Geometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas
|
|
|
- ÍΑἰνείας Μαυρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje 9 Geometrijska optika Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch )
2 Danas ćemo raditi: (V. Henč-Bartolić i P. Kulišić: Valovi i optika, poglavlje 5) Geometrijska optika Uvod u geometrijsku optiku Zakoni geometrijske optike Zrcala, leće Fizika ljudskog oka Povećalo Mikroskop Teleskop
3 Uvod u geometrijsku optiku Zrcalna i difuzna refleksija Zrcalna (spekularna) refleksija je refleksije na glatkoj površini. Reflektirane zrake su paralelne. Mi ćemo proučavati zrcalnu refleksiju Difuzna refleksija je refleksija na hrapavoj površini. Reflektirane zrake nisu paralelne. Sve dok je dimenzije hrapavosti površine znatno manje od valne duljine, površina se može smatrati glatkom. 3
4 Uvod u geometrijsku optiku Zakon refleksije Normala je pravac okomit na graničnu površinu prolazi kroz točku gdje svjetlost upada na površinu Upadna zraka zatvara kut θ s normalom Reflektirana zraka zatvara kut θ s normalom Kut refleksije jednak je kuta upada θ = θ Ova relacija se zove zakon refleksije Upadna zraka, normala i reflektirana zraka leže u istoj ravnini 4
5 Uvod u geometrijsku optiku Lom svjetla Kad svjetlo upada iz optički rjeđeg (v =c/n ) u optičku gušće sredstvo (v =c/n )(n >n,v >v ) svjetlosna zraka se lomi k okomici, kut loma je manji od kuta upada. Kad svjetlo upada iz optički gušćeg (v =c/n ) u optičku rjeđe sredstvo (v =c/n )(n <n,v <v ) svjetlosna zraka se lomi od okomice, kut loma je veći od kuta upada. 5
6 Uvod u geometrijsku optiku Širenje svjetlosti u sredstvu (predavanje 7) Svjetlost upada u sredstvo s lijeva Svjetlost nailazi na elektron u sredstvu (svjetlost je elektromagnetski val, pa električno polje djeluje silom na elektron) Svjetlost pobudi elektrone na titranje. Elektron koji titra je antena izvor elektromagnetskog vala. Dolazi do apsorpcije i re-radijacije svjetlosti, što uzrokuje da je brzina svjetlosti kroz sredstvo manja. Detaljnji procese propagacije svjetla objašnjava kvantna mehanika. Za vakuum, n = za zrak također je približno n = za druge sredine n > n je bezdiomenzionalni broj veći od n nije nužno cijeli broj 6
7 Uvod u geometrijsku optiku Indeksi loma nekih tvari (...vezano za predavanje 7) 7
8 Uvod u geometrijsku optiku Frekvencija i valna duljina pri širenju svjetlosti iz jednog sredstva u drugo Kad se svjetlo širi iz jedne sredine u drugu njena frekvencija se ne mijenja mijenja se valna duljina i brzina propagacije v = ƒλ ƒ = ƒ ali v v pa je λ λ c λ v n n = = = λ v c n n n = λ λ n ( λ vakuum ) ( λ sredstvo ) 8
9 Uvod u geometrijsku optiku Huygensova konstrukcija valne fronte ravnog vala C. Huygens pretpostavlja da je svjetlost val. Huygensov princip je geometrijska konstrukcija za određivanje položaja nove valne fronte iz poznavanja položaja i oblika valne fronte koja joj prethodi. Utrenutkut = 0, položaj valne fronte je označen ravninom AA. Svaka točka valne fronte je izvor novog kuglastog vala, radi preglednosti razmatramo samo kuglaste valove koji se šire iz naznačenih točaka. Nakon Δt sekundarni kuglasti valovi su se proširili do udaljenosti cδt, nova valna fronta je definirana ovojnicom kuglastih valova, i u ovom slučaju je to ravnina predstavljena linijom BB. 9
10 Uvod u geometrijsku optiku Huygensova konstrukcija valne fronte sfernih valova Unutrašnji luk je valna fronta kuglastog vala. Iz svake točke kuglaste valne fronte širi se novi kuglasti val. Nova valna fronta je opet sfera, sada većeg radijusa, koja je ploha koja predstavlja ovojnicu sekundarnih kuglastih valova. 0
11 Uvod u geometrijsku optiku Huygensov princip i zakon refleksije AB je valna fronta upadnog vala Točka A upadne valne fronte je izvor kuglastog vala koji se proširi do D Za to vrijeme se iz točke B proširi val do točke C. AD = BC = c Δt Trokuti ABC je sličan trokutu ADC: cos γ = BC / AC cos γ = AD / AC Prema tome:, cos γ = cos γ pa je γ = γ 90 o - θ = 90 o - θ Iz čega proizlazi θ = θ Ovo je zakon refleksije.
12 Uvod u geometrijsku optiku Huygensov princip i zakon loma Zraka dođe do površine u nešto kasnijem trenutku Δt od zrake. Za to vrijeme, kuglasti val iz točke A se prošiti do točke D. Valna fronta vala koji se počeo širiti u drugom sredstvu je naznačena linijom DC. Iz trokuta ABC i ADC, nalazimo: sin θ sin θ BC vδt = = AC AC AD vδt = = AC AC sinθ sinθ = v v sinθ sinθ sinθ sinθ = n n = c c n n
13 Uvod u geometrijsku optiku Totalna refleksija (...vezano uz predavanje 7) Fenomen totalne refleksije se javlja kad se svjetlost širi iz optički gušćeg sredstva (većeg indeksa loma) u optički rjeđe sredstvo (manjeg indeksa loma) (n > n ). Zraka 4 na slici desno lomi se duž granice dvaju sredstava, i zrake čije je kut upada veći od kuta upada zrake 4 (kritični kut) će sereflektiratinatragu sredstvo. sin θ C n n = (n > n ) 3
14 Uvod u geometrijsku optiku Struktura svjetlovoda (...vezano uz predavanje 7) Prozirna jezgra okružena je cladding om Cladding (oklop svjetlovoda) ima manji indeks loma od jezgre kako bi se osigurala totalna refleksija To osigurava da svjetlost u jezgri doživljava totalnu refleksiju Jacket zaštitni oklop 4
15 Geometrijska optika () Geometrijska optika je dio optike u kojoj se za opis svjetlosnih pojava služimo svjetlosnom zrakom, odnosno kako svjetlosne zrake formiraju sliku. Pravilageometrijskeoptikesemoguprimijenitikadjevalnaduljina znatnomanjaodpreprekanakojesvijetlonailaziλ<<a, jertada nema pojave ogiba koja iskazuje valnu prirodu svijetlosti. Zakoni geometrijske optike (λ 0) 5
16 Geometrijska optika () Zakoni geometrijske optike (λ 0):. Zakon o pravocrtnom širenju: U optički jednolikome i prozirnom sredstvu svjetlost se širi po pravcu, okomito na ravnine valnih fronti.. Ako se dva snopa svjetlosti sijeku, nema uzajamnog utjecaja tih snopova.. Zakon odbijanja ili refleksije: Ako na glatku plohu padne zraka svjetlosti, ona se od nje odbije. Upadna zraka, normala na plohu u upadnoj točki i odbijena zraka leže u istoj ravnini, a pri tom je kut odbijanja jednak upadnom kutu (kutovi se mjere s obzirom na normalu na graničnu plohu). 3. Zakon loma ili refrakcije: Ako zraka svjetlosti prelazi iz jednog sredstva u drugo, ona mijenja smjer. Upadna zraka, normala na granicu u upadnoj točki i lomljena zraka leže u ravnini zajedno s odbijenom zrakom. Upadni kut u i kut loma l povezani su Snellovim zakonom, gdje je n indeks loma sredstva u kojemu se upadna zraka širi, a n indeks loma sredstva u kojemu se širi lomljena zraka. sin sin u = l n n Razlikovni studiji, Fizika, Predavanje 0 6
17 Geometrijska optika (3) Indeks loma je omjer brzine svjetlosti u vakuumu i fazne brzine svjetlosti u nekom sredstvu. Udaljenost koju svjetlost prevaljuje naziva se geometrijski put (d) svjetlosti. Umnožak indeksa loma i geometrijskog puta naziva se optički put (δ=nd) svjetlosti. U dva različita sredstva, u jednakim intervalim,a svjetlost prevaljuje jednako velike optičke putove. Fermatov princip (650): svjetlo koja se lomi i odbija prevaljuje toliki put između dvije točke da pripadni optički put zrake ima ekstremnu vrijednost, odnosno svjetlo prolazi put u ekstremnom vremenu (obično je taj ekstrem minimum). Pomoću Fermatova principa mogu se izvesti zakon refleksije i zakon loma svijetlosti 7
18 Fermatov princip zakon refleksije Pierre de Fermat (60-665) definirao je princip (650) koji glasi: Svjetlost koja se lomi ili reflektira giba se između dvije točke (A i B) putanjom koja zahtjeva najkraće vrijeme (proizilazi iz Huygensova načela) Prema Frematovu principu, dadu se izvesti zakon odbijanja (refleksije) i zakon loma: s s t = + = ( a + x + ( d x) + b ) v v v A a x s d s d-x B b dt dx = a x + x b d + ( d x x ) = = kut sin θ θ = sin kut θ θ ' ' = 0, (zakon ili refleksije ) 0, Fizika, Predavanje 9 uvjet ekstrema 8
19 9 Fermatov princip zakon loma Fermatov princip: Svjetlost koja se lomi ili reflektira giba se između dvije točke putanjom koja zahtjeva najkraće vrijeme. n c x ) (d b n c x a v r v r t = + = (zakon loma) sin sin 0 sin sin 0 ) ( ) ( v v n n n n x d b c x d n x a c x n dx dt = = = = + + = θ θ θ θ Uvjet ekstrema
20 Ravno zrcalo Najjednostavnije zrcalo ravna glatka ploha. Zrake napuštaju izvor i reflektiraju se na zrcalu. Točka I se zove slika objekta smještenog u točki O. Slika je virtualna, ravno zrcalo uvijek formira virtualnu sliku. Ima beskonačno zraka koje napuštaju neku točku objekta. Samo su dvije zrake potrebne da se odredi gdje će se slika formirati. Jedna zraka iz točke P se reflektira (u točki Q) u samu sebe. Druga zraka iz točke P slijedi put PR i reflektira se u skladu s zakonom refleksije. Trokuti PQR i P QR su isti. Da se uoči slika, promatrač treba ekstrapolirati dvije reflektirane zrake u točku P. Točka P je točka gdje izgleda kao da zrake dolaze iz nje. Slika kod ravnog zrcala se nalazi iza zrcala, onoliko koliko se predmet nalazi ispred zrcala. p = q 0
21 Sferna zrcala Sferna zrcala imaju oblik dijela sfere. Konkavno ili udubljeno sferno zrcalo ima reflektirajuću površinu na unutrašnjoj strani, konkavnoj stani krivulje. Konveksno ili ispupčeno sferno zrcalo ima reflektirajuću površinu na vanjskom dijelu krivulje, konveksnoj strani krivulje. Zrcalo ima radijus zakrivljenosti R. Centar zakrivljenosti je u točki C. Točka V (tjeme zrcala) se nalazi u centru sfernog segmenta. Linija od C do V se zove glavna ili optička os.
22 Sferna aberacija. Gaussova aproksimacija Zrake koje su daleko od glavne osi sijeku se na različitim točkama glavne (optičke) osi. Ovaj efekt se zove sferna aberacija i proizvodi razmazanu sliku predmeta. Ako se, međutim, ograničimo samo na zrake koje s optičkom osi zatvaraju mali kut i pogađaju površinu zrcala blizu tjemena T, onda one zadovoljavaju tzv. GAUSSOVU APROKSIMACIJU. U tom slučaju, slika predmeta je jasna i sve reflektirane zrake prolaze kroz jednu točku, kroz ŽARIŠTE (FOKUS) zrcala. T
23 Određivanje slike sfernih zrcala Slike sfernih zrcala mogu se odrediti pomoću sjecišta 4 karakteristične zrake koje se šire iz predmeta: Zraka upada paralelno optičkoj osi i reflektira se kroz fokus F, Zraka prolazi kroz fokus i reflektira se paralelno optičkoj osi, Zraka 3 prolazi kroz centar zakrivljenosti i reflektira se sama u sebe, Zraka 4 reflektira se u tjemenu i vrijedi: kut upada=kut refleksije. Ovo doslovno vrijedi za udubljeno (konkavno) zrcalo. Za ispupčeno (konveksno) zrcalo opis zraka malo se mijenja (više na slijedećoj stranici). Za određivanje slike je dovoljno ucrtati dvije od navedenih karakterističnih zraka (slijedeća stranica). 3
24 Određivanje slike sfernih zrcala - Rezultati Napomena: na slici O - označava predmet, I - sliku, C - centar zakrivljenosti, a F - fokus zrcala a) b) Konkavno zrcalo Konveksno zrcalo Zraka upada paralelno optičkoj osi i reflektira se kroz fokus F, Zraka prolazi kroz fokus i reflektira se paralelno optičkoj osi, Zraka 3 prolazi kroz centar zakrivljenosti i reflektira se sama u sebe, Zraka 4 reflektira se u tjemenu i vrijedi: kut upada=kut refleksije. 4
25 Formiranje slike konkavnim zrcalom Geometrijska razmatranja pokazuje da je poprečno povećanje konkavnog zrcala: h je negativan kad je slika obrnuta: h m = ' = h q p Geometrija također pokazuje da vrijedi ova veza između udaljenosti predmeta p i slike q od zrcala: Izraz se naziva jednadžba zrcala: + = p q R Ako je p znatno veći od R, tj. kad je predmet daleko od zrcala, slika se nalazi na pola od centra zakrivljenosti zrcala i tjemena zrcala (F žarište ili fokus) p, onda /p 0 i q R/ 5
26 Žarište - fokus Obojeni snopovi putuju paralelno optičkoj osi. Zrcalo reflektira sva tri snopa kroz žarište. Žarište je točka gdje se svi snopovi sijeku. Boja u žarištu je bijela Položaj žarišta ovisi samo o zakrivljenosti zrcala, a ne o tome gdje se nalazi objekt. Položaj žarišta ne ovisi o materijalu od kojeg je zrcalo napravljeno. ƒ = R / Jednadžba zrcala glasi: + = p q ƒ 6
27 Konkavno zrcalo, kad je p > f Centar zakrivljenosti je između predmeta i tjemena zrcala. Slika je realna. Slika je obrnuta. Slika je manja od predmeta. 7
28 Slika konkavnog zrcala, kad je p < f Predmet se nalazi između fokusa i tjemena zrcala. Slika je virtualna. Slika je veća od objekta. Ovakva zrcala koriste dame za make-up. 8
29 Formiranje slike konveksnim zrcalom, p > R Konveksno zrcalo se nekad zove i divergirajuće zrcalo. Zrake bilo koje točke predmeta divergiraju nakon refleksije i izgleda kao da dolaze iz neke točke iza zrcala. Slika je virtualna. U načelu je slika konveksnih zrcala uspravna i manja od predmeta. Konveksna zrcala se često koriste u sustavima sigurnosti jer pokrivaju veliku površinu. 9
30 Geometrijska optika (leće) Leća je prozirno optičko tijelo omeđeno dvjema glatkim prozirnim površinama koje mogu biti ili obje zakrivljene, ili jedna zakrivljena a druga ravna. Leća je prozirno optičko sredstvo omeđeno dvjema sfernim granicama (sferne leće) čiji centri zakrivljenosti leže na zajedničkoj optičkoj osi. Ako se točkasti predmet nalazi na optičkoj osi u predmetnoj daljini a, tanka leća načini sliku na optičkoj osi u slikovnoj udaljenosti b prema relaciji (f žarišna daljina): + = a b f Relacija vrijedi ako se leća nalazi u homogenom sredstvu jednog indeksa loma, npr. zraku Žarišna udaljenost konvergente leće je pozitivna, a divergentne leće negativna. Slika je realna (b>0) ako je sa suprotne strane od predmeta, a virtualna (b<0) ako je s iste strane kao predmet. Jakost ili konvergencija leće jednaka je J = / f i izražava se recipročnim metrom (m - ) ili dioptrijom (dpt). 30
31 Određivanje slike tankih leća - Rezultati Slike tankih leća mogu se odrediti pomoću sjecišta 3 karakteristične zrake koje se šire iz predmeta: Zraka koja upada paralelno optičkoj osi prolazi kroz fokus F, Zraka koja prolazi kroz fokus F pojavljuje se paralelno optičkoj osi, Zraka 3 koja prolazi kroz centar leće ne mijenja smjer pri prolasku. Napomena: na slici O - označava predmet, I - sliku, a F fokuse (r i r su polumjeri zakrivljenosti sfernih ploha leće) a) b) konvergentna leća a > f a < f c) a + b = f Konveksna (divergentna) leća 0, Fizika, Predavanje 9 f = n n ( zrak ) n ( zrak ) r r 3
32 Dijagram zraka za konvergentnu leću: a > f y y a b Slika je realna. Slika je obrnuta. Slika se nalazi s druge strane leće. Povećanje leće y = y ' m = b a b a 3
33 Dijagram zraka za konvergentnu leću: a < f Slika je virtualna. Slika je uspravna. Slika je veća od objekta. Slika ja na istoj starni na kojoj i predmet. 33
34 Dijagram svjetlosnih zraka divergentne leće Slika je virtualna. Slika je uspravna. Slika je umanjena. Slika je ispred leće. 34
35 Građa ljudskog oka: 35
36 Mrežnica: Najvažniji čimbenik za funkciju oka. U njoj se nalazi receptorski aparat osjeta vida. Sastoji se od dvije vrste živčanih stanica, čunjića i štapića (6-7milijuna, milijuna). Najosjetljivija točka je makula (žuta pjega) promjera oko,5 mm. Zrake svjetla dolaze kroz rožnicu na leću, lome se i projiciraju na mrežnicu gdje nastaje obrnuta slika uočenog predmeta. 36
37 Čunjići i štapići: - Štapići su raspoređeni periferno od žute pjege i u tom području prekrivaju 97.5% površine mrežnice. - Čunjića ima najviše na prostoru žute pjege, a prema periferiji im broj opada. - Štapići nisu osjetljivi na boju i služe uglavnom pri slabom svjetlu i iz tog razloga se pri slabom svjetlu slabo raspoznaju boje. -Međutim, štapići su vrlo osjetljivi za percepciju kretanja objekata u vidnom polju. 37
38 - Postoje tri vrste čunjića prema osjetljivosti na boje, pa se dijele na crvene, zelene i plave. Ako su obasjani odvojeno crvenom, plavom i zelenom bojom, mozak to interpretira kao da vidimo bijelu svjetlost. 38
39 Osnove razlike štapića i čunjića: Štapići (zapažanje svjetla): Velika osjetljivost, specijalizirani za gledanje u mraku. Više vidnog pigmenta, hvataju više fotona. Veliko pojačavanje signala, detekcija već jednog fotona. Zasićenje (saturacija) pri dnevnom svjetlu. Najosjetljiviji na svjetlo valne duljine 505 nm. Spora adaptacija na mrak (oko 30 minuta). Slaba oštrina vida. Akromatski: jedna vrsta vidnog pigmenta. Čunjići (zapažanje boja): Manja osjetljivost, specijalizirani za gledanje po danu. Manje fotopigmenta. Manje pojačavanje signala. Zasićenje (saturacija) jedino na jarkom svjetlu. Najosjetljiviji na svjetlo valne duljine 555 nm. Brza adaptacija na mrak (oko 5 minuta). Velika oštrina vida. Kromatski: tri vrste čunjića s tri vrste vidnih pigmenata (svaki osjetljiv na posebni dio vidnog spektra). 39
40 Akomodacija oka - Oko se podešava za jasno gledanje bliskih predmeta ispupčavanjem leće, pomoću cilijarnih vlakana, tj. smanjenjem žarišne duljine leće. - Gledajući akomodaciju oka i najfinija kamera se čini poput igračke prema složenosti oka. - U starijoj dobi cilijarna vlakna i leća gube svoju elastičnost što otežava akomodaciju i nastaje staračka dalekovidnost. 40
41 Bliska i daleka točka - Predmeti koji se nalaze na udaljenosti manjoj od tzv. bliske točke (P n ) ne vide se jasno, P n ~ 5 cm - Daleka točka je najudaljenija točka do koje oko može fokusirati neki predmet. Za ljude sa normalnim vidom daleka točka je u beskonačnosti. 4
42 Dalekovidnost : - Zrake svjetla padaju na mrežnicu prije nego formiraju sliku, tj. formiraju sliku iza mrežnice zbog smanjene udaljenosti između leće i mrežnice. - Dalekovidna osoba čisto vidi daleke objekte dok kod bliskih objekata vidi mutnu sliku. - Oko dalekovidne osobe akomodacijom pokušava skratiti žarišnu duljinu, ali ne može u potpunosti. - Vid se korigira postavljanjem konveksne leće ispred oka, čija se jačina izražava u plus (+) dioptrijama. 4
43 Kratkovidnost: - Zrake svjetla formiraju sliku ispred mrežnice te nastavljaju divergirati prema mrežnici gdje čine nejasnu (mutnu) sliku. To je posljedica povećane udaljenosti između leće i mrežnice. - Kratkovidna osoba čisto vidi bliske objekte, dok kod dalekih objekata vidi mutnu sliku. - Vid se korigira postavljanjem konkavne leće ispred oka, čija se jačina izražava u minus (-) dioptrijama. 43
44 Astigmatizam: - Astigmatizam je anomalija vida koja nastaje kada je zakrivljenost rožnice nepravilna, što za posljedicu ima poremećenu oštrinu vida. - Korigira se lećama koje duž svoje površine imaju različitu zakrivljenost.
45 Optički instrumenti Jednostavno povećalo Predmeti koji se nalaze na udaljenosti manjoj od tzv. blize točke (P n ) ne vide se jasno, P n ~ 5 cm. Kutna veličina objekta je najveća kad se nalazi u bliskoj točki. Kutno Povećanje: m θ = θ θ o θ Za male kutove vrijedi: tgθ θ; tgθ o θ o h θo ; θ = 5 cm h f θ o Prividna veličina objekta je određena veličinom slike na retini. Maksimalno povećanje jednostavnog povećala je od 3 do 4 puta. m θ = 5cm f Kutno povećanje je omjer veličine slike na retini kad se koristi uređaj, prema veličini slike na retini viđene bez uređaja. 45
46 Optički instrumenti Složeni mikroskop p Objektiv i Okular Transverzalno povećanje objektiva: Kutno povećanje okulara: m θ 5cm = f ey q m= p L f ob q- udaljenost slike od objektiva p-udaljenost predmeta od objektiva ~ f ob Ukupno povećanje: M = mmθ = L 5 cm f ob f ey Mikroskop treba imati što manju žaršinu daljinu objektiva i okulara. 46
47 Optički instrumenti Teleskop Kod teleskopa druga žarišna točka objektiva mora se poklapati s prvom zarišnom točkom okulara, dok se one kod mikroskopa ne poklapaju. Dužina teleskopa Pojačanje teleskopa: m θ θey = θ ob = h' f h' f ey ob = f f ob ey Teleskop treba imati što veću žaršinu daljinu objektiva i što manju zarširnu daljinu okulara. 47
48 Pitanja. Što je geometrijska optika? Kako glasi zakon loma i refleksije. Kako se ponašaju valna duljina i frekvencijom svjetlosti pri prijelazu iz jednog sredstva u drugo. (obavezno). Objasnite nastanak totalne refleksije i navedite jednu njenu primjenu. 3. što je to Fermatov princip. Izvedite zakon refleksije i loma iz Fermatovog principa. 4. Kako se konstruira slika sfernih zrcala. 5. Kako se konstruira slika leća. 48
49 Primjer višestruke refleksije i retrorefleksije Kad je kut između dva zrcala 90 o r eflektirani snop će se vratiti u izvor paralelno svom originalnom putu. Ova pojava se zove retrorefleksija i ima mnoge praktične primjene 969 na Mjesecu je postavljen uređaj koji se sastoji od sustava zrcala kojima se ostvaruje retrorefleksija, tj. laserska zraka s Zemlje se reflektira natrag u samu sebe i mjeri se vrijeme potrebno dasezrakareflektiranatragitakoses preciznošću od 5 cm mjeri udaljenost Zemlja-Sunce. Retrorefleksija se koristi i na stažnjim svjetlima automobila, tako se svjetla autombila koji se približava reflektiraju nazad radi bolje uočljivosti Male sfere na crtežu desno se koriste da pojačaju vidljivost prometnih znakova. 49
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
c - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1.
Geometrijska optika_intro Zakoni geometrijske optike, zrcala, totalna refleksija, disperzija svjetlosti, leće, oko i načini korekcije vida Zakoni geometrijske optike 1. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
Svjetlost. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti. Ravno zrcalo Sferno zrcalo.
Poglavlje Svjetlost.....3..4..4...4...5..5...5...5.3..6..6...6...6.3..7..8. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti Ravno zrcalo Sferno zrcalo Lom svjetlosti
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE
PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE 1. Opišite svjetlosne izvore. Po čemu se oni razlikuju? 2. Opiši osjetljivost oka na različite valne duljine. 3. Definiraj (i pojasni) pojmove: točkasti svjetlosni
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Fizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10
Fizika Optika Geometrijska optika 009/10 1 Geometrijska optika -empirijska, aproksimativna (vrijedi uz određene uvjete) -svjetlost se proučava kao pravocrtna pojava koja se širi brzinom c 0 =310 8 ms -1
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
F2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008
F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom
Valovi 1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom y = a3 a 2 x 2, gdje je a = 1 m (x i y takoder su izraženi u metrima). Maksimum impulsa je u toči x = 0 m.
F2_K1_geometrijska optika test 1
F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna
Fizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10
Fizika 2 Optika Geometrijska optika 2009/10 1 2 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Geometrijska optika 3. dio. -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije
Geometrijska optika 3. dio -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije Sferni dioptar Sferni dioptar - skup dvaju homogenih izotropnih optičkih sredstava različitih indeksa loma n 1 i n 2, rastavljenih
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima
Zadaci - Geometrijska optika - Fizikalna optika - 2007/08 Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima ravni dioptar planparalelna ploča prizma Koja svojstva svjetlosti poznajete? Što je svjetlost
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
4. Leće i optički instrumenti
4. Leće i optički instrumenti. Ključni pojmovi Leće, Besselova metoda, dijaprojektor, mikroskop, Keplerov i Galilejev teleskop. Teorijski uvod Jednadžba leće: Žarišna daljina tanke leće, udaljenost predmeta
λ ν = metoda + = + = = =
Zadata (Mira, gimnazija) Polumjer zarivljenosti udubljenog zrala je 4 m, a predmet je od zrala udaljen a = f. Nañi položaj slie. Rješenje r = 4 m, a = f, b =? Sferno zralo je dio ugline površine, tj. ono
Izbor zadataka Fizika 2
Izbor zadataka Fizika 2 (optika i fotometrija) Katedra fizike Grafičkog fakulteta, Zagreb, 2007/08 FIZIKA 2/1 1. Na optičku mrežicu pada okomito snop vidljive svjetlosti. Kolika je valna duljina crvene
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Optika Što je svjetlost?! Vrlo težak odgovor! Valna teorija
Optika Optika - Dio fizike. Znanost koja proučava svjetlosne pojave. Izvori svjetlosti: Sunce, zvijezde, užareni predmeti, plamen, električni izboj u plinovima i dr. Oko = detektor svjetlosti. Pomoću oka
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Geometrijska optika 4. dio. Optički ureñaji: oko (najsloženije) leća lupa kao najjednostavniji optički ureñaj mikroskop, dalekozor, fotoaparat
Geometrijska optika 4. dio Optički ureñaji: oko (najsloženije) leća lupa kao najjednostavniji optički ureñaj mikroskop, dalekozor, fotoaparat Oko Oko - Organ vida koji neposredno prima svjetlosne utiske.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Fizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009.
Fakule elekoehnike, sojasva i bodogadnje Računasvo Fiika Audione vježbe - 7 lekomagneski valovi 15. avnja 9. Ivica Soić (Ivica.Soic@fesb.h) Mawellove jednadžbe inegalni i difeencijalni oblik 1.. 3. 4.
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Dvojna priroda čestica
Dvojna priroda čestica Kao mladi student Sveučilišta u Parizu, Louis DeBroglie je bio pod utjecajem teorije relativnosti i fotoelektričnog efekta. Fotoelektrični efekt je ukazivao na čestična svojstva
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
18. Geometrijska optika
8. Geometrijska optika U dosadašnjim razmatranjima titranja stalno smo naglašavali i koristili valni aspekt enomena na primjer svjetlosti. No postoji dio primjene znanja o EM enomenima u kojima, da bismo
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Fizika 2. Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08
Fizika 2 Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08 1 Svjetlost je... Svjetlost je ono što čini objekte oko nas vidljivima Svjetlost je jedini izvor boje Svjetlost je energija Svjetlost je i val i čestica
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09
Fizika 2 Fizikalna optika 2008/09 Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom sredstvu (optičkom sredstvu). U fizikalnoj
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
F2_K2, R: nastavni materijali s predavanja, preporučena literatura, web stranica katedre fizike;
F_K,.06.08.. Interferencija elektromagnetskih valova; posebno vidljive svjetlosti. Uvjeti za konstruktivnu i destruktivnu interferenciju. Opišite interferentni uzorak za monokromatsku i polikromatsku svjetlost
Interferencija svjetlosti
Interferencija svjetlosti a) Interferencija valova (mehaničkih i svjetlosnih) je svojstvo algebarskog zbrajanja (pojačavanja i poništavanja) dva ili više vala. Na slici je prikazan val na vodi iz jednog
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
(12.j.) 11. Dva paralelna vodiča nalaze se u vakuumu. Kroz njih prolaze struje I1 i I2, kako je prikazano na crteţu.
MAGNETIZAM (ispitni katalog) 11. Tri jednaka ravna magneta spojimo u jednu cjelinu, kao što je prikazano na slikama. Koji crteţ ispravno prikazuje razmještaj polova magneta nastalog nakon spajanja? (08.)
Vanjska simetrija kristâla
Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
VJEŽBE IZ FIZIKE 2 OPTIKA I FOTOMETRIJA
VJEŽBE IZ FIZIKE 2 OPTIKA I FOTOMETRIJA Katedra fizike Grafičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu Zagreb, 2006/07. 1 UVOD Optika je u širem smislu znanost o zračenju. Nekada je optika izučavala samo one
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Lorentzova sila sila kojom magnetsko polje djeluje na česticu naboja q koja se u njemu giba brzinom v
Lorentzova sila sila kojom magnetsko polje djeluje na česticu naboja q koja se u njemu giba brzinom v α je kut od v prema B pravilo desne ruke: ako je naboj pozitivan, isto kao i za Amperovu silu samo
OPTIČKA SVOJSTVA PAPIRA
OPTIČKA SVOJSTVA PAPIRA Papir svjetlosne zrake može apsorbirati, propustiti ili reflektirati. Kada svjetlost pada na papir jedan dio svjetlosnih zraka se odbije pod istim kutem pod kojim je i upao (zrcalna
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)