Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.
|
|
- Μιλτιάδης Παπαγεωργίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM, veliki 205KM, minivan 40KM i luksuzna limuzina 40KM Za slijedeću sedmicu znate da će vam potrebe po veličinama biti: 4 kompaktna, srednja, 2 velikih, 2 minivana i luksuzna limuzina Kako biste izračunali ukupnu cijenu iznajmljivanja automobila? Ako biste izačunali 4 9KM + 60KM KM +2 40KM + 40KM = 4606KM bili biste u pravu No upravo ste uradili problem množenja matrica a da niste toga bili svjesni! Potrebno auta Sedmica Sedmica 2 Sedmica Kompakt 4 2 Srednji 5 5 Veliki Minivan 2 Limuzina 2 Ukupna cijena iznajmljivanja za svaku sedmicu bi se izračunala tako što pomnožimo ove količine sa odgovarajućim cijenama Definicija matrice Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola smještenih u redove i kolone Stoga potrebe iznajmljivanja automobila za tri sedmice se može napisati kao matrica: A = Svaki red odgovara veličini auta, a svaka kolona odgovara sedmici koju posmatramo Uobičajeno je da se matrice označavaju velikim slovima, npr A,B,C,M,N i sl a da su članovi matrice uokvireni zagradama( ili [ ]
2 Svaki član matrice se zove element matrice Elementi matrice moraju formirati kompletan pravougaonik, bez praznih mjesta U gornjem primjeru imamo 5 redova i kolone Veličina matrice se naziva red matrice Ako matrica imamredova i n kolona, kažemo da je matrica redam n MatricaAje reda5 Definicija vektora Matrice sa samo jednom kolonom ili samo jednim redom se nazivaju vektori Na primjer, skup cijena iznajmljivanja automobila sa početka je vektor reda 5 ( , dok su potrebe iznajmljivanja za prvu sedmicu 5 vektor: Operacije na matricama Sabiranje i oduzimanje matrica Matrice koje imaju isti red se mogu oduzimati i sabirati Sabiranje, odnosno, oduzimanje se radi na odgovarajućim elementima Primjer Trgovac prodaje dva proizvoda, Q i R i ima dvije prodavnice, A i B Broj proizvoda koji su prodani u zadnje 4 sedmice su pokazane u matricama A i B ispod, gdje kolone predstavljaju sedmice a redovi odgovaraju proizvodima Q i R respektivno A = ( ( 8 9 4, B = Kako prikazati ukupnu prodaju proizvoda po sedmicama u obje prodavnice? Jednostavno, saberemo matrice! ( ( T = A+B =
3 ( ( 5 = = Oduzimanje matrica Primjer Ako jea = ( = A B = ( 5, a B = 4 8 ( ( ( =, koliko je A B? ( Množenje skalarom Postoje dvije vrste množenja koja se mogu izvršiti nad matricama Matricu možemo pomnožiti specifičnom vrijednošću, kao što je broj (množenje skalarom ili drugom matricom (matrično množenje Skalarno množenje je vrlo jednostavno i predstavlja množenje svakog elementa matrice datim skalarom! Matrično množenje je dosta komplikovanije, ali o tome malo poslije ( 2 0 Data je matrica dva prodana proizvoda za dvije sedmice A =, 8 5 gdje redovi predstavljaju proizvode, a kolone sedmice Ako svaki proizvod košta 4KM, izračunajte pazar po proizvodima po sedmicama ( 2 0 P = 4A = = ( Dijeljenje skalarom radi na apsolutno isti način (sve dok taj skalar nije nula! Primjer Ako skup cijena iznajmljivanja automobila p = ( uključuje PDV od %, a vaša kompanija može dobiti povrat poreza, dajte vektor v cijena bez poreza v =, p = ( 8,80 6,5 5,2 290,60 6,52
4 Množenje matrica Ako množimo jednu matricu s drugom matricom, osnovno pravilo je da množimo elemente duž redova prve matrice sa odgovarajućim elementima niz kolonu druge matrice Najjednostavniji način da se ovo razumije je da prvo pogledamo nekoliko primjera sa vektorima Vratimo se našem primjeru s početka i posmatrajmo vektore: 4 p = ( , q = 2 2 Dakle kao što smo uradili na početku, prvi element redovnog vektora množimo sa prvim elementom kolonskog vektora, te to saberemo sa proizvodom drugog elementa sa drugim, itd = 4606 Posmatrajmo sada slučaj kada trebamo izračunati sve cijene po sedmicama, tj A = Kako bismo izračunali sve cijene po sedmicama, trebamo naći vektor t = p A = ( Rezultat je t = ( Ako prva matrica pri množenju ima više od jednog reda, onda se postupak ponavlja dok ne iskoristimo sve redove 4
5 Primjer Pomnožimo matrice ( ( A =, B = ( ( A B = ( ( = = Sad se možete zapitati šta se dogodi kada pokušamo pomnožiti matrice gdje se broj elemenata duž redova prve matrice ne poklapa sa brojem elemenata duž kolona druge matrice Odgovor je da se tada te matrice ne mogu množiti! Dakle, ako matricaaima redm n, a druga matricab ima redr s, množenje tih matrica je moguće ako i samo ako jen = r i tada matricaab ima redm s Množenje matrica - opšti slučaj Opću m n matricu možemo napisati kao a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn U ovom opštem slučaju kada množimo dvije matrice, A reda m n i B reda n r a a 2 a n b b 2 b r a 2 a 22 a 2n b 2 b 22 b 2r A B = a m a m2 a mn b n b n2 b nr = Ovdje su elementi matricec dati sa c c 2 c r c 2 c 22 c 2r c m c m2 c mr = C c c 2 = a b +a 2 b 2 ++a n b n = a b 2 +a 2 b 22 ++a n b n2 c mr = a m b r +a m2 b 2r ++a mn b nr 5
6 Primjer Na dite proizvod matrica A = , B = , , Primjer Na dite proizvod matrica A = 2 0, B = Jedinična matrica Zadnja matrica AB predstavlja primjer specifične matrice Matrica sa jednicama na svojoj principalnoj dijagonali i nulama svugdje drugo se zove jedinična matrica Označava se sa I Jedinična matrica mora uvijek biti kvadratna, tj reda n n Bilo koja matrica reda m n pomnožena sa jediničnom matricom reda n n ostaje nepromjenjena, tj A I = A Matrica koja na svim elementima ima nulu se zove nula matrica Problem dijeljenja Problemu dijeljenja matrica se pristupa preko derivacije inverzne matrice Jedna od motivacija za traženje inverzne matrice je rješavanje sistema jednačina Npr Rješenje gornjeg sistema je x +8x 2 +x +2x 4 = 96 20x 2x 2 +4x +05x 4 = 69 x = no to za sada nije najvažnije x +x 2 +x 5x 4 = 5 x +2x 2 +x +8x 4 = 4,x2 = ,x =,x4 = 9 4, 6
7 Ove jednačine možemo da predstavimo u matričnoj formi Ax = b, naime 8 2 x 96 Ax = x 2 5 x = 69 5 = b 2 8 x 4 4 Kako riješiti ovaj sistem jednačina koristeći se gornjim matričnim oblikom? Sjetite se jedinične matrice - ukoliko bismo na neki način mogli pomnožiti obje strane jednačine odgovarajućom matricom B tako da sa lijeve strane jednakosti dobijemo BA = I, tada bi na desnoj strani jednakosti dobili rješenje sistema jednačina Bb! No nalaženje te matriceb nije trivijalna stvar Inverzna matrica je pojam koji nam je neophodan kako bismo rješili gornji problem Predznanja za inverzne matrice Kako bismo pronašli inverznu matricu, moramo posmatrati slijedeće koncepte u matričnoj teoriji: Determinate; Minori; Kofaktori; Adjungirana matrica 2 Determinante 2 Definicija determinante Determinante Svakoj kvadratnoj matrici A možemo pripisati jedinstven broj koji se naziva determinanta matrice det A Determinanta (kvadratne matrice je sam jedini element matrice! Determinanta (kvadratne matrice 2 2 je broj koji dobijemo kada pomnožimo elemente na suprotnim ćoškovima i oduzmemo ih, tj a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2
8 Primjer Naći determinantu matrice ( = = = Sarusovo pravilo Sarusovo pravilo je jednostavan način za izračunati determinantu trećeg reda a a 2 a a a 2 a 2 a 22 a 2 a 2 a 22 = a a 22 a +a 2 a 2 a +a a 2 a 2 a a 2 a a a 2 a a 22 a a 2 a 2 a a a 2 a 2 Primjer Izračunati determinantu pomoću Sarusovog pravila: = = Pojam minora Definicija Minor M ij elementa a ij matrice A je subdeterminanta koja se dobije izdeta brisanjemi-te vrste i j-te kolone Primjer A = ,M 2 = M = = 2 = 4, Pojam kofaktora Definicija 2 Kofaktor ili algebarski komplementa ij elementaa ij matricea A ij := ( i+j M ij Primjer A 2 = ( 2+ M 2 = 4, A = ( + M 2 = 2 8
9 Laplaceov teorem Teorem Laplaceov teorem nam daje način računanja determinante proizvoljne kvadratne matrice, po formuli deta = n a ij A ij = j= n a ij A ij Očito imamo dva načina za račun, no oba daju isti rezultat Prvo se zove razvoj po i-toj vrsti, a drugo razvoj po j-toj koloni Drukčije rečeno, imamo: deta = a A +a 2 A 2 ++a n A n = a A +a 2 A 2 ++a n A n Primjedba Laplaceov razvoj je najbolje raditi po onom redu (ili koloni u kojoj ima najviše nula! Moguće je, ne mijenjajući vrijednost determinante postići da u nekom redu (koloni imamo što veći broj nula To se postiže korištenjem osobina determinanti, no o tomu malo poslije i= Determinanta matrice trećeg reda Za opću matricu trećeg reda, determinanta se može, na primjer, izračunati po formuli: a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a = a a 22 a 2 a 2 a a 2 a 2 a 2 a a +a a 2 a 22 a a 2 a a 22 a a a 2 a 2 a 2 a 2 a +a 2 a 2 a +a a 2 a 2 a a 22 a Primjedba Iako smo determinantu matrice našli posmatrajući duž prvog reda, mogli smo to uraditi duž bilo kojeg drugog reda ili kolone No u tom slučaju treba obratiti pažnju! Primjer Naći determinantu matrice = a A +a 2 A 2 +a A
10 = 9 ( ( = = 95 Prije nego sto pre demo na osobine determinanti, treba nam jedan koncept u matricama koji do sada nismo koristili, a to je pojam transponovane matrice Definicija Neka je data proizvoljna pravougaona matrica A reda m n Njena transponovana matricaa T je matrica redan m koja se dobie iz matriceaobrtanjem pojmova redova i kolona, tj ako je A = (a ij, i =,m,j =,n, A T = (a ji,j =,,n,i =,,m Primjer A = 0 0, , A T = 0 6 0, , Osobine determinanti Osobine determinanti P deta T = deta Primjer A = ( 2 0 P2 Zamjenom dvaju redova (ili kolonaunutar determinante mijenja se znak determinante, no ne i numerička vrijednost Primjer 2 4 P Determinantu množimo nekim brojem tako da joj sve elemente jednog reda (ili kolone pomnožimo tim brojem Drukčije, zajednički faktor nekog reda (ili kolone se može izvući ispred determinante Primjer A = ( P4 Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (ili kolone jednaki nuli P5 Determinanta je jednaka nuli ako su elementi jednog reda (ili kolone proporcionalni odgovarajućim elementima nekog drugog reda (odnosno kolone 0
11 Primjer = 0 P6 Vrijednost determinante se neće promijeniti ako elementima jednog reda (ili kolone dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog reda (kolone pomnožene jednim istim brojem Primjer P det(a B = deta detb Primjer A = ( 2 4 ( 0,B = 2 P8 det(a = deta Primjer A = ( (,A = 2 Inverzna matrica Izračunavanje inverzne matrice Inverzna matrica Definicija 4 Neka je A kvadratna matrica n n Ako postoji kvadratna matrica X n n takva da je AX = XA = I, tada se ona naziva inverznom matricom matrice A Obično se označava sa A Dakle imamo da je AA = A A = I Osobine inverznih matrica Nema svaka matrica svoju inverznu matricu Prije svega, mora biti kvadratna matrica Ako kvadratna matrica ima inverznu matricu, onda se ona naziva regularnom, a inače se zove singularnom
12 2 Ako postojia, onda je i A inverzna matrica matricea, tj (A = A Ako inverzna matrica postoji, ona je jedinstvena 4 (AB = B A (Dokaz 5 (A T = (A T (Primjer Dokaz Neka su matricea,b,a B i B A inverzibilne (A B (A B = I A A B (A B = A I B (A B = A B B (A B = B A I (A B = B A Uslovi za postojanje inverzne matrice Inverznu matricua možemo samo pronaći za kvadratnu matricua U nekim slučajevima matricaa neće postojati! Ako matrica ima inverznu matricu, ona se naziva regularnom Inače naziva se singularnom Matrica A je inverzibilna ako i samo ako postoji matrica A za koju vrijedi AA = I Nula matrica nije inverzibilna Linearna zavisnost dva ili više redova (ili kolona unutar matrice tako der onemogućava inverziju Teorem 2 Matrica A je singularna ako i samo ako je deta = 0, tj matrica A je regularna ako i samo akodeta 0 Dokaz deta det(a = det(a A = deti = Odavdje slijedi da jedeta 0! Dakle, kriterij regularnosti matrice A je da imamo deta 0 2
13 Kofaktorska matrica Definicija 5 Kofaktorska matrica matrice A je matrica koja sadrži kofaktore elemenata matriceana odgovarajućim mjestima A A 2 A n A 2 A 22 A 2n cof(a = A n A n2 A nn 2 Adjungirana matrica Adjungirana matrica Definicija 6 Adjungirana matrica matrice A je matrica definisana sa adj(a = (cof(a T, tj A A 2 A n A 2 A 22 A n2 adj(a = A n A 2n A nn Inverzna matrica - KONAČNO! Teorem Neka je kvadratna matrica A regularna Tada postoji njena inverzna matricaa i imamo da je Primjer A = ( 2 4 A = deta adj(a Primjer det A = 0 0, stoga postoji inverzna matrica! Na dimo sada sve minore: M = 4,M 2 = 2,M 2 =,M 22 = Stoga su kofaktorska matrica i adjungirana matrica: ( ( cof(a =,adj(a = 2 Konačno A = ( ( 2 =
14 Algoritam izračunavanja inverzne matrice IZRAČUNAJTE DETERMINANTU deta!!! Ako je deta 0, onda zaključimo regularnost i inverzna matrica postoji 2 Izračunajte sve minore matrice A Izračunajte sve kofaktore matriceainapišite cof(a 4 Izračunajte adj(a = [cof(a] T 5 Podijelite adj(a sa determinantom!!! 6 Dobivena matrica je A PROVJERITE REZULTAT!! Primjer Naći inverznu matricu matric A = deta = 0 ( = 0! A 0 2 M =, M 2 = 2, M 2 = M 2 = 8, M 22 = 4, M 2 = 5, M = 6, M 2 =, M = 2 A =, A 2 = 2,A =,A 2 = 8, A 22 = 4,A 2 = 5, A = 6, A 2 =, A = 2 4 cof(a = adj(a = A = det(a adj(a =, A A = A A = I 4
15 Primjena u rješavanju matričnih jednačina Matrična jednačina je jednačina u kojoj su nepoznate i koeficijenti matrice Primjer A X = B Tada ovo rješavamo tako što pomnožimo cijelu jednakost s lijeve strane sa A A X = B A A X = A B I X = A B, daklex = A B ( ( 2 2 Primjer A =, B = Riješiti X A = B Ako matričnu jednačinu pomnožimo sa A sa desne strane, dobijemo X = B A, pod uslovom da postoji deta = 6 A adja = ( 0 2 Stoga je nepoznata matrica ( 2 X = 0 4 ( A = ( ( = Linearna (nezavisnost matrica Mi ćemo razmatrati samo linearnu (nezavisnost kolonskih i redovnih matrica (vektora Za dvije matricev,v 2 kažemo da su linearno nezavisne ukoliko α v +α 2 v 2 = 0 α = α 2 = 0 Za porodicu matricav,v 2,,v n kažemo da su linearno nezavisne ukoliko α v +α 2 v 2 ++α n v n = 0 α = α 2 = = α n = 0 U suprotnom, kažemo da su linearno zavisne Linearna zavisnost slijedi ako barem jedan odα i 0 Primjer Provjerite linearnu (nezavisnost vektorav,v 2,v : v = (,2,0,v 2 = (,0,,v = (2,2, αv +βv 2 +γv = (α,2α,0+(β,0,β+(2γ,2γ,γ = (α+β +2γ,2α+2γ,β +γ 5
16 Ovaj zbir je jednak nula matrici ako i samo ako je zadovoljen α+β +2γ = 0 2α+2γ = 0 β +γ = 0 Budući da je ovo kvadratni sistem, on će imati netrivijalnih rješenja ako i samo ako je determinanta sistem D = 0 (o tomu više brzo! 2 D = = 0 Stoga možemo naći α,β,γ 0 tako da je αv +βv 2 +γv = 0 Takvi su na primjer α =,β =,γ = Vjezba Provjerite linearnu (nezavisnost vektorav,v 2,v i vektorav,v 2,v,v 4 : v = (0,0,,v 2 = (0,2, 2,v = (, 2,,v 4 = (4,2, 4 Rang matrice Rang matrice Koncept linearne zavisnosti vektora (tj matrica nam omogućava uvo denje jednog važnog pojma i osobine matrica, naime rang matrice Važno je napomenuti da, za razliku od determinanti, rang matrice A možemo pronaći za bilo koju matricu A, tj dimenzijam n Definicija Ako je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji možemo naći u matriciajednak brojur, tada taj broj nazivamo rang matrice A i označavamo ga sa r(a Primjedba Rang matrice r(a tako der u isto vrijeme označava maksimalni broj linearno nezavisnih kolona! Primjedba Rang matrice može biti maksimalnomili n, tj r(a min(m,n Primjedba Po definiciji, n n regularna matrica ima n linearno nezavisnih redova (tj kolona pa ima rang r(a = n S obzirom na vezu linearne zavisnosti i determinanti, rang matrice možemo drugačije definisati: Definicija 8 Rang matrice r(a je maksimalni red determinante različite od nule koja se može formirati od redova i kolona te matrice! 6
17 Izračunavanje ranga matrice Pri odre divanju ranga matrice koristit ćemo tzv elementarne transformacije matrice: zamjena mjesta dva reda ili dvije kolone; 2 množenje reda ili kolone nekim brojem različitim od nule; elementima jednog reda (kolone možemo dodati odgovarajuće elemente drugog reda (kolone Primjenom ovih transformacija, dobit će se matrica koja ima isti rang kao i početna matrica (kažemoa B akor(a = r(b Ovaj postupak ide na način da svaki naredni red ima jednu nulu više od prethodnog, što se naziva i postupak Gaussove eliminacije Ovaj postupak je sličan onome vi denom kod izračunavanja determinanti (svo denje kolone ili reda na što više nula Rang ove dvije matrice će biti isti zato što će se vrijednost maksimalne determinante možda promjeniti, no nikada ne može postati jednaka nuli! Po završenoj Gaussovoj eliminaciji, rang je u stvari broj redova (tj kolona koji imaju barem jedan element različit od nule! Primjer Oduzevši 2 prvi red od drugog reda, prvi red od trećeg reda i 5 prvi red od četvrtog reda, dobivamo A Dodavši x drugi red trećem redu i 0x drugi red četvrtom redu, dobivamo A Konačno, oduzimanjem trećeg reda od četvrtog reda, dobivamo 2 4 A
18 Ova matrica ima rang, jer se iz nje može napraviti determinanta različita od nule, tj =, a ne i 4 4 determinanta različita od nule, pa je rang početne matrice! Primjer II 2I,IV I
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice..........................
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραGeologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραNumerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201
MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότερα