Vremenska i frekvencijska analiza Izmjenična snaga Djelila i mostovi Laplace-ova transformacija Višefazni sustavi

Transcript

1 3 ISTOSMJENA I IZMJENIČNA ANAIZA remenska i frekencijska analiza Izmjenična snaga Djelila i mostoi aplaceoa transformacija išefazni sustai

2 Istosmjerna i izmjenična analiza 3.. Električki elementi u krugu izmjenične struje Tri osnona električna elementa: otpornika, zaojnica i kondenzator, sa sojim značajkama otporom, induktiitetom i kapacitetom, predstaljaju linearni, deriabilni i integrabilni član u strujnom krugu kojim teče izmjenična struja i=i m sin (ωt), matematički se opisuju kao (tablica 3): Tablica 3 Elementi u krugu izmjenične struje Element Zakon/prailo Napon na elementu Impedancija Otpornik, otpora Zaojnica, induktiiteta = i = Im sin( ω t ) Z = di = = ω I cos( m ω ) t Z = ω = X Kondenzator, kapaciteta = i = Im cos( ω t) ω Z = ω = X Impedancija Z predstalja omjer napona i struje na promatranom elementu. Iz tablice je očeidno da će naponi biti međusobno i prema struji biti fazno pomaknuti kao na slici: Slika 3 remenska promjena struje i napona Matematički izod za saki element dan je u tablici 3: 8

3 EEKTOTEHNIKA Tablica 3 Izodi za impedancije pojedinih elemenata u A strujnom krugu Elementi Shema Izod Otpornik i t () = sin( ωt) m t () msin( ωt) m it () = = = sin( ωt) = I sin( ωt) m t () m sin( ωt) Z = = = it ( ) I sin( ωt) Z m m = = = I I m Struja i napon su u fazi!! Kondenzator i I i = i također = o = 90 U dq dq = d i = d d i = = m sinωt ( ) ( ) i = m ω cosωt = Im sin ωt π/. m m Im = m ω = = također I = X X ω Z = = ω = X π Ω f [ ] Zaojnica i i = i također = U di di di = 90 o e = = e = = di = m i = m sinωt = ω t π i = Im sin ωt I I m ( cos ω ) m = također za efektine rijed. ω [ ] Z = X = ω = π f Ω I I = X = ω 9

4 Istosmjerna i izmjenična analiza U slučaju zaojnice i kondenzatora s otpornikom, postoje oi slučajei, s pripadnim fazorskim I dijagramom Serijski spoj: i i I Slika 3 I dijagram serijskog i spoja I Paralelni spoj: i i i I I I i i i I I I Slika 3 3 I dijagram paralelnog i spoja što se u slučaju impedancijskog trokuta prikazuje oako: Z=jX X X Z=jX Slika 3 4 Trokut impedancija 30

5 EEKTOTEHNIKA ačunanje ekialentne impedancije izodi se po prailima serijskog i paralelnog spajanja: Z Z Z = Z Z Z Z Z = jx jx Z = ( ) j( ω ) ω = = Z Z Z jx jx Z = jx jω Z = jω Slika 3 5 ačunanje ekialentne impedancije 3.. Djelila i mostoi U elektrotehnici postoji mnošto spojea. Glane dije skupine su djelila i mosni spojei, od kojih se redoito spominju i najčešće izode: naponska djelila i Wheatstoneo most (Tablica 33) 3

6 Tablica 3 3 Djelila i mostoi Istosmjerna i izmjenična analiza Mreža Izraz s o = I = = s S 0 j ω 0 out in = ω = ω ω I Za most u ranoteži (struja u dijagonali mosta jednaka nuli): S 3 x x = Izmjenična snaga Pri određianju snage i rada konstantne istosmjerne struje utrđeno je da je snaga jednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, struje i remena: P = I i W = P t = I t. (3.) Isto rijedi za izmjeničnu struju ali za njezine trenutne rijednosti. Njiho umnožak daje trenutnu snagu: p = i. (3.) Ako napon =m sin ωt kroz neko trošilo daje struju i=im sin(ωt ), onda je trenutna snaga trošila: p = i = t I t (3.3) m sinω sin ( ω ) što uz primjenu izraza iz trigonometrije sinα sin β = cos ( α β) cos ( α β) daje: m 3

7 EEKTOTEHNIKA p = I cos t t cos t t p = I cos I cos ωt ( ω ω ) ( ω ω ) ( ) (3.4) U trenutnoj snazi je dio remenski neoisan ( I cos), a dio harmoničkog oblika i dostruke frekencije od napona i struje. Trenutna snaga titra oko osi paralelne s remenskom i udaljenom od nje za iznos I cos (slika 3.3). Slika 3 6 Trenutna snaga izmjenične struje Srednja snaga P, razijena u remenskom interalu T, iznosi: T T T P = p t = i = I I t T T T ( ) cos cos ( ω ) < (3.5) Kako je integral drugog dijela izraza jednak nuli, onda je: a rad: [ ] P = I cos W (3.6) [ ] W = P T = I co T J (3.7) Srednja snaga jednaka je umnošku efektinih rijednosti napona i struje s kosinusom njihoa faznog pomaka. Izraz cos stoga se nazia faktorom snage. Kako fazni pomak može pri trošenju energije poprimiti rijednosti π / π/, faktor snage kreće se između i nule (0 cos ). Slika 3 7 Trenutna i srednja snaga za razne fazne pomake 33

8 Istosmjerna i izmjenična analiza adi boljeg shaćanja značenja izraza za srednju snagu, pogodno je pogledati kriulju trenutnih rijednosti snage p(t) i pripadajući iznos srednje snage za nekoliko karakterističnih faznih pomaka. Neka to budu pomaci koji su se jaljali kod radnog otpora, induktiiteta i kapaciteta u strujnom krugu. U prom slučaju fazni pomak bio je nula, u drugom je iznosio π/ i u trećem π/. Ti su prikazi dani na slici 34. Ako je fazni pomak jednak nuli, trenutna snaga je: a srednja snaga: ( ω ) ( ω ) p = I cos 0 I cos t 0 = I cos t (3.8) P = I cos 0 = I (3.9) Kriulja trenutne snage je istog oblika kao ona na slici 33, a titra frekencijom dostrukom od frekencije napona i struje oko srednjeg iznosa I (slika 34.a). Njezine trenutne rijednosti jednake su nuli, kada su jednaki nuli napon i struja. Srednja snaga jednaka je iznosu koji odgoara osi titranja trenutne snage i proporcionalna je poršini omeđenoj kriuljom p i apscisom. Kako toj poršini pripadaju samo pozitini iznosi, sa se energija izora pretara u trošilu u radnu. Ako je fazni pomak struje prema naponu π/, kao na induktiitetu, trenutna snaga je: a srednja snaga: ( π ) ( ω π ) ( ω π ) ( ω ) p = I cos / I cos t / p = I cos t / = I sin t π P = I cos = 0 (3.0) (3.) Kriulja trenutne snage je istog oblika kao ona na slici 3.3.a, a titra oko apscise (slika 34.b). Njezine trenutne rijednosti jednake su nuli, kada su jednaki nuli ili struja ili napon. Poršini omeđenoj kriuljom p i apscisom za rijeme jednog titraja pripadaju jednaki pozitini i negatini iznosi. Pozitine poršine proporcionalne su energiji koju izor predaje trošilu, u kojem se ona pretara u magnetsku, a negatine energiji koja se razgradnjom magnetskog polja trošila raća u izor. Kako su obje jednake, energija titra između izora i trošila bez obaljanja korisnog rada. Ako je fazni pomak struje prema naponu π/, kao na kapacitetu, trenutna snaga je: a srednja snaga: ( ) ( ω π ) ( ω ) p = I cos π / I cos ωt π/ p = I cos t / = I sin t (3.) 34

9 EEKTOTEHNIKA π P = I cos = 0 (3.3) Kriulja trenutne snage je istog oblika kao u prethodnim slučajeima i titra oko apscise (slika 34.c). I odje poršini omeđenoj kriuljom p i apscisom za rijeme jednog titraja pripadaju jednaki pozitini i negatini iznosi, pa energija ide u trošilo u kojem se pretara u energiju električnog polja, a razgradnjom električnog polja raća se u izor. Tu također nema korisnog rada. U slučajeima kada je fazni pomak eći od nule a manji od apsolutne rijednosti od π/, kriulja trenutne snage pomiče se prema pozitinim iznosima ordinate, čime pozitine poršine postaju eće od negatinih, a njihoa razlika proporcionalna korisno obaljenom radu u trošilu Trokut snaga Izraz za srednju snagu P= I cos naodi na predodžbu trokuta s hipotenuzom I i katetom I cos. Druga kateta odgoarala bi umnošku I sin. Time su dobiene tri komponente snage koje grafički tore trokut. Za saki dio strujnog kruga koji se dade predočiti trokutom otpora moguće je postaiti i trokut snaga. adnom otporu pri tom odgoara radna ili srednja snaga, jaloom jaloa i priidnom priidna snaga (slika 35). Z X UI UI sin UI cos Slika 3 8 Trokut impedancije i trokut snage adna snaga predstalja korisno upotrebljiu snagu u trošilu, jaloa služi za izgradnju magnetskog polja u zaojnici i električnog u kondenzatoru, a priidna snaga je mjerodana za dimenzioniranje izora struje koji treba podmiriti potrebu za radnom i jaloom snagom. Za saku komponentu snage koristi se uz drugu oznaku i druga jedinica, pa je: radna ili srednja snaga P = I cos [ W] jaloa snaga PQ = I sin [ Ar] priidna snaga P = I [ A] Jedinica Ar čita se 'reaktini oltamper'. S 35

10 Istosmjerna i izmjenična analiza Za međusobni odnos komponenata snage rijedi: P = P P (3.4) S Q gdje je: P = P cos i P = P sin (3.5) S Q S Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos =, a radna snaga jednaka je priidnoj. Ako za neki dio strujnog kruga rijedi da je X>X, onda u trokutu snaga za taj dio preladaa induktina jaloa komponenta pa trokut izgleda kao na slici 36.a. Ako rijedi da je X<X, onda preladaa kapacitina jaloa komponenta pa trokut snaga izgleda kao na slici 36.b. U prom slučaju se kaže da je fazni pomak induktian, a u drugom kapacitian. P PS P0 PS P Slika 3 9 Trokut snaga PQ Za složene strujne krugoe trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obalja tako da se algebarski zbroje radne i istoimene jaloe (npr. induktina i induktina ili kapacitina i kapacitina) komponente, a grafički, poezianjem njihoih rhoa, dobije se rezultantna priidna snaga. Kod raznoimenih jaloih komponenata njihoi iznosi se oduzimaju. Ako je jaloa snaga PQ na slici 36.a. jednaka PQ = PQ = I (3.6) onda može jaloa snaga P Q na slici 36.b. biti jednaka Ukupna jaloa snaga npr. u serijskom spoju je tada PQ = PQ = I (3.7) PQ = PQ PQ (3.8) 3.4. remenska i frekencijska domena Naponi i struje na sakom elementu u mreži mogu se odrediti u remenskoj domeni. To obično uključuje rješaanje diferencijalnih jednadžbi. Analiza se može pojednostaniti transformacijom diferencijalnih jednadžbi u 36

11 EEKTOTEHNIKA algebarske jednadžbe koristeći fazore, reprezentante kompleksne frekencije. Kad je napon harmonijski, tj. tada je fazor jednak: ( ) cos ( ) t = wt θ (3.9) m jθ me m a komplesna frekencija je čisto imaginarna eličina: = = θ (3.0) s = jw (3.) Analiza strujnih krugoa sa sinusnom uzbudom, proodi se tako da se krug transformira u sdomenu sa s=jω. Tamo se, u frekencijskog domeni, rješaaju nepoznate struje i naponi, koristeći mrežne zakone i praila. ješenje se na koncu raća u remensku domenu koristeći inerznu fazorsku transformaciju. Na primjer, krug prikazan u remenskoj i frekencijskoj domeni izgleda oako: 3 () t = 8cos(0 t 5) S 3 () t 3 Slika 3 0 remenska domena /j0 j0 j0 = 85 S Slika 3 Frekencijska domena Ako su rijednosti za,, 3,, i poznate, onda se napon 3 može izračunati koristeći analizu kruga. Ako se pretpostai da je 3 jednak

12 3 m3 3 onda je u remenskoj domeni 3(t) jednak: Istosmjerna i izmjenična analiza = θ (3.) ( t) = cos( wt Θ ) (3.3) 3 m serijski spoj u remenskoj domeni Za serijski spoj prema shemi, također se može napisati KZ da bi se dobila jednadžba: t di ( t ) S ( t) = i( τ) dτ i( t) (3.4) Deriirajući izraz po remenu / dobia se: di( t) di( t) i( t) S ( t) = (3.5) tj. ( ) ( ) ( ) ( ) d t d i t di t i t = (3.6) S homogeno rješenje može se dobiti ako se načini s(t) = konst., što daje: di( t) di( t) i( t) 0 = (3.7) () t = S S it () 0( t ) Slika 3 serijski spoj u remenskoj domeni Karakteristična jednadžba je: 0 λ aλ b = (3.8) gdje su a=/ i b=/. Da bi se jednadžba riješila potrebno je odrediti korijene karakteristične jednadžbe. Ako se pretpostai da su korijeni λ = α, β (3.9) 38

13 EEKTOTEHNIKA onda je rješenje homogenog dijela jednako: h t t ( ) α i t = Ae A e α (3.30) gdje su A i A konstante. Ako je s(t) konstanta, onda će prisilno rješenje također biti konstantno i dat će se kao Ukupno rješenja tako je dano sa: f ( ) 3 i t = A (3.3) αt αt ( ) i t = Ae A e A (3.3) 3 gdje se A, A i A3 dobiju iz početnih ujeta. 39

14 Primjer 3. Istosmjerna i izmjenična analiza Za serijski spoj naći i(t) ako je =0 H, =400 Ω i =00 μf. Početni ujeti su s(t)=0, i(0)=4 A, te di(0)/ = 5 A/s. Budući da je s (t)=0 rijedi: di t ( ) 400 di( t) 0 = 000i t 0 Karakteristična jednadžba je: 0 = λ 40λ 000 Matlab programom pronaći će se korijeni oe karakteristične jednadžbe. >> p = [ ]; lambda = roots(p) lambda = i i Koristeći korijene dobiene Matlab programom, i(t) se dobije kao: 0t ( ) = ( cos ( ) sin ( )) 0 ( 0) = ( ( 0) ) = 4 ( ) 0t = 0e Acos ( t) Asin ( t) 0t sin ( ) cos ( ) ( 0) i t e A t A t i e A A A di t e A t A t di = A 0A = 5 ( ) Budući da su A=4 i A= , rijedi: 0t ( ) = 4cos ( ) sin( ) i t e t t 3.6. aplaceoa tranformacija Međutim, jednostaniji način određianja napona i struja u krugoima je upotrebom aplaceoe transformacije (T). Pro se za krug napišu diferencijalne jednadžbe koristeći KZ, a onda se pretore u algebarske jednadžbe koristeći T. Nepoznati naponi ili struje tada se rješaaju u s domeni. Na koncu se upotrebom inerzne aplaceoe transformacije rješenje izrazi u remenskoj domeni odakle smo krenuli. Sljedeća tablica pokazuje T paroe iz t prema sdomeni. 40

15 EEKTOTEHNIKA Tablica 3 aplaceoi transformacijski paroi f(t) F(s) s t s n! 3 t n n s 4 e at s a 5 te at ( s a) ω 6 sin(ωt) s ω s 7 cos(ωt) s ω ω 8 e at sin(ωt) ( s a) ω s a 9 e at cos(ωt) ( s a) ω 0 df () t d f t () sf( s) f (0 ) df (0) sfs ( ) sf(0) t 0 f () t Fs ( ) s τ s 3 ft ( τ ) e F( s) 3.7. Trofazni susta Elektropriredne trtke koriste trofazne krugoe za generiranje, prijenos i razdiobu elikih količina električne snage. Osnona struktura trofaznog sustaa sastoji se od trofaznog naponskog izora spojenog na trofazno trošilo preko transformatora i prijenosnih linija.trofazni naponski izor 4

16 Istosmjerna i izmjenična analiza može biti wye ili deltaspojen. Wyespoj još zoemo zijezda spojem, a deltaspoj trokutspojem.također, trofazno trošilo može biti delta ili wyespojeno. Donje slike prikazuju 3fazni susta s wyespojenim izorom, te wyespojenim (slika 30) i deltaspojenim (slika 3) trošilom. ZT an Zt4 ZY cn bn ZT ZY ZY3 ZT3 Slika 3 3 Zijezda spoj izora i zijezda spoj trošila an Z Δ Z Δ3 cn bn Z Δ Slika 3 4 Zijezda spoj izora i trokut spoj trošila Za uranoteženi abc susta, naponi an, bn i bn imaju isti iznos, a pomaknuti su u fazama za 0 0. To se može zapisati kao: an bn cn = 0 p 0 = 0 p = 0 p 0 0 (3.33) Wyespojeno i deltaspojeno trošilo je uranoteženo ako rijedi: Z = Z = Z odnosno Z = Z = Z (3.34) Y Y Y3 Δ Δ Δ3 Treba primjetiti kako susta sa zijezda spojem izora i trošila ima dodatan, tz. nulodič. Krajei nulodiča poezuju zjezdište trofaznog izora i trošila. U slučaju uranoteženog (simetričnog) izora i trošila, nulodičem ne teče struja. 4