.3. 5 meraní - štandardná odchýlka premeru

38 Štandardná odchýlka premeru (za spomínaných predpokladov) sa znžuje ako. Toto je zahrnuté aj v známom štatstckom pravdle: "Premerovane je pre teba výhodné". Ak urobíme nezávslých meraní nečoho, ch premer má očakávanú hodnotu ktorá je práve požadovaná velčna, ak jej rozptyl sa znžuje ako /, rozlíšene alebo nestota premeru je, čo je o faktor menša nestota ako nestota jednotlvého merana (je dôležté s všmnúť, že toto platí pre každé rozdelene, ne len pre Gaussovské). sa nazýva štandardná odchýlka premeru, popsuje ako dobre veme strednú hodnotu rozdelena, ktorá je často veľm dôležtou velčnou. Závsí na štandardnej odchýlke rozdelena a tež na počte meraní. Obr. 3. ukazuje hstogram náhodne vzorkovaného Gaussovho rozdelena - 5 meraní, je známa, štandardná odchýlka premeru týchto 5 meraní je 5 menša ako Premerovane vážených meraní Predpokladajme, že máme súbor meraní { } nejakej velčny μ a teto merana majú rôznu nestotu. - merana s malou nestotou by mal mať väčšu váhu ako s veľkou. Príklad Vypočítajte premernú hodnotu ak použjeme voltmetre, jeden má presnosť 0.0V, druhý 0.0V. S prvým voltmetrom namerame 3.V, s druhým 3.3V. Ako robť premer? Rešene Ak s prvým voltmetrom získame 4 hodnoty, premer bude mať presnoť V. 4 merana s horším meracím prístrojom sú ekvvalentné jednému s dvakrát lepšou presnosťou, potom premerná hodnota nameraného napäta je V / / V. Zovšeobecnene, keď sa zaoberáme meranam rovnakej velčny z ktorých každá má nestotu môžeme vyjadrť vážený premer a jeho rozptyl nasledovne V( ) Váhovane výsledkov vyžaduje opatrnosť a uvážlvosť 3.4 KOMBIÁCIE EISTÔT 3.4. Jedna premenná Predpokladajme, že je f jednoduchá lneárna funkca - f a b + a, b sú konštanty, má rozdelene s rozptylom V(), reprezentuje merane, alebo prebežný výsledok - f - fnálny výsledok, alebo tež ďalší prebežný. Rozptyl výslednej funkce je:

39 V( f) f + f ( a+ b) a+ b a + ab + b a ab b a ( ) a V( ) alebo nak f a b je konštanta jej prdane k premennej nemá žadny vplyv na rozmazane. zovšeobecnene - funkcu f() pre malé rozdely môžeme rozvnúť do Taylorovho radu okolo 0 : df f( ) f( 0) + ( 0) d 0 dosadením do predošlých vzťahov dostaneme df V( f) V( ) d df f d apromáca je platná pre 'malé nestoty' - malé znamená, že prvá derváca sa nemení vac ako o nekoľko. príklad - napr. - ak rýchlosť náboja je 00 ± 0 m/s, vzdalenosť po 6 sekundách bude 00 ± 60 m/s príklad Aká je nestota snθ ak uhol θ je známy s presnosťou 0.0 radánu? Rešene Ak uhol θ je známy s presnosťou 0.0 radánu, potom snθ je známy s presnosťou 0.0 cosθ 3.4. Funkca dvoch a vacerých premenných predpokladajme funkcu dvoch premenných, podobne ako v predošlom prípade - lneárnu - v tvare - f(, y) a + by + c a,b, c sú konštanty rozvojom, ako v predošlom prípade dostaneme pre rozptyl V( f) a ( ) + b ( y y ) + ab( y y ) av( ) + bv( y) + abcov(, y) potom pre obecnejšu f(,z), opäť pre malé nestoty, dostaneme df df df df V( f) V( ) + V( y) + cov(, y) d dy d dy df df df df f + y + y ρ d dy d dy kde dferencály sú ohodnotené, tak ako predtým, pre skutočné, alebo merané hodnoty (, z)

40 3.4.3 Pravdlá kombnáce nestôt pre,y nezávslé df df V( f) V( ) + V( y) d dy df df f y d + dy teda pre funkcu, y a z (nezávslých) máme df df df f + y + z d dy dz Príklad Vypočítajte celkovú nestotu dráhy, ktorú prejde teleso za 6 sekúnd ak sa pohybuje rýchlosťou 00 ± 0 m/s a má zrýchlene ± m/s. Rešene Ak sa teleso pohybuje rýchlosťou 00 ± 0 m/s a má zrýchlene ± m/s, potom za 6 sekúnd prejde (s vt + / at ) vzdalenosť 46 m, celková nestota - príspevok rýchlost je ± 60m, príspevok zrýchlena ± 36 m, potom výsledok je ± 70m Relatívne nestoty ak máme f y podľa predošlého pre rozptyl dostaneme y f V( f) y V( ) + V( y), čo môžeme rozpísať ako + f y ak máme f, tak tež pre podel dostaneme po úpravách rovnaký vzťah ako y pre súčn y f + f y ( * ) Príklad Vypočítajte relatívnu nestotu.y a /y ak veme, že relatívna nestota je 3% a y 4% Rešene Zo vzťahu ( * ) pre relatívnu nestotu y a /y dostaneme 5% Percentuálna nestota je výhodná tež pre prevrátné hodnoty a je rovnaká ako pre samotné pre logartmus je relatívna nestota ako relatívna nestota ln Príklad Vyjadrte relatívnu nestotu pre prúd z Ohmovho zákona