Polimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule,
|
|
- Ἀμιναδάβ Καραμανλής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Polimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule, tj. molekule polimera
2 Monomer - osnovna građevna jedinica polimera
3 n HO OH + n HOOC COOH monomer etilen-glikol (EG) monomer tereftalna kiselina (TPA) OOC COO n + 2n H 2 O poli(etilen-tereftalat), PET
4 Stupanj polimerizacije, DP broj ponavljanih jedinica neke polimerne molekule DP eng. degree of polymerization Molekulska masa polimera, M n produkt DP-a i molekulske mase ponavljane jedinice, M 0 M n = DP x M 0 Oligomeri polimeri s malim stupnjem polimerizacije, - viskozne kapljevine ili lako taljive krutine, lako su topljivi Polimeri s većim stupnjem polimerizacije i molekulskim masama većim od otapaju se uz prethodno bubrenje i stvaraju čvrste filmove ili vlakna
5 Reakcije polimerizacije dijele se s obzirom na 1. mehanizam rasta lanca 2. medij polimerizacije
6 1. Mehanizam rasta lanca: 1. lančane polimerizacije (radikalske) - lančasti rast polimernog lanca. I. inicijacija II. propagacija III. terminacija 2. stupnjevite polimerizacije - stupnjeviti rast polimernog lanca, izdvajanje vode, amonijaka ( male molekule) monomer + monomer dimer dimer + monomer trimer dimer + dimer tetramer trimer + monomer tetramer itd.
7 2. Medij polimerizacije - homogene polimerizacije - u masi - u otopini - heterogene polimerizacije - u masi - u otopini - u suspenziji - u emulziji - u plinskoj fazi - međupovršinske polikondenzacije
8 1. mehanizam rasta lanca a) lančane polimerizacije (radikalske) 1. Inicijacija 2. Propagacija 3. Terminacija 1. Inicijacija - dodatak inicijatora R M ki RM primarna aktivna specija
9 Primjer radikalske polimerizacije: Inicijacija - utjecaj topline, svjetla - raspad inicijatora I 2 R H2O2 2O H Inicijator - vrlo važan za početak reakcije polimerizacije jer stvara prve radikale koji iniciraju nastajanje monomernih radikala i tako započinje prijenos aktivnosti.
10 Inicijatori: a) anorganski inicijatori vodikov peroksid, H 2 O 2 (O-O veza) HO 60 o C OH 2OH hidroksilni radikal kalijev persulfat K 2 S 2 O 8 (O-O veza) O O KO S O O S OK O O 40 o C 2K + + O 2O S O O sulfatni anion- radikal
11 b) organski peroksidi dibenzoil peroksid, DBP (O-O veza) O C O O C O C O 2 O 65 o C benzoiloksi radikal ditercijarni butilperoksid (O-O veza) H 3 C CH 3 C CH 3 CH 3 CH 3 o C O O C 2H 3 C C O CH 3 CH 3 CH 3 t-butiloksi radikal
12 t-butilhidroperoksid (O-O veza) CH 3 CH 3 H 3 C C O OH H 3 C C O + OH CH 3 CH 3 c) inicijatori sa S-S vezom tetrametiltiuram disulfid, TMTD - vulkanizacija kaučuka (CH 3 ) 2 N C S S C N (CH 3 ) 2 60 o C 2 (CH 3 ) 2 N C + S 2 S S S
13 d) inicijatori s N-N vezom,'-azobisizobutironitril, AIBN H 3 C CH 3 C N N CH 3 C CH 3 40 o C 2 H 3 C CH 3 C + N 2 C N C N C N 2 cijano-2 propil radikal
14 2. Propagacija dobivaju se polimerni lanci različitih duljina RM primarna aktivna specija M kp RMM RMM M kp RMMM - primjer: polimerizacija etilena nastanak polietilena R CH CH R CH C H primarna aktivna specija R CH C H CH CH R CH CH CH C H
15 3. Terminacija faza prestanka rasta polimernog lanca a) kombinacijom RM n M m R k t k RM M R n m - primjer - polietilen: R CH CH CH C H C H CH CH CH R R CH CH CH CH CH CH CH CH R
16 b) disproporcioniranjem RM n M m R k td RM n RM m R CH CH CH C H C H CH CH CH R R CH CH CH CH CH CH CH CH R terminirani polimerni lanac ova dvostruka veza može se napasti i ponovo se može izazvati polimerizacija
17 c) prijenosom rasta lančane reakcije (chain transfer) - nepoželjno RM n RH k RM n H R tt postaje aktivan I- inicijator, R - radikal, M - monomer, k d konstanta disocijacije, k i - konstanta inicijacije, k p - konstanta propagacije, k tk - konstanta transfera kombinacijom, k td - konstanta disproporcionacije, k tt - konstanta transferom
18 Prijenos rasta lanca terminirani polimerni lanac HO C H 2 RH HO CH 3 R RH može biti: - inicijator - otapalo - monomer - polimer
19 1. Prijenos rasta lanca na inicijator - Inicijatori u pravilu nisu prenosioci rasta lanca - do faze terminacije većina se inicijatora potroši (dodaje se u vrlo malim konc. (svega 0,1%) i zato je efekt prijenosa rasta s molekulama inicijatora vrlo malen) - Vodikov peroksid dobar inicijator, loš prenosilac rasta lanca (poželjno) - t-butilhidroperoksid prenosilac rasta lanca
20 2. Prijenos rasta lanca na otapalo - Otapalo je uvijek prisutno, osim kod polim. u masi. - Otapalo utječe na krajnje grupe polimernog radikala i na veličinu molekulskih masa, ali ne utječe na strukturu lanca. Aldehidna i ketonska otapala - odlični prenosioci rasta lanca kod radikalske polim. zbog lakog otpuštanja H-atoma. Serija otapala: benzen, toluen, etilenbenzen, kumen, trifenilmetan: ovim redom raste brzina prijenosa zbog lakoće otpuštanja H-atoma.
21 Serija otapala: benzen, toluen, etilenbenzen, kumen, trifenilmetan ovim redom raste brzina prijenosa zbog lakoće otpuštanja H-atoma: H C H benzen H C H H toluen H C H H e tilb e n z e n bolji prijenos rasta lanca
22 C H C H H 3 C CH 3 k u m en tr if e n ilm e ta n bolji prijenos rasta lanca
23 - halogena otapala: prenosioci rasta lanca CH 3 Cl, Cl 2, CHCl 3, CCl 4 - CCl 4 najveći prenosilac rasta lanca (nestabilnost Cl, jaka mobilnost) - tioli (merkaptani) jako veliki prenosioci (veza S-H) nestabilna: C 2 H 5 SH etantiol
24 3. Prijenos rasta lanca na monomer - relativno je malen jer na kraju polimerizacije kad nastupa terminacija teorijski nema monomera (slično kao što nema ni inicijatora) U početnoj fazi dolazi do prijenosa aktivnosti s inicijatora na monomer, a potom monomer prelazi u oligomer i polimer što utječe na smanjenje konc. monomera.
25 Vrlo reaktivni monomeri - prenosioci rasta lanca - vinil-acetat CH O C CH 3 O - vinil-klorid =CHCl
26 Prijenos rasta lanca na polimer - Nastajanje bočnih grana ili umreženja - najčešći prijenos rasta lanca (na kraju polimerizacije, kada nastupa terminacija, osim otapala postoji samo polimer) Primjer: reaktivnost poli(vinil-acetata) A B - CH - O C = O C CH 3
27 Prijenos rasta lančaste reakcije s polimerom uvijek dovodi do reakcije grananja, osim ako se prijenos odvija na kraju lanca.
28 CH CH CH CH CH CH R R R R R R + CH R CH CH C CH CH CH R R R R R R + CH R R CH CH CH C CH CH CH R R R R R R
29 intenzivnije grananje - kada je velika koncentracija polimera, tj. kod visokog stupnja konverzije. Kod svake radikalske polimerizacije dolazi do nastajanja razgranatih polimera.
30 -kod poliakrilata konstanta prijenosa vrlo visoka pa u konačnici nastaje umrežen polimer: CH COOR CH COOR CH COOR CH COOR Dodatkom modifikatora ili polimerizacijom u otopini ili emulziji moguće je izbjeći takve reakcije umreženja.
31 Zanimljiv slučaj prijenosa rasta lančaste reakcije s polimera kod polietilena. - rastući lanac tom prilikom reagira tu i tamo sa svojim vlastitim lancem intramolekularno povezivanje CH H CH CH 2 CH CH 2 ( ) 3 CH 3 ( ) 3 CH 3
32 Ta se reakcija naziva «backbiting», «ugristi sam sebe za rep». Intramolekularno povezivanje polimera ima velikog utjecaja na konačna fizičko-mehanička svojstva. Najvišu konstantu prijenosa ima PVAc jer je mjesto prijenosa vodikov atom acetilne grupe, to je reaktivno mjesto na kojem se nastali radikal stabilizira rezonancijskom interakcijom karbonilnom grupom. Prijenos lančaste reakcije može se kod PVAc dogoditi i kao intramolekularna reakcija s vlastitom acetilnom grupom.
33 CH O C O O CH CO H O C O CH 3 Osim intramolekularnog prijenosa može doći i do intermolekularnog prijenosa koji također vodi stvaranju dugih grana. Takvo grananje događa se u poli(vinil-acetatu) na ugljiku acetatne grupe.
34 CH CH + O O O + CH O C O C O C O C O CH 3 CH 3 CH 3 VAc CH O C O CH O CO CH 3
35 Prema tome, molekule poli(vinil-acetata) mogu sadržavati dva tipa razgranatih lanaca, a gustoća grananja opisuje se Flory-evom jednadžbom: 1 ρ c [1 ( ) ln(1 p P P)] - gustoća grananja (broj grana prema broju polimernih jedinica) P - konverzija
36 - ovisnost gustoće grananja o konverziji: kada je konverzija približno 100%, naglo raste gustoća grana. 100 P /%
37 Kinetika slobodno-radikalske polimerizacije Na osnovi navedenog može se definirati A) brzina reakcije inicijacije, R i R i = k i I (1) Gdje je: k i - konstanta brzine inicijacije, I - molarna koncentracija inicijatora
38 B) brzina reakcije propagacije, R p R p = - d M dt = k p [M ] M (2) Gdje je: k p M [M ] konstanta brzine propagacije molarna koncentracija monomera molarna koncentracija aktivnih radikala
39 C) brzina reakcije terminacije R t R t = k 2 t M (3) Gdje je: k t konstanta brzine terminacije [ M ] molarna koncentracija aktivnih radikala
40 - značajno smanjenje konc. monomera javlja se u fazi propagacije te se može reći da je brzina polimerizacije jednaka: - d M dt = R p = k p M M Nakon kraćeg vremena polimerizacije: stacionarno stanje, tj. stanje dinamičke ravnoteže - brzina nastajanja slobodnih radikala u fazi inicijacije jednaka je brzini nestajanja u fazi terminacije
41 R R i t (4) kako je: R t k t M 2 slijedi da je: R i 2k t M 2 (5) (Faktor 2 dodaje se u skladu s općim pravilom konverzije da prilikom terminacije nestaju 2 radikala).
42 Jedn. (5) može se pisati i ovako; R M 1/ 2 i 2k t ako sada izraz iz jedn. (6) uvrstimo u jedn. (2), dobije se izraz za brzinu propagacije: (6) R k p p R M 1/ 2 i 2k t (7) Zamjenom R i u jedn. (7) izrazom (1) dobije se sljedeći izraz: R p k p k [I] M 1/ 2 i 2k t
43 Sada se taj izraz može pisati kao brzina ukupne reakcije polimerizacije koja glasi; R p = k p [M] [I] 1/2 (8) Brzina polimerizacije ovisi; - o konc. monomera - o konc. inicijatora * eksponent ½ označava drugi korijen što znači da udvostručenjem brzine inicijacije ne dolazi do dvostrukog povećanja reakcije polimerizacije, već se povećava za faktor 1,44 (korijen iz 2).
44 Veličina reakcija polimerizacije definirana je stupnjem polimerizacije Stupanj polimerizacije kinetički je definiran kao odnos brzina polimerizacije i suma svih brzina terminacije.
45 To su brzine R i, R p, R t, gdje R t uključuje terminacije normalnu terminaciju - kombinacijom - disproporcioniranjem terminaciju prijenosa rasta lanca - na inicijator - na monomer - na otapalo
46 Prema definiciji slijedi da je: Brojčani prosječni stupanj polimerizacije: DP n (R t / 2 ) k t,m R [M ][M] p k t,s [M ][S] k t,i [M ][I] (9) R p R t - brzina reakcije propagacije - brzina reakcije terminacije kombinacijom Ostala tri člana su - terminacija prijenosa rasta lančaste reakcije ( M, monomer; I, inicijator; S, otapalo)
47 b) stupnjevite polimerizacije (kondenzacijske) - stupnjeviti rast polimernog lanca: monomer + monomer dimer dimer + monomer trimer dimer + dimer tetramer trimer + monomer tetramer itd.
48 - polikondenzacija - polimerizacija u kojoj male molekule tvore polimerne molekule kondenzacijom - nastaju i male molekule (voda, amonijak, CO 2, HCl, N 2, metanol) - postupan tijek ukupne reakcije, reverzibilnost (duže trajanje polimerizacije, visoka temperatura)
49 Primjer: poliamidi a) CH CONH nh O nh2n CH2 COOH n w-aminoheksakiselina poliamid (nylon 6, perlon) b) HOOC-( ) 4 COOH + H 2 N ( ) 6 NH 2 -OC-( ) 4 -CO-NH-( ) 6 NH- + 2H 2 O adipinska kis. heksametilendiamin poliamid (nylon 6,6) -CONH- grupe amidne grupe
50 Primjer: poliesteri n HO OH + n HOOC COOH monomer etilen-glikol (EG) monomer tereftalna kiselina (TPA) OOC COO n + 2n H 2 O poli(etilen-tereftalat), PET -COO- grupe esterske grupe
51 Postupci proizvodnje PET-a 1. Direktna esterifikacija n HO OH + n HOOC COOH monomer monomer etilen-glikol tereftalna kiselina (EG) (TPA) OOC COO n + 2n H 2 O PET
52 2. Esterska izmjena 1. H 3 COOC COOCH 3 + HO OH monomer monomer dimetil-tereftalat (DMT) etilen-glikol(eg) HO OOC COOCH 3 + CH 3 OH metil-2-hidroksietil-tereftalat (MHET) metanol (M) 2. HO OOC COOCH 3 + HO OH metil-2-hidroksietil-tereftalat (MHET) etilen-glikol (EG) HO OOC COO OH + CH 3 OH monomer 1,4-bis-hidroksietilentereftalat (BHET) metanol (M)
53 3. HO OOC COO OH monomer 1,4-bis-hidroksietilentereftalat (BHET) - OOC- -COO - + HO OH ( PET etilen-glikol (EG)
54 Kondenzacijske polimerizacije: 2 tipa 1. dva razna polifunkcionalna monomera u kojem svaki ima samo jedan tip funkcionalne grupe n H 2 N-R-NH 2 + n HOOC-R'-COOH HN-R-NH-OC-R'-CO n +n H 2 O Ili, općenito: n A-A + n B-B A-A-B-B n HOOC-( ) 4 COOH + H 2 N ( ) 6 NH 2 -OC-( ) 4 -CO-NH-( ) 6 NH- + 2H 2 O adipinska kis. heksametilendiamin poliamid (nylon 6,6)
55 2. jedan monomer koji sadrži oba tipa funkcionalnih grupa: n H 2 N-R-COOH HN-R-CO n +n H 2 O ili općenito: n AB A-B n CH CONH nh O nh2n CH2 COOH n w-aminoheksakiselina poliamid (nylon 6, perlon)
56 Reaktivnost funkcionalnih grupa 1. korak: HO-R-OH+HOOC-R'-COOH HO-R-O-CO-R'-COOH+H 2 O dialkohol dikiselina dimer 2. korak: dimer reagira s drugim dimerom a) 2HO-R-O-CO-R'COOH H 2 O + HO-R-O-CO-R'-COO-R-O-CO-R'-COOH tetramer ili dimer + monomer
57 b) HO-R-O-CO-R'-COOH + HO-R-OH H 2 O + monomer HO-R-O-CO-R'-CO-O-R-OH trimer
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2013/2014 2. Predavanje Oktobar 2013. Dr Gordana Ćirić-Marjanović, vanredni profesor 2. Reakcije polimerizacije. 2.1. Lančane reakcije polimerizacije Kod lančane polimerizacije,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
HETEROGENE POLIMERIZACIJE
Pojava više faza uslijed različitih uzroka Nemješljivost monomera (monomeri etilen glikol i tereftalna kiselina nisu mješljivi, s porastom konverzije sustav prelazi u jednu fazu) Geliranje (gel je po definiciji
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE
IMBILIZACIJA AKTIVI TVARI ZA BILŠK PREPZAVAJE EZIMI ATITIJELA RECEPTRI MIKRRGAIZMI ŽIVTIJSKE ILI BILJE STAICE ŽIVTIJSKA I BILJA VLAKA KLJUČI PRCES PRI IZRADI BISEZRA IMBILIZACIJA BILŠKE TVARI - AJČEŠĆE
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Materijali I POLIMERI. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
Materijali I POLIMERI Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Osnove polimera Osnove polimera Područja primjene polimernih materijala Osnove polimera Riječ polimer je složenica koja potječe od grčkih riječi: πολυ
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće
sastoji se od različitih izomernih struktura s po jednim atomom klora na svaka 4 C-atoma
POLIKLOROPREN (CR) Poli (2-klorbutadien) sastoji se od različitih izomernih struktura s po jednim atomom klora na svaka 4 C-atoma H H 2 C C C Cl CH CH 2 CH 2 2 C C Cl H n kloropren polikloropren udio pojedinih
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA
STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
REAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/2018 3. Predavanje Dr GordanaĆirić-Marjanović, redovni profesor 2.2 Jonska polimerizacija 2.2.2 Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana reakcija
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
O ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola)
ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola) 1 Adicija alkohola 2 AETALI I PLUAETAL AETALI 3 Adicijom jednog mola alkohola na mol aldehida ili ketona nastaje poluacetal
C kao nukleofil (Organometalni spojevi)
C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/2018 3. Predavanje Oktobar 2017. dr G.Ćirić-Marjanović, redovni profesor 2.2 Jonska polimerizacija 2.2.2 Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana
Kiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi
MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA