Ethernet. Fizički sloj klasičnog Etherneta

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ethernet. Fizički sloj klasičnog Etherneta"

Transcript

1 Ethernet Više tipova PAN, LAN i WAN mreža standardizirano je pod oznakom IEEE 802. Od preživjelih tipova mreža najvažnije su (Ethernet) i (bežični LAN). Vjerovatno najraširenija mreža na svijetu je Ethernet. Postoje dvije vrste: klasični Ethernet, koji problem istovremenog višekorisničkog pristupanja rješava tehnikama koje su već proučavane; i komutirani Ethernet, u kojem se svičevi koriste za povezivanje različitih računara. Iako nose isto ime, to su potpuno različite mreže. Klasični Ethernet je prvobitni oblik, koji je radio brzinama od 3 od 10 Mb/s. Evoluirao je u komutirani Ethernet, koji radi brzinama od 100, 1000, Mb/s, u oblicima nazvanim brzi Ethernet, gigabitni Ethernet i 10 gigabitni Ethernet. Danas se u praksi koristi samo komutirani Ethernet. Fizički sloj klasičnog Etherneta Ethernet započinje otprilike kad i ALOHA. U to vrijeme Bob Metkalf je diplomirao na MIT-u i nastavio svoj doktorat na Harvardu. Tokom studija upoznao je Abramsonove radove, te je nakon odbrane doktorske teze ljeto proveo na Havajima radeći sa Abramsonom, a nakon toga započinje sa radom u Xeroxovom istraživačkom centru u gradu Palo Alto (Palo Alto Research Center, PARC). U to vrijeme u PARC-u je projektovano nešto što će kasnije biti nazvano personalni računar. Međutim, te su mašine međusobno bile izolovane. Koristeći svoje poznavanje Abramsovih dostignuća, zajedno je sa kolegom Davidom Bogsom projektovao i napravio prvu lokanu mrežu (1973.). Imala je jedan dugačak i debeo koaksijalni kabl i radila na 3 Mb/s. Sistem je dobio ime po svjetlosnom eteru, za koji se nekada smatralo da je neophodan za prostiranje elektromagnetnog zračenja. Naime, u 19.-tom vijeku britanski fizičar Džejms Klark Maksvel otkrio je da se elektromagnetno zračenje može opisati talasnom jednačinom. Na osnovu toga naučnici su zaključili da svemir mora biti ispunjen nekim medijem koji je sličan eteru i u kojem se to zračenje prostire. Tek nakon eksperimenta Majkelsona i Morlija godine, shvatili su da elektromagnetnom zračenju nije potreban medij i da se ono može prostirati i kroz vakuum. Xeroxov Ethernet je toliko uspio da su DEC, Intel i Xerox godine sačinili nacrt standarda za 10 Mb/s Ethernet i nazvali ga standard DIX. Uz jednu manju izmjenu, DIX je godine postao standard IEEE Pošto Xerox nakon standardizacije nije pokazao namjeru da Ethernetom uradi nešto konkretno, Metkalf je oformio vlastitu firmu 3Com, koja je pravila Ethernet adaptere za PC računare. Prodala ih je na milione. Klasični Ethernet je krivudao po zgradi u obliku jedinstvenog debelog kabla na koji su se priključivali svi računari (slika desno). Prva verzija, debeli Ethernet (thick Ethernet) podsjećala je na žuti šlauf u bašti, sa oznakama na svaka 2.5 metra na mjestima gdje treba priključiti računare. U standardu se ne insistira da kabl bude žut, ali se to preporučuje. Naslijedio ga je tanki Ethernet (thin Ethernet), koji se mogao lakše saviti, a računari su se na njega povezivali standardizovanim BNC konektorima. Tanki je jefitiniji i lakši za intaliranje u odnosu na debeli Ethernet, ali segmenti kabla mogli su biti dugi najviše 185 metara, umjesto 500 metara kod debelog Etherneta, a svaki segment je mogao podržati samo 30 računara, umjesto 100. Svaka verzija Etherneta ima ograničenu dužinu segmenta kabla po kojem se signal može prostirati bez pojačivača. Da bi se ostvarile veće mreže, mogli su se nadovezati pomoću

2 ripitera (repeaters). To je uređaj fizičkog sloja koji prima, pojačava (regeneriše) i ponovo šalje signal u oba smjera. S gledišta softvera, niz segmenata povezanih ripiterima ne razlikuje se od jednostavnog kabla, osim malog kašnjenja kojeg izazvaju ripiteri. Ethernet može sadržavati više kablovskih segmenata i ripitera, ali udeljenost primopredajnika ne smije biti veća od 2.5 kilometara, dok između dva primopredajnika može biti najviše četiri ripitera. Razlog je ispravan rad MAC protokola. Protokol MAC podsloja klasičnog Etherneta Na slici desno (a) prikazan je format za slanje okvira. Okvir počinje Preambulom dužine 8 bajtova, koja se uvijek predstavlja nizom bitova (7 x ) uz izuzetak zadnjeg bajta, u kojem su zadnja dva bita 11 ( ). U standardu 802.3, taj osmi bajt je iskorišten kao graničnik Početka okvira (Start of Frame delimiter, SoF). Mančester kodiranjem ovog niza dobije se pravougaoni talas frekvencije 10 MHz. Vrijeme potrebno za njegovo kodiranje je 6.4 µs tokom kojeg se pošiljalac i primalac sinhronizuju. Posljednja dva bita (11) kažu primaocu da slijedi ostatak okvira. Zatim, dođu odredišna i izvorišna adresa (po 6 bajtova). Najznačajniji (prvi) bit odredišne adrese je 0 za obične adrese, a 1 za grupne adrese. Grupna adresa omogućava da više stanica prima poruke sa jedne adrese. Kada se okvir pošalje na grupnu adresu, sve je stanice primaju. Slanje poruka grupi stanica naziva se višesmjerno emitovanje (multicast). Posebna adresa koja se sastoji od jedinica rezervisana je za neusmjereno emitovanje (broadcast). Okvir, koji u odredišnoj adresi sadrži sve jedinice, primaju sve stanice na mreži. Višesmjerno emitovanje je selektivnije, ali zahtijeva definisanje stanica u grupi. S druge strane, neusmjereno emitovanje uopće ne razlikuje stanice, te i ne zahtijeva rad s grupama. Veoma je interesantno što su izvorišne adrese stanica globalno jedinstvene jer ih dodjeljuje samo IEEE kako bi svaka stanica na svijetu imala vlastitu jedinstvenu adresu. Namjera je bila da se svakoj stanici omogući da pozove drugu stanicu navodeći samo njen jedinstven 48-bitni broj. Da bi se to postiglo, prva tri bajta adresnog polja upotrebljavaju se za tzv. identifikator administrirajuće organizacije (Organizationally Unique Identifier, OUI). Sadržaj ovog polja dodjeljuje IEEE i njime ukazuje na određenog proizvođača. Proizvođačima se dodjeljuju blokovi od 2 24 adresa. Proizvođač dodjeljuje posljednja 3 bajta adrese, i cijelu adresu uprogramira u mrežnu karticu prije prodaje. Sljedeće polje je Tip ili Dužina, zavisno da li je okvir Ethernet ili IEEE Ethernet pomoću polja Tip kaže primaocu šta da radi sa okvirom. Na istom računaru može se istovremeno izvršavati više protokola mrežnog sloja, pa operativni sistem mora znati kojem od njih da proslijedi okvir koji je stigao preko Etherneta. Poljem Tip se specificira proces kojem treba predati okvir. Na primjer, broj 0x0800 u polju Tip kaže da podaci sadrže Ipv4 paket. IEEE je polje Tip preimenovao u Dužina, jer se u Ethernetu dužina okvira određivala čitanjem podataka, što je kršenje podjele na slojeve. Naravno, tako primalac ne bi znao šta da radi sa okvirom, pa je problem prevaziđen unošenjem (u polje s podacima) kratkog zaglavlja s potrebnim informacijama za protokol za kontrolu logičke veze (Logical Link Control, LLC). U tom 8-bajtnom zaglavlju nalazi se 2-bajtna oznaka tipa protokola.

3 Nažalost do trenutka objavljivanja standarda u upotrebi je bilo toliko hardvera i softvera za DIX Ethernet da proizvođači i korisnici nisu baš sa oduševljenjem prihvatili preimenovanje Tipa u Dužina. Godine 1997., IEEE je prihvatio oba formata. To se moglo učiniti jer su sva polja Tip koja su korištena do godine, imala vrijednost veću od 1500, što je već tada bilo ustanovljeno kao maksimalna veličina podataka. Znači, svaki broj manji ili jednak 0x600 (1536) mogao se tumačiti kao Dužina, a broj veći od 0x600 kao Tip. Tako je IEEE uspio nametnuti jedinstven standard. Zatim dolaze Podaci, polje dužine do 1500 bajta. Ova, pomalo proizvoljna granica izabrana je zbog toga što primopredajnik mora imati dovoljno radne memorije da prihvati čitav okvir, a u trenutku uspostavljanja Ethernet standarda godine, RAM je bio poprilično skup. Veće polje s podacima zahtijevalo bi i više RAM-a, znači skuplji primopredajnik. Osim što postoji maksimalna dužina okvira, postoji i minimalna. Iako je polje s podacima dužine 0 bita ponekad korisno, ono izaziva probleme. Kada primopredajnik otkrije sukob, on naglo prekida slanje aktuelnog okvira, što znači da kablom stalno putuju zalutali bitovi i dijelovi okvira. Da bi se ispravan okvir lakše razlikovao od smeća, Ethernet zahtijeva da ispravan okvir od odredišne adrese do kontrolnog zbira (uključujući obje stavke) bude dugačak najmanje 64 bita. Ako je polje s podacima kraće od 46 bitova, okvir se u polju Dopuna (pad) dovodi do minimalne dužine. Drugi, važniji razlog propisivanja minimalne dužine okvira je sprečavanje stanice da završi slanje kratkog okvira prije nego što njegov prvi bit stigne na drugi kraj kabla, gdje se može sukobiti s nekim drugim okvirom (slika desno). U trenutku 0, stanica A koja se nalazi na jednom kraju mreže, počinje da šalje okvir. Neka je vrijeme potrebno da okvir stigne na drugi kraj mreže τ. Upravo prije nego što okvir dostigne drugi kraj mreže (tj. u trenutku τ ε), najudaljenija stanica B počinje da emituje. Kada stanica B utvrdi da prima više snage nego što emituje, zna da je došlo do kolizije, pa prestaje da emituje i generiše 48-bitni rafalni šum da bi upozorila na koliziju ostale stanice. To znači da ona zagušuje nosioca podataka kako bi pošiljalac pouzdano znao da je došlo do kolizije. Približno u trenutku 2τ pošiljalac čuje rafalni šum i također prekida emitovanje. Zatim, čeka proizvoljan period vremena i ponovo pokušava slanje. Ako stanica počne slati veoma kratak okvir, razumljivo je da će doći do kolizije, ali će se prenos završiti prije dolaska rafalnog šuma u 2τ. Pošiljalac će u tom slučaju pogrešno zaključiti da je uspješno poslao okvir. Radi sprečavanja ovakve situacije, vrijeme slanja svih okvira mora biti veće od 2τ, tako da emitovanje još uvijek bude u toku kada pošiljaocu stigne rafalni šum. Za lokalne mreže brzine 10 Mb/s, maksimalne dužine 2500 metara s najviše 4 ripitera, utvrđeno je da je u najgorem slučaju vrijeme obilaska mreže oko 50µs. Znači, najkraći dozvoljeni okvir se može emitovati najmanje ovoliko dugo. Pri brzini od 10 Mb/s, jedan bit traje 100 ns, tako da najkraći okvir koji ne pravi probleme mora sadržavati 500 bitova. Zbog sigurnosti, taj broj je zaokružen na 512 bitova, što je 64 bajta. Posljedne polje okvira je Kontrolni zbir. To je 32-bitna ciklična provjera redudanse (CRC), odnosno kod za otkrivanje grešaka, kojim se utvrđuje da li su bitovi okvira ispravno primljeni.

4 Komutirani Ethernet Ethernet je brzo evoluirao. Promijenila se arhitektura klasičnog Etherneta koji je imao jedan dugačak zajednički kabl. Problemi pronalaženja prekida u kablu i labavo spojenih priključaka tjerali su na drugi oblik ožičenja, gdje je svaka stanica imala svoj vlastiti kabl do centralnog haba (hub čvorište, razvodnik). On električki povezuje sve na sebe priključene žice, kao da su zalemljene (slika desno). Žice su bile telefonske upredene parice, pošto je većina zgrada već imala to ožičenje, i obično se ostavljalo mnogo rezerve. Dobro je bilo iskoristiti tu rezervu, ali je zato maksimalna dužina kabla od haba bila smanjena na 100 metara (200 metara ako je upotrijebljena visokokvalitetna upredena parica kategorije 5). U ovoj konfiguraciji je dodavanje i uklanjanje stanica jednostavnije i lako je otkriti prekide kabla. Prednosti korištenja postojećeg ožičenja i lakoća održavanja su upredene parice i habove učinile dominantnim oblikom Etherneta. Međutim, habovi ne povećavaju kapacitet, jer su oni ekvivalentni zajedničkom dugačkom kablu klasičnog Etherneta. Što se više stanica priključuje u Ethernet, svaka stanica dobija sve manji udio u fiksnom kapacitetu. Na kraju će se LAN zasititi. Rješenje može biti veća brzina prenosa: sa 10 Mb/s, na 100 Mb/s, 1 Gb/s ili još veće brzine. Međutim, uz tempo razvoja multimedije i servera, lako se mogu zasititi čak i 1 Gb/s Ethernet. Srećom, postoji i drugi način borbe s povećanjem saobraćaja: komutirani Ethernet. Jezgro tog sistema je svič, čija brza osnovna ploča (backplane) povezuje sve priključke (slika desno). Spolja, svič izgleda kao hab. Oba uređaja izgledaju kao kutije, najčešće sa 4 do 48 priključaka, svaki sa standardnim konektorom RJ-45 za kabl sa upredenom paricom. Svaki kabl povezuje svič ili hab s po jednim umreženim računarom (slika desno). Svič ima iste prednosti kao hab. Dodavanje (uklanjanje) nove stanice svodi se na jednostavno uticanje (izvlačenje) žica u (iz) kutiju. Većinu kvarova je lako otkriti, jer loš kabl ili priključak obično utiče na samo jednu stanicu. I dalje postoji jedna zajednička komponenta koja može da otkaže sam svič ali kada sve stanice izgube mrežu, osoblje održavanja zna kako otkloniti kvar: zamijeniti svič. Međutim, u sviču se odvija nešto potpuno drugačije. Svičevi šalju okvire samo onim priključcima kojima su ti okviri upućeni. Kada određeni priključak sviča primi Ethernet okvir od stanice, svič pročita njegovu Ethernet adresu da bi znao kojem priključku je okvir namijenjen. To znači da svič mora znati koji priključci odgovaraju kojim adresama. Zatim, svič prosljeđuje okvir preko svoje brze osnovne ploče na odredišni priključak. Osnovna ploča radi na mnogo Gb/s, koristeći za to poseban protokol koji je vlasništvo proizvođača (proprietary protocol) i ne mora biti standardiziran, zato što je potpuno skriven unutar sviča. Potom odredišni priključak prenosi okvir na žicu da bi stigao do stanice kojoj je upućen. Nijedan drugi priključak ni ne zna da taj okvir postoji. Šta se dešava kada više stanica ili priključaka istovremeno šalje svoje okvire? Opet se svičevi razlikuju od habova. U habu su sve stanice u istom kolizijskom domenu (collision domain), pa algoritmom CSMA/CD moraju rasporediti svoje emisije u vremenu. U sviču,

5 svaki priključak je sam sebi nezavisan kolizijski domen. U najčešćem slučaju kabla potpunog dupleksa, i stanica i priključak mogu istovremeno slati svoje okvire na kabl i da ne vode računa o drugim stanicama i priključcima. Kolizija je sada nemoguća, pa CSMA/CD nije potreban. Međutim, kada je riječ o poludupleksu, stanica i priključak se moraju na uobičajan način takmičiti za emisiju pomoću CSMA/CD protokola. U odnosu na hab, svič poboljšava performanse na dva načina. Prvo, kapacitet se efikasnije koristi jer nema kolizije. Drugo, važnije, svičem različite stanice mogu svoje okvire slati istovremeno. Ti okviri stižu do priključaka sviča i putuju po njegovoj osnovnoj ploči da bi bili upućeni svaki na sebi odgovarajući priključak. Međutim, pošto dva okvira mogu biti istovremeno poslana na isti izlazni priključak, svič mora imati i memoriju da privremeno uskladišti (baferuje) ulazni okvir dok ne uspije da ga prebaci na izlazni priključak. Sve u svemu, ta poboljšanja znatno podižu performanse u odnosu na ono što je moguće postići habom. Ukupan protok podataka često je za red veličine veći, u zavisnosti od broja priključaka i oblika saobraćaja. Promjena u pogledu izlaznih priključaka na koje se okviri upućuju ima i sigurnosne prednosti. Većina mrežnih kartica radi u neselektvnom režimu rada (promiscuous mode), u kojem se računaru predaju svi okviri, a ne samo oni koji su na njega adresirani. U slučaju haba, svaki priključeni računar vidi sav saobraćaj svih drugih računara, što se jako dopada špijunima i radoznalcima. Kada je u pitanju svič, saobraćaj se prosljeđuje samo priključcima kojim je upućen. Na ova se način obezbjeđuje bolje izolovanje, tako da saobraćaj ne može procuriti i završiti u pogrešnim rukama. Doduše, kada je sigurnost zaista potrebna, saobraćaj treba i šiforvati. Pošto svič na svakom ulaznom priključku očekuje samo standardni Ethernet okvir, neki njegovi priključci mogu se koristiti kao koncentratori. Priključak u gornjem desnom uglu sviča na gornjoj slici nije direktno povezan sa računarom, već sa habom koji ima 12 priključaka. Okviri koji stižu u hab konkurišu jedan drugom na uobičajan način sudarajući ili odustajući. Sa okvirima koji se uspješno probijaju kroz hab do sviča, tamo se postupa jednako kao sa drugim pristiglim okvirima. Svič ne zna su oni morali da se probijaju putem. Jednom kada stignu u svič, oni se preko brze osnovne ploče upućuju na odgovarajuću izlaznu liniju. Moguće je i da odredište bude na jednoj od linija priključenih na taj hab. U tom slučaju okvir je već isporučen, pa ga svič samo obriše iz svog bafera. Brzi Ethernet Čim su se svičevi proširili, brzina 10 Mb/s Etherneta je postala premala. U početku je 10 Mb/s izgledalo brzo kao munja, baš kao što su se korisnicima telefonskih modema kablovski modemi činili kao san. Međutim, svaka novost kratko traje. Mnogim mrežama trebao je veći propusni opseg, te su više lokalnih 10 Mb/s mreža administratori povezali šumom ripitera, habova i svičeva, mada im je često sve to izgledalo labavo i klimavo kao babini zubi. Ali čak i u komutiranom Ethernetu, sa svičevima, maksimalan propusni opseg računara na mreži bio je ograničen kablom koji ga je povezivao s priključkom sviča. Zbog toga, IEEE je godine ponovo sazvao komitet za mrežu i zadao mu da pronađe rješenje za brži LAN. Jedan prijedlog je bio da se zadrži postojeća mreža 802.3, samo da se ubrza. Drugi su predlagali da se mreža promijeni iz korijena, da joj se doda mnogo novih svostava (saobraćaj u realnom vremenu, digitalni glas,...), ali da se iz marketinških razloga zadrži staro ime. Poslije mnogo nesuglasica, odlučeno je da se mreža u osnovi ne mijenja, samo da se ubrza. Ovom strategijom bi se posao završio prije nego što bi tehnologija stigla da se promijeni, novi bi dizajn bio kompatibilan s postojećim

6 lokalnim Ethernet mrežama i izbjegli bi se nepredviđeni problemi s potpuno novim dizajnom. Predlagači drugog rješenja uradili su ono što se u navedenim okolnostima i moglo očekivati od industrijalaca koji drže do sebe istupili su, osnovali sopstveni komitet i sandardizirali sopstveni LAN kao koji je jadno završio. Posao je brzo završen, po mjerilima komiteta za standardiziranje, a IEEE je rezultat, mrežu 802.3u, ozvaničio u junu godine. S formalnog stajališta, mreža 802.3u nije predstavljena kao novi standard već kao dopuna postojećeg standarda Ta se strategija često koristi da bi se istakla kompatibilnost s postojećim standardom. U narodu je ova mreža poznata kao brzi Ethernet. Njegova osnovna zamisao bila je jednostavna: zadržati postojeće formate okvira, interfejse i proceduralna pravila, ali skratiti trajanje jednog bita sa 100 ns na 10 ns. Tehnički je bilo izodljivo kopirati 10Mb/s klasični Ethernet, a da se kolizije još uvijek pravovremeno otkrivaju ako se dužina kabla desetostruko smanji. Međutim, prednosti ožičenja upredenim paricama bile su toliko velike da je projekat brzog Eterneta zasnovan isključivo na njemu. Na taj nači, habovi i svičevi postoje u svim sistemima brzog Etherneta; BNC konektori nisu dozvoljeni. Ipak, o nečemu se moralo i odlučivati, najvažnije je bilo, koju vrstu žice podržati. Jedna varijanta je bila upredena parica 3. kategorije, za koju je glavni argument bio to što je skoro svaki ured na Zapadu opremljen s barem četiri upredene parice barem 3. kategorije koje vode do telefonskog razvodnog ormara udaljenog do 100 metara. Ponekad postoje i dva takva kabla. Znači, kada bi se podržala upredena parica 3. kategorije, mogao bi se dovesti brzi Ethernet do računara bez potrebe za novim ožičavanjem zgrade, što je bila ogromna prednost za mnoge organizacije. Glavni nedostatak upredene parice 3. kategorije je što ne može da prenosi signale od 100 Mb/s duže od 100 metara, što je najveće rastojanje između haba i računara specificirano za 10 Mb/s habove. Nasuprot tome, upredena parica 5. kategorije to može lako, a optičkim vlaknom signal se može prenijeti i na mnogo veću udaljenost. Na kraju je odlučeno da se dozvole sve tri mogućnosti (donja tabela originalno kabliranje brzog Etherneta), s tim da se i dalje radi na parici 3. kategorije kako bi se postigao potreban kapacitet prenosa. Ime Kabl Max.dužina segmenta Prednosti 100Base-T4 Upredena parica 100 m Koristi se neoklopljena parica 3. kategorije 100Base-TX Upredena parica 100 m Potpuni dupleks pri 100Mb/s (neoklopljena parica 5. kategorije) 100Base-FX Optičko vlakno 2000 m Potpuni dupleks pri 100Mb/s; velika rastojanja Korisnici su hitro širili brzi Ethernet, ali nisu htjeli da bace 10 Mb/s Ethernet kartice na starim računarima. Zato svi habovi za brzi Ethernet mogu da rade sa stanicama brzine i 10 i 100 Mb/s. Radi lakše nadogradnje mreže, standard predviđa mehanizam automatskog dogovaranja koji omogućuje da dvije stanice automatski dogovore optimalnu brzinu (10 ili 100 Mb/s) i režim prenosa (potpuni ili poludupleks). Gigabitni Ethernet Komitet za mrežu 802 veoma brzo je započeo rad na standardizovanju još brže Ethernet mreže, koja je ubrzo dobila nadimak gigabitni Ethernet. IEEE je godine dao mu zvanično ime 802.3ab.

7 Njegovi autori imali su isti cilj kao i oni brzog Etherneta: povećati brzinu Etherneta 10 puta, ali da ostane kompatibilan sa svim postojećim verzijama. Trebao je da obezbijedi uslugu datagrama bez potvrđivanja prijema (uz jednosmjerno i neusmjereno emitovanje), da koristi postojeću 48-bitnu šemu adresiranja, kao i format okvira, uključujući njegovu minimalnu i maksimalnu veličinu. Svojim završetkom ispunio je sve zadane ciljeve. Kao i brzi Ethernet, sve konfiguracije gigabitnog koriste point-to-point veze. U svom najjednostavnijem obliku (slika desno, a), gigabitni Ethernet se sastoji od samo dva međusobno direktno povezana računara. U općem slučaju, postoji hab za koji je vezano više računara, a mogu postojati dodatni habovi, odnosno svičevi (slika desno, b). U obje konfiguracije, međutim, svaki pojedinačni Ethernet kabl spaja samo dva uređaja, ni manje ni više. I gigabitni Ethernet može da radi u dva režima: poludupleks i potpuni dupleks. Podrazumijevani režim je potpuni dupleks koji istovremeno omogućava saobraćaj u oba smjera. On se koristi kada postoji centralni svič povezan sa računarima, ili s drugim svičevima, na periferiji. Saobraćaj iz svih linija se smješta u bafer, tako da svič može slati okvire kad god želi. Pošiljalac ne mora da osluškuje kako bi utvrdio da li je kanal prazan jer je kolizija nemoguća. Na liniji koja povezuje računar sa svičem, računar je jedini mogući pošiljalac ka sviču i takvo slanje uspijeva čak i onda kada svič u istom trenutku šalje okvir računaru jer linija radi kao potpuni dupleks. Pošto je kolizija nemoguća, protokol CSMA/CD se ne koristi, pa dužina kabla ne zavisi od vremena potrebnog da rafalni šum pod najnepovoljnijim uslovima stigne do pošiljaoca već isključivo od jačine signala. Svičevi autonomno mijenjaju i usaglašavaju brzine prenosa. Podržano je automatsko dogovaranje parametara sistema kao kod brzog Etherneta, s tim što se mogu birati brzine 10, 100 i 1000 Mb/s. Gigabitni Ethernet podržava i bakarni i optički kabl. Signaliziranje brzinom bliskom 1 Gb/s zahtijeva da kodiranje i slanje jednog bita traju samo 1 ns. Ispočetka se to radilo pomoću kratkih oklopljenih bakarnih kablova, verzija 100Base-CX, i optičkih kablova. Za optičke kablove dozvoljene su dvije talasne dužine, pa postoje dvije različite verzije: 0.85 µm (kraća, 1000Base-SX) i 1.3 µm (duža, 1000Base-LX). Ime Kabl Max.dužina segmenta Prednosti 1000Base-SX Optički 550 m Višerežimsko vlakno (50; 62.5 µm) 1000Base-LX Optički 5000 m Jednorežimsko (10 µm) ili višerežimsko (50; 62.5 µm) 1000Base-CX4 2 oklopljene parice 25 m Oklopljena upredena parica 1000Base-T 4 neoklopljene parice 100 m Standardna neoklopljena parica 5. kategorije U gigabitni Ethernet uvedeni su džambo paketi koji mogu biti duži od 1500 bajtova, obično do 9 KB. To proširenje nije standardizirano jer njegovim korištenjem Ethernet prestaje da bude kompatibilan s ranijim verzijama. Njega ipak podržava većina proizvođača, jer je 1500 bajtova kratka jedinica na gigabitnim brzinama. Radom sa većim blokovima informacija može se smanjiti broj okvira u sekundi i pripadajuće opterećenje procesora, kao što su prekidi procesora zbog obavještenja da je stigao novi paket ili cijepanja i ponovnog sklapanja poruka koje su bile duge da bi stale u jedan Ethernet okvir.

8 10-gigabitni Ethernet Standardizovanjem gigabitnog Etherneta, posao komiteta za mrežu 802 nije bio završen. Komitet je od IEEE dobio zadatak da razradi standard za Ethernet brzine 10 Gb/s. Radilo se na isti način kao i u prethodnim slučajevima; standardi za optička vlakna i STP bakarni kabl objavljeni su odnosno godine, a za UTP godine. 10 Gb/s je veoma velika brzina, 1000 puta veća od prvobitnog Etherneta. Gdje su te brzine potrebne? Unutar podatkovnih centara, povezivanje rutera, svičeva i servera visoke klase, kao i vodovima velikog propusnog opsega između poslovnih zgrada, te omogućavaju izgradnju cjelokupnih MANova od Etherneta i optičkih vlakana. Dugačke se veze izvode optičkim vlaknima, a kratke mogu bakrenim ili optičkim kablovima. Sve verzije 10-gigabitnog Etherneta podržavaju samo rad u potpunom dupleksu. CSMA/CD više nije dio ovih standarda, već se bave pojedinostima fizičkih slojeva što rade na vrlo velikim brzinama. Ipak, kompatibilnost je i dalje važna, pa kartice 10-gigabitnog Etherneta automatskim dogovaranjem određuju najveću brzinu koju podržavaju oba kraja linije. Donja tabela prikazuje glavne vrste 10-gigabitnog Etherneta. Višerežimsko i vlakno i (manja) talasna dužina 0.85 µm upotrebljavaju se za srednja rastojanja, a jednorežimsko vlakno i (veća) talasna dužina od 1.3 µm, odnosno (produžena) od 1.5 µm upotrebljavaju se za velika rastojanja. 10Gbase-ER može da pokrije rastojanja od 40 km, što ga čini prikladnim za WANove. Ime Kabl Max.dužina segmenta Prednosti 10GBase-SR Optičko vlakno do 300 m Višerežimsko vlakno (0.85 µm) 10GBase-LR Optičko vlakno 10 km Jednorežimsko vlakno (1.3 µm) 10GBase-ER Optičko vlakno 40 km Jednorežimsko vlakno (1.5 µm) 10GBase-CX4 4 uporedo aksijalne parice 40 m Uporedno aksijalne bakarne parice 10GBase-T 4 UTP parice 100 m UTP kategorije 6a Prva definisana bakarna verzija, 10Gbase-CX4, ima 4 uporedne (twinaxial) bakarne parice. 10Gbase-T je verzija sa UTP kablovima. Mada zahtijeva UTP kategorije 6a, na kraćim rastojanjima se mogu upotrebljavati i niže kategorije (uključujući kategoriju 5), da bi se iskoristili postojeći rezervni kablovi. Iako je tržište 10-gigabitnog Etherneta uzburkano, komitet je već otišao dalje. Krajem godine, IEEE je napravio grupu za standardizaciju Etherneta sa brzinama 40 i 100 Gb/s. Te će nadogradnje omogućiti da se Ethernet takmiči u okruženjima veoma visokih peformansi, među kojima su vodovi mrežnih backbone-ova i kratke veze na osnovnim pločama uređaja. Taj standard još nije završen, ali na tržištu se već mogu kupiti proizvodi nekih proizvođača koji imaju tražene brzine. Bežične lokalne mreže Bežični LANovi postaju sve popularniji i njima se oprema sve više domova, ureda, kafića, biblioteka, aerodroma i drugih javnih objekata za povezivanje računara, personalnih digitalnih uređaja i pametnih telefona na Internet. Bežični LANovi se mogu upotrijebiti i za komuniciranje dva ili više obližnjih računara bez Interneta. Osnovni standard za bežične LANove je već pomenuti

9 Arhitektura i skup protokola mreže Bežični LANovi imaju dva režima rada. Najpopularniji režim rada je povezivanje klijenata, kao što su laptopi i pametni telefoni, s nekom postojećom mrežom, kao što je mreža firme ili Internet. Taj režim rada je prikazan na slici desno. U ovom režimu, svaki klijent je pridružen nekoj baznoj stanici, tzv. pristupnoj tački (Access Point), povezanoj sa ostatkom mreže. Više pristupnih tačaka može biti povezano, obično kablovski, tzv. razvodnim sistemom, u mrežu (WiFi). U ovom slučaju, klijeniti šalju pakete drugim klijentima preko njihovih pristupnih tačaka. Drugi režim rada (slika desno), nazvan je ad hoc umrežavanje. U ovom režimu, mrežu čini nekoliko računara koji okvire razmjenjuju neposredno, bez pomoći ikakve bazne stanice. Pristupna tačka ne postoji. Pošto se tako ne može povezati sa Internetom, ad hoc umrežavanje nije naročito popularno. Protokoli koji se koriste u svim mrežama tipa 802, uključujući i Ethernet strukturno su slični. Djelimičan pregled skupa protokola prikazan je na slici lijevo. Isti skup protokola koriste i klijenti i pristupne tačke. Fizički sloj prilično dobro odgovara fizičkom slijo OSI modela, ali sloj veze podataka u svim protokolima 802 razbijen je na dva ili više podslojeva. U mreži WiFi (802.11), MAC posloj upravlja načinom dodjele kanala, to jest određuje redoslije emitovanja. Iznad njega je LLC podsloj koji miri različite varijante mreže 802 i mrežnom sloju uvijek prosljeđuje podatke istog formata. Međutim, danas LLC je vezivni sloj koji samo identifikuje protokol (npr. IP) koji se prenosi unutar okvira. Od godine kada je objavljen , dodano mu je nekoliko tehnika prenosa. Od prvobitnih, dva (prenos infracrvenim zračenjem slično daljnskom upravljanju TV prijemnikom i skokovito frekventno širenje spektra Frequency Hopping Spread Spectrum, FHSS) u ISM području 2.4 GHz, više se ne koriste. Treća od prvobitnih tehnika, direktno sekvencijalno širenje spektra (Direct Sequence Spread Spectrum, DSSS) pri 1 ili 2 Mb/s u području 2.4 GHz, promijenjena je tako da radi na brzinama do 11 Mb/s i ubrzo postala hit. Sada se naziva b. Da bi se moglo raditi na većim brzinama, i godine uvedene su nove tehnike prenosa zasnovane na multipleksiranju sa ortogonalnom podjelom frekvencija (Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM). Prva je nazvana a i upotrebljava drugo frekventno područje, 5 GHz. Druga je ostala vijerna području 2.4 GHz i kompatibilnosti. Nazvana je g. Obje rade brzinama do 54 Mb/s. Sljedeća tehnika je standardizirana u oktobru godine pod nazivom n. U njoj se istovremeno upotrebljava više antena na oba kraja. Uz četiri antene, standard definiše brzine do 600 Mb/s. Posljednja verzija je ac, godine, koja dostiže teoretsku brzinu od 1300 Mb/s (162.5 MB/s).

10 Fizički sloj mreže Pomoću svake od dozvoljenih metoda prenosa može se kroz vazduh poslati MAC okvir od jedne ka drugoj stanici. Međutim, tehnike se između sebe razlikuju po tehnologiji i brzini prenosa. Sve WiFi (802.11) tehnike koriste radio-talase kratkog dometa za prenos signala u ISM područjima 2.4 ili 5 GHz. Ta područja imaju prednost jer se za njihovu upotrebu ne treba tražiti odobrenje, pa su na raspolaganju svakome ko se pridržava određenih ograničenja, na primjer snaga zračenja ne smije preći 1 W, mada je za radio-predajnike u bežičnim LANovima tipičnije 50 mw. Nažalost, ta činjenica je poznata i proizvođačima uređaja za daljinsko otvaranje garažnih vrata, bežičnih fiksini telefona, mikrotalasnih pećnica i bezbroj drugih aparata, i svi se oni takmiče s prenosnim računarima za isti komad spektra. Pošto je u području 2.4 GHz veća gužva nego ono koje počinje na 5 GHz, to drugo je za neke primjene bolje, mada mu je domet manji zbog veće frekvencije. Svaka od tih metoda prenosa definiše više brzina, kako bi se brzina rada mogla prilagoditi tekućim uslovima okruženja. Kada je bežični signal slab, upotrebljava se mala brzina. Kada je signal jasan, radi se na najvećoj brzini. To prilagođavanje je nazvano adaptacija brzije (rate adaption). Pošto se brzine razlikuju za faktor 10 ili više, bez dobre adaptacije brzine nema dobrih performansi. Naravno, standardi ne propisuju način izvođenja adaptacije brzine, pošto to nije neophodno za uzajamnu upotrebljivost proizvoda raznih proizvođača. Protokol MAC posloja mreže Protokoli MAC podsloja za mrežu i Ethernet potpuno su različiti zbog dva temeljna faktora bežične komunikacije. Prvo, radio-stanice većinom rade u poludupleksnom režimu, što znači da ne mogu istovremeno na istoj frekvenciji da emituju i da osluškuju rafalni šum. Primljeni signal može biti i milion puta slabiji od emitovanog signala, pa se ne može istovremeno čuti. Na Ethernetu stanica čeka samo da utihne, a onda počinje da emituje. Ako se primi povratni rafalni šum dok emituje prva 64 bajta prenosa, to znači da je okvir gotovo sigurno ispravno isporučen. U bežičnom sistemu takav mehanizam otkrivanja kolizije ne radi. Za razliku od Etherneta, mreža pokušava da izbjegne koliziju pomoću protokola CSMA/CA (CSMA uz izbjegavanje kolizije; CSMA with Collision Avoidance). Taj protokol je konceptualno sličan Ethernetovom CSMA/CD, jer stanica osluškuje kanal prije slanja, a nakon kolizije ponovo pokušava emitovati tek poslije isteka vremenskog intervala izabranog algoritmom binarnog eksponencijalnog odustajanja. Međutim, stanica koja ima okvir za slanje počinje time što čeka nasumično odabran vremenski period (osim u slučaju da je kanal slobodan i da ga nije upotrebljavala u skorije vrijeme). Ona ne čeka da se kolizija desi. Broj vremenskih intervala odustajanja bira se u opsegu 0 do, recimo, 15 u slučaju fizičkog sloja protokola OFDM. Stanica čeka dok se kanal ne oslobodi, što utvrđuje tako što kratko vrijeme osluškuje kanal i ne čuje signal (zvan DIFS), i odbrajava naniže protekle nezauzete vremenske intervale, zaustavljajući svoj brojač kada čuje da neko drugi emituje. Svoj okvir stanica šalje kada njen brojač dosegne 0. ako okvir pređe, odredište odmah šalje kratku potvrdu. Izostanak potvrde se tumači kao pokazatelj greške, nastale kolizijom ili nekako drugačije. U tom slučaju, pošiljalac udvostručuje period odustajanja i zatim ponovo pokušava, nastavljajući sa eksponencijalnim odustajanjem kao u Ethernetu dok ne uspije da pošalje okvir ili ne dostigne maksimalan broj ponovnih pokušaja slanja. Na donjoj slici prikazan je primjer. Stanica A prva uspijeva da pošalje okvir. Dok A emituje, stanice B i C postaju spremne za slanje. One čuju da je kanal zauzet i čekaju da se oslobodi.

11 Kanal se oslobađa kratko vrijeme nakon što A primi potvrdu. Međutim, umjesto da obje smjesta pokušaju poslati svoje okvire i time ući u koliziju, stanice B i C najprije odustaju. C bira kratko vrijeme odustajanja i zato prva šalje svoj okvir. B zaustavlja svoj brojač dok čuje da C koristi kanal i nastavlja sa odbrojavanjem kada C primi potvrdu. Uskoro potom B završava odustajanje i šalje svoj okvir. Dvije su osnovne razlike u odnosu na Ethernet. Prvo, početno odustajanje pomaže izbjegavanju kolizije. To se isplati jer kolizija košta, jer se šalje cio okvir čak i kada dođe do kolizije. Drugo, kolizija se prepoznaje po tome što nije stigla potvrda, jer se drugačije ne može otkriti. Ovaj režim rada se zove DCF (distribuirana koordinativna funkcija, Distributed Coordination Function), zato što svaka stanica djeluje nazivisno, nema centralizovanog upravljanja. Standard obuhvata i neobavezan režim rada koji se zove PCF (jedinstvena koordinativna funkcija, Point Coorination Function), u kojem pristupna tačka upravlja svime što se događa u njenoj ćeliji, kao bazna stanica mobilne telefonije. Međutim, u praksi PCF se ne koristi, zato što pristupna tačka nema načina da spriječi stanice u nekoj drugoj mreži da emitovanjem svog saobraćaja izazovu kolizije u njenoj mreži. Drugi problem je što dometi stanica ne moraju biti jednaki. U kablovskoj mreži, sistem je napravljen tako da svaka stanica čuje sve druge stanice. Za bežične stanice to ne važi, zbog složenosti prostiranja radio-talasa. Zato može nastati problem skrivenog terminala (slika desno). Pošto nisu sve stanice u dometu, prenos koji se odvija u jednom dijelu ćelije možda neće biti opažen u njenom drugom dijelu. Na slici desno stanica C šalje podatke stanici B. Ako stanica A osluškuje kanal, ona ništa neće čuti i pogrešno će zaključiti da može poslati podatke stanici B. Ta odluka dovodi do kolizije. U suprotnoj situaciji (slika desno) postoji problem izloženog terminala. U ovom slučaju stanica B želi da pošalje podatke stanici C i zato osluškuje kanal. Kada začuje emisiju, pogrešno zaključuje da ne smije slati podatke stanici C, dok u stvari to A možda šalje podatke stanici D (nema je na slici). Ta odluka dovodi do propuštanja prilike za slanje. Da bi se smanjile dvosmislenosti o tome koja stanica emituje, definiše da se osluškivanje kanala sastoji i od fizičkog i od virtualnog osluškivanja. Fizičkim se provjerava da li na mediju postoji validan signal. Virtualno osluškivanje znači da svaka stanica prati vektor za dodjelu mreže (Network Allocation Vector, NAV) da bi logički bilježila vrijeme zauzeća kanala. Svaki okvir ima polje NAV, koje kazuje koliko će trajati izvršavanje sekvence čiji je okvir dio. Stanice koje oslušnu taj okvir znaju da će kanal biti zauzet tokom vremena na koje ukazuje njegov NAV, bez obzira da li čuju fizički kanal. Na primjer, NAV okvira podataka sadrži i vrijeme potrebno za slanje potvrde. Sve stanice koje čuju taj okvir podataka uzdržaće se od slanja tokom perioda potvrde, bez obzira na to da li čuju samu potvrdu.

12 Neobavezan mehanizam RTS/CTS (Request To Send/Clear To Send) upotrebljava NAV kako bi spriječio terminale da okvire šalju u isto vrijeme kada i skriveni terminali (donja slika). Stanica A želi poslati okvir stanici B. Stanica C je u dometu stanice A (vjerovatno i u dometu stanice B, ali to nije bitno). Stanica D je u dometu stanice B ali ne i u dometu stanice A. Protokol počinje tako što stanica A želi poslati podatke stanici B. Ona svoju želju saopštava tako što stanici B šalje RTS okvir tražeći dozvolu da joj pošalje podatke. Ako stanica B primi zahtjev, ona odgovara okvirom CTS kojim kaže da je kanal slobodan za slanje. Po prijemu CTS okvira, stanica A šalje okvir s podacima i aktivira ACK tajmer. Kada primi okvir sa podacima u ispravnom stanju, stanica B odgovara ACK okvirom, čime se razmjena završava. Ako se ACK tajmer stanice A automatski isključi prije nego što stigne potvrda o prijemu (ACK), tretira se kao kolizija i cijeli protokol se ponavlja nakon obavljenog odustajanja. Kako ovu razmjenu vide stanice C i D? Stanica C je u dometu stanice A, pa može da primi njen RTS okvir. Ako ga primi, zna da će neko brzo slati i podatke. Na osnovu informacija iz RTS zahtjeva, ona može da odredi trajanje razmjene, uključujući i vrijeme potrebno za stizanje potvrde o prijemu. Zato se zbog općeg dobra uzdržava od emitovanja sve dok se ta razmjena ne završi. To postiže ažuriranjem svog zapisa vektora za dodjelu mreže kojim ukazuje da je kanal zauzet (gornja slika). Stanica D ne čuje okvir RTS, ali čuje okvir CTS, pa i ona ažurira svoj NAV. Treba imati na umu da se signali NAV ne emituju to su samo interni podsjednici da stanica treba da se tokom izvjesnog vremena utiša. Međutim, iako RTS/CTS lijepo zvuči u teoriji, u praksi se pokazao od male koristi. Nekoliko je razloga. Ne pomaže kada su u pitanju kratki okviri (koji se šalju umjesto RTS), niti za pristupne tačke, koje po definici svi mogu čuti. U ostalim situacijama samo usporava rad. Ovaj mehanizam pomaže samo sa skrivenim terminalima kojih je načešće malo, a CSMA/CA im već pomaže usporavanjem stanica koje neuspješno emituju, koji god da je razlog za to, da bi povećao vjerovatnoću uspjeha. Srž protokola je CSMA/CA sa fizičkim i virtualnim osluškivanjem. Struktura okvira u mreži Standard definiše tri klase okvira za bežični prenos: okvire za podatke, kontrolne okvire i upravljačke okvire. Zaglavlje okvira svake klase sadrži više polja koja se koriste u MAC podsloju. Primjer je format okvira s podacima prikazan na donjoj slici. Na početku je Kontrolno polje, koje ima 11 potpolja. Prvo od njih je Verzija protokola (zasad je zadana vrijednost 00). Ono omogućava da se buduće verzije protokola istovremeno izvršavaju u istoj ćeliji. Zatim, dolaze potpolja Tip (podaci, kontrola ili upravljanje) i Podtip (npr. RTS ili CTS). Za običan okvir s podacima (bez garantovanog kvaliteta usluge) ova potpolja imaju binarne vrijednosti 10 odnosno Bitovima Ka DS i Od DS naznačava da li se okvir upućuje ka mreži povezanoj sa pristupnim tačkama ili od nje; mreža je nazvana distribucioni sistem, DS. Bitom Još frag. se kaže da slijedi još fragmenata. Bit Ponovo označava ponovno slanje ranijeg okvira. Bit Napajanje kaže da pošiljalac ida u power-save mod. Bitom Još podataka kaže se da pošiljalac ima još okvira za primaoca. Bit Zaštićeno kaže da je tijelo okvira zaštićeno šifrovanjem. Na kraju, bit

13 Redoslijed saopćava primaocu da viši sloj očekuje da će ta sekvenca okvira stići do njega redoslijedom kojim je bila poslana. Drugo polje, Trajanje, ukazuje na to koliko će okvir i potvrda za njega zauzimati kanal, mjereno u mikrosekundama. To polje postoji u svim vrstama okvira, dakle i u kontrolnim okvirima; na osnovu njega stanice određuju dužinu svog NAV intervala. Sljedeće su adrese. Okviri s podacima poslani pristupnoj tački ili od nje imaju tri adrese, sve u standardnom formatu IEEE 802. Prva adresa je primalac, a druga pošiljalac, ali šta predstavlja treća? Ne smije se zaboraviti da je pristupna tačka prosto međustanica okvirima na njihovom putu između klijenta i neke druge tačke mreže, koja može biti neki udaljeni klijent ili Internet portal. Treća je adresa te udaljene tačke. ( forums.cisco.com/document/52391/80211-frames-starter-guide-learn-wireless-sniffertraces; Polje Redni broj okvira omogućava otkrivanje duplikata. Od 16 raspoloživih bitova, njih 4 označavaju fragmente, a 12 preostalih sadrže broj koji se povećava za 1 u svakom novom prenosu. Polje Podaci sadrži do 2312 bajta korisničkih podataka. Prvi bajtovi su kontrola logičke veze (Logical Link Control, LLC). Taj sloj je ljepilo koje identifikuje protokol višeg sloja (npr. IP) kojem treba proslijediti korisničke podatke. Posljednji je uobičajeni Kontrolni zbir okvira, 32-bitni CRC (Cyclic Redundancy Check). Širokopojasni bežični prenos Uporedo sa izlaskom državnih telefonskih kompanija u privatne ruke, novim vlasnicima je u mnogim zemljama dozvoljeno da nude lokalne usluge prenosa glasa i brzog povezivanja na Internet. Izvjesno je da se takve usluge mnogo traže. Problem je, međutim, u tome što je razvlačenje optičkog ili koaksijalnog kabla do miliona domova i poslovnih prostora izuzetno skupo. Šta u takvim situacijama treba uraditi investitor? Prvi odgovor je širokopojasna bežična mreža. Postavljanje velike antene na brdu iznad grada mnogo je lakše i jeftinije od kopanja mnoštva kanala i razvlačenja kablova. Zato su kompanije počele eksperimentisati sa obezbjeđivanjem visokobrzinske usluge bežičnog prenosa glasa, Interneta, filmova na zahtjev itd. Da bi stimulisao tržište, IEEE je formirao komitet za standardizaciju širokopojasnog bežičnog MAN-a. Naredni raspoloživ broj u sistemu mreža 802 bio je Nezvanično ime ove tehnologije je WiMAX (Worldwide Interoperability for Microwave Access), Prvi standard za usvojen je u decembru godine. Prve verzije su definisale bežičnu lokalnu petlju (wireless local loop) između fiksnih tačaka, međusobno optički vidljivih. Taj je dizajn uskoro promijenjen da bi WiMAX postao konkurentija alternativa kablovskoj (koaksijalnoj) mreži i digitalnoj pretplatničkoj liniji (DSL) za pristupanje Internetu. U januaru godine standard je revidiran da bi podržao veze bez međusobne optičke vidljivosti, korištenjem tehnologije OFDM na frekvencijama između 2 i 10 GHz. Time znatno olakšana primjena, mada su i dalje stanice morale biti fiksne. Širenje 3G mreža mobilne telefonije ugrozilo je WiMAX nudeći i pokretljivost i velike brzine prenosa podataka. Kao odgovor, u decembru godine standard je ponovo ojačan da bi podržao pokretljivost. Novije verzije možete naći na:

14 Arhitektura i skup protokola mreže Arhitektura mreže prikazana je na donjoj slici. Bazne stanice su neposredno povezane sa backbone mreže provajdera, koja je povezana sa Internetom. Bazne stanice komuniciraju sa stanicama kroz bežični interfejs tj. vazduh. Postoje 2 vrste stanica. Pretplatničke stanice stoje na fiksim lokacijama, npr. takav je širokopojasni pristup Internetu za kuće. Pokretne stanice, npr. kola opremljena WiMAX-om, mogu primati uslugu u pokretu. Na donjoj slici prikazan je skup protokola mreže koji se upotrebljava za bežični interfejs. Njegova opća struktura odgovara mrežama serije 802, osim što ovdje ima više podslojeva. Krajnji donji podsloj upravlja prenosom (prikazani su samo popularni dijelovi , fiksni i pokretni WiMAX). Svaki dio ima drugačiji fizički sloj. Oba sloja rade u licenciranom dijelu spektra ispod 11 GHz i upotrebljavaju OFDM, ali na različite načine. Iznad fizičkog prenosnog sloja nalazi se sloj veze podataka, koji se dijeli na tri podsloja. Najniži je zadužen za privatnost i sigurnost, što je mnogo važnije za javni spoljni saobraćaj nego za privatni razgovor unutar četiri zida. Upravlja (de)šifrovanjem i ključevima. Srednji podsloj je zajednički dio MAC podsloja. U njemu su smješteni glavni protokoli, kao što je upravljanje kanalom. Model predviđa da bazna stanica potpuno upravlja cijelim sistemom. Ona može vrlo efikasno da raspoređuje kanale za saobraćaj ka korisnicima (pretplatničkim stanicama), a glavni je dispečer i za kanale kojima joj korisnici (pretplatničke stanice) upućuju poruke. Za razliku od drugih protokola serije 802, ovaj MAC podsloj je potpuno usmjeren na uspostavljanje direktne veze jer mu je glavni cilj da obezbijedi kvalitetne telefonske i multimedijske usluge. Podsloj specifičnih usluga konvergencije zamjenjuje podsloj za upravljanje logičkom vezom u drugim 802 protokolima. On treba da obezbijedi interfejs ka mrežnom sloju. Definisani su razni slojevi konvergencije koji trebaju da se potpuno neprimjetno integrišu sa različitim gornjim slojevima. Od njih je najvažniji IP, mada standard definiše preslikavanja i za protokole kao što je Ethernet. Pošto IP ne uspostavlja direktnu vezu a MAC podsloj mreže je uspostavlja, taj sloj mora da preslikava adrese u veze i obrnuto. Protokol MAC podsloja mreže Već je gore prikazano da je sloj veze podataka podijeljen u tri podsloja. Vidjeli smo da se nepovredivost svih prenijetih podataka postiže njihovim šifrovanjem. Pri tome, u svakom okviru se šifruju samo korisnički podaci, a ne i zaglavlje. To znači da onaj ko prisluškuje može utvrditi ko s kim razgovara ali ne može da otkrije sadržaj konverzacije. Sljedeći je zajednički dio MAC podsloja. Ovaj MAC podsloj uspostavlja direktnu vezu jedne tačke sa više tačaka, što znači da jedna bazna stanica komunicira sa više pretplatničkih stanica. Dobar dio ovog dizajna je pozajmljen od kablovskih modema gdje jedan kablovski

15 headend upravlja prenosom više kablovskih modema koji se nalaze u prostorijama korisnika. Kanal za prenos ka korisniku radi prilično jednostavno. Bazna stanica upravlja vremenskim intervalima fizičkog sloja, tokom kojih se podaci šalju raznim pretplatničkim stanicama. U ovo strukturu MAC podsloj jednostavno pakuje svoje okvire. Postoji nekoliko mogućnosti da se smanje sistemski (nekorisnički) podaci. Na primjer, MAC okviri se mogu slati pojedinačno ili tijesno spakovani u grupu. Kanal za prenos ka baznoj stanici složeniji je jer se za njega nezavisno nadmeće više pretplatnika. Njegovo dodijeljivanje usko je vezano za kvalitet usluge, koji se razvrstava u četiri klase: 1. Usluga sa konstantnom brzinom prenosa; 2. Usluga sa promjenjivom brzinom prenosa u realnom vremenu; 3. Usluga sa promjenjivom brzinom prenosa koja se ne izvršava u realnom vremenu; 4. Najbolja moguća usluga. Sve usluge u mreži izvršavaju se uz uspostavljanje direktne veze. Svakoj se vezi pridružuje jedna od navedenih klasa usluge tek kada se veza uspostavi. To je drugačije nego u mreži ili Ethernetu, gdje se u MAC podsloju ne uspostavlja veza. Usluga sa konstantnom brzinom namijenjena je prenosu nekomresovanog govora. Ona treba da pošalje određenu količinu podataka služeći se vremenskim intervalima koji se unaprijed dodijeljuju vezi ovog tipa. Kada se tako obezbijedi potreban propusni opseg, vremenski intervali su automatski raspoloživi nije potrebno zahtijevati ih pojedinačno. Prenos promjenjivom brzinom u realnom vremenu koristi se za kompresovan multimedijski sadržaj i druge interaktivne, ali nezahtijevne aplikacije, jer se u takvim slučajevima potreba za propusnim opsegom neprestano mijenja. Usluga se realizuje tako što bazna stanica periodično poziva pretplatnika da bi saznala koliki mu je propusni opseg potreban sljedećeg trenutka. Treća klasa prenosa rezervisana je za dugotrajno slanje (slanje dugih datoteka). Tokom ove usluge bazna stanica često poziva pretplatnika, ali ne u nekim strogo propisanim intervalima. Veza promjenjivom brzinom koja se ne izvršava u realnom vremenu može se obaviti tako što se propusni opseg zatraži najboljom mogućom uslugom. Najbolja moguća usluga koristi se za sve ostalo. Pozivi se ne šalju i za propusni opseg se ravnopravno takmiče svi pretplatnici na ovu uslugu. Oni svoje zahtjeve smještaju u za to predviđene rafale u mapi sadržaja ka baznoj stanici. Ako zahtijev bude prihvaćen, bazna stanica će to naznačiti u sljedećoj mapi saobraćaja ka korisnicima. U suprotnom, pretplatnici kojima zahtjev nije prihvaćen moraće kasnije ponovo da ga pošalju. Da bi se prorijedila kolizija, koristi se Ethernet algoritam binarnog eksponencijalnog odustajanja. Struktura okvira u mreži Svi MAC okviri počinju zaglavljem iste strukture, a iza njega mogu da slijede korisnički podaci i kontrolni zbir (CRC); donja slika. Korisnički podaci se ne očekuju na primjer u sistemskim okvirima pomoću kojih se zahtijeva vremenski interval. Također, kontrolni zbir nije obavezan: greške se ispravljaju u fizičkom sloju, a pri prenosu u realnom vremenu nikada se ne primjenjuje ponovno slanje okvira. Ako nema ponovnog slanja čemu onda služi kontrolni zbir? Međutim, ako postoji kontrolni zbir, i potvrde i ponovna slanja se koriste radi pouzdanosti.

16 Slika (a). Bit EC govori jesu li korisnički podaci šifrovani (encrypted). Polje Tip određuje vrstu okvira, a najčešće to da li je primijenjeno pakovanje ili fragmentiranje. Bit CI ukazuje na (ne)postojanje ukupnog kontrolnog zbira (za čitav okvir). U polju EK naznačava se eventualni ključ za šifrovanje. Dužina je dužina okvira uključujući zaglavlje, a Identifikatorom veze okvir se pridružuje odgovarajućoj vezi. Na kraju dolazi Kontrolni zbir koji se izračunava pomoću polinoma x 8 +x 2 +x+1. Protokol ima mnogo vrsta okvira. Na gornjoj slici (b) prikazan je primjer okvira kojim se zahtijeva propusni opseg. On počinje bitom 1 umjesto 0, a inače ima strukturu sličnu normalnom okviru, osim što drugi i treći bajt obrazuju 16-bitni broj kojim se saopštava propusni opseg potreban za prenos određenog broja bajtova. Okviri sa zahtjevom za dodjelu propusnog opsega ne sadrže korisničke podatke, niti ukupan korisnički zbir. Literatura Preuzeto iz: Andrew S. Tanenbaum, David J. Wetherall, Računarske mreže, prevod petog izdanja, Mikro knjiga Beograd, 2013.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

4 ETHERNET. 4.1 Uvod. 4.2 Elementi Ethernet mreže

4 ETHERNET. 4.1 Uvod. 4.2 Elementi Ethernet mreže 4 ETHERNET 4.1 Uvod Ethernet je najviše korišćena mrežna tehnologija u LAN. Originalni Ethernet je razvijen 1970. godine u Xerox Corporation kao eksperimentalna mreža sa koaksijalnim kablom koja je radila

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

5 TOKEN RING. 5.1 Uvod

5 TOKEN RING. 5.1 Uvod 5 TOKEN RING 5.1 Uvod Standardi za prstenaste mreže sa žetonom (TR - Token Ring) su nastali od strane nekoliko proizvođača, ali su preovladale IBM TR mreže. TR mreže imaju dobre performanse pri velikim

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα