9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA"

Transcript

1 9. VEŽBA ISPITIVANJE X-ZRACIMA Da bi se dobile informacije na nivou atoma i kristalne rešetke potrebno je koristiti ispitivanja velikih rezolucija. Ovakve informacije moguće je dobiti samo ukoliko je sredstvo kojim se ispituje manje ili jednako u odnosu na atom, a to su njegovi sastavni delovi ili sami atomi. Stoga se za ove potrebe primenjuju elementarne čestice. Tehnike ispitivanja elementarnim česticama dele se prema vrsti elementarne čestice koja se koristi kao upadna čestica. Najčešće se u inženjerstvu površina ispitivanje vrše primenom fotona, pre svega se misli na x-zrake, zatim elektrona i jona. Primena rendgenografskih ispitivanja za analizu materijala u naučnim i praktičnim istraživanjima ima veliki značaj. Postoje mnogobrojne mogućnosti njihove primene za ispitivanje materijala bez razaranja. Stoga su rendgenografska ispitivanja pored mikroskopije najvažniji pomoćni postupak za ispitivanje prevlaka. Za praktičnu primenu je od najvećeg značaja mogućnost da se izvrši kvalitatitvna fazna analiza materijala, koja može da se identifikuje sa difraktograma. Tako se mogu dobiti informacije o veličini kristala, veličini unutrašnjih napona ili promena gustine. OSOBINE X-ZRAKA X-zraci su elektromagnetno zračenje potpuno iste prirode kao svetlost ali znatno kraće talasne dužine. Opisuju se kao fotoni sa talasnom dužinom u opsegu od 0,066 do 15 nm. X-zraci nastaju kada se naelektrisane čestice dovoljne kinetičke energije naglo uspore. Obično se u tu svrhu koriste elektroni, tako da zračenje nastaje u Rendgenskoj cevi koja sadrži izvor elektrona i dve metalne elektrode. Između tih elektroda se uspostavlja napon od nekoliko desetina hiljada volti, koji velikom brzinom privlači elektrone ka anodi, tj. meti. U tački udara tih elektrona se obrazuju x-zraci koji se rasprostiru u svim pravcima. OBRAZOVANJE X-ZRAKA X- zraci nastaju kada se metalna anoda bombarduje brzim elektronima (slika 9.1 ). Svaka Rendgenska cev (xcev) sadrži dve elektrode, anodu (metalnu metu) koja je na potencijalu zemlje i katodu koja se održava na visokom negativnom potencijalu, reda veličine do 60 kv. Slika 9.1 Šematski prikaz rendgenske cevi za stvaranje X- zraka (1) Na slici 9.1 prikazna je konstrukcija x-cevi sa vlaknom. Vlakno se zagreva pomoću toka struje i emituje elektrone koji se posredstvom visokog napona, koji je u cevi, privlače velikom brzinom ka meti. Oko vlakna je mala metalna kupa koja se održava na visokom negativnom potencijalu kao i vlakno. Ona usled toga odbija elektrone -1-

2 i ima za cilj da ih fokusira na malu usku oblast na meti. X-zraci se emituju sa mete u svim pravcima i izlaze kroz prozorčić na kućištu. Emitovano zračenje se sastoji od dve komponente (slika 9.2 ): 1. Kontinualni spektar - pruža se u širokom opsegu talasnih dužina. Ovaj spektar se naziva i belo zračenje ili zakočno zračenje, 2. Karakteristični spektar - naziva se još i linijski spektar ili karakteristično zračenje, predstavlja monohromatsko zračenje koje je karakteristično za metal mete. Slika 9.2 Kontinualni i karakteristični spektar rendgenskog zračenja (2) Prilikom udara elektrona u materijal mete mogu se desiti tri različita vida interakcije (3): 1. Upadni elektroni se sudaraju sa elektronima atoma mete koji se nalaze na višim energetskim nivoima, ali im ne predaju dovoljno energije da ih izbace iz atoma. Elektroni u spoljnim ljuskama pobuđuju se u stanje sa višom energijom. Pri vraćanju u njihovo normalno energetsko stanje emituju se infracrveni talasi. Ovaj proces konstantno se ponavlja što dovodi do zagrevanja materijala mete. Više od 99% kinetičke energije upadnih elektrona pretvara se u toplotu. 2. Upadni elektroni sudaraju se sa elektronima atoma mete koji se nalaze na nižim energetskim nivoima (unutrašnjim orbitalama) i izbacuju ih iz atoma. Upražnjeno mesto popunjava elektron sa višeg energetskog nivoa pri čemu se emituje x-zrak. Energija x- zraka jednaka je razlici energije veze elektorna iz višeg nivoa i energije veze elektrona iz nižeg nivoa. Pošto je energija veze elektrona različita za svaki element, nastali x-zraci su takodje različiti za svaki element. Ovako nastali x-zraci nazivaju se karakteristični x-zraci jer zavise od materijala mete, a spektar koji formiraju karakteristični jer je karakteristika materijala, ili diskretni jer postoji samo jedna talasna dužina za svaku varijantu prelaska elektrona sa bilo kojeg višeg na neki niži nivo. Spektri rendgenskih zraka karakterističnih linija sastoje se od više zraka, od kojih su najprodorniji oni sa kraćim talasnim dužinama, tj. većim energijama. Prelazom elektrona sa L nivoa u K nivo formiraju se Kα zraci, sa M nivoa u K nivo Kβ zraci, prelazom iz N nivoa u K nastaju Kγ zraci. Dalje, prelazom elektrona u L nivo sa M nivoa, nastaju x zraci koji se označavaju kao Lα zraci, iz N nivoa u L nivo kao Lβ zraci (9.3 ). -2-

3 Slika 9.3 Šema nastanka K i L zraka (4) Primer: Odrediti energiju karakterističnog X zraka nastalog prelaskom elektrona iz L nivoa u K nivo u atomu volframa. Rešenje: Energija veze K elektrona u volframu iznosi 69.5 kev, a L elektrona 12.1 kev. Stoga je energija emitovanog karakterističnog X-zraka = 57.4 kev. 3. Upadni elektron koji na svom putu izbegne sve elektrone atoma mete dolazi do jezgra atoma mete i interaguje sa njim. Kada prođe pored jezgra upadni elektron se skreće i menja pravac kretanja. Pri ovom međudejstvu upadni elektron gubi deo ili svu svoju kinetičku energiju u vidu x-zraka. Energija nastalog x-zraka jednaka je gubitku energije upadnog elektrona. Stoga ovako nastali x-zraci mogu da imaju čitav niz različitih energija. Najveća energija nastalog fotona odgovara potpunom gubitku energije upadnog elektrona i jednaka je kinetičkoj energiji tog elektrona. Nastali spektar naziva se kontinualni jer energije fotona mogu da se kreću od nule do nekog maksimuma ili zakočni jer dolazi do kočenja elektrona. Kontinualni spektar zavisi od veličine primenjenog napona za stvaranje x-zraka. Izbor odgovarajućeg zračenja za ispitivanja zavisi od parametra rešetke materijala uzorka, rastojanja između reflektujućih ravni, energije koja se želi uneti u uzorak itd. Najčešća karakteristična zračenja koja se koriste su data u tabeli 9.1. Tabela 9.1 Najčešće korišćena zračenja za ispitivanje x-zracima Vrsta zračenja AgKα MoKα CuKα CoKα FeKα CrKα λ (nm) Da bi se mogla vršiti ispitivanja metodama u kojima se koriste x-zraci snop zraka najčešće treba da je usmeren i monohromatski (jedne talasne dužine λ). Dobijeno zračenje je neophodno prethodno: filtriratiti da se dobije što približnije monohromatskom zračenju, usmeriti ga u jednom pravcu (izvršiti kolimaciju). Filtriranje zračenja se može vršiti: Propuštanjem X-zraka kroz upijajuće (apsorpcione) tanke folije. Na primer Cu- zračenje se filtrira kroz Ni- foliju. Odbijanjem (refleksijom) X-zraka prema Bragovom zakonu (slika 9.5 ) od monohromatora (slika 9.9 ). -3-

4 METODE ISPITIVANJA PRIMENOM X-ZRAKA Pri prodoru X-zraka u materijal može da dođe do njegove difrakcije ili se mogu izbiti elektroni. U zavisnosti od vrste čestica koje se analiziraju prilikom dejstva x-zraka razvijena dva osnovna postupka ispitivanja materijala X-zracima: XRD - metoda difrakcije x-zraka, (eng. X-Ray Diffraction), XPS - spektroskopija fotoelektrona dobijenih x-zracima (eng. X-ray Photoelectron Spestroscopy). METODA DIFRAKCIJE X-ZRAKA (XRD) Osnovni principi difrakcije Pod pojmom interferencije podrazumeva se međusobno preklapanje elektromagnetnih talasa pri kojem se talasi ili pojačavaju ili poništavaju. Do pojačavanja će doći ukoliko se poklope maksimumi jednog i maksimumi drugog talasa, tj. minimumi jednog i minimumi drugog talasa (slika 9.4 a). Ovo se dešava ukoliko je razlika u fazi dva talasa jednaka nuli ili celobrojnom umnošku talasnih dužina (nλ, n = 1,2,..). Do poništavanja dolazi ukoliko se poklope maksimumi jednog talasa, sa minimumima drugog talasa (n = 1/2, 3/2, 5/2,...) (slika 9.4 b). a) b) Slika 9.4 Pojačavanje i poništavanje talasa usled interferencije Kada se snop paralelnih x-zraka usmeri na kristalnu rešetku dolazi do njihovog odbijanja od ravni u kristalnoj rešetki. Odbijeni zraci reaguju međusobno tako da se poništavaju ili pojačavaju. Ukoliko je zadovoljen uslov da je fazna razlika jednaka celobrojnom umnošku talasnih dužina doći će do pojačavanja. Za određenu talasnu dužinu i za tačno definisano rastojanje između ravni postoji samo jedan ugao pod kojim će doći do pojačavanja, taj ugao naziva se Bragov (Bragg) ugao (slika 9.5 ). Slika 9.5 Šema Bragovog zakona Posmatrajmo dva koherentna, paralelna x-zraka (zraci 1 i 2) koji dolaze na kristal (slika 9.5 ). Ovi zraci se odbijaju pod istim uglom pod kojim su došli na posmatrane ravni u kristalu (θ). Talas koji je odbijen sa druge ravni (2 ) ima faznu razliku ACB u odnosu na talas (1 ) koji je odbijen sa prve ravni. Ukoliko je rastojanje između ravni jednako d može se na osnovu slike odrediti fazna razlika: ACB = 2d sinθ -4-

5 Do difrakcije će doći samo ukoliko je fazna razlika jednaka celobrojnom umnošku talasnih dužina, pa sledi: ACB = nλ => nλ = 2d sinθ Dobijena jednakost naziva se Bragov zakon. Primenom difrakcije x-zraka i Bragovog zakona moguća je sveobuhvatna analiza materijala. Merenjem ugla θ mogu se odrediti na primer: talasna dužina λ, ukoliko je poznato rastojanje između ravni d i na taj način hemijski sastav, rastojanje između ravni d, ako je poznata talasna dužina λ i na taj način vrsta kristalne strukture itd. METODE ISPITIVANJA DIFRAKCIJOM X-ZRAKA U zavisnosti od tipa uzorka koji se ispituje, metode se mogu podeliti na (5): metode difrakcije na uzorcima monokristala: Lauevoa (Laue) metoda, metoda rotirajućeg kristala metode difrakcije na polikristalnim uzorcima: metoda kristalnog praha Debi-Širerova (Debye-Scherrer) metoda, difraktografske metode. Laueova metoda Polihromatsko rendgensko zračenje (kontinuirani spektar različitih talasnih dužina) usmerava se na monokristal koji se drži nepokretan (slika 9.6 ). Kristal odabira i difraktuje samo one zrake, za koje talasne dužine λ, zajedno sa međuravanskim rastojanjem d postojećih ravni u kristalu i upadnim uglom θ, zadovoljavaju Bragg-ov zakon. Prema tome, u monokristalnom uzorku, određene kristalografske ravni difraktuju zrake u različitim pravcima. Fotografska ploča (film), koja se postavlja ispred ili iza kristala sa difraktovanim zracima, biva zasvetljena u određenim tačkama. Svakoj tački na filmu odgovara jedna kristalografska ravan. a) b) c) Slika 9.6 Šematski prikaz Lueove metode, a) sa povratnim zračenjem, b) sa prozračivanjem (6) Svaka tačka se indeksira tj. povezuje sa određenom kristalografskom ravni korišćenjem specijalnih grafikona. Koristi se Greninger-ov grafikon za obrazac dobijen povratnim zračenjem i Leonhardt-ov grafikon za obrasce dobijene prozračivanjem (6). Ova metoda se najviše koristi za brzo određivanje simetrije kristala i njihove orijentacije, dimenzije rešetke itd. Metoda rotirajućeg kristala Kod metode rotirajućeg kristala (slika 9.7 ) se monokristalni uzorak obrće oko nepomične ose, u snopu monohromatskih rendgenskih zraka (Kα zračenje sa poznatom talasnom dužinom λ, jednom). Upadni snop rendgenskih zraka se difraktuje od date kristalografske ravni kad god, u toku obrtanja, vrednost ugla θ zadovolji Bragg-ovu jednačinu. Na fotografskoj ploči dobijaju se interferentne crtice uređene u redove, koji leže jedne -5-

6 iznad druge, pri čemu je pravac redova normalan na pravac obrtanja kristala. Iz rastojanja redova izračunava se konstanta rešetke. Ova metoda se koristi za određivanje nepoznatih kristalnih struktura. a) b) Slika 9.7 Metoda rotirajućeg kristala a) šematski prikaz metode rotirajućeg kristala, b) razvijeni film (6) Debi-Širerova metoda - metoda praha Metoda praha gde upadno monohromatsko rendgensko zračenje pada na uzorak od finog kristalnog praha stavljenog u kapilarnu cev od posebnog stakla ili na polikristalni uzorak žice prečnika d < 1 mm. U prahu ili žici čitav niz kristala će zadovoljiti Bragg-ov uslov difrakcije i registrovaće se na kružno savijenom filmu. Refleksije neke određene kristalografske ravni od svih kristala obuhvaćenih ulaznim primarnim zrakom, leže na omotaču kupe sa vrhom lociranim na uzorku (slika 9.8 ). Na kružno savijenom filmu smeštenom u Debi-Širerovoj relativno plitkoj kameri, dobijaju se refleksije u obliku segmenata kruga. Metoda se koristi za određivanje sastava i udela pojedinih faza. Slika 9.8 Šematski prikaz Debi-Širerove metode (6) Difraktometar za polikristalne uzorke Difraktometri su napravili revoluciju u pogledu XRD ispitivanja. Za razliku od metode praha, ovde se mogu koristiti znatno veći uzorci - veličina odgovara veličini standardnog metalografskog uzorka. Film je zamenjen detektorom x-zraka koji se kreće po krugu difraktometra. Princip rada je sledeći: upadni x-zraci padaju na uzorak pod uglom θ odbijaju se od njega i detektuju se na detektoru koji se nalazi pod odgovarajućim uglom. Postoji više vrsta difraktometara kao što su Brag (Bragg)-Brentano, Seman (Seemann)-Bolin (Bohlin) i drugi. Za polikristalne prevlake sa perferiranom i proizvoljnom orjentacijom najčešće se koristi Brag-Brentano difraktometar (slika 9.9 ). Kod ovog difraktometra nosač uzorka okreće se oko ose normalne na pravac upadnog snopa. X-zraci iz izvora filtriraju se primenom kristalnog monohromatora, a zraci se paralelno usmeravaju primenom kolimatora. Detektor se sinhrono kreće sa okretanjem uzorka uz uslov da je njegova brzina dvostruko veća. Kako se uzorak sastoji od velikog broja kristala, za svaki ugao θ postoji neka kristalografska -6-

7 ravan nekog kristala na kome će se pojaviti interferencija (zbog toga se rotiranje polikristalnog uzorka ne radi kod metoda sa filmom jer bi ceo film bio osvetljen). Međutim, kako se izvor i detektor x-zraka uvek nalaze pod istim uglom u odnosu na površinu uzorka, difraktuju se samo ravni paralelne sa površinom. Difrakcija od ravni paralelnih sa površinom je posledica simetrične refleksije kao što je to prikazano na slici 9.10a. Kod polikristalnih materijala veći broj kristalografskih ravni će biti paralelan sa površinom ali će imati drugačije parametre rešetke (d) te će difraktovati pod drugim uglom. Za slučaj da se žele ispitivati druge ravni koje su pod nekim uglom u odnosu na površinu onda se primenjuju asimetrične refleksije na slici 9.10b. Ove dve prikazane vrste refleksija predstavljaju difrakcije izvan ravni (eng. out-of-plane). Šema usmeravanja x-zraka pomoću kolimatora Slika 9.9 Šema Brag-Brentano difraktometra (7) a) b) Slika 9.10 Konfiguracije difrakcije X-zraka izvan ravni (eng. out-of-plane): a) simetrična, b) asimetrična Mogućnosti primene difraktograma Rezultati analize polikristalnih uzoraka primenom difrakcije prikazuju se u vidu tzv. difraktograma, primer difraktograma prikazan je na slici Ovde se radi o rezultatu XRD analize višekomponentnih Ti-Si-N prevlaka različitog hemijskog sastava, odnosno udela silicijuma. Difraktografskim metodama se ne određuje hemijski sastav ispitivanog materijala već se određuju kristalografski parametri tog materijala a prisutne faze se određuju kvalitativno primenom standarda (kartica) iz baza materijala za konkretan ispitivani materijal. Podaci iz baze za određen materijal ukazuju na kom difrakcionom uglu 2θ (refleksiji) se nalazi određena faza koja postoji u tom konkretnom materijalu (kao što je naznačeno na slici 9.11). -7-

8 Slika 9.11 XRD difraktogram Ti-Si-N prevlaka različitog udela silicijuma (povećava se od A do F) (8) Svaka refleksija x-zraka daje tri veličine koje omogućavaju dobijanje informacija o ispitivanom uzorku. Te tri veličine kao i informacije koje se mogu na osnovu njih dobiti date su u tabeli 9.2. Tabela 9.2 Informacije koje se dobijaju analizom difraktograma Položaj (refleksija) linija Intezitet (refleksija) linija Profil linija * Kvalitativni fazni sastav Kvantitativni udeo faza Veličina kristala Vrsta kristalne strukture Tekstura Stepen rekristalizacije Parametar rešetke ** Debljina sloja Mikronaponi Markonaponi Greške u redosledu * Pre svega se misli na FWHM faktor - Full width at Half Maximum - puna širina na polovini maksimuma inteziteta ** Može se odrediti na osnovu izraza a = d hkl h 2 + k 2 + l 2 Pri ispitivanju kristalnih materijala dobijaju se definisane oštre refleksije, za razliku od amorfnih supstanci kod kojih se dobijaju široke linije koje izgledaju kao prateće difuzne linije ispod pikova kod snimaka kristala, samo sa nešto većim intezitetom. Na osnovu odnosa intenziteta linija samo inspekcijom se može odrediti tekstura i pretežna usmerenost orijentacije, dok se preciznim merenjem intenziteta i širine određuju odnosi faza u kristalnim smešama. Identifikacija novih faza se vrši poređenjem tri najizraženije refleksije sa standardnim difraktogramima. Proširenje difrakcionih linija je posledica uglavnom nesavršenosti merenja, veličine zrna (raste sa smanjenjem zrna) i deformacije rešetke (proširenje je veće sa povećanjem deformacije). Samo inspekcijom se može opisno govoriti o veličini zrna i deformaciji, i to ne odvojeno, već kao o zbirnom uticaju. Na taj način se može kvalitativno pratiti rekristalizacija i deformacija. Razdvajanje ova dva faktora povećanja širine linije se vrši na osnovu teorijsko empirijskih formula u koje se uvrštava precizno izmerena vrednost FWHM. Merenje zaostalih napona, zateznih ili pritisnih koji postoji u materijalu bez primene spoljašnjeg opterećenja. Primer analize difraktograma sa slike 9.11 Reč je o difraktogramima dobijenim na Ti-Si-N prevlakama pri čemu se sadržaj silicijuma povećava od A do F. Difraktogram A odgovara čistom TiN bez silicijuma. Kao što se vidi postoje četiri pika na pozicijama 2Θ = 36.48, 42.68, i što odgovara (1 1 1), (2 0 0), (2 2 0) i (3 1 1) ravnima kubnog TiN. Na osnovu ovog difraktograma može se zaključiti da je (1 1 1) preferirana orijentacija TiN prevlake. -8-

9 Uvođenjem silicijuma u prevlaku položaj pikova se ne menja, to nam govori da se silicijum ne veže sa titanijumom i ne formira nove faze, tipa TiSiN, jer se na difraktogramima detektuje samo TiN. Silicijum gradi posebne faze koje su amorfne jer se ne vide na difraktogramu. Na osnovu difraktograma se dobija vrednost parametra TiN kristalne rešetke a = Å što je više od normalne vrednosti koja iznosi a = Å. Razlog promene parametra rešetke je prisustvo dvoosnog pritisnog napona u prevlaci nastalog usled bombardovanja prevlaka tokom depozicije. Položaj pikova ostaje potpuno nepromenjen nakon uvođenja silicijuma, što znači da je parametar rešetke TiN faze u Ti-Si-N prevlaci isti kao u TiN prevlaci, odnosno da se čvrsti rastvor TiSiN sigurno nije formirao. SPEKTROSKOPIJA FOTOELEKTRONA DOBIJENIH X-ZRACIMA (XPS) Spektroskopija fotoelektrona dobijenih x-zracima (eng. X-ray photoelectron spectroscopy) nosi još i naziv hemijska analiza primenom elektronske spetroskopije (eng. ESCA - Electronic Spectroscopy for Chemical Analysis). Koristi se za određivanje sastava tankih površinskih slojeva. Zasniva se na fotoelektričnom efektu, koji nastaje kada se x-zraci usmere na neku površinu i njihovim dejstvom se vrši izbijanje elektrona iz atoma (dobijanje fotoelektrona). Šema ispitivanja primenom XPS-a i slika uređaja prikazani su na slici Slika 9.12 a) Šema XPS-a, b) uređaj koji se koristi za XPS Tokom ispitivanja uzorak se izlaže dejstvu x-zraka, najčešće Al Kα ( ev) i Mg Kα ( ev) Ti Kα (2040 ev) upadna zračenja. Usled dejstva fotona visoke energije može doći do pobuđivanja atoma i izbijanja elektrona iz atoma. Energija oslobođenih elektrona zavisi od energije upadnog fotona i energije veze elektronskog nivoa u kome se nalazio elektron. Energija fotoelektrona koji je nastao u takvoj interakciji se može izračunati prema sledećem izrazu: Ek= h ν - Eveze gde su: h Plankova konstanta ν frekvencija x-zraka Eveze energija veze elektrona Ek kinetička energija elektrona. Merenjem energije fotoelektrona i poznavanjem energije x-zraka (h ν) određuje se energija veze elektrona koja je karakteristična za svaki hemijski element i vezu koju je taj atom imao sa nekim drugim elementom. Stoga se XPS koristi za određivanje hemijskog sastava površine, hemijskih veza atoma elemenata odnosno hemijskih -9-

10 jedinjenja u površini. Elektroni koji mogu da se detektuju su samo oni elektroni koji dolaze sa dubine od 0,4 do 5 (najviše 10) nm. Da bi elektron po izlasku iz uzorka mogao doći do spektrometra uređaj za ispitivanje nalazi se pod visokim vakumom (9). Primenom XPS-a mogu se praviti i dubinski profili elemenata tako što se izvrši analiza jednog sloja koji se vrši raspršivanje sloja materijala primenom snopa jona argona (slici 9.12), pa se zatim vrši analiza novog sloja, raspršivanje, analiza itd. Rezultati se dobijaju u obliku dijagrama energije veza emitovanih fotoelektrona koji se sastoji iz većeg broja pikova (vrhova) (slika 9.13). Ukoliko je u nekom materijalu prisutno više hemijskih veza, dobijeni pikovi su podeljeni na nekoliko sekundarnih pikova koji su ponekad čak i spojeni. Najčešće se primenom softvera vrši raščlanjivanje dobijenog pika (dekonvolucija) na njegove komponente, pri čemu svaka komponenta odgovara određenoj vrsti hemijske veze. Primenom XPS-a ne mogu se detektovati vodonik i helijum, ali se mogu detektovati svi ostali hemijski elementi pod uslovom da ih ima 0,1 0,5 at. %. Preciznost detekcije elemenata iznosi ± 10 %. XPS predstavlja metodu bez razaranja i može da se koristi za sve vrste materijala uključujući i izolatore kao što su staklo i plastika. Primer XPS spektra prikazan je na slici Prikazani deo spektra odnosi se samo na element bor. Na osnovu tog spektra može se odrediti koja jedinjenja gradi bor u Ti-B-N prevlakama i kako utiče promena udela bora. Slika 9.13 XPS spektar za nc-tin/a-bn/a-tib2 prevlake sa različitim udelom bora a) 2 at.%, b) 8 at%, c) 15 at.% -10-

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Spektar X-zraka. Atomska fizika

Spektar X-zraka. Atomska fizika Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje

Διαβάστε περισσότερα

10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA

10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA 10. VEŽBA ISPITIVANJE PRIMENOM ELEKTRONA Ispitivanja primenom elektrona zasnivaju se na rezultatima interakcija primarnih (upadnih) elektrona iz upadnog snopa i ispitivanog uzorka pri kojima nastaje niz

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 2/36. Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 4/36. Ispitivanje proizvoda

Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 2/36. Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 4/36. Ispitivanje proizvoda Mjerenje zaostalih doc.dr. Samir Lemeš Mjerenje zaostalih Pojam zaostalih Mjerenje krtim lakovima Mjerenje fotoelastičnom oblogom Mjerenje ultrazvukom Mjerenje zaostalih 2/36 Pojam

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje i defektoskopija konstrukcija

Ispitivanje i defektoskopija konstrukcija Mjerenje zaostalih v.as.mr. Samir Lemeš Mjerenje zaostalih Pojam zaostalih Mjerenje krtim lakovima Mjerenje fotoelastičnom oblogom Mjerenje ultrazvukom Mjerenje zaostalih 2/38 Pojam

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα