Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1"

Δάμων Δράκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32

2 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} (unija skupova) (presjek skupova) A \ B = {x : x A x / B} (razlika skupova) Ā = A c = S \ A za A S (komplement skupa) Partitivni skup je skup svih podskupova zadanog skupa tj. P(A) = {X : X A}. Kardinalni broj je broj elemenata konačnog skupa A kojeg označamo sa k(a). 2 / 32

3 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Tipovi intervala: [a, b] = {x R : a x b} (zatvoreni interval-segment) (a, b] = {x R : a < x b} (poluotvoreni interval) [a, b) = {x R : a x < b} (poluotvoreni interval) (a, b) = {x R : a < x < b} (otvoreni interval) 3 / 32

4 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Zadani su podskupovi (intervali) realnih brojeva: A = (, 3], B = ( 1, ), C = [ 3, 5]. Prikažite zadane skupove na brojevnom pravcu, a zatim odredite skupove (komplement skupa promatramo u odnosu na skup R): A B C, A B C, (Ā B) C, (A B) C, te provjerite sljedeće skupovne relacije (a) A B = Ā B (b) A B = Ā B (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (d) (A C) \ B (A \ B) (C \ B). 4 / 32

5 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Odredite elemente skupova: (a) A = {x R : x 2 3x 4 = 0} (b) B = {x N : x 2 + 3x 4 = 0} (c) D = {x R : x = 0} (d) E = {x Q : x 2 + x 1 4 = 0} Na brojevnom pravcu prikažite skupove (a) A = {x R : 2x + 3 0} (b) B = {x R : x 2 1 < 0} (c) C = {x R : x 2 2x + 1 > 0} (d) D = {x R : x 2 3x + 2 < 0} (e) E = {x R : x 2 + 4x > 0} 5 / 32

6 Definicija apsolutne vrijednosti Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija : R [0, ) definirana s { x, za x 0, x = x, za x < 0. Graf funkcije y = x / 32

7 Svojstva apsolutne vrijednosti Za apsolutnu vrijednost vrijedi: (a) x < r r < x < r x ( r, r) (b) x > r x > r x < r x (, r) (r, ) (c) x y = x y (d) x y = x y, y 0 (e) x 2 = x Primjer (a) 3 = 3 (b) 2 π = π 2 (c) = 3 1 (d) 2 2 = / 32

8 Zadaci Riješite jednadžbe u skupu realnih brojeva: (a) x 3 = 2 (b) 2x 2 3 = 5 (c) x 2 2 x 3 = 0 (d) x 2 + x + 3 = 5 (e) x 2 + 2x x 2 6x + 9 x 2 4x + 4 = 4 U skupu realnih brojeva riješite nejednadžbe i rješenja prikažite na brojevnom pravcu: (a) x < 5 (b) 2x 3 > 7 (c) x 1 + x + 2 < 4 (d) x 4 x+5 > 2 8 / 32

9 Zadaci U skupu cijelih brojeva riješite nejednadžbe: (a) 1 x (b) 2 x < 5 (c) x 2 2x > 1 Računski riješite sustave jednadžbi: (a) x y = 1 x + y = 2 (b) x + y = 1 y = x 2 x 9 / 32

10 Kartezijev produkt realnih brojeva Kartezijev produkt skupova X i Y, u oznaci X Y, je skup svih mogućih uredenih parova takvih da je prva komponenta iz skupa X, a druga iz skupa Y. Zapisujemo: X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Odredite A B, B A, A 2, B 2 ako je A = {x R : x 2 x = 0}, B = {y R : y + 1 = 5}. 10 / 32

11 Zadaci iz Kartezijevog produkta Zadani su skupovi A, B R. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup A B ako je (a) A = (2, 7], B = [ 2, 3) (b) A = {x : x 4}, B = {y : y > 2}. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S ako je (a) S = {(x, y) R 2 : y = x + 1} (b) S = {(x, y) R 2 : y 2x 3} (c) S = {(x, y) R 2 : y x } (d) S = {(x, y) R 2 : x 2 4x + y 2 + 2y + 1 0} (e) S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 6y + 8 0} (f) S = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 < 36} 11 / 32

12 Zadaci iz Kartezijevog produkta Nacrtajte skupove P, Q i P Q ako je (a) P = {(x, y) R 2 : x 2 y 2 < 1}, Q = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 4}, (b) P = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4x 2y + 1 0}, Q = {(x, y) R 2 : 0 y < x 2}, (c) P = {(x, y) R 2 : x > 0, x 3 y 1}, Q= {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 0}. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S i izračunajte njegovu površinu: (a) S = {(x, y) R 2 : 1 x 2, y + 1 1}, (b) S = {(x, y) R 2 : x 2, 1 y 3, y x + 1}. 12 / 32

13 Skup kompleksnih brojeva Skup kompleksnih brojeva C je skup brojeva sa sljedećim svojstvima: (a) sadrži skup realnih brojeva. (b) sadrži broj i za koji vrijedi i 2 = 1. (c) operacije zbrajanja i množenja zadovoljavaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Algebarski prikaz kompleksnog broja Kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + iy, gdje su x, y R. Re z = x je realni dio kompleksnog broja z Im z = y je imaginarni dio kompleksnog broja z 13 / 32

14 Operacije u skupu C Jednakost kompleksnih brojeva Dva kompleksna broja, z 1 = x 1 + iy 1 i z 2 = x 2 + iy 2, su jednaka ako im se podudaraju realni i imaginarni dijelovi: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 Operacije u skupu C 1. Zbrajanje kompleksnih brojeva: z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) 2. Oduzimanje kompleksnih brojeva: z 1 z 2 = x 1 x 2 + i(y 1 y 2 ) 3. Množenje kompleksnih brojeva: z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 14 / 32

15 Operacije u skupu C Potencije imaginarne jedinice: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i,.... i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+2 = 1, i 4k+3 = i, k N. Kompleksno konjugirani broj broja z: z = x iy Modul kompleksnog broja: z = (Re z) 2 + (Im z) 2 = x 2 + y 2 15 / 32

16 Operacije u skupu C Dijeljenje kompleksnih brojeva: z 1 = x 1 + iy 1 x2 iy 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 z 2 x 2 + iy 2 x 2 iy 2 x2 2 + y i y 1x 2 x 1 y 2 x2 2 + y 2 2 za z 2 0 Primjer 3 + 2i 1 2i = 3 + 2i 1 2i 1 + 2i 1 + 2i = 3 + 2i + 6i + 4i = 1 + 8i 5 = i 16 / 32

17 Kompleksna ravnina Kompleksnom broju z = x + iy jednoznačno je pridružen ureden par (x, y) R R, odnosno točka T = (x, y) u ravnini: Ovu ravninu nazivamo kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina. 17 / 32

18 Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Neka je T (x, y) točka u ravnini koja odgovara broju z = x + iy, pri čemu je z 0. Njen položaj možemo odrediti i pomoću sljedeća dva podatka: 1 udaljenosti r točke T od ishodišta O (r je modul kompleksnog broja z), 2 kuta ϕ izmedu spojnice OT i pozitivnog dijela x-osi (ϕ je argument kompleksnog broja z unutar intervala [0, 2π), oznaka ϕ = arg(z)). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja: x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ). 18 / 32

19 Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika kompleksnog broja: Ako su zadani r i ϕ, onda je x = Re z = r cos ϕ, y = Im z = r sin ϕ. Ako su zadani x i y, onda je r = z = x 2 + y 2, ϕ = arctan y, za x 0, x pri čemu kvadrant u kojem se nalazi ϕ treba odrediti sa slike odnosno iz predznaka od x i y (to jest, na osnovi informacije o kvadrantu u kojem se nalazi broj z). 19 / 32

20 Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Neka su z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) i z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) kompleksni brojevi prikazani u trigonometrijskom obliku. Tada vrijedi: z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) 1 (cos( ϕ 2 ) + i sin( ϕ 2 )) z 2 r 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )], z 2 0. Kompleksne brojeve zapisane u trigonometrijskom obliku množimo tako da im pomnožimo module, a argumente zbrojimo, dok ih dijelimo tako da im podijelimo module, a argumente oduzmemo. 20 / 32

21 Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Iz prethodnih formula slijedi z 2 = r 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ). Indukcijom zaključujemo da vrijedi općenito: de Moivreova formula z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n N. n ti korijen kompleksnog broja z: n ( z = n r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0,..., n 1. n n OPREZ! postoji točno n različitih vrijednosti n tog korijena. 21 / 32

22 Zadaci Odredite Re z i Im z ako je (a) z = 1+2i 3 4i (b) z = 1+i 2+i + i 1 i 2 (c) z = (2 3i)(1+ 3i) (2+3i)(1 3i) Izračunajte: 1 + i + i i 99 + i 100. Izračunajte vrijednost izraza za zadane vrijednosti kompleksnih brojeva: z z 1, ako je z 1 = 2 + i, z 2 = 1 3i. 22 / 32

23 Zadaci Odredite realna rješenja jednadžbe 3x + (2 i)(x + y) = 4 + 7i. Odredite trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva z 1 = 1 i, z 2 = i i z 3 = 1 + 3i, a zatim odredite trigonometrijski oblik kompleksnog broja z = z 1 z 2 z 3. Zapišite u trigonometrijskom obliku broj z = 1+i 1, a zatim izračunajte z9 3i 5 i z. 23 / 32

24 Zadaci Odredite kompleksni broj: z = (cos π 4 + i sin π 4 ) )3 13. ( 3 2 i 2 U skupu C riješite jednadžbu z 3 5 3i = 5. Odredite skup točaka odreden uvjetom: A = {z C : z 1 2}. 24 / 32

25 Zadaci Zadani su skupovi A i B. Nacrtajte skupove A i B te A B ako su (a) z C A = {z : z + 2i 2}, B = {z : Im[(z 1)(i + 2)] 1}, (b) (c) A = {z : 1 < z + 2 i 3}, B = {z : Re(1 iz) 0}, A = {z : z 2 z + 1 i {z 1}, B = : Im ( ) 1 1 }. z 2 25 / 32

26 Binomni koeficijenti Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo sa: (čitamo: n faktorijela) Faktorijele su definirane rekurzivno s n! = (n 1) n (n + 1)! = n! (n + 1) uz dogovor 0! = 1 Binomni koeficijent označavamo izrazom ( n k) i definiramo ga ovako: ( ) ( ) n n! n = uz dogovor := 1 k k!(n k)! 0 26 / 32

27 Svojstva binomnih koeficijenata Vrijedi: Pascalov trokut: ( ) ( ) n n =, k = 0, 1,..., n k n k / 32

28 Svojstva Pascalovog trokuta Princip ispisivanja sljedećih redaka: svaki element (osim rubnih elemenata koji su 1) jednak je zbroju elemenata u prethodnom retku, lijevo i desno od njega te vrijedi: ( n ) k 1 + ( ) n k ( n + 1 = k Prema tome, slijedeći red u Pascalovom trokutu je: ).. 28 / 32

29 Binomni poučak Teorem Za svaki a, b C, n N vrijedi ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n b 0 + a n 1 b 1 + a n 2 b ( ) ( ) n n... + a 1 b n 1 + a 0 b n, n 1 n što kraće zapisujemo (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k 29 / 32

30 Binomna formula za n = 1, n = 2 i n = 3 Za malene vrijednosti broja n dobijemo već poznate formule: (a + b) 1 = a + b, Svojstva binomne formule: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, kvadrat binoma (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, kub binoma 1. U prikazu (a + b) n pomoću binomne formule postoji n + 1 pribrojnik. 2. Eksponenti uz član a opadaju od n do 0, dok uz b rastu od 0 do n, tako da je u svakom članu njihov zbroj jednak n. 3. Binomni koeficijenti su u formuli simetrični. 4. Binomni koeficijenti su najprije rastući, a zatim padajući brojevi. 30 / 32

31 Primjeri razvoja po binomnoj formuli Primjer (x + 1) 5 = ( ) 5 x ( ) 5 x ( ) 5 x = x 5 + 5x x x 2 + 5x + 1. ( x 1 ) 4 ( ) ( ) 4 4 = x 4 + x 3( 1 x 0 1 x ( ) 4 ( + x 1 ) ( x 4 = x 4 4x x x 4. ( ) 5 x ) + ) ( 1 x ( ) 5 x + 4 ( ) 4 x 2( 1 2 x ) 4 ) 2 ( ) / 32

32 Zadaci Izračunajte pomoću binomne formule: (a) (x 1) 4 (b) (2x + 1) 5 (c) (1 + y 2 ) 4 (d) ( x 1 x ) 6 (e) (3 2i) 5. Odredite četvrti član u razvoju binoma ( x x) 10. Odredite onaj član razvoja (x + 1 x 2 ) 12 koji ne sadrži x. 32 / 32

Σχετικά έγγραφα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,