MODELIRANJE OTVORENOG VODOTOKA (OPEN-CHANNEL FLOW)

Transcript

1 MODELIRANJE OTVORENOG VODOTOKA (OPEN-CHANNEL FLOW) Promatrajmo strujaje fluida u otvoreom vodotoku. Popreči presjeci kaala mogu biti različiti pr. pravokuti, trapezi i sl., dok se kod prirodih vodotoka pojavljuju popreči presjeci epravilih oblika. Ukoliko je popreči presjek kaala jedak a proizvoljom presjeku, te je agib da jedak u bilo kojoj točki, govorimo o prizmatičom kaalu. y(x ) Slika 1. Popreči presjek kaala a udaljeosti x Na poprečom presjeku kaala defiiramo sljedeće veličie: A površia omočeog presjeka kaala ( A= A( x, y) ) P perimetar od. opseg omočeog presjeka ( P= P( x, y) ) A R hidraulički radijus; R = P Klasifikacija strujaja se može apraviti prema različitim kriterijima. Ako se brzia strujaja e mijeja u ovisosti o vremeu, oda je strujaje stacioaro, u suprotom se radi o estacioarom strujaju. Nadalje, ako se brzia strujaja e mijeja s obzirom a udaljeost u kaalu (od eke referete točke) oda je strujaje uiformo, a iače se radi o euiformom strujaju.

2 v g ideala fluid eergetska liija h e y x y(x) z(x) Θ refereta ravia Pretpostavke: - kut θ je mali - strujaje je izrazito jedodimezioalo - tlak je isključivo hidrostatski Slika. vodo lice Općeito se strujaje u kaalu opisuje sustavom parcijalih diferecijalih jedadžbi, koje proizlaze iz zakoa očuvaja mase i zakoa očuvaja količie gibaja. Ako pretpostavimo da se radi o prizmatičom kaalu, možemo ih zapisati u obliku: A Q + = t x diamičke jedadžbe (1) v v + g y+ = g( S Sf ) t x g Q y je dubia vode, v brzia, a Q protok, pri čemu vrijedi relacija v =. S f je pad eergetske liije ozaku S S dh, defiira Maigovom formulom (koja je prikazaa u astavku). Uvedimo smo ozačili agib da kaala, tj. dh S f A =. () dz S = = ta Θ. Stacioaro strujaje Nadalje, ukoliko promatramo stacioaro strujaje fluida, očito je da zbog eovisosti A v varijabli o vremeu tj. = i =, iz prve jedadžbe sustava (1) slijedi: t t Q = kost. odoso iz druge jedadžbe dz d v + + = S f. () g Zapravo se ova jedadžbe može dobiti i ako kreemo od pozate am Beroullijeve jedažbe

3 p v z + + = H ρg g prema kojoj je ukupa eergija kostata duž strujice. Vrijedost eergetske liije v ozačimo s H. Uvažavajem jedakosti p = ρgy, slijedi z + y + = H, odoso g derivirajem po x dobijemo diferecijalu jedadžbu za dubiu vode y = y(x) : Nadalje, kod stacioarog toka dz + + ( Q = kost.) d Q ga = dh u prizmatičom kaalu vrijedi. (4) d Q Q d 1 Q d 1 Q da Q B = = = = (5) ga g A g A ga ga Kod druge smo jedakosti uvažili čijeicu da je kaal prizmatiča, što zači da se popreči profili e mijejaju s obzirom a udaljeost x u kaalu, dok zadja jedakost slijedi iz da B =. dh Pad eergetske liije = S f defiira je Maigovom formulom, pomoću koje se modeliraju gubici astali zbog treja Maigova formula: gdje je Maigov koeficijet treja, Q S f =, (6) 4 / R A A R = je hidraulički radijus, a P perimetar. P Vrijedosti Maigovog koeficijeta: - betoski kaal,15 - prirodi kaali (glia), - riječi tokovi,,7 Kod stacioarog toka, iz (4)-(6) dobijemo diferecijalu jedadžbu za dubiu vode y = y(x) S S f = BQ 1 ga (7) Opazimo da jedadžba (7) vrijedi za BQ 1 ga.

4 (7) je diferecijala jedadžba prvog reda oblika, y ( x) = f( x, y( x)) za koju aalitičko rješeje zamo odrediti samo u ekim posebim slučajevima, za razliku od umeričkog rješeja koje zamo odrediti u području u kojem je diferecijala jedadžba dobro defiiraa. Da bi problem bio u potpuosti modelira potrebo je zadati i počete uvjete. Zadatak: Za početi uvjet yx ( ) = y odrediti dubiu vode yx ( ) iz diferecijale jedadžbe (7). Poseba slučaj: Uiformi tok i ormala dubia Kao što smo već spomeuli, kod uiformog strujaja su brzia i dubia vode kostate veličie pa iz jedadžbe (7), radi =, slijedi: S = S. f Iz Maigove formule (6) potom proizlazi da kod uiformog toka vrijedi: 1 / 1/ Q= AR S. (8) Na osovu te jedadžbe može se odrediti dubia vode kod uiformog toka, tzv. ormala dubia koju ćemo ozačiti s y. Prizmatiči kaal s pravokutim poprečim presjekom: B - širia kaala da A ( y) = B y = B ; P( y) = B + y Kod zadavaja podataka, običo su am pozate veličie: potom možemo odrediti iz sljedećeg izraza: / / 1/ By 1/ + QS,,, B. Normalu dubiu 1 1 Q = AR S = By B y S (9) koristeći eku od umeričkih metoda. Trapezi kaal: B - širia da kaala Z - agib bočih straica kaala (tages kuta agiba bočih straica kaala)

5 da A( y) = ( B + yz) y = B + yz ; P ( y) = B + y 1+ Z Primjer. Odrediti ormalu dubiu vode y u trapezom kaalu, s bočim agibom Z =, te širiom dz da B = 1m. Nagib da kaala je kostata i jedak S = =.1 (1m po km duljie), a Maigov koeficijet =.1. Rješeje. y x Z= 1 Dubiu vode ozačimo s y. Iz sličosti trokuta slijedi 1: z = y: x, pa je x = zy. Površia omočeog presjeka trapeza je A = ( B + zy) y. B Opseg omočeog presjeka trapeza je P= B + y 1+ z. A ( B + zy) y Hidraulički radijus je R = =. P B + y 1+ z Normalu dubiu vode potom određujemo iz jedadžbe (8), koja ako uvrštavaja dobiveih izraza i i sređivaja poprimi oblik [( B + zy ) y ] 5/ Q =. / S B + y 1+ z Nako uvrštavaja pozatih vrijedosti dobijemo ( ) ( ) / 5/ F( y ) = y (1 + y ) y =. Nul točka fukcije F( y) predstavlja rješeje gorje jedadžbe. Može se odrediti pr. pomoću eke od umeričkih metoda pr. bisekcijom ili Newtoovom metodom. Rješeje je y = 1.9m.

6 Kritiča dubia Nadalje, defiirajmo kritiču dubiu y c. To je dubia kod koje je Froudov broj jedak 1, tj. v Fr = = 1. (1) gy c Opazimo da je u slučaju kritiče dubie azivik u diferecijaloj jedadžbi (7) jedak te da diferecijala jedadžba u toj točki e vrijedi. Kritiču dubiu možemo izraziti iz (1) te dobijemo y c Q q ga = g = (11) Q gdje je q =. Karakteristika kritiče dubie je da je to dubia kod koje je specifiča eergija A fluida miimala. Vrijedost c= gy azivamo brzia šireja poremećaja. To je zapravo relativa brzia šireja vala u odosu a medij uutar kojeg taj val putuje. Apsolute brzie šireja vala su zapravo jedake v-c i v+c. Ako je v< c oda govorimo o podkritičom toku, za v = c je tok kritiča, dok je za v> c tok adkritiča. Uočimo da kod podkritičog toka vrijedi v c<, a v+ c > što zači da se jeda kraj vala putuje uzvodo, a drugi izvodo. Kod kritičog je toka v c =, pa je jeda straa vala stacioara, dok druga putuje izvodo brziom v+ c. Za razliku od toga, kod adkritičog toka se obje strae vala gibaju izvodo, jer je v c > i v+ c >. Dakle, kod adkritičog toka poremećaj putuje isključivo izvodo, što zači da tok uzvodo od promatrae lokacije uopće 'e za' što se događa izvodo. HIDRAULIČKI SKOK Hidraulički skok (jump) se pojavljuje kod prijelaza strujaja iz adkritičog u pdkritičo. U točki u kojoj je Froudov broj jedak 1 dogodi se hidraulički skok. Kod hidrauličkog skoka dolazi do gubitka eergije (zbog turbulecije) i do aglog skoka u vodom licu. Kako gubitak eergije a skoku ije uaprijed pozat, jedadžbu očuvaja eergije e možemo primijeiti direkto. Uočimo također da u točki skoka diferecijala jedadžba (7) e vrijedi jer je azivik dese strae jedak ula. U astavku ćemo promatrati rješeja jedadžbe (7) uz postavljei početi uvjet yx ( ) = y, tj. pozatu dubiu vode u ekoj točki. Kako aalitička rješeja jedadžbe isu pozata, osim u ekim posebim slučajevima, za rješavaje ćemo koristiti umeričke metode. Prisjetimo se, da su stadarde umeričke metode za rješavaje diferecijale jedadžbe prvog reda:

7 Eulerova metoda, poboljšaa Eulerova metoda i različite Ruge-Kutta metode. Koju ćemo od spomeutih metoda odabrati ovisi o točosti koju želimo postići. Pritom treba svakako voditi račua i o stabilosti pojediih metoda. Rješeja postavljeog početog problema mogu biti različitog oblika, u zavisosti o početom uvjetu, agibu kaala i treju u kaalu. Promatrati ćemo različite slučajeve u tzv. kaalima s blagim agibom (mild slope). Takav je agib okarakterizira uvjetom y c < y U tom se slučaju liija kritiče dubie alazi ispod liije ormale dubie. Tim je dvjema liijama područje strujaja podijeljeo u tri zoe (vidi sliku.). Oblik rješeja, dakle vodo lice, ovisi o početom uvjetu. Tražea se rješeja određuju iz diferecijale jedadžbe (7), koja se za promatrai pravokuti prizmatiči kaal može zapisati u obliku: = S y 1 y 1 / yc 1 y U ovisosti o zoi u kojoj se alazi početi uvjet, dakle početa dubia ovisi sami oblik rješeja. Začajo je aglasiti da dubia vode, odoso rješeje e može prijeći diferecijale jedadžbe iz jede u drugu zou dakle, ako je početi uvjet u zoi 1, vodo lice ostati će u zoi 1. Pripadajuća se krivulja aziva M1 krivulja. (1) Razlikujemo M1, M i M krivulje. (Slika 1.6) Vrijedi: - za y < y < y rješeje je M1-krivulja 1,8 c - za y < y < y rješeje je M -krivulja c - za y < y < y rješeje je M -krivulja c 1,6 1,4 z 1, 1,8 Do kaala Kritiča dubia Normala dubia,6 5 1 x 15

8 Slika. Vodo lice u kaalima s blagim agibom za različite počete uvjete. U točkama u kojima se dogodi prijelaz iz jede u drugu zou, rješeje zapravo e zadovoljava diferecijalu jedadžbu (to su slučajevi u kojima je azivik u diferecijaloj jedadžbi jedak, dakle točke u kojima se dostige kritiča tok). Primjeri u kojima se pojavljuju promatrae krivulje: M1-krivulja podkritičo strujaje (Fr<1) - utok u jezero; M-krivulja prijelaz iz podkritičog u adkritičo strujaje kod kaala čiji se agib poveća; strujaje prije prijelaza u adkritičo ima oblik M-krivulje M-krivulja prijelaz iz adkritičog u podkritičo strujaje pr. strujaje ispod zaporice; dio krivulje prije prijelaza u podkritiči tok ima oblik M-krivulje Na sliča se ači rješeja mogu dobiti i za veće agibe kaala (steep slope) kada je y c > y. U tom slučaju rješeja imaju oblik tzv. S-krivulja.