Riješeni zadaci: Linearna algebra

Transcript

1 Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn nazivamo realnom (kompleksnom) matricom tipa m n Brojeve a ij, i 1,, m, j 1,, n, nazivamo elementi matrice Za m n matrica je kvadratna Od svih kvadratnih matrica posebno su važne jedinična matrica I i nul matrica 0: I, Definicija Neka su A (a ij ) i B (b ij ) matrice tipa m n Zbroj matrica A i B je matrica C (c ij ) tipa m n, s elementima c ij a ij + b ij Zadatak 1 Zbrojite matrice A , B Rješenje A+B Definicija Produkt matrice A (a ij ), tipa m n, skalarom α R definira se kao: a 11 a 1n α a m1 a mn α a 11 α a 1n α a m1 α a mn 1

2 Zadatak 2 Skalarima α 3 i α 4 pomnožite matricu A Rješenje , Definicija Produkt matrica A (a ij ), tipa m n i B (b ij ), tipa n p je matrica n A B C (c ij ) tipa m p, čiji se elementi računaju po formuli c ij a ik b kj Napomena Množiti možemo samo matrice koje su ulančane Zadatak 3 Izračunajte produkt matrica [ a1 b A 1 c 1 d 1 [ a2 b, B 2 c 2 d 2 k1 Rješenje [ a1 b AB 1 c 1 d 1 [ a2 b 2 c 2 d 2 [ a1 a 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 Zadatak 4 Za matrice izračunajte: [ A [ 2 1, B 9 2, A + B, b) A B, c) AB, d) BA Rješenje A + B [ [ b) [ A B [ [ [

3 c) [ AB [ [ [ d) BA [ [ [ [ Zadatak 5 Za matrice izračunajte: A , B , A + B, b) A B, c) AB, d) BA Rješenje b) c) A B AB A + B ( 3) ( 3)

4 d) BA ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) Napomena Iz prethodna dva zadatka možemo uočiti da množenje matrica općenito nije komutatitvno Zadatak 6 Izračunajte sljedeće produkte matrica [ b) [ c) Rješenje [ b) [ c) ,, [ [ ( 2) [ ( 4) ( 1) ( 4) ( 1) ( 4) ( 1) [

5 Neke specijalne matrice Neka je kvadratna matrica n tog reda a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a n1 a n2 a nn - Za njene dijagonalne elemente a 11, a 22,, a nn kažemo da leže na glavnoj dijagonali, a njihov zbroj označavamo s tra i zovemo trag matrice A - Za kvadratnu matricu A (a ij ) n tog reda kažemo da je dijagonalna, ako su joj svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli - Za kvadratnu matricu A (a ij ) n tog reda kažemo da je gornje trokutasta, ako su joj svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli - Za kvadratnu matricu A (a ij ) n tog reda kažemo da je donje trokutasta, ako su joj svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli Neka je A (a ij ) matrica tipa m n Pomoću nje definiramo n m matricu A T (a T ij ), tako da je a T ij a ji Matricu A T nazivamo transponiranom matricom matrice A - Za kvadratnu matricu A (a ij ) n tog reda kažemo da je simetrična ako je A T A - Za kvadratnu matricu A (a ij ) n tog reda kažemo da je antisimetrična ako je A T A Antisimetrična matrica na glavnoj dijagonali ima nule Zadatak 7 Izračunajte trag sljedećih matrica: A Rješenje [ tra ,, b) B b) trb , c) trc , c) C Zadatak 8 Provjerite jesu li sljedeće matrice simetrične, antisimetrične ili niti jedno od navedenog A 2 4 5, b) B 6 0 3, c) C

6 Rješenje A T b) B T c) C T Regularne matrice A Matrica A je simetrična B T Matrica B je antisimetrična Matrica C nije niti simetrična, niti antisimetrična Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna ili invertibilna, ako postoji kvadratna matrica B takva da je AB BA I ( ) U suprotnom za matricu A kažemo da je singularna Matrica B je (ukoliko postoji) jednoznačno odredena zahtjevom ( ) Označavamo je s A 1 i nazivamo inverznom matricom matrice A Prema tome, imamo AA 1 A 1 A I Gaussova metoda za invertiranje matrice Jednostavna metoda za ispitivanje je li neka matrica regularna, te za odredivanje inverza takve matrice je Gaussova metoda koja koristi samo elementarne operacije nad redcima matrice Pod Gaussovim elementarnim operacijama nad redcima matrice podrazumijevamo: 1 permutiranje redaka, 2 množenje redka skalarom različitim od nule, 3 dodavanje redku nekog drugog redka prethodno pomnoženog proizvoljnim skalarom Napomena Na potpuno isti način definiraju se elementarne operacije nad stupcima matrice i elementarne operacije nad jednadžbama sustava linearnih algebarskih jednadžbi Inverz matrice A, tipa n n, tražimo na sljedeći način: Matricu A proširimo jediničnom matricom istog tipa Dobivamo matricu [A, I Zatim, provodimo elementarne operacije nad redcima te nove, proširene matrice, tako da matricu A pretvaramo u jediničnu matricu, a matrica I nakon konačno mnogo koraka postaje A 1 6

7 Zadatak 9 Gaussovom metodom nadite inverz sljedećih matrica: [ [ [ A, b) B, c) C d) D 2 3 0, e) E Rješenje Elementarnim operacijama nad redcima dobivamo:, [A, I [ [ [ /7 2/ [ [ [ 0 1 1/7 2/ /7 2/ /14 1/ /7 1/ /14 1/ /7 2/7 Dakle, A 1 [ 3/14 1/14 1/7 2/7 1 [ b) [B, I [ [ [ /2 1/ /2 1/ /2 5/2 1 [ [ 1 1/2 1/ /13 1/ /13 2/ /13 2/13 [ Dakle, B 1 4/13 1/13 5/13 2/13 1 [ c) [C, I [ [ Elementarnim operacijama nad redcima matrice [C, I nije moguće dobiti jediničnu matricu na mjestu matrice C Prema tome, matrica C je singularna 7

8 d) [D, I /29 2/29 9/ /29 8/29 7/ /29 11/29 6/ /29 2/29 9/ /29 11/29 6/ /29 8/29 7/ /29 8/29 7/ /29 2/29 9/ /29 8/29 7/ /29 11/29 6/29 Dakle, D 1 12/29 2/29 9/29 8/29 11/29 6/29 19/29 8/29 7/ e) [E, I /10 3/10 3/ /10 3/10 3/ /10 2/10 2/ /10 18/10 8/ /10 3/10 3/ /10 2/10 2/ /10 18/10 8/ /10 2/10 2/ /10 18/10 8/ /10 3/10 3/10 Dakle, E 1 4/10 2/10 2/10 6/10 18/10 8/10 1/10 3/10 3/

9 Sustav linearnih algebarskih jednažbi Zadatak 10 Sljedeće sustave linearnih algebarskih jednadžbi prikažite grafički, te iz slike odredite rješenja i objasnite njihov geometrijski smisao: x 1 + 4x 2 2 2x 1 + x 2 3, b) x 1 + 3x 2 2 2x 1 + 6x 2 3 Rješenje x x Slika 1: Rješenje sustava Geometrijski smisao rješenja ovog sustava prikazan je na Slici 1 Rješenje je sjecište pravaca zadanih jednadžbama sustava i lako, sa slike, možemo iščitati da je to (x 1, x 2 ) ( 2, 1) 9

10 x x1-05 b) Slika 2: Rješenje sustava b) Geometrijski smisao rješenja ovog sustava prikazan je na Slici 2 Vidimo da se pravci koji odgovaraju jednadžbama sustava ne sijeku Dakle, sustav nema rješenje, jer nema takvih parova (x 1, x 2 ) koji bi istovremeno zadovoljavali obje jednadžbe sustava Opći oblik sustava od m linearnih algebarskih jednadžbis n nepoznanica, pri čemu x 1, x 2,, x n označavaju nepoznanice, glasi: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m (1) - Realne brojeve a ij (i 1,, m; j 1,, n) nazivamo koeficijentima sustava, a realne brojeve b i, i 1,, m, slobodnim koeficijentima sustava - Za sustav (1) kažemo da je homogen ako su svi slobodni koeficijenti jednaki nuli U suprotnom, ako je barem jedan od slobodnih koeficijenata različit od nule, za sustav (1) kažemo da je nehomogen - Za uredenu n torku (x 1,, x n) brojeva kažemo da je rješenje sustava (1), ako je a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m - Sustav je rješiv ili konzistentan ako ima barem jedno rješenje U suprotnom za sustav kažemo da je nerješiv ili nekonzistentan 10

11 - Riješiti sustav, tj naći opće rješenje, znači pronaći sva njegova rješenja - Za dva sustava tipa (1) kažemo da su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog ujedno i rješenje drugog sustava i obratno Matrični zapis sustava Sustavu (1) pridružit ćemo matricu sustava A, stupac slobodnih koeficijenata b i vektor nepoznanica x: a 11 a 12 a 1n b 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A, b b 2, x x 2 a m1 a m2 a mn b m x n Tada sustav (1) možemo kraće zapisati u matričnom obliku: Ax b Blok matricu [A, b zovemo proširenom matricom sustava (1) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m Gaussova metoda eliminacije za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednažbi Sastoji se u tome da se polazni sustav elementarnim operacijama nad jednadžbama svede na ekvivalentni sustav u gornje trokutastom obliku koji se rješava unazad (odozdo prema gore) Zadatak 11 Gaussovom metodom eliminacije riješite sljedeće sustave: x 1 + 4x 2 + 3x 3 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 3 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 2, b) 2x 1 + 6x 2 4x 3 2 x 1 + 2x 2 3x 3 1 7x 1 + 2x 2 + x 3 3 Rješenje /5 Riješavamo unazad Iz zadnjeg redka vidimo da je x

12 b) 9 Iz drugog redka vidimo da je 5x Dakle, x Iz prvog redka slijedi x ( Dakle, dobili smo rješenje: (x 1, x 2, x 3 ) 10, 7 10, 9 ) Riješavamo unazad Iz zadnjeg redka vidimo da je x Iz drugog redka vidimo da je x 2 x Iz prvog redka slijedi x 1 1 ( ) ( 17 7 Dakle, dobili smo rješenje: (x 1, x 2, x 3 ) 17, 2 17, 2 )

13 Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a n1 a n2 a nn često se koristi i oznaka a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta a n1 a n2 a nn Determinanta matrice definira se induktivno, tj determinanta matrice n tog reda definira se pomoću determinante matrice (n 1) og reda Podimo redom Definicija 1 (Determinanta prvog red Determinanta matrice A [a je broj a [ a11 a Definicija 2 (Determinanta drugog red Determinantom matrice A 12 a 21 a 22 zovemo broj A a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 Definicija 3 (Determinanta trećeg red Determinanta matrice A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a je broj A a 22 a a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 Definicija 4 (Determinanta n tog red Determinanta matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a n1 a n2 a nn je broj deta a 11 deta 11 a 21 deta ( 1) n+1 a n1 deta n1 n ( 1) k+1 a k1 deta k1 gdje A ki označava matricu A bez k-tog retka i i tog stupca Svojstva determinante D1 Matrica A i transponirana matrica A T imaju jednake determinante, tj deta deta T k1 13

14 D2 Ako je A (a ij ) trokutasta matrica n tog reda, onda je deta a 11 a 22 a nn D3 Ako dva stupca determinante zamjene mjesta, determinanta mijenja predznak D4 Ako matrica A ima dva jednaka stupca, onda je deta 0 D5 Determinanta je linearna u svakom svom stupcu, tj ako je i ti stupac a i matrice A oblika a i λb + µc, gdje su b, c stupci, a λ, µ skalari, onda je deta det[a 1,, a i 1, λb + µc, a i+1,, a n λdet[a 1,, b, a i+1,, a n + µdet[a 1,, a i 1, c, a i+1,, a n D6 Ako su svi elementi nekog stupca matrice A jednaki nula, onda je deta 0 D7 Determinanta se množi skalarom tako da se samo jedan stupac pomnoži tim skalarom, tj zajednički faktor svih elemenata nekog stupca može se izlučiti ispred determinante D8 Determinanta ne mijenja vrijednost ako nekom stupcu determinante dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca D9 Ako je neki stupac determinante linearna kombinacija preostalih stupaca te determinante, onda je determinanta jednaka nuli D10 Matrica A je regularna onda i samo onda ako je deta 0 Napomena Pravila D3 D9 vrijede i za redke determinante matrice A Teorem (Binet-Cauchyjev teorem) Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, onda je Teorem (Laplaceov razvoj determinante) po i tom stupcu: deta po i tom retku: deta det(ab) detadetb n ( 1) k+i a ki deta ki, k1 n ( 1) k+i a ik deta ik k1 Zadatak 12 Izračunajte sljedeće determinante matrica prvog i drugog reda: A [ 4, b) B [ 3 [ 2 1, c) C,

15 [ 9 4 d) D 10 6 Rješenje deta 4 b) detb 3 [ 5 3, e) D 4 7 c) detc 2 4 ( 1) d) detd 9 ( 6) e) dete Zadatak 13 Izračunajte sljedeće determinante matrica trećeg reda: A 0 4 5, b) B 2 2 3, c) C d) D Rješenje , e) E , f) F , deta D b) detb D4 0 c) detc D D4 0 d) detd (28 25) 2 (21 10) + 3 (15 8)

16 e) f) dete detf ( 6 7) 1 (6 5) + 2 ( 14 10) ( 5 0) + 1 ( 3 24) 8 (0 15) Zadatak 14 Izračunajte det(ab), b) det(cd), c) det(ef), pri čemu su A, B, C, D, E i F, matrice iz prethodnog zadatka Rješenje Koristiti ćemo Binet-Cauchyjev teorem det(ab) deta detb b) det(cd) detc detd c) det(ef) dete detf Cramerovo pravilo Cramerovo pravilo služi za rješavanje tzv kvadratnih sustava tj sustava kod kojih je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica Neka je zadan sustav od n jednadžbi s n nepoznanica: Zapišimo ga u vektorskom obliku: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n b n x 1 a 1 + x 2 a x n a n b, gdje su a 1,, a n stupci matrice sustava A, a b vektor slobodnih koeficijenata Neka je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D deta a n1 a n2 a nn determinanta matrice sustava (2) Nadalje, neka je (2) 16

17 a 11 a 1(i 1) b 1 a 1(i+1) a 1n a 21 a 2(i 1) b 2 a 2(i+1) a 2n D i, i 1,, n, a n1 a n(i 1) b n a n(i+1) a nn determinanta koja se dobiva iz determinante D zamjenom i tog stupca stupcem slobodnih koeficijenata 1 Ako je D 0, da bi sustav (2) bio rješiv, mora vrijediti D 1 D 2 D n 0 U tom slučaju, sustav (2) ima beskonačno mnogo rješenja U suprotnom, sustav (2) nema rješenje 2 Sustav (2) ima jedinstveno rješenje ako i samo ako je D 0 U tom je slučaju rješenje dano s x i D i, i 1,, n D Zadatak 15 Primjenom Cramerovog pravila diskutirajte rješenja sljedećih sustava jednadžbi u ovisnosti o parametru λ R ( (b) Rješenje x 1 λx 2 2 λx 1 + 4x 2 4, λx 1 + 2x 2 λ 2x 1 + λx 2 2 ( Dobivamo da je D D 1 D 2 1 λ λ 4 4 λ2 2 λ λ 1 2 λ λ Sada možemo zaključiti da za λ R \ { 2, 2} sustav ima jedinstveno rješenje, za λ 2 sustav ima beskonačno rješenja, a za λ 2 sustav nema rješenja (b) Dobivamo da je D D 1 D 2 λ 2 2 λ λ 2 2 λ λ λ 2 2 λ2 4 λ2 4 0, 17

18 te možemo zaključiti da za λ R \ { 2, 2} sustav ima jedinstveno rješenje, a za λ { 2, 2} sustav ima beskonačno rješenja Zadatak 16 Cramerovim pravilom riješite sljedeće sustave: Rješenje x 1 + 4x 2 + 3x 3 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 3 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 2, b) 2x 1 + 6x 2 4x 3 2 x 1 + 2x 2 3x 3 1 7x 1 + 2x 2 + x 3 3 D (9 7) 4 (6 2) + 3 (14 6) D (9 7) 4 (9 2) + 3 (21 6) D (9 2) 2 (6 2) + 3 (4 6) D (6 21) 4 (4 6) + 2 (14 6) b) Kako je x i D i, i 1, 2, 3 dobivamo rješenje: D ( 21 (x 1, x 2, x 3 ) 10, 7 10, 9 ) 10 D (2 + 6) 6 (1 + 21) 4 (2 14) D (2 + 6) 6 (1 + 9) 4 (2 6)

19 D (1 + 9) 2 (1 + 21) 4 (3 7) D (6 2) 6 (3 7) + 2 (2 14) Kako je x i D i, i 1, 2, 3 dobivamo rješenje: D ( 7 (x 1, x 2, x 3 ) 17, 2 17, 2 ) 17 Napomena Primjetite da smo iste sustave rješavali u Zadatku 11, pomoću Gaussove metode Kao što je bilo i za očekivati, rješenja sustava su jednaka, koju god metodu za rješavanje koristili 19