10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA"

Transcript

1 10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA Ispitivanja primenom elektrona zasnivaju se na rezultatima interakcija primarnih (upadnih) elektrona iz upadnog snopa i ispitivanog uzorka pri kojima nastaje niz signala koji se koriste za dobijanje informacija o ispitivanom uzorku. Da bi se razumele metode ispitivanja zasnovane na primeni elektrona neophodno je poznavanje pomenutih interakcija. VRSTE INTERAKCIJA ELEKTRONA SA MATERIJALOM Sve interakcije mogu se svrstati u dve grupe interakcija, tj. sudara: elastični i neelastični sudari. Elastična interakcija - pri ovoj vrsti interakcije energija upadnog elektrona ne prenosi se na uzorak. Kao rezultat interakcije energija elektrona koji napušta uzorak se ne menja. Međutim usled dejstva Kulonovih privlačnih sila jezgro atoma uzorka može skrenuti upadni elektron sa putanje, ali se interakcija smatra elastičnom kada je promena energije upadnog elektrona zanemarljiva (ΔE < 1 ev) i ispod praga je detekcije (1). Neelastična interakcija predstavljaju interakcije tokom kojih primarni elektroni gube količinu energije koja se može detektovati. Postoji veliki broj neelastičnih sudara koji uzrokuju prenos energije sa primarnog elektrona na atom ili elektron uzorka, a neki od njih su (2): eksitacija valentnog elektrona, eksitacija unutrašnjih elektrona, rasejavanje fonona i rasejavanje plazmona. Kao posledica opisanih interakcija iz ispitivanog uzorka se emituju razičite vrste fotona i elektrona i može da dolazi i do difrakcije elektrona. Merenjem karakteristika ovih čestica kao što su pravac, energija, talasna dužina dobijaju se informacije o uzorku. Prilikom interakcije elektronskog snopa sa nekim materijalom do interakcije elektrona sa atomima materijala dolazi u jednoj zapremini koja je oblika kruške (slika 10.1 a). Vrste čestica koje se detektuju pri ispitivanju masivnih uzoraka, kao i dubina sa koje se javljaju prikazane su na slici 10.1 a. Pored ovih čestica kod tankih uzoraka detektuju se još i transmitovani (propušteni) elastično i neelastično rasejani elektroni (slici 10.1 b). a) b) Slika 10.1 a) čestice koje se detektuju kod masivnih komada i oblasti iz kojih se dobijaju; b) čestice koje se detektuju kod tankih komada (3) -1-

2 Sekundarni elektroni Sekundarni elektroni se definišu kao elektroni koji napuštaju uzorak sa energijom manjom od 50eV. To mogu biti i primarni elektroni koji su na samom kraju svog puta dostigli površinu uzorka pri čemu su do tog trenutka izgubili značajan deo svoje prvobitne energije. Međutim, mnogo veća verovatnoća je da su to elektroni uzorka koji su neelastičnim sudarom izbijeni sa površine uzorka (slika 10.2 a). Kako je energija ovakvih elektrona veoma mala ( 5 ev) do detektora mogu dospeti samo oni elektroni koji se nalaze na samoj površini uzorka (reda veličina 10 nm) (slika 10.1 a i 10.2 b). Prinos sekundarnih elektrona zavisi od nagiba površine sa koje ti elektroni dolaze. Ova činjenica iskorišćena je u skenirajućem elektronskom mikroskopu (SEM-u) gde se sekundarni elektroni koriste za utvrđivanje topografije površine nekog uzorka. a) b) Slika 10.2 Najčešći način nastanka sekundarnih elektrona i dobijanje topografije uzorka (4) Povratno rasejani elektroni Ako pri kretanju kroz uzorak upadni elektron dodje do jezgra, ulazi u,,privremenu orbitu oko jezra, odakle biva izbačen pod uglom većim od 90 u odnosu na upadni pravac (slika 10.3 a). Povratno rasejani elektroni koji napuste površinu uzorka uglavnom gube jako malo energije, tako da se svi detektovani elektroni sa energijom većom od 50 ev smatraju povratno rasejanim elektronima. Ugao skretanja povratno rasejanih elektrona zavisi od energije upadnih elektrona i atomskog broja Z, dok njihov broj zavisi od vrste atoma (Z) i upadnog ugla. Ova činjenica se u SEM-u koristi za stvaranje slike površinske topografije, a pre svega za kvalitativnu hemijsku analizu ispitivanog uzorka. Tamo gde se njegov hemijski sastav sastoji od većeg broja težih elemenata slika na SEM-u će biti svetlija. a) b) Slika 10.3 Nastanak povratno rasejanih elektrona (4) -2-

3 Karakteristični x-zraci i Ožeovi (Auger) elektroni Upadni elektron tokom svog putovanja putem neelastičnog sudara može predati elektronu atoma uzorka određenu energiju. Ukoliko primi dovoljno energije elektron atoma uzorka izaćiće iz atoma koji postaje jonizovan, tj. nalazi se u pobuđenom (eksitovanom) stanju. Da bi se uspostavila ravnoteža elektron iz višeg energetskog nivoa prelazi na mesto izbačenog elektrona. Pri ovom procesu nastaje višak energije koji mora da se oslobodi na određeni način. Taj višak energije odgovara razlici energije dva energetska nivoa, a može se osloboditi nastankom karakterističnih X- zraka ili Ožeovih elektrona (slika 10.4 ). Karakteristični x-zraci - kada spoljašnji elektron pređe u unutrašnju ljusku on razliku energije između dva stanja može osloboditi u vidu X-zraka (slika 10.4 a). Energija dobijenog X-zraka je karakteristična za određenu vrstu atoma tj. za dati hemijski element. a) b) Slika 10.4 Način nastajanja karakterističnih X-zraka i Auger elektrona (5) Ožeovi elektroni - višak energije koju poseduje elektron koji je prešao iz višeg u niži energetski nivo može se predati nekom drugom elektronu. Ukoliko primi energiju veću od energije veze ljuske u kojoj se nalazi elektron će napustiti atom. Ovako nastali elektron naziva se Ožeov elektron. Na ovaj način pobuđeni atom postaje dvostruko jonizovan (slika 10.4 b). Energija Ožeovog elektrona odgovara razlici energija pobude i energija veze ljuske iz koje elektron potiče. Ova razlika energija karakteristična je za hemijski element i osnova je Ožeove spektroskopije. Pošto Ožeovi elektroni imaju vrlo nisku energiju uzorak mogu napustiti samo oni koji se nalaze u tankom površinskom sloju ispitivanog uzorka (ispod 3-5 nm). Zakočno zračenje Upadni elektron može da se uspori usled dejstva Kulonove sile jezgra atoma. Pri ovoj interakciji energija koju elektron izgubi odaje se u vidu x-zraka. Nastali x-zrak može imati bilo koju vrednost energije koja je manja ili jednaka energiji upadnog snopa elektrona. Ovakvo zračenje naziva se zakočno zračenje jer se elektroni koče, kontinualno zračenje jer x-zraci imaju kontinualan niz energija, belo zračenje jer je reč o polihromatskom zračenju i često se u naučnim krugovima koristi nemačka reč Bremštralung (Bremsstrahlung). TEM - TRANSMISIONA ELEKTRONSKA MIKROSKOPIJA Princip da elektronski snop iz nekog izvora može da prođe kroz veoma tanak sloj materijala i da se tom prilikom dese promene karakteristika tog snopa je princip koji se iskorišćava u transmisionoj -3-

4 elektronskoj mikroskopiji (TEM). Pricnip rada transmisionog elektronskog mikroskopa sličan je principu rada projektora sa slajdovima. Kod projektora se snop svetlosti propušta kroz slajd, pri čemu u zavisnosti od objekata koji se nalaze na slajdu, samo određeni deo svetlosti prolazi kroz određeni deo slajda i na taj način se obrazuju svetlija i tamnija polja na slici. Transmitovani snop se projektuje na ekran i stvara uvećanu sliku slajda. Kod TEM-a se umesto snopa svetlosti koristi snop elektrona koji se propuštaju kroz tanki uzorak. Elektroni koji prođu kroz uzorak (transmitovani elektroni) projektuju se na fluoroscentnom ekranu ili se detektuju fotoosetljivim čipovima (slika 10.5 ). Usled prolaska elektrona kroz uzorak doći će interacije elektrona sa materijalom usled čega će na nekim delovima ispitivane površine dolaziti do manjeg ili većeg prolaska elektrona zbog čega će se na slici dobijati zone različite svetline (odnosno dobijati kontrast slike). Opisani princip rada sreće se takođe kod svetlosnih mikroskopa (slika 10.5 ) čije je uvećanje ograničeno velikom talasnom dužinom svetlosti (450 nm). Zahvaljujući maloj talasnoj dužini elektrona u TEM-u se postiže vidljivost detalja ispod 0,2 nm što odgovara uvećanju od x. Najmoderniji uređaji postižu ispod atomsku rezoluciju odnosno od 0,08 nm, tj. uvećanje od x (6). To su uvećanja koja su milion puta i više puta veća od razlučivanja ljudskog oka. a) b) Slika 10.5 Poređenje principajlne šeme a) svetlosnog, i b) transmisionog elektronskog mikroskopa TEM Nastanak kontrasta u transmisionom elektronskom mikrokopu (TEM) Osnovni mehanizam nastanka kontrasta zasniva se na elastičnoj intereakciji upadnih elektrona i atoma ispitivanog uzorka. Verovatnoća da će se elektron skrenuti sa početne putanje povećava se sa povećanjem naelektrisanja, tj. mase atoma. Stoga će oblasti u kojima se nalaze teži atomi biti tamnije -4-

5 od oblasti u kojima se nalaze lakši atomi. Ovakav kontrast naziva se maseni kontrast čija je šema nastanka ilustrovana na slika 10.6 a. a) b) Slika 10.6 Šematski prikaz nastanka masenog kontrasta i kontrasta debljine (7) Broj skretanja zavisi od broja atoma na koje nailazi upadni snop elektrona, stoga je broj rasejanih elektrona veći kod debljih uzoraka. Na snimku, deblji segmenti nekog materijala izgledaju tamnije od tankih segmenata istog materijala (slika 10.6 b). Nastali kontrast naziva se kontrast debljine. Oba opisana kontrasta nose naziv kontrast mase i debljine (eng. mass-thickness contrast). Međutim, ukoliko je ispitivani uzorak kristalan javlja se i treća vrsta kontrasta, difrakcioni kontrast. Slike se na TEM mikroskopu mogu dobiti u dva režima: u svetlom polju (eng. bright field imaging) - BF u tamnom polju (eng. dark field imaging) - DF Snimanje u svetlom polju - u formiranju slike učestvuju samo elektroni koji su prošli kroz uzorak bez skretanja. Postavljanjem blende (aperture) u zadnju fokusnu ravan sočiva objektiva blokiraju se difraktovani ( skrenuti ) elektroni, a kroz mali otvor propuštaju samo elektroni iz direktnog snopa (slika 10.7 a). Ako je ispitivan uzorak kristalan u stvaranju slike učestvuju sva tri kontrasta -5-

6 istovremeno što ponekad može otežati interpretaciju dobijenog kontrasta. One zone kristala u kojima se talasi difraktuju pod velikim uglom na slici će biti tamne. Snimanje u tamnom polju - upadni snop elektrona se naginje pod uglom 2Θ u odnosu na optičku osu mikroskopa tako da određeni difraktovani snop napusti uzorak paralelno optičkoj osi (slika 10.7 b). U ovom slučaju blenda (apertura) blokira direktni snop. Za razliku od diretknog snopa, difraktovani snop čine elektroni koji su intereagovali sa kristalnom rešetkom uzorka i zahvaljujući tome se mogu dobiti važne informacije iz DF o kristalografili uzorka ravanskim greškama, prisustvu čestica itd. U formiranju slike učestvuje difraktovani snop koji je nastao difrakcijom od tačno odeđene ravni (npr. 111, 220). Stoga DF slika nije samo inverzna BF slika. Na slici 10.8 prikazane su BF i DF slike TiAl(N,O) prevlake na oksidisanoj podlozi silicijuma. Istovremenim sagledavanjem BF i DF slika mogu se dobiti korisne informacije o strukturi i morfologiji, može se odrediti debljina pojedinih slojeva, veličina i orijentacija zrna itd. a) b) Slika 10.7 Nastanak kontrasta a) u svetlom, b) u tamnom polju (8) Slika 10.8 BF i DF slika TiAl(N,O) prevlake na oksidisanoj podlozi(8) -6-

7 Na slici 10.9, slika svetlog polja nastala je kontrastom mase i debljine pri čemu i difrakcioni kontrast takođe utiče na kontrast slike koja se formira. Na slikama svetlog polja (BF) jasno se vidi slojevita struktura poprečnog preseka TiAlSiN prevlake jer se u različitim slojevima javljaju različiti hemijski elementi. Ovo je nanostrukturna prevlaka kod koje postoje nanokristali vidljivi sa sa većim uvećanjima i/ili očigledniji u režimu tamnog polja (DF). S obzirom na to da do difrakcije elektrona dolazi od kristalne rešetke materijala, u režimu rada sa tamnim poljem (DF), svetle tačke na slici predstavljaju kristale na kojima je došlo do difrakcije elektrona u materijalu, od odabrane kristalografske ravni. Najsavremeniji TEM mikroskopi danas mogu imati atomsku rezoluciju kojom se dobija uvid u raspored atoma u materijalu (HRTEM), kao što je to prikazano na slici Na toj visokorezolucionoj slici mogu se primetiti nanokristali koji su zaokruženi lininijama i za koje je određena orijentacija određene kristalografske ravni. Slika 10.9 TEM snimak poprečni presek nanoslojne TiAlSiN prevlake. Primer iste površine snimljene tehnikom svetlog polja BF, tehnikom tamnog polja DF i visokorezolucionom TEM tehnikom HRTE), atomske rezolucije Slika prikazuje način rada sočiva prilikom obrazovanja klasične i difrakcione TEM slike. Za razliku od klasične TEM slike gde se vidi struktura materijala, kod difrakcione slike se dobijaju slike sa -7-

8 tačkama i prstenima odakle se mogu odrediti sve kristalografske ravni koje postoje u ispitivanoj zoni materija (prevlake). a) b) Slika Sistem sočiva u transmisionom elektronskom mikrokopu, principi nastanka i primeri klasične BF i difrackcione slike (difrakcioni prstenovi) -8-

9 Kod dobijanja klasične TEM slike fokus je podešen na ravan prve slike (međuslike 1 na slici b), međutim ukoliko se fokus podesi na zadnju fokusnu ravan, transmitovani elektronski mikroskop radi u tzv. difrakcionom režimu u kome se dobijaju difrakcioni snimci (slika a). Ako se ukloni blenda sa zadnje fokusne ravni i propuste se istovremeno direktni i difraktovani zraci, dobija se snimak faznog kontrasta, pošto su direktni i difraktovani zraci fazno pomereni. Da bi elektroni prošli kroz ispitivani uzorak i da bi se tako dobio TEM snimak debljina uzorka treba biti ispod 1 μm a poželjno i ispod 100 nm (a ispod 10 nm za HRTEM). Uzorak se može istanjivati: hemijskim putem - nedostatak je nejednako nagrizanje različitih faza, elektropoliranjem - koje se često koristi i jonskim bombardovanjem - spora tehnika, ali jedina primenjiva kod keramika i poluprovodnika. EPMA - ELEKTRONSKA MIKRO ANALIZA Elektronska mikro analiza (eng. Electron Probe Micro Analysis) koristi se za određivanje hemijskog sastava ispitivanog uzorka. Zbog svoje veoma niske cene i sveprisutnosti poznata je kao najčešće korišćena metoda određivanja hemijskog sastava. S obzirom na ograničenu preciznost, naročito u pogledu prevlaka, u inženjerstvu površina se koristi samo kao brza početna analiza dobijenih rezultata. Instrumentacija potrebna za elektronsku mikro analizu gotovo je identična instrumentaciji prisutnoj u SEM-u, stoga se mikro analiza najčešće vrši u SEM-u kome su pridodati odgovarajući detektori (slika 10.11). Princip rada se zasniva na izlaganju ispitivanog uzorka snopu elektrona i detektovanju nastalih karakterističnih x-zraka. U zavisnosti od načina detekcije x-zraka razlikuju se dve metode elektronske mikro analize: EDS/EDX - energetska disperzivna spektroskopija (slika 10.11a) WDS/WDX - talasna disperzivna spektroskopija (slika 10.11b). Slika Šema EDS i WDS uređaja (9) -9-

10 EDS/EDX Kod ovih tehnika se vrši merenje enerergije x-zraka koji su nastali interakcijom elektronskog snopa i atoma ispitivanog materijala (Slika 10.4a). Na osnovu energije x-zraka može se zaključiti o kom se elementu radi (kvalitativna analiza), a na osnovu broja pristiglih fotona jedne iste energije određuje se koliko detektovanog elementa ima (kvantitativna analiza). Kada x-zrak udari u detektor (Si, Li) stvara se slaba struja izbijanjem elektrona iz poluprovodnika. Merenjem struje koju proizvede svaki x-zrak može se odrediti energija tog x-zraka. Kao izlazna informacija dobija se EDS spektar koji predstavlja broj x-zraka detektovanih na određenoj energiji. WDS/WDX Kod ove metode se x- zraci razdvajaju prema njihovoj talasnoj dužini koja se meri principima difrakcije X-zraka odnosno Bragovog zakona (Slika 10.4a). Spektrometar pomoću koga se vrši analiza sastoji se od analizirajućeg kristala i detektora. Od svih x-zraka koji dođu do kristala detektuju se samo oni koji zadovolje uslove difrakcije (Bragov zakon). Da li će se x-zrak difraktovati zavisi od njegove talasne dužine, orijentacije kristala i vrste kristala (konstante kristalne rešetke). Za jedan kristal i jedan položaj kristala mogu se detektovati x-zraci samo jedne talasne dužine. Ukoliko se žele detektovati x-zraci neke druge talasne dužine mora se promenuti položaj kristala i detektora. Pošto se u jednom određenom momentu može detektovati samo jedna talasna dužina najčešće se koriste više spektrometara istovremeno kako bi se povećala efikasnost detekcije. WDS uređaji najčešće imaju do pet spektrometara (kristala) tako da mogu detektovati do pet elemenata istovremeno. Svaki spektrometar opremljen je sa nekoliko kristala različitih rešetki, jer svaki od kristala može da difraktuje samo određeni broj različitih talasnih dužina. Prednosti i nedostaci EDS i WDS analize: Brzina analize spektra - prednost EDS-a je brza analiza gde se pritiskom na jedno dugme može analizirati kompletan spektar hemijskih elemenata. Sa druge strane kod WDS se u datom trenutku mogu detektovati samo oni elementi za koje su podešeni spektrometri, analiza svih elemenata zahteva veliki broj podešavanja spektrometara. Energetska rezolucija - Kod WDS analize preklapanje pikova (maksimuma) sličnih energija znatno je manje izraženo nego kod EDS analize. Slika 10.12a prikazuje poređenje EDS i WDS spektra dobijenih na Pt-Au-Nb leguri. Na WDS spektru mogu se identifikovati šest x-zraka, pri čemu se preklapanje pojavilo samo između Au M α i Pt M β linija. Sa ovog spektra se lako može zaključiti koliko kog elementa ima u datoj leguri. Na EDS spektru se pomenutih šest pikova pojavljuju kao jedan jedini pik koga je nemoguće razdvojiti na individualne x-zrake. Brzina brojanja i ponovljivost - Vreme potrebno za obradu jednog pulsa kod EDS analize iznosi oko µs dok kod WDS analize ono iznosi oko 0,5-1 µs. Postoje poneki EDS sistemi koji mogu brojati brže ali na račun smanjenja energetske rezolucije. Primer poređenja ponovljivosti dat je na slici 10.12b. Podaci su sakupljani istovremeno kako bi uslovi u kojima se sakupljaju bili identični. Može se videti da je rasipanje kod EDS analize 8x veće nego kod WDS analize. Stoga EDS ne može da se koristi za ozbiljniju kvantitativnu analizu. Prag detekcije - većina elemenata periodnog sistema mogu se detektovati WDS analizom ako ih ima 0,01 težinskog %, a EDS analizom ako ih ima 0,1 težinskog%. Pored ovoga lagani elementi (Be, B, C, N, O i F) mogu se bolje detektovati WDS analizom. Kod EDS-a za lakše elemente prag detekcije može pasti ispod ppm. -10-

11 a) b) Slika a) Energetska rezolucija EDS i WDS analize, b) ponovljivost pri kvantitativnoj analizi (9) Rezultati EDS i WDS analize prikazuju se u vidu spektara kao na slici 10.12a ili se vrše elementarna mapiranja. Prednost obe metode jeste mogućnost analize malog regiona koji se odabira na prethodno snimljenoj SEM ili TEM slici jer su ovakvi sistemi ispitivanja hemiskog sastava implementirani kako u SEM i FIB tako i u TEM mikroskope. EELS - SPEKTROSKOPIJA GUBITKA ENERGIJE ELEKTRONA Ova tehnika se koristi samo na tankim uzorcima koji se ispituju u transmisionim mikroskopima. EEL spektroskopija je razvijena kao odgovor na nedostatke EPM analize i naročito je pogodna za analizu lakih elementa. Prilikom prolaska kroz uzorak, elektroni koji su pretrpeli neelastičnu interakciju gube deo svoje energije. Energija koju elektron izgubi karakteristična je za određenu vrstu atoma pa se analizom gubitka energije mogu odrediti hemijski sastav i stanje atomske veze. Najčešće se analizator gubitka energije elektrona nalazi u sklopu transmisionog elektronskog mikroskopa. Kao i kod EPM analize moguće je izabrati određeni region na prethodno dobijenoj TEM slici i vršiti analizu samo tog veoma malog regiona. Rezultati analize prezentuju se u vidu karakterističnog spektra ili se vrše mapiranja hemijskih elemenata po površini. EEL spektar sastoji se od tri vrste signala (slika 10.13): Pik nultog gubitka energije (eng. zero loss peak - ZL) - daje intezitet elektrona koji su prošli kroz uzorak bez interakcije ili sa elastičnom interakcijom. Ukoliko je uzorak tanak ovaj pik je najvećeg intenziteta. Region malog gubitka energije (eng. low loss region) - ovaj region obuhvata sve gubitke energije između ZL pika i energije od ev. Ovo su tzv. plazmonski pikovi na osnovu -11-

12 kojih se može odrediti debljina uzorka. Što su ovi pikovi intenzivniji to je uzorak deblji. Intenzitet plazmonskih pikova takođe je velik. Region velikog gubitka energije (eng. high loss region) - na oko 100 ev dolazi do naglog pada u intenzitetu signala. Primetne su kontinualna pozadina eksponencijalnog oblika i posebni pikovi koji se javljaju na tačno određenim energijama. Kontinualna pozadina dolazi od elektrona koji su izgubili svoju energiju pri nastanku zakočnog zračenja x-zraka. Posebni pikovi javljaju se na gubicima energije koji odgovaraju jonizacionim gubicima sa unutrašnjih ljuski (K ljuski), ovi gubici karakteristični su za svaki element. Intenzitet signala u regionu visokog gubitka je veoma mali pa se isti mora superponirati (povećati ili pojačati). Kvalitativna analiza elemenata se vrši određivanjem vrednosti gubitka energije i upoređivanjem sa standardima, dok se po obliku pika donose zaključci o hemijskom stanju elementa. Kvantitativna analiza je složenija i zasniva se, nakon otklanjanja pozadinskog intenziteta, na merenju odnosa intenziteta jonizacionih pikova za svaki element. Slika EEL spektar TiO2. Region velikog gubitka energije sadrži signal Ti (L3 pik na 456 ev, L2 na 462 ev) i signal O (K pik na 532 ev), intenzitet signala je višestruko povećan (7). -12-

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA

9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA 9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA Da bi se dobile informacije na nivou atoma i kristalne rešetke potrebno je koristiti ispitivanja velikih rezolucija. Ovakve informacije moguće je dobiti samo ukoliko je sredstvo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Spektar X-zraka. Atomska fizika

Spektar X-zraka. Atomska fizika Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα