POGLAVLJE Strujanje fluida uvodne napomene

Transcript

1 umričk mtod u rgtici oglavlj OGLVLJ trujaj luida uvod aom; 10. Dikrtizacija momt jdači; 10.3 Dikrtizacija jdači kotiuitta; 10.4 omjra mrža; k bit karaktritik omjr mrž; 10.5 Mtod za rjšavaj; 10.1 trujaj luida uvod aom U rthodoj glavi razmatrao j rjšavaj traort jdači a kovkcijom, ali kada j ozato trujo olj. Ovakva ituacija j voma rijtka u raki obzirom da j trujo olj tijo ovzao a rocima razmj tolot, tj. mož biti izazvao tmraturim i koctracioim gradijtima u luidu. U ovom oglavlju bić razmatra jdači omoću kojih vrši odrđivaj trujog olja (olja brzia i olja ritika), koj u u litraturi ozat kao avir tok ov jdači. O imaju ormu traortih jdačia a tacioarim, kovktivim, diuzioim i lobodim člaom. Mđutim, ord jih u jima iguriš i gradijt ritika koji rdtavlja ozatu vličiu a j za jgovo odrđiva otrba dodata jdačia da bi itm jdačia bio zatvor za rjšavaj. Za odrđivaj olja ritika koriti jdačia kotiuitta kao dodata jdačia. Oa luži i kao kotrola tačka za rovjru rjšja obzirom da j uštia mtod kotrolia zarmi da bilai ma i vih traortih vličia moraju biti očuvai a ivou kotrolia zarmi. Odrđivaj trujog olja j ložo jr u momta i jdačia kotiuitta rgut jdači a tako moraju i trtirati rilikom dikrtizacij i rjšavaja. U atavku ć biti rikaza otuak dikrtizacij jdačia za oiivaj trujaja i jdači kotiuitta za tišljiv luid.

2 umričk mtod u rgtici oglavlj Dikrtizacija momt jdači 6.1. Razmotrimo za očtak dvodimziou kvadratu mržu rikazau a lici y x lika 10.1 Kvadrata dvodimzioala mrža rtotavimo za očtak da vktor brzi V i ritika račuava (mjšta) za kotroliau zarmiu tj. ćliju. Takodj za očtak omatrajmo tzv. to ovk luid, i tacioaro trujaj. Momta jdačia za x i y ravac ima oblik: ( V u) ( u) i + u ρ, (10.1) µ ( V v) ( v) j + v ρ. (10.) µ U jdačiama 6.1 i 6. tzor aoa j odijlj a dio koji rdtavlja ormali ao koji ojavljuj u diuzioom člau, a otatak j u člaovima u i v. Ova dva člaa imaju grali oblik: u v u v u + µ + µ µ x x y x 3 x v u v + µ + µ µ y y x y 3 y ( V ) ( V ), (10.3). (10.4) U oldj dvij jdači u i v rdtavljaju zarmik il u x i y ravcu. Jdači 10.1 i 10. imaju grali oblik traort jdači, oim što a doj trai jdačia otoji gradijt ritika. vaka momta jdačia običo iš

3 umričk mtod u rgtici oglavlj tako da obo itaku diuzioi čla, gradijt ritika i izvori čla. Otatak rdtavlja otatak koji rotaj od tzora aoa. Razmotrimo za očtak gradijt ritika. rilikom razvoja dikrtog oblika jdači otrbo j izvršiti dikrtizaciju ovog člaa o kotroliaoj zarmii. rimjom Gauov torm o vzi ovršikog i zarmikog itgrala važi: V dv d, (10.5) a ako odrazumijva da a vakoj trai zarmi otoji tzv. ovršika vrijdot važi: d. (10.6) Vktori ovršia a traama kotrolia zarmi u: y i y i x j x j. (10.7) ada koačo mož aiati čla koji rdtavlja gradijt ritika u jdačii (10.1): dv i i, (10.8) V a rimjom jdači 6.7 dobija: i ) x a aalago za gradijt u y ravcu dobija: j ) x (, (10.9) (. (10.10) Kada izvrši komlta dikrtizacija olazih jdačia (10.1) i (10.) dobijaju dikrtizovai izrazi: a a u v a a u v + b + b u v + ( + ( ) y ) x. (10.11)

4 umričk mtod u rgtici oglavlj ldći korak u rjšavaju j odrdjivaj ritiaka a graicama kotroliaih zarmia,, i. ko uzm ajrotija liara arokimacija za odrdjivaj vrijdoti a graicama: izrazi u jdačiama 10.9 i dobijaju oblik: ( ( ) y ( ) x (, (10.1) ) y ) y. (10.13) a ozatim oljm ritika moguć j rijšiti jdači Kako bilo ritiak mora rthodo izračuati iz dodat jdači, a vć j arijd rčo da j to jdačia kotiuitta Dikrtizacija jdači kotiuitta Jdačia kotiuitta za lučaj tacioarog lučaja ima oblik: ( V ) 0 ρ, (10.14) a itgracijom ov jdači o kotroliaoj zarmii dobija: V ( V ) dv ρ ρvd. (10.15) ko kao i raij matra da u vrijdoti a ovršiama vrijdoti u ctrima jihovih ovršia: V ( V ) dv ( ρv ) ρ. (10.16) ko uzm da j vktor brzi Vui+vj i ako zaju vrijdoti vktora ovršia iz jdači 10.7 dobija dikrtizovai oblik jdači kotiuitta:

5 umričk mtod u rgtici oglavlj ( u) y ( ρu) y + ( ρv) x ( ρv) x 0 ρ. (10.17) ko kao i raij rtotavi liara arokimacija za odrđivaj vrijdoti brzia a ovršiama kotrolia zarmi u obliku: ( ρu) ( ρu) ( ρv) ( ρv) ( ρu) + ( ρu) ( ρu) + ( ρu) ( ρv) + ( ρv) ( ρv) + ( ρv). (10.18) a mjom jdačia u jdačiu dobija koača oblik dikrtizova jdači kotiuitta u obliku: ( u) y ( ρu) y + ( ρv) x ( ρv) x 0 ρ. (10.19) Iz oldj jdači lako zaključuj da vrijdot brzi u kotroliaoj zarmii iguriš u jdačii kotiuitta za zarmiu, što mož dovti do aurd ituacij da j jdačia kotiuitta zadovolja za lučaj koji j rikaza a lici 10.. Tako j a rimjr brzia u u drugoj zarmii 00, dok j u joj ujdima vrijdot 100, što j aurdo jr j jdačia kotiuitta ormalo zadovolja za rvu kotroliau zarmiu. Takodj, vrijdoti ritika iu arori ozati a račuavajm mogu diti lučajvi koji u rikazai a lici 10.. Druga maa ov hm j što a rimjr za brziu u omatra itrval x u jdačiama i takodj uzima u obzir ritiak u tački. Iti zaključak važi i za y ravac. a lik 10. vidi da mož diti aurd da uiormo olj ritika razlikuj aktički od olja ritika rikazaog a lici, u milu jgovog uticaja a olj brzia u. Zbog vga avdog jdačia kotiuitta u obliku rikazaom jdačiom (10.19) raktičo koriti vć mora iati za kotroliau zarmiu oaoob, što ć biti rikazao u atavku.

6 umričk mtod u rgtici oglavlj lika 10. olj brzia rimjom jdači omjra mrža Jda od ajoularijih mtoda za rvazilažj rthodog roblma j rimja tzv. omjr umričk mrž koja j rikazaa a lici 6.3. otrbo j odmah aglaiti da ravi razlika izmđu omjrih i omjrih zarmia. ritiak račuava za omjr zarmi dok vrijdoti brzia račuavaju za omjr što zači da raktičo brzi račuavaju a traicama omjr mrž. kalar vliči kao što u talija, koctracija i l. Uvijk račuavaju za omjru mržu. Fizičk oobi luida kao što u koicijt diuzij Γ i gutia ρ račuavaju za lmt omjr mrž. Dikrtizacijom jdači kotiuitta o zarmii dobija jdačia: ( u) y ( ρu) y + ( ρv) x ( ρv) x 0 ρ. (10.0) Što tič brzia ikakva dalja itrolacija ij otrba, vć ć o biti račuat a graicama omjr mrž. Za momtu jdačiu omjra mrža luži za dikrtizaciju momt jdači. rocdura za dikrtizaciju j liča kao u rthodom oglavlju, oim što čla koji odoi a gradijt ritika mora trtirati obo, bz itoliraja kao u jdačii Tako a rimjr za jdačiu kojom račuava u gradijt ritika račuava kao: ( ) y, (10.1) dok ličo za odrđivaj vrijdoti brzi v gradijt ritiak račuava kao: ( ) x. (10.) Kao što vidi u ovakvoj hmi ma viš zavioti ritika od duži kal x. umrička mrža za račuavaj brzi u j omjra u do za x/, dok j mrža za brziu v omjra za y/ a viš. Kao što mož lako uočiti omjra

7 umričk mtod u rgtici oglavlj i omjra mrža djlimičo rklaaju ali bz ikakvih kokvci a roc itrativog rjšavaja. Mai kovktivi lukvi kroz graic kotrolia zarmi račuaju a oovu brzia a graicama: F F F F ( ρu) y ( ρu) ( ρv) x ( ρv) x y, (10.3) što j ogodo obzirom da ov vrijdoti korit za račuavaj koicijata u traortim jdačiama a kalarom ukcijom φ. u v u Oova clija Clija za brziu u v Clija za brziu v lika Koct omjr mrž k bit karaktritik omjr mrž Kao što a lik 10.3 vidi omjra mrža rdtavlja idalo rjšj koj obzbjdjuj račuavaj ritika u kotroliaim zarmiama a brzia a graicama kotroliaih zarmia, što j oo što idalo odgovara koctu mtod kotrolia zarmi. aim, ritiak račuava iz jdači kotiuitta koja iš za zarmiu, dok i bila ma i drugih kalarih vličia takodj račuavaju za zarmiu što rdtavlja amu rž i otu ov mtod. Koačo momta jdačia za račuavaj brzi u ima oblik:

8 umričk mtod u rgtici oglavlj a u a u + + ) ( y b, (10.4) dok a liča ači mož aiati i jdačia za brziu v kao: a v a v + + ) ( x b. (10.5) U oldj dvij jdači idk ozačava ujd vrijdoti za omjr zarmi. Za brziu u ujd vrijdoti brzia uzimaju a tačaka,, i, koj u rikaza a lici liča hma amo u ravcu y o važi za vrziu v. Jdačia kotiuitta koja mora zadovoljiti data j jdačiom Takodj j otrbo aglaiti da u i koicijti a u jdačiama 10.4 i 10.5 različiti od koicijata koji dobijaju za omjru mržu koja koriti za račuavaj kalar ukcij φ. Mđutim iz doada rikazaog ij jao kojim otukom odrdjuj olj brzia i ritika. Dtalji o tom ć biti rikazai i razjašji u atavku. u lika omjra mrža i ujd brzi rilikom račuavaja u 10.5 Mtod za rjšavaj U rthodim oglavljima rikaza j rilaz ri dikrtizaciji trujih avir tok ovih jdačia rguto a jdačiom kotiuitta kao dodatom jdačiom za račuavaj ritika kao dodat ozat vliči. rikazai u i različiti rilazi u trtiraju jdači kotiuitta kao i koct omjr mrž koji

9 umričk mtod u rgtici oglavlj obzbjđuj račuavaj olja ritika i kalarih traortih ukcija u kotroliaim zarmiama, dok brzi račuavaju a jim graicama. Mđutim, igdj do ada ij rikazaa rocdura itrativog otuka kao i rdold odrđivaja olja ritika i brzia. Kao što j arijd vć rčo gradijt ritika izdvojo omatra tokom roca dikrtizacij momt jdači i akado uvrštava u izraz za odrđivaj brzia u i v. Oova idja za odrđivaj olja brzia j da itm jdačia rjšava itrativo. a rimjr ako račuava ka kalara vličia φ rtotav rvo vrijdoti u rvoj itraciji i kr a račuavajm ovih vrijdoti korišćjm dikrtizovaih jdačia. ri tom ovoračuat vrijdoti odmah uvrštavaju za raču vrijdoti ukcij φ u zarmiama koj dolaz kao ldć. a kraju kada izvrši izračuavaj vih vrijdoti vrši uorđivaj tarih i ovih vrijdoti za vaku zarmiu oaoob. Kao rra vrijdot uzima makimala vrijdot razlik izmdju dvij uzato itracij. otuak oavlja v dok razlika izmdju dvij uzato vrijdoti uti iod zadat tačoti. Drugi ritu odrazumijva ormiraj matric krutoti M dimzija ( x ) i matric lobodih člaova b dimzij ( x 1). Tada traorta ukcija φ račuava rjšavajm jdači M φ b. (10.6) Mdjutim a taovišta klaičih CFD modla dirkto rjšavaj itma algbarkih jdačia j rihvatljivo jr zahtijva začaj komjutrk rur u mmoriji, a i brzia j ograiča vlikim brojm oracija. obzirom da radi odrdjivaja olja ritika rilikom rjšavaja trujog olja žli ikorititi jdačia kotiuitta rćmo a roblmom da kod tišljivih luida ritiak ojavljuj u jdačii kotiuitta. Gutia iguriš, ali kod tišljivih luida oa ij ukcija ritika tako da rko j mož ritiak ikororirarti u jdačiu kotiuitta. ko žli korišćj jdači kotiuitta otrbo j omiliti mtod kako uvrtiti ritiak u jdačiu kotiuitta ali rko guti. Mtod kod kojih račuava ritiak kao romjljiva u jdačii kotiuitta zovu mtod a bazi ritika.

10 umričk mtod u rgtici oglavlj Za razliku od jih otoj i mtod koj korit gutiu kao romjljivu u jdačii kotiuitta, a ritiak akado odrđuj korišćjm jdači taja, rcimo za tišljiv luid. Ov mtod običo zovu mtod a bazi guti. Takodj j otrbo rći da otoj tzv. hibrid mtod koj u bazira a gutii kao romjljivoj u jdačii kotiuitta, a koj korit kod tišljivih luida i uzimaju u obzir malu ali diiau komribilot luida. ord toga mtod a bazi ritika takodj mogu korititi za tišljiv luid u odrđim graicama. Voma j važo aglaiti da odluka koja ć mtoda biti korišća zavii od toga kako amjrava rijšavati itm jdačia o u,v i. ko j to dirkta mtoda kojom rjšava itm jdačia u domu 3 x 3 (tri romjjiv u,v, u vim zarmiama) oda ij važo da li j mtoda a bazi ritika ili guti. Mđutim čak i daa kada j razvoj komjutra a zavidom ivou rjšavaj itma jdačia dirktom mtodom j rihvatljivo u komrcijalim kodovima zbog dugog vrma roračua. U ovom oglavlju bavićmo iključivo mtodama a bazi ritika koj odrazumijvaju ritiak kao romjljivu u jdačii kotiuitta, i koja j riklada trujaju tišljivog luida, i koja mož roširiti i a tišljiv luid takodj. Ov mtod u bazira a odrđivaju jdači za izračuavaj olja ritika, koritći dikrtizovai oblik momt jdači. Jdačia kotiuitta i momta jdačia rjšavaju kvcijalo, dok kao mtoda za rjšavaj koriti itrativi otuak. Ov mtod diišu ut do rjšja a dikrtizacioa thika, što j a kraju otrbo aglaiti.