Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
|
|
|
- Αλθαία Μιχαλολιάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler
2 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu?
3 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3?
4 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3? Kamo  preslikava proizvoljan vektor x a + y b + z c?
5 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene.
6 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene?
7 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene? Dakle, matrica operatora  imat će m redaka i n stupaca. Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake, uobičajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa ćemo to u daljnjem podrazumijevati. Kako izgledaju matrice od Î i ˆ0? Ovise li one o odabiru baze?
8 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)?
9 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze?
10 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze? Općenito vrijedi: Sve matrice svih operatorâ simetrije su ortogonalne. Linearan operator  : R 4 R 4 zadan je kao tzv. pomak ulijevo: (x 1, x, x 3, x 4 ) (x, x 3, x 4, 0). Odredite njegove matrice obzirom na kanonsku bazu i obzirom na bazu (4, 0, 3, 0), (, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) i (0, 1, 0, ).
11 Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu.
12 Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu. Važno!!! Linearni operatori na beskonačnodimenzionalnim prostorima ne mogu se opisati matricama.
13 Koja korist od matrice operatora? Primjer Linearni operator rotacije ˆρ y prostora oko y-osi ima (obzirom na bazu koja odreduje osi koordinatnog sustava, uz uvjet da je ortogonalna i da su prvi i treći vektor jednako dugi) matricu R y = cos α 0 sin α sin α 0 cos α Po čemu vidimo da je to odgovarajuća matrica?
14 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).
15 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z).
16 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z). Pišemo R y x y z = X Y Z.
17 A v za A M m,n i v M n,1 Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje vektor Âv, točnije: njegove koordinate u kodomeni. Primjer Uzmimo rotaciju ˆR oko ishodišta za 60 uz ortonormiranu bazu ravnine: Imamo: ˆR(x i + y j ) = x ˆR i + y ˆR j = ( ) ( ) = x i + j + y i + j = ( x = y ) ( 3 x ) 3 i + + y j.
18 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] ],
19 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. ],
20 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? ],
21 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? ],
22 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],
23 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],
24 Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu?
25 Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu? Neki kvadrat ima vrhove u točkama koje Kks-u imaju koordinate (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Matrica M je kvadratna matrica reda i ˆM odgovarajući linearni operator koji djeluje na koordinatnoj ravnini. U kakve četverokute ˆM može preslikati naš kvadrat? U kakve ne? Ako je neki drugi kvadrat odreden vrhovima (4, 4), (6, ), (8, 4), (6, 6), uz koje uvjete na M će se oba kvadrata preslikati u isti tip četverokuta?
26 Tzv. opće pozicije u kristalnoj strukturi prostorne grupe Pbcn (rompski sustav) mogu se zapisati kao koordinate (m, n, p), (m + 1/, n + 1/, p + 1/), (m + 1/, n, p), (m, n + 1/, p), (m, n, p + 1/), (m + 1/, n + 1/, p), (m + 1/, n, p + 1/), (m, n + 1/, p + 1/), gdje su m, n i l cijeli brojevi. Zapišite jednu (ne-jediničnu) matricu koja (obzirom na kristalografsku bazu) predstavlja linearan operator simetrije za ovu kristalnu rešetku, tj. takav da se prije i poslije njegovog djelovanja opće pozicije nalaze na istim mjestima.
27 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati?
28 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla?
29 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB?
30 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B.
31 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B. Kada matricu-stupac možemo množiti s matricom-retkom i kako tada izgleda rezultat?
32 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla?
33 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA!
34 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA! Zbog nekomutativnosti množenja matrica, često se kao mjera nekomutativnosti uzima njihov komutator [A, B] = AB BA.
35 Primjer Paulijeve matrice spina su tri matrice koje se ponekad koriste za opis spinova elektrona (po jedna za svaki kutni moment): S x = ( ), S y = ( 0 i i 0 ), S z = ( ). Za njih je [S x, S y ] = i S z, [S y, S z ] = i S x, [S z, S x ] = i S y i S x + S y + S z = 3 4 ( ). Posljednja matrica predstavlja kvadrat spinskog kutnog momenta.
36 je asocijativno (A(BC) = (AB)C kad god je A ulančana s B i B s C). Postoji li matrica takva da pomnožena sa svakom matricom A M 3 daje A? Jedinične matrice su matrice I n M n koje na dijagonali imaju jedinice, a ostali elementi su im nule. Vrijedi I m A = AI n = A (za A M m,n ). Ako je A M m,n, za koje p i q ima smisla A0 p,q? A 0 p,q A? Što je rezultat tih umnožaka?
37 Odaberite neki skalar α i dvije matrice A, B M. Kako sve možete izračunati α A B? A AB + ( A)B? Napomena Ako matrica A predstavlja operator Â, a matrica B predstavlja operator ˆB, umnožak AB predstavlja kompoziciju  ˆB. Možete li skalarni produkt u R n opisati kao množenje matrica? Možete li naći dvije matrice u M takve da nisu nulmatrice, ali im je umnožak nulmatrica?
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Principi kvantne mehanike
4. studenog 2016. Princip 1: stanje sustava Fizikalno stanje u kojem se nalazi neki kvantni sustav prikazujemo normiranim vektorom Φ u N-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H (N). Vektor Φ zovemo vektorom
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori
Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Franka Miriam Brückler Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Vanjska simetrija kristâla
Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja Einstein Podolsky Rosenov paradoks. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. studenog 2017.
17. studenog 2017. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
MATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201
MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo