P r i r u» n i k z a P a c i j e n t e Osteoartritis

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "P r i r u» n i k z a P a c i j e n t e Osteoartritis"

Transcript

1 P r i r u» n i k z a p a c i j e n t e Osteoartritis

2 K A Z A L O

3 1. Uvod 4 2. Kako osteoartritis utjeëe na Vaπe zglobove? 6 to je osteoartritis? 6 Kako funkcioniraju zglobovi? 8 to se dogaapplea zglobovima zahvaêenim osteoartritisom? 10 to se dogaapplea kod teπkog osteoartritisa? Tko oboljeva od osteoartritisa? Uzroci i simptomi osteoartritisa 16 to uzrokuje osteoartritis? 16 Koji su znakovi i simptomi osteoartritisa? 18 Koji zglobovi obolijevaju? Koraci ublaæavanja boli 26 to mogu uëiniti da si pomognem? 26 Jednostavni savjeti kako se nositi s osteoartritisom 28 Vjeæbanje zaista moæe pomoêi 30 Vjeæbe 31 Lijekovi za lijeëenje osteoartritisa 34 Drugi oblici lijeëenja 36 Je li operacija potrebna? Pitanja i odgovori Korisni kontakti RjeËnik pojmova Kako lijeënici dijagnosticiraju osteoartritis? 24 Ovaj priruënik pomoêi Êe Vam olakπati osteoartritis i otkriti njegove uzroke 3

4 U V O D Dragi pacijentu, ovaj priruënik dobili ste od svoga lijeënika da biste nauëili neπto viπe o osteoartritisu; kako se razvija i kako se nositi s boli i nelagodom koju Vam Vaπe stanje moæe prouzroëiti u svakodnevnom æivotu. Otkrit Êete neke zanimljive Ëinjenice i osobine osteoartritisa. Kao πto Êete vidjeti, to je vrlo uobiëajeno stanje koje dijelite, samo u Europi, s preko 100 milijuna ljudi. ProËitat Êete korisne savjete koji se odnose na æivotni stil (dijeta i vjeæbe koji bi Vam trebali pomoêi da æivite lagodnije s osteoartritisom) i detalje o naëinima lijeëenja. KonaËno, tu Êete pronaêi i adrese o grupama za samopomoê, internetske stranice koje Êe Vam ponuditi daljnju pomoê. U kratkom rjeëniku medicinskih pojmova objaπnjene su rijeëi koje se koriste u priruëniku. 4

5 Osteoartritis je vrlo uobiëajeno stanje koje dijelite, samo u Europi, s preko 100 milijuna ljudi 5

6 KAKO OSTEOARTRITIS UTJE»E NA VA E ZGLOBOVE? T O J E O S T E O A R T R I T I S? Zapravo, osteoartritis je degenerativna bolest zglobova 6

7 Osteoartritis je bolest od koje obolijevaju hrskavice zglobova. Hrskavice dopuπtaju kostima da klize jedna preko druge uz minimalno trenje. Kada se hrskavica istroπi kost direktno riba jedna o drugu, a posljedica toga je bol, nateëenost i upala. Zapravo, osteoartritis je degenerativna bolest zglobova. Da bi Vam pomogli razumjeti πto uzrokuje bol i nelagodu, trebate znati kako funkcionira zdrav zglob. U naπem tijelu imamo puno zglobova i svaki omoguêava kostima da se kreêu u odreappleenim smjerovima. Npr. Vaπe koljeno omoguêava nozi da se potpuno savije, ali omoguêava i mali pokret u stranu. 7

8 KAKO OSTEOARTRITIS UTJE»E NA VA E ZGLOBOVE? K A K O F U N K C I O N I R A J U Z G L O B O V I? Krajevi dvije kosti koje se spajaju u zglobu prekrivene su prirodnim amortizerom koji se zove hrskavica. Ona je glatka i klizava, a to krajevima kostiju omoguêava kretanje. Koljeno je najveêi zglob u tijelu i ima dva dodatna amortizera (male hrskavice u obliku polumjeseca) koja se zovu meniskusi. Svaki zglob je zaπtiêen Ëvrstom kapsulom. Na unutraπnjoj povrπini te kapsule je ovojnica koja se naziva sinovijalna ovojnica i proizvodi sinovijalnu tekuêinu. TekuÊina podmazuje zglob i hrani hrskavicu. Ligamenti su snopovi fibroznih vlakana koji mogu biti unutar ili izvan zglobne kapsule, a omoguêavaju gibanje zgloba. MiπiÊi takoappleer omoguêavaju pokrete zgloba. Tetivama su spojeni s kostima. Kada se miπiê grëi, skraêuje se i gura kost, pokreêe je i savija zglob. 8

9 Kost Mišić Kapsula Hrskavica Sinovijalna ovojnica Meniskus (samo u koljenu) Ligament Kost Tetiva Zdravi zglob 9

10 KAKO OSTEOARTRITIS UTJE»E NA VA E ZGLOBOVE? TO SE DOGA A SA ZGLOBOVIMA ZAHVA ENIM OSTEOARTRITISOM? Kada zglob zahvati osteoartritis, hrskavica polako postaje hrapava i stanjuje se, a kost ispod nje se zadebljava. Dolazi do promjene na kosti naposredno ispod oπteêene hrskavice te do stvaranja nove kosti, a na zglobnim se krajevima pojavljuju koπtani izdanci koji se nazivaju osteofiti. Sinovijalna ovojnica moæe proizvesti dodatnu tekuêinu koja uzrokuje laganu nateëenost zgloba. Kapsula i ligament se zadebljavaju i steæu, kao da pokuπavaju stabilizirati zglob dok on polagano mijenja oblik. Tijekom tog procesa zglob se zapravo sam pokuπava oporaviti. U mnogim sluëajevima kod malih zglobova prstiju, oporavak je uspjeπan.to objaπnjava zaπto u mnogih kod kojih se razvije osteoartritis nema nekih problema. Ipak, ponekad oporavak ne moæe nadomjestiti πtetu i ozbiljno utjeëe na zglob, ËineÊi ga bolnim i teπko pokretljivim. To se dogaapplea osobito kod velikih zglobova kao πto su koljena i kukovi.»esto ljudi koji boluju od osteoartritisa mogu tjednima ili mjesecima imati samo male poteπkoêe a onda se razvije upala. Tada Vam lijeënik moæe prepisati analgetik ( painkiller ) da Vam pomogne nositi se s boli i nelagodom. 10

11 Kost Osteofiti ( trnje ) Zadebljana rastezljiva kapsula Blago zadebljana upaljena sinovijalna ovojnica Hrapava, stanjena hrskavica Zglob s blagim osteoartritisom 11

12 KAKO OSTEOARTRITIS UTJE»E NA VA E ZGLOBOVE? TO SE DOGA A KOD TE KOG OSTEOARTRITISA? Osteoartritis je spori proces koji se razvija godinama. U veêini sluëajeva radi se o malim promjenama koje djeluju samo na dio zgloba. Ipak, ponekad oπteêenje zgloba kod osteoartritisa moæe biti ozbiljnije i opseænije. Kod teπkog osteoartritisa hrskavica moæe postati tako tanka da viπe ne pokriva zadebljani kraj kosti. Krajevi kostiju se dodiruju i poëinju se troπiti. Gubitak hrskavice, istroπena kost i koπtano zadebljanje na krajevima mogu, zapravo, promijeniti oblik zgloba. Kosti se pomiëu izvan svoga normalnog poloæaja, dovodeêi do deformacije zgloba koja moæe biti vrlo bolna. 12

13 Zadebljana kost bez hrskavice koja je pokriva Osteofit Upaljena sinovijalna ovojnica Malo preostale hrskavice Jako zadebljana kapsula Deformirana kost Zglob koji je deformiran teπkim osteoartritisom 13

14 T K O O B O L I J E V A O D O S T E O A R T R I T I S A? Od bolesti zglobova obolijevaju stotine milijuna ljudi po cijelom svijetu te imaju veliki utjecaj na druπtvo kao cjelinu. Osteoartritis je najuëestaliji oblik bolesti zglobova. Napredak bolesti je obiëno spor i pojavljuje se tijekom godina ili desetljeêa. Ipak, do Ëetrdesete gotovo svatko ima osteoartritiëne promjene u zglobovima koji podnose teæinu tijela (zglobovi kukova ili koljena). UËestalost oboljenja poveêava se s godinama. Takoappleer ËeπÊe obolijevaju æene nego muπkarci, osobito nakon pedesete godine æivota. Iako je osteoartritis svjetski problem, ima geografskih i etniëkih razliëitosti. Dominantniji je u Europi i SAD-u nego u ostalim dijelovima svijeta. 14

15 Oboljelost od osteoartritisa kod muπkaraca Oboljelost od osteoartritisa kod žena Postotak oboljelosti na osoba godiπnje ruka koljeno kuk Postotak oboljelosti na osoba godiπnje ruka koljeno kuk Dobna granica Dobna granica Osteoartritis je najuëestaliji oblik bolesti zglobova 15

16 UZROCI I SIMPTOMI OSTEOARTRITISA T O U Z R O K U J E O S T E O A R T R I T I S? Postoje razliëiti Ëimbenici koji poveêavaju rizik obolijevanja od osteoartritisa. ObiËno ih nekoliko treba biti prisutno prije razvoja bolesti. Najvaæniji riziëni Ëimbenici su: Dob. Osteoartritis obiëno poëinje u kasnim 40-im, 50-im, 60-im, a neuobiëajen je prije 40. To je vjerojatno povezano s normalnim procesom starenja miπiêi slabe, zglobovi se godinama troπe i naπim tijelima treba duæi oporavak u kasnijoj dobi. Æenski spol. Za veêinu zglobova osobito u koljenima i πakama, osteoartritis je uëestaliji i ozbiljniji kod æena. Debljina. Viπak kilograma je vaæan Ëimbenik kod osteoartritisa. Debljina predstavlja dodatni napor za zglobove osobito za zglobove koji nose teæinu kao πto su koljena. Viπak kilograma takoappleer poveêava moguênost pogorπanja postojeêeg osteoartritisa. Ozljeda zgloba. VeÊa ozljeda ili operacija na zglobu moæe dovesti do osteoartritisa u kasnijim godinama. Npr. ozljeda ili uklanjanje meniskusa u zglobu koljena ili ozbiljna ozljeda ligamenata. Vrlo naporne, uëestale aktivnosti mogu ozlijediti zglobove. To objaπnjava zaπto je osteoartritis ËeπÊi kod ljudi koji obavljaju fiziëki zahtjevne poslove kao πto su poljodjelci i profesionalni sportaπi. Nekoliko je Ëimbenika koji poveêavaju rizik obolijevanja od osteoartritisa 16

17 Nasljeapplee. Postoji jedan uobiëajen oblik osteoartritisa koji se vrlo Ëesto pojavljuje u obiteljima. To je Heberdenov osteoartritis od kojega osobito obolijevaju πake æena srednje æivotne dobi. Kod drugih vrsta bolesti, nasljednost je manje vaæna od debljine, dobi i ozlijede zgloba. 17

18 UZROCI I SIMPTOMI OSTEOARTRITISA Osteoartritis se polagano pojavljuje tijekom godina. UkoËeni i bolni zglobovi su glavni simptomi koji se prvi prepoznaju. Bol se pojaëava nakon vjeæbanja ili na kraju dana. UkoËenost obiëno popuπta nakon nekoliko minuta vjeæbanja, iako Vaπi zglobovi mogu zaπkripati ili krckati kada se pokreêu. Povremeno oboljeli zglob moæe popustiti zbog slabih miπiêa, tetiva i ligamenata ili nedostatka stabilnosti. Posebne vjeæbe za miπiêe mogu ojaëati Vaπe zglobove. Neke lakπe vjeæbe dane su poslije u ovom priruëniku. UkoËenost i bolni zglobovi glavni su simptomi osteoartritisa 18

19 KOJI SU ZNAKOVI I SIMPTOMI OSTEOARTRITISA? Simptomi variraju Ëesto bez vidljivog razloga. Postoje razdoblja kada se osjeêate vrlo loπe i razdoblja kada Vam je dobro. Promjene vremena, osobito hladno i vlaæno vrijeme, nekim mogu pogorπati bol, dok je drugima bol povezana s fiziëkom aktivnoπêu. penjanju ili spuπtanju niz stepenice ili Ëak oblaëenju Ëarapa i cipela. U toj fazi osteoartritis moæe ograniëiti Vaπu neovisnost, pa se isplati uëiniti πto je viπe moguêe da sprijeëite njegov utjecaj na svoj æivot. OsteoartritiËni zglobovi mogu biti malo nateëeni i imati koπtane izboëine. MiπiÊi oko zgloba mogu biti lagano stanjeni. Kako se stanje pogorπava, odreappleene, svakodnevne poslove sve je teæe obavljati. Ako su oboljeli Vaπi kukovi ili koljena, moæete osjeêati poteπkoêe pri dizanju i sjedanju na stolac, 19

20 UZROCI I SIMPTOMI OSTEOARTRITISA Vrat Donji dio leđa Kukovi Korijen palca na ruci Vrhovi prstiju Koljena 20 Korijen palca na nozi Zglobovi najëeπêe obolijevaju od osteoartritisa

21 K O J I Z G L O B O V I O B O L I J E V A J U? Gotovo svaki zglob moæe razviti osteoartritis, osobito ako je teπko ozlijeappleen. Ako dvoje ljudi ima osteoartritis na istom zglobu, on moæe vrlo razliëito utjecati na njih. Neki ljudi nemaju problema ili imaju samo blage poteπkoêe. Bol je za neke glavni problem, dok je drugima problem kretati se i koristiti zglobove. Nekima stanje ostaje isto godinama, kod drugih dolazi do brojnih promjena. Osteoartritis toliko varira da ga je teπko generalizirati. Osteoartritis koljena je ËeπÊi kod æena nego kod muπkaraca u kasnijoj æivotnoj dobi i obiëno zahvaêa oba koljena. Viπak kilograma moæe pogorπati problem i zaista ograniëiti pokretljivost. Prijaπnja sportska ozljeda ili operacija (kao πto je uklanjanje hrskavice) Ëest je riziëni Ëimbenik kod muπkaraca i moæe uzrokovati osteoartritis samo jednog koljena. Gotovo na svakom zglobu moæe se razviti osteoartritis 21

22 UZROCI I SIMPTOMI OSTEOARTRITISA Od osteoartritisa kuka obolijevaju koliko muπkarci toliko i æene. Dugotrajan fiziëki posao moæe biti riziëni Ëimbenik, Ëemu su osobito skloni poljodjelci. Ipak, kod mnogih nema vidljivog uzroka. Kod teπkog osteoartritisa koljena, oboljela noga moæe se skratiti zbog deformacije kosti na obje strane zgloba. Osteoartritis πaka obiëno se pojavljuje kao dio Heberdenovog osteoartritisa. VeÊinom obolijevaju æene u 40-im i 50-im godinama, oko menopauze ( promjene ). NajËeπÊe zahvaêa zglobove na vrhovima prstiju i na korijenu palca. Vremenom ti zglobovi postaju crveni, nateëeni i osjetljivi, osobito kada se to stanje prvi put pojavi. Nakon nekoliko godina mogu se formirati Ëvrste, Ëvoraste otekline na straænjem dijelu zgloba prsta. One se nazivaju Heberdenovi ËvoriÊi po engleskom lijeëniku Williamu Heberdenu koji ih je prvi opisao. 22

23 K O J I Z G L O B O V I O B O L I J E V A J U? Jednom kada se Heberdenovi ËvoriÊi potpuno formiraju, bolnost i osjetljivost se smanjuje. Ipak, korijen zgloba palca je Ëesto trajan problem. Premda su prsti Ëvorasti i ponekad lagano savinuti, oni dobro funkcioniraju i rijetko uzrokuju dugotrajne probleme. Ipak, imati Heberdenov osteoartritis u srednjim godinama znaëi da Êete vjerojatno oboljeti od osteoartritisa koljena i nekih drugih zglobova, ulazeêi u 60. i 70. godinu æivota. Zato se on ponekad i zove opêi (πiroko rasprostranjeni) osteoartritis. Heberdenov osteoartritis je nasljedan. Osteoartritis stopala opêenito zahvaêa korijen zgloba palca. Palac moæe, u konaënici, postati ukoëen πto oteæava hodanje ili se moæe saviti πto dovodi do bolnih oteklina. Osteoartritis vrata i leapplea zove se spondilitis. Vrlo je uobiëajen, ali Ëesto ne uzrokuje probleme, a rentgen moæe pokazati odnos izmeappleu boli i ukoëenosti kraljeænice. Gotovo polovica populacije s vremena na vrijeme dobije kriæobolju, ali osteoartritis nije najëeπêi uzrok kriæobolje. Osteoartritis πake s Heberdenovim ËvoriÊima Heberdenovi ËvoriÊi Osteoartritis stopala s deformacijom palca Oteklina preko noænog palca Palac koji ide prema van 23

24 KAKO LIJE»NICI DIJAGNOSTICIRAJU OSTEOARTRITIS? Dijagnoza osteosrtritisa se velikim dijelom temelji na povijesti bolesti i fizikalnom pregledu pacijenta. Kada Vam pregledava zglobove, lijeënik moæe osjetiti otekline, krckanje zglobova i utvrditi postoji li ograniëenje pokretljivosti zglobova. Vaπ Êe lijeënik takoappleer odrediti osjetljivost zglobova, slabost miπiêa, postojanje prekomjerne tekuêine ili nestabilnost zglobova. Postoji veliki broj drugih testova kojima lijeënik moæe utvrditi dijagnozu. Oni ukljuëuju: Rentgen je najkorisniji test. On pokazuje strukturu kostiju oboljelih zglobova i omoguêava lijeënicima da procijene suæavanje izmeappleu zglobova, koje nastaje troπenjem hrskavice, i abnormalnosti kao πto su koπtane izrasline. 24

25 UltrazvuËno snimanje obiëno obavlja lijeënik ili radiolog u bolnici. Naprava sliëna mikrofonu stavlja se na podruëje koje se snima te se koristi gel da bi se poboljπao kontakt. Ta naprava πalje zvukove visoke frekvencije i kompjuterski ih obraappleuje da bi dobili mapu podruëja koje se snimalo, kao na radarskom ekranu. CTA snimanje [Computer Assisted Tomography] je kombinacija rentgena i MRI snimanja (vidi sljedeêi odlomak) jer pokazuje i kosti i meko tkivo. Ovaj test moæe pokazati isjeëke npr. zglob koljena s puno detalja. Te snimke mogu se koristiti da bi se detaljnije odredilo mjesto i stupanj oπteêenja hrskavice. MRI snimanje [Magnetic Resonance Imaging] je usavrπena tehnika snimanja za posebne sluëajeve koja koristi magnetsku silu i radiovalove. Stvara savrπene vizualne slike kostiju, zglobova, mekog tkiva, tetiva, ligamenata i hrskavica. Osobito je korisno kod procjene oπteêenja mekog tkiva i kapsule zgloba. Testovi krvi mogu se koristiti kao rutinska provjera da bi iskljuëili neke druge sliëne bolesti. Nema nekakvoga posebnog testa za utvrappleivanje osteoartritisa, a krvna slika bi trebala biti normalna. Rentgen prsta osobe s Heberdenovim osteoartritisom 1. suæenje zbog gubitka hrskavice 2. koπtana izboëina (osteofit) 3. normalni zglob

26 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I T O M O G U U» I N I T I D A S I P O M O G N E M? Osteoartritis je progresivna bolest, no puno toga moæete uëiniti kako biste sprijeëili da postane velika smetnja u svakodnevnom æivotu. Kod mnogih ljudi, osteoartritis dostiæe vrhunac nekoliko godina nakon pojave simptoma. Nakon toga se stanje ne mijenja ili æivot postaje malo lakπi. Kod ostalih ljudi zglobovi, osobito kuka ili koljena, postaju sve bolniji. Vaπ lijeënik moæe Vam ponuditi lijeëenje da bi smanjio bol i simptome, ali rezultati ovise i o Vama te o samopomoêi. Neke prilagodbe æivotnog stila mogu zaista promijeniti Vaπu svakodnevicu. Kada se osteoartritis dijagnosticira, lijeënik ima Ëetiri glavna cilja lijeëenja: kontrola boli poboljπanje funkcije zgloba i pokretljivosti postizanje prihvatljive tjelesne teæine voappleenje zdravijeg stila æivota LijeËnici ne mogu predvidjeti rezultate individualnih sluëajeva. Ipak, samo nekoliko promjena u Vaπem æivotnom stilu mogu smanjiti moguênost napredovanja bolesti. To ukljuëuje redovito vjeæbanje, prilagodbe u obavljanju dnevnih aktivnosti i kontroliranje tjelesne teæine. Tako i Vi na razliëite naëine moæete kontrolirati svoj osteoartritis od trenutka kada je prvi put dijagnosticiran. 26 Neke prilagodbe æivotnog stila mogu zaista promijeniti Vaπu svakodnevicu

27 27

28 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I JEDNOSTAVNI SAVJETI KAKO SE NOSITI S OSTEOARTRITISOM Sa samo nekoliko neznatnih promjena u svom svakodnevnom æivotu moæete smanjiti stres na bolnim zglobovima. Pravilna tjelesna teæina. Ako imate prekomjernu tjelesnu teæinu, gubitak Ëak i nekoliko kilograma smanjit Êe stres na Vaπim kukovima, koljenima, stopalima i leappleima. Mijenjanje æivotnih navika moæe biti teπko, ali samo mali napor sada, moæe dovesti do velike promjene u buduênosti. Kombinacija redovitog vjeæbanja i pravilne prehrane bolja je nego sama dijeta. Nemojte mirno sjediti. Mnogi imaju poslove koji zahtijevaju puno sjedenja.»esto samo mijenjanje poloæaja ili rastezanje s vremena na vrijeme moæe biti korisno. 28

29 Ne napreæite se. Ako je moguêe, obavljajte fizi Ëki naporne poslove u intervalima tijekom dana. Ovaj jednostavan korak moæe znaëajno smanjiti napetost kojom optereêujete svoje istroπene zglobove. Zaπtitite svoje zglobove. Pokuπajte izbjeêi aktivnosti koje mogu pogorπati stanje Vaπih oboljelih zglobova. Ako je potrebno, razmislite o naëinima prilagodbe svoga radnog mjesta, doma ili automobila da biste umanjili stres. Pokretanje zgloba. Redovito pokretanje oboljelih zglobova, tijekom dana, jednostavnim vjeæbama moæe olakπati bol i nelagodu. Nosite udobne cipele. Debeli mekani appleonovi djelovat Êe kao amortizeri i pruæiti dodatnu zaπtitu Vaπim kukovima, koljenima, stopalima i leappleima. Koristite πtap. Ponekad koriπtenje πtapa moæe zaista pomoêi da se smanji teret na kukovima i koljenima. 29

30 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I V J E Æ B A N J E Z A I S T A M O Æ E P O M O I Vjeæbanje je najvaæniji dio lijeëenja osteoartritisa. Vjeæbanje Êe koristiti Vaπim zglobovima, pojaëati Vaπu energiju i pomoêi da uæivate u omiljenim aktivnostima. RazliËite vrste vjeæbi, kao πto su jaëanje i istezanje miπiêa te posebne vjeæbe za zglobove, mogu poboljπati Vaπe zdravlje. Svaka fiziëka aktivnost je korisna Ëak i πetnja psa! FiziËkom aktivnoπêu moæete razbiti zaëarani krug boli i osjeêati se bolje. Plivanje, πetanje i voænja bicikla najbolje su vjeæbe za ljude s osteoartritisom. Cilj je baviti se nekom aktivnoπêu barem 30 minuta dnevno. Moæete zamoliti svojeg lijeënika ili fizioterapeuta da Vam preporuëi odgovarajuêi program vjeæbi. Vjeæbanje je najvaæniji dio lijeëenja osteoartritisa 30

31 V J E Ž B E Ovdje je jednostavan prikaz vjeæbi za Vaπa koljena zglob koji je najëeπêe pogoappleen osteoartritisom. Vjeæbe za jaëanje (sliëice 1 3 ) izgraappleuju miπiêe koji podupiru i πtite zglob koljena. Tijekom vjeæbi pokuπajte napregnuti trbuh i straænjicu da stabilizirate tijelo. Da bi ojaëali miπiê natkoljenice na prednjem dijelu bedra (slika 1), legnite na leapplea na Ëvrstu, ravnu povrπinu. Dræite jednu nogu ispruæenu, a drugu savijenu. Ispruæite nogu, stegnite miπiêe bedra i polako podiæite nogu 15 do 20 cm. Dræite nogu 5 do 7 sekundi. Ponovite 12 puta, a onda radite s drugom nogom. Ova vjeæba takoappleer jaëa kriæa, trbuh i kuk. 1 2 Da bi ojaëali miπiêe na straænjem dijelu bedra (slika 2), legnite na trbuh i stavite ruke ispod Ëela. Podignite polako jednu nogu 5 do 10 cm. Dræite 5 do 7 sekundi. Napravite 3 serije po 12 ponavljanja sa svakom nogom. Ova vjeæba jaëa kuk. Da bi ojaëali list noge (slika 3), stojte lagano naslonjeni na stol i polagano se diæite na prste. Napravite 2 serije od 12 ponavljanja. 3 31

32 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I V J E Ž B E Vjeæbe istezanja (slike 4 5 ) protiv ukoëenosti i napetosti miπiêa. 4 Da bi istegnuli straænji bedreni miπiê (slika 4), sjednite na pod s jednom nogom ispruæenom, a drugom savijenom tako da se stopalo odmara uz koljeno. Nagnite se prema noænim prstima, dok ne osjetite istezanje, ali ne i bol iza koljena. Odmarajte se u tom poloæaju i lagano diπite 15 do 20 sekundi. Ponovite 5 do 7 puta sa svakom nogom. 5 Za istezanje prednjega bedrenog miπiêa (slika 5) poduprite se o stol, zatim podignite stopalo do straænjice, savijajuêi nogu u koljenu. Rukom, blago gurajte stopalo prema straænjici dok ne osjetite lagano istezanje na prednjem dijelu noge. Dræite 5 sekundi. Ponovite 5 do 7 puta. Ako napregnete trbuh i straænjicu malo viπe, jaëate i kuk. 32

33 Vjeæbe za pokretanje koljena (slike 6 7) poboljπavaju i odræavaju pokretljivost koljena i smanjuju njegovu ukoëenost. Legnite na leapplea (slika 6) i podignite koljeno do prsa. Uhvatite potkoljenicu i lagano primaknite petu k straænjici koliko god Vam koljeno dopuπta. Dræite 5 do 7 sekundi. Ponovite vjeæbu 5 puta. Paæljivo sjednite i ispruæite nogu koliko god je moguêe (slika 7); odmaranje pete na knjizi moæe pomoêi. Lagano tiskajte koljeno pokuπavajuêi potpuno ispruæiti nogu. Dræite 5 do 7 sekundi. 6 Vjeæbe za prste na ruci. Ovo su jednostavne vjeæbe koje jaëaju prste na ruci. Uzmite mekanu lopticu u ruku i gnjeëite je svim prstima, a zatim svakim pojedinim prstom. Vjeæbajte minutu, a ako je moguêe i dvije minute. 7 Zapamtite da program vjeæbi treba zapoëeti tek nakon dogovora sa svojim lijeënikom ili fizioterapeutom. 33

34 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I L I J E K O V I Z A L I J E» E N J E O S T E O A R T R I T I S A Ne postoji lijek kojim bismo rijeπili osteoartritis, no postoje brojni naëini kojima moæemo ublaæiti bol i invalidnost. Cilj je postiêi brzo i uëinkovito ublaæavanje boli, kombinirajuêi oblike lijeëenja koje preporuëa Vaπ lijeënik ili specijalist, a πto Êe Vam pomoêi zadræati pokretljivost i uæivanje u normalnom æivotu. Moæda Vam lijeënik prepiπe lijekove koji su u slobodnoj prodaji. Ako uzimate lijek koji Vam je preporuëio ljekarnik posavjetujte se sa svojim lijeënikom. Paracetamol je lijek koji se nalazi u slobodnoj prodaji i relativno brzo ublaæava boli. Blag je za æeludac te mu dajte prednost u ublaæavanju bolnih epizoda tijekom dana. NSAID-a [Nesteroidalni protuupalni lijekovi] Neki su dostupni u slobodnoj prodaji, a neki se mogu dobiti i na recept. Vrlo uëinkovito smanjuju bol nastalu oπteêenjem zgloba i upalom jer blokiraju upalni odgovor u zglobu. NajËeπÊi neæeljeni uëinak je djelovanje na æeludac i bubrege. Aspirin moæe pomoêi u ublaæavanju boli zglobova djelujuêi direktno na mjesto boli.»este nuspojave podrazumijevaju æeluëane tegobe i rizik krvarenja iz gastrointestinalnog trakta. COX-2 selektivni inhibitori su nova grupa NSAID-a i dostupni su samo na recept. Ublaæavaju bol i upalu obiëno s manje æeluëanih oπteêenja nego klasiëni NSAID-a. Iako nemaju gastrointestinalnih tegoba, mogu prouzroëiti kardiovaskularne smetnje. 34

35 Lijekovi koji djeluju na srediπnji æivëani sustav Djeluju na spreëavanju impulsa boli unutar æivëanog sustava. Snaga i duæina djelovanja razliëiti su za svaki pojedini lijek. Ti analgetici ( painkillers ) djeluju na centar za bol u mozgu i Ëesto su propisivani da bi osigurali uëinkovitije ublaæavanje boli. Kombinacija analgetika koja sadræi viπe od jedne analgetske supstance je korisna jer djeluje na dva ili viπe naëina sprjeëavanja boli, a i nuspojave su manje jer je unos aktivnih supstanci manji nego kada se uzimaju posebno. Takva vrsta analgetika bila bi kombinacija paracetamola s tramadolom u jednoj tableti. Kombinacija moæe djelovati razliëitom brzinom da bi osigurala brzo i produæeno ublaæavanje boli. Glukozamin lijek za zaπtitu hrskavice, dostupan u slobodnoj prodaji, pokazao je da ima korisno djelovanje, ali trebali bi se posavjetovati sa svojim lijeënikom prije uzimanja ovog ili nekoga drugog lijeka. Topici kao πto su kreme ili sprejevi za ublaæavanje boli, dostupne su u slobodnoj prodaji. BuduÊi da se primjenjuju direktno na bolno mjesto, mogu stvoriti osjeêaj topline i pridonijeti uëinkovitom nestajanju boli upaljenog i osjetljivog zgloba. Hijaluronska kiselina. Ta se supstanca moæe injicirati u zglob zahvaêen artrozom. Ima uëinak lubrikanta (podmazivaëa). ObiËno se primjenjuje za lijeëenje osteoartritisa koljena i moæe poboljπati pokretljivost zgloba kao i smanjiti bol. 35

36 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I D R U G I O B L I C I L I J E» E N J A»esto u lijeëenju osteoartritisa moæe pomoêi kombinacija nekoliko razliëitih terapija. Program vjeæbanja koji Vam je dao Vaπ fizioterapeut moæete provoditi u narednim godinama. Drugi Ëlanovi Vaπeg tima, koji mogu pomoêi na putu oporavka, mogu biti ortoped, ako je potrebna operacija, i psiholog, koji Êe Vam pomoêi u rjeπavanju mentalnih problema. FIZIKALNA TERAPIJA Fizikalna terapija kao πto je masaæa, primjena topline i TENS-a moæe biti korisna kod bolnog sindroma uzrokovanog osteoartritisom. Masaæa ima moê opustiti tijelo i duh. BuduÊi da okrepljuje i stimulira moæe biti od velike koristi ljudima koji pate od osteoartritisa. Postoje razliëite vrste masaæe, pa Êe Vam fizioterapeut savjetovati koja bi bila najuëinkovitija za Vas. Primjena topline se Ëesto preporuëa. Postoje razliëiti oblici primjene: topli oblozi, parafin, fluidoterapija, razliëite hidroterapije, ljekovita blata. 36 Fizikalna terapija kao πto je masaæa, primjena topline i TENS-a moæe biti korisna kod bolnog sindroma uzrokovanog osteoartritisom

37 Mnogi koji boluju od ove bolesti smatraju da primjena topline djeluje smirujuêe i korisno. TENS, skraêenica za transkutanu elektrostimulaciju æivaca, je postupak suzbijanja boli primjenom elektriënog podraæivanja æivëanih zavrπetaka u koæi. Obavlja se postavljanjem elektroda na odreappleena mjesta na koæi. Suzbijanje boli temelji se na inhibiciji prijenosa bolnoga impulsa i na poviπenju praga podraæavanja, jer se istovremeno oslobaappleaju endorfini (prirodni mehanizam za suzbijanje boli). 37

38 38 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I

39 D R U G I O B L I C I L I J E» E N J A Akupunktura suzbija bol ubadanjem igala u razliëite toëke na tijelu. Igle se ubadaju u toëke bogate osjetnim æivcima i receptorima. Akupunktura pripada tradicionalnoj kineskoj medicini Ëiji je cilj postiêi homeostazu (ravnoteæu). Mnogim ljudima koristi, a kliniëke studije pokazuju da moæe biti uëinkovita i kod osteoartritisa. Osteopatija je spoj dijagnoze i lijeëenja s naglaskom na strukturalnom i funkcionalnom integritetu lijeëenja. Osteopatija smatra da veliki dio boli i nelagode nastaje zbog nepravilnosti u strukturi tijela te to nastoji poboljπati vjeæbama za bolje dræanje i funkciju tijela. PSIHOLO KA POTPORA Psihoterapija moæe biti korisna kod osteoartritisa. Ako osteoartritis postaje obeshrabrujuêi, moæete lako potonuti. Psihoterapeut pomaæe u otkrivanju problema kao πto su depresija, uznemirenost, poremeêaj spavanja, stres i sl. 39

40 K O R A C I U B L A Æ A V A N J A B O L I VeÊina ljudi bori se s osteoartritisom i ne treba operaciju. Operacija bi mogla biti korisna u teæim sluëajevima. Neki primjeri operacijskih zahvata su: 1. artroskopija 2. zamjena zgloba VeÊina ljudi bori se s osteoartritisom i ne treba operaciju 40

41 J E L I O P E R A C I J A P O T R E B N A? Artroskopija je postala jedna od najëeπêe upotrebljavanih procedura u lijeëenju ozljeda koljena. To je manja operacija tijekom koje operater umeêe artroskop (koristeêi malu videokameru) u Vaπe koljeno kroz mali otvor. Taj zahvat omoguêava lijeëniku da u cijelosti vidi koljeno i popravi oπte Êenje (ozljedu). Zamjena zgloba Êe moæda biti neophodna kod teπkih sluëajeva osteoartritisa. Ova vrsta operacije (znana, takoappleer, kao artroplastika) je jedna od opcija koja moæe dovesti do pokretljivosti i prestanka boli te tako poboljπati kvalitetu æivota. VeÊina ovih procedura odnosi se na zglobove koji nose teæinu kukove i koljena. No moguêa je i zamjena ramenog zgloba kao i zamjena malih zglobova πake. Razvijaju se nove tehnike i postotak uspjeπnosti je sve veêi. 41

42 P I T A N J A I O D G O V O R I Je li potrebna operacija? Za neke ljude s uznapredovalim artritisom, zamjena zgloba ili neki drugi kirurπki zahvati mogu znatno smanjiti bol i obnoviti funkciju zgloba. VeÊina ljudi ne pati od uznapredovalog osteoartritisa i uz neinvazivne procedure lijeëenja mogu godinama dræati simptome pod kontrolom. HoÊe li moji lijekovi za osteoartritis meappleusobno djelovati s drugim lijekovima? Ponekad su moguêe interakcije meappleu lijekovima. Ako uzimate druge lijekove, ukljuëujuêi i biljne, posavjetujte se s lijeënikom ili ljekarnikom. Kako poëinjem program vjeæbanja? Prije svega razgovarajte sa svojim lijeënikom πto bi najviπe odgovaralo Vaπoj fiziëkoj kondiciji. Neke odgovarajuêe vjeæbe dane su u ovom priruëniku, no Vaπ Êe Vam lijeënik preporuëiti odgovarajuêi program ili fizioterapeuta koji Êe prilagoditi vjeæbe Vaπim potrebama. 42

43 K O R I S N I K O N T A K T I Grupe za samopomoê su odliëan naëin da saznate viπe o tome kako æivjeti (i boriti se) s osteoartritisom. Internetske stranice posveêene zdravlju sadræe brojne korisne informacije o osteoartritisu buduêi da je to tako Ëesto stanje koje je zahvatilo 103 milijuna Europljana. Ovdje su neke: Hrvatska liga protiv reumatizma paneuropski naglasak na æivot s osteoartritisom s linkovima grupa potpore u 16 razliëitih zemalja. Iako uglavnom usmjerena na europske zdravstvene djelatnike i udruge pacijenata, ova stranica takoappleer ima korisne linkove Europa protiv boli web-stranica 43

44 R J E» N I K P O J M O V A Akupunktura Terapija koja koristi tanke igle da bi kontrolirala protok energije u tijelu Analgetik (Painkiller) Lijek protiv bolova Artroplastika Kirurπka zamjena zgloba Artroskopija IstraæivaËka metoda koja omoguêava lijeëniku da vidi direktno u zglob pomoêu minijaturnog teleskopa CTA [CT scan] PopreËno kompjutersko skeniranje koje pokazuje promjene na kostima»vorasti osteoartritis Nasljedni oblik osteoartritisa koji zahvaêa πake Dijagnoza Prepoznavanje bolesti ili promjene u ljudskom tijelu Fizikalna terapija Koristi fizikalne metode da ojaëa tijelo i ponovo mu vrati funkciju nakon bolesti ili ozlijede Heberdenovi ËvoriÊi Tvrde kvrgave otekline na osteoartritiënom zglobu nazvane po engleskom lijeëniku, Williamu Heberdenu, koji ih je prvi opisao Hijaluronska kiselina Proizvodi je tijelo, a podmazuje hrskavicu u zglobu Hrskavica Glatko i izdræljivo tkivo koje djeluje kao amortizer stresa i πtiti krajeve kostiju u zglobu omoguêavajuêi im da klize jedna preko druge uz minimalno trenje Ligament Snaæni snopovi fibroznih vlakana koji dræe zglobove Meniskus Mali prsteni hrskavice koji djeluju kao amortizeri stresa u zglobu koljena MRI snimanja Magnetska rezonancija koristi magnetsku snagu i radiovalove da bi proizvela kompjuterske slike koje pomaæu pri dijagnosticiranju 44

45 NSAID Nesteroidalni protuupalni lijekovi lijekovi koji suzbijaju simptome upale i bol Ortopedija Grana medicine koja se bavi problemima miπiêno-koπtanog sustava Osteopatija LijeËenje zglobova manipulacijom Osteofit Koπtana izraslina na zglobu Psiholog Specijalist za mentalno zdravlje i ponaπanje Rentgen DijagnostiËka procedura koja rezultira crno-bijelim slikama strukture kostiju Sinovijalna ovojnica Ovojnica s unutraπnje strane zglobne kapsule koja proizvodi sinovijalnu tekuêinu Sinovijalna tekuêina Viskozna tekuêina koja podmazuje zglobove Spondiloza Osteoartritis kraljeænice koji moæe zahvatiti vratnu, grudnu i / ili slabinsku regiju kraljeænice TENS Transkutana elektrostimulacija æivaca koja suzbija bol Tetiva Snaæno vezivno tkivo koje spaja miπiê i kost Upala Lokalni odgovor na bol (crvenilo, toplina, oteëenost ) koji nastaje ozljedom ili boleπêu tkiva Zglob Mjesto gdje se spajaju dvije kosti. Zglobovi omoguêavaju tijelu da se savija i kreêe Zglobna kapsula Zatvara zglob i πtiti ga zadræavajuêi sinovijalnu tekuêinu unutar zgloba 45

46 46 B i l j e š k e

47

48 faksimil Pripremljeno u suradnji s medicinskim odjelom Grünenthala

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t veljaëa Reumatologija Odabrane teme

v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t veljaëa Reumatologija Odabrane teme Vaπe zdravlje v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t POSEBNO I Z D A N J E BROJ 1 veljaëa 2005. Reumatologija Odabrane teme impresum Autor: prof. dr. sc. Zrinka JajiÊ, dr. med. specijalist reumatolog

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK

ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 1 ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 2 OPERACIJA»OVJEK Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik Operation Mensch ISBN: 978-3-900160-63-0 Ÿ Top Life-Wegwieser, A-2014

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Va{ dermatolog. Postoje ~injenice koje je va`no znati, da bi na{a suradnja bila uspje{na.

Va{ dermatolog. Postoje ~injenice koje je va`no znati, da bi na{a suradnja bila uspje{na. Roaccutane prirucnik za pac.qxd 11/26/08 9:29 AM Page 1 Postoje ~injenice koje je va`no znati, da bi na{a suradnja bila uspje{na. Poku{ali smo odgovoriti na va{a naj~e{}a pitanja vezana uz akne. Tako er,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

RANO OTRKIVANJE RAKA DOJKE MINISTARSTVO ZDRAVSTVA I SOCIJALNE SKRBI TO ÆENA TREBA ZNATI

RANO OTRKIVANJE RAKA DOJKE MINISTARSTVO ZDRAVSTVA I SOCIJALNE SKRBI TO ÆENA TREBA ZNATI RANO OTRKIVANJE RAKA DOJKE MINISTARSTVO ZDRAVSTVA I SOCIJALNE SKRBI TO ÆENA TREBA ZNATI RANO OTKRIVANJE RAKA DOJKE REPUBLIKA HRVATSKA MINISTARSTVO ZDRAVSTVA I SOCIJALNE SKRBI Ministar Doc. dr. sc. Neven

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα