Andmete haldus ja analüüs MS Excelis Praktikum 1
|
|
- Σάρρα Γιαννόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Praktikum 1 Tänase praktikumi teema on MS Exceli peamised andmeanalüüsivahendid funktsioonid, statistikaprotseduurid, risttabelid (PivotTabel) ja joonised ning valdavalt kirjeldav statistika. VÄGA ÜLDINE SISSEJUHATUS MS Excelis on võimalik teostada suur hulk andmete haldamisest ja esmasest statistilisest analüüsist, sageli ka kogu vajalik analüüside hulk. Näiteks allakirjutanul kulub andmete analüüsil 60-70% ajast justnimelt Excelis töötades, ja seda mitte seepärast, et muid programme poleks või ei oskaks kasutada, vaid pigem põhjusel, et Excelis läheb asi kõige kiiremini ja lihtsamini. Käesolev koolitus eeldab, et osalejatel on olemas nii andmeanalüüsi kui ka Exceli kasutamise alased baasteadmised. Vajakajäämiste (eelkõige statistiliste analüüside alaste) puhul võib abi otsida EMÜ veterinaarmeditsiini ja loomakasvatuse instituudi esimese kursuse tudengite biomeetria-kursuse praktikumijuhendeist aadressil õpiobjektist Andmeanalüüs MS Excelis (MS Excel 2010 baasil) ning muidugi, küsida koolitusel kohapeal. Ja veel ülesannete ära tegemine juhendist lihtsalt näpuga rida ajades ja samu vastuseid saada proovides, mõistmata täpselt, miks just nii, ei ole eriti kasumlik tegevus. Seega, küsige, kui miskit arusaamatuks jääb! Ja mõnikord on kasulik sirvida tööjuhendis paar lehekülge edasi, et näha, kuhu peaks välja jõudma siis on ehk lihtsam mõista, miks midagi tehakse. Tanel Kaart jaanuar, Tanel Kaart
2 ÜLDINE SISSEJUHATUS: PEAMISED ANDMEANALÜÜSI TEOSTAMISE VAHENDID MS EXCELIS Järgmiste näidete aluseks olev 12 lehma andmeid sisaldav Exceli fail on allalaaditav aadressilt Exceli_koolitus_EMYs_2014/lehmad_1.xlsx See peatükk annab vaid kiirülevaate, et ühtteist meelde tuletada või anda mõningaid esmaseid näpunäiteid. Täpsemalt tuleb kõigest juttu edaspidi juba konkreetsete ülesannete najal. Nipid, märkused, soovitused. Andmetabeli ülesehitusest ja arvutustest. Rangelt soovitatav on (st, et see on ilmtingimata vajalik mõnede analüüside teostamiseks ja teeb teiste puhul andmete ette andmise lihtsamaks) o paigutada andmetabel töölehe ülemisse vasakusse nurka ning o kirjutada andmetabeli esimesse (ja üksnes esimesse) ritta iga veeru tarvis tunnuste nimed, mis identifitseerivad veerud üheselt. Mistahes arvutustulemuste-kokkuvõtete-kommentaaride ning algse andmetabeli vahele peaks jääma vähemalt üks tühi rida ja veerg, sest vastasel juhul käsitleb Excel mitmete operatsioonide puhul neid kommentaare jmt andmetabeli osadena, mis omakorda võib viia valede arvutustulemusteni. Järgnevalt on esitatud vaikimisi analüüstav andmetabel sorteerimisel, filtreerimisel ja PivotTable i rakendamisel, kui operatsiooni valimise hetkel paiknes kursor lahtris A1: Tanel Kaart
3 Samm Funktsioonid --- Pange kursor sellesse lahtrisse, kuhu funktsiooni tulemust soovite. Näiteks soovides arvutada lehmade keskmist piimatoodangut lahtrisse E15, tuleb sinna panna ka kursor. Samm 2. Klikkige valemi rea ees oleval nupul nimi või valige soovitav funktsioon Formulas-sakilt: ning valige avanenud aknas funktsiooni tüüp ja või sisestage funktsioon klaviatuurilt ise, trükkides esmalt võrdusmärgi = ja selle järele funktsiooni nime. See viimane versioon on kiireim ja mugavaim! Isegi kui te ei mäleta funktsiooni täpset nime ja süntaksit, piisab, kui trükite võrdusmärgi ja selle järele fu nktsiooni nime esimese tähe Excel pakub teile valikut kõigist antud tähega algavaist funktsioonidest, lisades järgmise tähe, funktsioonide valik kitseneb. Lisaks kuvab Excel selle funktsiooni kohta, millel hiirega klikite, ka lühiselgituse: Samm 3. Andke ette funktsiooni argumendid, klikkides vastavatel lahtritel või trükkides lahtrite aadressid või vastavad väärtused klaviatuurilt. NB! Kui te hakkasite funktsiooni sisestama seda ise trükkides, tuleb funktsiooni valimiseks Exceli poolt kuvatud nimekirjast teha sellel hiirega topeltklikk. Tulemus: Tanel Kaart
4 Nipid, märkused, soovitused. Kui lahtri sisu algab võrdusmärgiga, ootab Excel selle järel alati käsku, mida teostada. Näiteks trükkides lahtrisse H2 käsu =3*2 ja vajutades Enter-klahvi, on tulemuseks väärtus 6. Soovides lahtris nähagi teksti kujul =3*2, tuleb võrdusmärgi ette trükkida ülakoma, st. et lahtri sisu peab olema =3*2. Arvutuste aluseks olevaid väärtuseid sisaldavaid lahtreid võite funktsioonidele ette anda o vastavaid lahtreid töölehel hiirega valides; o klikkides lahtribloki viimasel lahtril ja seejärel Shift-klahvi all hoides lahtribloki esimesel lahtril see on sageli kiireim viis suurte andmetabelite puhul, sest kerimisriba abil saate kiiresti liikuda tabeli algusesse; o trükkides klaviatuurilt analüüsitavate lahtrite aadressid; seejuures tähendab koolon kahe lahtri aadressi vahel kuni (E2:E13 tähendab lahtreid E2 kuni E13), semikoolon kahe lahtri aadressi vahel tähendab aga ja (E2;E13 tähendab lahtreid E2 ja E13), argumentide esitus kujul E7:E9;E13 tähendab aga lahtreid E7 kuni E9 pluss E13 näiteks arvutab valem =AVERAGE(E7:E9;E13) eesti punast tõugu lehmade keskmise piimatoodangu algsest lehmade andmetabelist. Igasugu kokkuvõtlike tulemuste ja algse andmetabeli vahele peaks alati jätma vähemalt ühe tühja rea ja veeru vajalik on see selleks, et Excel ei tõlgendaks kokkuvõtlikke suuruseid andmetabeli osana (näiteks ühe täiendava lehma piimatoodanguna). NB! Semikoolonit kasutatakse erinevate lahtrite valimiseks (näiteks E2;E13) ja üldisemalt, funktsiooni erinevate argumentide eraldamiseks (näiteks =COUNTIF(F2:F13; >4 )), vaid eesti keele seadistuses Exceli puhul, inglise keele seadistuses Excelis on funktsiooni argumentide eraldajaks koma! Samm Risttabel (Pivot Table) --- Pange kursor suvalisse andmetabeli lahtrisse eeldustel, et andmetabeli esimeses (ja üksnes esimeses!) reas on tunnuste nimed ning analüüsitav andmetabel on muudest arvutustulemustest ja kommentaaridest eraldatud vähemalt ühe tühja rea ja veeruga, kaasab Excel analüüsi kogu andmetabeli. Tanel Kaart
5 Samm 2. Insert-sakk PivotTable Kui te unustasite algselt kursori andmetabelisse panemata või soovite lihtsalt täpsustada analüüstavat andmetabelit, saate seda teha siin. Vaikimisi lisatakse PivotTable i tarvis Exceli tööraamatusse uus tööleht (New Worksheet) ning paigutatakse konstrueeritav tabel sinna. PivotTable i mõnele juba olemas olevale lehele paigutamiseks tuleb ära märkida teine valik (Existing Worksheet) ning anda ette loodava tabeli vasaku ülemise nurga aadress (kas klikkides hiirega vastaval tühjal lahtril või trükkides lahtri aadressi kasti Location). Samm 3. Avanenud PivotTable i konstrueerimise aknas lohistage kasti Row Labels tunnus(ed), mille väärtuste alusel soovite jagada tabelit ridadeks, kasti Column Labels tunnus(ed), mille väärtuste alusel soovite jagada tabelit veergudeks, kasti Σ Values tunnus(ed), mille väärtuste kohta soovite midagi arvutada ning kasti Report Filter tunnus(ed), mille väärtuste alusel soovite konstrueerida erinevaid tabeleid. NB! Kõik nimetatud lahtrid ei pea olema täidetud. Näiteks soovides lugeda kokku, kui mitu mingit tõugu lehma mingist farmist on, võib tabeli konstrueerida järgmiselt: Tanel Kaart
6 Samm 1. Data-sakk Data Analysis --- Statistikaprotseduurid --- NB! Kui valik Data Analysis teie arvutis puudub, tuleb see aktiveerida (välja kutsuda): File Options Add-Ins Manage Excel Add-ins [Go...] Analysis ToolPak. Samm 2. Avanenud aknas valige vajalikku analüüsi teostav protseduur ning andge sellele ette analüüsitavaid andmeid sisaldavate lahtrite aadressid (mitte kõigil protseduuridel), määrake väljuntabelite-jooniste asukoht (vaikimisi uuele töölehele) ning täpsustage teostatavad analüüsid ja väljastatavad tabelid (osadel protseduuridel). Näiteks soovides genereerida kahte veergu kummassegi viit standardse normaaljaotusega juhuslikku arvu ning paigutada tulemused avatud töölehele alates lahtrist I1, tuleb statistikaprotseduuride hulgast valida Random Number Generation, täita ära vastavad lahtrid ja klikkida nupul OK: Tulemus: Tanel Kaart
7 Nipid, märkused, soovitused. Kui funktsioonid annavad enamasti tulemuseks ühe väärtuse (va üksikud massiivifunktsioonid), on statistikaprotseduuride tulemuseks mitmed mahukad tabelid ja mõnikord ka joonised. Kursori paiknemisest analüüside teostamise eel: o funktsioonide rakendamisel peab kursor olema (tühjas) lahtris, kuhu soovite tulemust saada, o PivotTable i konstrueerimisel on soovitatav panna kursor andmetabeli sisse, o statistikaprotseduuride rakendamisel ei ole kursori asukoht tähtis (andmeid on mugavam ette anda, kui aktiivne on analüüsitavaid andmeid sisaldav tööleht). Tunnuste nimede arvestamisest: o funktsioonid eeldavad reeglina, et andmed on ette antud ilma tunnuse nimeta, o PivotTable eeldab vastupidi, et andmetabeli esimeses reas on (unikaalsed) tunnuste nimed, o statistikaprotseduurid, mis opereerivad Exceli töölehel kirjas olevate väärtustega, tunnuste nimede olemasolu andmetabeli esimeses reas ei eelda, aga võimaldavad nende olamsolul andmeid analüüsida koos nimedega (siis tuleb ära märkida lisavalik Labels in first row) ning kasutavad neid tulemuste väljatrükis. Tanel Kaart
8 Rasv, % Rasv, % Andmete haldus ja analüüs MS Excelis Praktikum 1 Samm Joonised --- Võtke blokki andmed, mille alusel soovite joonist konstrueerida ning valige Insert-sakilt sobiv joonis. Näiteks: 6,00 5,00 4,00 Rasv, % 3,00 2,00 Rasv, % 1,00 Samm 2. Kujundage joonis sobivaks. 0,00 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60, Piim, kg Piim, kg Tanel Kaart
9 KIRJELDAV STATISTIKA MS EXCELIS Järgnevates ülesannetes analüüsitav andmestik on osa Mariann Nõlvaku poolt aastail kogutud Eesti kalade andmebaasist ning sisaldab järgmiseid tunnuseid: kala number (lihtsalt identifitseerimiseks); liik (6 liiki: haug, särg, latikas, luts, ahven ja koha); rühm: röövkala või lepiskala; 5 püügikohta (Võrtsjärv, Kärevere, Kastre, Praaga ja Peipsi järv); püügisesoon (kevad-suvi või sügis-talv); kaal ja pikkus; sugu; lõpuse-, silma- ja sooleparasiitide ning laiussi (Diphyllobothrium latum) leidude arv kalal (arv_l6pusepar, arv_soolepar, arv_silmapar ja arv_diphyllob). lõpuse-, silma- ja sooleparasiitidega ning laiussiga nakatumine (kas jah või ei kodeerituna 1 ja 0); parasiitide arv kala kohta (par_per_kala). Kirjeldatud andmestik salvestage omale arvutisse aadressilt Tanel Kaart
10 OSA Arvkarakteristikud --- Funktsioonide kasutamine 1) Leidke andmetabeli alla püütud ahvenate arv, keskmine pikkus, pikkuse standardhälve ja standardviga, mediaan, alumine ja ülemine kvartiil, minimaalne ja maksimaalne väärtus. se s n Nipid, märkused, soovitused. Excelis puudub funktsioon aritmeetilise keskmise standardvea arvutamiseks. Aga teades standardvea arvutamise valemit: se = s/ n (keskmise standardviga võrdub standardhälve jagatud ruutjuurega vaatluste arvust), saab selle vajadusel ikkagi arvutada (st ülalolev joonis). 2) Püüdke sõnastada leitud suuruste alusel vähemalt kaks lauset (kasutades vähemalt ühes mediaani ja/või kvartiile). 3) Leidke samad suurused ka ahvenate massile. Tanel Kaart
11 4) Arvutage laiussi noorvormide arv keskmiselt kõigi ahvenate kohta ja vaid nakatunud ahvenate kohta. Kui mitu % ahvenatest üleüldse olid laiussiga nakatunud? Järgnevalt esitatud spikrit kasutades püüdke aru saada ka kasutatavate funktsioonide loogikast (kui aru ei saa, küsi!) Tanel Kaart
12 5) Ja nüüd arvutage samad suurused ka haugide tarvis (kasutades maksimaalselt ära juba rakendatud funktsioone ja vorminguid see tähendab, et tehke koopia kõigest ahvenate kohta kirjutatust ja arvutatust, edasi jääb üle muuta vaid funktsioonide argumente). Olulisemate arvkarakteristikute leidmise teisi variante Kuigi MS Exceli funktsioonidel on hulk positiivseid omadusi: argumentide ette andmine on enamasti intuitiivselt mõistetav; tänu võimalusele funktsioone kopeerida on kord juba sisestatud käsud lihtsalt rakendatavad uutele argumentidele (väärtustele, tunnustele); funktsioonide omavaheline kombineerimine võimaldab väljastada keeruliste avaldiste tulemusi; on teatud olukordades siiski sobivam kasutada mõnda teist MS Exceli vahendit. Näiteks 1. arvutamaks keskmisi väärtusi gruppides (näiteks keskmisi pikkusi erinevat liiki kaladel) on mugav kasutada PivotTable t (sakilt Insert); 2. leidmaks ühe korraga suurt hulka arvkarakteristikuid, samuti usalduspiire keskmisele, võib kasutada statistikaprotseduuri Descriptive Statistics (Data-sakk -> Data Analysis ->); 3. saamaks kiirelt teada mõne arvkarakteristiku väärtust, ilma seda kuhugi töölehe lahtrisse arvutamata, võib kasutada töölehe allservas (olekuribal) kuvatavaid selekteeritud lahtrite sisu kirjeldavaid väärtusi. Tanel Kaart
13 Pivot Table 1) Arvutage kõigi kalaliikide kohta püütud kalade arv, keskmine, minimaalne ja maksimaalne pikkus ning laiussi noorvormiga nakatunud kalade osakaal vahendi Pivot Table abil. --- Tööjuhend --- o Paigutage kursor andmetabeli suvalisse lahtrisse. o Insert-sakk PivotTable o Loodav tabel paigutage töölehe Sheet3 ülemisse vasakusse nurka (hiljem nimetage tööleht Sheet3 ümber leheks PivotTable ). ) Kui paigutasite kursori enne käsu PivotTable valimist andmetabeli suvalisse lahtrisse, võttis Excel tabeli konstrueerimisel vaikimisi aluseks teie andmetabeli ja midagi enesel määrata pole vaja. ) Vaikimisi lisatakse PivotTable i tarvis Exceli tööraamatusse uus tööleht (New Worksheet) ning paigutatakse konstrueeritav tabel sinna. PivotTable i mõnele juba olemas olevale lehele paigutamiseks tuleb ära märkida teine valik (Existing Worksheet) ning anda ette loodava tabeli vasaku ülemise nurga aadress (kas klikkides hiirega vastaval tühjal lahtril või trükkides lahtri aadressi kasti Location). Tanel Kaart
14 o Lohistage tunnus liik lahtrisse Row Labels ning tunnus kala_nr lahtrisse Σ Values Tulemus: o Exceli poolt vaikimisi leitud kalade numbrite summa asemel lihtsalt väärtuste arvu tellimiseks on mitmeid erinevaid võimalusi. Näiteks: Tanel Kaart
15 ) Alternatiivne variant funktsiooni muutmiseks PivotTable s on klikkida PivotTable Tools-saki Options-alamsaki ikoonil Summarize Values By ning valida soovitud funktsioon sealt: ) Rakendatavat funktsiooni saab muuta ka klikkides muudetaval tunnusel hiire vasakpoolse klahviga Pivot Table i konstrueerimise aknas lahtris Σ Values või hiire parempoolse klahviga Pivot Table s ning valides avanenud rippmenüüst käsu Value Field Settings ja sealt edasi vajaliku funktsiooni: o Sarnaselt kalade arvule leidke samasse tabelisse ka keskmine, minimaalne ja maksimaalne pikkus ning laiussi noorvormiga nakatunud kalade osakaal. Tanel Kaart
16 2) Ümardage keskmised ühe kümnendkohani ja esitage laiussi noorvormide esinemissagedused protsentides (kahe kümnendkohaga). 3) Edasi püüdke tabeliga pisut mängida, et tutvuda/meenutada mõningaid PivotTable võimalusi. Näiteks proovige, kas oskate tabelit esitada järgmistel erinevatel kujudel. 4) Sorteerige tabel kalaliikide keskmiste pikkuste järgi rühmade (lepiskala ja röövkala) siseselt. 5) Jätke tabelist välja kalaliigid, kelle puhul ei täheldatud laiussiga nakatumist (so lepiskalad ja röövkaladest koha). Jne Tanel Kaart
17 Protseduur Descriptive Statistics 1) Arvutage nii palju erinevaid arvkarakteristikuid ahvenate pikkuse ja massi kohta, kui protseduur Descriptive Statistics võimaldab. Võimalik on analüüsida mitut tunnust korraga tingimusel, et nende väärtused paiknevad kõrvuti veergudes Kas siia kastikesse on linnukest vaja? Väljundtabeli vasaku ülemise nurga asukoht Lisavalikute Summary statistics jt kohta vt järgmine lk. o o Kas teate, mida kõik Exceli poolt arvutatud suurused enesest kujutavad? Kas ahvenate pikkuse ja massi jaotusi võib pidada sümmeetrilisteks? Miks? Tanel Kaart
18 Selgitus protseduuri Descriptive Statistics lisavalikutest eelmisel lehel: valiku Summary statistics tulemusena arvutab Excel kaheteistkümne põhilise arvkarakteristiku väärtused; valiku Confidence Level for Mean: 95% tulemusena arvutatakse suurus, mis tuleb keskmisele juurde liita või lahutada, saamaks ülemist ja alumist usalduspiiri; vaikimisi kasutatava 95% asemele võib ise trükkida mõne teise arvu (näiteks 90 või 99); valikute Kth Largest ja Kth Smallest tulemusena väljastatakse järjekorranumbriga K väärtus vastavalt suuremate ja väiksemate väärtuste poolt lugedes; K = 1 korral on tulemuseks maksimaalne ja minimaalne väärtus, et aga need suurused sisalduvad ka valiku Summary statistics väljundis, on antud juhul mõistlik tellida näiteks suuruselt järgmised väärtused (siis K = 2). Uuritava tunnuse jaotuse kuju iseloomustamine Enamustest protseduuri Descriptive Statistics väljundis sisalduvatest arvkarakteristikutest on ennegi juttu olnud. Siiski on siin ka kaks uut suurust, mida kasutatakse peamiselt uuritava tunnuse jaotuse kuju iseloomustamiseks need suurused on ekstsess e järsakuskordaja (ingl kurtosis) ja asümmeetriakordaja (ingl skewness). Sellest, mida need karakteristikud mõõdavad, annavad parema ettekujutuse järgnevad joonised: ekstsess > 0 Jaotuse märkimisväärsest erinevusest normaaljaotusest on mõtet rääkida siis, kui ükskõik kumb neist kordajatest omandab absoluutväärtuselt 1-st suurema väärtuse ekstsess 0 ekstsess < 0 asümmeetriakordaja 0 asümmeetriakordaja > 0 asümmeetriakordaja < 0 Eriti palju neid kordajaid siiski ei kasutata. Jaotuse sümmeetrilisuse üle otsustamisel kasutatakse sageli (asümmeetriakordaja asemel) keskmise ja mediaani võrdlust. Nimelt, kuna aritmeetiline keskmine on tundlik erandlike väärtuste suhtes, siis vihjab x med sellele, et jaotuse kuju on parempoolse ebasümmeetriaga (leiduvad üksikud teistest palju suuremad väärtused, ja seega asümmeetriakordaja > 0), x med aga sellele, et jaotuse kuju on vasakpoolse ebasümmeetriaga (leiduvad üksikud teistest palju väiksemad väärtused, ja seega asümmeetriakordaja < 0). Tanel Kaart
19 2) Kas olulisuse nivool 0,05 võib väita, et Emajõe vesikonna ahvenate populatsiooni keskmine mass erineb 100 grammist (eeldades, et uuritav andmestik kujutab enesest juhuslikku valimit vastavast populatsioonist)? --- Lahenduse idee ja tööjuhend --- Kui võrreldav konstant jääb keskmise 95%-usalduspiiride vahele, ei saa väita, et keskmine erineks konstandist, ja vastupidi: H 0 : μ = 100 H 1 : μ 100 kui 100 siis H 0 : μ = 100, kui aga 100 siis H 1 : μ 100. Usalduspiirid keskmisele leitakse x t 1 2, n 1 s n valemi st Excel väljastab toodud valemi mõlemad liidetavad, mille alusel on lihtne mõlemad usalduspiirid välja arvutada. Kumb väidetest on korrektne? o Ei ole alust väita, et Emajõe vesikonna ahvenate populatsiooni keskmine mass erineks 100 grammist (p > 0,05). o Emajõe vesikonna ahvenate populatsiooni keskmine mass erineb / on suurem kui 100 gr (p < 0,05). Tanel Kaart
20 Kõige kiirem variant mõne olulisema arvkarakteristiku väärtuse teada saamiseks Excelis (näiteks minimaalse ja maksimaalse väärtuse välja selgitamiseks andmete kontrollimise või sagedustabeli klasside moodustamise huvides) on järgmine: o võtate blokki huvipakkuvad lahtrid, o klikite hiire parempoolse klahviga Exceli tööakna alumisel ribal (nn olekuribal, vt joonist) ja valite avanenud rippmenüüst teid huvitavad funktsioonid (nt. Min), o valitud funktsiooni väärtus kuvatakse samas akna alumisel serval, aga seda ei trükita kuhugi tabeli lahtrisse. Tanel Kaart
21 OSA Sagedustabelid --- Sagedustabel mittearvulisele või diskreetsele arvtunnusele Leidke hariliku laiussi noorvormiga nakatunud ja mitte nakatunud haugide arvud ja osakaalud. --- Tööjuhend --- Tanel Kaart
22 o Jätke tabelist välja ülejäänud kalaliigid peale haugi; o jagage tabel veergudeks laiussi esinemise alusel (tunnus Diphyllob ); o laiussi noorvormiga nakatunud ja mitte nakatunud haugide absoluutarvudele lisaks ka suhteliste sageduste leidmiseks lohistage tunnus Diphyllob ka teine kord väärtuste lahtrisse Σ Values ning määrake funktsiooniks Count ja esitusviisiks % of Row Total: Tulemus: Tanel Kaart
23 Sagedustabel arvtunnusele ÜLESANNE: konstrueerige sagedustabel haugide pikkusele. --- Tööjuhend --- o Pidevale arvtunnusele sagedustabeli tegemiseks on MS Excelis kolm moodust: funktsioon FREQUENCY, statistikaprotseduur Histogram ja PivotTable. Nii funktsioon FREQUENCY kui ka statistikaprotseduur Histogram eeldavad, et kasutaja on eelnevalt välja mõelnud loodavad klassid ja sisestanud klasside ülemised piirid Exceli töölehele. o Otsustamaks klasside arvu ja suuruse üle, peab esmalt omama ülevaadet vaatluste arvust ja uuritava tunnuse väärtuste ulatusest. Seega leidke mistahes viisil haugide arv ning nende vähim ja suurim pikkus (soovi korral võib haugide kohta käivaist andmeist teha koopia eraldi töölehele). o Vaatluste arv 214 annab vihje, et haugid võiks pikkuse järgi jagada klassi (see ei ole absoluutne tõde, kui klasside piiridega ja/või sisuliste järeldustega paremini sobib, võib väärtused jagada ka väiksemasse arvu klassidesse). o Teadmise, et 214 haugi pikkused varieeruvad 26-st sentimeetrist 74 sentimeetrini, alusel võiks moodustada 13 4-sentimeetrist klassi: 25-28; 29-32; 33-36; ; 69-72; NB! Toodud tähistus sobib üksnes täisarvuliste väärtuste korral (miks?), matemaatiliselt korrektne on esitada klassid poollõikudena: (24,28], (28,32], (32,36],, (68,72] ja (72,76]. o Moodustatud klasside Excelile ette andmiseks tuleb sisestada klasside ülemisi piire sisaldav abitabel: o Märkusi: mistahes abitabeli ja algse andmetabeli vahele on soovitatav jätta vähemalt üks tühi veerg (või rida) miks? (kui ei tea, küsi!); Excel tõlgendab ette antud väärtusi järgmiselt: ; 32 >28 ja 32 jne (ehk igasse klassi kuuluvaks loetakse need väärtused, mis on väiksemad või võrdsed ette antud piirist ja mis ei kuulu eelnevatesse klassidesse); viimast klassi 76 =(72,76] ette ei anta, sest sagedustabeli moodustamisel teeb Excel ise täiendava klassi, kuhu loeb kokku kõik eelnevatesse klassidesse mitte kuuluvad väärtused. Tanel Kaart
24 Funktsioon FREQUENCY Kõige kiirem variant lasta Excelil kokku lugeda, kui palju vaatlusi mingisse ette antud klassi kuulub, on kasutada funktsiooni FREQUENCY (kui statistikaprotseduuride pakett Data Analysis ei ole teie arvutis installeeritud, aitab just see funktsioon hädast välja). Erinevalt enamustest MS Exceli funktsioonidest on funktsioon FREQUENCY massiivifunktsioon, st et selle funktsiooni tulemuseks ei puugi olla üks väärtus eelnevalt valitud lahtris, vaid hulk väärtusi eelnevalt valitud lahtriteblokis. o Esimese asjana peale klassipiiride Exceli töölehele sisestamist tuleb võtta blokki lahtrid töölehel kohas, kuhu soovitakse sagedusi arvutada; arvutatavate sageduste ja seeläbi blokki võetavate lahtrite arv on määratud konstrueeritava sagedustabeli klasside arvuga (üks täiendav blokki võetud lahter vastab Exceli poolt täiendavalt moodustatavale klassile). o Trükite selekteeritud lahtriblokki (koheselt sellesse lahtrisse, millest blokki võtmist alustasite, uuesti klikkida esimesel lahtril ei tohi!!) =FREQUENCY(H2:H215;T2:T13) misjärel vajutate alla klahvid Shift ja Ctrl ning seejärel Enter (st. 3 klahvi korraga). o Alternatiiv taolisele funktsiooni klaviatuurilt sisestamisele on lisada funktsioon menüüsid ja abiaknaid kasutades: Shift & Ctrl + Tulemus: Tanel Kaart
25 Protseduur Histogram Data-sakk Data Analysis Histogram Andmed Klassipiirid Ütleb Excelile, et ette antud lahtriblokkide esimeses reas on nimed Väljundtabeli (vasaku ülemise nurga) asukoht Lisaks tavalistele sagedustele arvutatakse ka kumulatiivsed suhtelised sagedused e. jaotus NB! Lahtri Bin Range võib jätta ka tühjaks siis moodustab Excel klassid ise. PROOVIGE! Tanel Kaart
26 PivotTable NB! PivotTable i abil saab pidevale tunnusele teha sagedustabeli üksnes siis, kui tunnuse kõik väärtused on mõõdetud (andmebaasis pole auke ). Jama on see, et Excel vaikimisi ei näita tühje klasse (näiteks kõrval olevast tabelist on puudu klass 28-32). Tanel Kaart
27 Lahendus: Tulemus: Tanel Kaart
28 Arvutage suhtelised sagedused (%-des) ka funktsiooniga FREQUENCY või protseduuriga Histogram konstrueeritud sagedustabeli juurde ja illustreerige sagedustabelit histogrammiga. NB! Eraldi paiknevate lahtrite selekteerimiseks hoidke all Crlt -klahvi Näpuharjutuseks püüdke joonis kujundada selliseks, nagu kõrvaloleval pildil. Tanel Kaart
29 Pikkus, cm Andmete haldus ja analüüs MS Excelis Praktikum 1 OSA Pisut joonistest --- Näiteid vähe keerukamatest Exceli joonistest võib leida aadressilt (mitmeist seal käsitletud ja ka mõningaist teistest joonistest tuleb juttu järgmistel päevadel). Karp-vurrud diagramm ÜLESANNE: illustreerige erinevat liiku kalade pikkuseid karp-vurrud diagrammiga (ingliskeeles box plot) kujul Ahven Koha Luts Haug Särg Latikas Röövkalad Lepsiskalad Probleem: Exceli joonisetüüpide hulgas antud diagrammi ei ole. Lahendus: arvutada kalaliikide kaupa mediaan, kvartiilid ning minimaalne ja maksimaalne väärtus, konstrueerida nende alusel abitabel joonisel esitatavate andmetega, joonistada tulpdiagramm ning modifitseerida viimast, saamaks joonisele soovitud väljanägemist. Tööjuhend. 1) Esimese sammuna tuleb konstrueerida abitabel ning arvutada sinna karp-vurrud diagrammi joonistamiseks vajalikud arvkarakteristikud (miinimum, alumine kvartiil, mediaan, ülemine kvartiil, maksimum), ja seda iga kalaliigi tarvis. Selleks tuleks andmestik sorteerida kalaliigi järgi ning rakendada arvkarakteristikute arvutamiseks vastavaid funktsioone (kõik viis joonise tegemiseks vajalikku suurust on leitavad näiteks funktsiooniga QUARTILE.INC (vanemais Exceli versioonides funktsioon QUARTILE), mille teise argumendi väärtus määrab ära arvutatava suuruse: 0 vastab miinimumile, 1 alumisele kvartiilile jne). Seejuures on kiireim variant arvutada välja näiteks mediaan fikseerides ära argumentidena ette antavad lahtrid (st pannes lahtri aadressis dollarimärgid rea- ja veerutähiste ette ahvena puhul näiteks kujul $H$2:$H$180), kopeerida valemit sisaldav lahter ka teistesse veergudesse ning muuta ära vaid funktsiooni QUARTILE.INC viimane argument (vt järgmine joonis), järgmise kalaliigi tarvis tuleb protseduuri korrata. Tanel Kaart
30 Tulemus: 2) Järgmise sammuna tuleb leitud arvkarakteristikute tabeli alusel konstrueerida uus, Excelis loodavale tulpdiagrammile aluseks olev tabel: Veerud uues tabelis on püütud nimetada vastavalt nendes olevate arvude rollile loodavas joonises. Seejuures Series1 = Alumisne kvartiil (need arvud vastavad esimese tulba kõrgusele tulpdiagrammil e karbi alumisele servale karp-vurrud diagrammil); Series2 väärtused on arvutatud kui Mediaan Alumine kvartiil (see suurus määrab ära teise tulba kõrguse tulpdiagrammil e mediaanile vastava joone karp-vurrud diagrammil); Series3 väärtused on arvutatud kui Ülemine kvartiil Mediaan (see suurus määrab ära kolmanda tulba kõrguse tulpdiagrammil e karbi ülemise serva karp-vurrud diagrammil); Error bars1 väärtused on arvutatud kui Alumine kvartiil Miinimum (selle suuruse alusel joonistatakse Series1 -le vastavale tulbale alumine veajoon, mis karp-vuurud diagrammi mõistes tähendab joont alumisest kvartiilist minimaalse väärtuseni); Error bars2 väärtused on arvutatud kui Maksimum Ülemine kvartiil (selle suuruse alusel joonistatakse Series3 -le vastavale tulbale ülemine veajoon, mis karp-vuurud diagrammi mõistes tähendab joont ülemisest kvartiilist maksimaalse väärtuseni). Tanel Kaart
31 3) Uue abitabeli veergude Series1 - Series3 alusel tuleb konstrueerida tulpdiagramm, kus tabeli veerud vastaksid erinevatele andmeseeriatele Tulemus: Tanel Kaart
32 4) Saadud joonisel tuleb lisada Series1 tulbale alumine veajoon veerus Error1 olevate väärtuste alusel, analoogselt lisada tulbale Series3 ülemine veajoon veerus Error2 olevate väärtuste järgi; tulemus peaks olema järgmine: Tanel Kaart
33 Pikkus, cm Andmete haldus ja analüüs MS Excelis Praktikum 1 kaotada ära nii sisu kui ka piirjooned Series1 tulbalt ning sisu Series2 ja Series3 tulpadelt (lisades vajadusel viimastele piirjooned); tulemus: viimase etapina tuleks o kaotada ära legend ja horisontaalsed ruudujooned, o lisada telgedele nimed, o vähendada tulpade (karp-vurrud diagrammide) vahelist kaugust (Gap Width), st et vähendada tühja ebainformatiivset ala joonisel, o soovi korral ümbritseda telgedega piiratud diagrammiala joonega ning kaotada ära kogu joonist ümbritsev joon (nii on joonis selgem!) ning o muuta joonise proportsioone. Tulemus: Ahven Koha Luts Haug Särg Latikas Röövkalad Lepsiskalad Tanel Kaart
Mõõtm., andmetöötlus ja autom. piimanduses ja lihanduses, VL-1112 ja VL-1122 Praktikum 1
Praktikum 1 Praktikumi sisuks on kirjeldav statistika ja selle teostamine MS Excelis. Esimesed seitse lehekülge juhendis ( Üldine sissejuhatus: ) on lihtsalt mõningate Exceli kohta käivate põhitõdede meenutus
Διαβάστε περισσότεραPraktikum 1. Matemaatiline statistika ja modelleerimine, DK.0007
Praktikum 1 MS Excelis on võimalik teostada suur hulk andmete haldamisest ja esmasest statistilisest analüüsist, sageli ka kogu vajalik analüüside hulk. Kuigi tänane praktikum käsitleb vaid erinevaid kirjeldava
Διαβάστε περισσότεραPraktikum 2. Kommentaarid andmestiku kohta
Praktikum 2 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lammas.xls (http://ph.emu.ee/~ktanel/vl_1112/lammas.xls). Kommentaarid andmestiku kohta Lammaste andmebaas on moodustatud aastal 2003
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραSORTEERIMINE JA FILTREERIMINE
Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραMõõtmised, andmetöötlus ja automaatika lihanduses ja piimanduses, VL-1112 & VL-1122
Praks 2(3) Eel- ja järeltöö 1. Salvestage arvutisse andmestik lammas.xls (http://www.eau.ee/~ktanel/vl_1112/lammas.xls). 2. Avage salvestatud fail MS Excel is. 3. Peale ülesannete lahendamist salvestage
Διαβάστε περισσότεραMõõtmised, andmetöötlus ja automaatika lihanduses ja piimanduses, VL-1112 & VL-1122
Praks 2 Eel- ja järeltöö 1. Salvestage arvutisse andmestik lammas.xls (http://ph.emu.ee/~ktanel/vl_1112/lammas.xls). 2. Avage salvestatud fail MS Excel is. 3. Peale ülesannete lahendamist salvestage fail
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραStatistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008
Praktikum 6 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lehmageen.xls. Praktikum püüab kirjeldada mõningaid võimalusi tunnuste vaheliste seoste uurimiseks. Kommentaarid andmestiku kohta Konkreetselt
Διαβάστε περισσότεραExcel Statistilised funktsioonid
Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραMathcadi tööleht ja vormistamisvahendid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραEcophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 2 Programmeerimiskeel C
Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()
Διαβάστε περισσότεραTöökorraldus. Õppematerialid. Töökorraldus. Harvey Motulsky Intuitive Biostatistics (2010, 1995)
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias LOMR.0.007. loeng Andmed, tunnused, tunnuste tüübid ja tunnuse jaotuse iseloomustamine Prof Maido Remm Märt Möls martm@ut.ee Töökorraldus Hinne Hinne kujuneb kontrolltööde
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool. MS Exceli rakenduste loomise vahendid
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Irina Amitan, Jüri Vilipõld MS Exceli rakenduste loomise vahendid E-õpik Tallinn 2013 SISUKORD 1 RAKENDUSE OLEMUS JA PÕHIKOMPONENDID... 6 2 EXCELI STANDARDLIIDES...
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραEcophon Square 43 LED
Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραMatemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid
Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu
Διαβάστε περισσότεραKihilised konstruktsioonid (Seinad, katused): U-arvu leidmine Niiskuse jaotus konstruktsioonis Temperatuuri jaotus konstruktsioonis
Kihilised konstruktsioonid (Seinad, katused): U-arvu leidmine Niiskuse jaotus konstruktsioonis Temperatuuri jaotus konstruktsioonis Energiakuluarvutus D.O.F. tech Oy 2006 SISUKORD 1 Teavet DOF-THERMi kohta...1
Διαβάστε περισσότεραWilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)
Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kahe arvtunnuse ühine käitumine, korrelatsioon- ja regressioonanalüüs EMÜ doktorikool DK.0007 Tanel Kaart Lineaarne e Pearsoni korrelatsioonikordaja Millal kasutada
Διαβάστε περισσότεραEXCEL 2007. Loengukonspekt. Õppejõud: Kristiina Klaas. Mõdriku
EXCEL 2007 Loengukonspekt Õppejõud: Kristiina Klaas Mõdriku 2011 SISUKORD SISSEJUHATUS... 3 1. TÖÖKESKKOND... 4 2. PÕHIMÕISTED... 6 3. DOKUMENDI SALVESTAMINE, AVAMINE JA SULGEMINE... 7 4. PÕHIOPERATSIOONID...
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότερα2. Normi piiride määramine (R.D. Smith)
. Normi piiride määramine (R.D. Smith) Sissejuhatuseks Meditsiiniliste otsuste tegemise protsess koosneb neljast põhietapist: 1. Subjektiivsete andmete kogumine. Subjektiivsed andmed põhinevad meie enda
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραÜlesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus
Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina
Διαβάστε περισσότεραArvutatavad statistikud. Programmi LSTATS kasutamisjuhend
Programmi LSTATS kasutamisjuhend Lokaalstatistikute arvutamise tarkvara LSTATS võimaldab arvutada mitmesuguseid kujutise või kategoorilise pinna lokaalseid omadusi kirjeldavaid statistikuid päiseta binaarsetest
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραEnam kui kahe grupi keskmiste võrdlus
Bomeetra Enam ku kahe populatsoon keskväärtuste võrdlemne dspersoonanalüüs Enam ku kahe grup keskmste võrdlus H 0 : 1 = 2 = = k H 1 : leduvad sellsed grupd,j, et Eeldustel, et j uurtav (sõltuv) tunnus
Διαβάστε περισσότεραAS MÕÕTELABOR Tellija:... Tuule 11, Tallinn XXXXXXX Objekt:... ISOLATSIOONITAKISTUSE MÕÕTMISPROTOKOLL NR.
AS Mõõtelabor ISOLATSIOONITAKISTUSE MÕÕTMISPROTOKOLL NR. Mõõtmised teostati 200 a mõõteriistaga... nr.... (kalibreerimistähtaeg...) pingega V vastavalt EVS-HD 384.6.61 S2:2004 nõuetele. Jaotus- Kontrollitava
Διαβάστε περισσότεραPEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine
PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL 5.1 Koormuse iseloom (1) P Projekt peab arvestama asjaolu, et lumi võib katustele sadestuda paljude erinevate mudelite kohaselt. (2) Erinevate mudelite rakendumise põhjuseks
Διαβάστε περισσότεραLexical-Functional Grammar
Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep 6. aprill 2006 1 Contents 1 Ülevaade formalismist 1 1.1 Informatsiooni esitus LFG-s..................... 1 1.2 a-struktuur..............................
Διαβάστε περισσότεραESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41
ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 2 www.electrolux.com SISUKORD 1. OHUTUSINFO... 3 2. OHUTUSJUHISED...
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραSTM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραSõiduki tehnonõuded ja varustus peavad vastama järgmistele nõuetele: Grupp 1 Varustus
Majandus- ja kommunikatsiooniministri 13.06.2011. a määruse nr 42 Mootorsõiduki ja selle haagise tehnonõuded ning nõuded varustusele lisa 1 NÕUDED ALATES 1. JAANUARIST 1997. A LIIKLUSREGISTRISSE KANTUD
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραEesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA tüüpi mudelitega
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Finants- ja kindlustusmatemaatika eriala Kärt Päll Eesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 21 Pivot Tables
Ενότητα 21 Pivot Tables Όταν δημιουργείτε μια έκθεση θα θέλετε να δείτε τα δεδομένα σας με διαφορετικούς τρόπους. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους πίνακες Pivot αν θέλετε να δείτε στον πίνακα σας μόνο
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραTTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga
TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότερα