Sveučilište u Zagrebu. Točan rastav svojstvenih vrijednosti streličastih matrica i primjene

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Nevena Jakovčević Stor Točan rastav svojstvenih vrijednosti streličastih matrica i primjene Doktorska disertacija Voditelji: dr. sc. Ivan Slapničar, red. prof. dr. sc. Zlatko Drmač, red. prof. Zagreb, 2011.

2

3 Ova disertacija je predana na ocjenu Matematičkom odsjeku Prirodoslovnomatematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu u svrhu stjecanja znanstvenog stupnja doktora prirodnih znanosti iz područja matematike.

4

5 Hvala mom voditelju prof. dr. sc. Ivanu Slapničaru na predloženoj temi, te velikoj pomoći i podršci tijekom izrade disertacije. Hvala prof. dr. sc. Zlatku Drmaču i prof. dr. sc. Vjeranu Hariju za brojne korisne primjedbe, savjete i ugodnu suradnju. Hvala mojoj obitelji, kolegama i prijateljima na strpljenju, razumijevanju i podršci.

6

7 Sadržaj 1 Uvod 5 2 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica Osnovni pojmovi i oznake Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Svojstveni rastav streličastih matrica Definicija simetrične streličaste matrice Svojstva svojstvenih vrijednosti streličastih matrica Računanje svojstvenih vrijednosti Računanje svojstvenih vektora Analiza greške zaokruživanja (dodatak) Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) Definicija i osnovna svojstva Mali primjer Algoritam aheig - kod Lijepi primjer Veliki primjer Točnost svojstvenog rastava izračunatog algoritmom aheig Uvod Veza točnosti svojstvenih vrijednosti matrica A i A i Točnost svojstvenih vektora Točnost bisekcije Točnost svojstvenih vrijednosti matrice A i = A d i I Uvod

8 4 SADRŽAJ 5.2 Točnost elemenata matrice A 1 i Točnosti svojstvenih vrijednosti matrice A i Primjeri Kondicije svojstvenih vrijednosti Definicija kondicija Algoritam aheig s dodatnom preciznošću Što ako µ i nije svojstvena vrijednost matrice A i najbliža nuli? Zanimljiv primjer Brzine Perturbacije svojstvenog rastava Perturbacije svojstvenih vrijednosti Petrubacije svojstvenih vektora Divide and conquer (Podijeli, pa vladaj) Osnovna ideja Algoritam dc t2a Primjeri Deflacija Osnovna ideja Wilkinsonova matrica Simetrične diagonal-plus semiseparabilne matrice Hermitske streličaste matrice-primjena algoritma aheig Opis algoritma herm2aheig Točnost algoritma herm2aheig Primjeri Bibliografija 180 Sažetak 187 Summary 189 Životopis 191

9 Poglavlje 1 Uvod U ovom radu bavit ćemo se računanjem točnog svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica, te korištenjem tako izračunatog svojstvenog rastava za računanje svojstvenog rastava hermitskih streličastih matrica i simetričnih tridijagonalnih matrica. Detaljno ćemo opisati i analizirati novi algoritam za računanje svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica koji, uz odredene uvjete, sve svojstvene vrijednosti i sve komponente pripadnih svojstvenih vektora računa s visokom relativnom točnošću. Ortogonalnost na ovaj način izračunatih svojstvenih vektora slijedi iz njihove točnosti, a ne iz eventualne naknadne ortogonalizacije. Pri tom se svaka svojstvena vrijednost i njen pripadni svojstveni vektor računaju nezavisno pa, ako želimo, možemo računati samo pojedine svojstvene parove koji su nam u odredenom trenutku zanimljivi. Simetrična streličasta matrica A ima nule na svim mjestima osim na glavnoj dijagonali D = diag(d 1,..., d n 1 ), u jednom retku z T i jednom stupcu z: [ ] D z T A =. z α Problemi kod kojih računamo svojstveni rastav takvih matrica česti su u praksi (npr. Fermijeve tekućine, unutarmolekularni prijenos energije, teorija vibracija). U tim aplikacijama red n matrice A može biti jako velik. U radu pretpostavljamo da se računanje vrši s aritmetikom plivajućeg zareza s točnošću stroja ε M (prema [24, 2.4]).

10 6 Uvod Postojeći algoritmi ([35]) za računanje svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica ortogonalnost izračunatih svojstvenih vektora oslanjaju na ([25, Lema 2.1]), prema kojoj se, na osnovi izračunatih svojstvenih vrijednosti i elemenata dijagonale D zadane matrice, formira nova simetrična streličasta matrica, odnosno izračunaju se novi z i α, čije su to točne svojstvene vrijednosti, pa su i pripadni svojstveni vektori ortogonalni. Tako izračunati svojstveni vektori su, dakle, točni svojstveni vektori matrice koja je malo pomaknuta u odnosu na početnu. Naš je algoritam koncepcijski drugačiji: točnost svojstvenih vektora i njihova ortogonalnost proizlaze iz točnosti svojstvenih vrijednosti zadane matrice, pa nema potrebe za naknadnom ortogonalizacijom. Takoder, nema potrebe za deflacijom, osim u slučaju potpuno jednakih elemenata na dijagonali. Ovakav algoritam moguće je dalje uklopiti u algoritme za računanje širih klasa matrica, npr. hermitskih streličastih i simetričnih tridijagonalnih ([25]), kod kojih se garancija točnosti izračunatih svojstvenih parova streličastih matrica, nastalih iz originalnih simetričnih tridijagonalnih matrica, još više naglašava. U radu su dani ideja, opis i kod novog algoritma, analiza točnosti, te konkretni primjeri. Kroz niz novih teorema i korolara bit će dokazane tvrdnje o točnosti izračunatog svojstvenog rastava. Novi algoritam, koji ćemo prezentirati u ovom radu, kao svoju najveću prednost ima, pod odredenim uvjetima, garantiranu visoku relativnu točnost svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica. Moguće je točno odrediti koliko je točna pojedina svojstvena vrijednost i njen pripadni svojstveni vektor, te odgovoriti na pitanje da li je pojedini svojstveni par uopće moguće izračunati potpuno točno i uz koliki napor (npr. sa povećanom preciznošću koristeći symbolic precision u Matlabu ili quad precision u Fortranu). Tako izračunat svojstveni rastav, ili samo pojedini svojstveni parovi mogu, osim u teoriji, biti vrlo zanimljivi u praktičnim primjenama u kojima je potrebna dokazana preciznost, ili svih svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora ili samo pojedinih. U prvom, uvodnom poglavlju, opisujemo sadržaj i organizaciju rada. U drugom poglavlju uvodimo osnovne oznake, navodimo temeljene definicije i teoreme

11 7 bitne za računanje svojstvenog rastava simetričnih matrica. Definiramo simetričnu nereducibilnu uredenu streličastu matricu, dajemo njena osnovna svojstva, svojstva njenog svojstvenog rastava, te opisujemo jedan od uobičajenih načina ([35]) računanja tog rastava. Računanje svojstvenih vrijednosti i vektora streličaste matrice često je potrebno u mnogim praktičnim primjenama u kojima se pojavljuje sama streličasta matrica, ali je i važan dio mnogih (složenijih) algoritama. U trećem poglavlju opisujemo i analiziramo novi algoritam, koji smo nazvali aheig (arrowhead eigenvalues/vectors) i koji, za razliku od postojećih algoritama (jedan od kojih je opisan u drugom poglavlju), gotovo uvijek računa sve svojstvene vrijednosti i sve komponente pripadnih svojstvenih vektora s visokom relativnom točnošću. Algoritam prilikom računanja koristi matrice pomaknute u dijagonalnim elementima A i = A d i I, točnije, inverze tih matrica. Bit algoritma aheig je da se većina svojstvenih vrijednosti računa kao najveća svojstvena vrijednost neke streličaste matrice, pa iz standardne teorije smetnje (vidi korolar 2.1) slijedi velika relativna točnost izračunatih svojstvenih vrijednosti. Osim opisa algoritma u trećem poglavju navodimo i nekoliko ilustrativnih primjera, te kod algoritma. Jedan od primjera je i praktična primjena našeg algoritma u kvantnoj optici. U četvrtom poglavlju detaljno ćemo analizirati algoritam aheig, te kroz niz novih teorema i korolara dati vezu izmedu točnosti svojstvenih vrijednosti matrica A i i svojstvenih vrijednosti zadane matrice A. Dokazat ćemo i točnost svojstvenih vektora izračunatih algoritmom aheig. Takoder ćemo se pozabaviti točnošću bisekcije koju koristimo za rješavanje sekularne jednadžbe, te posebno točnošću bisekcije za algoritam aheig. U petom poglavlju detaljnije ćemo se baviti točnošću s kojom smo izračunali µ, neku svojstvenu vrijednost matrice A i = A d i I. Odgovorit ćemo na pitanje o čemu sve ta točnost ovisi i kolika je za pojedine svojstvene vrijednosti (posebno za onu najbližu nuli) matrice A i. Takoder ćemo pokazati na koji način točnost kojom je izračunata neka svojstvena vrijednost matrice A i ovisi o tome koliko smo točno izračunali matricu A 1 i, preciznije njen element b na vrhu strijele.

12 8 Uvod Ostalo je neodgovoreno pitanje kako prepoznati potencijalno problematične matrice, odnosno kako znati koji će se svojstveni parovi sigurno točno izračunati, a koji ne, te kako popraviti one za koje nemamo početnu garanciju točnosti. Ideja nam je, dakle, da za zadanu matricu izračunamo (na jednostavan i brz način) nekoliko vrijednosti (nazivat ćemo ih kondicijama) koje bi u sebi nosile informacije o tome za koje svojstvene vrijednosti (i kao posljedicu toga svojstvene vektore) izračunate našim algoritmom možemo garantirati da su poptuno točne (do na točnost stroja). Za one za koje to ne možemo garantirati, želimo, takoder na temelju kondicija, odgovoriti na pitanje na koji ih način točnije izračunati. Izrazi po kojima kondicije računamo formirani su na osnovi teorema i korolara iz četvrtog i petog poglavlja. Dakle, u šestom poglavlju prvo ćemo definirati kondicije, a zatim ćemo njihovo funkcioniranje pogledati na primjerima i usporediti sa tvrdnjama prethodnih teorema i korolara. Napomenimo da su za veliku većinu simetričnih streličastih matrica sve kondicije dobre, što znači da možemo garantirati potpunu točnost većine svojstvenih vrijednosti odredene matrice. Ipak, mi ćemo se kroz primjere više baviti onim matricama kod kojih postoji neki problem, jer su oni kao takvi, zanimljiviji i jer želimo otkriti što se zapravo dogada i kako dolazi do odredene greške. U sedmom poglavlju povezat ćemo rezultate dobivene računanjem svojstvenog rastava algoritmom aheig sa klasičnom teorijom perturbacije svojstvenog rastava hermitskih matrica. Analizirat ćemo, kroz teoriju i primjere, rezultate dobivene primjenom algoritma aheig za γ-skalirano dijagonalno dominantne matrice. Zbog drugačije logike algoritma ne možemo isključiti korištenje dodatne preciznosti kod matrica koje su dobro skalirane iz čega se vidi da su naši rezultati bitno drugačijeg tipa od standardnih rezultata teorije perturbacija i numeričke analize. U osmom poglavlju algoritam aheig koristimo za računanje svojstvenog rastava simetričnih tridijagonalnih matrica i to tako da ga uklopimo u divide and conquer algoritam. Novi algoritam nazvali smo dc t2a. U njemu prvo zadanu simetričnu tridijagonalnu matricu ortogonalnim transformacijama svodimo na streličastu matricu, a zatim svojstveni rastav te novonastale streličaste matrice računamo primjenjujući aheig algoritam. Točnost svojstvenih vrijednosti i ortogonalnost svojstvenih vektora možemo garantirati samo u slučaju kada su kondicije svih streličastih ma-

13 9 trica čiji svojstveni rastav u algoritmu računamo dobre i kada kvocijenti zbroja i razlike apsolutnih vrijednosti dijagonalnih elementa nisu jako veliki, dok točnost komponenti svojstvenih vektora ne možemo garantirati. U devetom poglavlju algoritam aheig koristimo za računanje svojstvenog rastava hermitskih streličastih matrica na način da zadanu matricu unitarnim transformacijama svodimo na realnu simetričnu streličastu matricu čiji svojstveni rastav računamo algoritmom aheig. Kako je perturbacija pri svodenju zadane hermitske matrice na realnu simetričnu mala i pojavljuje se samo u komponentama vektora z to se sačuva garancija točnosti za svojstveni rastav zadane matrice, ako imamo garanciju točnosti svojstvenog rastava pripadne realne simetrične streličaste matrice. Cilj ovog rada je točno računanje svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica. Tvrdimo da predstavljeni algoritam, uz odredene uvjete koje detaljno analiziramo, radi upravo to, dakle računa s visokom relativnom točnošću svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore, koji su onda zbog svoje točnosti i ortogonalni. Algoritam kao takav moguće je ukopiti i u algoritme za računanje svojstvenog rastava šire klase matrica, npr. simetričnih tridijagonalnih matrica ili hermitskih streličastih matrica, za što takoder dajemo opis, analizu i kod algoritma, te konkretne primjere.

14 10 Uvod

15 Poglavlje 2 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica U ovom poglavlju uvodimo osnovne oznake, te navodimo temeljene definicije i teoreme bitne za računanje svojstvenog rastava simetričnih matrica. Definiramo simetričnu nereducibilnu uredenu streličastu matricu, dajemo njena osnovna svojstva, svojstva njenog svojstvenog rastava, te opisujemo jedan od uobičajenih načina računanja tog rastava. 2.1 Osnovni pojmovi i oznake Na početku uvedimo osnovne oznake koju ćemo koristiti. Polje realnih brojeva ćemo označavati s R. Skalarne veličine ćemo najčešće označavati malim grčkim slovima. Vektorski prostor svih matrica s elementima iz R tipa n n ćemo označavati s R n n. Vektore i matrice ćemo uglavnom označavati s pomoću malih i velikih latinskih slova, respektivno. Neka je x R n n-dimenzionalni vektor kojeg označavamo s x = [x i ], ili x = x 1. x n, pa je i-ta komponenta od x jednaka x i. Neka je, dalje, A R n n, n n matrica

16 12 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica koju označavamo s A = [a ij ], ili A = a a 1n.. a n1... a nn gdje je a ij element matrice na mjestu (i, j). Ponekad ćemo koristiti i Matlab-ove oznake: x(i) = x i, x(i : j) = x i. x j,, A(i, j) = a ij, a ik... a il A(i : j; k : l) =.., a jk... a jl A(:, k : l) = A(1 : m, k : l), A(i : j, :) = A(i : j, 1 : n). S I k označavamo jediničnu matricu reda k, a s 0 k nul matricu reda k. Stupce jedinične matrice označavat ćemo s e 1, e 2,.... Transponiranu matricu matrice A ćemo označavati s A T. Oznaka A 1 će predstavljati inverznu matricu matrice A. Skalarni produkt je standardni skalarni produkt u R n : n x, y = x T y = x i y i. Koristimo i Euklidsku normu vektora i=1 x 2 = x T x, te matrične norme: A 2 = max Ax 2, x 2 =1 n A = max a ij, 1 i n j=1 A F = n trag (A T A) = i=1 n a 2 ij. j=1

17 2.2 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori 13 Napomena 2.1 Jer radimo u aritmetici konačne preciznosti, numerički izračunate vrijednosti označavat ćemo sa, a egzaktne vrijednosti sa ˆ. Dakle, vrijednost x izračunatu u aritmetici konačne preciznosti označavat ćemo s x, a egzaktnu s x. Jediničnu grešku zaokruživanja računala označavat ćemo s ε M. U nastavku ćemo podrazumijevati da je svaki ε (uz bilo koji gornji/donji indeks) omeden s ε M u terminima apsolutne vrijednosti, ako nije drugačije rečeno. 2.2 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Ako za A R n n vrijedi Av = λv, v R n, v 0, λ R, tada je λ svojstvena vrijednost od A i za svaki nenula skalar α vektor αv je svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ. Zajedno (λ, αv) čine svojstveni par od A. Skup svih svojstvenih vrijednosti matrice A R n n matrice A i označavati sa σ (A) = {λ 1,..., λ n }. nazivat ćemo spektar Mi ćemo pretpostavljati da je A R n n simetrična matrica, pa je njen svojstveni rastav A = V ΛV T, gdje su Λ = diag(λ 1,..., λ n ) svojstvene vrijednosti u padajućem poretku, V = [v 1,..., v n ] R n n je ortogonalna, V T V = I, pod uvjetom da su svojstveni vektori normirani (nenormirane svojstvene vektore označavat ćemo s x, pa je v i = x i x i 2 ). Navest ćemo sada nekoliko osnovnih teorema iz teorije svojstvenog rastava simetričnih matrica koje ćemo se kasnije u radu koristiti. Teorem 2.1 (Courant-Fischer, Minimax teorem [24, teorem 8.1.2]) Neka je A R n n simetrična matrica tada je za k = 1,..., n. λ k (A) = max min dim(s)=k 0 y S y T Ay y T y

18 14 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica Teorem 2.2 (Gershgorin [24, teorem 8.1.3]) Neka je A R n n simetrična matrica i Q R n n ortogonalna matrica. Ako je Q T AQ = D + F gdje je D = {d 1,..., d n } i F ima nule na dijagonali, tada je n λ (A) [d i r i, d i + r i ] gdje je r i = n f ij za i = 1,..., n. j=1 i=1 Teorem 2.3 (Wielandt-Hoffman [24, teorem 8.1.4]) Neka su A i A + E R n n simetrične matrice. Tada je n [(λ i (A + E) λ i (A)] 2 E 2 F. i=1 Teorem 2.4 Tada je ([24, Teorem 8.1.5]) Neka su A i A + E R n n simetrične matrice. λ k (A) + λ n (E) λ k (A + E) λ k (A) + λ 1 (E), k = 1,..., n. Korolar 2.1 Tada je ([24, Korolar 8.1.6]) Neka su A i A + E R n n simetrične matrice. λ k (A + E) λ k (A) E 2, k = 1,..., n. Teorem 2.5 (Cauchy, teorem o svojstvu preplitanja [24, teorem 8.1.7]) Neka je A R n n simetrična matrica i A r = A (1 : r, 1 : r). Tada je λ r+1 (A r+1 ) λ r (A r ) λ r (A r+1 )... λ 2 (A r+1 ) λ 1 (A r ) λ 1 (A r+1 ) za r = 1,..., n 1. Teorem 2.6 (Sylvester, teorem o inerciji [24, teorem ]) Neka je A R n n simetrična matrica i X R n n nesingularna matrica. Tada A i X T AX imaju istu inerciju.

19 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica Svojstveni rastav streličastih matrica U ovom poglavlju definiramo simetričnu nereducibilnu uredenu streličastu matricu, dajemo njena osnovna svojstva, svojstva njenog svojstvenog rastava, te opisujemo jedan od uobičajenih načina računanja tog rastava Definicija simetrične streličaste matrice Simetrična streličasta matrica A ima nule na svim mjestima osim na glavnoj dijagonali, u jednom retku i jednom stupcu. Označimo prvih (n 1) elemenata na dijagonali s d 1,..., d n 1, elemente retka (stupca) koji nije nula s ζ 1,... ζ n 1, te element na vrhu strijele s α. d ζ 1 0 d ζ d ζ 3 A = (2.3.1) d n 1 ζ n 1 ζ 1 ζ 2 ζ 3... ζ n 1 α Dakle, D = diag(d 1,..., d n 1 ) je dijagonalna matrica reda (n 1), z = [ ζ 1 ζ n 1 ] T je vektor, a α R skalar. Danu streličastu matricu možemo, zbog invarijantnosti svojstvenih vrijednosti sličnih matrica, presložiti kako nam je najpogodnije za daljnji račun. Bez gubitka općenitosti možemo smatrati da su redak i stupac koji nisu nule zadnji redak i stupac. Promatrat ćemo, dakle, matricu oblika [ D z A = z T α Dijagonalne elemnte d 1,..., d n 1 možemo složiti u padajućem ili rastućem poretku. U našem algoritmu i ostatku rada odabrali smo padajući poredak dijagonalnih elemenata ]. d 1 d 2 d n 1, a iznimno, samo u ovom poglavlju, pretpostavljat ćemo da vrijedi d 1 d 2 d n 1

20 16 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica radi poštivanja izvornih oznaka u [35]. Zbog simetričnosti matrice A, njene se svojstvene vrijednosti mogu izračunati pozivajući neki od standardnih programa za računanje svojstvenog rastava simetričnih matrica (npr. EISPACK [43] ), dakle bez korištenja posebne strukture streličastih matrica. Takvi programi obično počinju s početnim reduciranjem zadane matrice na tridijagonalnu formu. Alternativa, koju u nastavku opisujemo (vidi [35]), koristi specijalnu strukturu streliačaste matrice A. Preciznije, rješavanjem jednadžbe (2.3.3) računamo svojstvene vrijednosti matrice A. Takav algoritam zahtjeva O (n 2 ) operacija i O (n) memorije. Iako je ideja u osnovi jednostavna i koristi se za rješavanje svojstvenog problema i nekih drugih specijalnih struktura matrica (vidi: [6],[7],[16] ), treba biti pažljiv i pokazati da je račun (algoritam) stabilan Svojstva svojstvenih vrijednosti streličastih matrica Započnimo sa specijalnim slučajem. Ako u zadnjem stupcu postoji nula, npr. ζ i = 0, tada je dijagonalni element d i svojstvena vrijednost matrice A čiji je svojstveni vektor i ti jedinični vektor. Pokažimo to: Ako je d ζ 1 0 d ζ d i ζ i 1 A = d i d i ζ i d n 1 ζ n 1 ζ 1 ζ 2... ζ i 1 0 ζ i+1... ζ n 1 α Permutiranjem, pa je razvijanjem po prvom stupcu dobijamo. det A = d i det Ap i, gdje je Tada je Ap i = A([1 : i 1, i + 1 : n], [1 : i 1, i + 1 : n]). (2.3.2) A e i = d i e i,

21 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica 17 gdje je e i i ti jedinični vektor. Za računanje ostalih svojstvenih vrijednosti možemo smanjiti veličinu problema računajući sada svojstvene vrijednosti matrice Ap i. Tako nastavljamo sve dok ne dobijemo matricu čiji su svi elementi ζ j različiti od nule. Takvu streličastu matricu zovemo nereducibilnom. Napomena 2.2 Za sada ćemo nereducibilnom zvati matricu kojoj su svi elementi ζ j 0. Kasnije, kod opisa algoritma aheig, to ćemo postrožiti i reduciranom simetričnom streličastom matricom smatrati onu simetričnu streličastu matricu kod koje su svi elementi ζ j 0 j i d i d j, i j, i, j = 1,..., n 1. Osnovna saznanja o svojstvenim vrijednostima streličaste matrice dana su u sljedećem teoremu. Teorem 2.7 ([35]) Neka je A uredena nereducibilna streličasta matrica oblika (2.3.1). Neka je n 1 d 0 < min{d 1 ζ 1,..., d n 1 ζ n 1, α ζ i } i=1 i Ako je n 1 d n > max{d 1 + ζ 1,..., d n 1 + ζ n 1, α + ζ i }. d i 1 < d i = = d i+k < d i+k+1, za i = 1,... n 2 i k > 0, i=1 onda je d i svojstvena vrijednost od A višestrukosti k. Za svaki par različitih uzastopnih dijagonalnih elemenata d i 1 < d i postoji jedinstvena svojstvena vrijednost λ i od A za koju vrijedi d i 1 < λ < d i, i sve takve svojstvene vrijednosti zadovoljavaju jednakost φ A (λ i ) = 0 gdje je φ A (λ) = α λ n 1 i=1 ζ 2 i d i λ. (2.3.3)

22 18 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica Dokaz. Neka su λ 1 λ n svojstvene vrijednosti od A. Po teoremu 2.5 svojstvene vrijednosti od A isprepliću se sa svojstvenim vrijednostima matrice A n. d d d A n = i d i d i d n 1 je dobivena brisanjem zadnjeg retka i zadnjeg stupca u A. Prema tome, vrijedi λ 1 d 1 λ 2 d n 1 λ n. (2.3.4) Po teoremu 2.2 je d 0 < λ 1 i λ n < d n. Ova nejednakost odmah implicira tvrdnju o višestrukim svojstvenim vrijednostima. Slijedeće što ćemo pokazati je da je λ R, koji je različit od svih d i, svojstvena vrijednost od A akko je φ A (λ) = 0. Neka je λ svojstvena vrijednost od A. Tada vrijedi det (A λi) = 0, tj. d 1 λ ζ 1 0 d 2 λ 0... ζ = d n 1 λ ζ n 1 ζ 1 ζ 2... ζ n 1 α λ Ako prvi redak ove determinante pomnožen s ζ 1 / (d 1 λ) oduzmemo od zadnjeg retka, zatim drugi redak pomnožen s ζ 2 / (d 2 λ) oduzmemo od zadnjeg retka i tako dalje do predzadnjeg retka, dobivamo jednadžbu d 1 λ ζ 1 0 d 2 λ 0... ζ d 3 λ.... = ζ n φ A (λ) Ova determinanta je produkt elemenata na dijagonali, a kako je d i λ 0, i, mora biti φ A (λ) = 0. I suprotno, ako je φ A (λ) = 0 tada je i det (A λi) = 0.

23 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica 19 Sada pretpostavimo da je d i 1 < d i gdje je 1 < i < n. Za λ koji je blizu d i 1, a ipak od njega veći vrijedi (sjetimo se da je ζ i 0) φ A (λ) ζ 2 i d i 1 λ Za λ koji je blizu d i, a ipak od njega manji vrijedi φ A (λ) ζ2 i d i λ > 0. (2.3.5) < 0. (2.3.6) Iz toga slijedi da φ A (λ) mora promijeniti predznak na intervalu (d i 1, d i ) i točka u kojoj se to dogodi je svojstvena vrijednost. Nejednakost (2.3.4) osigurava da se promjena predznaka dogodi samo jednom na svakom intervalu. Ostaje još pokazati da postoji svojstvena vrijednost manja od d 1 i svojstvena vrijednost veća od d n 1. Ako je λ blizu d 1, ali je od nje manja vrijedi φ A (λ) ζ2 1 d 1 λ < 0. S druge strane, kako λ imamo φ A (λ) = λ > 0. Dakle, φ A (λ) mjenja predznak na (, d 1 ). Slično se pokaže da φ A (λ) mora promijeniti predznak na (d n 1, ). Teorem pokazuje da svojstvene vrijednosti koje odgovaraju ponavljajućim elementima na dijagonali možemo pronaći pregledom elemenata dijagonale. Ostale svojstvene vrijednosti se nalaze strogo izmedu d i -ova i zadovoljavaju jednakost φ A (λ) = 0. Kako se φ A (λ) lako računa, ovo nam ukazuje na to da za računanje svojstvenih vrijednosti od A koristimo neku od metoda za nalaženje korijena jednadžbe. Jednu takvu metodu opisujemo u nastavku ovog poglavlja Računanje svojstvenih vrijednosti Sada ćemo računati svojstvene vriijednosti λ i koje leže izmedu d i 1 i d i, uz pretpostavku da su elementi dijagonale medusobno različiti. Prema (2.3.5) i (2.3.6), ako je λ (d i 1, d i ) i φ A (λ) > 0, tada je λ < λ i. Ako je φ A (λ) < 0, tada je λ > λ i. Ovo nas vodi na računanje λ i s pomoću bisekcije. Pseudo kod koji

24 20 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica slijedi daje takav algoritam, koji računa interval [b, c] duljine najviše eps, koji sadrži λ. Sredina intervala uzima se kao aproksimacija svojstvene vrijednosti. Varijabla eps je zadana tolerancija i mora biti veća od nule. phi je potprogram koji računa vrijednost funkcije φ A (λ). Algoritam 2.1 a=d(i-1) b=d(i) while (b-a.gt. eps) c=(a+b)/2 phic=phi(c) if (phic.eq. 0) a=b=c exit if (phic.lt. 0) b=c else a=c endif end while lambda=(a+b)/2 U svakom se koraku algoritma veličina intervala (a, b) u kojem se nalazi svojstvena vrijednost reducira na pola. U slučaju višestrukih svojstvenih vrijednosti, postoji pojednostavljenje. Ako je d i 1 d i = = d i+k d i+k+1 izraz u (2.3.3) prelazi u izraz i+k j=i ζ 2 j d j λ i+k ζj 2 j=i d i λ.

25 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica 21 Dakle, ako djelujemo na retke i stupce koji odgovaraju vrijednostima d i+1,..., d i+k, i zamjenimo ζ i s i+k vrijednost od φ A (λ) se neće promjeniti. Kada imamo puno ζj 2 j=i svojstvenih vrijednosti koje se ponavljaju to može rezultirati velikim uštedama u računanju φ A. Na kraju iteracije imamo brojeve a i b udaljene najviše eps takve da je phi(a) nenegativno, a phi(b) nepozitivno. phi i φ A nisu ista funkcija, jer je phi izračunato s greškom zaokruživanja. Pokazat ćemo sada da je efekt te greške zaokruživanja zanemariv. Pretpostavit ćemo da je cijeli račun izveden s osnovnom greškom zaokruživanja ε M. Preciznije, pretpostavit ćemo da je rezultat bilo koje operacije tražena vrijednost s relativnom greškom ε M. Npr., u računanju na 10 decimalnih znamenki, ε M je približno Može se dokazati (vidi poglavlje 2.3.6) da za n > 2, ε M < i nε M < 0.1, vrijedi phi (λ) = φ A+H (λ) gdje je i h in = h ni 1.06n ζ i ε M, i = 1,..., n 1, (2.3.7) h nn 1.06n( α + λ )ε M. (2.3.8) Ostali elementi od H su nula. Ovi rezultati pokazuju da kako god izračunamo φ A (λ) to je ista vrijednost koju bi dobili da smo proveli egzaktan račun s malo peturbiranom matricom à = A + H. Prema korolaru 2.1 ovakva perturbacija može pomaknuti svojstvene vrijednosti od A najviše za λ k (A + H) λ k (A) H 2, k = 1,..., n. Vrijedi općenito H 2 H 1 H,

26 22 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica H 1 def H def = max h ij, j = max h ij, pa za simetričnu streličastu matricu H vrijedi i i j H 2 H. Iz (2.3.7) i (2.3.8) i defincije od H slijedi H 1.06n( α + λ + i ζ i )ε M def = η (λ), odnosno svojstvene vrijednosti λ i od A + H zadovoljavaju izraz λ i λ i η (λ). (2.3.9) Primjenimo sada ove rezultate na izlazne vrijednosti a i b u algoritmu 2.1. Iz analize greške zaokruživanja imamo φ A+H (a) 0. Kako je A + H uredena nereducibilna streličasta matrica s dijagonalnim elementima d i, njena i ta svojstvena vrijednost mora biti veća ili jednaka a. Iz (2.3.9) slijedi da je λ i a η (a). Slično se argumentira da je λ i b + η (b). Drugim rječima, naš algoritam bilo bisekcija, ili složenija kombinirana metoda, uvijek daje brojeve a i b takve da vrijedi λ i [a η (a), b + η (b)] (d i 1, d i ) Računanje svojstvenih vektora Pokazat ćemo sada kako izračunati svojstvene vektore uredenih nereducibilnih streličastih matrica. Već smo spomenuli da ako je ζ i = 0, onda je d i svojstvena vrijednost i njen svojstveni vektor je i ti jedinični vektor. Promatrat ćemo prvo svojstvene vektore koji pripadaju jednostrukim svojstvenim vrijednostima. Neka je v i svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i. Pretpostavimo da je normiran tako da mu je n ta komponenta v (n) i jednaka 1. Iz jednadžbe Av i = λ i v i,

27 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica 23 ili raspisano d ζ 1 0 d ζ d j ζ j d j ζ j d j ζ j d n 1 ζ n 1 ζ 1 ζ 2... ζ j 1 ζ j ζ j+1... ζ n 1 α v (1) i v (2) ị.. v (j) ị.. v (n 1) i 1 = λ i v (1) i v (2) ị.. v (j) ị.. v (n 1) i 1 slijedi d 1 v (1) i + ζ 1 = λ i v (1) i d 2 v (2) i + ζ 2 = λ i v (2) i d n 1 v (n 1) i + ζ n 1 = λ i v (n 1) i. pa su ostale komponente od v i dane sa v (j) i = ζ j λ i d j, j = 1,... n 1. Kako je d i 1 < λ i < d i nazivnici su različiti od nule. Osnovna poteškoća s ovim formulama je što moramo koristiti približnu svojstvenu vrijednost λ i umjesto točne, a to rezultira približnim vektorom ṽ i. Ako uzmemo δ i = min k i λ k λ i, tada za sinus kuta izmedu v i i ṽ i (vidi [8]) vrijedi sin (v i, ṽ i ) ( A λ ) i I ṽ i, δ i ṽ i

28 24 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica gdje je uobičajena Euklidska norma. Kako je ( A λ ) i I ṽ i = = = = d 1 λ i ζ 1 0 d 2 λ i... 0 ζ d n 1 λ i ζ n 1 ζ 1 ζ 2... ζ n 1 α λ i (d 1 λ ) i ṽ (1) i + ζ 1 (d n 1 λ ) i ṽ (n 1) i + ζ n 1 ζ 1 ṽ (1) i +... ζ n 1 ṽ (n 1) i + α λ i (d 1 λ ) ζ i 1 + ζ λ i d 1 1 (d n 1 λ ) ζ i n 1 + ζ λ i d n 1 n 1 ζ ζ 1 1 ζ +... ζ λ i d n 1 n 1 + α λ 1 λ i d i n ), φ A ( λi ṽ (1) i ṽ (2) ị. ṽ (n 1) i 1 vrijedi sin (v i, ṽ i ) φ A ( λi ) δ i 1 + n 1 ( j=1 ṽ (j) i ) 2. Kako naš algoritam računa intervale u kojima se nalaze svojstvene vrijednosti, donju granicu od δ i možemo dobiti iz rubova intervala. Svojstveni vektori v i+1,..., v i+k koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti λ = d i = d i+1 = = d i+k višestrukosti k su nula na svim mjestima osim mjesta od i do i + k. Iz zadnjeg retka jednadžbe Av = λv slijedi da te komponete moraju zadovoljavati izraz ζ i v (i) j + ζ i+1 v (i+1) j ζ i+k v (i+k) j = 0, j = i + 1,..., i + k.

29 2.3 Svojstveni rastav streličastih matrica 25 Primjer 2.1 Neka je zadana matrica A = Jer je d 2 = d 3 = d 4 = 1 to je λ = 1 dvostruka svojstvena vrijednost matrice A. Njoj pripadni svojstveni vektori (v 2 i v 3 ) moraju imati nule na mjestima v (1) 2 i v (1) 3, te v (5) 2 i v (5) 3 i mora vrijediti ζ 2 v (2) 2 + ζ 3 v (3) 2 + ζ 4 v (4) 2 = 0 ζ 2 v (2) 3 + ζ 3 v (3) 3 + ζ 4 v (4) 3 = 0. Svojstvene vrijednosti matrice A (izračunate Matlabovom ([32]) naredbom eig) su: λ 1 = λ 2 = 1 λ 3 = 1 λ 4 = λ 5 = dok su svojstveni vektori: U eig = Stupci 1 do e e e e e e e e e e e Stupci 4 do e e e e-01

30 26 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica e e e e e e-01. Dosad poznati algoritmi za računanje svojstvenog rastava simetričnih streličastih matrica svoju točnost i posebice ortogonalnost izračunatih svojstvenih vektora temelje na sljedećoj lemi. } n Lema 2.1 ([25]) Neka je zadan skup brojeva { λi matrica D = diag(d 1,..., d n 1 ) takvi da vrijedi i=1 i neka je zadana dijagonalna λ 1 < d 1 < λ 2 <... < d n 1 < λ n. Tada postoji simetrična streličasta matrica [ D ẑ Ĥ = ẑ T α ] čije su { λi } n i=1 svojstvene vrijednosti. Vektor ẑ i skalar α su dani sa: ) ẑ i = ( d i λ ) ) i 1 ( λj d i 1 ( λn d i (d j d i ) j=2 n 1 j=i ( λj d i ) (d j+1 d i ), (2.3.10) α = λ 1 + gdje predznak od ẑ i biramo po volji. n j=2 ( λj d j ), (2.3.11) Primjer 2.2 Neka je zadan skup brojeva Λ = { 3, 0, 12, 300} i neka je zadana dijagonalna matrica D = diag( 1, 5, 100). Prema formulama (2.3.10) i (2.3.11) možemo izračunati vrijednosti ẑ = [ ] i α = 205

31 2.4 Analiza greške zaokruživanja (dodatak) 27 te formirati matricu A = čije su svojstvene vrijednosti upravo brojevi iz skupa Λ. Dakle, prema ovoj lemi, izračunate svojstvene vrijednosti simetrične streličaste matrice su točne svojstvene vrijednosti neke druge bliske simetrične streličaste matrice, pa su zato pripadni svojstveni vektori ortogonalni, iako to nisu nužno točni svojstveni vektori zadane matrice. Novi algoritam, koji opisujemo u nastavku, ortogonalnost izračunatih svojstvenih vektora temelji na točnosti izračunatih svojstvenih vrijednosti. 2.4 Analiza greške zaokruživanja (dodatak) ε M. Osnovna pretpostavka: operacija a + b je u stvari (a + b) (1 + ε), gdje je ε Radi jednostavnosti zapisa izraz oblika (1 + ε 1 ) (1 + ε 2 ) (1 + ε j ) (1 + ε j+1 ) (1 + ε j+2 ) (1 + ε k ). zamjenit ćemo s ogradom koja ne sadrži j. Neka je k općeniti simbol za takav izraz. Očito je k l = k + l. U vrednovanju φ A (λ) prvo treba izračunati α λ što ima vrijednost (α λ) 1. Slijedeće računamo Oduzimanjem dobivamo: ζ1 2, što daje ζ (d 1 λ) (d 1 λ) (α λ) 2 ζ2 1 4 d 1 λ, Računanjem i oduzimanjem slijedećeg razlomka dobivamo: (α λ) 3 ζ 1 5 d 1 λ ζ 1 4 d 2 λ.

32 28 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica Kada je φ konačno izračunato imamo Ako sad definiramo (α λ) n ζ2 1 n + 2 d 1 λ ζ2 2 n + 1 d 2 λ ζ2 n 1 4 d n 1 λ. α = α n λ ( n 1) i ζ i = ζ i n i , tada cijeli račun odgovara egzaktnom računanju za streličastu matricu à formiranu iz α, ζ i i d i. Ostaje odrediti granicu za elemente od H = à A. Počinjemo sa h nn = (α λ) (1 n ). Ako je ε M < i nε M < 0.1 tada vrijedi: tada je jer je Ako je ε M < (1 ε M ) 1 < 1 + ε M (1 ε M ) 1 = 1 + ε M + ε 2 M + ε 3 M +... = ( 1 + ε M 1 + εm + ε 2 M +... ) = 1 + ε M (1 ε M ) 1 Dalje vrijedi jer je n = < 1 + ε M n 1 < < = < ( 1 + ε ) n M (1 + ε 1 ) (1 + ε 2 ) (1 + ε j ) (1 + ε j+1 ) (1 + ε j+2 ) (1 + ε n ) 1 (1 ε 1 ) (1 ε 2 ) (1 ε n ) 1 (1 ε M ) n ( 1 + ε ) n M, 0.999

33 2.4 Analiza greške zaokruživanja (dodatak) 29 pa je Vrijedi jer je ( n 1 < 1 + ε ) n M ( n ln 1 + ε ) M < n ε M , odnosno pa vrijedi (1 + x) < e x ln (1 + x) < x ln e ln (1 + x) < x ( 1 + ε ) n M < e n ε M 0.999, [ ( 1 + ε ) n M < e n ε M nε < 1 + M Zadnja nejednakost slijedi iz Taylorovog teorema: za 1 + nε Me n e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... ) x2 = 1 + x (1 + + x2! 3! +... ( = 1 + x 1 + x (1 + x )) 2! = 1 + x (1 + x ) 2! ex x = nε M Tražena nejednakost slijedi iz ocjenjivanja [ 1 + nε Me n ε M ] , za nε M < 0.1 Dakle, vrijedi [ 1 + nε Me n ε M ] < n 1.06nε M. ε M ].

34 30 Svojstveni rastav simetričnih streličastih matrica odnosno h nn 1.06n ( α + λ ) ε M. Slično možemo pokazati da je Zadnja nejednakost vrijedi za n 2. h in 1 n i ζ i 1 ( (n i + 3) ε M ) 1 2 ζ i 1 ( (n i + 3) ε M ) 2 ζ i 1.06nε M ζ i.

35 Poglavlje 3 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) U ovom poglavlju opisujemo i analiziramo novi algoritam aheig (arrowhead eigenvalues/vectors) koji, za razliku od dosadašnjih algoritama, gotovo uvijek računa sve svojstvene vrijednosti i sve komponente pripadnih svojstvenih vektora s visokom relativnom točnošću. Algoritam prilikom računanja koristi matrice pomaknute u dijagonalnim elementima, A i = A d i I, točnije, inverze tih matrica, pa većinu svojstvenih vrijednosti računa kao najveće svojstvene vrijednosti neke streličaste matrice. Iz točnosti izračunatih svojstvenih vrijednosti slijedi točnost, a onda i ortogonalnost svojstvenih vektora. Osim opisa algoritma, te prikaza kako algoritam radi na jednom malom, jednostavnom primjeru, u ovom poglavju dajemo i kod algoritma. Na kraju opisujemo realan primjer praktične primjene našeg algoritma u kvantnoj optici. O točnosti algoritma i uvjetima u kojima možemo garanirati odredenu točnost detaljno ćemo govoriti u poglavljima 4, 5 i Definicija i osnovna svojstva Započet ćemo s definicijom i osnovnim svojstvima simetrične streličaste matrice.

36 32 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) Neka je [ ] D z A = z T α n n realna simetrična streličasta matrica, pri čemu je (3.1.1) D = diag(d 1, d 2,..., d n 1 ) dijagonalna matrica reda (n 1), z = [ ] T ζ 1 ζ 2 ζ n 1 vektor i α skalar. Simetričnu streličastu matricu A reda n zvat ćemo reduciranom ako je ζ i 0, i i d i d j, i j, i, j = 1,..., n 1 U protivnom provodimo deflaciju i to na sljedeći način. Ako postoji neki ζ i = 0, tada je d i svojstvena vrijednost matrice A i e i je njen svojstveni vektor, a svojstveni rastav dalje računamo iz matrice A pi dane u (2.3.2). Ako vrijedi d i d j, za neke i j deflaciju provodimo tako da Givensovim rotacijama matricu svedemo na prvi slučaj. Neka je zadana matrica H = d 1 0 ζ 1 0 d 2 ζ 2 ζ 1 ζ 2 α i neka je d 1 = d 2. Primjenom Givensove rotacije G na H dobije se matrica d GHG T = 0 d 2 ζ 2. 0 ζ 2 α Dakle, d 1 je svojstvena vrijednost matrice H, a dimenzija streličaste matrice s kojom idemo u daljnji račun smanjena je za 1. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je ζ i > 0, i i da su svi dijagonalni elementi d i uredeni na način da je d 1 > d 2 > > d n 1.

37 3.1 Definicija i osnovna svojstva 33 U nastavku rada pretpostavljat ćemo da je streličasta simetrična matrica A reducirana i uredena na opisani način. Matrica A nije singularna matrica, što se lako pokaže direktnim razvojem, imajući na umu da je najviše jedan element d i jednak nuli. Prema teoremu 2.5 o svojstvu preplitanja vrijedi λ 1 > d 1 > λ 2 > d 2 > > d n 2 > λ n 1 > d n 1 > λ n, (3.1.2) gdje su λ i, i = 1,..., n, svojstvene vrijednosti matrice A. Dokaz je jednostavan jer je dijagonalna matrica D podmatrica matrice A. Neka je dakle A = V ΛV T (3.1.3) svojstveni rastav od A, pri čemu je Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi svojstvene vrijednosti od A, a V = [ v 1 v n ] ortonormirana matrica čiji su stupci odgovarajući svojstveni vektori matrice A. Svojstvene vrijednosti matrice A su prema teoremu 2.7 nul točke funkcije φ A (λ) = α λ n 1 i=1 Jednostavne formule za računanje vektora v i su v i = x [ i (D λi) 1 z, x i = x i 2 1 Ideja algoritma aheig Opisat ćemo sada ideju i tijek algoritma aheig. ζ 2 i d i λ α λ zt (D λi) 1 z. (3.1.4) ], i = 1,..., n. (3.1.5) Neka je λ svojstvena vrijednost od A, v njen pripadni svojstveni vektor, a x nenormirani svojstveni vektor prema (3.1.5). Neka je d i element dijagonale matrice A (u nastavku ćemo ga zvati pol) najbliži λ. Iz teorema 2.5 o svojstvu preplitanja direktno slijedi da je λ = λ i ili λ = λ i+1.

38 34 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) gdje je Neka je sada A i matrica pomaknuta po dijagonali za pomak u polu d i, D z 1 A i = A d i I = ζ i 0 0 D 2 z 2, (3.1.6) z1 T ζ i z2 T a Uvedimo oznaku D 1 = diag(d 1 d i,..., d i 1 d i ) pozitivno definitna, (3.1.7) D 2 = diag(d i+1 d i,..., d n 1 d i ) negativno definitna, z 1 = [ ζ 1 ζ 2 ζ i 1 ] T, z 2 = [ ζ i+1 ζ i+2 ζ n 1 ] T, (3.1.8) a = α d i. (3.1.9) µ = λ d i Ako je λ svojstvena vrijednost matrice A, onda je µ svojstvena vrijednost matrice A i. i vrijedi gdje je A 1 i = D1 1 w w1 T b w2 T 1/ζ i 0 w 2 D /ζ i 0 0, (3.1.10) w 1 = D1 1 1 z 1, ζ i (3.1.11) w 2 = D2 1 1 z 2, ζ i b = 1 ( ) a + z T ζi 2 1 D1 1 z 1 + z2 T D2 1 z 2. Uz ove oznake x možemo zapisati kao (D 1 µi) 1 z 1 x = ζ i µ (D 2 µi) 1 z 2. (3.1.12) 1 Stabilnošću i točnošću izračuna inverzne matrice A 1 i poglavlju 5. detaljnije ćemo se baviti u

39 3.1 Definicija i osnovna svojstva 35 Ako je µ svojstvena vrijednost matrice A i, onda je 1/µ svojstvena vrijednost matrice A 1 i, a ako je λ svojstvena vrijednost matrice A najbliža polu d i, onda je µ je svojstvena vrijednost matrice A i najbliža nuli, iz čega slijedi da je 1/ µ = A 1 2. Zbog ovog svojstva većinu svojstvenih vrijednosti računamo kao najveće svojstvene vrijednosti neke streličaste matrice, pa onda možemo garantirati njihovu relativnu točnost. i Napomena 3.1 Ukoliko λ nije svojstvena vrijednost matrice A najbliža polu d i, onda daljnji račun ovisi o udaljenosti λ od one svojstvene vrijednosti koja je najbliža polu d i. Ove posebne slučajeve detaljno ćemo razmotriti kasnije. U algoritmu aheig svojstvene vrijednosti računamo rješavanjem sekularne jednadžbe (3.1.4) za matricu A 1 i koristeći bisekciju. U ovom poglavlju želimo samo objasniti algoritam, dati kod i pokazati kako algoritam radi na primjerima. U poglavljima 4 i 5 dat ćemo analizu točnosti algoritma. Tijek algoritma aheig: (poziv: [U, E] = aheig(d, z, α)) 1. ULAZ: Dijagonala D, vektor z i skalar α matrice [ ] D z A = z T α 2. Permutiramo dijagonalu, da vrijedi d 1 > d 2 > > d n 1 3. Glavna petlja za i = 1 : n u kojoj se za svaku svojstvenu vrijednost λ i odreduje najbliži pol (pomak) d i 4. Računamo inverznu matricu A 1 i (3.1.10) i (3.1.11). pomaknute matrice A i = A d i prema 5. Računamo (bisekcijom) najveću svojstvenu vrijednost matrice A 1 i (oznaka ν i ) i pripadni svojstveni vektor (oznaka U i ) prema (3.1.12); (osim u slučajevima koji su napomeni 3.1 navedeni kao iznimke) 6. Računamo svojstvenu vrijednost λ i zadane matrice A iz izraza λ i = 1 ν i +d i

40 36 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) matrice A 7. IZLAZ: Svojstvene vrijednosti E = {λ 1,..., λ n } i svojstveni vektori U U nastavku ćemo algoritam objasniti na jednom jednostavnom primjeru. 3.2 Mali primjer Primjer 3.1 Neka je zadana matrica A = Dakle, prema ranijim oznakama je D = [ ], z = [ ], α = 5. Točne svojstvene vrijednosti ove matrice (prema Mathematici [49]) su: λ 1 = , λ 2 = , λ 3 = , λ 4 = Koristeći novi algoritam aheig svojstvene bi vrijednosti računali na sljedeći način: Pokrenemo glavnu petlju u kojoj i ide od 1 do 4. Krenimo od rubova. Neka je i = 1. Računamo λ 1 dakle, najveću svojstvenu vrijednost matrice A. U tom slučaju je pomak(shift) d 1 = 8, jer je najveća svojstvena vrijednost sigurno najbliža polu d 1, pa formiramo matricu A 1 = A d 1 I = Kako je λ 1 > d 1, slijedi da je µ 1 = λ 1 d 1 > 0, pa je 1/µ 1 najveća svojstvena vrijednost matrice A 1 1 jer je µ 1 svojstvena vrijednost matrice A 1 najbliža nuli, a.

41 3.2 Mali primjer 37 koja je pozitivna. Dakle, za matricu A 1 1 = računamo njenu najveću svojstvenu vrijednost, i to koristeći algoritam bisect čiji kod slijedi u nastavku, a koji računa jednu točno odredenu svojstvenu vrijednost i pripadni svojstveni vektor. Napomena 3.2 Ovo je još jedna bitna prednost našeg algoritma, a to je da može računati samo jednu (željenu) svojstvenu vrijednost i njen pripadni svojstveni vektor. Kako je ovo pokazni primjer, usporedbe radi izračunajmo sve svojstvene vrijednosti matrice A 1 i. One su: ν 1 = , ν 2 = , ν 3 = , ν 4 = Najveća svojstvena vrijednost, a ta nam je potrebna za daljni račun, je ν 1 = Njena recipročna vrijednost je µ 1 = Uvećajmo je još za pomak d 1 = 8 i dobivamo λ 1 = Dakle λ 1 = je svojstvena vrijednost najbliža polu d 1 polazne matrice A i u našem algoritmu je dobivena računanjem najveće svojstvene vrijednosti matrice A 1 1.

42 38 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) Neka je sada i = 4. Računamo λ 4, dakle, najmanju svojstvenu vrijednost matrice A. U tom slučaju je pomak jednak D (4 1) = d 3 = 3, jer je najmanja svojstvena vrijednost sigurno najbliža polu d 3, pa formiramo matricu A 3 = A d 3 I = Kako je λ 4 < d 3, slijedi da je µ 4 = λ 4 d 3 < 0, pa je 1/µ 4 najmanja svojstvena vrijednost matrice A 1 3 jer je µ 4 svojstvena vrijednost matrice A 3 najbliža nuli, a koja je negativna. Izračunamo prvo A 1 3 A 1 3 = Svojstvene vrijednosti matrice A 1 3 su: ν 1 = , ν 2 = , ν 3 = , ν 4 = Nas zanima najmanja svojstvena vrijednost, a to je druga po veličini (po apsolutnoj vrijednosti) svojstvena vrijednost, Njena recipročna vrijednost je ν 4 = µ 4 = Uvećajmo je još za pomak D (3) = 3 i dobivamo λ 4 = Ostaje nam još račun za i = 2, 3. Algoritam ispituje koji je pol najbliži svojstvenim vrijednostima λ 2 i λ 3. U oba je slučaja to je pol d 2 = 4, pa računamo matricu A 2 = A d 2 I =

43 3.2 Mali primjer 39 Svojstvena vrijednost λ 2 nalazi se zdesna polu d 2, pa za njen račun trebamo najveću svojstvenu vrijednost matrice A 1 2, dok se λ 3 nalazi s lijeva polu d 2, pa za njen račun trebamo najmanju svojstvenu vrijednost matrice A 1 2 Svojstvene vrijednosti matrice A 1 2 su: ν 1 = , ν 2 = , ν 3 = , ν 4 = Dakle, najmanja i najveća, odnosno dvije najveće po apsolutnoj vrijednosti su: Njihove recipročne vrijednosti su: ν 1 = , ν 4 = µ 1 = , µ 4 = Uvećajmo ih još za pomak d 2 = 4 i dobivamo: λ 2 = , λ 3 = Dakle λ 2 = i λ 3 = su svojstvene vrijednosti najbliže polu d 2. Svojstvene vrijednosti koje se dobiju pozivom [U, E] = aheig(d, z, α) su dakle: λ aheig = e e e e+00

44 40 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) Pogledajmo što se pritom dogodi sa svojstvenim vektorima. Svojstveni vektori dobiveni algoritmom aheig (napominjemo da su to direktno izračunati svojstveni vektori, bez naknadne ortogonalizacije) su: U aheig = Stupci 1 do e e e e-01 Stupci 3 do e e e e e e e e e e e e-01 Provjerimo njihovu ortogonalnost: U T aheig U aheig = Stupci 1 do e e e e-16 Stupci 3 do e e e e e e+00 eig. Usporedimo to sa svojstvenim vektorima izračunatim Matlab-ovom funkcijom

45 3.3 Algoritam aheig - kod 41 U eig = Stupci 1 do e e e e-01 Stupci 3 do e e e e e e e e e e e e-01 U T eig U eig = Stupci 1 do e e e e e e e-17 Stupci 3 do e e e e e-01 Dakle, naši svojstveni vektori su ortogonalni (čak i više od Matlabovih) i to bez naknadne ortogonalizacije. Da su potpuno točno izračunati dokazat ćemo kasnije. 3.3 Algoritam aheig - kod Kod algortima aheig u Matlab-u je sljedeći:

46 42 Algoritam aheig (ideja, kod, primjeri) Algoritam 3.1 [U,E]=aheig(D,z,a); % Racuna svojstvene vrijendosti E i svojstvene vektore U % strelicaste matrice A=[D z;z a]. n=max(size(d))+1; % permutacija (sortiranje dijagonale) [D,ipd]=sort(D, descend ); z=z(ipd); z2=z.^2; E=zeros(n,1); % glavna petlja nad svojstvenim vrijednostima for i=1:n % Odredujemo najblzi pol (shift), i s koje strane % pola je svojstvena vrijednost. if i==n % Ovdje je svojstvena vrijednost lijevo od pola pomaka. % Trebamo izracunati najmanju (n-tu) svojstvenu vrijednost % inverza pomaknute matrice,(jedina negativna svojstvena vrijednost). shift=d(n-1); si=n-1; eigind=n; elseif i==1 % Ovdje je svojstvena vrijednost desno od pola pomaka % Trebamo izracunati najvecu (1-u) svojstvenu vrijednost % inverza pomaknute matrice, (jedina pozitivna svojstvena vrijednost). shift=d(1); si=1; eigind=1; else % Oprezno, prvo privremeno pomaknuti u lijevi pol % potom izracunati vrijednost funkcije u sredini

47 3.3 Algoritam aheig - kod 43 Dtemp=D-D(i); atemp=a-d(i); middle=dtemp(i-1)/2; Fmiddle=atemp-middle-sum(z2./ (Dtemp-middle)); if Fmiddle<0 % Ovdje je svojstvena vrijednost desno od pomaka. % Trebamo izracunati najvecu (1-u) svojstvenu vrijednost % inverza pomaknute matrice. shift=d(i); si=i; eigind=1; else % Ovdje je svojstvena vrijednost lijevo od pomaka. % Trebamo izracunati najmanju (n-tu) svojstvenu vrijednost % inverza pomaknute matrice. shift=d(i-1); si=i-1; eigind=n; end end % Racunamo inverz pomaknute matrice [invd,invz,inva]=inva(d,z,a,si); % Racunamo zeljenu svojstvenu vrijednost (najvecu ili najmanju) % i svojstveni vektor inverza pomaknute matrice pozivom algoritma bisect. [U(:,i),E(i)]=bisect(invD,invz,inva,eigind); % Konacna svojstvena vrijednost E(i)=1/E(i)+shift; end % Vracanje permutacija ipd=[ipd; n]; Pd=eye(n);