Fizika 2. Optika. Geometrijska optika Zakon loma na sfernoj granici Preslikavanje lomom
|
|
|
- Νικηφόρος Ηλιόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fizika Optika Geometrijska optika Zako loma a seroj graici Preslikavaje lomom
2 Zako loma a seroj graici promotrimo dva prozira sredstva koja imaju idekse loma i Graica između ta dva sredstva je sera površia radijusa R paraksijale zrake izlaze iz točkastog predmeta u točki O u mediju ideksa loma
3 Zako loma a seroj graici p: udaljeost predmet-sera graica l: udaljeost slika-sera graica U Gaussovoj aproksimaciji kutevi su mali (paraksijale zrake), vrijedi da je siα α i tgα α CAL PAC l h tg R h tg p h tg ) ( ) ( R l p R R l p l h R h R h p h ) ( ) ( si si _ loma zako Sellov
4 Uvodimo ozake: a udaljeost predmeta do leće b udaljeost slike do leće R polumjer zakrivljeosti liearo povećaje M b a a b R Zako loma a seroj graici a b R R Predmeta žariša duljia (predmet je u žarištu, slika u ) Slikova žariša duljia (slika je u žarištu, predmet u ) a a b b 4
5 Leće Leće se običo koriste za dobivaje slike pomoću loma Leće se koriste u optičkim istrumetima kao što su pr.: Fotoaparati Teleskopi Mikroskopi
6 Aatomija leća Ako staklo ili drugi traspareti materijal poprima odgovarajući oblik, moguće je da će paraleli sop ulazih zraka ili kovergirati u točku ili se čiiti da divergira iz točke. Staklo ili drugi traspareti materijal koji ima takav oblik aziva se leća. Set prizmi (i jeda plaparalela ploča) djeluje kao kovergeta ili divergeta leća 6
7 Leća Leća je proziro optičko tijelo omeđeo dvjema poliraim površiama koje mogu biti ili obje zakrivljee, ili je jeda zakrivljea a druga rava. Ako su površie sere, govorimo o serim lećama. Ako je udaljeost između tjemea serih graica malea, govorimo o takoj leći. kovergete bikoveksa plakoveksa kovergeti meisk divergete bikokava plakokava divergeti meisk 7
8 Zako loma a sera dioptra Pretpostavimo da je ispred leće sredstvo ideksa loma, da je leća ideksa loma, a iza leće sredstvo ideksa loma 3. Budući da je leća sustav od dvije sere graice, izvod zakoa loma svjetlosti se promatra prvo a graici polumjera zakrivljeosti R, a zatim a seroj graici polumjera zakrivljeosti R. Svjetlo koje prolazi kroz leću lomi se a dvije površie Slika dobivea lomom a jedoj seroj plohi služi kao predmet za lom a drugoj seroj plohi Zači, ako se leća ideksa loma alazi u dva optička sredstva različtih ideksa lomova ( i 3 ) zako loma poprima oblik (izvod je u pd dokumetu: zako loma a sera dioptra) 3 a b R R
9 9 Predmeta žariša duljia a (predmet je u F): Slikova žariša duljia b (slika je u F): Dijeljejem ova dva izraza dobivamo: Uvrstivši u zako loma kroz taku leću slijedi: b a R R R R R R R R b a a b b a
10 0 U praksi je dosta često ispuje uvjet da je = 3, tj. da se leća alazi u homogeom sredstvu jedog ideksa loma, pr. u vodi. U tom slučaju zako loma ima jedostaviji oblik: Slikova i predmeta žariša duljia b i a take leće u tom slučaju su jedake. Reciproča vrijedost žariše duljie ima oblik: Zako loma svjetlosti kroz taku leću (uz avedei izraz za ): b a b a R R R R b a
11 Preslikavaje a leći ( sera dioptra) koja je u zraku Leća ima ideks loma i dvije sere površie polumjera R i R i alazi se u zraku R je radijus zakrivljeosti prve sere površie leće (do predmeta) R je radijus zakrivljeosti druge sere površie predmet se alazi u točki O, a udaljeosti p ispred prve sere površie leće Površia Površia
12 Lociraje slike dobivee lećom, slika a prvoj seroj plohi Imamo sliku koja se ormira lomom a površii Budući da je leća je okružea zrakom, = i Ako je slika zbog površie virtuala, q je egativa, a ako je q pozitivo slika je reala p q R p q R Površia Površia
13 Lociraje slike dobivee lećom, slika a drugoj seroj plohi Za površiu, = i = Zrake svjetlosti koje dolaze a površiu su u leći i lome se u zrak Koristite p za udaljeost predmeta za površiu i q za udaljeost slike p q R p q R
14 Slika dobivea debelom lećom Ako se virtuala slika ormira a površii, p = - q + t q je egativa t je debljia leće Ako je ormiraa slika a površii reala, p = - q + t q je pozitivo Tada p q R R
15 Slika dobivea takom lećom Taka leća je oa čija je debljia mala u odosu a polumjer zakrivljeosti Za take leće, debljia, t, se može zaemariti U ovom slučaju, p = -q za bilo vrstu slike Oda ideksi od p i q mogu biti ispuštei
16 Jedadžba kojugacije za take leće Žariša duljia take leće je udaljeost slike koja odgovara beskoačoj udaljeosti predmeta (kao i za sera ogledala) Jedadžba kojugacije leće (les makers equatio), ako se leća alazi u zraku p q R R ƒ ( )
17 Jedadžba kojugacije za take leće Odos između žariše duljie, udaljeosti predmeta i udaljeosti slike je isti kao i za sera zrcala p q ƒ
18 Napomee o žarišoj duljii i žarištu take leće Budući da svjetlo može putovati u oba smjera kroz leću, svaka leća ima dva žarišta Jedo žarište je za prolaz svjetlosti u jedom smjeru kroz leću a drugo je za prolaz u suprotom smjeru Međutim, postoji samo jeda žariša udaljeost (ako se leća alazi u istom sredstvu) Svaka žariša točka se alazi istoj udaljeosti od leće (ako se leća alazi u istom sredstvu)
19 Žariša duljia kovergete leće Paralele zrake prolaze kroz leću i kovergiraju u žarište Paralele zrake mogu doći s lijeve ili dese strae leće ( = = samo ako se leća alazi u jedom optičkom sredstvu)
20 Žariša duljia divergete leće Paralele zrake se razilaze ako prolaska kroz divergetu leću Žarište je točka u kojoj izgleda kao da zrake iz te točke izlaze (<0) ( = = samo ako se leća alazi u jedom optičkom sredstvu)
21 Kovecije p je pozitivo ako se predmet se alazi ispred leće (reali predmet). p je egativa ako je predmet iza leće (virtuali predmet). q je pozitivo ako se slika alazi iza leće (reala sliku). q je egativo ako se slika alazi se ispred leće (virtuala slika). R i R su pozitivi ako je cetar zakrivljeosti iza leće. R i R su egativi ako je cetar zakrivljeosti ispred leće. je pozitivo ako je leća je kovergeta. je egativo ako je leća divergeta.
22 Kovecije vezae uz predmet glave zrake a predmet je REALAN kad zrake divergiraju izlazeći iz predmeta: a > 0 Predmet je VIRTUALAN kad zrake kovergiraju prema predmetu: a < 0 a običo samo kod kombiacija leća
23 Kovecije vezae uz sliku slika je REALNA kad zrake kovergiraju : b b > 0 zrake se okusiraju a sliku slika je VIRTUALNA kad zrake divergiraju: b b< 0 3
24 Kovecije vezae uz radijus zakrivljeosti R R > 0 R < 0 R R > 0 kad svjetlost dolazi s desa R < 0 kad svjetlost dolazi s lijeva R R < 0 R R >0 4
25 Kovecije vezae uz žarišu udaljeost KONVERGENTNA zrake kovergiraju: > 0 DIVERGENTNA zrake divergiraju: < 0 zrake dolaze iz 5
26 Kovergete leće 6
27 Divergete leće 7
28 Uobičajee vrste leća pla - koveksa bi-koveksa > 0 Fokusira - pojačava svjetlo tvori reale ili virtuale slike > 0 simetriča leća - poištava eke aberacije pla - kokava širi svjetlost tvori reale (kada?) ili virtuale slike bi-kokava povećava sistema simetriča leća - poištava eke aberacije < 0 < 0 8
29 Leće koje se često koriste meiskus > 0 ili < 0 koristi se da promjei sistema aplaatiča leća: e pokazuje sere aberacije cilidriča > 0 ili < 0 koristi se kada je potrebo povećaje u samo jedoj dimeziji (pukotie, itd.) graded idex (GRIN) > 0 lako ispravlja aberacije koristi se kod laser diode couplig ball > 0 kolimira širokokuti izlaz (diodi laser, optička vlaka) lako poravaje, visoka učikovitost optičkih veza 9
30 Take leće jedadžba preslikavaja povezuje položaj predmeta, a, položaj slike, b, i leću earišu udaljeosti relacijom: a b Uočimo: matematička krivulja koja opisuje jedadžbu preslikavaja take leće je istostraa hiperbola sa osima žariših udaljeosti, slika koja slijedi. Desa straa jedadžbe je reciproča vrijedost žariše udaljeosti,, koja predstavlja jakost optičkog sistema,j: J ( m) dpt 30
31 3 Žariša udaljeost povezaa je geometrijom leće i optičkim sredstvom relacijom, za leće koje su u zraku: r r Žariša udaljeost za leću koja se alazi u ekom sredstvu ideksa loma (s obje strae) relacija je: r r Za obje vrste leća, leća u zraku i leća urojea u eko (jedistveo) sredstvo, može se pokazati:, što zači da su žariše udaljeosti slike,, i predmeta,, jedake.
32 Liearo povećaje deiirao je kao omjer veličie slike, y, i predmeta, y: p y y b a a gdje su zadja dva izraza izvedea iz preslikavaja. Ti izrazi pokazuju da povećaja ovise o optičkom sistemu,, poziciji predmeta u odosu a leću, a, o kojoj je ovisa i pozicija slike, b. Predzaci optičkih veličia: a, b i deiirai su u izikaloj koveciji optičkih veličia procesa preslikavaja; vježbe iz izike! 3
33 33
34 Prikaz preslikavaja a kovergetoj leći za sve položaje predmeta: a (-,0,+) i pripade položaje slike: b (,+,-,0, ). Napomea: U prikazu je korištea matematička kovecija o predzacima optičkih veličia (lijevo od ishodišta koordiatog sustava veličie su egative, deso su pozitive) podrazumijeva oblik jedadžbe kojugacije: a b 34
35 Prikaz preslikavaja a divergetoj leći za sve položaje predmeta: a (-,0,+) i pripade položaje slike: b (-,0,+,-,- ) Napomea: U prikazu je korištea matematička kovecija o predzacima optičkih veličia (lijevo od ishodišta koordiatog sustava veličie su egative, deso su pozitive) podrazumijeva oblik jedadžbe kojugacije: a b 35
36 geometrijska optika; preslikavaje a lećama + leća ili kovergeta leća Predmet je u ; paralela sop zraka svjetlosti ailazi a leću. S F P=F Slika je u točki koja se zove žarište slike, F, za sabiru leću to žarište je realo. optička os, o
37 a b, y y J b a ( metar dioptrija ) Za kostrukciju slike koristimo tri karakterističe zrake. Zraka putuje od predmeta paralelo s optičkom osi i lomi se tako da prolazi kroz žarište (okus) F. Zraka putuje od predmeta prolazeći kroz žarište, a ako loma širi se paralelo s optičkom osi. Zraka 3 prolazi kroz središte i e mijeja smjer. 37
38 Image Formatio by Covex Les Covex Les, ocal legth = 5 cm: h o F RI F h i s s 5 cm s 9 cm s m s s
39 Image Formatio by Cocave Les Cocave Les, ocal legth = -5 cm: h o F h i VI F s s 5 cm s 9 cm s m s s
40 Image Formatio by Thi Leses Cove x Les m s s Cocave Les
41 geometrijska optika; preslikavaje a lećama + leća Predmet se alazi u dvostrukoj žarišoj udaljeosti; a =. Slika je reala, jedake veličie, obruta i alazi se također a udaljeosti a=, ali s druge strae leće. Predmet se približava... P Slika se udaljava... zastor, ekra, (projekcija) F optička os, o F F S = 4
42 geometrijska optika; preslikavaje a lećama + leća Predmet je između F i F; >a>. Slika je reala (lomljee zrake se sijeku), uvećaa i alazi se izva F. Predmet se približava... F P Slika se udaljava... F zastor, ekra, (projekcija) optička os, o F = S 4
43 geometrijska optika; preslikavaje a lećama + leća Predmet je u žarištu predmeta, F; a=. Slika je u beskoačosti; b; lomljee zrake se e sijeku, i realo iti imagiaro. optička os, o F P F F = 43
44 geometrijska optika; preslikavaje a lećama + leća Predmet je između žarišta predmeta i cetra leće,0; a<. Slika je virtuala, usprava i uvećaa; lomljee zrake se e sijeku, zato se sijeku jihovi produžeci. S Slika se promatra kroz optički sustav (leću) optička os, o F F P = F 44
45 Image Formatio Summary Table
46 Preslikavaje a ravom dioptru (lom svjetlosti) Zako loma a ravoj graici ( R ) a b 0 R 46
47 Pogreške kod leća Uvjeti u kojima astaju pogreške: debele leće; zaobljei sistemi (rkoačo) široki sop svjetlosti se koristi kod ( 0 ) preslikavaja, Gore avedei uvjeti se realo koriste u radu optičkih istrumeata; oi dovode do pogrešaka u preslikavaju, koje moramo upozati i zati kako se ispravljaju. 47
48 Vrste pogrešaka: A) Sera aberacija; uzrokovaa koačom (ajčešće velikom) zaobljeošću leća. Pretpostavka: a optičke sustave ailazi mookromatska svjetlost B) Kromatska aberacija; uzrokovaa ulaskom vidljive svjetlosti i astajajem disperzije svjetlosti a optičkim sustavima. Obje vrste pogrešaka uklajaju se sustavima leća koje zadovoljavaju uvjete koje se približavaju jedozačom preslikavaju. 48
49 Sera aberacija kod leća Pri izvođeju zakoa za lom svjetlosti kroz taku leće uzimaju se u obzir zrake koje zadovoljavaju Gaussovu aproksimaciju. Međutim, treba promotriti slučaj širokog sopa upadih zraka svjetlosti. Tada zrake padaju a veliku površiu leće, upadi kutovi su različiti i dobivea slika ije oštra. Na primjeru bikovekse leće: zrake svjetlosti koje padaju a leću dalje od optičke osi lome se jače i ormiraju sliku bliže leći. Ta greška se aziva sera aberacija. 49
50 Sera aberacija Širok paralela sop zraka svjetlosti ailazi a debelu leću; sve zrake se ako loma e sastaju u žarištu slike ego stvaraju više žarišta. Pogrešku mjerimo: -duž optičke osi (logitudiala sera aberacija) -okomito a optičku os (trasverzala sera aberacija) 50
51 Kromatska aberacija Pogreška koja se javlja prolazom vidljive svjetlosti kroz leću u procesu preslikavaja; uzrok pogreške je disperzija svjetlosti. Slike koje astaju radi te pogreške su obojee oom bojom čiji lom je domiata u ravii u kojoj promatramo sliku. 5
( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 2 2 ( ) [ > ] ( ) 2
![( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 2 2 ( ) [ > ] ( ) 2](/thumbs/80/81024134.jpg "( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 2 2 ( ) [ > ] ( ) 2")
Zadatak 8 (Dio, gimazija) Predmet i slika trebaju biti udaljei 00 cm. Gdje treba postaviti leću žariše daljie 6 cm da bi se dobila reala slika? Rješeje 8 d = 00 cm = m, f = 6 cm = 0.6 m, a =? Leće su prozira
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Fizika 2. Optika. Geometrijska optika
Fizika Optika Geometrijska optika Geometrijska optika -empirijska, aproksimativa (vrijedi uz određee uvjete) -svjetlost se proučava kao pravocrta pojava koja se širi brziom c 0 =30 8 ms - u vakuumu -svojstva
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Monokromatska svjetlost valne duljine 1.16 µm pada okomito na dvije planparalelne ploče koje čine = 0.
Zaatak 08 (Nia, gimazija) Mookromatska svjetlost vale uljie.6 µm paa okomito a vije plaparalele ploče koje čie kli. Ualjeost viju susjeih tamih pruga je 0 mm. Koliki je kut meñu pločama? Rješeje 08 =.6
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Granične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Fizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10
Fizika 2 Optika Geometrijska optika 2009/10 1 2 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Fizika 2. Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08
Fizika 2 Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08 1 Svjetlost je... Svjetlost je ono što čini objekte oko nas vidljivima Svjetlost je jedini izvor boje Svjetlost je energija Svjetlost je i val i čestica
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
4. Leće i optički instrumenti
4. Leće i optički instrumenti. Ključni pojmovi Leće, Besselova metoda, dijaprojektor, mikroskop, Keplerov i Galilejev teleskop. Teorijski uvod Jednadžba leće: Žarišna daljina tanke leće, udaljenost predmeta
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
c - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1.
Geometrijska optika_intro Zakoni geometrijske optike, zrcala, totalna refleksija, disperzija svjetlosti, leće, oko i načini korekcije vida Zakoni geometrijske optike 1. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
Geometrijska optika 3. dio. -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije
Geometrijska optika 3. dio -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije Sferni dioptar Sferni dioptar - skup dvaju homogenih izotropnih optičkih sredstava različitih indeksa loma n 1 i n 2, rastavljenih
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
a C 1 ( ) = = = m.
Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
F2_K1_geometrijska optika test 1
F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Dvojna priroda čestica
Dvojna priroda čestica Kao mladi student Sveučilišta u Parizu, Louis DeBroglie je bio pod utjecajem teorije relativnosti i fotoelektričnog efekta. Fotoelektrični efekt je ukazivao na čestična svojstva
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Geometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje 9 Geometrijska optika Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch ) Danas
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Svjetlost. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti. Ravno zrcalo Sferno zrcalo.
Poglavlje Svjetlost.....3..4..4...4...5..5...5...5.3..6..6...6...6.3..7..8. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti Ravno zrcalo Sferno zrcalo Lom svjetlosti
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Trigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
VJEŽBE IZ FIZIKE 2 OPTIKA I FOTOMETRIJA
VJEŽBE IZ FIZIKE 2 OPTIKA I FOTOMETRIJA Katedra fizike Grafičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu Zagreb, 2006/07. 1 UVOD Optika je u širem smislu znanost o zračenju. Nekada je optika izučavala samo one
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Metoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)