1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
|
|
- Γολγοθά Ἰσμήνη Βέργας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke na traženu točnost. Kod traženja nultočke na zadanu točnost, u ocjenama grešaka pojavljuju se simboli M k i m k, pri čemu oni označavaju M k = max x [a,b] f(k) (x), m k = min x [a,b] f(k) (x), gdje je f (k) oznaka za k-tu derivaciju funkcije f. Gdje se mogu nalaziti M k i m k : u bilo kojem lokalnom ekstremu funkcije f (k) (čak i u lokalnom minimumu), pri čemu ne treba pokazivati da se radi o lokalnom ekstremu (ne treba provjeravati više derivacije), u rubovima intervala, m k može biti i u nultočki f (k). Na primjer, za zadane grafove funkcije f (k) a b a b m k m k M k M k označeni su minimumi i maksimumi apsolutne vrijednosti. Nadalje, treba uočiti da se uvijek umjesto M k može koristiti M k, M k M k, a umjesto m k broj m k takav da vrijedi 0 < m k m k. Ako umjesto M k i m k iskoristimo veličine s tildama, onda ćemo imati samo malo više iteracija, tj. dobit ćemo samo nešto točniji rezultat. Zašto posebna napomena o M k i m k? Katkad su derivacije funkcije vrlo komplicirane i teško im je naći maksimum/minimum, ali ga je lako ocijeniti. 17
2 Zadatak 1.6 Ako je nadite ili ocijenite M k. f (k) (x) = x sin x + x cosx, x [1, ], Rješenje: Deriviranjem funkcije f (k), dobili bismo još kompliciraniju funkciju, kojoj je teško naći nultočku. Stoga ocijenimo M k, tj. nadimo M k, korištenjem poznatih relacija koje vrijede za apsolutne vrijednosti x y = x y, x + y x + y, (relacija trokuta). (Posljednja relacija, zapravo, kaže da je zbroj duljina dvije stranice trokuta uvijek veći od treće). Imamo M k = max x [1,] x sin x + x cosx (relacija trokuta) = max x [1,] ( x sin x + x cos x ) = (upotrijebimo x y = x y ) = max x [1,] ( x sin x + x cosx ) = max x [1,] ( x sin x + x cosx ) = 6. Prema tome, M k = Metoda bisekcije (raspolavljanja) Metoda bisekcije je najjednostavnija metoda za nalaženje nultočaka. Ona će sigurno konvergirati prema nultočki α, ako je funkcija f kojoj tražimo nultočku neprekidna na [a, b] i vrijedi f(a) f(b) < 0. Kako se radi metoda bisekcije? Nalazi se srednja točka x 0 početnog intervala [a 0, b 0 ] = [a, b], a zatim se nastavlja raditi na onom od intervala [a 0, x 0 ] ili [x 0, b 0 ] u kojem je ostala nultočka. Da bismo našli gdje je ostala nultočka, dovoljno je provjeriti predznak f(a 0 ) f(x 0 ). Ako je on negativan, nultočka je u [a 0, x 0 ], a ako je pozitivan, nultočka je u [x 0, b 0 ]. Ako je predznak nula, to znači da je x 0 nultočka. Postupak ponavljamo s intervalom koji je dvostruko kraći od početnog. Njegovu srednju točku označimo s x
3 Postupak zaustavljamo ili kad je duljina intervala dovoljno mala (ispod zadane točnosti ε), tj. ako vrijedi α x n 1 n+1(b a) ε, ili ako funkcija ima neprekidnu prvu derivaciju i slučajno smo pogodili blizu nultočke, tj. ako vrijedi α x n f(x n) m 1 ε. Iz prethodne dvije ocjene mogu se dobiti kriteriji zaustavljanja. Zaustavljamo se ili kad smo obavili n raspolavljanja, n log(b a) log ε log 1, n cijeli broj ili ako se u nekoj iteraciji dogodilo da je f(x n ) m 1 ε. Zadatak 1.7 Metodom bisekcije (raspolavljanja) riješite jednadžbu x = 0 s točnošću ε = Rješenje: Očito je da tražimo Da bismo izolirali nultočku skicirajmo graf funkcije f(x) = x Graf ćemo skicirati (slika 1.1) tako da prvo nacrtamo graf funkcije x 3 (na slici označen crtkano), a onda ga za 1.5 translatiramo nadolje duž osi y (puni crveni graf). Iz slike je odmah vidljivo da funkcija f siječe os x izmedu 1 i. Budući da se radi o polinomu, on je neprekidna funkcija, koja ima sve derivacije neprekidne, možemo upotrijebiti obje ocjene greške. Nadalje, nultočka α je jedina nultočka funkcije f, jer funkcija f strogo raste na, 0 (gdje je svugdje manja od 0) i, 0. Pokažimo da je [1, ] dobar startni interval: f(1) = 0.5 < 0 f() = 6.5 > 0, f(1) f() < 0. Ocijenimo grešku, tj. prvo nadimo potreban broj raspolavljanja (a = 1, b =, ε = 10 3 ): log( 1) log 10 3 n 1 = 3 log log , 19
4 1 1 pa je Slika 1.1: Grafovi funkcija x 3 i x n 9, jer mora biti cijeli broj. Nadimo sad i dinamičku ocjenu greške. Za to nam treba minimum apsolutne vrijednosti prve derivacije funkcije f: f (x) = 3x. Prvo, uočimo da je f (x) > 0 za x [1, ], tj. funkcija ne mijenja predznak na [1, ]. Nadalje, funkcija f strogo raste na [1, ], što se pokazuje deriviranjem, jer je f (x) = 6x > 0 za x [1, ]. Zbog toga što funkcija ne mijenja predznak i strogo raste, minimum apsolutne vrijednosti te funkcije može biti samo u jednom od rubova (u ovom slučaju zato što je 0
5 pozitivna, u lijevom, tj. u 1) m 1 = min x [1,] 3x = min x [1,] 3x = f (1) = 3, pa dinamička ocjena glasi f(x n ) Sad možemo formirati tablicu n a n b n x n f(x n ) f(a n ) f(x n ) < < > < < > < > 0 Dalje nije potrebno računati jer je f(x 7 ) = = Aproksimacija nultočke je x 7 = Upotrebom kalkulatora, lako je vidjeti da je α = = , pa je prava greška α x 7 = < 10 4, što znači da smo u raspolavljanju slučajno pogodili vrlo blizu nultočke. Zadatak 1.8 Metodom bisekcije (raspolavljanja) riješite jednadžbu s točnošću ε = 10. e x + x = 0 Rješenje: Za izolaciju nultočke, ponovno skicirajmo graf funkcije f(x) = e x + x. Taj graf je dosta kompliciran da bi se odmah nacrtao. Umjesto toga, bolje je funkciju zapisati u formi x = e x, 1
6 zatim nacrtati grafove funkcija x i e x. Ovaj posljednji nacrtat ćemo tako da prvo nacrtamo e x, zatim napravimo njegovu osnu simetriju oko osi x, da dobijemo e x i, konačno, translatiramo ga za jedinice nagore duž osi y da dobijemo e x. Gdje se grafovi funkcija x i e x sijeku, dobili smo nultočku funkcije f. Nadalje, funkcija f je neprekidna na R i ima neprekidne derivacije. Na slici 1. isprekidanim crtama nacrtan je graf e x, a traženi grafovi nacrtani su crveno i punom crtom Slika 1.: Grafovi funkcija x i e x. Prava skica funkcije prikazana je na slici 1.3. Odmah zaključujemo da jednadžba ima dva rješenja. Jedno od njih je pozitivno, u intervalu [1, ] f(1) f() , f(1) f() < 0. Drugo je negativno i nalazi se u intervalu [, 1] f( 1) f( ) 0.817, f( 1) f( ) < 0. Ocijenimo potreban broj koraka za nalaženje nultočke u intervalu [1, ] n log( 1) log 10 log 1 = log ,
7 Slika 1.3: Graf funkcije f(x) = e x + x. pa je n 6. Primijetite da ta ocjena vrijedi i za nultočku u intervalu [, 1], jer jedino što je može biti različito je b a (duljina intervala). Ako startamo s intervalima jednake duljine (ovdje duljine 1), a točnost ne mijenjamo, uvijek dobijemo isti broj koraka n, tj. on uopće ne ovisi o funkciji f. Nadimo i dinamičku ocjenu u oba slučaja. Za to nam je potrebna derivacija funkcije f (x) = e x + 1 = 1 e x. Tvrdimo da ta funkcija strogo raste. To se lako pokazuje deriviranjem, jer je f (x) = e x > 0 za svaki x R. Dakle, minimum mora biti u jednom od rubova intervala. Ako je x [1, ], onda je f (x) > 0, tj. funkcija f raste i pozitivna je, pa joj je minimum u lijevom rubu m 1 = min x [1,] 1 e x = min x [1,] (1 e x ) = f (1) = 1 e Dakle, na intervalu [1, ], dinamička ocjena greške je f(x n ) = Ako je x [, 1], onda je f (x) < 0, tj. funkcija f raste i negativna je, pa joj je minimum u desnom rubu m 1 = min 1 x [, 1] e x = min x [, 1] (e x 1) = f ( 1) = e
8 Dakle, na intervalu [, 1], dinamička ocjena greške je f(x n ) = Sad još treba napisati samo tablice n a n b n x n f(x n ) f(a n ) f(x n ) > > < > < 0 Dakle, rješenje je x 4 = jer je f(x 4 ) < Za manju nultočku imamo n a n b n x n f(x n ) f(a n ) f(x n ) > > < > > < 0 Rješenje je x 5 = jer je f(x 5 ) < Newtonova metoda (metoda tangente) Kod Newtonove metode, funkciju f aproksimiramo njenom tangentom (u nekoj odabranoj točki (x 0, f(x 0 ))), pa nultočka tangente x 1 aproksimira nultočku funkcije. Postupak ponavljamo s točkom (x 1, f(x 1 )). Bitna razlika obzirom na metodu raspolavljanja je da Newtonova metoda ne mora konvergirati prema nultočki funkcije, ali kad konvergira prema jednostrukoj nultočki, konvergirat će brže nego metoda raspolavljanja (kvadratično). Pretpostavimo da funkcije f na [a, b] je neprekidna, ima neprekidnu prvu i drugu derivaciju (druga derivacija potrebna nam je za ocjenu pogreške), ili jednostavnije to se kaže da je f C [a, b] (klase C na [a, b]). Ako je ispunjeno i f(a) f(b) < 0 4
9 to znači da f ima nultočku u [a, b]. Newtonova metoda formira niz aproksimacija (x n+1, n N 0 ) oblika x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Ocjena pogreške je oblika α x n M m 1 (x n x n 1 ). Želimo li da je pogreška u izračunatoj aproksimaciji nultočke manja ili jednaka ε, dovoljno je zatražiti da je desna strana prethodne nejednakosti manja ili jednaka ε, odakle izlazi dinamička ocjena pogreške x n x n 1 m1 ε M. U nekim će slučajevima Newtonova metoda sigurno konvergirati. Uvjeti koji moraju biti ispunjeni da Newtonova metoda sigurno konvergira su: f i f ne promijene predznak na [a, b] (četiri moguća slučaja), startamo sa strmijeg kraja intervala, tj. s onog ruba u kojem je ispunjeno f(x 0 ) f (x 0 ) > 0. Grafički te četiri mogućnosti su prikazane na slici 1.4, s tim da je krugom (crvenim) označane startna točka. a b a b a b a b Slika 1.4: Slučajevi sigurne konvergencije Newtonove metode. Katkad uvjete za sigurnu konvergenciju nije moguće ispuniti. Na primjer funkcije f(x) = x 3 ima nultočku u 0, a u toj točki druga derivacija mijenja predznak. Zadatak 1.9 Newtonovom metodom nadite realne korijene jednadžbe s točnošću ε = x 5 + x + 1 = 0 5
10 Rješenje: Prvo, zadan je polinom koji je neprekidna funkcija i ima sve derivacije neprekidne. Nadalje, njegova je derivacija f (x) = 5x > 0 za svaki x, tj. polinom f(x) = x 5 + x + 1 je strogo rastuća funkcija, pa ima samo jednu realnu nultočku. Pokušajmo locirati tu nultočku. Zbog f(0) = 1 (i strogog rasta), ne postoje pozitivne nultočke. Nadalje f( 1) = 1, pa je nultočka sigurno u intervalu [ 1, 0]. Budući da prva derivacija ne mijenja predznak na [ 1, 0], pogledajmo što se dogada s drugom derivacijom: f (x) = 0x 3. Druga je derivacija na [ 1, 0] ima negativan predznak, osim u točki 0. Zbog toga, interval [ 1, 0] treba suziti, tako da dobijemo interval gdje druga derivacija neće promijeniti predznak. Ispitajmo je li nultočka ostala u intervalu [ 1, 0.5]. Vrijedi f( 0.5) = > 0, f( 1) f( 0.5) < 0. Dakle, na intervalu [ 1, 0.5] osigurali smo da druga derivacija ne mijenja predznak. Sad još samo treba odrediti strmiji kraj za start. Budući da je f (x) < 0 na [ 1, 0.5], onda treba startati iz onog ruba intervala gdje je funkcijska vrijednost, takoder negativna, da bi vrijedilo f(x 0 ) f (x 0 ) > 0, tj. treba startati iz x 0 = 1. Time smo osigurali konvergenciju. Preostaje samo napraviti dinamičku ocjenu pogreške i naći nultočku na zadanu točnost. Izračunajmo m 1 = M = min f (x) = min x [ 1, 0.5] x [ 1, 0.5] (5x4 + 1) = (zbog f (x) < 0 na [ 1, 0.5] f pada, ali je pozitivna, pa je min u desnom rubu) = f ( 0.5) = max f (x) = x [ 1, 0.5] max x [ 1, 0.5] 0x3 = = (zbog ( 0x 3 ) = 60x < 0 na [ 1, 0.5], max x [ 1, 0.5] ( 0x3 ) ( 0x 3 ) pada i pozitivna je pa je max u lijevom rubu) = f ( 1) = 0. Dakle, dinamička ocjena greške glasi x n x n 1 m1 ε = M 0 =
11 Prema tome, niz iteracija dobivamo iz Niz aproksimacija glasi x 0 = x n+1 = x n x5 n + x n + 1 5x 4 n + 1, x 0 = 1. x 1 = x e e+00 = , x = x e e+00 = , x 3 = x.5393e e+00 = , x 4 = x e e+00 = , x 1 x 0 = e 01 x x 1 = e 0 x 3 x = e 03 x 4 x 3 = e 04, pa možemo stati jer je x 4 x 3 manje od tražene dinamičke ocjene pogreške. Aproksimacija nultočke je x 4 = Napomena: u razlomcima u prethodnoj tablici nisu ispisane sve decimale. Zadatak 1.10 Metodom tangente nadite pozitivni korijen jednadžbe s točnošću ε = x sin x 0.5 = 0 Rješenje: Skicirajmo grafove funkcija sin x i x 0.5 da bismo približno odredili gdje se nalazi najmanja pozitivna nultočka (vidjeti sliku 1.5). [ Vidimo da jednadžba ima samo jedno rješenje α na cijelom R i to α 1, π ] f(1) ( ) π f , ( ) π f(1) < 0. Za ocjenu greške potrebne su nam derivacije: [ f (x) = 1 cosx > 0 na 1, π ] [ f (x) = sin x > 0 na 1, π ], 7
12 1 1 1 π Slika 1.5: Grafovi funkcija sin x i x 0.5. pa će metoda sigurno konvergirati ako krenemo iz strmijeg ruba, a to je π, jer je ( ) ( ) π π f f > 0. Ocjene derivacija: m 1 = min x [1, π ] f (x) = min x [1, π ]f (x) = (zbog f (x) > 0 na [1, π ] f raste i pozitivna je, pa je min u lijevom rubu) = f (1) = 1 cosx M = max x [1, π ] f (x) = max x [1, π ]f (x) = max x [1, π ] sin x = (jer sin x raste na [1, π ] i pozitivna je, pa je max u desnom rubu) ( ) π = f = 1. Dinamička ocjena greške glasi x n x n 1 Prema tome, niz iteracija dobivamo iz m1 ε M = x n+1 = x n x n sin x n cosx n, x 0 = π. 8
13 Niz aproksimacija glasi x 0 = x 1 = x e e+00 = , x = x e e 01 = , x 3 = x.61131e e 01 = , x 1 x 0 = e 01 x x 1 = e 0 x 3 x = e 03, pa možemo stati jer je x 3 x manje od tražene dinamičke ocjene pogreške. Aproksimacija nultočke je x 3 = Napomena: u razlomcima u prethodnoj tablici nisu ispisane sve decimale. 9
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα6. Nelinearne jednadžbe i sustavi
6. Nelinearne jednadžbe i sustavi 6.. Osnovne napomene Neka je I interval u R, f : I R neprekidna funkcija na I inekajedana jednadžba f(x) =0. (6.) Riješiti jednadžbu (6.) znači naći one x za koje vrijedi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 12. predavanje
Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 12. predavanje p. 1/108 Sadržaj predavanja Numerička integracija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα