4 Matrice i determinante
|
|
- Αμφιτρίτη Ελευθερόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u P Matrice obeležavamo velikim slovima latinice sa ili bez indeksa Prema tome A : {1, 2,, m} {1, 2,, n} P pri čemu se ureženi par (i, j) preslikava u element matice a ij A(i, j) a ij ((i, j) {1, 2,, m} {1, 2,, n}) Elementi matrice A formata m n se razvrstavaju u m vrsta i n kolona tako što element a ij pripada i-toj vrsti i j-toj koloni Vrste i kolone elemenata matrice A zapisuju se izmežu uglastih zagrada: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn Matrica A formata m n može se zapisati i kraće kao A [a ij ] m n Definicija 2 Matrica čiji su svi elementi jednaki nuli naziva se nula matrica Obeležava se sa 0 m n ili samo sa 0 Definicija 3 Matrica sa istim broj vrsta i kolona, dakle matrica u kojoj je m n, odnosno matrica n n naziva se kvadratnom matricom reda n Definicija 4 Dve matrice A i B nad skupom P su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki Naime, ako su date matrice A [a ij ] m n i B [b ij ] m n onda je A B (i, j) (a ij b ij, i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) Definicija 5 Ako je matrica A [a ij ] kvadratna onda pod njenom glavnom (padajućom) dijagonalom podrazumevamo ureženu n-torku (a 11, a 22,, a nn ), a pod sporednom, ureženu n-torku (a n1, a n 1 2,, a 1n )
2 4 Matrice i determinante 33 Definicija 6 Za kvadratnu matricu kažemo da je dijagonalna ako su svi njeni elementi van glavne dijagonale jednaki 0 d 1 0 d 2 D 0 d n Ako su svi elementi dijagonalne matrice jednaki onda se takva dijagonalna matrica naziva se skalarnom matricom Definicija 7 Skalarna (dijagonalna) matrica čiji su svi elementi (na glavnoj dijagonali) jednaki 1 naziva se jediničnom matricom I 0 1 Definicija 8 Matrica 1 n je matrica vrsta, a matrica m 1 [a 11 a 12 a 1n ] a 11 a 12 a m1 je matrica kolona Ove vrste matrica se zovu i vektori Definicija 9 Matrica a a 12 a 22 0 a n1 a n2 a nn je donja trougaona matrica, a a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn je gornja trougaona matrica
3 41 Sabiranje matrica Sabiranje matrica Definicija 10 Dve matrice istog tipa A [a ij ] m n i B [b ij ] m n nad skupom P sabiraju se tako što im se saberu odgovarajući elementi A + B [a ij ] m n + [b ij ] m n [a ij + b ij ] m n Sabiranje matrica je komutativno i asocijativno A + B B + A (A + B) + C A + (B + C) Neutralni element za sabiranje matrica tipa m n je nula matrica tipa m n 42 Množenje matrice skalarom Definicija 11 Matrica se množi skalarom (brojem) α tako što se svaki element matrice pomnoži tim skalarom Ako je A [a ij ] m n onda je α A [αa ij ] m n Za množenje matrice skalarom i sabiranje matrica važi (α + β) A α A + β A α(a + B) αa + αb α(βa) (αβ)a 1 A A 43 Množenje matrica Definicija 12 Matrice A [a ij ] m n i B [b ij ] q p mogu da se pomnože samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n q U tom slučaju dobija se matrica koja ima broj vrsta kao matrica A i broj kolona kao matrica B, odnosno proizvod matrica A [a ij ] m n i B [b ij ] n p je matrica C [c ij ] m p Elementi matrice C se izračunavaju na sledeći način n c ij a ik b kj (i 1, 2,, m; j 1, 2,, p) k1
4 44 Stepen kvadratne matrice 35 Množenje matrica A tipa m n, B tipa n p i C tipa p q je asocijativno Naime ako je onda je A [a ij ] m n B [b ij ] n p C [c ij ] p q je (A B) C A (B C) D [d ij ] m q Ako je A [a ij ] m n, a I m i I n jedinične matrice reda m, odnosno n, tada I m A A I n A Za množenje matrica A tipa m n, B i C tipa n p i D tipa p q važi A (B + C) A B + A C (B + C) D B D + C D α(a B) (αa) B A (αb) Množenje matrica u opštem slučaju nije komutativno Naime ako postoji porizvod matrica A i B, odnosno AB, to ne znači da mora da postoji i proizvod matrica B i A, odnosno BA Čak i kada proizvod BA postoji, AB ne mora biti jednako BA Mežutim ako važi AB BA onda se kaže da su matrice A i B komutativne Proizvod dve matrice A i B može biti nula matrica, a da pri tome ni A ni B nisu nula matrice Primer 26 AB BA [ [ ] [ ] [ Stepen kvadratne matrice ] ] [ ] [ Definicija 13 Ako je A kvadratna matrica a k neki prirodan broj, tada se pod k-tim stepenom matrice podrazumeva A k A A A }{{} k puta ]
5 45 Transponovana matrica 36 Nulti stepen kvadratne matrice je jedinična matrica A 0 I Ako je A kvadratna matrica a k i l su nenegativni celi brojevi, tada je A k A l A k+l (A k ) l A k l Ako su A i B komutativne matrice tada je (A B) k A k B k Ako je A kvadratna matrica reda n, tada izraz P k (A) a k A k + a k 1 A k a 1 A + a 0 I predstavlja matrični polinom stepena k 45 Transponovana matrica Definicija 14 Transponovana matrica matrice A tipa m n je matrica A tipa n m koja se od matrice A dobija tako što vrste matice A zamene mesta s odgovarajućim kolonama a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn Za transponovane matrice važi: (A ) A a 11 a 21 a m1 A a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn (αa) α A (A + B) A + B Ako su date matrice A [a ij ] m n i B [b ij ] n p tada je (A B) B A
6 46 Determinante Determinante Za svaku kvadratnu matricu postoji odgovarajuća determinanta, pri čemu se svaka determinata može izračunati, odnosno svakoj determinanti odgovara odrežena brojna vrednost Ako je A kvadratna matrica drugog reda: A [ a11 a 12 a 21 a 22 onda se odgovarajuća determinanta drugog reda označava sa a izračunava se na sledeći način deta ] a 11 a 12 a 21 a 22 deta a 11 a 22 a 12 a 21 Elementi determinante, isto kao i elementi matrice, označavaju se sa a ij, gde indeks i označava vrstu, a indeks j kolonu determinante kojoj pripada element a ij Za kvadratnu matricu A trećeg reda odgovarajuća determinanta se označava sa a izračunava na sledeći način deta a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 deta a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Za izračunavanje determinanti trećeg reda može se koristiti Sarusovo pravilo: u produžetku determinante dopišu se prva i druga kolona, a potom se sa pozitivnim znakom uzimaju proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i duž dve njoj paralelne linije, a sa negativnim znakom proizvod elemenata na sporednoj dijagonali i duž dve njoj paralelne linije Slika 1: Ilustracija Sarusovog pravila
7 46 Determinante 38 Važno je napomenuti da Sarusovo pravilo važi samo za determinante trećeg reda i ne može se uopštavati na determinante višeg reda Primetimo da su prilikom izračunavanja determinante trećeg reda svi sabirci oblika a 1j1 a 2j2 a 3j3, gde su j 1 j 2 j 3 redom permutacije brojeva 1, 2 i 3: Promena redosleda elemenata u permutaciji u odnosu na osnovnu permutaciju naziva se inverzijom Tako, na primer, u permutaciji 231 postoje dve inverzije: 2 ispred 1 i 3 ispred 1 Permutacije sa parnim brojem inverzija nazivaju se parnim, a sa neparnim brojem inverzija neparnim permutacijama Primetimo da su prilikom izračunavanja determinante trećeg reda svi sabirci za koje j 1 j 2 j 3 čine parnu permutaciju pozitivni, dok su negativni sabirci u kojima su j 1 j 2 j 3 neparne permutacije Tačnije, ako sa k označimo broj inverzija u permutaciji j 1 j 2 j 3, onda svaki sabirak koji čini determinantu trećeg reda možemo označiti sa ( 1) k a 1j1 a 2j2 a 3j3 tako da se izračunavanje determinante može predstaviti sa a 11 a 12 a 13 deta a 21 a 22 a 23 ( 1) k a 1j1 a 2j2 a 3j3 a 31 a 32 a 33 j 1 j 2 j 3 S gde je S skup svih permutacija skupa {1, 2, 3} kojih ima 3! Ovaj rezultat se može uopštiti na determinantu kvadratne matrice A proizvoljnog n-tog reda, pa tako važi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta ( 1) k a 1j1 a 2j2 a njn j 1 j 2 j n S a n1 a n2 a nn gde je S skup svih permutacija skupa {1, 2,, n} kojih ima ukupno n!, a k je broj inverzija u permutaciji j 1 j 2 j n Ova opšta definicija za k 3 daje prethodnu definiciju determinante trećeg reda, dok je za k 2 j 1 j 2 S ( 1) k a 1j1 a 2j2 ( 1) 0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 što se slaže sa već datom definicijom determinante drugog reda Definicija 15 Ako je A kvadratna matrica i det A 0, za matricu A kažemo da je singularna, a ako je det A 0 matrica je regularna
8 46 Determinante Osobine determinanti 1 Ako u determinanti vrste i kolone zamene mesta determinanta ne menja vrednost a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn što znači da je det A det A Iz ove osobine sledi da svako tvrženje koje važi za vrste, važi i za kolone 2 Ako u determinanti dve vrste (kolone) zamene mesta, determinanta menja znak a 11 a 21 a n1 a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn a 11 a 21 a n1 a j1 a j2 a jn a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn 3 Ako su u determinanti svi elementi jedne vrste (kolone) jednaki nuli i determinanta je jednaka nuli a 11 a 21 a n a n1 a n2 a nn 0 4 Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima neke druge vrste (kolone) onda je determinanta jednaka nuli
9 46 Determinante 40 a 11 a 21 a n1 a i1 a i2 a in ka i1 ka i2 ka in a n1 a n2 a nn 0 5 Zajednički faktor jedne vrste (kolone) može da se izvuče ispred determinante a 11 a 21 a n1 ka i1 ka i2 ka in a n1 a n2 a nn k a 11 a 21 a n1 a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn 6 Vrednost determinante se ne menja ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste (kolone) pomnoženi proizvoljnom konstantom c a 11 a 21 a n1 a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn a 11 a 21 a n1 a i1 a i2 a in a j1 + ca i1 a j2 + ca i2 a jn + ca in a n1 a n2 a nn 7 Ako su elementi neke vrste (kolone) dati kao zbir dva sabirka (u ovom slučaju elementi i-te vrste) a ij b ij + c ij j 1, 2,, n tada je determinanta jednaka zbiru dve determinante kod kojih su sve vrste sem i-te jednake vrstama date determinante, a i tu vrstu jedne determinante čine elementi b ij, a druge c ij (j 1, 2,, n)
10 46 Determinante 41 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n b i1 + c i1 b i2 + c i2 b in + c in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n b i1 b i2 b in a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n c i1 c i2 c in a n1 a n2 a nn 8 Ako su A i B kvadratne matrice n-tog reda, tada je det(a B) det A det B Primer Izračunavanje determinante Za svaki element a ij determinante n-tog reda može se definisati njegov minor M ij koji predstavlja determinantu n 1-og reda, a koja se dobija iz polazne determinante tako što se obrišu i-ta vrsta i j-ta kolona a 11 a 12 a 1j 1 a 1j+1 a 1n a 21 a 22 a 2j 1 a 2j+1 a 2n a i 1 1 a i 1 2 a i 1 j 1 a i 1 j+1 a i 1 n a i+1 1 a i+1 2 a i+1 j 1 a i+1 j+1 a i+1 n a n1 a n2 a nj 1 a nj+1 a nn Za element a ij se dalje pomoću minora M ij definiše njegov kofaktor A ij : A ij ( 1) i+j M ij
11 46 Determinante 42 Primetimo da su minor i kofaktor jednaki ako je zbir vrste i kolone elementa a ij paran a iste apsolutne vrednosti ali različitog znaka ako je zbir vrste i kolone elementa a ij neparan Polazeći od pojma kofaktora determinanta proizvoljne matrice se može izračunati na osnovu sledeće (Laplasove) teoreme: Teorema 1 Neka je i proizvoljna vrsta kvadratne matrice A n-tog reda Tada je n deta a ij A ij j1 Izračunavanje determinante na ovaj način se naziva razvijanjem determinante po i-toj vrsti Analogno, ako je j proizvoljna kolona matrice A n-tog reda, tada je n deta a ij A ij i1 što predstavlja razvijanje determinante po j-toj koloni Razvijanjem determinante n-tog reda po vrsti ili koloni izračunavanje determinante n-tog reda se svodi na izračunavanje n determinanti n 1-og reda Primer ( 2) + 2( 3) Napomena: Razvijanjem determinante četvrtog reda po drugoj vrsti njeno izračunavanje svedeno je na izračunavanje četiri determinanti trećeg reda
12 47 Adjungovana matrica ( ) 4( 43) 172 Napomena: Transformisanjem determinante petog reda na osnovu osobina determinante, i višestrukom primenom Laplasove teoreme izračunavanje determinante petog reda svedeno je na izračunavanje svega dve determinante drugog reda 47 Adjungovana matrica Definicija 16 Ako se svaki element a ij u kvadratnoj matrici A zameni svojim kofaktorom A ij, i ako se potom tako dobijena matrica transponuje, dobija se Adjungovana matrica matrice A adja A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn Za adjungovanu matricu važi A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn pri čemu je A adja (adja) A (det A) I (det A) I det A det A det A skalarna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki vrednosti determinante polazne matrice A Primer 29 A adja
13 48 Inverzna matrica 44 A adja det A Inverzna matrica Definicija 17 Inverzna matrica regularne kvadratne matrice A, koja se označava sa A 1, je matrica takva da je A A 1 A 1 A I Prema tome, kako kvadratna matrica ima inverznu matricu ako i samo ako je regularna (deta 0) i kako je onda sledi da je A adja (adja) A (det A) I A 1 1 det A adja Ako su A i B regularne matrice istog reda tada je (A B) 1 B 1 A 1 Za inverznu matricu važe i sledeće osobine 49 Rang matrice det A 1 1 det A (A 1 ) 1 A Definicija 18 Neka je data matrica A tipa m n Matrica M tipa p q gde je p m i q n koja je formirana od elemenata p vrsta i q kolona matrice A naziva se submatricom (podmatricom) matrice A
14 49 Rang matrice 45 Primer 30 A M [ Napomena: Matrica M formirana je od elemenata prve i treće vrste i druge i četvrte kolone matrice A Definicija 19 Rang matrice je broj r jednak najvećem redu kvadratne regularne podmatrice matrice A Važi r min(m, n) Drugim rečima, da bi se odredio rang matrice A, potrebno je ispitivati redom njene kvadratne podmatrice, polazeći od kvadratnih podmatrica najvišeg mogućeg reda (k), koji je jednak manjem od broja vrsta i kolona (k min(m, n)) Ukoliko je bar jedna od ovih podmatrica regularna (determinanta joj je različita od 0) onda je rang matrice A jednak k Ukoliko su sve kvadratne podmatrice reda k singularne, onda se ispituje da li mežu podmatricama reda k 1 ima regularnih Ako su i sve matrice k 1-og reda singularne, prelazi se na matice reda k 2, i tako redom Najniži mogući rang matrice koja nije nula matrica je 1 Primer 31 A ] [ ] 1 1 Rang matrice A je r 2 jer je regularna matrica, a sve kvadratne 2 2 podmatrice matrice A trećeg reda su singularne (na osnovu osobine determinante da je jednaka 0 ako su joj elementi dve vrste ili kolone proporcionalni, a budući da je u navedenom primeru treća vrsta matrice A proporcionalna prvoj) Odreživanje ranga matrice može se pojednostaviti primenom elementarnih transformacija matrice Definicija 20 Elementarne transformacije matrice su
15 49 Rang matrice 46 1 Zamena mesta dve vrste (kolone) 2 Množenje jedne vrste (kolone) skalarom λ 0 3 Množenje elemenata jedne vrste (kolone) skalarom λ 0 i dodavanje odgovarajućim elementima neke druge vrste (kolone) Definicija 21 Ako se matrica B može dobiti iz matrice A primenom elementarnih transformacija, onda se kaže da su matrice A i B ekvivalentne Ekvivalentnost matrica se označava sa B A Veoma značajna osobina ekvivalentnih matrica je da imaju isti rang To omogućava odreživanje ranga matrice svoženjem na ekvivalentnu matricu čiji je rang lakše odrediti Primer 32 A Kako je očigledno da je rang matrice dobijene ekvivalentnim transformacijama iz matrice A jednak 2, to je i ranga 2
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice..........................
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMatrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.
Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.
UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραNorme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραINFORMATIKA II MATLAB 2. deo. Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek
INFORMATIKA II MATLAB 2. deo Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek Nizovi Niz (array) je osnovni oblik u kojem MATLAB čuva podatke i radi s njima Niz je skup brojeva poređanih u vrste (redove) i/ili
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραGausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότερα