Numerička analiza 24. predavanje
|
|
|
- Ευθύμιος Αλεξιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička analiza 24. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.1/45
2 Sadržaj predavanja Algoritmi za računanje svih svojstvenih vrijednosti simetričnih matrica: Jacobijev algoritam. Algoritam podijeli pa vladaj. Algoritam za svojstvene vrijednosti simetričnih matrica u zadanom intervalu. Algoritam bisekcije. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.2/45
3 Jacobijev algoritam NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.3/45
4 Dijagonalizacija rotacijom u ravnini Simetričnu 2 2 matricu A = [ a ii a ij a ij a jj ] možemo dijagonalizirati korištenjem jedne rotacije R(θ), [ ] A a ii 0 = = R(θ)AR (θ), 0 a jj gdje je R(θ) = [ cosθ sin θ sin θ cosθ ]. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.4/45
5 Računanje kuta Uz kraće oznake c := cos θ, s := sin θ, t := tg θ, množenjem dobivamo: [ ] [ ] [ ] c s a ii a ij c s s c s c = [ a ij a jj a ii c 2 2a ij sc + a jj s 2 (c 2 s 2 )a ij + (a ii a jj )sc (c 2 s 2 )a ij + (a ii a jj )sc a ii s 2 + 2a ij sc + a jj c 2 ]. Da bismo poništili element na mjestu (1, 2) (istovremeno, i element na mjestu (2, 1)), moramo naći sinus i kosinus kuta za koji je (c 2 s 2 )a ij + (a ii a jj )sc = 0. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.5/45
6 Računanje kuta Primijetimo da je cos(2θ) = c 2 s 2 i sin(2θ) = 2sc, pa prethodnu jednadžbu možemo napisati kao cos(2θ)a ij sin(2θ)(a ii a jj ) = 0. Odatle možemo izračunati ζ := ctg(2θ) (bolje od tg(2θ) = 1/ζ) ζ := ctg(2θ) = a jj a ii 2a ij. Sada prvo treba izračunati t, pa zatim c i s. Idemo redom: ctg(2θ) = cos(2θ) sin(2θ) = c2 s 2 2cs = c2 s 2 2cs : c2 c = 1 t2. 2 2t NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.6/45
7 Računanje kuta Budući da ζ znamo, treba riješiti kvadratnu jednadžbu po t Njezina rješenja su t 2 + 2ζt 1 = 0. t 1,2 = 2ζ ± 4ζ = ζ ± ζ Po apsolutnoj vrijednosti manji od dva (tangensa) kuta, tj. t 1 (to će nam poslije trebati kod dokaza konvergencije), je t = { ζ + ζ2 + 1, za ζ 0, ζ ζ 2 + 1, za ζ < 0, NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.7/45
8 Računanje kuta što možemo pisati kao t = ζ + sign(ζ) ζ = sign(ζ) ( ζ + ζ ). Jedino, ne smijemo tako računati, doći će do katastrofalnog kraćenja! Katastrofalno kraćenje ćemo izbjeći deracionalizacijom izraza t = sign(ζ) ( ζ + ζ ) ζ + ζ ζ + ζ = sign(ζ) ζ + ζ Posljednji izraz se stabilno računa. Autor algoritma: H. Rutishauser. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.8/45
9 Računanje kuta Sad možemo izračunati c i s. Iz c 2 + s 2 = 1, dijeljenjem s c 2, dobivamo 1 + t 2 = 1/c 2, odnosno, c 2 = t 2. Budući da smo izabrali manji od dva kuta, onda je njegov kosinus pozitivan, pa je c = t 2. Konačno, s ćemo izračunati kao t s = ct =. 1 + t 2 NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.9/45
10 Dijagonalni elementi I formulu za dijagonalne elemente možemo poljepšati : a ii = a ii c 2 2a ij sc + a jj s 2 = a ii c 2 + a ii s 2 a ii s 2 2a ij sc + a jj s 2 = a ii + s 2 (a jj a ii ) 2a ij sc = a ii + 2a ij s 2 ctg(2θ) 2a ij sc = a ii + 2a ij s 2c2 s 2 2sc = a ii a ij t(s 2 c 2 + 2c 2 ) = a ii a ij t, a jj = a ii s 2 + 2a ij sc + a jj c 2 = a jj + a ij t. 2a ij sc = a ii + a ij t(c 2 s 2 ) 2a ij sc Drugu relaciju dobijemo, ili na isti način kao i prvu, ili korištenjem svojstva da sličnosti ne mijenjaju trag matrice. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.10/45
11 Ravninske rotacije Tehniku koju smo primijenili za dijagonalizaciju simetričnih matrica reda 2, želimo primijeniti i na simetrične matrice reda n > 2. Problem: Konstrukcija n-dimenzionalnih rotacija? Postoje 3-dimenzionalne rotacije (Euleovi kutovi). Bojanczyk i Lutoborski su ih iskoristili za svoju modifikaciju Jacobijevog algoritma. Uobičajeno umjesto rotacija u n dimenzija, koristiti puno ravninskih rotacija. Definicija. Ravninska rotacija R(i,j,θ) u ravnini (i,j) je jedinična matrica, osim na presjecima i-tog i j-tog retka i stupca, gdje je jednaka R(θ). NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.11/45
12 Ravninske rotacije Jacobijev algoritam Ideja Jacobijevog algoritma: Nekim redom prolaziti po gornjem (ili donjem trokutu) simetrične matrice i poništavati elemente na mjestima (i,j) korištenjem ravninskih rotacija. Što će se promijeniti obzirom na 2 2 algoritam? Algoritam je nužno iterativan. Formule za transformaciju elemenata a ii i a jj ostaju iste. Mijenjaju se i-ti i j-ti redak i stupac. Za k i,j imamo a ik = c a ik s a jk, a jk = s a ik + c a jk, a ki = c a ki + s a kj, a kj = s a ki + c a kj. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.12/45
13 Ravninske rotacije transformirani elementi Ipak, treba pamtiti samo polovinu tih promjena (simetrija). Obično se pamte samo one u gornjem trokutu kao na slici. Konačno, primijetimo da prije i poslije transformacije vrijedi (a ik) 2 + (a jk) 2 = a 2 ik + a 2 jk, i,j k. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.13/45
14 Ravninske rotacije transformirani elementi Ipak, treba pamtiti samo polovinu tih promjena (simetrija). Obično se pamte samo one u gornjem trokutu kao na slici. Konačno, primijetimo da prije i poslije transformacije vrijedi (a ik) 2 + (a jk) 2 = a 2 ik + a 2 jk, i,j k. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.13/45
15 Ravninske rotacije transformirani elementi Ipak, treba pamtiti samo polovinu tih promjena (simetrija). Obično se pamte samo one u gornjem trokutu kao na slici. Konačno, primijetimo da prije i poslije transformacije vrijedi (a ik) 2 + (a jk) 2 = a 2 ik + a 2 jk, i,j k. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.13/45
16 Redoslijed obilaska i konvergencija algoritma Možemo li elemente gornjeg trokuta obilaziti bilo kojim redom da bismo postigli konvergenciju prema dijagonalnoj formi? Na žalost, odgovor je ne možemo. Za neke strategije može se dokazati konvergencija: strategija koja poništava najveći vandijagonalni element, strategija koja ciklički poništava sve elemente po retcima (1, 2),..., (1,n), (2, 3),..., (2,n),..., (n 1,n), ili po stupcima (1, 2), (1, 3), (2, 3),..., (1,n),..., (n 1,n), strategije koje su ekvivalentne prethodnim dvjema, tzv. wavefront strategije,... NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.14/45
17 Konvergencija poništi najveći element Prvo, prisjetimo se da je Frobeniusova norma unitarno ekvivalentna, tj. za unitarne matrice U i V vrijedi UAV F = A F. Posebno, to vrijedi i za svaku ortogonalnu matricu Q, tj. QAQ F = A F. Umjesto same norme A F, možemo promatrati kvadrat norme A 2 F. Njega možemo rascijepiti u dva dijela: n n 1 n d(a) = a 2 ii, 2 off(a) = a 2 ij, i=1 tzv. dijagonalni i vandijagonalni dio. i=1 j=i+1 NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.15/45
18 Konvergencija poništi najveći element Za bilo koju ravninsku rotaciju R(p,q,θ) u ravnini (p,q) vrijedi d(r(p,q,θ)ar (p,q,θ)) = d(a) + 2 ( a 2 pq (novi a pq) 2). Ako se radi o Jacobijevoj rotaciji, tj. onoj koja djeluje i poništava u (i,j) ravnini, onda je off(r(i,j,θ)ar (i,j,θ)) = off(a) a 2 ij. To pokazuje da vandijagonalna norma monotono pada, tj. sigurno konvergira, samo je pitanje je li njezin limes jednak 0 ili ne. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.16/45
19 Konvergencija poništi najveći element Ako se tzv. pivotni elementi a ij (to su oni za poništavanje) u svakom koraku uzimaju tako da je onda izlazi a 2 ij prosjek { a 2 pq p < q } = 2 off(a) n(n 1), off(r(i,j,θ)ar (i,j,θ)) ( 1 pa off(a) sigurno konvergira u nulu. ) 2 off(a), n(n 1) Prethodna relacija osigurava konvergenciju Jacobijevog algoritma prema dijagonalnoj formi. Treba još pokazati da ta dijagonalna forma predstavlja baš svojstvene vrijednosti matrice A. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.17/45
20 Teorem Wielandt Hoffman Teorem (Wielandt Hoffman). Neka su D i E kvadratne matrice reda n i neka su matrice D i D + E obje normalne. Neka su λ 1,...,λ n svojstvene vrijednosti od D i neka su ˆλ 1,..., ˆλ n svojstvene vrijednosti od D + E, u nekom poretku. Tada postoji permutacija indeksa π, takva da vrijedi ( n ) 1/2 ˆλ π(i) λ i 2 E F. i=1 NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.18/45
21 Primjena teorema Wielandt Hoffman Ako za D uzmemo dijagonalu od A, a za E izvandijagonalne elemente od A, tako da je D + E = A, prethodni teorem daje n ˆλ π(i) a ii 2 ˆλ π(k) a kk 2 2 off(a). k=1 Dakle, kad off(a) 0, dijagonalni elementi od A konvergiraju prema nekoj permutaciji svojstvenih vrijednosti od A. Taj poredak π se neće mijenjati u kasnijim fazama algoritma, kada je off(a) 1 4 min λ p λ q 2 =: σ 2, pri čemu se minimum uzima po različitim svojstvenim vrijednostima. Dakle, imamo pravu konvergenciju. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.19/45
22 Kvadratična konvergencija Jacobijev algoritam (asimptotski) kvadratično konvergira za jednostruke svojstvene vrijednosti. Što to znači? Kada je max i j a ij η, za neki η < σ (v. prethodnu foliju za definiciju separacije σ), onda vrijedi max i j novi a ij η2 (n 1) σ = O(η 2 ), kad η 0. I za višestruke svojstvene vrijednosti može se postići kvadratična konvergencija. Uvjet za to je da iste svojstvene vrijednosti moraju biti poredane jedna za drugom na dijagonali (tj. u bloku ). NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.20/45
23 Drugi Jacobijevi algoritmi Osim za simetrične (realne) matrice, Jacobijev algoritam može se napisati i za hermitske (kompleksne) matrice, samo je ključna 2 2 podmatrica tada jednaka [ ] cosθ sin θ e iα. sin θ e iα cosθ Postoji i Jacobi-nalik algoritam za parove matrica, od kojih su obje simetrične, a jedna je još i pozitivno definitna. U tom algoritmu se koriste i hiperboličke rotacije [ ch θ sh θ sh θ ch θ ]. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.21/45
24 Još o Jacobijevom algoritmu Zanimljivosti: Algoritam je dugo vremena bio zaboravljen, kao prespor, obzirom na QR algoritam. Revoluciju izazvao članak J. W. Demmela i K. Veselića godine, u kojem pokazuju da svojstvene vrijednosti izračunate Jacobijevim algoritmom mogu imati visoku relativnu točnost, što QR algoritam (u načelu) nema. Jacobijev algoritam se lako paralelizira, svodenjem na tzv. jednostrani algoritam (bit će još govora o tome kod singularnih vrijednosti). NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.22/45
25 Algoritam podijeli pa vladaj NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.23/45
26 Osnovno o algoritmu Algoritam podijeli pa vladaj (engl. divide and conquer ) autora J. J. M. Cuppena, objavljen je godine. Algoritam rekurzivno nalazi svojstvene vrijednosti trodijagonalnih matrica. Nakon toga koristi korekciju dobivenog rezultata matricom ranga 1. Tek su M. Gu i S. Eisenstat riješili kako taj algoritam treba stabilno računati svojstvene vektore. Algoritam se (uz diferencijalni qd algoritam) smatra najbržim algoritmom za računanje svojstvenih vrijednosti matrica. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.24/45
27 Konstrukcija algoritma Neka je T trodijagonalna matrica oblika a 1 b 1. b a m 1 b m 1 b m 1 a m b m T = b m a m+1 b m+1. b m a n 1 b n 1. b n 1 a n NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.25/45
28 Konstrukcija algoritma Matricu T možemo napisati kao a 1 b 1. b a m 1 b m 1 b m 1 a m b m a m+1 b m b m+1. b m a n 1 b n 1 + b n 1 a n NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.26/45
29 Konstrukcija algoritma + b m b m b m b m, NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.27/45
30 Konstrukcija algoritma odnosno, kao pri čemu je [ ] T 1 0 T = + b m vv T, 0 T 2 v T = [ 0,..., 0, 1 1, 0,..., 0 ]. Traženje svojstvenih vrijednosti metodom podijeli pa vladaj sastoji se od dva tridijagonalna svojstvena problema, za T 1 i T 2, i njihovog efikasnog ažuriranja matricama ranga 1. Neka su T 1 = Q 1 Λ 1 Q T 1 i T 2 = Q 2 Λ 2 Q T 2 svojstveni rastavi matrica T 1 i T 2. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.28/45
31 Konstrukcija algoritma Svojstvene vrijednosti matrice T možemo izračunati ovako [ ] [ ] T 1 T = + b m vv T Q = 1 Λ 1 Q T 1 + b T 2 Q 2 Λ 2 Q T m vv T 2 [ ] ([ ] ) [ Q = 1 Λ 1 + b m uu T Q 2 Λ 2 Q T 1 Q T 2 ], gdje je, iz oblika vektora v, [ ] [ Q T 1 posljednji stupac matrice Q T 1 u = v = Q T 2 prvi stupac matrice Q T 2 ]. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.29/45
32 Konstrukcija algoritma Problem: nalaženje svojstvenih vrijednosti λ matrice oblika D = D + ρuu T, pri čemu je D dijagonalna, ρ = b m, a u je poznati vektor. Prvo pretpostavimo da je matrica D λi nesingularna, pa karakteristični polinom matrice D glasi det(d + ρuu T λi) = det[ (D λi) (I + ρ(d λi) 1 uu T ) ]. Iz pretpostavke o nesingularnosti D λi izlazi da mora biti det(i + ρ(d λi) 1 uu T ) = 0 kad god je λ svojstvena vrijednost matrice D. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.30/45
33 Konstrukcija algoritma Nadalje, matrica I + ρ(d λi) 1 uu T je jedinična matrica plus matrica ranga 1, za koju se lako računa determinanta. Lema. Ako su x i y vektori iz R n, onda vrijedi det(i + xy T ) = 1 + y T x. Dokaz. Determinanta je produkt svih svojstvenih vrijednosti matrice, pa je n det(i + xy T ) = λ i (I + xy T ). S druge strane, I + xy T je polinom u matrici xy T, pa vrijedi i=1 λ i (I + xy T ) = 1 + λ i (xy T ), i = 1,...,n. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.31/45
34 Konstrukcija algoritma Dobivamo da je det(i + xy T ) = n i=1 ( 1 + λi (xy T ) ). Treba još naći svojstvene vrijednosti matrice xy T. Ako je x = 0 ili y = 0, onda je xy T = 0 (u R n ) i y T x = 0, pa tvrdnja očito vrijedi. Za x,y 0, matrica xy T ima rang jednak 1. Neka je λ 0 jedina svojstvena vrijednost matrice xy T različita od 0. Onda imamo det(i + xy T ) = 1 + λ 0. Svojstvenu vrijednost λ 0 nalazimo iz traga matrice. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.32/45
35 Konstrukcija algoritma Trag matrice xy T jednak je s jedne strane, zbroju svih dijagonalnih elemenata te matrice, s druge strane, zbroju svih svojstvenih vrijednosti te matrice = λ 0. Odavde slijedi λ 0 = tr(xy T ) = n x i y i = y T x. i=1 Kad to uvrstimo u formulu za determinantu, izlazi det(i + xy T ) = 1 + λ 0 = 1 + y T x. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.33/45
36 Konstrukcija algoritma Iz prethodne leme, jer je D λi dijagonalna, izlazi det(i + ρ(d λi) 1 uu T ) = 1 + ρu T (D λi) 1 u n = 1 + ρ i=1 u 2 i d i λ =: f(λ). Jednadžba f(λ) = 0 obično se zove sekularna jednadžba, a vrijednosti λ za koje je f(λ) = 0 su svojstvene vrijednosti. U najjednostavnijem slučaju su svi d i različiti, a svi u i 0. Budući da je f monotona (f i f fiksnog znaka), onda Newtonova metoda za nalaženje nultočaka konvergira, ali konvergencija može biti vrlo spora, ako su d i vrlo maleni. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.34/45
37 Svojstveni vektori Lema. Ako je α svojstvena vrijednost matrice D + ρuu T, onda je (D αi) 1 u svojstveni vektor za tu svojstvenu vrijednost. Dokaz. Provodi se direktno po definiciji svojstvenih vektora. Nažalost, prethodna formula za računanje svojstvenih vektora je numerički nestabilna, pa svojstveni vektori mogu biti neortogonalni. Zato se oni računaju na drugi način. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.35/45
38 Algoritam Za simetričnu trodijagonalnu matricu T svojstvene vrijednosti i vektori T = QΛQ T dobivaju se rekurzivnim algoritmom. proc dc eig (T, Q, Λ) if n = 1 return Q = 1, Λ = T else form T = diag(t 1,T 2 ) + b m vv T call proc dc eig (T 1, Q 1, Λ 1 ) call proc dc eig (T 2, Q 2, Λ 2 ) form D = D + ρuu T from Q 1, Λ 1, Q 2, Λ 2 find eigenvalues Λ and eigenvectors Q of D form Q = diag(q 1,Q 2 ) Q return Q and Λ end if NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.36/45
39 Bisekcija i inverzna iteracija NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.37/45
40 Osnovno o algoritmu Metoda bisekcije služi za nalaženje svojstvenih vrijednosti hermitskih matrica u nekom zadanom poluotvorenom intervalu [a,b. Teorem koji se koristi je Sylvesterov teorem o inerciji. Definicija. Inercija hermitske/simetrične matrice A je trojka brojeva (n,z,p), pri čemu je n broj negativnih, z broj nula, a p broj pozitivnih svojstvenih vrijednosti matrice A. Teorem (Sylvesterov teorem o inerciji). Neka je A simetrična matrica, a X nesingularna. Onda matrice A i X T AX imaju istu inerciju. Transformacija A X T AX zove se kongruencija. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.38/45
41 Konstrukcija algoritma Na drugi način, inerciju matrice A wi možemo izraziti i ovako: Neka je n je broj svojstvenih vrijednosti matrice A manjih od w, z je broj svojstvenih vrijednosti matrice A jednakih w, p broj svojstvenih vrijednosti matrice A većih od w. n b = broj svojstvenih vrijednosti od A manjih od b, tj. broj negativnih svojstvenih vrijednosti matrice A bi, n a = broj svojstvenih vrijednosti od A manjih od a, tj. broj negativnih svojstvenih vrijednosti matrice A ai. Iz prethodnih razmatranja odmah slijedi da je broj svojstvenih vrijednosti matrice A u intervalu [a,b jednak n b n a. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.39/45
42 Konstrukcija algoritma Kako se taj broj n b n a može izračunati? Napravimo li LDL T faktorizaciju matrice A wi, gdje je L donjetrokutasta matrica s jedinicama na dijagonali, odmah čitamo inerciju matrice A wi, jer ona piše na dijagonali matrice D u predznacima tih elemenata (Sylvesterov teorem). Označimo s neg ev(a,w) = n w. Onda je neg ev(a,w) = broj negativnih dijagonalnih elemenata matrice D. Primijetite da bi računanje s punim matricama bilo skupo, pa se, umjesto toga, brzo računa za trodijagonalne matrice, uz uvjet da se ne pivotira u LDL T faktorizaciji. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.40/45
43 Algoritam bisekcije ideja Ideja algoritma: Algoritam se sastoji u prebrajanju svojstvenih vrijednosti na intervalu, koji se svaki puta smanjuje na polovinu svoje prethodne duljine. Ako na intervalu [a,b ima svojstvenih vrijednosti, on se raspolovi, i prebroji se koliko je svojstvenih vrijednosti ostalo u svakoj polovini intervala. Ako je duljina (raspolovljenog) intervala veća od tolerancije, i on sadrži svojstvene vrijednosti, stavljamo ga u listu za daljnje raspolavljanje. Ako je duljina intervala manja od zadane tolerancije, a on ima svojstvenih vrijednosti, izbacujemo ga s liste, a sredinu intervala proglasimo svojstvenom vrijednošću. Postupak ponavljamo dok lista intervala nije prazna. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.41/45
44 Algoritam bisekcije Metoda bisekcije za danu simetričnu matricu A nalazi sve svojstvene vrijednosti unutar intervala [a,b, s tim da se sve svojstvene vrijednosti koje se razlikuju za manje od tol smatraju jednakima. /* work list je lista intervala za bisekciju */ n a = neg ev(a,a) n b = neg ev(a,b) if n a = n b quit /* nema sv. vrijednosti unutar */ else put [a,n a,b,n b ] onto work list end if while work list do remove [low,n low,up,n up ] from work list NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.42/45
45 Algoritam bisekcije if up low < tol then print n up n low sv. vrijednosti u [up,low else mid = (up + low)/2 n mid = neg ev(a,mid) if n mid > n low put [low,n low,mid,n mid ] onto work list end if if n up > n mid put [mid,n mid,up,n up ] onto work list end if end if end while NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.43/45
46 Bisekcija za trodijagonalne matrice Ako je A wi trodijagonalna, onda je njezina LDL T faktorizacija bez pivotiranja a 1 w b 1 b 1 a 2 w... A wi = b n 1 = LDLT, b n 1 a n w gdje je L = 1 l l n 1 1, D = d d n. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.44/45
47 Bisekcija za trodijagonalne matrice Usporedivanjem elemenata, dobivamo početak rekurzije a zatim za i = 2,...,n. d 1 = a 1 w, l 2 i 1d i 1 + d i = a i w, d i 1 l i 1 = b i 1, Supstituiramo li l i 1 iz druge jednadžbe u prvu, dobivamo rekurziju d i = (a i w) b2 i 1 d i 1, i = 2,...,n. Iako se čini opasnim, ova rekurzija je, zbog trodijagonalnosti matrice, vrlo stabilna. NumAnal 2009/10, 24. predavanje p.45/45
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
1. Svojstveni problem
Svojstveni problem Kanonske forme Definicija Neka je A kvadratna matrica reda n Polinom p(λ) = det(a λi) zove se karakteristični polinom matrice A Nultočke (korijeni karakterističnog polinoma su svojstvene
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda
V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Sveučilište u Zagrebu. Točan rastav svojstvenih vrijednosti streličastih matrica i primjene
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Nevena Jakovčević Stor Točan rastav svojstvenih vrijednosti streličastih matrica i primjene Doktorska disertacija Voditelji:
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Praktikum iz numeričkih metoda u statistici. Tina Bosner. Rješavanje nelinearnih sustava. Tina Bosner
Praktikum iz Praktikum iz jednadžbi Tražimo riješenje sistema jednadžbi, tj. za dani F : R n R n želimo naći x R n takava da je F(x ) = 0. Pretpostavit ćemo da je F neprekidno diferencijabilna. Najčešće
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori
Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Franka Miriam Brückler Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
1. Rješavanje diskretne Poissonove jednadžbe
1. POISSONOVA JEDNADŽBA 1D POISSONOVA JEDNADŽBA 1 1. Rješavanje diskretne Poissonove jednadžbe 1.1. 1D diskretna Poissonova jednadžba Poissonova jednadžba javlja se kod prijenosa topline, u elektrostatici,
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,