Príklady k Matematike 1

Transcript

1 Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej úlohe: rozšírte zlomok + )/ výrazom Dokážte z definície, že derivácia y = n je y = n n 1. Tu aj d alej je n prirodzené, n = 1, 2, 3,...) Použite úvahu z kombinatoriky alebo matematickú indukciu. 4. Dokážte z definície, že derivácia y = 1/ n je y = n/ n+1. Využite medzivýsledok predchádzajúceho príkladu. 5. Nájdite deriváciu y = a + b) n postupom z príkladu Nájdite deriváciu y = + 1/) 2 postupom z príkladu Vypočítajte zo všeobecnej definície derivácie s 1 = /2 a 2 = + /2 derivácie funkcií y = 2 a y = Dtto ako v predchádzajúcom príklade s 1 = a a 2 = + b, kde 0 < a < 1 a b = 1 a. 9. Nájdite priemernú rýchlost pohybu s = t 3 na intervale 2 t 2 + t a pohybu s = 10t + 5t 2 na intervale 20 t 20 + t, v oboch prípadoch pri t = 1, t = 0,1 a t = 0,01. Porovnajte získané rýchlosti s okamžitou rýchlost ou na dolnej hranici týchto intervalov. 10. Aproimujte funkciu y = 1/ na intervale 1 1+ kvadratickou funkciou s rovnakými hodnotami na krajoch a v strede intervalu a vypočítajte deriváciu aproimujúcej funkcie v = 1 pri = 1, = 0, 1 a = 0, 01. Výsledky porovnajte s deriváciou presnej funkcie v = 1 a s deriváciou lineárnych aproimujúcich funkcií. 11. Nájdite m-tú deriváciu funkcie y = n. 12. Nájdite tvar pružnej tyče s jednotkovou dĺžkou upevnenej na koncoch a zistite jej priehyb. Tvar tyče je daný rovnicou y IV ) = k s okrajovými podmienkami y0) = y 0) = y1) = y 1) = 0, vid prednáška, a priehyb zistíte tak, že vypočítate y pri = 1/2. Zo symetrie je zrejmé, že výchylka tyče je najväčšia v jej strede.) 1

2 2. Funkcie a grafy 1. Opakovanie matka múdrosti.) Čomu sa rovná p q, p ) q, sinα + β), cosα + β), e +y, ln p ), lny)? Ako zapíšete sin α a cos α cez u = tgα? A ako cez v = tgα/2)? 2. Opíšte, ako sa zostrojí zo známeho grafu funkcie pri > 0 graf funkcie pri < 0, ak je funkcia párna a ak je nepárna. Párna funkcia sa definuje vzt ahom f) = f ) a nepárna funkcia vzt ahom f) = f ).) Akú symetriu majú tieto grafy? 3. Nájdite zlomkovo lineárnu funkciu f) takú, aby funkcia lnf) bola nepárna. 4. Funkcia y = cos 2 sa dá zapísat ako cos2). Ako zostrojíte graf tejto funkcie z grafu funkcie y = cos pomocou posúvania, rozt ahovania a stláčania? Dá sa na to použit aj funkcia y = sin? 5. Funkcie sh sínus hyperbolický), ch kosínus hyperbolický), th tangens hyperbolický), a coth kotangens hyperbolický) sa definujú vzt ahmi sh = 1 2 e e ), ch = 1 2 e + e ), th = sh ch, coth = ch sh. Rozoberte správanie sa týchto funkcií párnost / nepárnost a rast / pokles). 6. Dokážte identitu ch 2 - sh 2 = 1 a vyjadrite sh a ch pomocou sh/2) a ch/2). 7. Nájdite funkciu inverznú k funkcii Výsledok zdôvodnite graficky. y = Funkcie inverzné k hyperbolickým sa označujú Arsh areasínus hyperbolický), Arch areakosínus hyperbolický), Arth areatangens hyperbolický) a Arcoth areakotangens hyperbolický). Vyjadrite ich cez elementárne funkcie. 9. Cykloida je krivka = φ sin φ, y = 1 cos φ 2

3 dráha, ktorú opisuje mucha prilepená na koleso bicykla). Zistite tvar tejto krivky pri hodnotách parametra z intervalu 0,π) a nájdite približnú závislost y od v blízkosti bodov = 0 a = π. V druhej časti úlohy využite vzt ahy sin φ = φ 1 6 φ3 +..., cos φ = φ Dokážte, že krivka p r = 1 + ecos φ, 0 < e < 1, je elipsa s ohniskom v počiatku súradníc a s ecentricitou e. Ecentricita je pomer ohniskovej vzdialenosti k hlavnej poloosi elipsy.) 3. Vlastnosti funkcií. Limita. 1. Zistite definičný obor funkcií: sin, ln sin π ), sin 2 + sin 3, ln[cosln )]. 2. Zostrojte graf kvadratickej funkcie y = zo známeho grafu funkcie y = 2. Návod: upravte zadanú funkciu do tvaru y = y 0 + m 0 ) Zostrojte graf zlomkovo lineárnej funkcie y = zo známeho grafu funkcie y = 1/. Návod: upravte zadanú funkciu do tvaru y = y 0 + m Nájdite funkciu inverznú k funkcii z príkladu 3, zostrojte jej graf a presvedčte sa, že je to graf z príkladu 3 preklopený okolo priamky, ktorá delí na polovicu uhol medzi osami a y. 5. Nájdite pomocou rozkladu mnohočlenov tieto ity: , , , , , 1 2 1) ) 50. 3

4 6. Nájdite pomocou rozvoja do 1. rádu v tieto ity: 1 + )1 + 2)1 + 3) ) 5 1, + 5, 7. Nájdite pomocou rozvoja do 2. rádu v tieto ity: 1 + ) m) n 1 + n) m 2 + 5, ) n 1 + ) m 1 + ) nm Nájdite pomocou prechodu od k 1 + ǫ a rozvoja v ǫ tieto ity: , , , 1 n+1 n + 1) + n n 1 1) 2, 1 1 n m ) 1 m. 9. Nájdite pomocou rozvoja v 1/ tieto ity: n n, 1 1) 2) 3) 4) 5) 2 3) ) ) 5, 2 + 1) Nájdite itu postupnosti a, a + a, a + a + a,... Návod: zapíšte n + prvý člen postupnosti pomocou n-tého a urobte itu n v získanej rovnici. 11. Fibonacciho postupnost je postupnost, v ktorej prvé dve čísla sú jednotky a každé d alšie číslo je súčet predchádzajúcich dvoch: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Nájdite itu podielu dvoch za sebou nasledujúcich čísel Fibonacciho postupnosti a presvedčte sa, že je to zlatý rez pomer, v ktorom musíme rozdelit úsečku, aby pomer väčšieho dielu k celej úsečke bol rovnaký ako pomer menšieho dielu k väčšiemu). Zároveň je to uhlopriečka pravidelného 5-uholníka s jednotkovou stranou. 12. K čomu sa blížia krivky n + y n = 1 v ite n? 4

5 4. Výpočet ity. Derivácia. 1. Nájdite pomocou rozšírenia zlomku vhodným výrazom tieto ity: , , n Nájdite pomocou rozvoja odmocnín tieto ity: , n + 5 2, 1 1 m. 3. Nájdite kombináciou postupov z príkladov 1. a 2. túto itu: 4. Nájdite zo známej hodnoty sin ) "dôležitá ita č. 1") tieto ity: sin5) sin3) sinn), sin sinm), cotg 3). 5. Nájdite zo známych hodnôt cos 1 2 cos cos3) 2, a e 1 1 cos cos2) cos3) 1 cos tieto ity:, 1 + sin cos 2, e a e b sina) sinb), 1 + sin 1. e 2 1 e 1 ln1 + ) 6. Zistite zo známej hodnoty, čomu sa rovná, a nájdite tieto ity: ln 1/ + 1) + ln ln[cosa)], ln[cosb)], lna + 1 a 2 2 ) ln ) 7. Nájdite ity z príkladu 5. rozvojom sínusu, kosínusu a eponenciálnej funkcie a ity z predchádzajúceho príkladu rozvojom logaritmu. 8. Rozviňte sh do 1. rádu v a ch do 2. rádu v a nájdite pomocou týchto rozvojov ity z príkladov 4. a 5. so zámenami sin sh a cos ch. 9. Nájdite rozvojom sínusu, kosínusu a eponenciálnej funkcie tieto ity: cos 3 cos sin 2 cos e ) cos e ), 3. 5

6 Ako by sa tieto ity počítali "normálne"? 10. Nájdite zo známej hodnoty "dôležitá ita č. 2") tieto ity: ) ) 1 2, ) cotg 2, + e ) 1, a + b + c ) Nájdite rozvojom v 1/ tieto ity: 2 + ), [ lnch )], 1 ln1 + e ), [ln + 1) ln ]. 12. Asymptota krivky y = f) pri ± je priamka y = p + q, pre ktorú Nájdite asymptoty kriviek: [f) p q] = 0. ± , , 2 +, 3 2 3, ln 1 + e ), + arccos Uhol medzi dvoma krivkami je podl a definície uhol medzi dotyčnicami, ktoré vedieme ku krivkám v ich priesečníku. Nájdite, pod akým uhlom sa pretínajú krivky y = 2 a = y To isté ako v predchádzajúcom príklade pre krivky y = sin a y = cos. 15. Dokážte, že ak je krivka daná rovnicou r = rφ), kde r, φ) sú polárne súradnice, tangens uhla medzi dotyčnicou ku krivke v danom bode a sprievodičom bodu sa rovná r /r. Krivka r = r 0 a φ sa nazýva logaritmická špirála. Dokážte, že pre túto krivku je uhol medzi dotyčnicou a sprievodičom konštantný. 6