Migrena kao biološki model nocicepcije. Doc. dr Jasna Zidverc-Trajković

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Migrena kao biološki model nocicepcije. Doc. dr Jasna Zidverc-Trajković"

Transcript

1 Migrena kao biološki model nocicepcije Doc. dr Jasna Zidverc-Trajković

2 Migrena Čest, hroničan i onesposobljavajući moždani poremećaj Rekurentni ataci: glavobolja određenih osobina autonomni fenomeni mučnina i povraćanje neurološki fenomeni fotofobija, fonofobija, aura...

3 Intrakranijalne strukture Delovi meninga: bazalna dura i venski sinusi mozga sa pritokama Neuralne strukture: glosofaringealni, vagusni, trigeminalni i gornji cervikalni živci Vaskularne strukture: arterije dure, karotidne, vertebralne i bazilarna arterija, arterije Willisovog poligona i proksimalni delovi grana cerebralnih, vertebralnih i bazilarne arterije. Aference su vlakna n.v, n.c 1 i n.c 2 do Gaserovog i dorzalnih cervikalnih ganglija, a zatim, aksonima do ponsa i ka subkorteksu i korteksu. Ascedentni i descedentni modulatorni sistemi vrše senzitizaciju i inhibiciju ove nocicepcije.

4 Zašto boli? Simptomatske (sekundarne) glavobolje kompresija, trakcija, inflamacija meninga, neuralnih i vaskularnih struktura koje poseduju receptore za bol. Primarne glavobolje? bolest receptora, vlakana, centara ili modulatornih sistema nocicepcije. Primarne glavobolje se, verovatno, razlikuju prema segmentima nocicepcije koji su disfunkcionalni.

5 Znanja o patofiziologiji migrene Kliničke opservacije Eksperimentalna istraživanja Sinteza i primena triptana Hargreaves 2007.

6 Patofiziologija migrene Ferrari i Cady 2007.

7 Genetika migrene Češća kod srodnika prvog stepena: migrena sa aurom: 4 puta migrena bez aure: 1,9 puta Veća stopa konkordantnosti kod monozigotnih nego kod dizigotnih blizanaca Russell i Olesen 1995.

8 Familijarna hemiplegična migrena Redak tip migrene sa aurom Aura je motorna Tip I: hromozom 19p % alfa subjedinica P/Q Ca kanala CACNL1A4 gen ataksija, minorna povreda, koma Tip II: hromozom 1q23 20% ATP1A2 gen za Na/K pumpu epilepsija, alterirajuća hemiplegija detinjstva Tip III: hromozom 2q24 SCN1A gen - voltažni Na kanal Ophoff i sar , De Fusco i Marconi 2003., Discgans i sar

9 Genetika migrene Knock-in miš: mutacija CACNL1A4 gena snižen prag za započinje CSD Migrena je kanalopatija? Van den Maagdenberg i sar

10 Genetika migrene Od istraživanja sa kontradiktornim rezultatima D2 receptor ACE C667 mutacija MTHF reduktaze TNF-B Insulinski receptor Jonski transporteri Geni FHM su kandidati za migrenu bez aure i migrenu sa aurom. Tfelt-Hansen i Koehler 2011.

11 Faze ataka migrene

12 Okidači (trigeri) migrene

13 Okidači (trigeri) migrene Stres Menstruacija Gladovanje Vreme Nespavanje Miris Bol u vratu Svetlo Alkohol Dim Vrućina Hrana Vežbanje Seks 1207 bolesnika Kelman L

14 Okidači (trigeri) migrene sa aurom Stres - previše posla 50,8% Svetlost - reflektovana 34,9% Spavanje - premalo 19,0% Alkohol - crno vino 17,5% Mirisi - parfemi 11,9% Menstruacija 11,7% Pušenje - pasivno 8,7% Promene vremena, fizička aktivnost 181 bolesnik Vreme ekspozicije < 3 h Latentni period < 3 h Izbegavanje trigera je korisno za 60-90% bolesnika Hauge A. i sar

15 Prodromi

16 Premonitorni simptomi - prodromi 30-80% bolesnika Najčešće: umor, teškoće sa koncentracijom, ukočen vrat, fonofobija, zevanje, promene raspoloženja, razdražljivost, promene apetita, želja za određenom hranom, oticanje, piloerekcija, promene izraza lica i doživljaja sopstvenog tela traju nekoliko sati, često kraće od sat vremena predviđaju atak migrene i 12 h pre nastanka mogu da se ponove kao postdromi Giffin N. i sar , Kelman L , Schhoonman G. i sar

17 Trigeri i prodromi izlaganje sjajnom svetlu, buci i jakim mirisima trigeri, a preosetljivost na svetlost, zvuk i mirise prodromi (udruženi simptomi) Dopaminska hipersenzitivnost U prilog ove hipoteze: agonisti slični simptomi: zevanje, mučnina, pospanost antagonisti (domperidon, metoklopramid) efikasni Protiv hipoteze: primena dopaminskih agonista kod osoba sa migrenom osobe sa Parkinsonizmom lečene agonistima dopamina veoma retko boluju od migrene Dopaminergički efekat je deo kompeksnije kaskade Waelkens J , Fanciullacci M. i sar , Akerman S. i Goadsby P

18 promene apetita, raspoloženja i energije PET studije aktivacije hipotalamusa orexin potencijalni lek (animalni model) hipotalamus je značajan i za druge primarne glavobolje Denuelle M. i sar , Sprenger T. i sar , Holland P. i Goadsby P Definicija migrene: bazična (genetska?) hipersenzitivnost koja čini osobu osetljivom da započne napad migrene

19 AURA

20 AURA Skup prolaznih neuroloških simptoma postepenog nastanka prethodi glavobolji kod > ¼ obolelih od migrene traje do 60 minuta vizuelni poremećaji: distorzije VP scintilantnim skotomima sa cik-cak ivicama koje se šire senzitivnim poremećajima: parestezije lica ili udova i/ili disfazija anatomska osnova: cerebralni korteks i moždano stablo

21 Aura Karl Lashley profesor psihologije na Harvardu Preko 100 sopstvenih aura karakterističan uzorak ekscitacija i inhibicija AP prečnik area striate 3 mm/min ili sporije

22 Talas kortikalne depolarizacije CSD Astrides Leao neuropsiholog, PhD na Harvardu EEG tokom el. stimulacije smanjenje električne aktivnosti u stimulisanom regionu koje se širi u susedne delove oporavak traje 5-10 minuta prati ga dilatacija pijalnih k.sudova Kasnije, drugi istraživači: brzina CSD 3 mm/min sličnost sa aurom

23 Aura i regionalni krvni protok rcbf Početak glavobolje fokalna hiperemija Aura i glavobolja oligemija redukcija protoka koja se širi put napred tokom min Lauritzen i Olesen Bolesnici tokom angiografije Migrena bez aure: bez promene protoka krvi

24 Aura, CSD i rcbf SPECT spontani atak migrene sa aurom Početna hiperperfuzija pre aure Hipoperfuzija tokom aure Hipo- i hiperperfuzija tokom glavobolje Oporavak glavobolje i protoka Neslaganje glavobolje i rcbf - odbačena vaskularna teorija migrene Olesen i sar

25 Aura BOLD fmr V3A ekstrastrijatni korteks V3 i V2, zatim V1 brzinom 3,5 ± 1,5 mm/min sporo nastaje (vazodilatacija?) sporo nestaje (vazokonstrikcija?) prati retinotopsku organizaciju vizuelnog korteksa dokaz da CSD generiše auru u humanom korteksu. Hadjikhani N. i sar

26 Aura i CSD PWI MR, TCD, SPECT i PET La Spina I. i sar , Curter F. i sar , Afridi i sar Okcipitalna hipoperfuzija u migreni bez aure (PET) 7 bolesnika unutar 4 sata od početka ataka bilateralna posteriorna kortikalna hipoperfuzija perzistira i posle olakšanja glavobolje injekcijom sumatriptana Denuelle M. i sar 2008.

27 Migrena sa aurom i poremećaj VKF Prepoznavanje boja, lica, predmeta, anterogradna i retrogradna amnezija, audiivna agnozija, fenomen već viđenog, disfazija, disnomija, diskalkulija, disgrafija, disleksija, astereognozija, apraksija, prostorna dezorijentacija, halucinacije (0) 60 MA - 65% VKF aura duže traje kod poremećaja VKF (28.51 ± vs ± 11.23, p=0.016) motorna disfazija i nominacija češći kod V+S nego V aure (96.3% vs. 50.0%, p=0.002) broj VKF poremećaja korelira sa trajanjem aure (ρ=0.467, p=0.003) Širenje aure (CDS) : okcipitalno - parijetalno - temporalno... Petrusic I., Zidverc-Trajkovic J, Podgorac A, Sternic N. Underestimated phenomena: Higher cortical dysphunction during migraine aura. Cephalalgia 2013.

28 Aura, CSD i aktivacija trigeminovaskularnog sistema stimulacija korteksa: CSD aktivnost pojedinačnog meningealnog nociceptora pre i posle CSD aktivnosti meningealnih nociceptora dvostruko raste traje 37,0 ± 4,6 min počinje 14 min posle CSD Zhang X. i sar

29 Aura, CSD i aktivacija trigeminovaskularnog sistema stimulacija korteksa: CSD aktivnost neurona nc.tractus spinalis n.v pre i posle CSD različiti neuroni: niskog, visokog ili širokog praga aktivacije neposredno ili odloženo traje minuta Zhang X. i sar

30 Mehanizam delovanja profilaktika Klase lekova: Beta blokatori: propranolol, metoprolol, atenolol, timolol, nadolol... Antidepresivi: amitriptilin, nortriptilin, doksepin... Antiepileptici: valproati, topiramat, gabapentin, lamotrigin... Animalni model knock-in miša: primena profilaktika je smanjila učestalost CSD za 40-80% i povećala prag stimulacije. Ayata i sar

31

32 Bol u migreni je posledica sterilne neurogene inflamacije. Animalni modeli električne stimulacije trigeminalnog gangliona: ekstravazacija plazme Može da se blokira: - alkaloidima ergota - acetil-salicilnom kiselinom - indometacinom - sumatriptanom Moskowitz 1990.

33 Stimulacija trigeminalnog gangliona ili trigeminalnog kaudalnog jedra: 1. proizvodi strukturne promene dure: degranulaciju mastocita i promene postkapilarnih venula, kao i agregaciju trombocita. 2. povećava ekstracerebralni krvni protok 3. oslobađa CGRP i SP. Olcegepant - Koulchitsky i sar

34 Moždano stablo kao generator migrene PET studije protoka 9 bolesnika, spontani ataci Aktivacija u cingulatnom, vizuelnom i audivnom asoc. korteksu - područja značajna za bol, traje samo koliko i bol. Aktivacija u kontralateralnom moždanom stablu perzistira i pošto je sumatriptan doveo do nestanka glavobolje i foto- i fonofobije. Vizuelizacija humanog migrenskog centra Weiller i sar

35 Dalji dokazi: Moždano stablo kao generator migrene Implantacija stimulišućih elektroda za terapiju hroničnog bolnog sindroma u PAG migrenska glavobolja kod 15/175 osoba bez glavobolja u anamnezi Raskin N. i sar u PAG, talamus, capsula-u interna-u - glavobolja slična migreni kod 15/64 bolesnika Veloso i sar Pojava migrene kod bolesnika sa kavernomom u ponsu Afridi S. i Goadsby P Poljuljana dogma da sam moždani parenhim nije osetljiv na bol!

36 Moždano stablo kao generator migrene Afridi S. i sar PET, 5 bolesnika, spontani ataci, aktivacija u dorzalnom ponsu Pain-matrix: Prednji cingulum - afektivna i evaluativna dimenzija bola Insula preko veza sa limbičkim i autonomnim sistemom emotivni aspekt bola Talamus - afektivni relej Prefrontalni korteks - kognitivno-emotivno procesiranje Cerebelum, zadnji cingulum, temporalni lobusi

37 Moždano stablo kao generator migrene U isto vreme: Aktivacija u ipsilateralnom ponsu Deaktivacija u kontralateralnom ponsu Definicija migrene: subkortikalni poremećaj delova moždanog stabla zaduženih za modulaciju senzornog procesiranja Afridi S. i sar

38 Tokom glavobolje krvni sudovi MRA 3.0T infuzija CGRP na strani bola dilatacija ekstracerebralnog i intracerebralnog krvnog suda sumatriptan 6 mg sc. vazokonstrikcija ekstracerebralnog krvnog suda Asghar M. i sar

39 Koncept centralne senzitizacije Klinički ekvivalent: alodinija 2/3 od 500 bolesnika Selby i Lance Burstein R. i sar ,2003.,2004. Bez alodinije Alodinija Bez bola posle 2 h 25 (93%) 5* (15%) Sa bolom posle 2 h 2 (7%) 29 (85%) * Povratna glavobolja kod 4/5 bolesnika tokom 24 sata Rana primena antimigrenske terapije je usmerena na periferne nociceptore da bi se sprečio razvoj centralne senzitizacije. Pascual J , Cady R. i sar.2002., Schoenen J , Mathew N , Dowson A. i sar

40 Koncept centralne senzitizacije Neuroni I reda periferni nociceptori TG Neuroni II reda centralni nociceptori TCN koji dobijaju senzitivne informacije iz dure i kože Neuroni III reda centralni nociceptori talamusa Umereni bol kvaliteta pritiska Jak i pulsirajući bol Bol se pogoršava kašljem ili drugim bezazlenim radnjama koje podižu intrakranijalni pritisak Kutana alodinija sa iste strane glave Kutana alodinija na suprotnoj strani glave i istrostranoj nadlaktici

41 Kliničke reperkusije Intenzitet Prodromi Aura Glavobolja Postdromi Blaga Umerena do žestoka Vreme Prelaz blagog bola u žestok i pulsirajući, i pojava kutane alodinije ukazuju na razvoj centralne senzitizacije. Rana primena antimigrenske terapije usmerena na periferne nociceptore da bi se sprečio razvoj centralne senzitizacije. TERAPIJSKI PROZOR

42 Fotofobija, fonofobija, alodinija/hiperagezija miš i čovek kada postoji alodinija primena bolne i bezbolne stimulacije aktivira VEĆA područja u talamusu senzitizacija talamičkih neurona gde konvergiraju nociceptivni impulsi glave i senzitivni čitavog tela Definicija migrene: bolest talamusa Burstein R. i sar

43 Fotofobija, fonofobija, alodinija/hiperagezija Starija hipoteza Fotofobija, fonofobija, alodinija su simptomi centralne senzitizacije, tj. porast aktivnosti puteva za senzorno (ili senzitivno) procesiranje u CNS-u. Sekundarni događaj - posledica aktivacije neurona I reda (perifernih neurona trigeminusa) Novija hipoteza Centralna senzitizacija je primarni događaj u ataku migrene koji ne zahteva aktivaciju perifernih neurona. - rana pojava foto- i fonofobije tokom ataka migrene (faza prodroma) - neurovizuelizacione studije Charles A

44 Fotofobija, fonofobija, alodinija/hiperagezija Fotofobija kod slepih osoba sa migrenom 20 bolesnika sa oštećenjem čepića i štapića (MA 35%) Svetlo Intenzitet bola obično 9.2 ± 0.2 mrak 6.2 ± 0.3 Fotoregulacija u migreni se prenosi ne-trigeminalnim retinalnim putem koji modulira aktivnost durasenzitivnih talamokortikalnih neurona RETINA TALAMUS posteriorni KORTEKS somatosenzorni, vizuelni, asocijativni (I-V sloja) fotosenzitivne gangijske ćelije, neslikovna fotoregulacija Noseda R. i sar

45 Neurotransmiteri i neuropeptidi Serotonin (5-HT) Dopamin NOS CGRP povišen u ataku migrene, izaziva atak migrene VIP marker aktivacije PSY, nije povišen u migreni PACAP pituitarni aktivator adenilat ciklaze, povišen u ataku migrene, izaziva atak migrene Edvinsson L. i sar , Tuka i sar

46 Serotonin i 5HT agonisti inhibiraju atak migrene 5HT 1B vazokonstrikcija kondukcioni sudovi Friberg i sar , Sperling cerebralna cirkulacija Connor i sar Inhibicija neurogene inflamacije 5HT 1D i 5HT 1F Shepheard i sar , Phebus i sar Inhibicija nc.caudalis n.v 5HT 1D i 5HT 1F Saxena i Tfelt-Hansen 2001.

47 Distribucija 5-HT1B i 1D receptora Hargreaves 2007.

48 Kako rade triptani Podtipovi 5HT receptora Tačno mesto delovanja? periferni trigeminalni neuron trigeminalno kaudalno jedro neuroni modulatornih sistema Smanjuju nivo CGRP, CGRP R u trigeminalnom sistemu Receptori DHE i triptana u PAG

49 Lasmiditan agonista 5HT 1F receptora efikasan u terapiji ataka migrene ne izaziva stezanje u vratu, grudima i vilici omaglica, vrtoglavica i malaksalost dozno-zavisna 5HT 1F receptori oskudni u vaskulaturi, obilno zastupljeni u trigeminalnom ganglionu, hipokampusu i korteksu Lasmiditan leči migrenu unutar mozga! Farrkila M. i sar , Nelson D. i sar

50 CGRP receptori i neuroni Cerebelum Talamus PAG Intrakranijalne arterije Trigeminalni ggl. TCN Edvinsson L. I sar

51 Postdromi mamurluk

52 Postdromi učestalost i tip Umor 71,8% 827 bolesnika: 68% Rezidualna glavobolja 33,1% Kognitivne teškoće 11,7% Mamurluk 10,7% Gastrične tegobe 8,4% Neraspoloženje 6,8% Malaksalost 6,2% traju 24h ili kraće kod jačeg ataka žena Kelman L

53 Postdromi Javljaju se satima i danima posle glavobolje Često ih je bolesnik svestan tek pošto terapija razreši glavobolju, pa ih smatra efektom primenjenog leka Slični su premonitornim simptomima Možda su stalno prisutni tokom čitavog ataka migrene zaklonjeni glavoboljom, mučninom ili aurom Najmanje istraživana faza migrene Vizuelizacione studije pokazuju da aktivacija u moždanom stablu i hipotalamusu perzistira i posle uspešno lečenog ataka. N-g Mac D. i sar , Quintela E. i sar

54 Interiktalno

55 Interiktalno Strukturne i funkcionalne promene mozga Predispozicija ili posledica? Promene koreliraju sa učestalošću i trajanjem migrene - verovatno su posledica migrene - longitudinalne studije praćenja

56 Migrena i nemi infakti mozga CAMERA Total Cerebelum 161 MA, 134 MWA 8,1 % 5,4 % 140 Kontrola 5,0 % 0,7 % NS P= 0,02 60 MU, 2-21 mm, 31 osoba 13,7 (1,7-112) MA i veća učestalost CSD: funkcija HEB, oksidativni stres, oligemija, disfunkcija endotela Kruit i sar

57 Migrena i lezije bele mase 161 MA, 134 MWA 140 Kontrola 2,1 za žene i većom učestalošču ataka MA, MWA, muškarci Kruit i sar ishemija nejasne etiologije, endotelijalna disfunkcija, anti neuronska At, glioza? Turkoglu i sar , Dinia i sar

58 Redukcija gustine neurona (VBM) Bela masa: frontalno, parijetalno i okcipitalno Siva masa: frontalno, temporalno, prednji cingulum, insula, amigdala, parijetalni operkulum Porast gustine PAG Delovi matrice bola (pain-matrix) Rocca i sar Kim i sar , May i sar

59 Poljuljan stav da je migrena: neprogresivna bolest bez strukturnih anomalija CNS Lakham i sar

60 Zaključak: Migrena je čest poremećaj poznat od antičkog vremena za koji se dugo smatralo da je posledica vaskularnih promena bolest mozga koja ima trajan efekat na nervni sistem bez obzira na epizodičnu prirodu ispoljavanja disfunkcija subkortikalnih struktura - jedra diencefalona i moždanog stabla - povezana sa aktivacijom trigeminovaskularnog sistema i drugih delova mozga hipersenzitivne kliničke manifestacije migrene

Farmakoterapija migrene

Farmakoterapija migrene 24. STRUČNI SASTANAK SPAS-Udruženje privatnih apotekara Srbije 20. Maj 2011. Hotel Continental, Beograd Farmakoterapija migrene Dr Jasna Zidverc-Trajković Centar za glavobolje Klinika za neurologiju KCS

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Anatomija nervnog sistema

Anatomija nervnog sistema FAKULTET ZA SPECIJALNU EDUKACIJU I REHABILITACIJU Medicinska fiziologija - predavanja Anatomija nervnog sistema Doc. dr Maja Milovanović MOZAK KIČMENA MOŽDINA PETODELNI - SREDNJI MOZAK - MEĐUMOZAK - VELIKI

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

RECEPTORI KAO CILJNA MESTA DEJSTVA LEKOVA. Kako se prenose informacije u organizmu? Predavač: Doc. dr Slavica Erić FARMACEUTSKA HEMIJA 1

RECEPTORI KAO CILJNA MESTA DEJSTVA LEKOVA. Kako se prenose informacije u organizmu? Predavač: Doc. dr Slavica Erić FARMACEUTSKA HEMIJA 1 FARMACEUTSKA HEMIJA 1 RECEPTORI KAO CILJNA MESTA DEJSTVA LEKOVA Predavač: Doc. dr Slavica Erić Kako se prenose informacije u organizmu? receptori imaju ulogu prenosioca poruka većina receptora se nalazi

Διαβάστε περισσότερα

BETA ADRENERGIČKI BLOKATORI

BETA ADRENERGIČKI BLOKATORI BETA ADRENERGIČKI BLOKATORI KOMPETITIVNI INHIBITORI KATEHOLAMINA NA BETA ADRENERGIČKIM RECEPTORIMA LEKOVI KOJI SPECIFIČNO BLOKIRAJU BIOLOŠKI ODGOVOR NA IZOPRENALIN, A DELIMIČNO NA ADRENALIN PARCIJALNI

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Mozak kao organ. Elementi. Terminologija UVOD U FARMAKOLOGIJU CENTRALNOG NERVNOG SISTEMA ORGANIZACIJA NERVNOG SISTEMA

Mozak kao organ. Elementi. Terminologija UVOD U FARMAKOLOGIJU CENTRALNOG NERVNOG SISTEMA ORGANIZACIJA NERVNOG SISTEMA UVOD U FARMAKOLOGIJU CETRALOG ERVOG SISTEMA Doc. dr Miroslav Savić Institut za farmakologiju Farmaceutski fakultet Univerziteta u Beogradu Mozak kao organ Masa 2-3% ukupne Potrošnja O 2 20% ukupne Potrošnja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici

1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

REGULACIJA ARTERIJSKOG KRVNOG PRITISKA

REGULACIJA ARTERIJSKOG KRVNOG PRITISKA REGULACIJA ARTERIJSKOG KRVNOG PRITISKA Krvni sudovi - uloge elastične arterije Aortna valvula Levo srce Levi ventrikul mitralna valvula Levi atrijum plućne vene Arteriole kontrola protoka i pritiska Pluća

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

Dominantna uloga bubrega u dugoronoj regulaciji arterijskog pritiska:

Dominantna uloga bubrega u dugoronoj regulaciji arterijskog pritiska: Dominantna uloga bubrega u dugoronoj regulaciji arterijskog pritiska: RAAS, kalikrein-kinin sistem, Eikosanoidni sistem - Skraena verzija predavanja - Doc. Dr Zvezdana Koji Institut za fiziologiju Decembar,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Senzorni nervni sistem

Senzorni nervni sistem FAKULTET ZA SPECIJALNU EDUKACIJU I REHABILITACIJU Medicinska fiziologija - predavanja Senzorni nervni sistem Doc. dr Maja Milovanović Sadržaj prezentacije Senzorni receptori Somatski osećaji Somatosenzorni

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

REGIONALNO-METAMORFNE STENE ( ºC; 2-10 kbar)

REGIONALNO-METAMORFNE STENE ( ºC; 2-10 kbar) REGIONALNO-METAMORFNE STENE (200-800ºC; 2-10 kbar) PODELA PREMA TEKSTURI 1. ŠKRILJAVE I 2. MASIVNE METAMORFNE STENE PODELA PREMA STEPENU KRISTALINITETA (NE ZAVISI OD STEPENA METAMORFIZMA) 1. STENE VISOKOG

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Motorni nervni sistem (1)

Motorni nervni sistem (1) FAKULTET ZA SPECIJALNU EDUKACIJU I REHABILITACIJU Medicinska fiziologija - predavanja Motorni nervni sistem (1) Doc. dr Maja Milovanović Sadržaj prezentacije Kičmena moždina, refleksi Motorna kora velikog

Διαβάστε περισσότερα

Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov

Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov 76 Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov vesla pala piatta rvena vesla obojana prozirnom poliuretanskom bojom, vrlo čvrsta, sa ravnom lopaticom. Imaju plastično ležište za rašlje Φ43mm. tr13 38180

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα