Udaljenost to ke od pravca i ravnine

Transcript

1 Udaljenost to ke od pravca i ravnine Damjan Jovi ić, Jelena Beban-Brkić, Zagreb Izra unavanje udaljenosti je u praksi esta zadaća S njom se susreću geodeti, gra evinari, fizi ari, pomorci, astronomi, astronauti i mnogi drugi Unutar programa nastave analiti ke geometrije izra unavanje udaljenosti to ke od pravca i udaljenosti to ke od ravnine spada me u osnovne zadaće Na temelju njih se rješavaju i na njih se svodi ra unanje udaljenosti dvaju paralelnih pravaca u ravnini i prostoru, udaljenost pravca od ravnine, udaljenost dvaju mimosmjernih pravaca i sli no Što je zajedni ko tim dvjema zadaćama kada je rije o udaljenosti to ke od pravca, odnosno o udaljenosti to ke od ravnine? U biti se traži to ka P na pravcu/u ravnini koja je najbliža zadanoj to ki Drugim rije ima, traži se minimum funkcije dtp (, ) Nešto malo općenitija zadaća je odrediti udaljenost dane to ke od krivulje u ravnini, odnosno od plohe u prostoru Rješenje te općenitije zadaće sadržaj je iduće leme Ovdje pretpostavljamo da se radi o glatkim krivuljama i glatkim plohama (krivulja/ploha je glatka ako u svakoj to ki ima tangentu/tangencijalnu ravninu) Lema: Ekstremna udaljenost dane to ke od krivulje/plohe realizira se na normali krivulje/plohe koja prolazi danom to kom Na osnovu gornje leme pitanje udaljenosti to ke od pravca i ravnine rješava se spuštanjem normale (okomice) iz dane to ke na pravac/ravninu, odre ivanjem njezinog nožišta na pravcu/ravnini i kona no izra unavanju udaljenosti nožišta od dane to ke U općenitijem slu aju traži se normala krivulje/plohe koja prolazi danom to kom Ekstremna udaljenost je u tom slu aju udaljenost nožišta normale od dane to ke Pritom je zanimljivo da danom to kom može prolaziti nekoliko normala što ovisi o položaju to ke u odnosu na krivulju Tako, na primjer, to kom na osi parabole prolaze tri normale, a nožišta dviju daju minimum Zamislimo sada da ta parabola rotira oko svoje osi Dobivamo rotacijski paraboloid Nije teško uo iti da će odabranom to kom na osi prolaziti beskona no mnogo normala Sli no je pitanje: koliko normala elipse prolazi danom to kom ovisno o njezinom položaju u odnosu na elipsu? 61

2 iz razreda No, vratimo se dokazu leme a) ravninski slu aj Neka je dana to ka Tab (, ) i glatka krivulja y fx Na krivulji tražimo to ku Pxfx (, ), tako da dtp (, ) bude ekstrem Promatramo funkciju Dx d ( x) ( x a) + ( fx b) Derivacija Dx ( xa ) + ( fx bfx ) se poništava ako je x a fxfxb ( ) tj ako je ispunjen nužan uvjet za ekstrem Zapišemo li posljednju jednakost u obliku fx b 1 xa fx fx ( ),, (i) zaklju ujemo da to ka Tab (, ) leži na normali krivulje y fx i da je u tom slu aju to ka Pxfx (, ) nožište Dakle, ako postoji ekstrem, on se može postići u onoj to ki krivulje ija normala prolazi danom to kom To se u lemi i tvrdilo b) prostorni slu aj Zadana je to ka Tabc (,, ) i ploha z fxy (, ) Na plohi tražimo to ku Pxyfxy (,, (, )), tako da dtp (, ) bude ekstrem U tu svrhu promatramo funkciju Dxy (, ) ( x a) + ( y b) + ( fxy (, ) c) Njezine parcijalne derivacije su: Dxy (, ) f Dxy 1(, ) ( xa ) + ( fxy (, ) c), Dxy (, ) f Dxy (, ) ( yb ) + ( fxy (, ) c) Nužan uvjet za ekstrem zahtijeva da bude: f ax ( Dxy x fxy (, ) c ) 1(, ) Dxy (, ) f by, ( y fxy (, ) c ) ili ax bycfxy f f (, ) f f,, (ii) 1 Relacija (ii) zna i da to ka Tabc (,, ) leži na normali plohe z fxy (, ) kojoj je to ka Pxyfxy (,, (, )) nožište Ovime je lema u potpunosti dokazana Napomena: U slu aju da nijedna normala ne prolazi danom to kom Tab (, )/ Tabc (,, ) ili da normala ne postoji, ekstrem je moguć ali se treba tražiti na drugi na in No, kako smo naše razmatranje ograni ili na slu ajeve glatkih krivulja i ploha, ovdje se ne bavimo tim specijalnim slu ajevima Slijede tri varijante izvo enja formula za udaljenost to ke od pravca, odnosno ravnine Za korištenje prve pretpostavlja se poznavanje derivacija funkcija jedne i dviju varijabli te nužnog i dovoljnog uvjeta za ekstrem Druga varijanta po iva na dokazanoj lemi i zahtijeva znanje parametarske jednadžbe pravca U trećoj se pretpostavlja poznavanje skalarnog produkta i definicije projekcije vektora na os zadanu vektorom Kao etvrta varijanta može se uzeti lanak Antuna Ivankovića u broju 35 asopisa MiŠ Varijanta 1 A: Udaljenost to ke od pravca Tražimo udaljenost to ke T( xy, ) od pravca paxbyc + + (1) Odaberimo po volji to ku Pab (, ) p To zna i da vrijedi Aa + Bb () Oduzmimo li () od (1) dobivamo Ax ( a) + By ( b) (3) Jednadžbu (3) možemo zapisati u parametarskom obliku xa yb t, gdje su m B, n A (4) m n ili xamt +, ybnt + (5) Svaka to ka pravca ima svoj parametar t Jasno je da se to ka Pab (, ) dobije za parametar t Potražimo sada to ku pravca koja je najbliža to ki T( xy, ) Izra unajmo kvadrat udaljenosti to aka T( xy, ) i Pa ( + mtb, + nt): 6 broj 4 / godina 9 / 7

3 Dt ( x ( a+ mt)) + ( y ( b+ nt)) Funkcija udaljenosti dt () Dt () poprima ekstrem u onim to kama u kojima ekstrem poprimi funkcija Dt () Ta injenica nam omogućuje jednostavnije ra unanje U svrhu traženja ekstrema funkcije Dt () potrebne su nam njezina prva i druga derivacija: Dt () mx [ ( amt + )] ny [ ( bnt + )] Dt () ( m + n ) >, Na osnovu teorema: u nulto kama prve derivacije funkcija ima minimum ako je u tim to kama druga derivacija pozitivna; zaklju ujemo da se u našem slu aju radi o minimumu Riješimo li jednadžbu Dt (), dobivamo traženi parametar to ke Pa ( + mtb, + nt): mx ( a) + ny ( b) t (6) m + n Dobili smo i više od toga, tj koordinate to ke u kojoj se postiže ekstrem, tzv stacionarne to ke Uvrstimo li, naime, vrijednost parametra (6) u (5) dobivamo: mx ( a) + mny ( b) xa +, m + n (7) yb + mn x a + n ( y b ) m + n Izra unajmo sada kvadrat udaljenosti to aka Txy (, ) i Pa ( + mtb, + nt) uvažavajući vrijednost parametra t iz (6), odnosno koordinate to ke iz (7): mx ( a) + mny ( b) x a m + n (8) y b mn x a n ( ) + (y b) +, m + n Slika 1-A ili nakon jednostavne transformacije, odnosno d m + n nx ( a) my ( b) m + n nx ( a) my ( b), m + n nx ( a) my ( b) ( m + n ) m + n Kona no, tražena udaljenost iznosi nx ( a) my ( b) (9) m + n Relacija (9) uz (1) i (4) poprima oblik poznate formule za izra unavanja udaljenosti to ke od pravca: Ax + By (1) Primjer 1 Odredimo udaljenost to ke T ( 1, 7) od pravca p 3x+ 4y 1 Slijedimo gornji postupak i odabiremo neku to ku na pravcu, npr P(, 45 ) Funkcija kojoj tražimo ekstrem je + ( ) + + Dt () 1 + 4t 5 3t 5t 81t 15 5 Dt () 5t+ 81, Dt () 5 81 Dt () 5t+ 81 t, 5 81 D 5 > 5 Stacionarna to ka je x , y Kona no, udaljenost to aka T ( 1, 7) i 11 9 P t, 5 5 iznosi 63

4 iz razreda 31 ( + ) + 47 ( 45 ) Napomena: Istu vrijednost dobivamo ra unajući 11 9 udaljenost to aka T ( 1, 7) i P t, 5 5 po formuli za udaljenost dviju to aka, tj t P T P T dtp (, ) x x y y + ( ) B: Udaljenost to ke od ravnine i ravnina Neka su zadane to ka Txyz,, π Ax + By z Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je C U tom slu aju jednadžbu ravnine možemo zapisati u obliku A π C x B C yz D C A Ozna imo li a C b B C c D,,, C možemo pisati odnosno π axbyzc (1) Odaberimo u ravnini to ku Pxy,, ax+ by+ c z ( ax+ by+ c) () ( ) i odredimo udaljenost (, ) (, ) ddxydpt + ( ) + ( + ( + + )) x x y y z ax by c Slika 1-B ( 3) Analogno dvodimenzionalnom slu aju, funkcija dxy (, ) poprima ekstrem kada ekstrem poprima funkcija Dxy, d xy, (4) po- Da bismo odredili ekstrem funkcije Dxy, trebne su nam derivacije Dxy Dxy Dxy d1 (, ) (, ) d11 (, ),,, d 1 Dxy (, ), d y Dxy (, ) Dobivamo redom: d1 ( x x + aax ( + by+ z + c) ); ( y y + bax ( + by+ z + c) ); (5) ( + ) d11 1+ a ; d1 abd ; 1 b Kako su d11 1 ( + a )> i d11 d1 Δ 41 ( + a + b )>, d d 1 poprima minimum, što je u skla- funkcija Dxy, du s teoremom: u to kama u kojima se poništavaju derivacije d 1 i d imamo minimum ako je d 11 > i Δ d11 d d1 > Odredimo još o kojoj se to ki ravnine π radi U to svrhu riješimo sustav jednadžbi: d1 xx aaxbyz c + ( ) d yy + baxbyz ( c) Prepišimo ga u sre enom obliku: ( 1+ a ) x + aby x azo ac (6) abx + ( 1+ b ) y y bz bc Primijenimo li bilo koju metodu rješavanja sustava jednadžbi, dolazimo do rješenja ac x b x + aby + az ( xy, ), bc y ay + abx + b z (7) 64 broj 4 / godina 9 / 7

5 Treću koordinatu odredimo iz izraza z (ax + by + c) uvrštavanjem vrijednosti dobivenih za x i y u (7) Naime, dax az by bz z + + ( ) (8) Lako je provjeriti da to ka Pxyz t (,, ) leži u ravnini π Preostaje nam izra unati minimalnu vrijednost funkcije Dxy (, ) ( x x) + ( y y) + ( z z) Ra unamo redom: ac x b x aby az ( x x) x aax + by + z +c bax + by + z +c ; ( 9) bc y a y abx bz ( y y) y ; ( 1) cax az by bz ( z z) z ( ax + by + z + c) Na temelju relacija (9), (1) i (11) dobivamo Dxy (, ) ( x x) + ( y y) + ( z z) ( ax + by + z + c) Kako je dxy (, ) Dxy (, ), slijedi ax + by + z + c ( 11) A Uvažimo li oznake a C b B C c D,,, C relacija (1) poprima poznati oblik Ax + By z (1) Primjer Izra unajmo udaljenost to ke T (,,) 111 od ravnine π xyz Tražimo ekstrem funkcije Dxy (, ) x + xy+ y x y+ Derivacije su redom: d d 1 4x+ y x+ 4y 4,, Kako je d 11 4 > i Δ 1 >, 4 funkcija Dxy (, ) poprima minimum Iz sustava d1 4x y xy d x+ 4y (, ), 3 3, što zajedno s relacijom z ( ax+ by+ c) daje stacionarnu to ku P t,, Kona no je udaljenost ax + by + z + c Napomena: Ovdje je tako er ddtp (, t ) Varijanta A: Udaljenost to ke od pravca 3 3 Tražimo udaljenost to ke T( xy, ) od pravca paxbyc + + (1) To kom T( xy, ) položimo pravac okomito na zadani pravac Kako je naibj + vektor normale pravca p, jednadžba okomice je 65

6 iz razreda xx o A ili, u parametarskom obliku yy B, xx At o () yybt Odredimo sjecište po { S}, tj odredimo parametar t tako da to ka Sxy (, ) ije su koordinate ( x At, y Bt) dane jednadžbama () leži na pravcu p Bit će Ax ( At) + By ( Bt) Odavde slijedi da je Ax + By t (3) Uvrstimo li t iz (3) u (), dobivamo koordinate to ke Sxy (, ): Ax + By xx A, Ax + By yyb (4) Tražena udaljenost je udaljenost to aka T (x, y ) i Sxy (, ) koja iznosi ( x x) + ( y y) odnosno, ( Ax + By ) Ax + By Slika -A (5) Primjer 1 Odredimo udaljenost to ke T ( 1, 7) od pravca p 3x+ 4y 1 Koordinate to ke S ra unamo pomoću relacija (3) i (4): 11 9 Sxy (, ) ( x Aty, Bt), 5 5 Udaljenost prema (5) iznosi: Ax + By 46 5 B: Udaljenost to ke od ravnine Neka su zadane to ka Txyz,, 9 i ravnina π Ax + By z (1) položimo pravac okomit To kom Txyz,, na ravninu π Kako je naibjck + + vektor normale ravnine, jednadžba okomice je xx yy zz o, A B C ili u parametarskom obliku x x At, y y Bt, z z Ct () Kao i u dvodimenzionalnom slu aju, odredimo sjecište po { S} tj odredimo parametar t tako da to ka Sxyz (,, ) ije su koordinate dane jednadžbama () leži u ravnini π Bit će A( x At) + B( y Bt) ( z Ct) Iz posljednje relacije slijedi da je Ax + By z t Slika -B (3) 66 broj 4 / godina 9 / 7

7 Uvrstimo li t iz (3) u () dobivamo koordinate to ke Sxyz (,, ): Ax + By z xx A ; Ax + By z yyb ; (4) Ax + By z z z C Tražena udaljenost je udaljenost to aka T (x, y, z ) i Sxyz (,, ) tj Na pravcu odaberimo to ku Pab (, ) Radijvektor to ke T( xy, ) u odnosu na Pab (, ) kao ishodište je rt PT ( x ai ) + ( y bj ) () Želimo projicirati r T na normalu naibj + pravca p U tu svrhu nam treba jedini ni vektor normale n Ai + Bj n, n te pojam skalarne projekcije vektora na os (zadanu vektorom) ( x x) + ( y y) + ( z z) ( Ax + By z ), odnosno Ax + By z (5) Primjer Izra unajmo udaljenost to ke T (,,) 111 od ravnine π xyz Koordinate to ke S izra unamo prema (3) i (4): Sxyz (,, ),, Udaljenost, prema (5), iznosi Ax + By z Varijanta 3 A: Udaljenost to ke od pravca Tražimo udaljenost to ke T( xy, ) od pravca 3 paxbyc + + (1) Skalarna projekcija vektora aaiaj 1 + na os zadanu vektorom ssisj 1 + ra una se po formuli si 1 + sj δ as ( ai 1 + aj ) s + s as + as s + s U našem slu aju vektor r T glumi a, a vektor n je s : Ax ( a) + By ( b) δ rt n, ili Ax + By Slika 3-A (4) gdje je C ( Aa+ Bb) što u sebi skriva injenicu da je to ka Pab (, ) na pravcu paxbyc + +, tj da je Aa + Bb 67

8 iz razreda Napomena: Kako je δ > ili δ ili δ < (ovisno o kutu vektora r T i n ), za udaljenost uzimamo δ Primjer 1 Odredimo udaljenost to ke T ( 1, 7) od pravca p 3x+ 4y 1 Odaberimo na pravcu proizvoljnu to ku, npr P(, 45 ) Prema opisanom postupku imamo redom: n Ai + Bj 3i + 4j n, n 5 r ( x ai y bj i j T ) + ( ) 1 + 5, 3i + 4j 46 δ ( 1i + 5j) B: Udaljenost to ke od ravnine Neka su zadane to ka Txyz,, i ravnina π Ax + By z (1) U ravnini odaberimo to ku Pabc (,, ) što zna- i da je Aa + Ba a Radijvektor to ke T( xyz,, ) u odnosu na Pabc (,, ) kao ishodište je rt ( x ai ) + ( y bj ) + ( z ck ) () Projiciramo r T na normalu naibjck + + ravnine U ovom slu aju je jedini ni vektor normale n Ai + Bj k n n Skalarna projekcija vektora aaiajak na os zadanu vektorom ssisjsk ra una se po formuli si 1 + sj+ sk 3 δ as ( ai 1 + aj + ak 3 ) s1 + s (3) as 11+ as + as 3 3 s + s + s 1 3 I u ovom slu aju vektor r T glumi a, a vektor n je s, pa imamo da je δ odnosno Ax ( a) + By ( b) z ( c), Ax + By z (4) gdje je D ( aa+ bb+ cc), što ukazuje na injenicu da to ka Pabc (,, ) leži u ravnini π Ax + By z, tj da je Aa + Bb c Primjer Odredimo udaljenost to ke T (,,) 111 od ravnine π xyz Izaberemo li P( 8, 1, 1 ), bit će n Ai + Bj k i j k n + +, n 3 rt ( x ai ) + ( y bj ) + ( z ck ) i + 9 j + 9 k, δ rt n i + j + k i + j + k ( 9 9 ) 3 3 Slika 3-B 68 broj 4 / godina 9 / 7