Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
|
|
- Ἁνανίας Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. f = a + b + c jest interval Ako je a < skup svih vrijednosti funkcije 4 a c b,. 4 a a = f = + c b. = f = a + b + c c = c Budući da je skup svih vrijednosti zadane funkcije interval, 3 ], a = <, najveća vrijednost funkcije je 3 pa vrijedi: a = 4 a c b 4 ( ) c ( ) 4 c 4 = 3 b = = 3 = 3 4 a 4 ( ) 4 c = c 4 c 4 = 3 / ( 4) 4 c 4 = 4 c = c = 8 4 Odgovor je pod A Vježba 8 ( ) 4 c = 8 /: 4 c =. Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 5 ]. Tada je: Rezultat: B. Zadatak 8 (Nina, gimnazija) A. c = B. c = 4 C. c = 3 D. c = 4 Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval [ 3, +. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <.
2 Ako je a > skup svih vrijednosti funkcije f = a + b + c jest interval 4 a c b, + 4 a a = f = + c b. = f = a + b + c c = c Budući da je skup svih vrijednosti zadane funkcije interval [ 3, +, a = >, najmanja vrijednost funkcije je 3 pa vrijedi: a = 4 a c b 4 c ( ) 4 c 4 = 3 b = = 3 = 3 4 a 4 4 c = c 4 c 4 = 3 / 4 4 c 4 = 4 c = c = c = 6 /: 4 c = 4. Odgovor je pod D Vježba 8 Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval [ 5, +. Tada je: Rezultat: C. Zadatak 83 (Marin, gimnazija) A. c = 4 B. c = 5 C. c = 6 D. c = 7 Odredite jednadžbu parabole prikazane na slici.. Rješenje 83 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. n m n m a = a, a a = a +. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi f =. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa (dakle = ). Nultočke kvadratne funkcije f() = a + b + c rješenja su pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c = jer je za njih f() =. Njezine realne nultočke sjecišta su njezinoga grafa s osi.
3 Faktorizacija kvadratnog trinoma Svaki se kvadratni trinom može napisati u obliku a + b + c = a, gdje su i rješenja pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c =. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola = a + b + c. = = 4 Sa slike vidi se da su nultočke = i = 4 pa jednadžba parabole glasi: a = =, = 4 = ( ) ( 4) = ( 4) = 4. = a ( ) ( ) Vježba 83 Odredite jednadžbu parabole prikazane na slici. Rezultat: = 5. Zadatak 84 (Zabrinuta, hotelijerska škola) Za neku kvadratnu funkciju f = a + b + c vrijedi da je njezina najveća vrijednost. Što od navedenoga vrijedi za tu funkciju? A. a = 3, D > B. a =, D = C. a =, D < D. a = 3, D = 3
4 Rješenje 84 Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola = a + b + c. Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a >. Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a <. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b b 4 a c D = = =. 4 a 4 a 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. a, b a. b = = a > D = a < D = Maksimalna vrijednost kvadratne funkcije jednaka je nuli pa vrijedi: D = D 4 a = D =. = 4 a Budući da kvadratna funkcija ima maksimalnu vrijednost, kvadratni koeficijent a mora biti negativan, a <. Tražimo odgovor gdje je a < i D =. Odgovor je pod B. Vježba 84 Za neku kvadratnu funkciju Što od navedenoga vrijedi za tu funkciju? f = a + b + c vrijedi da je njezina najveća vrijednost. 4
5 A. a = 5, D > B. a = 7, D = C. a =, D < D. a = 3, D = Rezultat: B. Zadatak 85 (Katarina, gimnazija) f = 3 + na faktore. Rastavite polinom Rješenje 85 n m n m,, a a = a a : a = a a b = ( a b) ( a + b), b = a. b Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Faktorizacija kvadratnog trinoma Svaki se kvadratni trinom može napisati u obliku a, gdje su i rješenja pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c =..inačica Kvadratni trinom rastavimo na faktore metodom grupiranja. Dakle, 3 + = metoda = + + = + + = grupiranja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = = =.inačica Kvadratni trinom ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + 3. f 3 f 3. = + = ( + ) ( ) f = 3 + rastavit ćemo na faktore tako da najprije riješimo kvadratnu jednadžbu. a = 3, b =, c = 3 + = 3 + = b ± b 4 a c a = 3, b =, c =, = a 4 3 ± 4 6, 3 ± +, 6 ± = =, = 6 5
6 = 6 = 6 = = ± 6, = = = = = Sada je a = 3, =, = 3 f = 3 + f = 3 ( ( ) ) 3 f = a ( ) ( ) Vježba 85 Rastavite polinom Rezultat: ( + ) ( ) f = 3 ( + ) f = ( + ) ( 3 ). 3 f = + na faktore.. Zadatak 86 (Marko, tehnička škola) Odredi polinom drugog stupnja f = a + b + c ako je f() =, f() = te 3 3 f + = f za svaki realni broj. Rješenje 86 n n n a c a d + b c a c a d b c a a n =, + =, =, = n. b d b d b d b d b b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Iz uvjeta f() = izračunamo koeficijent c. f = a + b + c a + b + c = c =. f = Traženi polinom drugog stupnja ima oblik f = a + b. Iz uvjeta f() = dobije se f = a + b f = a + b = a + b = a + b =. 3 3 Budući da je f + = f za svaki realni broj, možemo uzeti, na primjer, da je = pa slijedi: 6
7 = f + = f a + + b + = a + b f = a + b a + + b + = a + b a + b = a + b a + b = a + b a + b = a + b a + b = a + b / a + b = a + b 5 a + b a b = 4 a + 8 b = 4 a + 8 b = /: 8 3 a + b =. Sada imamo sustav jednadžbi: Računamo b. 7 ( ) a + b = metoda suprotnih a + b = / a b = 3 a + b = koeficijenata 3 a + b = 3 a + b = Polinom drugog stupnja glasi: Vježba 86 a =, b = 3, c = f = a + b + c a = a = /: a =. a + b = + b = b = + b = 3. a = Odredi polinom drugog stupnja 3 3 f + f = za svaki realni broj. Rezultat: f = + 3. Zadatak 87 (Katarina, maturantica) = 3. Odredite najmanju vrijednost funkcije f = f = + 3. f = a + b + c ako je f() =, f() = te f = a 3 +, ako se ta vrijednost postiže za Rješenje 87 a n a c a d + b c a c a d b c a d n,,, b = + = = =. b d b d b d b d c b c d Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik
8 f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Najprije odredimo vodeći koeficijent a. a = a f = a 3 + b = 3 3 f = a = = a a = a, b = 3, c = b = a 3 = 3 3 = 3 / a 3 = 6 a 6 a = 3 6 a = 3 /: 6 a =. a a Zadana funkcija glasi: a = f = 3 +. f = a 3 + Računamo najmanju vrijednost funkcije..inačica = 3 f = f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = 4..inačica a =, b = 3, c = 4 ( 3) 4 9 = = 4 a c b 4 4 = 4 a = = = = 4. 8
9 Vježba 87 Odredite najmanju vrijednost funkcije za = 3. Rezultat: = 4. Zadatak 88 (Ivan, gimnazija) f = b +, ako se ta vrijednost postiže Ako polinom f ( ) = a ima dvostruki korijen nađi f ( ) + f Rješenje 88. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola = a + b + c. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. D = = = D = Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Parabola (graf kvadratne funkcije f) dira os ako je diskriminanta pripadne kvadratne jednadžbe jednaka nuli. Tada jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Dalje slijedi: a = a = a, b =, c = ( ) 4 a ( ) = a = a, b =, c = b 4 a c = a = 8 a = 4 8 a = 4 /: a = a = a =. 8 8 Polinom f ima oblik: 9
10 f = a f =. a = Sada je: f ( ) + f = f = = ( ) ( ) + = = + = + = = = 5. Vježba 88 f a f + f. Ako polinom = ima dvostruki korijen nađi Rezultat: 8. Zadatak 89 (Matija, gimnazija) f = a a je negativna za svaki ako vrijedi: Funkcija Rješenje A. a < B. a < C. a < D. a > 4 4 Unija skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze u skupu A i sve elemente koji se nalaze u skupu B. Označavamo ga: A B. Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i skupu A i u skupu B. Označavamo ga: A B. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. < a, a a b > a, a >, a < b, c < >. > a a, + c c n m n m a = a, a a = a +. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj a b c. = + + a + b + c =
11 D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. Kada kvadratna funkcija nema realnih nultočaka parabola ne siječe os apscisa, tj. D <. Ako je a < parabola je okrenuta prema dolje. Skup za koji je kvadratna funkcija f() < iscrtan je ispod osi apscisa. a < D < Najprije odredimo diskriminantu kvadratne jednadžbe. a a = a = a, b = 7, c = 4 a a a = a = a, b = 7, c = 4 a D = b 4 a c D = 7 4 a 4 a D = 49 6 a. Budući da je funkcija f() negativna za svaki, mora vrijediti: a < a < a < a < D < 49 6 a < 6 a < 49 6 a < 49 /: ( 6) a < a < a < a < a > a > / a > a > a < a, a <, a > a,, gledamo presjek (zajednički dio) 7 7 a,,, + dva skupa rješenja a, a < Odgovor je pod A
12 Vježba 89 Funkcija Rezultat: A. f = 4 a 7 + a je negativna za svaki ako vrijedi: 7 5 A. a < B. a < C. a < D. a > 4 4 Zadatak 9 (Matija, gimnazija) P = + r + poprima pozitivne vrijednosti za sve realne vrijednosti, ako Polinom parametar r pripada intervalu: Rješenje 9 A., B., 4 C. 3, D., Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb,. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. a b < a, a > a < < a a, a, a < b, c > <. c c a + a b + b = a + b, za svaki R, a = a, a = a. n n n a b ( a b) = a b, a > b, c < <. c c Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj a b c. = + + a + b + c = D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
13 Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. Kada kvadratna funkcija nema realnih nultočaka parabola ne siječe os apscisa, tj. D <. Ako je a > parabola je okrenuta prema gore. Skup za koji je kvadratna funkcija f() > iscrtan je iznad osi apscisa. a > D <.inačica Najprije odredimo diskriminantu kvadratne jednadžbe. + r + = a =, b = r, c = + r + = a =, b = r, c = D = b 4 a c D = r 4 D = 4 r 4. Budući da je funkcija f() pozitivna za svaki, mora vrijediti: a = > 4 r 4 < 4 r < 4 4 r < 4 /: 4 r < r < / D < Odgovor je pod A..inačica Preoblikujemo zadani polinom. r < < r < r,. P = + r + P = + r + r r + P = + r + r r + P = + r r +. Budući da je kvadrat realnog broja uvijek nenegativan broj, a mora biti P() > za svaki, slijedi: P = ( + r) r + + r r + > + r r + > P > Odgovor je pod A. Vježba 9 Polinom r > r > / r < r < / ako parametar r pripada intervalu: Rezultat: A. ( ) r < < r < r,. P = + 4 r + poprima pozitivne vrijednosti za sve realne vrijednosti, A., B., 4 C. 3, D., 3
14 Zadatak 9 (Lucija, srednja škola) 3 Zadana je funkcija f = a) Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije f s osi. b) Kolika je maksimalna vrijednost funkcije f? Rješenje 9 Ako graf funkcije f siječe os tada je apscisa sjecišta jednaka, tj. =. f S(, ) Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, O gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b a) Kada graf funkcije f siječe os tada je apscisa sjecišta jednaka, tj. =. = Koordinate sjecišta glase: 3 f = f = + 3 f =. 4 = S ( ) S,,. b) Budući da je zadana kvadratna funkcija kojoj je vodeći koeficijent negativan broj njezina maksimalna vrijednost iznosi: 3 a = <, f = ( ) a c b 4 3 = 4 a = 3 a =, b = 3, c =
15 3 4 ( ) = = = = = , ,5 - -,5 - S(, - ) Vježba 9 osi. Zadana je funkcija Rezultat: S ( ) = S ( ) 3 f = Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije f s 4,, 5. Zadatak 9 (4A, TUPŠ) Ekološka udruga je. godine provela istraživanje o kakvoći zraka. Broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka (M) procjenjuje se prema formuli M =. t.4 t + 4.3, gdje je t broj godina proteklih od. godine. a) Koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 6. godinu? b) Koje će godine prema toj procjeni biti najmanji broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka? Rješenje 9 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) ima ekstrem u točki s apscisom Vrste ekstrema: minimum ako je a > maksimum ako je a <. f = a + b + c, b =. a a) Računamo koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 5
16 6. godinu. Od. godine do 6. godine proći će 6 godina pa vrijedi: t = 6 M =. t.4 t M = M = b) Računamo koje će godine prema toj procjeni biti najmanji broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka. Budući da je M =. t.4 t + 4.3, kvadratna funkcija (varijabla je t), a vodeći je koeficijent pozitivan a =. a >, funkcija ima minimum za M =. t.4 t b.4 t = t = t =. a =., b =.4, c = 4.3 a. Prema toj procjeni to će biti za godina ili. godine. + =. Vježba 9 Ekološka udruga je. godine provela istraživanje o kakvoći zraka. Broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka (M) procjenjuje se prema formuli M =. t.4 t + 4.3, gdje je t broj godina proteklih od. godine. Koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 8. godinu? Rezultat: 3. Zadatak 93 (Leo i Marko, tehnička škola) Ispitaj svojstva i skiciraj graf funkcije Rješenje 93 f = Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola = a + b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Ispitivanje tijeka kvadratne funkcije. Utvrdimo predznak vodećeg koeficijenta a. Prema njemu odredi se okrenutost parabole: 6
17 a > parabola je okrenuta prema gore a < parabola je okrenuta prema dol je.. Odrede se nultočke funkcije rješavanjem pripadne kvadratne jednadžbe: a + b + c =. Pritom vrijedi: D = b 4 a c > funkcija ima d vije nultočke D = b 4 a c = funkcija ima j ednu nultočku D = b 4 a c < funkcija nema nultoča ka. 3. Odredi se tjeme parabole T(, ).. način b 4 a c b =, a = 4 a. način + =, = f ( ), gdje su i nultočke (ako postoje). 4. Odredi se os simetrije parabole. To je pravac b =. a 5. Odredi se sjecište parabole s osi. Uvrsti se u funkciju = i izračuna = f(). To je točka 6. Napravimo tablicu pada i rasta funkcije: a > a < ( f ),. + f() + ց ց ր ր + + f() ր ր ց ց 7. Skiciramo parabolu, graf kvadratne funkcije. Ajmo, dečki, malo računati!. Utvrdimo predznak vodećeg koeficijenta a. a = f = b = 6 a = <. c = 8 Parabola je okrenuta prema dolje.. Odredimo nultočke funkcije rješavanjem pripadne kvadratne jednadžbe: = = / = ( ) a =, b = 6, c = = b ± b 4 a c a =, b = 6, c = 8, = a 7
18 6 ± , ±, ± = =, = = = = ± = 4, = = = = = 3. Odredi se tjeme parabole T(, ).. način a = f = b = 6. c = 8 Računamo. b = = = = = 3. a Računamo. 4 a c b = 4 = 4 = a 4 = 4 4 =. 4 = Tjeme parabole je T ( 3, ). 4. Odredi se os simetrije parabole. a = f = b = 6. c = 8 To je pravac b = = = = = 3. a 5. Odredi se sjecište parabole s osi. Uvrsti se u funkciju = i izračuna = f(). To je točka = f = Napravimo tablicu pada i rasta funkcije: a = < 7. Skiciramo parabolu, graf kvadratne funkcije. f = = 8. f (, 8 ) f() ր ր ց ց 8
19 ,,8 T A,6,4, -, F H G,5,5,5 3 3,5 4 4,5 -,4 -,6 -,8 - -, os simetrije -,4 -,6 Vježba 93 -,8 Ispitaj svojstva i skiciraj graf funkcije f = + +. Rezultat: + 9 f() ր ր ց ց Zadatak 94 (Feli, maturant) Mjesta A i B udaljena su 53 km i povezana ravnom željezničkom prugom, a mjesta B i C povezana su ravnom autocestom. Kut između ceste i pruge jest 6 kao što je prikazano na skici. U isto je vrijeme vlak krenuo iz mjesta A prema mjestu B, a automobil iz mjesta B prema mjestu C. Oba vozila kreću se konstantnim brzinama pri čemu je automobil dvostruko brži od vlaka. Koliko će kilometara prijeći vlak od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća? A 6 B Rješenje 94 C Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s = v t, gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti: 9
20 a = b + c b c cos α, b = a + c a c cos β, c = a + b a b cos γ. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. n n n a b = a a b + b, a b = a b, cos 6 =, a = a. n m n + m a a = a, a < b a < b. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b =. 4 a Vrste ekstrema: minimum ako je a > maksimum ako je a <. A v D 53 - s s = v t 6 B s = v t v E C Sa slike vidi se: DE =, AB = 53 km, AD = s = v t, DB = 53 s = 53 v t, BE = s = v t
21 Neka je t vrijeme za koje je vlak prevalio put i došao u točku D, a automobil prešao put DBE = 6. s s = v t = v t i nalazi se u točki E. Da bismo izračunali udaljenost između automobila i vlaka uočimo trokut DEB i uporabimo kosinusov poučak. Vrijedi: DE = DB + BE DB BE cos DBE = 53 v t + v t 53 v t v t cos 6 = 89 6 v t + v t + 4 v t ( 53 v t) v t = 89 6 v t + v t + 4 v t ( 53 v t) v t = 89 6 v t + v t + 4 v t 53 v t v t = 89 6 v t + v t + 4 v t 6 v t + v t = 7 v t v t + 89 = 7 v t v t + 89 / = 7 v t v t Uočimo da je pod korijenom kvadratna funkcija po varijabli t (vremenu) čiji je vodeći koeficijent f t = 7 v t v t + 89 a = 7 v pozitivan pa funkcija ima minimalnu vrijednost za b t =. a Budući da udaljenost mora biti najkraća, trebamo odrediti t za koji kvadratna funkcija f(t) ima najmanju vrijednost. f ( t) = 7 v t v t + 89 f ( t) = 7 v t v t + 89 a = 7 v, b = v, c = 89 b v v 6 t = t = t = t =. a 7 v 7 v 7 v Broj kilometara koji će vlak prijeći od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća, iznosi: 6 t = v s = v s = v s = s = v 7 v 7 s = v t
22 Vježba 94 Mjesta A i B udaljena su 53 km i povezana ravnom željezničkom prugom, a mjesta B i C povezana su ravnom autocestom. Kut između ceste i pruge jest 6 kao što je prikazano na skici. U isto je vrijeme vlak krenuo iz mjesta A prema mjestu B, a automobil iz mjesta B prema mjestu C. Oba vozila kreću se konstantnim brzinama pri čemu je vlak dvostruko sporiji od automobila. Koliko će kilometara prijeći vlak od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća? A 6 B Rezultat: Zadatak 95 (Marijan, maturant) f = p gdje je p R. Zadana je funkcija C a) Za koju vrijednost parametra p umnožak rješenja jednadžbe f() = iznosi 5? b) Za koje vrijednosti parametra p funkcija f poprima pozitivne vrijednosti za svaki R? Rješenje 95 Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb,. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. a b a < b, c > <. c c Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja.
23 Jednadžba oblika a + b + c = (a, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe. Rješenja i kvadratne jednadžbe a + b + c = zadovoljavaju Vièteove formule: b c + =, =. a a Budući da tražimo sjecišta grafova zadanih funkcija, izjednačit ćemo izraze kojima su zadane te funkcije. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola a), = a + b + c. Budući da je umnožak rješenja jednadžbe f() =, tj, p = jednak 5, prema Vièteovoj formuli slijedi: c f = p p = 5 = 5 5 a a = 3, b = 6, c p 3 = = p = 5 / 3 p = 5 3 p = 5 p = 3 p = 3 / ( ) p = 3. b) Odredimo koeficijente kvadratne funkcije f. f = p f = p. a = 3, b = 6, c = p Budući da je vodeći koeficijent a pozitivan a = 3 >, funkcija f poprima pozitivne vrijednosti za svaki R ako je njezina diskriminanta manja od nule (negativna). a = 3, b = 6, c = p D < ( 6) 4 3 ( p) < b 4 a c < 36 p < p < p < p < p < /: p < p,. 3
24 Vježba 95 Zadana je funkcija umnožak rješenja jednadžbe f() = iznosi 4? Rezultat: p =. Zadatak 96 (4A, 4B, TUPŠ) na slici. f = p gdje je p R. Za koju vrijednost parametra p Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f = a + b + c čiji je graf prikazan,5 - O ,5 - -,5 - Rješenje 96 n m n + m a a = a, a a = a, b = a. b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa ( = ). Vrijednost za koju je f() = zove se nulište funkcije. Najčešće se za oba pojma rabi izraz nultočka. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je -,5 = a + b + c, s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. U točki funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a >, a najveću vrijednost ako je a <. Množenje zagrada ( a + b) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d. Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi. f = Realna nultočka funkcije apscisa je točke u kojoj graf funkcije siječe (ili dira) os. Grafički nultočke određujemo tako da nacrtamo parabolu = a + b + c i odredimo točke na osi u kojima parabola siječe (ili dira) os. Ako su poznate nultočke i kvadratne funkcije, tada se ona može faktorizirati 4
25 f = a + b + c, nultočke funkcije Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. f = a. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c.,5 - O ,5 - -,5 - -,5 Sa slike vidi se da funkcija ima nultočke = i = pa njezina jednadžba izgleda ovako: = f = a ( ) ( ) f = a ( ( ) ) ( ) = U nuli funkcija ima vrijednost. Sada možemo izračunati vrijednost koeficijenta a. f = a +. f =. ( ) ( ) f = a + f = a + f = a f = a f = = a a = a = /: a =. Tražena funkcija izgleda: ( ) ( ) f = + f = + f = + a = f = + b =. c = Vježba 96 na slici. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f = a + b + c čiji je graf prikazan 5
26 ,5, E - F ,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 G - 4 Rezultat: a =, b =, c = 4. Zadatak 97 (Larisa, gimnazija) Riješite nejednadžbu ( ) Rješenje 97 4 < 9 i rješenje napišite uz pomoć intervala. n a c a d b c a c a d + b c b d b d b d b d a < b < c, n R a + n < b + n < c + n. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. ( a b) = a a b + b, n =, =, + =. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. a = a, < a, a > a < < a. Graf kvadratne funkcije f() = a + b + c je parabola. Ovisno o mogućem predznaku vodećeg koeficijenta a parabola može biti okrenuta otvorom prema gore ili dolje. Ako je a >, parabola je okrenuta otvorom prema gore. Ako je a <, parabola je okrenuta otvorom prema dolje..inačica Preoblikujemo zadanu nejednadžbu. 4 < < < < Trebamo riješiti nejednadžbu <. 6
27 4 8 5 <. Najprije odredimo nultočke jednadžbe: a = 4, b = 8, c = = = b ± b 4 a c a = 4, b = 8, c = 5, = a ( 8) ( 8) 4 4 ( 5) ± , 4 ± +, 8 ± = =, = = 8 = 8 = 8 = ±, = = 8 = 8 = 8 = Nakon toga skiciramo njezin graf (to je parabola ''otvorom'' okrenuta prema gore, a = 4 > ) C - 5 Graf kvadratne funkcije (parabola) siječe os u dvije točke: = i =. U točkama 5 = i = vrijedi jednakost =, pa one nisu rješenja zadane nejednadžbe <. Zato ih nismo popunili. Funkcija je negativna na onom intervalu gdje se njezin graf nalazi ispod osi. Taj je interval (označeno crveno na slici) skup rješenja kvadratne nejednadžbe <. Vidimo da graf leži ispod osi na dijelu od prve nultočke Rješenje nejednadžbe tj. nejednadžbe je.inačica <, ( ) 4 < 9 5,. = do druge nultočke 5 =. 7
28 9 9 4 ( ) < 9 4 ( ) < 9 / ( ) < ( ) < / < < < < < < / < + < + + < + < + < < 5 5 < <,. Vježba 97 Riješite nejednadžbu ( ) 4 9 < i rješenje napišite uz pomoć intervala. Rezultat: 5,. Zadatak 98 (Pero, tehnička gimnazija) f = a + b + c, ako su nultočke suprotni brojevi i Odredi polinom drugog stupnja ako je f( 4) =, f() = 6. Rješenje 98 Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi f =. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa (dakle = ). Nultočke kvadratne funkcije (polinoma drugog stupnja) f() = a + b + c rješenja su pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c = jer je za njih f() =. Njezine realne nultočke sjecišta su njezinoga grafa s osi. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b f = a + b + c čije su nultočke suprotni Najprije pokažimo da polinom drugog stupnja brojevi ima oblik f = a + c. Neka su zadana dva suprotna broja = i =, koji su nultočke polinoma f = a + b + c. Tada je: a + b + c = a + b + c = a + b + c a + b + c = a + b + c = a ( ) + b ( ) + c a + b + c = a b + c a + b + c = a b + c [ ] b = b b + b = b = b =. Polinom drugog stupnja ima oblik Dalje slijedi: f = a + c. 8
29 f = 6 a + c = 6 a + c = 6 f = a + c f ( 4) = a ( 4) + c = 6 a + c = + c = 6 c = 6 6 a 6 = 6 a = a = 8 6 a + c = 6 a + c = a = 8 / a = a = a = Polinom glasi: a = f = a + c f = 6. c = 6 Vježba 98 Odredi polinom drugog stupnja čije su nultočke suprotni brojevi te za koji je f() =, f( 4) = 6. Rezultat: f = +. Zadatak 99 (B, TUPŠ) Odredi broj m tako da točka A(, 8) pripada grafu funkcije Rješenje 99 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, f = m. gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je a b c, = + + s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. Budući da točka A mora ležati na paraboli = m, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole. A(, ) = A(, 8) 8 m 8 m 8 m = = = = m Vježba 99 m = 8 m = 8 /: m = 4. Odredi broj m tako da točka A(, 4) pripada grafu funkcije Rezultat: m =. f = m. 9
30 Zadatak (B, TUPŠ) A(, ). Odredimo koeficijent a u funkciji Rješenje Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, f = a, tako da njezin graf prolazi točkom gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je = a + b + c, s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. Budući da točka A mora ležati na paraboli = a, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole. A(, ) = A(, ) a a a a. = = = = = a Dakle, radi se o funkciji f =. Vježba A(, 5). Odredimo koeficijent a u funkciji Rezultat: f = 5. f = a, tako da njezin graf prolazi točkom 3
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραx bx c + + = 0 po nepoznatoj x, vrijedi da je
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu studijska 0/4. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Za rješenja, kvadratne jednačine + = i + = 7. Koliko iznosi? 9 b c + + = 0 po nepoznatoj, vrijedi da je a) 4 b) 6 c) 7 d) 4
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSkupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραPOPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *
POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραPolinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler
Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραI. dio. Zadaci za ponavljanje
I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα