Heslo vypracovala: Mgr. Zuzana Krišandová Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied
|
|
- Νανα Τοκατλίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sférická astronómia encyklopedické heslo Sférická astronómia časť astronómie, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na nebeskú sféru. Heslo vypracovala: Mgr. Zuzana Krišandová Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied zkrisandova@ta3.sk Dátum aktualizácie: september 2009
2 Sférická astronómia čo si má zapamätať žiak Sférická astronómia časť astronómie, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na nebeskú sféru. Slnko je jednou z miliárd hviezd tvoriacich našu Galaxiu. V noci, keď stojíme pod hviezdnou oblohou, môžeme voľným okom vidieť až 3000 hviezd. Zdá sa, ako by boli rozmiestnené po vnútornom povrchu gule s veľkým polomerom. Túto guľu nazývame svetovou, alebo aj nebeskou sférou. Pod nebeskou sférou teda rozumieme guľu s ľubovoľným, prípadne nekonečným polomerom, na ktorú sa z pozorovacieho miesta premietajú všetky nebeské telesá. Významnou rovinou na nebeskej sfére je ekliptika. Je to rovina, po ktorej sa počas roka zdanlivo pohybuje Slnko. Vplyvom pohybu Zeme okolo Slnka sa spojnica Zem - Slnko v priestore mení a pretína nebeskú sféru v rôznych bodoch ekliptiky. Môžeme teda povedať, že ekliptika je množina bodov, na ktorej je počas roka pozorovaný stred pravého Slnka. Rovina prechádzajúca zemským rovníkom pretína nebeskú sféru v najväčšej kružnici, ktorá sa nazýva svetový alebo nebeský rovník. Priamka prechádzajúca zemskými pólmi pretína nebeskú sféru v bodoch nazývaných svetové alebo nebeské póly. Svetový rovník pretína ekliptiku v 2 bodoch, ktoré nazývame jarný a jesenný bod. V čase jarnej rovnodennosti sa Slnko na ekliptike nachádza v jarnom bode; v okamihu jesennej rovnodennosti v jesennom bode. V súčasnosti sa jarný bod nachádza v súhvezdí Rýb. Obr. 1 sférický trojuholník; súčet uhlov je väčší ako 180 stupňov.
3 Sférická astronómia čo má k dispozícii učiteľ Sférická astronómia časť astronómie, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na nebeskú sféru. 1. Nebeská sféra a základné pojmy Slnko je jednou z miliárd hviezd tvoriacich našu Galaxiu. V noci, keď stojíme pod hviezdnou oblohou, môžeme voľným okom vidieť až 3000 hviezd. Zdá sa, ako by boli rozmiestnené po vnútornom povrchu gule s veľkým polomerom. Túto guľu nazývame svetovou, alebo aj nebeskou sférou. Sférická astronómia je časť astronómie, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na nebeskú sféru. Pre pozorovateľa na Zemi sa hviezdy pomaly pohybujú po nočnej oblohe. Tento pohyb je spôsobený rotáciou našej planéty. Pozorovateľ si tak môže predstaviť oblohu ako vnútro gule, na ktorej sú pripevnené hviezdy a ktorá sa vzhľadom na Zem otáča. Za predpokladu bezoblačného počasia a ničím neobmedzeného obzoru vidí pozorovateľ na Zemi polovicu nebeskej sféry. Druhú polovicu sféry má zakrytú zemskou hmotou. Obr. 2 nebeská sféra Pozorovateľ na jednom zo zemských pólov má jednu polovicu sféry vždy nad hlavou a druhá je pre neho nepozorovateľná. Pre pozorovateľa na inej zemepisnej šírke rotácia Zeme prináša nové časti nebeskej sféry a iné sa naopak strácajú. To znamená, že napríklad pozorovateľ na 60 severnej alebo južnej zemepisnej šírky môže v priebehu noci vidieť najmenej tri štvrtiny nebeskej sféry a pozorovateľ na rovníku môže postupom času vidieť každý bod nebeskej sféry.
4 Pod nebeskou (svetovou) sférou teda rozumieme guľu s ľubovoľným, prípadne nekonečným polomerom na ktorú sa z pozorovacieho miesta premietajú všetky nebeské telesá. Pozorovacie miesto sa pokladá za stred nebeskej sféry. Je miestom, odkiaľ sa určujú smery (nie vzdialenosti) k jednotlivým nebeským telesám, ako k bodom na nebeskej sfére. Každá rovina prechádzajúca stanovišťom pozorovateľa pretína nebeskú sféru v najväčšej, hlavnej kružnici. Ostatné roviny pretínajú nebeskú sféru vo vedľajších kružniciach. Zdanlivá poloha telesa na sfére sa udáva sférickými súradnicami, ich určením sa zaoberá sférická astronómia. Rovina prechádzajúca zemským rovníkom pretína nebeskú sféru v najväčšej kružnici, ktorá sa nazýva svetový alebo nebeský rovník. Priamka prechádzajúca zemskými pólmi pretína nebeskú sféru v bodoch nazývaných svetové alebo nebeské póly. Vplyvom rotácie Zeme sa nebeská sfére denne otočí okolo Zeme a v dôsledku toho nebeské telesá opisujú okolo svetového pólu na nebeskej sfére zdanlivo kruhové dráhy, tento jav nazývame denný pohyb. Myslená priamka, ktorá je predĺženou spojnicou miesta pozorovateľa a stredu Obr. 3 - Predstava nebeskej sféry. (Š. Gajdoš a kolektív: Vesmír, IKAR 2006).
5 Zeme v smere zemskej tiaže pretína nebeskú sféru v dvoch bodoch. V najvyššom bode oblohy nazývanom zenit a v protiľahlom bode nazývanom nadir. Vodorovnú rovinu, ktorá pretína nebeskú sféru v hlavnej kružnici nazývame obzor alebo horizont. Smer tiažovej priamky sa v rôznych miestach Zeme mení a preto má každé pozorovacie miesto svoj vlastný zenit, nadir a horizont. Významnou rovinou na nebeskej sfére je ekliptika (najväčšia hlavná kružnica na nebeskej sfére). Je to rovina, po ktorej sa počas roka zdanlivo pohybuje Slnko. Vplyvom pohybu Zeme okolo Slnka sa spojnica Zem - Slnko v priestore mení a pretína nebeskú sféru v rôznych bodoch ekliptiky. Môžeme teda povedať, že ekliptika je množina bodov, na ktorej je počas roka pozorovaný stred pravého Slnka. Svetový rovník pretína ekliptiku v 2 bodoch, ktoré nazývame jarný a jesenný bod. V čase jarnej rovnodennosti sa Slnko na ekliptike nachádza v jarnom bode; v okamihu jesennej rovnodennosti v jesennom bode. V súčasnosti sa jarný bod nachádza v súhvezdí Rýb. Ak miestom pozorovateľa vedieme priamku kolmú na rovinu ekliptiky, táto priamka potom pretína nebeskú sféru v dvoch bodoch, v severnom póle ekliptiky a v južnom póle ekliptiky. Severný pól ekliptiky leží v súhvezdí Draka vo vzdialenosti 23,5 stupňa od severného svetového pólu. Ekliptika prechádza súhvezdiami Rýb, Barana, Býka, Blížencov, Raka, Leva, Panny, Váh, Škorpióna, Hadonosa, Strelca, Kozorožca a Vodnára. Niektoré názvy týchto súhvezdí pochádzajú ešte z dôb starých Babylončanov, Sýrčanov a Egypťanov. Rovina svetového rovníka a ekliptiky zvierajú uhol 23,5. Svetová os a gravitačná ťažnica zvierajú uhol 90 φ, kde φ je zemepisná šírka pozorovateľa. Pól ekliptiky je od svetového pólu vzdialený o 23,5 a preto ekliptika počas dňa mení voči horizontu svoju polohu. Medzi významné kružnice nebeskej sféry patrí ešte almukantarát, meridián a kolúr. Almukantarát (azimutálna kružnica) je vedľajšia kružnica rovnobežná s horizontom. Telesá ležiace na rovnakom almukantaráte majú rovnakú výšku nad obzorom. Najväčšia kružnica na nebeskej sfére, ktorá prechádza svetovým pólom a zenitom pozorovateľa, sa volá meridián. Pretína horizont v južnom a severnom bode. Priesečník meridiánu s horizontom, respektíve so svetovým rovníkom slúži ako nulový bod, od ktorého sa určujú súradnice ako azimut a hodinový uhol (viď. samostatné heslo Rovníkové súradnice ). 2. Súradnice Na určenie polohy telesa na nebeskej sfére stačia v sférickej astronómii hodnoty 2 súradníc, používa sa preto systém súradníc podobných zemepisnej šírke a dĺžke na Zemi. Existuje niekoľko systémov súradníc, ktoré sa líšia definíciou a aj oblasťou, v ktorej sú prednostne používané. Uvádzame súradnicové systémy a príslušné súradnice: obzorníkove (horizontálne) súradnice azimut a výška nad obzorom ekvatoriálne (rovníkové) s. rektascenzia a deklinácia ekliptikálne s. ekliptikálna šírka a ekliptikálna dĺžka galaktické s. galaktická šírka a galaktická dĺžka 3. Nebeské cykly Z pohľadu merania polôh objektov na nebeskej sfére má významný vplyv na definovaný systém súradníc nutácia a precesia zemského pólu. Precesia predstavuje pohyb osi zemského zotrvačníka okolo pevnej osi v priestore pod vplyvom vonkajších gravitačných síl. Spôsobujú ju hlavne gravitačné účinky Slnka a Mesiaca na zemský elipsoid. Precesia spôsobuje pohyb jarného bodu po ekliptike v smere proti zdanlivému pohybu Slnka - z aktuálneho súhvezdia Rýb v smere k súhvezdiu Vodnára približne 50 za rok. Periódu precesie nazývame
6 Platónsky rok a jeho dĺžka je tropických rokov. V dôsledku gravitačného pôsobenia Slnka na obeh Mesiaca okolo Zeme sa pravidelne mení orientácia roviny dráhy Mesiaca okolo Zeme s periódou 18,6 roka. S rovnakou periódou vykonáva zemská os jemný krúživý pohyb okolo precesnej kružnice. Tento pohyb sa nazýva nutácia a spôsobuje výkyvy až ±9,2. Vplyvom nutácie sa mení poloha jarného bodu a sklon ekliptiky; poloha pólu ekliptiky ostáva nezmenená. V súčasnosti je severný nebeský pól približne 1 stupeň od Polárky, ale v dôsledku precesie sa k nej stále približuje, až k nej bude najbližšie v roku Zhruba za rokov bude zemská os smerovať k hviezde Vega v súhvezdí Lýry. Jarný bod a nebeský pól sú východzími bodmi pre definíciu rovníkových a ekliptikálnych súradníc (viď. heslá Rovníkové súradnice a Ekliptikálne súradnice ). Pre meranie polôh objektov na nebeskej sfére má preto precesia veľký význam, keďže spôsobuje zmenu polohy jarného bodu v čase. Všetky presné údaje o polohách nebeských objektov preto musia byť udané vzhľadom k nejakému pevnému dátumu tzv. ekvinokciu. V súčasnosti je platné ekvinokcium , teda sa pri určovaní polôh objektov berie do úvahy poloha jarného bodu Obr. 4 - vplyv precesie na polohu svetového pólu na oblohe. V súčasnosti je v blízkosti Polárky. 4. Sférická trigonometria Sférická geometria sa vytvárala, rovnako ako celá matematika, už od dávnoveku u orientálnych národov, a to na základe praktických potrieb a skúseností. U prvých primitívnych kmeňov sa stretávame zo štúdiom astronómie, ktorá je vďaka tvaru Zeme a Mesiaca so sférickou geometriou úzko spätá. V počiatkoch astronómie išlo hlavne o delenie času, s ktorým sú spojené určité poznatky o pohybe Slnka, Mesiaca a hviezd. Sférická trigonometria sa zoberá trojuholníkmi, ktoré ležia na guľovom povrchu a vzájomnými vzťahmi ich oblúkov a uhlov.
7 Obr. 5: Sférický trojuholník 4.1. Sínusová veta Z ľubovoľného bodu B na hrane trojhranu S(ABC) s vrcholom S spustíme kolmice na obidve ostávajúce hrany (BA SA,BC SC) a na protiľahlú stenu (BS SAC). Potom tiež platí, že OA SA, OC SC. Uhly BAC α, BCA γ sú uhly trojhranu a BSC = a, CSA = b, ASB = c sú uhly odpovedajúce veľkostiam strán sférického trojuholníka príslušného trojhranu S(ABC). Z trojuholníka na obrázku 6 dostávame s využitím rovinnej trigonometrie rovnosti: BS = BA sin α BA = BO sin c BS = BO sin c sin α BS = BC sin γ BC = BO sin a BS = BO sin a sin γ porovnaním a po úprave: sin c sin α = sin a sin γ cyklickou zámenou dostaneme ostatné vzťahy: Odvodený vzťah sa nazýva sínusová veta: Ak sú a, b, c strany a α,, γ uhly sférického trojuholníka, potom platí
8 sin a : sin b = sin α : sin (a cyklické rovnosti). Obr. 6 - sínusová veta odvodenie 4.2. Kosínusová veta pre stranu Pri odvodení sférickej kosínusovej vety prevedieme podobnú konštrukciu ako pri sínusovej vete. Teraz ľubovoľným bodom B na hrane trojhranu s vrcholom S preložíme rovinu kolmú na hranu SB. Rovina pretne ostatné hrany trojhranu v bodoch A,C. Z bodu B ďalej spustíme kolmicu na hranu AC. Podľa kosínusovej vety rovinnej trigonometrie platí pre ABC resp. ACO: AC 2 = AB 2 + BC 2 2AB BC cos AC 2 = SA 2 + SC 2 2SA SC cos b Pravé strany rovníc dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu vetu pre SAB resp. SBC: Rovnicu vydelíme dvoma a dĺžkami strán SA a SC. Za pomery strán môžeme následne dosadiť odpovedajúce goniometrické funkcie rovinnej trigonometrie: cos b = cos a cos c + sin c sin a cos Cyklickou zámenou dostaneme vzťahy pre ostatné strany a uhly. Tento vzťah nazývame kosínusová veta pre stranu vo sférickom trojuholníku: Ak sú a, b, c strany a α,, γ uhly sférického trojuholníka, potom platí
9 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α (a cyklické rovnosti). Obr. 7 - kosínusová veta odvodenie 4.3. Kosínusová veta pre uhol Pri odvodzovaní kosínusovej vety pre uhol využijeme vlastností polárneho trojuholníka. Nech A 0 B 0 C 0 je polárny sférický trojuholník k trojuholníku ABC. Pre A 0 B 0 C 0 podľa kosínusovej vety pre stranu platí: cos a 0 = cos b 0 cos c 0 + sin b 0 sin c 0 cos α 0 Podľa vzťahu pre polárny trojuholník je možné túto rovnosť prepísať do tvaru: cos (π α) = cos (π ) cos (π γ) + sin (π ) sin (π γ) cos (π a) teda cos α = cos cosγ sin sin γ cos a Vynásobením číslom 1, dostaneme výslednú rovnosť, ktorá sa nazýva kosínusová veta pre uhol sférického trojuholníka: Ak sú a, b, c strany a α,, γ uhly sférického trojuholníka, tak platí cos α = cos cos γ + sin sin γ cos a (a cyklické rovnosti) Polárny trojuholník Krajné body priemeru guľovej plochy, kolmého na rovinu danej hlavnej kružnice, sa nazývajú póly tejto kružnice. Majme na guľovej ploche sférický trojuholník ABC. Nech A 0 je pól hlavnej kružnice určenej bodmi B,C, ležiaci na rovnakej pologuli ako bod A. Analogicky získame i body B 0,C 0. Hovoríme, že trojuholník A 0 B 0 C 0 je polárny k danému trojuholníku ABC. Ďalej platí nasledujúce tvrdenie: Ak trojuholník A 0 B 0 C 0 je polárny k trojuholníku ABC, potom tiež obrátene trojuholník ABC je polárny k trojuholníku A 0 B 0 C 0. Strany polárneho trojuholníku sú a = 180 α, b = 180, c = 180 γ; jeho uhly sú α = 180 a, =180 b, γ= 180 c.
SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE
SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE 1. Čo pozorujeme: a) hviezdy a súhvezdia b) galaxie c) planéty d) obežnice planét mesiace e) meteory f) kométy g) umelé vesmírne telesá družice, rakety alebo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραOrientácia na Zemi a vo vesmíre
Orientácia na Zemi a vo vesmíre Orientácia na Zemi Podmienky: a) rovina b) smer podľazačiatku: 1) súradnice topocentrické 2) súradnice geocentrické 3) súradnice heliocentrické pravouhlá sústava súradníc
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα2. GEODETICKÁ ASTRONÓMIA
2. GEODETICKÁ ASTRONÓMIA Jednou z častí všeobecnej astronómie je geodetická astronómia. Pojednáva o určení zemepisnej astronomickej šírky ϕ a, zemepisnej astronomickej dĺžky λ a a astronomického azimutu
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραNeeuklidovská geometria
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita, Ružomberok Neeuklidovská geometria Seminárna práca História matematiky Katarína Dovcová Biológia matematika 1.Mgr 2008/2009 Cieľom mojej práce je priblížiť čitateľom
Διαβάστε περισσότεραKapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραVýchod a západ Slnka
Východ a západ Slnka Daniel Reitzner februára 27 Je všeobecne známe, že v našich zemepisných šírkach dĺžka dňa závisí od ročného obdobia Treba však o čosi viac pozornosti na to, aby si človek všimol, že
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότερα0. Úvod, obsah kap. 1 kap. 2 kap. 3 kap. 7-9 kap. 5 pojednanie o excentricite kap. 5 kap. 6
Vypracoval: Jakub Imriška Dátum: 9.9.008 0. Úvod, obsah Tento text vznikol na základe otázok, ktoré si autor kládol a nechcelo sa mu hľadať odpovede na ne cez vešticu Google. Všetko to začalo jedným príkladom
Διαβάστε περισσότεραANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραÚstav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF STU Bratislava;
Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask echnická mechanika 0 3 BEK, 0 0 BDS pre bakalárov, zimný sem docingfrantišek Palčák, PhD, ÚAMM 000 7 Cvičenie: Dynamika všeobecného
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραPotrebné znalosti z podmieňujúcich predmetov
Potrebné znalosti z podmieňujúcich predmetov Matematika 1: 1. Trigonometria (riešenie trojuholníkov - Pythagorova veta, Euklidove vety, sinusová a kosinusová veta, podobnosť trojuholníkov, výška, ťažnica,
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραFyzika Zeme. Prednáška pre poslucháčov geológie bakalárskeho štúdia. Adriena Ondrášková
U Fyzika Zeme Prednáška pre poslucháčov geológie bakalárskeho štúdia Adriena Ondrášková 1. Určovanie veku hornín.- 3. eizmológia (zemetrasenia a šírenie vĺn Zemou) 4.- 6. Tvar Zeme a slapy 7. Termika (zdroje
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότερα6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony
89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραVýpočet. grafický návrh
Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011
Vzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011 Úloha č. 1: Ondrík nakreslil do roviny dva červené trojuholníky. Tieto trojuholníky vytvorili spolu jeden červený n-uholník. Zistite všetky možné hodnoty
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραURČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραMa-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko
Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραFyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1)
Fyzika Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1) 1 Poznámka: Silové interakcie definované v súčasnej fyzike 1. Gravitačná interakcia:
Διαβάστε περισσότεραMechanika hmotného bodu
Meno a priezvisko: Škola: Školský rok/blok: Skupina: Trieda: Dátum: Bilingválne gymnázium C. S. Lewisa, Beňadická 38, Bratislava 2008-2009 / B Teória Mechanika hmotného bodu Kinematika Dynamika II. Mechanika
Διαβάστε περισσότερα