Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
|
|
- Δάμων Δράκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32
2 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} (unija skupova) (presjek skupova) A \ B = {x : x A x / B} (razlika skupova) Ā = A c = S \ A za A S (komplement skupa) Partitivni skup je skup svih podskupova zadanog skupa tj. P(A) = {X : X A}. Kardinalni broj je broj elemenata konačnog skupa A kojeg označamo sa k(a). 2 / 32
3 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Tipovi intervala: [a, b] = {x R : a x b} (zatvoreni interval-segment) (a, b] = {x R : a < x b} (poluotvoreni interval) [a, b) = {x R : a x < b} (poluotvoreni interval) (a, b) = {x R : a < x < b} (otvoreni interval) 3 / 32
4 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Zadani su podskupovi (intervali) realnih brojeva: A = (, 3], B = ( 1, ), C = [ 3, 5]. Prikažite zadane skupove na brojevnom pravcu, a zatim odredite skupove (komplement skupa promatramo u odnosu na skup R): A B C, A B C, (Ā B) C, (A B) C, te provjerite sljedeće skupovne relacije (a) A B = Ā B (b) A B = Ā B (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (d) (A C) \ B (A \ B) (C \ B). 4 / 32
5 Zadaci za vježbu iz Skupova brojeva Odredite elemente skupova: (a) A = {x R : x 2 3x 4 = 0} (b) B = {x N : x 2 + 3x 4 = 0} (c) D = {x R : x = 0} (d) E = {x Q : x 2 + x 1 4 = 0} Na brojevnom pravcu prikažite skupove (a) A = {x R : 2x + 3 0} (b) B = {x R : x 2 1 < 0} (c) C = {x R : x 2 2x + 1 > 0} (d) D = {x R : x 2 3x + 2 < 0} (e) E = {x R : x 2 + 4x > 0} 5 / 32
6 Definicija apsolutne vrijednosti Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija : R [0, ) definirana s { x, za x 0, x = x, za x < 0. Graf funkcije y = x / 32
7 Svojstva apsolutne vrijednosti Za apsolutnu vrijednost vrijedi: (a) x < r r < x < r x ( r, r) (b) x > r x > r x < r x (, r) (r, ) (c) x y = x y (d) x y = x y, y 0 (e) x 2 = x Primjer (a) 3 = 3 (b) 2 π = π 2 (c) = 3 1 (d) 2 2 = / 32
8 Zadaci Riješite jednadžbe u skupu realnih brojeva: (a) x 3 = 2 (b) 2x 2 3 = 5 (c) x 2 2 x 3 = 0 (d) x 2 + x + 3 = 5 (e) x 2 + 2x x 2 6x + 9 x 2 4x + 4 = 4 U skupu realnih brojeva riješite nejednadžbe i rješenja prikažite na brojevnom pravcu: (a) x < 5 (b) 2x 3 > 7 (c) x 1 + x + 2 < 4 (d) x 4 x+5 > 2 8 / 32
9 Zadaci U skupu cijelih brojeva riješite nejednadžbe: (a) 1 x (b) 2 x < 5 (c) x 2 2x > 1 Računski riješite sustave jednadžbi: (a) x y = 1 x + y = 2 (b) x + y = 1 y = x 2 x 9 / 32
10 Kartezijev produkt realnih brojeva Kartezijev produkt skupova X i Y, u oznaci X Y, je skup svih mogućih uredenih parova takvih da je prva komponenta iz skupa X, a druga iz skupa Y. Zapisujemo: X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Odredite A B, B A, A 2, B 2 ako je A = {x R : x 2 x = 0}, B = {y R : y + 1 = 5}. 10 / 32
11 Zadaci iz Kartezijevog produkta Zadani su skupovi A, B R. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup A B ako je (a) A = (2, 7], B = [ 2, 3) (b) A = {x : x 4}, B = {y : y > 2}. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S ako je (a) S = {(x, y) R 2 : y = x + 1} (b) S = {(x, y) R 2 : y 2x 3} (c) S = {(x, y) R 2 : y x } (d) S = {(x, y) R 2 : x 2 4x + y 2 + 2y + 1 0} (e) S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 6y + 8 0} (f) S = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 < 36} 11 / 32
12 Zadaci iz Kartezijevog produkta Nacrtajte skupove P, Q i P Q ako je (a) P = {(x, y) R 2 : x 2 y 2 < 1}, Q = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 4}, (b) P = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4x 2y + 1 0}, Q = {(x, y) R 2 : 0 y < x 2}, (c) P = {(x, y) R 2 : x > 0, x 3 y 1}, Q= {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 0}. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S i izračunajte njegovu površinu: (a) S = {(x, y) R 2 : 1 x 2, y + 1 1}, (b) S = {(x, y) R 2 : x 2, 1 y 3, y x + 1}. 12 / 32
13 Skup kompleksnih brojeva Skup kompleksnih brojeva C je skup brojeva sa sljedećim svojstvima: (a) sadrži skup realnih brojeva. (b) sadrži broj i za koji vrijedi i 2 = 1. (c) operacije zbrajanja i množenja zadovoljavaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Algebarski prikaz kompleksnog broja Kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + iy, gdje su x, y R. Re z = x je realni dio kompleksnog broja z Im z = y je imaginarni dio kompleksnog broja z 13 / 32
14 Operacije u skupu C Jednakost kompleksnih brojeva Dva kompleksna broja, z 1 = x 1 + iy 1 i z 2 = x 2 + iy 2, su jednaka ako im se podudaraju realni i imaginarni dijelovi: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 Operacije u skupu C 1. Zbrajanje kompleksnih brojeva: z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) 2. Oduzimanje kompleksnih brojeva: z 1 z 2 = x 1 x 2 + i(y 1 y 2 ) 3. Množenje kompleksnih brojeva: z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 14 / 32
15 Operacije u skupu C Potencije imaginarne jedinice: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i,.... i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+2 = 1, i 4k+3 = i, k N. Kompleksno konjugirani broj broja z: z = x iy Modul kompleksnog broja: z = (Re z) 2 + (Im z) 2 = x 2 + y 2 15 / 32
16 Operacije u skupu C Dijeljenje kompleksnih brojeva: z 1 = x 1 + iy 1 x2 iy 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 z 2 x 2 + iy 2 x 2 iy 2 x2 2 + y i y 1x 2 x 1 y 2 x2 2 + y 2 2 za z 2 0 Primjer 3 + 2i 1 2i = 3 + 2i 1 2i 1 + 2i 1 + 2i = 3 + 2i + 6i + 4i = 1 + 8i 5 = i 16 / 32
17 Kompleksna ravnina Kompleksnom broju z = x + iy jednoznačno je pridružen ureden par (x, y) R R, odnosno točka T = (x, y) u ravnini: Ovu ravninu nazivamo kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina. 17 / 32
18 Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Neka je T (x, y) točka u ravnini koja odgovara broju z = x + iy, pri čemu je z 0. Njen položaj možemo odrediti i pomoću sljedeća dva podatka: 1 udaljenosti r točke T od ishodišta O (r je modul kompleksnog broja z), 2 kuta ϕ izmedu spojnice OT i pozitivnog dijela x-osi (ϕ je argument kompleksnog broja z unutar intervala [0, 2π), oznaka ϕ = arg(z)). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja: x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ). 18 / 32
19 Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika kompleksnog broja: Ako su zadani r i ϕ, onda je x = Re z = r cos ϕ, y = Im z = r sin ϕ. Ako su zadani x i y, onda je r = z = x 2 + y 2, ϕ = arctan y, za x 0, x pri čemu kvadrant u kojem se nalazi ϕ treba odrediti sa slike odnosno iz predznaka od x i y (to jest, na osnovi informacije o kvadrantu u kojem se nalazi broj z). 19 / 32
20 Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Neka su z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) i z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) kompleksni brojevi prikazani u trigonometrijskom obliku. Tada vrijedi: z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) 1 (cos( ϕ 2 ) + i sin( ϕ 2 )) z 2 r 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )], z 2 0. Kompleksne brojeve zapisane u trigonometrijskom obliku množimo tako da im pomnožimo module, a argumente zbrojimo, dok ih dijelimo tako da im podijelimo module, a argumente oduzmemo. 20 / 32
21 Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Iz prethodnih formula slijedi z 2 = r 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ). Indukcijom zaključujemo da vrijedi općenito: de Moivreova formula z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n N. n ti korijen kompleksnog broja z: n ( z = n r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0,..., n 1. n n OPREZ! postoji točno n različitih vrijednosti n tog korijena. 21 / 32
22 Zadaci Odredite Re z i Im z ako je (a) z = 1+2i 3 4i (b) z = 1+i 2+i + i 1 i 2 (c) z = (2 3i)(1+ 3i) (2+3i)(1 3i) Izračunajte: 1 + i + i i 99 + i 100. Izračunajte vrijednost izraza za zadane vrijednosti kompleksnih brojeva: z z 1, ako je z 1 = 2 + i, z 2 = 1 3i. 22 / 32
23 Zadaci Odredite realna rješenja jednadžbe 3x + (2 i)(x + y) = 4 + 7i. Odredite trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva z 1 = 1 i, z 2 = i i z 3 = 1 + 3i, a zatim odredite trigonometrijski oblik kompleksnog broja z = z 1 z 2 z 3. Zapišite u trigonometrijskom obliku broj z = 1+i 1, a zatim izračunajte z9 3i 5 i z. 23 / 32
24 Zadaci Odredite kompleksni broj: z = (cos π 4 + i sin π 4 ) )3 13. ( 3 2 i 2 U skupu C riješite jednadžbu z 3 5 3i = 5. Odredite skup točaka odreden uvjetom: A = {z C : z 1 2}. 24 / 32
25 Zadaci Zadani su skupovi A i B. Nacrtajte skupove A i B te A B ako su (a) z C A = {z : z + 2i 2}, B = {z : Im[(z 1)(i + 2)] 1}, (b) (c) A = {z : 1 < z + 2 i 3}, B = {z : Re(1 iz) 0}, A = {z : z 2 z + 1 i {z 1}, B = : Im ( ) 1 1 }. z 2 25 / 32
26 Binomni koeficijenti Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo sa: (čitamo: n faktorijela) Faktorijele su definirane rekurzivno s n! = (n 1) n (n + 1)! = n! (n + 1) uz dogovor 0! = 1 Binomni koeficijent označavamo izrazom ( n k) i definiramo ga ovako: ( ) ( ) n n! n = uz dogovor := 1 k k!(n k)! 0 26 / 32
27 Svojstva binomnih koeficijenata Vrijedi: Pascalov trokut: ( ) ( ) n n =, k = 0, 1,..., n k n k / 32
28 Svojstva Pascalovog trokuta Princip ispisivanja sljedećih redaka: svaki element (osim rubnih elemenata koji su 1) jednak je zbroju elemenata u prethodnom retku, lijevo i desno od njega te vrijedi: ( n ) k 1 + ( ) n k ( n + 1 = k Prema tome, slijedeći red u Pascalovom trokutu je: ).. 28 / 32
29 Binomni poučak Teorem Za svaki a, b C, n N vrijedi ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n b 0 + a n 1 b 1 + a n 2 b ( ) ( ) n n... + a 1 b n 1 + a 0 b n, n 1 n što kraće zapisujemo (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k 29 / 32
30 Binomna formula za n = 1, n = 2 i n = 3 Za malene vrijednosti broja n dobijemo već poznate formule: (a + b) 1 = a + b, Svojstva binomne formule: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, kvadrat binoma (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, kub binoma 1. U prikazu (a + b) n pomoću binomne formule postoji n + 1 pribrojnik. 2. Eksponenti uz član a opadaju od n do 0, dok uz b rastu od 0 do n, tako da je u svakom članu njihov zbroj jednak n. 3. Binomni koeficijenti su u formuli simetrični. 4. Binomni koeficijenti su najprije rastući, a zatim padajući brojevi. 30 / 32
31 Primjeri razvoja po binomnoj formuli Primjer (x + 1) 5 = ( ) 5 x ( ) 5 x ( ) 5 x = x 5 + 5x x x 2 + 5x + 1. ( x 1 ) 4 ( ) ( ) 4 4 = x 4 + x 3( 1 x 0 1 x ( ) 4 ( + x 1 ) ( x 4 = x 4 4x x x 4. ( ) 5 x ) + ) ( 1 x ( ) 5 x + 4 ( ) 4 x 2( 1 2 x ) 4 ) 2 ( ) / 32
32 Zadaci Izračunajte pomoću binomne formule: (a) (x 1) 4 (b) (2x + 1) 5 (c) (1 + y 2 ) 4 (d) ( x 1 x ) 6 (e) (3 2i) 5. Odredite četvrti član u razvoju binoma ( x x) 10. Odredite onaj član razvoja (x + 1 x 2 ) 12 koji ne sadrži x. 32 / 32
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.
Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.
Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1. Ivan Slapničar Josipa Barić. Zbirka zadataka.
Ivan Slapničar Josipa Barić Marina Ninčević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://wwwfesbunisthr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, rujan 08 Sadržaj Popis
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραPREHRAMBENO TEHNOLOŠKI FAKULTET OSIJEK ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET OSIJEK. Dragan Jukić, Rudolf Scitovski MATEMATIKA I. Osijek, 1998.
PREHRAMBENO TEHNOLOŠKI FAKULTET OSIJEK ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET OSIJEK Dragan Jukić, Rudolf Scitovski MATEMATIKA I Osijek, 998. Dr. Dragan Jukić Dr. Rudolf Scitovski Prehrambeno tehnološki fakultet Elektrotehnički
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραPOPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *
POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIvan Slapničar MATEMATIKA 1. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2002.
Ivan Slapničar MATEMATIKA http://www.fesb.hr/mat Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2002. Sadržaj Popis slika Popis tablica Predgovor xi xiii xv OSNOVE MATEMATIKE. Osnove matematičke
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότερα